CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Ngày dạy:

Chuyên đề:
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Thời lượng: 4 buổi
1. Phương pháp phân tích thành tích:
Phân tích vế trái thành dạng tích có chứa các biến, vế phải là một số
Bài 1: Tìm cặp số nguyên x;y thỏa mãn:
a) xy + x + y = 2 ⇔ ( x + 1)( y + 1) = 3 = 1.3 = (−1).(−3)
Kết quả: (0;2), (2;0), (-4;-2), (-2;-4)
b) x - y + xy =3 ⇔ ( y + 1)( x − 1) = 2 = 1.2 = −1.(−2)
Kết quả: (3;0), (2;1), (-1;-2), (0;-3)
c) 2xy - 3y - x - 1 = 0
1 5
⇔ x (2 y − 1) − 3(2 y − 1). = ⇔ 2 x(2 y − 1) − 3(2 y − 1) = 5 ⇔ (2 y − 1)(2 x − 3) = 5
2 2

Kết quả:
d)

(4;1), (2;3), (-1;0), (1;-2)

1 1
1
1
+ +
=
x y 6 xy 6

Hướng dẫn giải
Đặt điều kiên sau đó đưa về phương trình ước số Tìm được hai nghiệm (43; 7); (7; 43)

Bài 2. Tìm các cặp số nguyên x;y thỏa mãn :
a) 2 xy + x + y = 21

(Năm học 2011-2012 )

Giải : Nhân hai vế với 2, ta được:
⇔ 4xy + 2x + 2y +1 = 43 ⇔ (2x + 1).(2y + 1)= 1.43 = -1.(-43)
Kết quả:

(0;21), (21;0), (-1;-22), (-22;-1)

Cách khác : Ta có thể biến đổi một cách tự nhiên hơn, như sau:
1 1
2 xy + x + y = 21 ⇔ x (2 y + 1) + (2 y + 1). − = 21
2 2
⇔ 2 x (2 y + 1) + (2 y + 1) = 43 ⇔ (2 x + 1)(2 y + 1) = 43

b) 2xy - 3y - x - 1 = 0
Giải:
1 5
⇔ x (2 y − 1) − 3(2 y − 1). = ⇔ 2 x(2 y − 1) − 3(2 y − 1) = 5 ⇔ (2 y − 1)(2 x − 3) = 5
2 2

Kết quả:
(4;1), (2;3), (-1;0), (1;-2)
c) xy +x - 2y = 3
1

Bài 3.
* Chú ý quan trọng:
Trong phương trình nghiệm nguyên, khi có 1 biến nào đó có số mũ không đổi ta đặt biến
đó làm nhân tử chung rồi xử lí phần còn lại.
a) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: x 2 − xy − 5 y − 24 = 0 .
(Năm học 2013- 2014 Thị xã Hoàng mai )
Giải bằng : PP phân tích thành tích
x 2 − xy − 5 y − 24 = 0 ⇔ − y ( x + 5) + x 2 − 25 − 1 = 0
⇔ − y ( x + 5) + ( x + 5)( x − 5) = 1 ⇔ ( x + 5)( x − y − 5) = 1

b) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn : x 2 − xy + 3 y − 16 = 0
x 2 − xy + 3 y − 16 = 0 ⇔ ( x − 3)( x − y + 3) = 7

c) Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:

x 2 + xy + x + 2 y = 4

x 2 + xy + x + 2 y = 4 ⇔ ( x + 2)( x + y − 1) = 2

Bài 4.
a) Tìm các cặp số nguyên ( x ; y) thoả mãn phương trình: .2x2-2xy = 5x+y-19
(Năm học 2006-2007)
2x2 - 2xy = 5x+y-19 ⇔ 2x2 - 2xy - 5x - y+19 = 0
⇔ -y(2x+1) + 2x - 5x + 19 = 0
⇔ -y(2x+1) + (2x+x) - 6x - 3 + 22 = 0
⇔ -y(2x+1) + x(2x+1) - 3(2x + 1) = 0- 22
⇔ (2x+1)(x-y-3) = -22
* Chú ý: vận dụng tính chất lẻ của 2x+1 để loại bớt trường hợp.
Kết quả: (0;19), (-1;-26)
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x - xy + 4x - 2y - 2= 0

⇔ (2x - y).(x + 2) = 2
Kết quả: (0;-1), (-1;-4), (-3;-3), (-2;-2)
c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x - x - xy + y + x = 6
⇔ (x - y +1).(x - 1) = 6
Kết quả: (2;0), (6;36), (0;6), (-4;18)
2


Bài 5. (Bài khó)
a)

Tìm cặp số nguyên dương x,y thoả mãn p/t: x2y+2xy - 81x +y = 0
(Năm học 2009-2010)
Giải:
⇔ y ( x +1) 2 − 81x = 0
⇔ y ( x +1) 2 − 81( x +1) = −81
⇔ ( x +1)( xy + y − 81) = −81 = −81.1 = −1.81 = −3.27 = −27.3 = −9.9

Do x+1>0 nên chỉ xẩy ra một trong các trường hợp sau:
- Với

- Với
- Với
- Với

 x = 80
 x + 1 = 81

⇔
80 (Loại)


 xy + y − 81 = −1  y =
81

 x = 26
 x + 1 = 27

⇔
78 (Loại)

 xy + y − 81 = −3  y =
27

x +1 = 3
x = 2
⇔

(Thỏa mãn)
 xy + y − 81 = −27
 y = 18
x +1 = 9
x = 8
⇔

(Thỏa mãn)
 xy + y − 81 = −9
y = 8

Vậy, phương trình chỉ có hai nghiệm: (2;18), (8;8)
− x 2 y + x + 2 y − xy = 15

⇔ − y ( x 2 + x − 2) + x = 15 ⇔ − y ( x − 1)( x + 2) + x + 2 = 17
⇔ ( x + 2)(1 + y − xy ) = 17 = 1.17 = −1.(−17)

b) Tìm cặp số tự nhiên x,y trong phương trình:

Vì x+2> 0 nên chỉ xảy ra một trong hai trường hợp sau:
x + 2 = 1
 x = −1
⇔
(Loại)
1 + y − xy = 17
y = 8
 x + 2 = 17
 x = 15
⇔
Với 
(Thỏa mãn)
1 + y − xy = 1  y = 0

- Với 
-

Bài 6. Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: x 2 − xy − 5 y − 24 = 0 .
(Năm học 2013- 2014 Thị xã Hoàng mai )
Giải bằng : PP phân tích thành tích
⇔ ( x 2 − 25) − ( xy + 5 y ) = −1 ⇔ ( x + 5)( x − 5) − y ( x + 5) = −1
⇔ ( x + 5)( x − y − 5) = −1 = −1.1 = 1.(−1)

3

Bài 7. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0
x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0 ⇔ (x - 4y) - (5xy - 10y) = -1
⇔ (x - 4y) - (5xy - 10y) = -1 ⇔ (x-2y)(x+2y) - 5y(x-2y)=-1
(x-2y)(x-3y)=-1
Bài tập tự luyện:
Bài 1: nghiẹm nguyên của phương trình.
x 2 + 2y2 +3xy –x – y + 3 =0
( x + y ) 2 + y ( x + y ) − ( x + y ) = −3 ⇔ ( x + y )( x + y + y − 1) = −3

Bài 3 nghiệm nguyên của phương trình:
x3 - y3 = xy + 8 (1)

Bài 4 Tìm các nghiệm tự nhiên của phương trình: x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2
1
1
( x + y ) 2 − ( x 2 y 2 + xy ) = 0 ⇔ ( x + y ) 2 − ( xy + ) 2 + = 0
2
4

Nhân 2 vế với 4( phải đưa về pt nguyên) ta được:
4( x + y ) 2 − (2 xy + 1) 2 = − 1 ⇔ (2 x + 2 y − 2 xy − 1)(2 x + 2 y + 2 xy + 1) = − 1 = − 1.1

Kết quả: (0;0) là nghiệm duy nhất.

Bài 5 (khó, tham khảo)
Tìm nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình:
(x2 + 4y2 + 28)2 = 17(x4 + y4 + 14y2 + 49)
Biến đổi tương đương PT đã cho: (*) ⇔ [x2 + 4(y2 + 7)]2 = 17[x4 + (y2 + 7)2]
⇔ x4 + 8x2(y2 + 7) + 16(y2 + 7)2 = 17x4 + 17(y2 + 7)2 ⇔ 16x4 – 8x2(y2 + 7) + (y2 + 7)2 = 0 ⇔

[4x2 – (y2 + 7)]2 = 0 ⇔ 4x2 – y2 – 7 = 0 ⇔ (2x – y)(2x + y) = 7 (1)
Vì x; y ∈ N nên 2x – y ≤ 2x + y và 2x + y ≥ 0, chúng đều có giá trị nguyên nên suy được
 2x + y = 7
⇔

 2x − y = 1

x = 2
. Vậy phương trình có một nghiệm tự nhiên là: (2; 3).

y = 3

Cách khác: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacovski để có:
[1x2 + 4(y2 + 7)]2 ≤ (12 + 42)[x4 + (y2 + 7)2] hay [x2 + 4(y2 + 7)]2 ≤ 17[x4 + (y2 + 7)2], dấu bằng
xảy ra (tức là có PT (*)) khi 4x2 = y2 + 7 ⇔ (2x – y)(2x + y) = 7. Làm tiếp như trên.

4


2. Phương pháp đưa về tổng các lũy thừa:

Bài 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y 2 = 2 + 4 − x 2 − 2 x
(Năm học 2005-2006 )
Giải: y 2 = 2 + 4 − x 2 − 2 x
2
2
 y ≥ 2
 y ≥ 2(1)
⇔ y 2 − 2 = 4 − x2 − 2x ⇔  2
⇔

 2
2
2
2
2
2
2
( y − 2) = 4 − x − 2 x
( y − 2) + ( x + 1) = 5 = 1 + 2 (*)

 y2 ≥ 2
 y2 ≥ 2


⇔  y 2 − 2 = 1 Hoặc  y 2 − 2 = 2


 x + 1 = 2
 x + 1 = 1

Vậy, có các khả năng như sau:
- Với

 y 2 − 2 = 1  y = ± 3
⇔
(Loại)

x +1 = 2
 x = 1

- Với

 y = ± 3
 y2 − 2 = 1
⇔

(Loại)
 x + 1 = −2
 x = −3

- Với

 y2 − 2 = 2
 y = ±2
⇔
(Thỏa mãn)

x = 0
x +1 = 1

- Với

 y 2 − 2 = −2
y = 0
⇔

(Loại, vì không t/m 1)
 x = −2
 x + 1 = −1

Vậy, Phương trình chỉ có hai nghiệm là (0;-2); (0;2)
Bài 2. Tìm hai số tự nhiên x; y biết :
x 2 + 2 y 2 + 2 xy + 2 y = 12

Giải:
( x + y ) 2 + ( y + 1) 2 = 13 = 22 + 32

Từ đó ta xét 2 trường hợp sau:
x + y = 2
x = 0
⇔
 y +1 = 3
y = 2

- Trường hợp 1: 

x + y = 3 x = 2
⇔
 y +1 = 2
y =1

- Trường hợp 2: 

Vậy, có hai cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn đk bài toán là: (0;2) , (2;1)
Bài 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
5


1 + −4 x 2 + 4 x + 16 = y
1 + −4 x 2 + 4 x + 16 = y ⇔ y − 1 = −4 x 2 + 4 x + 16 ⇔

y ≥1
y ≥1
y ≥1
⇔
⇔

2
2
2
2
2
2
2
2
( y − 1) = −4 x + 4 x + 16
( y − 1) + (2 x − 1) = 17
( y − 1) + (2 x − 1) = 1 + 4
y ≥1
y ≥1


⇔  y − 1 = 1 (1) hoặc ⇔  y − 1 = 4 (2)


 2x −1 = 4
 2x −1 = 1

Giải (1) ta xét các trường hợp sau:
y = 2
 y −1 = 1


⇔
- Với 
5 (Loại)
2 x − 1 = 4
 x = 2

y = 0
 y − 1 = −1 
⇔
- Với 
5 (loại)
2 x − 1 = 4
 x = 2

y = 2
 y −1 = 1

⇔
- Với 
3 (Loại)
 2 x − 1 = −4
 x = − 2

y = 0
 y − 1 = −1

⇔
- Với 
3 (Loại)

 2 x − 1 = −4
 x = − 2

Giải (2) ta xét các trường hợp sau:
 y −1 = 4
y = 5
⇔
(Thỏa mãn)
2 x − 1 = 1  x = 1

- Với 

 y −1 = 4
y = 5
⇔
(Thỏa mãn)
 2 x − 1 = −1  x = 0

- Với 

- Với 
- Với 

 y − 1 = −4
 y = −3
⇔
(Loại-vì y≥ 1)
2 x − 1 = 1
x = 1
 y − 1 = −4

 y = −3
⇔
(Loại-vì y≥
 2 x − 1 = −1  x = 0

1)
Vậy, nghiệm của phương trình là: (1;5) và (0;5)
Bài 4. Giải phương trình: x 2 +y 2 +6 y +5 =0 ; với x, y nguyên.
Giải:
x 2 +y 2 +6 y +5 =0 Û x 2 +( y +3) 2 =4 =02 +22
x = 0
 x = ±2
⇔
hoặc 
 y + 3 = ±2
y +3 = 0

Giải ra ta được các cặp số thỏa mãn phương trình là:
(0; -1), (0; -5), (2; -3), (-2; -3).
3. Phương pháp đánh giá chẵn lẻ:
Đánh giá tính chẵn lẻ của hai vế, từ đó tìm nghiệm của phương trình
Bài 1. Tìm cặp số tự nhỉên x, y thoả mãn : 100x + y2 + 3y = 109
6


(Năm học 2010-2011)
Giải bằng : PP chẵn –lẻ : y(y+3) chẵn ⇒ 100x lẻ ⇒ x = 0 …
⇒ y2 + 3y - 108 =0
⇔ 4 y 2 + 12 y − 432 = 0 ⇔ (2 y + 3) 2 − 441 = 0
⇔ (2 y + 3 + 21).(2 y + 3 − 21) = 0 ⇔ y = −12

hoặc y= 6
Vậy, phương trình có hai nghiệm là (0;-12) và (0;6)
Bài 2. Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : 2 x + y 2 + y = 2 x + 1
(Năm học 2012-2013)
Giải bằng : PP chẵn –lẻ ⇔ 2 x + y ( y + 1) = 2 x + 1
VP là số lẻ => VT là số lẻ , mà y(y+1) là số chẵn => 2 x là số lẻ => x = 0
Bài 3.
Hai đội cờ vua của hai trường A và B thi đấu với nhau, mỗi đấu thủ của đội này phải
đấu 1 ván với mỗi đấu thủ của đội kia . Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 2 lần tổng số
đấu thủ của 2 đội và số đấu thủ của một trong hai đội là số lẻ.

Hãy tìm số đấu thủ của mỗi

đội. (Năm học 2002-2003)
Giải bằng : PP chẵn –lẻ hoặc PP phân tích thành tích
Bài 4.
Tìm các cặp số tự nhiên x ; y thoả mãn phương trình : 2x + y2 +y = 111.
(Năm học 2005-2006 )
Giải bằng : PP chẵn -lẻ
4. Phương pháp xét số dư:
Bài 1: Tìm các số tự nhiên x; y thoả mãn
Cách 1: Vì

là số chính phương nên

Và
⇒

+

chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.

chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1 (nếu y = 0)
+

chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2

Mà 257 chia cho 3 dư 2 buộc

chia cho 3 dư 2 ⇔

+

chia cho 3 dư 1
⇒

.

= 1 ⇒ y =0; x= 16
7

chia cho 3 dư 1 và


Cách 2:
Vì 3 = 729 ⇒ y < 6. Lần lượt xét 6 trương hợp của y để tìm x.
Cách 3: Cách giải sai(cần lưu ý với hs)
Vì

là số chính phương nên

Mặt khác:

chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.

chia hết cho 3 nên

+

chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.

Mà 257 chia cho 3 dư 2 nên không tồn tại x; y

để

+

.

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x - 2y = 5 (1)
Để giải bài tập này ta dựa vào nhận xét sau:
Một số chính phương chia cho 5 chỉ có thể hoăc dư 0 hoặc dư 1 hoặc dư 4.
Giải: Ta cho y các khẳ năng sau:
+ y+ 5 ⇒ 2 y + 25 , từ (1) ⇒ x + 25 ⇒ x - 2y + 25 ⇒ 5 + 25 Vô lí.
+ y chia 5 dư 1 hoặc 4 ⇒ y chia cho 5 dư 1 2 y chia cho 5 dư 2
từ (1) ⇒ x chia cho 5 dư 2 ⇒ Vô lí (theo nhậ xét trên)
+ y chia cho 5 dư 2 hoặc 3 ⇒ y chia cho 5 dư 4⇒2 y chia cho 5 dư 3
từ (1) ⇒ x chia cho 5 dư 3 ⇒ Vô lí (theo nhậ xét trên)

Vậy, không có cặp giá trị x; y nguyên nào để x - 2y = 5
Bài 3:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 3(x2-y2 + y) = 28 –y3
Giải: 3x - 3y + 3y = 28- y ⇔ (y-1) + 3x = 27 mà 27+ 3 và 3x + 3
⇒ (y-1) + 3 ⇒ (y-1) + 27 (vì y∈ Z) lại có (y-1) ≤ 27
Do đó (y-1)= 0 hoặc (y-1) = 27 ⇒ y= 1 hoặc y = 4
Với y= 1 ⇒ x= 3 (vì x>0)
Với y= 4 ⇒ x= 0 loại
Vậy, y= 1; x= 3 là cặp số cần tìm.
4. Phương pháp ước lượng giá trị mỗi vế của phương trình:
Ví dụ:
Giải phương trình nghiêm nguyên: 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19
Giải:
2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19 ⇔ 2( x 2 + 2 x) = 19 − 3 y 2
⇔ 2( x + 1) 2 = 21 − 3 y 2

8


Vì 2( x + 1) 2 ≥ 0 ⇒ 21 − 3 y 2 ≥ 0 ⇒ y 2 ≤ 7 ⇒ y ≤ 7
- Nếu y = 0 ⇒ 2( x + 1) 2 = 21 vô nghiệm ( vế phải chẵn - vế trái lẻ)
2
- Nếu y = 1 ⇒ 2( x + 1) = 18 ⇔ x + 1 = ±3 ⇔ x = 2 hoặc x =-4

Ta được các căp số thỏa mãn: (2;-1), (2;1), (-4;-1), (-4;1)
2
- Nếu y = 2 ⇒ 2( x + 1) = 9 vô nghiệm

- Nếu y ≥ 3 loại. Vì y ≤ 7
Vậy,......

Các bài tập tương tự:
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:
a) x - 4x + y = 0
b) x + y + y - 1 =0

⇔ (2y+1) = 5 - 4x

c) x +2y - 2xy = 4

⇔ (x-y) = 4 - y

d) 5x + 4xy + y - 2x = 4 ⇔ (2x+y) = 5 - (x-1)
5. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ. (HSG tỉnh Hung Yên 2017-2018)
Tìm cặp số nguyên thỏa mãn: ( x − 2018) 2 = y 4 − 6 y 3 + 11y 2 − 6 y
Lời giải: ( x − 2018)2 = y 4 − 6 y 3 + 11y 2 − 6 y
Ta có:
y 4 − 6 y 3 + 11 y 2 − 6 y = ( y 4 − 2. y 2 .3 y + 9 y 2 ) + (2 y 2 − 6 y )
= ( y 2 − 3 y ) 2 + 2( y 2 − 3 y )

Đặt a = y 2 − 3 y;(a ∈ Z )
Phương trình đã cho có dạng:
( x − 2018) 2 = a 2 + 2a ⇔ ( x − 2018) 2 − (a + 1) 2 = −1 ⇔ ( x − a − 2019)( x + a − 2017) = −1

Vì x, a là số nguyên nên chỉ xẩy ra một trong các trường hợp:
 x − a − 2019 = 1
 x = 2018
⇔
 x + a − 2017 = −1 a = −2

+

Với a=-2 ⇔ y 2 − 3 y = −2 ⇔ y 2 − 3 y + 2 = 0 ⇔ y = 1 hoặc y=2.
Ta được các cặp số: (2018;1), (2018;2).
 x − a − 2019 = −1  x = 2018
⇔
 x + a − 2017 = 1
a = 0

+

9


Với a=0 ⇔ y 2 − 3 y = 0 ⇔ y = 0 hoặc y=3.
Ta được các cặp số: (2018;0), (2018;3).
Baì tập 1.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2
Hướng dẫn giải
2
2
Phương trình (1)  (x + 3x)(x + 3x + 2) = y2
Đặt a = x2 + 3x (ĐK: a ≥ −2 (*)
Ta có: a2 – 1 = y2 Giải phương trình này bằng cách đưa về phương trình ước số
Thi HSG Tỉnh Nghệ an
Năm học 2009 – 2010
Câu 1. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 5(x 2 + xy + y 2 ) = 7(x + 2y)
Đặt x+2y=5t (t∈ Z). Đưa về pt bậc 2 - buộc phương trình có nghiệm:
Thay vào phương trình ta được: x 2 + xy + y 2 = 7t thay x = 5t-x vào ta co:
25t 2 − 15ty + 3 y 2 = 7t ⇔ 3 y 2 − 15ty + 25t 2 − 7t = 0

V= −75t 2 + 84t = t (−75t + 84)

Phương trình đã cho có nghiệm khi ∆ ≥ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤

84
suy ra t=0 hoặc t = 1.
75

Từ đó tìm được x=y=0 hoặc x=-1;y=3 hoặc x=1; y=2
Bài tập. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19
Cách 1: Sử dụng đk phương trình có nghiệm x
Cách 2: (2x+2) = 42- 6y ≥ 0 ⇒ y=….
Câu 2(4,5đ)
a) Tìm các số nguyên dương x, y khác nhau sao cho: x y = y x .
Giải:
Giả sử 1 ≤ x < y . Chia cả hai vế của PT cho x x ta được: x y − x =

yx
xx

Vì y x Mx x mà x là số nguyên dương nên y Mx . Đặt y = kx (k∈ N , k ≥ 2 )
Theo bài ra ta có x kx = (kx) x ⇔ ( x k ) x = (kx) x ⇔ x k = kx ⇔ x k −1 = k (1)
Ta thấy x ≥ 2 (vì nếu x = 1 thì k = 1 ). Do đó x k −1 ≥ 2k −1

(2)

Từ (1) và (2) suy ra k ≥ 2k −1 nên 2k ≥ 2k

(3)

Dễ thấy k ≥ 3 thì bất đẳng thức (3) không xảy ra. Do đó k = 2.
Thay k = 2 vào (1) ta được x = 2 ⇒ y = 2.2 = 4 .
10


Thử lại x = 2; y = 4 thỏa mãn đề bài. Vì vai trò của x, y như nhau vậy ( x, y )∈ { ( 2; 4 ) , ( 4; 2 ) }
.
Câu 3. (4.0 điểm):
Bài tập sưu tầm:
1) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
xy yz zx
+ +
=3
z
x
y

11