Thuật toán giải một số bài toán tối ưu phân thức tuyến tính và phi tuyến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

LÊ ĐÌNH THẢN

THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU
PHÂN THỨC TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

LÊ ĐÌNH THẢN

THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU
PHÂN THỨC TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS. Trần Vũ Thiệu

THÁI NGUYÊN - 2018


iii

Mục lục
Danh mục các ký hiệu

1

Danh mục các hình vẽ

3

Mở đầu

4

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
7
1.1. HÀM PHÂN THỨC AFIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH . . . . . 9
1.3. CÁCH TIẾP CẬN CHARNES - COOPER . . . . . . . . . 11
1.4. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CỔ ĐIỂN . . . . . . . . . . . . . . 14
2 THUẬT TOÁN CẢI TIẾN GIẢI QUY HOẠCH PHÂN
TUYẾN TÍNH
18
2.1. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT BÀI TOÁN (LP) . . . . 18
2.1.1. Biến đổi (LFP) về bài toán tuyến tính (LP) . . . . 18
2.1.2. Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HAI BÀI TOÁN (LP) . . . . . 25
2.2.1. Cơ sở của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2. Phương pháp hạn chế hàm mục tiêu ở mẫu số . . . 27
2.2.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.4. Bài toán cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 TIẾP CẬN THAM SỐ GIẢI QUY HOẠCH PHÂN THỨC
PHI TUYẾN
32


iv

3.1. THUẬT TOÁN DINKELBACH . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.1. Ký hiệu và kết quả chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.2. Sự hội tụ toàn cục của thuật toán . . . . . . . . . . 34
3.2. THUẬT TOÁN DINKELBACH RÚT GỌN . . . . . . . . 36
3.3. ÁP DỤNG GIẢI QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH . . 39
Kết luận
Tài liệu tham khảo

44
45


1

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
R
Rn

Tập các số thực
Không gian véctơ n chiều

Rn+

Tập các véctơ không âm trong Rn

T
x

Ký hiệu chuyển vị véctơ hay ma trận
Chuẩn Euclid của véctơ x ∈ Rn

|x|
{xk }, {xk }

Giá trị tuyệt đối của x ∈ R
Dãy điểm trong Rn

x, y
[x, y]

Tích vô hướng của hai vectơ x và y
Đoạn thẳng nối x và y trong Rn

x≤y

Véctơ x nhỏ hơn hay bằng véctơ y,
(xi ≤ yi , ∀i = 1, ... , n)

x≥y

Véctơ x lớn hơn hay bằng véctơ y,
(xi ≥ yi , ∀i = 1, ... , n)

x∈X
x∈
/X

x là một phần tử của tập X
x không là phần tử của tập X

int X

Phần trong của tập X

C
∅

Bao đóng của tập C
Tập hợp rỗng

A+B
A∪B

Tổng véctơ của hai tập A và B
Hợp của hai tập A và B

A∩B

A×B

Giao của hai tập A và B
Tích Đề các của hai tập A và B


2

A⊂B

A là tập con của B

A⊆B

(mọi phần tử của A là phần tử của B
A là tập con (có thể bằng) của B

S ⊆ Rn

Tập lồi đa diện trong Rn


3

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Chương 1:
- Hình 1.1. Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 1.1
- Hình 1.2. Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 1.2
Chương 2:
- Hình 2.1. Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 2.1

- Hình 2.2. Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 2.2
- Hình 2.3. Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 2.6
Chương 3:
- Hình 3.1. Sơ đồ khối thuật toán Dinkelbach


4

MỞ ĐẦU
Quy hoạch phân tuyến tính (Linear Fractional Programming, viết
tắt LFP), rộng hơn là quy hoạch phân thức phi tuyến, là một mở rộng
trực tiếp của quy hoạch tuyến tính (Linear Programming, viết tắt LP),
với đối tượng nghiên cứu là các bài toán tìm cực tiểu (cực đại) một hàm
phân tuyến tính (tỉ số hai hàm tuyến tính afin), trên một tập ràng buộc
được xác định bởi các đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính.
Các bài toán quy hoạch phân tuyến tính thường dùng để mô tả
toán học cho nhiều bài toán thực tế với các hàm mục tiêu phân thức,
chẳng hạn: lợi nhuận/chi phí, sản phẩm/số lao động, v.v ... và được ứng
dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của kinh tế, tài chính, kỹ
thuật, v.v...
Quy hoạch phân tuyến tính có nhiều điểm tương đồng với quy
hoạch tuyến tính, cả về lý thuyết lẫn phương pháp giải. Trong một số
trường hợp riêng, bài toán quy hoạch phân tuyến tính trở thành bài toán
quy hoạch tuyến tính và do đó có thể giải theo thuật toán đơn hình quen
thuộc của quy hoạch tuyến tính. Trong trường hợp tổng quát, nhiều tác
giả cũng đã tìm cách đưa việc giải quy hoạch phân tuyến tính về giải
một hay nhiều bài toán quy hoạch tuyến tính.
Luận văn với đề tài "Thuật toán giải một số bài toán tối ưu
phân thức tuyến tính và phi tuyến" nhằm tìm hiểu và trình bày
một số thuật toán mới gần đây, nêu ở các tài liệu tham khảo [5] - [7],

giải quy hoạch phân tuyến tính (nhờ đưa về quy hoạch tuyến tính) và
giải quy hoạch phân thức phi tuyến (theo tiếp cận tham số).


5

Nội dung luận văn được trình bày trong ba chương.
Chương 1. "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại về hàm phân thức
afin và tính chất, bài toán quy hoạch phân tuyến tính, mối liên hệ giữa
quy hoạch phân tuyến tính với quy hoạch tuyến tính và cuối chương giới
thiệu phương pháp tiêu biểu dựa trên thuật toán đơn hình để giải quy
hoạch phân tuyến tính.
Chương 2. "Thuật toán cải tiến giải quy hoạch phân tuyến
tính" trình bày thuật toán cải tiến của M. B. Hasan và S. Acharjee nêu
ở [5] giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính (LFP) bằng cách đưa về
một bài toán quy hoạch tuyến tính (LP) và thuật toán của P. Pandian
và M. Jayalakshmi nêu ở [7] đưa (LFP) về giải hai bài toán (LP).
Chương 3. "Tiếp cận tham số giải quy hoạch phân thức
phi tuyến" trình bày các kết quả nghiên cứu của A. Jeflea nêu ở [6]
về tiếp cận tham số giải bài toán phân thức phi tuyến: Thuật toán
Dinkelbach, thuật toán Dinkelbach rút gọn cho phép giải gần đúng các
bài toán tham số và sự hội tụ của các thuật toán. Áp dụng cách tiếp
cận tham số giải bài toán phân thức tuyến tính (LFP).
Do thời gian có hạn nên luận văn này chủ yếu chỉ dừng lại ở việc
tìm hiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu
đã có theo chủ đề đặt ra. Trong quá trình viết luận văn cũng như trong
soạn thảo văn bản chắc chắn không tránh khỏi có những sai sót nhất
định. Tác giả luận văn rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và
các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS.

Trần Vũ Thiệu, người thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình giúp
đỡ trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả cũng xin chân thành cảm
ơn quý thầy cô trong Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại
học Thái Nguyên và các GS, PGS, TS của Viện Toán học, Viện Công
nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học
tập và nghiên cứu.


6

Thái Nguyên, ngày 21 tháng 4 năm 2018
Tác giả luận văn

Lê Đình Thản


7

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này nhắc lại một số tính chất đáng chú ý của hàm phân
thức afin (tỉ số hai hàm tuyến tính afin), giới thiệu bài toán quy hoạch
phân tuyến tính và thuật toán giải quy hoạch phân tuyến tính, dựa trên
phép biến đổi Charnes - Cooper. Nội dung của chương được tham khảo
chủ yếu từ các tài liệu [3] và [4].

1.1.

HÀM PHÂN THỨC AFIN
Hàm phân thức afin thường gặp trong các bài toán tối ưu. Hàm

này có dạng
p(x) pT x + α
f (x) =
= T
q(x)
q x+β
trong đó p, q ∈ Rn , α, β ∈ R và domf = {x ∈ Rn : q T x + β = 0}.
Ký hiệu S là tập lồi sao cho q T x + β = 0 với mọi x ∈ S. Nếu q(x)
có dấu khác nhau trên S, tức là có x, y ∈ S sao cho q T x + β > 0 và
q T y + β < 0 thì do hàm q(x) liên tục nên tồn tại z ∈ [x, y], tức z ∈ S sao
cho q(z) = 0. Vì thế, không giảm tổng quát, ta có thể giả thiết q(x) > 0
với mọi x ∈ S. Trường hợp q(x) < 0 với mọi x ∈ S thì nhân cả tử số
p(x) với mẫu số q(x) của hàm số f (x) với (−1) sẽ có q(x) > 0 với mọi
x ∈ S.
Định lý sau nêu tính chất đơn điệu theo phương của hàm phân
thức afin.


8

p(x)
là hàm đơn điệu trên mỗi đoạn thẳng nằm
q(x)
trọn trong tập lồi S = {x : q T x + β > 0}.

Định lý 1.1 f (x) =

Chứng minh. Lấy hai điểm tùy ý a, b ∈ S và tính giá trị hàm f tại
điểm x bất kỳ trên đoạn thẳng nối a và b, tức là x = λa + (1 − λ)b với
0 ≤ λ ≤ 1. Ta thấy
f (x) =

p[λa + (1 − λ)b] λp(a) + (1 − λ)p(b)
=
q[λa + (1 − λ)b]
λq(a) + (1 − λ)q(b)

Đạo hàm của f theo λ:
p(a) p(b)
1
df (x)
p(a)q(b) − p(b)q(a)
= 2
×
=
dλ
q (x)
q 2 (x)
q(a) q(b)
Dấu của đạo hàm phụ thuộc dấu của biểu thức [p(a)q(b)−p(b)q(a)].
Vì thế, khi λ thay đổi trong đoạn [0, 1] thì hàm f (x) hoặc tăng hoặc
giảm hoặc đồng nhất bằng hằng số trên [a, b].
Ta nhắc lại rằng hàm khả vi f : Rn → R được gọi là giả lồi nếu
với mọi x, y ∈ S ta có
là nếu f (y) < f (x) thì

f (x)T (y − x) ≥ 0 kéo theo f (y) ≥ f (x), nghĩa

f (x)T (y − x) < 0. Hàm f được gọi là giả lõm

nếu −f là giả lồi.
Định lý sau nêu một tính chất quan trọng khác của hàm phân
thức afin.
pT x + α
và S là tập lồi sao cho q T x+β = 0
T
q x+β
trên S. Khi đó, hàm f (x) vừa giả lồi, vừa giả lõm trên S.
Định lý 1.2 Giả sử f (x) =

Chứng minh. Ta để ý rằng hoặc q T x + β > 0 với mọi x ∈ S hoặc
q T x + β < 0 với mọi x ∈ S, vì nếu trái lại sẽ có a ∈ S, b ∈ S sao cho
q T a + β > 0 và q T b + β < 0, do đó sẽ có q T z + β = 0 với z là một tổ hợp
lồi của a và b, trái với giả thiết định lý.
Trước hết ta chứng minh f giả lồi. Thật vậy, giả sử x, y ∈ S thỏa
mãn

f (x)T (y − x) ≥ 0. Ta cần chỉ rõ f (x) ≥ f (y). Ta có
∇f (x) =
Do

(q T x + β)p − (pT x + α)q
(q T x + β)2

f (x)T (y − x) ≥ 0 và do q T x + β > 0 nên


9

0

[(q T x + β)p − (pT x + α)q]T (y − x)

= (pT y + α)(qT x + β) − (qT y + β)(pT x + α)
Vì thế, (pT y+α)(q T x+β) ≥ (q T y+β)(pT x+α). Nhưng do (q T x+β)
và (q T y + β) cùng dương hoặc cùng âm nên chia cả hai vế cho
(q T x + β)(q T y + β) > 0, ta nhận được
pT x + α
pT y + α
≥ T
, tức là f (y) ≥ f (x).
qT y + β
q x+β
Vì vậy, f giả lồi.
Tương tự, có thể chứng minh được rằng,

f (x)T (y − x) ≤ 0 kéo

theo f (y) ≤ f (x). Vì thế, f giả lõm và định lý được chứng minh.
Từ các định lý trên cho thấy hàm phân thức afin f (x) đạt cực tiểu
(cực đại) trên tập lồi compac khác rỗng tại một điểm cực biên của tập
lồi đó. Nói riêng, f (x) đạt cực tiểu (cực đại) trên đa diện lồi tại một
đỉnh của đa diện đó.

1.2.

BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH

Quy hoạch phân tuyến tính là bài toán tìm cực tiểu (hay cực đại)
của một hàm phân thức afin với các ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng
thức tuyến tính.
Sau đây ta xét bài toán quy hoạch phân tuyến tính, ký hiệu (LFP),
có dạng:
n

(LF P ) :

p(x)
f (x) =
=
q(x)

p j xj + α
j=1
n

→ min (hay max)

(1.1)

qj xj + β
j=1

n

aij xj

với điều kiện:

bi , i = 1, 2, ..., m,

(1.2)

xj ≤ 0, j = 1, 2, ..., n,

(1.3)

j=1


10

Kí hiệu A = (aij )m×n , b = (b1 , ..., bm )T
và S = {x ∈ Rn : Ax b, x 0} được gọi là tập chấp nhận được của
bài toán. Rõ ràng, S là một tập lồi đa diện.
Ta luôn giả thiết rằng q(x) = 0, ∀x ∈ S. Từ đó, do q(x) là hàm
tuyến tính afin nên ta có thể giả thiết q(x) > 0, ∀x ∈ S, bởi vì nếu có
x1 ∈ S với q(x1 ) > 0 và x2 ∈ S với q(x2 ) < 0 thì sẽ tồn tại x3 ∈ [x1 , x2 ] ⊆
S sao cho q(x3 ) = 0, trái với giả thiết q(x) = 0, ∀x ∈ S. Trường hợp,
q(x) < 0, ∀x ∈ S, ta có thể nhân cả tử số p(x) và mẫu số q(x) của hàm
mục tiêu với (- 1) để đưa về trường hợp q(x) > 0, ∀x ∈ S. Hơn nữa, ta
giả thiêt m ≤ n và rank A = m.
• Có thể giải thích ý nghĩa thực tế của bài toán (LFP) như sau:
Giả sử một xí nghiệp có thể dùng m loại vật tư hiện có để sản xuất ra
n loại sản phẩm. Gọi bi là lượng vật tư i (i = 1, ..., m) mà xí nghiệp có
và aij là định mức tiêu hao vật tư i để sản xuất một đơn vị sản phẩm
j (j = 1, ..., n). Mỗi đơn vị sản phẩm j sản xuất ra sẽ cho lợi nhuận là
pj và tốn chi phí sản xuất là qj , α là lợi nhuận cố định thu được và β là

chi phí cố định cần bỏ ra (α, β không phụ thuộc số lượng sản phẩm sản
xuất). Hỏi với số vật tư đã có xí nghiệp nên sản xuất bao nhiêu đơn vị
sản phẩm mỗi loại sao cho hiệu quả sản xuất của xí nghiệp (đo bằng tỉ
số giữa tổng lợi nhuận thu được trên tổng chi phi sản xuất) là lớn nhất?
Bài toán này dẫn đến mô hình quy hoạch phân tuyến tính (LFP) dạng
(1.1) - (1.3).
Quy hoạch tuyến tính là một trường hợp riêng của quy hoạch phân
tuyến tính khi q = 0 và β = 1. Trong [3] phân tích một số trường hợp
riêng khác cho phép đưa bài toán quy hoạch phân tuyến tính về bài toán
tuyến tính thích hợp. Chẳng hạn, nếu p = 0 và α = 1 thì bài toán quy
hoạch phân tuyến tính (1.1) - (1.3) có thể quy về bài toán quy hoạch
tuyến tính
q(x) + β −→ max (hay min) với điều kiện (1.2) - (1.3).
Sau đây là một số khái niệm và định nghĩa cần thiết, tương tự như
trong lý thuyết quy hoạch tuyến tính.


11

Trong bài toán (LFP), f (x) gọi là hàm mục tiêu. Tập S gọi là tập
ràng buộc hay miền chấp nhận được. Véctơ x ∈ S gọi là một phương
án hay nghiệm chấp nhận được, một phương án mà đồng thời là đỉnh
của tập ràng buộc S gọi là một phương án cực biên hay nghiệm cơ
sở. Phương án đạt giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu f (x) gọi là một
phương án tối ưu hay nghiệm tối ưu.
Ta nói bài toán (1.2) là bất khả thi hay không chấp nhận được
nếu tập S = ∅, bài toán gọi là giải được nếu tập S = ∅ và hàm f (x)
có infimum hữu hạn (đối với bài toán min) trên S. Nếu hàm mục tiêu
f (x) không bị chặn dưới trên S thì bài toán được gọi là không bị chặn
dưới (infx∈S f (x) = −∞).

Với bài toán quy hoạch phân tuyến tính, có thể xảy ra các trường
hợp sau:
a. Tập ràng buộc S = ∅ (bài toán bất khả thi).
b. Nghiệm tối ưu duy nhất (đạt tại một đỉnh của S).
c. Vô số nghiệm tối ưu hữu hạn (đạt tại một diện bị chặn của S).
d. Có nghiệm tối ưu hữu hạn và vô cực (đạt tại một diện vô hạn
của S).
e. Nghiệm tối ưu tiệm cận (f ∗ = infx∈S f (x) > −∞ và x ∈ S :
f (x∗ ) = f ∗ ).
f. Không có nghiệm tối ưu (infx∈S f (x) = −∞ - bài toán không bị
chặn dưới).

1.3.

CÁCH TIẾP CẬN CHARNES - COOPER
A. Charnes và W. Cooper (1962) đã chỉ ra rằng bài toán quy hoạch

phân tuyến tính với tập ràng buộc khác rỗng có thể đưa được về bài
toán quy hoạch tuyến tính, nhờ phép đổi biến số, gọi là biến đổi Charnes
- Cooper.
Ta nhắc lại, bài toán quy hoạch phân tuyến tính có dạng:
pT x + α
: Ax b, x 0},
(LFP)
min{f (x) = T
q x+β
trong đó p, q là các véctơ trong Rn , α, β là các số thực, A là ma trận


12

cấp m × n, b là véctơ trong Rm (p, q, α, β, A, b cho trước), x ∈ Rn là véctơ
biến cần tìm.
Ký hiệu S = {x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0}. Ta giả thiết tập S = ∅.
Nhận xét 1.1 Bài toán sẽ không có nghĩa (không xác định) nếu
∃x0 ∈ S, q T x0 + β = 0.
Vì thế, để bài toán được hoàn toàn xác định ta phải có hoặc
q T x + β > 0, ∀x ∈ S hoặc q T x + β < 0, ∀x ∈ S.
Có thể kiểm tra điều này bằng cách giải quy hoạch tuyến tính
qmin := min {q T x + β : x ∈ S} hoặc qmax := max {q T x + β : x ∈ S}.
(qmin > 0 ⇒ q T x+β > 0, ∀x ∈ S hoặc qmax < 0 ⇒ q T x+β < 0, ∀x ∈ S).
Không giảm tổng quát, từ đây về sau ta luôn giả thiết
q T x + β > 0, ∀x ∈ S (Nếu cần, có thể đổi dấu tử số và mẫu số của hàm
f (x)).
• Phép biến đổi Charnes - Cooper
Dùng phép đổi biến số:
t=

1
> 0, y = tx ∈ Rn , ∀x ∈ S
T
q x+β

và nhân ràng buộc Ax ≤ b với t > 0, ta đưa bài toán (LFP) về bài toán
tuyến tính (LP):
min{g(y, t) ≡ pT y + αt : Ay − bt ≤ 0, q T y + βt = 1, y ≥ 0, t ≥ 0}.
So với (LFP), bài toán (LP) có thêm một biến và một ràng buộc
mới. Giữa hai bài toán (LFP) và (LP) có mối quan hệ được nêu ra trong
các mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1 Với các ký hiệu trên, ta có các kết luận sau đây:

a) Nếu x0 là một nghiệm chấp nhận được của (LFP) thì (y 0 , t0 ) là
một nghiệm chấp nhận được của (LP) với
t0 =

1
, y 0 = x0 t0 và
+β

qT x

g(y 0 , t0 ) = pT y 0 + αt0 = t0 (pT x0 + α) = f (x0 ).


13

b) Nếu (y 0 , t0 ) là nghiệm chấp nhận được của (LP) và t0 > 0 thì
y0
x0 = 0 là nghiệm chấp nhận được của (LFP) và
t
f (x0 ) = t0 (pT x0 + α) = pT y 0 + αt0 = g(y 0 , t0 ).
Mệnh đề 1.2 a) Nếu (y ∗ , t∗ ) là nghiệm tối ưu của (LP) và t∗ > 0 thì
y∗
∗
x = ∗ là nghiệm tối ưu của (LFP).
t
b) Giả sử (LFP) chấp nhận được. Khi đó, (LP) không bị chặn dưới
khi và chỉ khi (LFP) không bị chặn dưới.
Mệnh đề 1.3 Nếu (LFP) có nghiệm chấp nhận được, (LP) có nghiệm
tối ưu và mọi nghiệm tối ưu đều có t = 0 thì giá trị mục tiêu của (LFP)
có infimum (cận dưới đúng) hữu hạn, nhưng infimum đó không đạt tới

được. Đó là trường hợp (LFP) có nghiệm tối ưu tiệm cận. Trong trường
hợp này, có thể tạo ra các nghiệm ε - tối ưu với bất kỳ ε > 0, nghĩa là
trong S tồn tại một cạnh vô hạn mà dọc theo cạnh đó giá trị mục tiêu
của (LFP) tiến dần về cận dưới đúng nói trên.
Mệnh đề 1.4 Nếu S = ∅ và q T x + β = 0 với mọi x ∈ S thì (LP) không
có nghiệm chấp nhận được (bài toán (LP) là bất khả thi).
Mối liên hệ rất cơ bản giữa các tập ràng buộc của (LFP) và (LP)
được trình bày tóm tắt trong các định lý sau.
Định lý 1.3 Các đỉnh của tập lồi đa diện S ≡ {x : Ax ≤ b, x ≥ 0}
tương ứng một - một với các đỉnh của tập lồi đa diện T ≡ {(y, t) :
Ay − b.t ≤ 0, q T y + βt = 1, y ≥ 0, t ≥ 0} với t > 0. (Ta giả thiết
q T x + β > 0, ∀x ∈ S).
Định lý 1.4 Các đỉnh của tập lồi đa diện T với t = 0 tương ứng một một với các cạnh vô hạn Γ của tập lồi đa diện S với q T d > 0, trong đó
d là véctơ chỉ phương của cạnh Γ.
Định lý 1.5 Mỗi cạnh vô hạn của tập lồi đa diện T tương ứng với một
cạnh vô hạn Γ của tập lồi đa diện S với q T d = 0, trong đó d là véctơ chỉ
phương của cạnh Γ.


14

Các định lý này và cách chứng minh của chúng cũng áp dụng được vào
cặp ràng buộc {x : Ax = b, x ≥ 0} và {(y, t) : Ay − bt = 0, y ≥ 0, t ≥ 0}.

1.4.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CỔ ĐIỂN
Dựa vào phép biến đổi Charnes - Cooper trình bày ở trên, ta có

thể giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính (LFP) bằng cách lập và

giải bài toán quy hoạch tuyến tính (LP) tương ứng.
Kết quả giải (LP) cho ra một trong các trường hợp sau:
a) (LP) bất khả thi ⇒ (LFP) không xác định hoặc S = ∅ (Mệnh
đề 1.4).
b) (LP) có nghiệm tối ưu (y ∗ , t∗ ) với t∗ > 0 ⇒ (LFP) có nghiệm
y∗
tối ưu x∗ = ∗ (Phần a) Mệnh đề 1.2).
t
c) Mọi nghiệm tối ưu (y ∗ , t∗ ) của (LP) đều có t∗ = 0 ⇒ (LFP) có
nghiệm tối ưu tiệm cận (Mệnh đề 1.3).
d) (LP) không bị chặn dưới ⇒ (LFP) không bị chặn dưới hoặc
S = ∅ (Phần b Mệnh đề 1.2).
Để minh họa phương pháp giải (LFP) dựa trên phép biến đổi
Charnes - Cooper ta xét hai ví dụ sau.
Ví dụ 1.1 Giải quy hoạch phân tuyến tính:
f (x) =

p(x) 3x1 + 6x2 + 6
=
−→ min
q(x) 2x1 + 5x2 + 5

Với các điều kiện
x1 − 3x2 ≤ 2,
−x1 + 2x2 ≤ 8,
4x1 + x2 ≥ 4,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Có thể thấy rằng mẫu số q(x) = 2x1 + 5x2 + 5 > 0 trên toàn miền
chấp nhận được của bài toán (do có x1 ≥ 0, x2 ≥ 0). Ta giải bài toán

15

này theo phương pháp Charnes - Cooper. Bài toán quy hoạch tuyến tính
tương đương có dạng
3y1 + 6y2 + 6t −→ min
với các điều kiện
y1 − 3y2 − 2y ≤ 0,
−y1 + 2y2 − 8t ≤ 0,
4y1 + y2 − 4t ≥ 0,
2y1 + 5y2 + 5t = 1,
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, t ≥ 0.
Có thể kiểm tra lại rằng y1 = 0; y2 = 0, 16; t = 0, 04 > 0 là một
nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính trên. Do đó theo Mệnh
đề 1.2, phương án tối ưu của bài toán quy hoạch phân tuyến tính ban
y2
y1
= 0, x2 =
= 4 và giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu
đầu là x1 =
t
t
là fmin = 1, 2.

Hình 1.1. Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 1.1
Ví dụ 1.2 Bài toán quy hoạch phân tuyến tính có nghiệm tối ưu tiệm
cận:
−3x1 + 2x2 + 5
−→ min
f (x) =

x1 + 4x2 + 3


16

Với các điều kiện
−2x1 + x2 ≤ 4,
x1 + x2 ≥ 2,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Mẫu số q(x) = x1 + x2 + 4 > 0 trên toàn miền chấp nhận được của
bài toán (do có x1 ≥ 0, x2 ≥ 0). Bài toán quy hoạch tuyến tính tương
đương có dạng
−3y1 + 2y2 + 5t −→ min,
với các điều kiện
−2y1 + y2 − 4t ≤ 0,
y1 + y2 − 2t ≥ 0,
y1 + 4y2 + 3t = 1,
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, t ≥ 0.
Giải bài toán này theo thuật toán đơn hình, ta nhận được nghiệm
tối ưu duy nhất y1 = 1; y2 = 0; t = 0. Do đó theo Mệnh đề 1.3, bài toán
quy hoạch phân tuyến tính ban đầu có nghiệm tối ưu tiệm cận với
inf f (x) = lim f (x1 , 0) = −3.

x∈S

x1 →∞

Hình 1.2. Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 1.2

17

Nhận xét 1.2 Phép biến đổi Charnes - Cooper tuy đưa được bài toán
(LFP) về bài toán (LP), nhưng nó thường làm mất đi cấu trúc ban đầu
của bài toán cần giải (cấu trúc vận tải chẳng hạn), vì thế nó ít được
dùng rộng rãi trong thực tiễn. Trong [2] trình bày thuật toán kiểu đơn
hình giải quy hoạch phân tuyến tính, cho phép giữ nguyên cấu trúc của
ban đầu bài toán.
Tóm tắt chương. Chương này đã nhắc lại những kiến thức cần
thiết về hàm phân tuyến tính và các tính chất đáng chú ý của hàm này.
Tiếp theo giới thiệu bài toán quy hoạch phân tuyến tính và cách tiếp
cận Charnes - Cooper đưa bài toán phân tuyến tính về bài toán quy
hoạch tuyến tính. Cuối chương, nêu thuật toán giải quy hoạch phân
tuyến tính và đưa ra hai ví dụ minh họa cho hai tình huống tiêu biểu
thường gặp của bài toán: Có nghiệm tối ưu hữu hạn và có nghiệm tối
ưu tiệm cận với infimum (cận dưới đúng) hữu hạn đối với hàm mục tiêu
của bài toán.


18

Chương 2

THUẬT TOÁN CẢI TIẾN GIẢI
QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN
TÍNH
Chương này trình bày thuật toán cải tiến của M. B. Hasan và S.
Acharjee (2011) giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính (LFP) bằng
cách đưa về một bài toán quy hoạch tuyến tính (LP) và thuật toán của
P. Pandian và M. Jayalakshmi (2013) đưa (LFP) về hai bài toán (LP).

Xét một số ví dụ minh họa các thuật toán đã trình bày. Nội dung của
chương được tham khảo từ các tài liệu [5] và [7].

2.1.

PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT BÀI TOÁN
(LP)

Mục này trình bày cách tiếp cận mới của M. B. Hasan và S.
Acharjee giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính (LFP) bằng cách đưa
nó về một bài toán quy hoạch tuyến tính (LP).
2.1.1.

Biến đổi (LFP) về bài toán tuyến tính (LP)

Ta viết lại bài toán (LFP) dưới dạng véctơ:
cT x + α
(LFP)
min{f (x) = T
: Ax ≤ b, x ≥ 0},
d x+β


19

trong đó A ∈ Rm×n , b ∈ Rm (b ≥ 0), x, c, d ∈ Rn (c = 0, d = 0), α, β ∈ R.
Ta giả thiết rằng tập chấp nhận được
S = {x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0} = ∅ bị chặn, dT x + β > 0, ∀x ∈ S, β = 0).
Biến đổi (LFP) về (LP) theo cách như sau:
a) Biến đổi hàm mục tiêu:

cT x + α α α
(βc − αd)T x α
cT x + α
= T
− + =
+
f (x) = T
d x+β
d x+β β β
β (dT x + β)
β
α
α
hay g(y) = pT y + γ, trong đó p = c − d ∈ Rn , γ = ∈ R và biến mới
β
β
x
y := T
∈ Rn .
d x+β
β
dT x + β − β
T
=
1
−
Từ đó: d y =
dT x + β
dT x + β
β

1
1 − dT y
T
=
1
−
d
y
⇒
=
.
(*)
dT x + β
dT x + β
β
x
(Do β = 0 và dT x + β > 0, ∀x ∈ S, nên dT y = 1, ∀y = T
).
d x+β
⇒

x
x(1 − dT y)
βy
=
⇒
x
=
(**)
dT x + β

β
1 − dT y
b) Biến đổi ràng buộc Ax ≤ b : Chia hai vế cho dT x + β > 0.

Từ đó: y :=

x
b
1 − dT y
A T
≤ T
⇔ Ay ≤ b ×
(do (*))
d x+β
d x+β
β
b
b
b
b
⇔ Ay ≤ − dT x ⇔ A + dT y ≤ ⇔ M y ≤ q,
β β
β
β
b
b T
d ∈ Rm×n và q = ∈ Rm .
β
β
c) Như vậy, bài toán (LP) tương đương bây giờ là

trong đó M = A +

(LP)
min{g(y) = pT y + γ : M y ≤ q}.
d) Trở về biến ban đầu của (LFP): Giải bài toán (LP) trên đây,
ta nhận được nghiệm tối ưu y ∗ . Theo (**) ta có
βy ∗
x =
.
1 − dT y ∗
∗

Đó là nghiệm tối ưu cần tìm của (LFP). Thay giá trị này của x
vào hàm mục tiêu ban đầu, ta nhận được giá trị tối ưu của bài toán
(LFP).


20

2.1.2.

Thuật toán

Thuật toán thực hiện lần lượt các bước sau.
α
1. Xây dựng hàm mục tiêu: Tính γ = , p = c−γd, g(y) = pT y +γ.
β
b
2. Xác định hệ ràng buộc: Tính q = , M = A + qdT , M y ≤ q.

β
T
3. Bài toán (LP): min{g(y) = p y + γ : M y ≤ q}.
4. Giải (LP) tìm nghiệm tối ưu y ∗ (chẳng hạn, theo thuật toán
đơn hình).

βy ∗
5. Nghiệm tối ưu của (LFP): x =
.
1 − dT y ∗
cT x∗ + α
6. Giá trị mục tiêu tối ưu: fmin = f (x∗ ) = T ∗
.
d x +β
∗

2.1.3.

Ví dụ minh họa

Xét một vài ví dụ số minh họa cho phương pháp đã trình bày.
Ví dụ 2.1 Tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch phân tuyến tính:
f (x) =

−2x1 + x2 + 2
→ min
x1 + 3x2 + 4

với các ràng buộc: −x1 + x2 ≤ 4, 2x1 + x2 ≤ 14, 0 ≤ x2 ≤ 6, x1 ≥ 0.
Giải

Trong ví dụ này n = 2, m = 3,




−1 1
4




A =  2 1  , b =  14  , c =
0 1
6

−2
1

Tập ràng buộc S được vẽ ở Hình 2.1.

,d =

1
3

, α = 2, β = 4.


21

Hình 2.1. Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 2.1
p=c−

−2

α
d=
β

⇒ g(y) = pT y +γ =

−

1

−5 −1
2
2

1

2
4

32
y1
y2

=

+

−5/2

,γ =

−1/2

1
2

1
5
1
1
= − y1 − y2 + → min,
2
2
2
2

với các ràng buộc:
Ax ≤ b, x ≥ 0 ⇔ M y ≤ q, y ≥ 0 ⇔


−1 1





4





A+

b T
d
β


y≤
4



 1

y



× 1
1
+
(1
3)

14
 14  ,


 4

y2
6
6
0 1


 


1
−1 1
1 3
y1


 


≤  7/2  ,
⇔  2 1  +  7/2 21/2 ×
y2
3/2 9/2
3/2
0 1





0
4
1
y1
y1
0




⇔  11/2 23/2  ×
≤  7/2  ,
≥
y2
y2
0
3/2 11/2
3/2




4y2 ≤ 1
4y
≤
1



2




 11y + 23y ≤ 7
 11 y + 23 y ≤ 7
1
2
2 1
2 2
2
⇔
.
⇔
3
11
3


y
+
y
≤
3y
+
11y
≤

3

1
2
1
2

2
2
2




 y ≤ 0, y ≤ 0
 y ≤ 0, y ≤ 0


⇔
 2

1

2

1

2

b

,y ≥ 0
β
y1

0

y2

0

y1
y2

≥

0
0