hướng dẫn giải tích phân vận dụng cao trong đề thi THPTQG 2018
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (768.98 KB, 43 trang )
TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018
Vấn đề 1. Tính tích phân theo định nghĩa
Câu 1. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa 2 f x 3 f 1 x 1 x 2 . Giá trị của tích phân
1
f ' x dx
0
bằng
A. 0.
B.
1
.
2
1
Lời giải. Ta có
C. 1.
D.
3
.
2
1
f x dx f x f 1 f 0.
0
0
2
f 0
2 f 0 3 f 1 1
5
Từ 2 f x 3 f 1 x 1 x
.
3
2
f
1
3
f
0
0
f 1
5
1
3 2
Vậy I f ' x dx f 1 f 0 1. Chọn C.
5 5
0
2
Câu 2. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 0 f 1 1. Biết rằng
1
e
x
f x f x dx ae b.
0
Tính Q a 2018 b 2018 .
A. Q 2 2017 1 .
1
Lời giải. Ta có
e
B. Q 2 .
C. Q 0 .
D. Q 2 2017 1 .
1
/
f x f x dx e x f x dx e x f x
x
0
0
1
ef 1 f 0
f 0 f 11
e 1.
0
a 1
2018
Suy ra
Q a 2018 b 2018 12018 1 2. Chọn B.
b
1
Câu 3. Cho các hàm số y f x ,
y g x có đạo hàm liên tục trên 0;2 và thỏa mãn
2
f ' x g x dx 2,
0
2
2
f x g ' x dx 3. Tính tích phân I f x g x dx .
/
0
0
A. I 1.
C. I 5.
B. I 1.
2
D. I 6.
2
/
Lời giải. Ta có I f x g x dx f ' x g x f x g ' x dx
0
2
0
2
f ' x g x dx f x g ' x dx 2 3 5. Chọn C.
0
0
x2
Câu 4. Cho hàm số y f x liên tục trên 0; và thỏa
0
1
A. f .
4
2
x2
Lời giải. Từ
1 1
B. f .
4 2
1
f t dt x .sin x . Tính f .
4
1
C. f 1.
4
1
D. f 1 .
4
2
f t dt x .sin x , đạo hàm hai vế ta được 2 xf x 2 sin x x cos x .
0
1
1
Cho x ta được 2. . f
2
2
1
sin cos 1
4
2 2
2
1
f 1. Chọn C.
4
Câu 5. Cho hàm số f x liên tục trên a; với a 0 và thỏa
x
a
A. f 4 2.
x
Lời giải. Từ
a
B. f 4 4.
f t
dt 6 2 x với mọi x a. Tính f 4.
t2
C. f 4 8.
f t
f x
1
.
dt 6 2 x , đạo hàm hai vế ta được
t2
x2
x
Suy ra f x x x
f 4 4 4 8. Chọn C.
1
D. f 4 16.
Vấn đề 2. Kỹ thuật đổi biến
e 2017 1
2017
f x dx 2 . Tính tích phân I
Câu 6. Cho
0
0
A. I 1.
x
. f ln x 2 1 dx .
x 1
2
D. I 5.
C. I 4.
2
x
d
x
xd x
dt
Lời giải. Đặt t ln x 2 1, suy ra dt 2
2
.
x 1
x 1 2
x 0 t 0
.
Đổi cận:
2017
x e 1 t 2017
Khi đó I
1
2
B. I 2.
2017
f t dt
0
1
2
2017
0
1
f x dx .2 1. Chọn A.
2
Câu 7. Cho hàm số f x liên tục trên và
9
1
A. I 2.
9
f
3
f sin x cos xdx 2. Tính tích phân I f x dx .
0
0
D. I 10.
x t 2 x , suy ra 2 tdt dx .
x
9 f
x 1 t 1
Đổi cận
. Suy ra 4
x 9 t 3
1
x
2
C. I 4.
x dx 4. Đặt t
1
Xét
x dx 4,
B. I 6.
Lời giải. Xét
2
f
x dx 2
x
3
3
f t 2dt
f t dt 2.
1
1
f sin x cos xdx 2. Đặt u sin x , suy ra du cos xdx .
0
1
2
x 0 u 0
Đổi cận
. Suy ra 2 f sin x cos xdx f t dt .
x u 1
0
0
2
3
1
3
Vậy I f x dx f x dx f x dx 4. Chọn C.
0
0
1
Câu 8. Cho hàm số f x liên tục trên và
4
1
f tan x dx 4,
0
A. I 6.
B. I 2.
4
Lời giải. Xét
0
1
x 2 f x
d
x
2.
Tính
tích
phân
I
f x dx .
x 2 1
0
C. I 3.
D. I 1.
f tan x dx 4.
0
Đặt t tan x , suy ra dt
1
dt
dx tan 2 x 1 dx
dx
.
cos 2 x
1 t 2
x 0 t 0
1
1
4
f t
f x
Đổi cận:
Khi
đó
4
f
tan
x
d
x
d
t
dx .
.
2
t 1
x 2 1
x t 1
0
0
0
4
1
1
1
f x
x 2 f x
Từ đó suy ra I f x dx 2
dx 2
dx 4 2 6. Chọn A.
x 1
x 1
0
0
0
Câu 9. Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn
4
tan x . f cos x dx 1,
2
2
1
4
f 2 x
dx .
x
A. I 1.
B. I 2.
C. I 3.
4
Lời giải. ● Xét A tan x . f cos2 x dx 1 . Đặt t cos 2 x.
0
2
e
0
I
e2
D. I 4.
f ln 2 x
x ln x
dx 1. Tính tích phân
Suy ra dt 2 sin x cos xdx 2 cos 2 x tan xdx 2t. tan xdx
tan xdx
dt
.
2t
t 1
x 0
Đổi cận:
1.
x
t
4
2
1
1
1
1
2
f t
f t
f x
f x
1
1
1
Khi đó 1 A
dt
dt
dx
dx 2.
2 1 t
2 1 t
2 1 x
x
1
2
f ln 2 x
e2
● Xét B
x ln x
e
Suy ra du
2
2
dx 1. Đặt u ln 2 x.
2 ln x
2 ln 2 x
2u
dx
du
dx
dx
dx
.
x
x ln x
x ln x
x ln x 2u
x e
u 1
.
Đổi cận:
2
u 4
x e
4
4
4
f x
1 f u
1 f x
Khi đó 1 B
du
dx
dx 2.
2 1 u
2 1 x
x
1
2
● Xét tích phân cần tính I
1
2
f 2 x
dx .
x
1
1
1
dx dv
v
2 . Đổi cận:
x
Đặt v 2 x , suy ra
4
2.
v
x
v 4
x 2
2
4
4
1
4
f v
f x
f x
f x
dv
dx
dx
dx 2 2 4. Chọn D.
Khi đó I
v
x
x
x
1
1
1
1
2
2
2
1
Câu 10. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ;2 , thỏa f x
2
2
I
1
2
f x
1
1
f x 2 2 2. Tính tích phân
x
x
dx .
x 2 1
3
A. I .
2
5
C. I .
2
B. I 2.
1
x
t 2
1
1
2
Lời giải. Đặt x , suy ra dx 2 dt . Đổi cận:
.
1
t
t
x
2
t
2
1
2
Khi đó I
2
2
Suy ra 2 I
1
2
2
1
2
1
1
1
f
2 f
2 f
t 1
t
x
. 2 dt 2
dt 2
dx .
1
t
t 1
x 1
1
1
1
2
2
t2
1
1
1
2
2 f
2 f x f
2 x
2
f x
x
x
x2
dx 2
dx
dx
dx
2
2
2
x 1
x 1
x 1
x 1
1
1
1
2
2
x 2 1
1 1 dx x 1
d
x
2
2
x
x
x
1
2
2
1
2
2
3
3
I . Chọn A.
2
2
3
D. I 3.
Câu 11. Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa f x f x 2 2 cos 2 x với mọi x .
3
2
Tính I
f x d x .
3
2
C. I 2 .
3
3
x
t
2
2 .
dx dt . Đổi cận:
Lời giải. Đặt t x
3
3
x
t
2
2
A. I 6 .
B. I 0 .
3
2
Khi đó I f t dt
3
2
3
2
Suy ra 2 I
3
2
3
2
f t dt
3
2
3
2
f t f t dt
f x dx .
3
2
3
2
3
2
D. I 6 .
2 2 cos 2t dt
3
2
CASIO
2 cos t dt 12
I 6. Chọn D.
3
2
Câu 12. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên , thỏa f x 5 4 x 3 2 x 1 với mọi x . Tích phân
8
f x dx
2
bằng
A. 2.
B. 10.
C.
32
.
3
D. 72.
x 2 t 1
Lời giải. Đặt x t 5 4 t 3, suy ra dx 5t 4 4 dt . Đổi cận
.
x 8 t 1
8
Khi đó
2
1
1
1
1
f x dx f t 5 4 t 35t 4 4 dt 2t 15t 4 4 dt 10. Chọn B.
Câu 13. Cho các hàm số f x , g x liên tục trên 0;1, thỏa m. f x n. f 1 x g x với m, n là số thực khác 0 và
1
1
f x dx g x dx 1. Tính m n.
0
0
1
B. m n .
C. m n 1.
2
Lời giải. Từ giả thiết m. f x n. f 1 x g x , lấy tích phân hai vế ta được
A. m n 0.
1
1
m. f x n. f 1 x dx g ( x )dx
0
1
1
Suy ra m n f 1 x dx 1 (do
0
0
1
Khi đó
0
0
1
f x dx g x dx 1 ).
0
1
Xét tích phân
D. m n 2.
1
0
x 0 t 1
f 1 x dx . Đặt t 1 x , suy ra dt dx . Đổi cận:
.
x 1 t 0
0
1
1
f 1 x dx f t dt f t dt f x dx 1.
1
0
2
0
Từ 1 và 2, suy ra m n 1 . Chọn C.
Câu 14. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên 0;1, thỏa mãn f ' x f ' 1 x với mọi x 0;1. Biết rằng
1
f 0 1, f 1 41. Tính tích phân I f x dx .
0
A. I 41.
B. I 21.
C. I 41.
f x f 1 x C .
Lời giải. Ta có f ' x f ' 1 x
D. I 42.
f 01, f 1 41.
Suy ra f 0 f 1 C
C 42.
Suy ra f x f 1 x 42
f x f 1 x 42
1
1
0
0
f x f 1 x dx 42dx 42.
1
4
1
1
2
f x dx f 1 x dx .
Vì f ' x f ' 1 x
0
0
1
Từ 1 và 2, suy ra
1
f x dx f 1 x dx 21. Chọn B.
0
0
2
Câu 15. Cho hàm số y f x liên tục trên và thỏa mãn f 3 x f x x với mọi x . Tính I f x dx .
0
5
4
4
A. I .
B. I .
C. I .
4
5
5
3
2
Lời giải. Đặt u f x , ta thu được u u x. Suy ra 3u 1 du dx .
5
D. I .
4
1
x 0 u 0
5
Từ u 3 u x , ta đổi cận
. Khi đó I u 3u 2 1 du . Chọn D.
x
2
u
1
4
0
Cách khác. Nếu bài toán cho f x có đạo hàm liên tục thì ta làm như sau:
f 0 0
f 3 0 f 0 0
Từ giả thiết f 3 x f x x
.
*
3
f 2 1
f 2 f 2 2
Cũng từ giả thiết f 3 x f x x , ta có f ' x . f 3 x f ' x . f x x. f ' x .
2
Lấy tích phân hai vế
2
f ' x . f 3 x f ' x . f x dx x . f ' x dx
0
0
f x 4 f x 2 2
2
2
2
5
*
xf x f x dx
f x dx .
2 0
4
0
4
0
0
Vấn đề 3. Kỹ thuật tích phân từng phần
3
Câu 16. Cho hàm số f x thỏa mãn
3
x . f x .e f x dx 8 và f 3 ln 3 . Tính I e f x dx .
0
0
A. I 1.
B. I 11.
C. I 8 ln 3.
D. I 8 ln 3.
3
3
3
u x
du dx
f x
f x
f x
.
Lời giải. Đặt
Khi
đó
x
.
f
x
.
e
d
x
x
.
e
e dx .
f x
f x
d
v
f
x
.
e
d
x
0
v
e
0
0
Suy ra 8 3.e
f 3
3
e
0
f x
3
dx
e
f x
dx 9 8 1. Chọn A.
0
Câu 17. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; , thỏa mãn
2
2
2
f ' x cos2 xdx 10 và f 0 3. Tích phân
0
f x sin 2 xdx bằng
0
B. I 7.
A. I 13.
2
Lời giải. Xét
0
C. I 7.
D. I 13.
u cos 2 x
du sin 2 xdx
.
f ' x cos2 xdx 10 , đặt
2
dv f ' x cos xdx
v f x
2
Khi đó 10 f ' x cos 2 xdx cos 2 xf x
0
2
2
0
0
2
0
2
f x sin 2 xdx
0
10 f 0 f x sin 2 xdx
f x sin 2 xdx 10 f 0 13. Chọn D.
Câu 18. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn
2
f x 1 dx 3 và f 1 4. Tích phân
1
1
x
3
f ' x 2 dx bằng
0
A. 1.
1
B. .
2
C.
1
.
2
D. 1.
5
2
1
Lời giải. Ta có
1
1
Xét
1
t x 1
f x 1 dx 3
f t dt 3 hay
0
f x dx 3.
0
1
1
u x
du dx
1
1
tf
'
t
d
t
xf ' x dx . Đặt
.
2 0
2 0
dv f ' x dx
v f x
1
1
1
1
1
1
1
tx2
x 3 f ' x 2 dx
tf ' t dt xf x f x dx 4 3 . Chọn C.
2 0
2
2
2
0
0
t x
x 3 f ' x 2 dx
2
0
1
Khi đó
0
Câu 19. Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;2. Biết f 0 1 và f x f 2 x e 2 x
2
x 0;2. Tính tích phân I
x
3x
3
14
.
3
B. I
Ta có I
x 3 3x 2 f ' x
f x
0
2
4 x
với mọi
dx .
32
.
5
Lời giải. Từ giả thiết f x f 2 x e 2 x
2
f 'x
f x
0
A. I
2
2
C. I
16
.
3
D. I
16
.
5
x 2
f 2 1.
4 x
u x 3 3x 2
2
du 3 x 6 x dx
dx . Đặt
.
f 'x
dv
dx
v
ln
f
x
f x
Khi đó I x 3 3 x 2 ln f x
2
f 21
2
2
3 x 2 6 x ln f x dx 3 x 2 2 x ln f x dx 3J .
0
2
Ta có J x 2 2 x ln f x dx
0
0
0
x 2t
2 t
2
0
2
0
2
2
0
2 2 t ln f 2 t d 2 t
2
2 x 2 2 x ln f 2 x d 2 x x 2 2 x ln f 2 x dx .
2
2
2
0
0
0
Suy ra 2 J x 2 2 x ln f x dx x 2 2 x ln f 2 x dx x 2 2 x ln f x f 2 x dx
2
x 2 2 x ln e 2 x
2
2
4 x
dx x 2 2 x 2 x 2 4 x dx
0
0
Vậy I 3 J
32
16
J .
15
15
16
. Chọn D.
5
2
Câu 20. Cho biểu thức S ln 1 2 sin 2 x e 2 cot x dx , với số thực m 0. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
n
4 m 2
A. S 5.
B. S 9.
C. S 2 cot
2 ln sin
.
4 m 2
4 m 2
D. S 2 tan
2 ln
.
4 m 2
4 m 2
2
2 sin 2 x e 2 cot x dx 2
Lời giải. Ta có
4 m2
2 cot x
dx
sin x .e
e
2 cot x
2
sin 2 xe 2 cot x dx .
4 m2
2
2 cot x
2
2
4 m
2
4 m 2
2 cot x
2
2
4 m
2
2
sin 2 x 2 e 2 cot x dx
sin x
4 m2
2
1
d sin x sin x .e
4 m2
2
e 2 cot x dx
4 m 2
2
sin 2 xe
2
2
Xét
2
2
e 2 cot x dx .
4 m2
6
2
Từ 1 và 2, suy ra I sin 2 x .e 2 cot x
1 sin 2
4 m2
2 cot
2
.e 4 m .
2
4m
2 cot
2
S ln sin 2
.e 4 m 2 cot
2 ln sin
. Chọn C.
2
2
4 m
4 m 2
4m
Vấn đề 4. Tính a, b, c trong tích phân
2
ln 9 x dx a ln 5 b ln 2 c
2
Câu 21. Biết
với a, b, c . Tính P a b c .
1
A. P 13.
B. P 18.
u ln 9 x
du 2 x2 dx
Lời giải. Đặt
.
9 x
dv dx
v
x
3
C. P 26.
D. P 34.
2
2
2
Khi đó I x 3 ln 9 x 2 2
1
1
5 ln 5 12 ln 2 2 x 3 ln 3 x
2
1
x x 3
9 x2
2
3
dx 5 ln 5 4 ln 8 2 1
dx
3 x
1
a 5
5 ln 5 6 ln 2 2
b 6 P 13. Chọn A.
c 2
Nhận xét. Ở đây chọn v x 3 thay bởi x để rút gọn cho 9 x 2 , giảm thiểu biến đổi.
1
Câu 22. Biết
0
x 3 2 x ex 3 2 x
1
1
e
dx
.ln p
với m, n, p là các số nguyên dương. Tính tổng P m n p.
x
e.2
m e ln n
e
A. P 5.
1
Lời giải. Ta có I
0
1
Tính A
0
B. P 6.
C. P 7.
1
x
3
x 3 2 x ex 3 2 x
1
x 2
dx x 4
d
x
x
x
e.2
e.2
4
0
D. P 8.
1
A
0
1
A.
4
x
2
1
dx . Đặt t e.2 x
dt e. ln 2.2 x dx
2 x dx
dt .
e.2 x
e ln 2
x 0 t e
Đổi cận:
.
x 1 t 2e
2 e
Khi đó A
1
dt
1
.
ln t
e.ln 2 e t
e.ln 2
2 e
e
1
2e
1
e
ln
ln 1
.
e ln 2
e
e ln 2
e
m4
1
1
e
ln 1
n
2 P m n p 7. Chọn C.
Vậy I
4 e ln 2 e
p 1
2
Câu 23. Biết
x 2 2 x cos x cos x 1 sin x
x cos x
0
5
A. P .
4
3
B. P .
2
2
Lời giải. Ta có I
0
x cos x
2
x cos x
x cos x
2
dx
0
c
với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính P ac 3 b.
C. P 2.
x 2 2 x cos x cos2 x 1 sin x
0
2
dx a 2 b ln
dx
2
2
d x cos x
1 sin x
dx x cos x dx
x cos x
x cos x
0
0
1
x 2 sin x ln x cos x
2
2
1
1
2
2 1 ln 2 1 ln
8
2 8
0
1
a
8
b 1
P ac 3 b 2. Chọn C.
c 2
7
D. P 3.
ln 8
Câu 24. Biết
1
e
ln 3
1 b
dx 1 ln a a b với a, b . Tính P a b.
2 a
1 e
B. P 1.
C. P 3.
D. P 5.
2x
x
A. P 1.
ln 8
Lời giải. Ta có I
ln 3
ln 8
ln 8
1
e 2 x 1 e x
dx
ln 8
e 2 x 1 e x dx
ln 3
ln 8
e 2 x 1dx
ln 3
ln 3
e x dx e x
2 2 3.
ln 3
ln 8
e x dx .
ln 8
ln 3
td t
td t
2
.
2x
e
t 1
e 2 x 1dx . Đặt t e 2 x 1 t 2 e 2 x 1 , suy ra 2 tdt 2 e 2 x dx dx
ln 3
x ln 3 t 2
.
Đổi cận:
x ln 8 t 3
ln 8
Khi đó
3
e 2 x 1dx
2
ln 3
3
1 t 1 3
t 2 dt
1
1 3
dt 1 2
dt t ln
1 ln .
2
t 1
2 t 1 2
t 1
2
2
2
a 2
1 3
Vậy I 1 ln 2 2 3
P a b 5. Chọn D.
2 2
b 3
2
Câu 25. Biết
x 1
1
dx
x x x 1
A. P 12 .
a b c với a, b, c . Tính P a b c .
C. P 24 .
B. P 18 .
2
Lời giải. Ta có I
1
2
dx
x x 1
x 1 x
D. P 46 .
x 1 x
x x 1
1
x 1 x
1
1
dx
2du
Đặt u x 1 x , suy ra du
2 x 1 2 x
x 2 u 3 2
. Khi đó I 2
Đổi cận
x 1 u 2 1
2
3 2
2 1
du
2
u2
u
3 2
2 1
2
dx .
x x 1
x x 1
dx .
1
1
2
3 2
2 1
a 32
3 2
2 1
32
12
2
b
P 46. Chọn D.
12
32
2 1
c 2
4
Câu 26. Biết
sin 4 x
cos x 1 sin x 1
2
0
2
A. P 10.
dx
a 2 b 6 c
với a, b, c . Tính P a b c .
6
B. P 12.
4
Lời giải. Ta có I
0
C. P 14.
4
sin 4 x
cos x 1 sin x 1
2
2
dx 2
0
D. P 36.
2 sin 2 x cos 2 x
3 cos 2 x 3 cos 2 x
dx .
x 0 t 1
Đặt t cos 2 x
dt 2 sin 2 xdx. Đổi cận:
.
x t0
4
0
Khi đó I 2
1
1
t
3 t 3t
1 2
2
3
3
3 t
3 t
3
3
2
1
0
dt 2
0
t
3 t 3t
dt
1
2
1
3 t 3 t dt
0
a 16
16 2 12 6 8
b 12 P 36. Chọn D.
6
c 8
4
1
x ex
dx a e b e c với a, b, c . Tính P a b c .
2x
4
x
xe
1
A. P 5.
B. P 4.
C. P 3.
D. P 3.
Câu 27. Biết
4
Lời giải. Ta có
1
4
1
x ex
dx
4x
xe 2 x
1
4
e 2 x 4 x 4e x x
dx
4 xe 2 x
1
8
e 2 x
2e x
2
x
x
2
dx
4
4
4
1
1
1
1 1
dx
x dx x x 1 4 1 e 1 e 4
e
e
e
e
x
1
1 2 x
ex 2 x
2e
1
x
a 1
P a b c 4. Chọn B.
b 1
c
4
2
Câu 28. Biết
2 x
2 x
0
dx a b 2 c với a, b, c . Tính P a b c .
A. P 1.
B. P 2.
C. P 3.
D. P 4.
dx 4 sin 2udu.
x 2 cos u với u 0; . Suy ra x 4 cos2 u
2
Lời giải. Đặt
x 0
u
2
2 . Khi đó I 4
Đổi cận
x 2
u
4
4
2
16
4
u
2 cos
2 2 cos u
2 .sin u.cos udu
sin 2udu 8
u
2 2 cos u
sin
4
2
2
2
2
4
4
u
cos .cos udu 8 1 cos u .cos udu 8 cos udu 4 1 cos 2u du
2
2
4
8 sin u
2
4
4 x 2.sin 2u
e
Câu 29. Biết I
1
a 1
4 2 6
P 3. Chọn C.
b 4
c 6
2
4
ln 2 x ln x
1
b
với a, b . Tính P b a.
dx
a e 2 2
ln x x 1
3
A. P 8.
B. P 6.
e
e
ln 2 x ln x
ln x x 1
Lời giải. Ta có
dx
3
1
Đặt t
1
C. P 6.
ln x 1 /
ln x 1
ln x
dt
dx .
dx
2
ln x x 1
ln x x 1
ln x x 1
2
1
x 1 t
e 2
1
2
Đổi cận:
. Khi đó I tdt t 2
2
2
1
x et
2
e 2
6
Câu 30. Biết
x cos x
1 x 2 x
6
A. P 37.
Lời giải. Ta có I
6
t
6
6
1 x x
1 x x
2
6
x t
dx
6
6
1 t t cos tdt x
2
6
Suy ra 2 I x
6
6
6
1 t t
2
D. P 41.
6
1 x 2 x dx x
t cos t
6
1
2
1
2
. Chọn B.
8 e 2 2
C. P 35.
dx x cos x
2
2
e 2
2
3
với a, b, c là các số nguyên. Tính P a b c .
b
c
6
x cos x
x cos x
Lại có I
dx a
B. P 35.
6
6
D. P 10.
ln x 1
ln x
.
dx .
ln x x 1 ln x x 12
6
d t
6
6
t cos t
1 t 2 t
dt
1 x 2 x cos xdx .
6
1 x 2 x cos xdx x
6
6
1 x 2 x cos xdx 2 x 2 cos xdx
9
6
1 x 2 x cos xdx .
6
I x 2 cos xdx . Tích phân từng phần hai lần ta được I 2
6
2
3
36 3
a 2
P a b c 35. Chọn C.
b 36
c
3
Vấn đề 5. Tính tích phân hàm phân nhánh
x 1
Câu 31. Cho hàm số f x
2x
e
3e 1
.
2e 2
2
A. I
khi x 0
khi x 0
7e 1
.
2e 2
2
. Tính tích phân I f x dx .
1
2
B. I
0
2
9e 1
.
2e 2
2
C. I
0
2
Lời giải. Ta có I f x dx f x dx e 2 x dx x 1 dx
1
0
1
0
D. I
11e 2 11
.
2e 2
9 e 2 1
. Chọn C.
2e 2
1
2
Câu 32. Cho hàm số f x xác định trên \ , thỏa f x
, f 0 1 và f 1 2. Giá trị của biểu thức
2
2
x
1
f 1 f 3 bằng
B. 2 ln15.
2
Lời giải. Ta có f x
2 x 1
A. ln15.
C. 3 ln15.
ln 1 2 x C1
2
f x
dx ln 2 x 1 C
2 x 1
ln 2 x 1 C 2
ln 1 2.0 C1 1 C1 1.
f 0 1
D. 4 ln15.
1
2.
1
;x
2
;x
f 1 2
ln 2.11 C 2 2 C 2 2.
1
ln 1 2 x 1 khi x
f 1 ln 3 1
2
Do đó f x
1
f 3 ln 5 2
ln 2 x 1 2 khi x
2
f 1 f 3 3 ln 5 ln 3 3 ln15. Chọn C.
Câu 33. Cho hàm số f x xác định trên \ 2;1, thỏa mãn f x
1
1
, f 3 f 3 0 và f 0 . Giá trị
x x 2
3
2
biểu thức f 4 f 1 f 4 bằng
1
1
1 8
C. ln 80 1.
D. ln 1.
ln 2 .
3
3
3 5
1
1 1
1
Lời giải. Ta có f x 2
x x 2 3 x 1 x 2
1
ln 1 x ln x 2 C1 ; x 2
3
1
1
f x 2
dx
;2 x 1.
ln 1 x ln x 2 C 2
x x 2
3
1
;x 1
ln x 1 ln x 2 C 3
3
1
1
1
1
1
f 0
ln 1 0 ln 0 2 C 2
C 2 ln 2 .
3
3
3
3
3
1 1
f 3 f 3 0
C1 C 3 ln .
3 10
1 5 1
1 1
1
1
Ta có f 4 f 1 f 4 ln ln 2 ln C 2 C1 C 3 ln 2 . Chọn B.
3 2 3
3 2
3
3
A.
1
1
ln 20 .
3
3
B.
10
Câu 34. Cho hàm số f x xác định trên 0; \ e , thỏa mãn f x
1
1
, f 2 ln 6 và f e 2 3. Giá trị biểu
e
x ln x 1
1
thức f f e 3 bằng
e
A. 3ln 2 1.
Lời giải. Ta có f x
f x
C. 3 ln 2 1.
B. 2 ln 2.
D. ln 2 3.
1
x ln x 1
ln 1 ln x C1 khi x 0; e
d ln x 1
1
dx
ln ln x 1 C
.
x ln x 1
ln x 1
ln ln x 1 C 2 khi x e ;
1
1
ln 1 ln 2 C1 ln 6 C1 ln 2.
f 2 ln 6
e
e
f e 2 3
ln ln e 2 1 C 2 3 C 2 3.
ln
1
ln
x
ln
2
khi
x
0;
e
f
Do đó f x
f
ln ln x 1 3 khi x e;
1
f f e 3 3 ln 2 1. Chọn C.
e
1
ln 2 ln 2
e
e 3 ln 2 3
Câu 35. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số y
1
với x \
k , k
. Biết F 0 1, F 0 , tính
1 sin 2 x
4
11
.
giá trị biểu thức P F F
12
12
B. P 2 3.
C. P 1.
Lời giải. Với x thuộc vào mỗi khoảng k ; k , k ta có
4
4
A. P 0.
F x
D. Không tồn tại P .
dx
dx
dx
1
tan x C .
2
2
1 sin 2 x
4
sin x cos x
2 cos 2 x
4
1
3
0
1
3 F 01
3
; nên F 0 F tan x
F
.
12 2
12 2
4 12
2
2
2
12 4 4
11 5
11 1
11 1
1
3 F 0
3
; nên F F tan x 11
;
F
.
12 2
12 2
4 12
2
2
2
12 4 4
0;
11
Vậy P F F
1. Chọn C.
12
12
Vấn đề 6. Tính tích phân dựa vào tính chất
2
0
Câu 36. Cho hàm số f x là hàm số lẻ, liên tục trên 4;4 . Biết rằng
f x dx 2 và
2
1
4
I f x dx .
0
A. I 10.
B. I 6.
Lời giải. Do f x là hàm lẻ nên f x f x .
C. I 6.
x 2 t 2
.
Xét A f x dx 2. Đặt t x
dt dx . Đổi cận:
0
x 0 t 0
2
0
2
2
Khi đó A f t dt f t dt f x dx.
2
0
0
11
D. I 10.
f 2 x dx 4. Tính tích phân
x 1 u 2
.
Xét B f 2 x dx f 2 x dx. Đặt u 2 x
du 2dx . Đổi cận:
2
2
1
x 2 u 4
1
4
Khi đó B
4
4
1
1
f u du f x dx
f x dx 2 B 2.4 8.
2 2
2 2
2
4
2
4
Vậy I f x dx f x dx f x dx 2 8 6. Chọn B.
0
0
2
2
Câu 37. Cho hàm số f x là hàm số chẵn, liên tục trên 1;6 . Biết rằng
3
f x dx 8 và
1
f 2 x dx 3. Tính tích phân
1
6
I f x dx .
1
A. I 2.
B. I 5.
Lời giải. Vì f x là hàm số chẵn nên
C. I 11.
3
3
f 2 x dx f 2 x dx 3.
1
1
D. I 14.
x 1 t 2
.
Xét K f 2 x dx 3. Đặt t 2 x
dt 2dx . Đổi cận:
3
x 3 t 6
1
6
Khi đó K
6
6
1
1
f t dt f x dx
f x dx 2 K 6.
2 2
2 2
2
6
2
6
Vậy I f x dx f x dx f x dx 8 6 14. Chọn D.
1
1
2
7
Câu 38. Cho hàm số f x liên tục trên 3;7 , thỏa mãn f x f 10 x với mọi x 3;7 và
f x dx 4. Tính tích phân
3
7
I xf x dx .
3
A. I 20.
B. I 40.
C. I 60.
x
7t 3
.
Lời giải. Đặt t 3 7 x
dt dx . Đổi cận
x
3 t 7
3
7
D. I 80.
7
Khi đó I 10 t f 10 t dt 10 t f 10 t dt 10 x f 10 x dx
7
3
f x f 10 x 7
7
3
3
10 x f x dx 10
3
7
7
f x dx xf x dx 10 f x dx I .
3
3
7
I 20. Chọn A.
Suy ra 2 I 10 f x dx 10.4 40
3
Câu 39. Cho hàm số y f x là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn ; , thỏa mãn
f x dx 2018. Giá trị của tích phân
0
I
f x
2018 x 1
dx bằng
A. I 0.
B. I
1
.
2018
C. I 2018.
D. I 4036.
x t
.
Lời giải. Đặt x t
dx dt . Đổi cận
Khi đó I
x t
f t
f t
2018t f t
2018 x f x
dt
dt
dt
dx .
t
t
t
2018 1
2018 1
1 2018
1 2018 x
2018 x f x
dx .
2018 x 1
Vì y f x là hàm số chẵn trên đoạn ; nên f x f x
I
f x
2018 x f x
dx
dx f x dx 2 f x dx 2.2018 I 2018. Chọn C.
x
2018 1
2018 x 1
0
Vậy 2 I
Câu 40. Biết
sin
x sin 2018 x
a
với a, b . Tính P 2a b.
dx
2018
x cos x
b
2018
0
A. P 6.
B. P 8.
Lời giải. Gọi I
0
C. P 10.
x sin 2018 x
dx
2018
sin x cos2018 x
12
D. P 12.
x 0 t
.
Đặt t x
dt dx . Đổi cận
x t 0
0
Khi đó I
t sin t
t sin 2018 t
x sin 2018 x
d
t
d
t
sin2018 t cos2018 t
sin 2018 x cos2018 x dx.
sin 2018 t cos2018 t
0
0
2018
x sin 2018 x
x sin 2018 x
sin 2018 x
d
x
dx
dx
2018
2018
2018
2018
2018
sin x cos x
sin x cos x
sin x cos2018 x
0
0
Suy ra 2 I
0
2
sin 2018 x
sin 2018 x
sin 2018 x
I
dx
dx
dx .
2018
2018
2 0 sin 2018 x cos 2018 x
2 0 sin 2018 x cos 2018 x
sin
x
cos
x
2
Đặt x u ta suy ra
2
2
2
sin 2018 x
cos2018 u
cos2018 x
dx
du
dx.
2018
2018
2018
2018
2018
sin x cos x
sin u cos u
sin x cos2018 x
0
2
2
Vậy I
a 2
2
dx
P 8. Chọn B.
2 0
4
b 4
Vấn đề 7. Kỹ thuật phương trình hàm
2
Câu 41. Cho hàm số y f x liên tục trên ; và thỏa mãn 2 f x f x cos x . Tính tích phân I f x dx .
2 2
3
2
A. I 2.
B. I .
C. I .
2
3
Lời giải. Từ giả thiết, thay x bằng x ta được 2 f x f x cos x.
2
D. I 2.
2 f x f x cos x
4 f x 2 f x 2 cos x
1
f x cos x .
Do đó ta có hệ
3
2 f x f x cos x
f x 2 f x cos x
2
2
1
1
f x dx cos xdx sin x
3
3
Khi đó I
2
2
2
2
. Chọn B.
3
2
Câu 42. Cho hàm số y f x liên tục trên 2;2 và thỏa mãn 2 f x 3 f x
A. I
.
10
B. I
.
20
C. I
.
20
2
1
. Tính tích phân I f x dx .
4 x2
2
D. I
.
10
1
.
4 x2
1
2
2 f x 3 f x
4 f x 6 f x
2
1
4x
4 x2
Do đó ta có hệ
f x
.
1
3
5 4 x 2
2
f
x
3
f
x
9
f
x
6
f
x
4 x2
4 x2
Lời giải. Từ giả thiết, thay x bằng x ta được 2 f x 3 f x
2
Khi đó I f x dx
2
2
1
1
dx . Chọn C.
2
5
4
x
20
2
1
Câu 43. Cho hàm số y f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn x 2 f x f 1 x 2 x x 4 . Tính tích phân I f x dx .
0
1
A. I .
2
3
B. I .
5
2
C. I .
3
4
D. I .
3
Lời giải. Từ giả thiết, thay x bằng 1 x ta được 1 x f 1 x f x 2 1 x 1 x
2
4
x 2 2 x 1 f 1 x f x 1 2 x 6 x 2 4 x 3 x 4 .
1
f 1 x 2 x x 4 x 2 f x . Thay vào 1 ta được
Ta có x 2 f x f 1 x 2 x x 4
x 2 2 x 1 2 x x 4 x 2 f x f x 1 2 x 6 x 2 4 x 3 x 4
1 x 2 2 x 3 x 4 f x x 6 2 x 5 2 x 3 2 x 2 1
13
1 x 2 2 x 3 x 4 f x 1 x 2 1 x 2 2 x 3 x 4
f x 1 x 2 .
1 1 2
Vậy I f x dx 1 x 2 dx x x 3 . Chọn C.
3 0 3
0
0
1
1
1
Câu 44. Cho hàm số f x liên tục trên ;2 và thỏa mãn f x 2 f
2
2
f x
1
3 x. Tính tích phân I
x dx .
x
1
2
1
A. I .
2
3
5
7
B. I .
C. I .
D. I .
2
2
2
1
3
1
Lời giải. Từ giả thiết, thay x bằng
ta được f 2 f x .
x
x
x
1
1
f x 2 f 3 x
f x 2 f 3 x
x
x
2
Do đó ta có hệ
f x x.
x
1
3
1
6
f 2 f x
4 f x 2 f
x
x x
x
2
2
f x
2
2
2 3
dx 2 1 dx x 1 . Chọn B.
Khi đó I
x
x
2 2
x
1
1
2
2
1
f x 3x 2 f
Cách khác. Từ f x 2 f 3 x
x
2
Khi đó I
1
2
2
f x
dx 3 2
x
1
2
1
.
x
1
1
f
2
2 f
x
x
dx .
dx 3 dx 2
x
x
1
1
2
2
1
f
x
1
1
1
dx . Đặt t , suy ra dt 2 dx t 2 dx
dx 2 dt .
x
x
x
t
2
Xét J
1
2
1
1
x t 2
2
2
2
f t
f x
1
2
Đổi cận:
dt
dx I .
. Khi đó J tf t 2 dt
t
1
t
x
1
1
2
x 2t
2
2
2
2
2
2
2
3
I dx .
Vậy I 3 dx 2 I
2
1
1
1
Câu 45. Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn 2 f x 3 f 1 x 1 x 2 . Tính tích phân I f x dx .
0
A.
.
20
B.
.
16
D. .
4
C. .
6
Lời giải. Từ giả thiết, thay x bằng 1 x ta được 2 f 1 x 3 f x 2 x x 2 .
2 f x 3 f 1 x 1 x 2
4 f x 6 f 1 x 2 1 x 2
Do đó ta có hệ
2
2
2 f 1 x 3 f x 2 x x
9 f x 6 f 1 x 3 2 x x
f x
1
Vậy I
3 2 x x 2 2 1 x 2
.
5
1
3 2 x x 2 2 1 x 2 dx . Chọn A.
5 0
20
Cách khác. Từ 2 f x 3 f 1 x 1 x 2
f x
1
Khi đó I f x dx
0
1
2
1 x 3 f 1 x .
2
1
1
1
2
1
x
d
x
3
f 1 x dx .
2 0
0
14
1
dt dx.
Xét J f 1 x dx . Đặt t 1 x
0
0
1
1
x 0 t 1
Đổi cận:
. Khi đó J f t dt f t dt f x dx I .
x 1 t 0
1
0
0
1
1
1
1
I 1 x 2 dx .
Vậy I 1 x 2 dx 3I
2 0
5
20
0
Vấn đề 8. Kỹ thuật biến đổi
Câu 46. Cho hàm số f x thỏa f x f x 3x 5 6 x 2 . Biết rằng f 0 2, tính f 2 2.
A. f
2
2 64.
Lời giải. Từ giả thiết ta có
B. f
2 81.
2
C. f
2
2 100.
f 2 x
f x . f x dx 3x 5 6 x 2 dx
2
D. f
2
2 144.
6
x
2x 3 C.
2
f 0
C C 2.
2
f 2 2 26 4.23 4 100. Chọn C.
Suy ra f 2 x x 6 4 x 3 4
2
Thay x 0 vào hai vế, ta được
Câu 47. Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x liên tục và nhận giá trị không âm trên 1; , thỏa f 1 0,
e 2 f x . f x 4 x 2 4 x 1 với mọi x 1; . Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
A. 1 f 4 0.
B. 0 f 4 1.
C. 1 f 4 2.
D. 2 f 4 3.
Lời giải. Từ giả thiết suy ra e f x f x 2 x 1 (do f ' x không âm trên 1; )
e f x f x dx 2 x 1 dx e f x x 2 x C .
Thay x 1 vào hai vế, ta được e f 1 12 1 C C 1.
Suy ra e f x x 2 x 1 f x ln x 2 x 1 f x
2 x 1
7
f 4 . Chọn B.
x 2 x 1
13
Câu 48. Cho hàm số f x thỏa mãn f x f x . f x 15 x 4 12 x với mọi x và f 0 f 0 1. Giá trị của
f 2 1 bằng
2
A.
5
.
2
B.
9
.
2
C. 8.
D. 10.
Lời giải. Nhận thấy được f x f x . f x f x . f x .
2
Do đó giả thiết tương đương với f x . f x 15 x 4 12 x .
f 0 f 0 1.
Suy ra f x . f x 15 x 4 12 x dx 3x 5 6 x 2 C
C 1
f x . f x 3x 5 6 x 2 1
f x . f x dx 3 x 5 6 x 2 1 dx
f 2 x
2
x6
2 x 3 x C '.
2
f 0
1
C ' C ' .
2
2
2
6
3
2
Vậy f x x 4 x 2 x 1
f 1 8. Chọn C.
2
Thay x 0 vào hai vế ta được
Câu 49. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;2 và thỏa mãn f x 0, x 1;2 . Biết rằng
2
1
2
1
f x
dx ln 2. Tính f 2.
f x
A. f 2 20.
2
Lời giải. Ta có
1
B. f 2 10.
C. f 2 10.
2
f x dx 10 f x 10 f 2 f 1 10.
1
15
D. f 2 20.
1
f x dx 10 và
f x
dx ln 2 ln f x
f x
2
Lại có
1
ln f 2 ln f 1 ln 2 ln
2
1
2
ln 2 ln f x
ln 2 (do f x 0, x 1;2 )
1
f 2
f 2
ln 2
2.
f 1
f 1
2
Từ 1 và 2 , suy ra f 2 20. Chọn B.
Câu 50. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;1 , thỏa mãn f x 0, x và f ' x 2 f x 0 . Biết rằng
f 1 1 , giá trị của f 1 bằng
A. e 2 .
C. e 4 .
D. 3.
f 'x
2 (do f x 0 )
Lời giải. Ta có f ' x 2 f x 0 f ' x 2 f x
f x
f ' x
f x
B. e 3 .
dx 2dx ln f x 2 x C (do f x 0 ).
f x e 2 x 2
f 1 e 4 . Chọn C.
Mà f 1 1 C 2 ln f x 2 x 2
Câu 51. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên đồng thời thỏa mãn
f
f
f
x 0, x
' x e x f 2 x , x .
0
1
2
Tính giá trị của f ln 2.
1
A. f ln 2 .
4
1
B. f ln 2 .
3
1
C. f ln 2 ln 2 .
2
1
D. f ln 2 ln 2 2 .
2
Lời giải. Ta có f ' x e x f
2
x
f 'x
f 2 x
e x (do f x 0 )
f 'x
1
1
dx e x dx
e x C f x x
.
f 2 x
f x
e C
1
f 0
1
2
C 1.
0
e C
1
1
1
1
Vậy f x x
f ln 2 ln 2
. Chọn B.
e 1
e 1 2 1 3
Câu 52. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; , biết f ' x 2 x 3 f 2 x 0, f x 0 với mọi x 0 và
Thay x 0 ta được f 0
1
f 1 . Tính P 1 f 1 f 2 ... f 2018.
6
1009
2019
3029
4039
A. P
B. P
C. P
D. P
.
.
.
.
2020
2020
2020
2020
f 'x
2 x 3 (do f x 0 )
Lời giải. Ta có f ' x 2 x 3 f 2 x 0 2
f x
f 'x
f x
2
dx 2 x 3 dx
1
1
x 2 3 x C
f x 2
.
f x
x 3x C
1
1
1
1
1
1
2
C 2
f x 2
.
6
6 1 3.1 C
x 3x 2 x 1 x 2
1 1 1 1
1
1 3029
. Chọn C.
Suy ra P 1 ...
2019 2020 2020
2 3 3 4
Mà f 1
Câu 53. Cho hàm số f x liên tục trên 0; 3 , thỏa mãn f x 1, f 0 0 và f x x 2 1 2 x f x 1. Giá trị của
f
3 bằng
A. 0.
B. 3.
C. 7.
D. 9.
16
f x
Lời giải. Từ giả thiết suy ra
2
f x
2 f x 1
f x 1
x 2 1
2x
x 1
2
f x
f x 1
dx
2x
x 2 1
dx
/
dx 2
2 x 2 1
dx 2 f x 1 2 x 2 1 C
Mà f 0 0 C 0 f x x 2
f
3 3. Chọn B.
Câu 54. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 1;4 , đồng biến trên 1;4 , thoản mãn x 2 xf x f x với mọi
2
4
3
x 1;4 . Biết rằng f 1 , tính tích phân I f x dx .
2
1
1186
1187
1188
B. I
C. I
.
.
.
45
45
45
Lời giải. Nhận xét: Do f x đồng biến trên 1;4 nên f ' x 0, x 1;4 .
A. I
9
D. I .
2
f ' x x . 1 2 f x , x 1;4
Từ giả thiết ta có x 1 2 f x f x
2 f x
2 f x
2
x
dx x dx 1 2 f x x x C .
3
2 1 2 f x
2 1 2 f x
2
2
x x 4 1
3
3
4
2
8
7
3
f x
x3 x x
Mà f 1 C
2
3
2
9
9
18
2
4
f x dx
1
1186
. Chọn A.
45
Câu 55. Cho hàm số f x liên tục, không âm trên 0; , thỏa f x . f ' x cos x 1 f 2 x với mọi x 0; và
2
2
f 0 3. Giá trị của f bằng
2
A. 0.
D. 2 2.
C. 2.
cos x , x 0;
Lời giải. Từ giả thiết ta có
2
2
2 1 f x
B. 1.
2 f x . f x
2 f x . f x
dx cos xdx 1 f 2 x sin x C .
2 1 f 2 x
f x
Mà f 0 3 C 2
2
2
sin x 2 1 sin 2 x 4 sin x 3, x 0;
f 2 2. Chọn D.
2
Câu 56. Cho hàm số f x liên tục, không âm trên 0;3, thỏa f x . f x 2 x f 2 x 1 với mọi x 0;3 và f 0 0. Giá
trị của f 3 bằng
A. 0.
Lời giải. Từ giả thiết ta có
B. 1.
2 f x . f x
2 1 f 2 x
C.
3.
D. 3 11.
2 x , x 0;3
2 f x . f x
dx 2 xdx 1 f 2 x x 2 C .
2 1 f 2 x
Mà f 0 0 C 1
f x
x 2 1
2
1 x 4 2 x 2 , x 0;3
f 3 3 11. Chọn D.
17
f x có đạo hàm không âm trên 0;1, thỏa mãn
Câu 57. Cho hàm số
f x 0 với mọi x 0;1 và
f x . f ' x . x 1 1 f x . Biết f 0 2, hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.
3
5
5
7
A. f 1 2.
B. 2 f 1 .
C. f 1 3.
D. 3 f 1 .
2
2
2
2
2
f x . f ' x
2
3
1
Lời giải. Từ giả thiết ta có f x . f ' x . x 2 1 1 f x
3
2
x 1
1 f x
4
1
0
2
3
2
1
f x . f ' x
dx
3
0
1 f x
2
3
2
1 f x
3
1
ln x x 2 1
0
1 d 1 f x
1
2
dx
3 0 2 1 f x 3
x 2 1
0
1
1
3
1
x 2 1
dx
f 1 2,605. Chọn C.
f 0 2
0
Câu 58. Cho hàm số f x liên tục trên \ 0; 1, thỏa mãn x x 1. f x f x x 2 x với mọi x \ 0; 1 và
f 1 2 ln 2. Biết f 2 a b ln 3 với a, b , tính P a 2 b 2 .
1
A. P .
2
3
13
9
B. P .
C. P .
D. P .
4
4
2
x
1
x
f x
f x
, x \ 0;1.
Lời giải. Từ giả thiết ta có
2
x 1
x 1
x 1
x
1
x
. Do đó giả thiết tương đương với
f x
f x f x .
2
x 1
x 1
x 1
Nhận thấy
x
x
f x .
, x \ 0; 1.
x 1
x 1
Suy ra f x .
x
x
dx x ln x 1 C .
dx 1
x 1
x 1
x 1
Mà f 1 2 ln 2 C 1
f x .
x
x ln x 1 1.
x 1
3
a
2
3 3
2 P 9 . Chọn D.
Cho x 2 ta được f 2. 2 ln 3 1 f 2 ln 3
3
3
2 2
2
b
2
2
f x f x
Câu 59. Cho hàm số f x có đạo hàm xác định, liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 0 1 và
với mọi
f x 0
x 0;1. Đặt P f 1 f 0 , khẳng định nào sau đây đúng?
A. 2 P 1.
B. 1 P 0.
C. 0 P 1.
D. 1 P 2.
1
Lời giải. Nhận thấy P f 1 f 0 f x dx nên ta cần tìm f x .
0
Từ giả thiết ta có
f x
f x
1
f x
dx 1dx
f x
1
Mà f 0 1 C 1
f x
.
x 1
1
2
1
Vậy P f x dx
0
0
2
1
1
x C f x
.
f x
x C
1
dx ln 2 0, 69. Chọn B.
x 1
Câu 60. Cho hai hàm số f x và g x có đạo hàm liên tục trên 0;2, thỏa mãn f ' 0. f ' 2 0 và g x . f ' x x x 2 e x .
2
Tính tích phân I f x . g ' x dx .
0
A. I 4.
B. I 4.
C. I e 2.
f
'
0
0
Lời giải. Từ giả thiết f ' 0. f ' 2 0
.
f ' 2 0
18
D. I 2 e.
2 2 2 e x
g
2
0
f ' 2
Do đó từ g x . f ' x x x 2 e x , suy ra
.
0 0 2 e x
g 0
0
f ' 0
2
2
Tích phân từng phần ta được I f x . g x g x . f x dx
0
0
2
2
f 2. g 2 f 0 . g 0 x x 2 e x dx x x 2 e x dx 4. Chọn B.
0
0
Câu 61. Cho hàm số f x 0 xác định và có đạo hàm trên đoạn 0;1, thỏa mãn
x
g
x
1
2018
f t dt . Tính
0
2
g
x
f
x
1
I
g x dx .
0
A. I
1009
.
2
C. I
B. I 505.
1011
.
2
D. I
2019
.
2
g ' x 2018 f x
2018 f x 2 f ' x . f x
Lời giải. Từ giả thiết, ta có
g ' x 2 f ' x . f x
f x 0 loaïi
2 f x 1009 f ' x 0
.
f x 1009 x C
f ' x 1009
x
Thay ngược lại, ta được 1 2018 1009t C dt 1009 x C
2
0
1009 2
x
2
1 2018
t Ct 1009 x C C 2 1.
2
0
Suy ra f x 1009 x 1 hoặc f x 1009 x 1 (loại vì f x 0 x 0;1 ).
1
Khi đó I
1
1
g x dx f x dx 1009 x 1 dx
0
0
0
1011
. Chọn C.
2
f 1 g 1 4
Câu 62. Cho hai hàm f x và g x có đạo hàm trên 1;4 , thỏa mãn g x xf x với mọi x 1;4 . Tính tích phân
f x xg x
4
I f x g x dx .
1
A. I 3 ln 2.
B. I 4 ln 2.
C. I 6 ln 2.
Lời giải. Từ giả thiết ta có f x g x x. f x x. g x
D. I 8 ln 2.
f x x . f x g x x . g x 0 x . f x x. g x 0
C
x. f x x. g x C f x g x .
x
4
4
4
Mà f 1 g 1 4 C 4
I f x g x dx dx 8 ln 2. Chọn A.
x
1
1
Câu 63. Cho hai hàm f x và g x có đạo hàm trên 1;2, thỏa mãn f 1 g 1 0 và
2
Tính tích phân I
1
x
g x 2017 x x 1 f x
2
x 1
, x 1;2 .
3
x
2
g x f x 2018 x
x 1
x
x 1
g x
f x dx .
x 1
x
19
1
A. I .
2
3
C. I .
2
B. I 1.
D. I 2.
x 1
1
g x
f x 2017
x 12
x
Lời giải. Từ giả thiết ta có
, x 1;2 .
x
1
g x 2 f x 2018
x
x 1
Suy ra
1
x 1
2
g x
x 1
x
x 1
x
1
g x
f x 2 f x 1
g x
f x 1
x 1
x
x 1
x
x
x 1
x
g x
f x x C.
x 1
x
2
2
x
x 1
1
Mà f 1 g 1 0 C 1
I
g x
f x dx x 1 dx . Chọn A.
x
1
x
2
1
1
f 3 x . f x 1
1
Câu 64. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 0;3, thỏa mãn
với mọi x 0;3 và f 0 . Tính tích
2
f
x
1
3
xf ' x
phân I
dx .
2 2
0 1 f 3 x . f x
1
3
5
A. I .
B. I 1.
C. I .
D. I .
2
2
2
f
3
x
.
f
x
1
x 3
Lời giải. Từ giả thiết
f 3 2.
1
f 0
2
f 3 x . f x 1
Ta có 1 f 3 x . f 2 x
2
3
Tích phân I
0
3
Tính J
0
xf ' x
1 f x
3
dx
2
0
1 f x .
3
3
1
x
1
xd
d x 1 J .
1 f x
1 f x 0 0 1 f x
2
0
3
3
t 3 x
1
1
1
1
dx
dt
dt
dx .
1 f x
1 f 3 t
1 f 3 t
1 f 3 x
3
0
0
3
Suy ra 2 J
0
3
1
1
dx
dx
1 f x
1 f 3 x
0
f 3 x . f x 1 3
1
3
1.dx 3 J 2 . Vậy I 2 . Chọn A.
0
Câu 65. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn af b bf a 1 với mọi a, b 0;1. Tính tích phân
1
I f x dx .
0
1
A. I .
2
1
B. I .
4
C. I
.
2
D. I
.
4
Lời giải. Đặt a sin x , b cos x với x 0; .
2
Từ giả thiết, suy ra sin xf cos x cos xf sin x 1
2
2
2
0
0
0
sin xf cos x dx cos xf sin x dx 1dx
.
2
1
0
1
2
t cos x
sin
xf
cos
x
d
x
f
t
d
t
f x dx
1
0
1
0
. Do đó 1 f x dx . Chọn D.
Ta có
4
0
1
1
2
t sin x
cos xf sin x dx f t dt f x dx
0
0
0
Vấn đề 9. Kỹ thuật đạo hàm đúng
20
Câu 66. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thoả mãn 3 f x xf x x 2018 với mọi x 0;1. Tính
1
I f x dx .
0
1
1
1
. B. I
. C. I
.
2018 2021
2019 2020
2019 2021
Lời giải. Từ giả thiết 3 f x xf x x 2018 , nhân hai vế cho x 2 ta được
A. I
D. I
1
.
2018 2019
3 x 2 f x x 3 f x x 2020
x 3 f x x 2020 .
Suy ra x 3 f x x 2020 dx
x 2021
C.
2021
f x
Thay x 0 vào hai vế ta được C 0
Vậy
1
1
f x dx
0
0
x 2018
.
2021
1
1
1
1
1
x 2018 dx
.
x 2019
. Chọn C.
2021
2021 2019
2021
2019
0
Nhận xét: Ý tưởng nhân hai vế cho x 2 là để thu được đạo hàm đúng dạng uv ' u ' v uv '.
Câu 67. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;4 , thỏa mãn f x f x e x 2 x 1 với mọi x 0;4 . Khẳng định
nào sau đây là đúng?
26
A. e 4 f 4 f 0 .
B. e 4 f 4 f 0 3e.
3
C. e 4 f 4 f 0 e 4 1.
D. e 4 f 4 f 0 3.
Lời giải. Nhân hai vế cho e x để thu được đạo hàm đúng, ta được
e x f x e x f ' x 2 x 1 e x f x 2 x 1.
/
Suy ra e x f x
1
2 x 1dx 2 x 1 2 x 1 C .
3
26
. Chọn A.
3
Câu 68. Cho hàm số f x có đạo hàm trên , thỏa mãn f ' x 2018 f x 2018 x 2017 e 2018 x với mọi x và f 0 2018.
Vậy e 4 f 4 f 0
Tính giá trị f 1.
A. f 1 2018e 2018 . B. f 1 2017e 2018 .
C. f 1 2018e 2018 .
D. f 1 2019e 2018 .
Lời giải. Nhân hai vế cho e 2018x để thu được đạo hàm đúng, ta được
f x e 2018 x 2018 f x e 2018 x 2018 x 2017 f x e 2018 x 2018 x 2017 .
Suy ra f x e 2018 x 2018 x 2017 dx x 2018 C .
Thay x 0 vào hai vế ta được C 2018
f x x 2018 2018 e 2018 x .
Vậy f 1 2019e 2018 . Chọn D.
Câu 69. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên , thỏa mãn f x xf x 2 xe x và f 0 2. Tính f 1.
2
1
B. f 1 .
e
A. f 1 e.
2
C. f 1 .
e
2
D. f 1 .
e
x2
Lời giải. Nhân hai vế cho e 2 để thu được đạo hàm đúng, ta được
f x e
Suy ra e
x2
2
f x 2 xe
x2
2
dx 2 e
x2
2
x2
2
f x xe
x2
2
2 xe
C.
Thay x 0 vào hai vế ta được C 0
f x 2 e x .
2
2
Vậy f 1 2e 1 . Chọn D.
e
21
x2
2
x2
x2
e 2 f x 2 xe 2 .
x
Câu 70. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên 0; , thỏa mãn hệ thức f x tan xf x
. Biết rằng
2
cos3 x
3 f f a 3 b ln 3 trong đó a, b . Tính giá trị của biểu thức P a b.
3
6
4
A. P .
9
2
B. P .
9
7
14
C. P .
D. P .
9
9
x
x
Lời giải. Từ giả thiết, ta có cos xf x sin xf x
sin xf x
.
cos 2 x
cos 2 x
x
Suy ra sin xf x
dx x tan x ln cos x C .
cos 2 x
2
3
Với x
f . 3 ln 2
3 f . 3 2 ln 2 2C .
3 3
3
2
3
3
3 1
1
f .
ln 3 ln 2 C
f . 3 ln 3 2 ln 2 2C .
6 6 3
6 9
2
a 5
5
4
3 f f 3 ln 3
P a b . Chọn A.
9
3
6 9
9
b 1
Với x
Suy ra
1
6
2
Vấn đề 10. Kỹ thuật đưa về bình phương loại 1
2
Câu 71. Cho hàm số f x liên tục trên 0; , thỏa
2
f
0
2
2
. Tính tích phân
x 2 2 f x sin x dx
4
2
2
I f x dx .
0
B. I
A. I 0.
2
Lời giải. Ta có
2 sin
0
2
Do đó giả thiết tương đương với
0
f
0
D. I
C. I 1.
.
2
x dx 2 .
4
2
2
2
.
4
2
x 2 2 f x sin x 2 sin 2 x dx 0
4
4
f x 2 sin x dx 0 f x 2 sin x 0, x 0; .
2
4
4
2
2
2
I f x dx 2 sin x dx 0. Chọn A.
Suy ra f x 2 sin x
4
4
0
0
Câu 72. Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 thỏa
1
0
2
f x 2 ln 2
2
dx 2 f x ln x 1 dx . Tích phân I f x dx .
e
0
0
1
e
e
4
A. I ln .
B. I ln .
C. I ln .
4
2
e
Lời giải. Bằng phương pháp tích phân từng phần ta tính được
1
1
D. I ln
2
.
e
1
ln 2 x 1 dx 2 ln 2
0
2
2
2 ln 2 dx .
e 0
e
1
Do đó giả thiết tương đương với
f x ln 1 x dx 0 f x ln 1 x , x 0;1.
2
0
1
Suy ra
1
f x dx ln 1 x dx ln
0
0
4
. Chọn B.
e
Câu 73. Cho hàm số f x có đạo liên tục trên 0;1, f x và f ' x đều nhận giá trị dương trên 0;1 và thỏa mãn f 0 2
1
và
f ' x . f x
0
1
2
1 dx 2
0
1
f ' x . f x dx . Tính I f x dx .
3
0
22
A. I
15
.
4
15
.
2
B. I
C. I
1
Lời giải. Giả thiết tương đương với
17
.
2
D. I
19
.
2
2
f ' x . f x 1 dx 0
0
f ' x . f x 1, x 0;1
f ' x f 2 x 1
f ' x f 2 x dx dx
f 3 x
3
8
f 0 2
x C
C .
3
1
19
Vậy f 3 x 3 x 8
I f x dx . Chọn D.
2
3
0
Câu
Cho
74.
hàm
f x
số
2
1
3 f ' x . f x dx 2
9
0
0
1
1
3
A. I .
2
có
đạo
hàm
dương,
liên
tục
trên
đoạn
0;1 và thỏa mãn
f 0 1,
1
3
f ' x . f x dx . Tính I f x dx .
0
5
B. I .
4
5
C. I .
6
1
1
0
0
2
1
Lời giải. Giả thiết 3 f ' x . f x dx 2
3
1
1
1
0
0
0
7
D. I .
6
f ' x . f x dx
1
2
3 f ' x . f x dx 2 3 f ' x . f x dx dx 0
3 f ' x . f x 1 2 dx 0
0
3 f ' x . f x 1 0, x 0;1
9 f ' x . f x 1
9 f ' x . f 2 x dx dx
2
9.
f 3 x
3
x C
C 3.
f 0 1
1
Vậy f 3 x
3
1
7
x 1
f x dx . Chọn D.
3
6
0
y f x
Câu 75. Cho hàm số
1
có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn
1
f ' x f 2 x 1 dx 2
0
0
3
.
2
A.
f ' x f x dx . Giá trị của tích phân
f 1 f 0 1 và
f x
3
dx bằng
0
B.
5 33 27
.
18
1
Lời giải. Nhóm hằng đẳng thức ta có
1
1
0
0
C.
5 33
.
18
D.
5 33 54
.
18
1
f ' x f 2 x 1 dx 2
0
0
f ' x f 2 x f ' x dx 2
1
0;1, thỏa
1
f ' x f x dx
f ' x f x dx 0
1
2
f ' x f x 1 dx f ' x 1 dx 0
0
0
0 vi f 1 f 01
f ' x . f x 1, x 0;1
f ' x f 2 x 1
f ' x f 2 x dx dx
f 3 x
3
x C
f 3 x 3 x 3C
C
f 1 f 0 1
5 33 27
.
54
1
Vậy f 3 x 3 x
3
5 33 27
5 33
f x dx
. Chọn C.
18
18
0
Vấn đề 11. Kỹ thuật đưa về bình phương loại 2
Kỹ thuật Holder
1
Câu 76. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;1, thỏa mãn
0
1
phân
f x
3
dx bằng
0
23
1
f x dx xf x dx 1 và
0
1
f x
0
2
dx 4 . Giá trị của tích
A. 1.
B. 8.
C. 10.
D. 80.
Lời giải. Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là f x , xf x , f x nên ta sẽ liên kết với bình phương f x x .
2
2
1
Với mỗi số thực , ta có
1
1
1
0
0
f x x dx f x dx 2 x f x dx x 2 dx
2
2
0
0
2
4 2
2 .
3
1
Ta cần tìm , sao cho
f x x
2
dx 0 hay 4 2
0
2
2 0
3
3 6 3 6 12 0. Để tồn tại thì 3 6 4 3 2 6 12 0
2
2
2
3 2 12 12 0 3 2 0 2
6.
2
1
f x 6 x 2
Vậy
1
2
dx 0
f x 6 x 2, x 0;1
f x dx 10. Chọn C.
3
0
0
Câu 77. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;1, thỏa mãn
1
1
xf x dx
0
0
1
x f x dx 1 và
f x
2
dx 5. Giá trị của tích
0
1
phân
f x
3
dx bằng
0
A.
5
.
6
B.
6
.
5
C. 8.
D. 10.
Lời giải. Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là f x , xf x ,
2
x f x nên ta sẽ liên kết với bình phương
1
f x x x .
Với mỗi số thực , ta có
2
1
f x x
0
1
1
x dx f x dx 2 x x f x dx x x
2
2
0
0
dx
2
0
2 4 2
5 2
.
3
5
2
1
Ta cần tìm , sao cho
f x x
0
2
2 4 2
0.
x dx 0 hay 5 2
3
5
2
Tương tự như bài trước, ta tìm được 15, 10.
1
f x 15x 10
Vậy
0
1
2
3
5
x dx 0
f x 15 x 10 x , x 0;1
f x dx . Chọn A.
6
0
Câu 78. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;1, thỏa mãn
1
1
xf 2 x dx x 2 f x dx
0
0
1
. Giá trị của tích phân
16
1
f x dx
0
bằng
A.
1
.
5
B.
1
.
4
C.
1
.
3
D.
2
.
5
2
2
Lời giải. Hàm bình phương không như thông thường là f x hoặc f ' x .
x f x , x 2 f x
2
Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là
nên ta sẽ liên kết với bình phương
2
x f x ??? xf 2 x 2 ??? x f x ???2 . So sánh ta thấy được ??? x x .
2
1
x f x x x dx x x dx 1 0.
2
2
16
0
0
2
1
Do đó giả thiết được viết lại
2
1
Suy ra
x f x
x x
x
1
, x 0;1
f x
f x dx . Chọn B.
2
2
4
0
Câu 79. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;8 và thỏa mãn
2
2
8
2
f x dx 2 f x dx 3
3
1
2
3
1
f x dx
1
38
.
15
8
Tích phân
f x dx bằng
1
A.
8 ln 2
.
27
B.
ln 2
.
27
C.
4
.
3
D.
24
3
.
2
8
Lời giải. Nhận thấy có một tích phân khác cận là
f x dx . Bằng cách đổi biến x t 3 ta thu được tích phân
1
2
2
1
1
3 t 2 f t 3 dt 3 x 2 f x 3 dx .
2
Do đó giả thiết được viết lại
1
2
2
1
1
f x 3 2 dx 2 f x 3 dx 2 x 2 f x 3 dx 38 .
15
*
2
2
Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là f x 3 , f x 3 , x 2 f x 3 nên ta sẽ liên kết với bình phương f x 3 x 2 .
Tương tự như các bài trên ta tìm được 1, 1.
2
2
1
1
2
2
38
Do đó * f x 3 x 2 1 dx 1 x 2 dx 0
15
8
3
f x 3 x 2 1, x 1;2
f x 3 x 2 1, x 1;8
f x dx . Chọn D.
2
1
1
Câu 80. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 1 0 ,
f x
1
2
dx 7 và
0
x
0
2
1
f x dx . Tích
3
1
phân
f x dx bằng
0
A. 1 .
B.
7
.
5
C.
7
.
4
D. 4 .
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là f x , x 2 f x không có mối liên hệ với nhau.
2
1
Dùng tích phân từng phần ta có
1
x
2
f x dx
0
1
x3
1
f x x 3 f ' x dx . Kết hợp với giả thiết f 1 0 , ta suy ra
3
3
0
0
1
x
3
f ' x dx 1.
0
1
2
f x dx 7
2
0
Bây giờ giả thiết được đưa về
. Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là f x , x 3 f ' x nên ta sẽ liên kết với
1
x 3 f ' x dx 1
0
2
3
bình phương f ' x x .
1
Với mỗi số thực ta có
1
1
1
0
0
0
f ' x x 3 dx f ' x 2 dx 2 x 3 f ' x dx 2 x 6 dx
2
0
2 1
2
7 2
7 .
7
7
1
Ta cần tìm sao cho
f ' x x
dx 0 hay 1 72 0 7.
7
3 2
0
1
f ' x 7 x
Vậy
0
C
f 1 0
7
dx 0
f ' x 7 x 3 , x 0;1
f x x 4 C
4
3 2
1
7
7
7
7
f x x 4
f x dx . Chọn B.
4
4
4
5
0
1
Cách 2. Dùng tích phân từng phần ta có
1
x 2 f x dx
0
1
x3
1
f x x 3 f ' x dx . Kết hợp với giả thiết f 1 0 , ta suy ra
3
3 0
0
1
x
3
f ' x dx 1.
0
Theo Holder
1
1
1
2
x7
1 x 3 f ' x dx x 6 dx . f ' x dx
0
7
0
0
2
2
25
1
0
.7 1.
