(Gv văn phú quốc 2018) 56 câu hình học không gian image marked image marked

Câu 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B.
Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), AB = a, BC = a 3, SA = a . Một mặt phẳng ( )
qua A vuông góc SC tại H và cắt SB tại K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.
A. VS . AHK =
C. VS . AHK

a3 3
.
20

B. VS . AHK =

a3 3
=
.
60

D. VS . AHK

a3 3
.
30

a3 3
=
.
90

Đáp án C

 AK ⊥ SC ( AK ⊥ ( ) )

Ta có 
 AK ⊥ BC ( BC ⊥ ( SAB ) )
Suy ra AK ⊥ ( SBC )  AK ⊥ SB .
Vì SAB vuông cân tại A nên K là trung điểm
của SB. Ta có
VS . AHK SA.SK .SH
SH
=
=
.
VS . ABC
SA.SB.SC 2SC

Ta có AC = AB2 + BC 2 = 2a .
SC = AC 2 + SA2 = a 5.

Khi đó

SH SH .SC SA2 1
=
=
= .
SC
SC 2
SC 2 5

Suy ra

VS . AHK
SH

1
=
= .
VS . ABC 2SC 10

1
1
a3 3
a3 3
. Vậy VS . AHK =
.
Mặt khác, VS . ABC = SA. . AB.BC =
3
2
6
60

Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác đều cạnh
a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết hình chóp S.ABC có thể tích bằng a 3 . Tính khoảng
cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC): (Gv Văn Phú Quốc 2018)
A. d =

6a 195
.
65

B. d =

4a 195
.

195

Đáp án C
Ta có AI ⊥ BC , SA ⊥ BC
Suy ra V = a 3 , S  ABC =

a2 3
 SA = 4a 3.
4

C. d =

4a 195
.
65

D. d =

8a 195
.
195


Mà AI =

a 3
2

Trong tam giác vuông SAI ta có
Vậy d = AK =

1
1
1
=
+ 2.
2
2
AK
AS
AI

AS 2 . AI 2
4a 195
=
.
2
2
AS + AI
65

Câu 3: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB,

SH = HC , SA = AB . Gọi  là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Tính giá trị
của tan  .
1
.
2

A.

2
.
3

B.

1
.
3

C.

2.

D.

Đáp án A
Ta có AH =

1
a
AB = ; SA = AB = a;
2
2

SH = HC = BH 2 + BC 2 =

Do AH 2 + SA2 =

a 5
.
2

5a 2
= SH 2 nên SA ⊥ AB .
4

Do đó SA ⊥ ( ABCD ) nên ( SC , ( ABCD ) ) = SCA
Trong tam giác vuông SAC có tan  = tan SCA =

SA
1
=
.
AC
2

Câu 4: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một nhà máy sản xuất nước ngọt cần làm các lon dựng
dạng hình trụ với thể tích đựng được là V. Biết rằng diện tích toàn phần nhỏ nhất thì tiết kiệm
chi phí nhất. Tính bán kính của lon để tiết kiệm chi phí nhất.
A.

3

V
.
2

B.

3

V
.
3

Đáp án A
Gọi bán kính hình trụ là x  0 ( cm) .
Khi đó ta có diện tích của hai đáy thùng là
S1 = 2 x 2

Diện tích xung quanh của thùng là
S 2 = 2 xh = 2 x

V
2V
=
.
2
x
x

C.

3

V
.

4

D.

3

V



.


(trong đó h là chiều cao của thùng và từ V =  x 2 .h  h =

V
).
 x2

Vậy diện tích toàn phần của thùng là S = S1 + S 2 = 2 x 2 +

2V
.
x

Để tiết kiệm vật liệu nhất thì S phải bé nhất. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
V V 
V 2

S = 2   x2 +

+   2.3 3
.
2x 2x 
4


Do đó S bé nhất khi và chỉ khi  x 2 =

V
V
x= 3
.
2x
2

Câu 5: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thang vuông tại A và B với AB = BC = 1, AD = 2 , cạnh bên SA = 1 và SA vuông góc với
đáy. Gọi E là trung điểm của AD. Tính diện tích Smc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE.
A. Smc = 2 .

B. Smc = 11 .

C. Smc = 5 .

D. Smc = 3 .

Đáp án B
• Gọi M, N, F lần lượt là trung điểm của AB, SC, CD.
• Khi đó ta chứng minh được ( MNF ) ⊥ ( ABCD ) và
MN ⊥ ( SCE ) .

• Từ

( MNF ) ⊥ ( ABCD )

và nếu dựng trục  của

đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE thì   ( MNF )
• Từ MN ⊥ ( SCE ) ta suy ra MN là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SCE
• Trong mặt phẳng (MNF) gọi I =   MN thì I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.CDE.
• Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE thì R = IC = CF 2 + IF 2 .
Mà CF =

IF
MF
CD
CE 2 + DE 2
2
SA 1
=
=3
=
=
; NO =
= và
NO MO
2
2
2

2 2

3
 IF = 3 NO = .
2

cho nên R =

11
.
2

Vậy diện tích mặt cầu cần tính là Smc = 4 R 2 = 11 .
Câu 6: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian cho tam giác ABC vuông cân tại A,

AB = AC = 2a . Tính độ dài đường sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC
xung quanh trục AC.


A. l = a 2.

C. l = 2a.

B. l = 2a 2.

D. l = a 5.

Đáp án B

( 2a ) + ( 2a )

Ta có l = BC =

2

2

= 2a 2.

Câu 7: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một công ty Container cần thiết kết các thùng đựng hàng
hình hộp chữ nhật, không nắp, có đáy hình vuông, thể tích là 108m3 . Tìm tôngr diện tích nhỏ
nhất của các mặt xung quanh và mặt đáy
A. S = 100m 2

C. S = 120m 2

B. S = 108m 2

D. S = 150m 2

Đáp án B
Gọi x, y  0 lần lượt là chiều dài cạnh đáy và chiều cao của hình hộp
Tổng diện tích xung quanh và diện tích của một mặt đáy của thùng đựng hành là S = x 2 + 4 xy
Thể tích của thùng đựng hàng là V = x 2 y = 108  y =
Suy ra S = x 2 + 4 x.

108
x2

108

432
= x2 +
2
x
x

Do S  0 và x  0 nên ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của S trên khoảng ( 0; + )
Ta có S ' = 2 x −
S '' = 2 +

432
;S ' = 0  x = 6
x2

864
 0, x  ( 0; + )
x3

Suy ra S = S ( 6) = 108 . Vậy diện tích nhỏ nhất cần tìm là 108m 2
Câu 8: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B ' C ' D có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a. Mặt phẳng ( C ' BD ) hợp với đáy góc 45 . Tính thể tích lăng trụ
B. V = a3 2

A. V = a 3

C. V =

a3 2
4

D. V =

a3 2
2

Đáp án D
Ta có C ' C ⊥ ( ABCD ) , BD ⊥ OC  BD ⊥ OC '  COC ' = 45

OCC ' vuông cân tại C  CC ' = OC =
Vậy V = a 2 .

a 2
2

a 2 a3 2
=
2
2

Câu 9: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Hình chóp tam giác đều có đường cao bằng h, các mặt bên
hợp với đáy một góc 45 . Tính diện tích đáy.


A. S = h2 3

B. S = 3h2 3

C. S =

3 3 2

h
4

D. S =

9 3 2
h
4

Đáp án D
Kẻ AM ⊥ BC và SH ⊥ AM , khi đó SHM vuông cân tại H
Suy ra HM = HS = h, AM = 3h
Vậy S =

9 3 2
h
4

Câu 10: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a và
SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 . Tính khoảng cách từ
A đến mặt phẳng ( SBC ) .
A.

a 15
5

B.

a 15
3

C.

3a
5

D.

5a
3

Đáp án A
Kẻ AI ⊥ BC và AH ⊥ SI . Khi đó AH ⊥ ( SBC )  d ( A, ( SBC ) ) = AH
Ta có AI =

a 3
(do ABC đều cạnh a)
2

và ( SB ( ABC ) ) = SBA = 60  SA = AB.tan 60 = a 3
Vậy d ( A ( SBC ) ) = AH =

SA. AI
SA + AI
2

2

=

a 15
5

Câu 11: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' cạnh bên AA ' = 2 , đáy là
tam giác vuông cân ABC đỉnh A, canh huyền BC = a 2 . Tính thể tích của hình trụ tròn
xoay có dáy là hai đường tròn tâm A, bán kính AB và đường tròn tâm A’, bán kính A’B’.
B. V = 2

A. V = 

C. V = 3

D. V = 4

Đáp án B

ABC vuông cân tại A  AB =

BC
=1
2

V =  AB 2 . AA ' =  .1.2 = 2
Câu 12: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho tứ diện S.ABC có SA = AB = AC = a và

AS , AB, AC vuông góc nhau từng đôi một. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
A. S =

 a2

Đáp án D

2

B. S =

3 a 2
2

C. S =

3 a 2
4

D. S = 3 a 2


2

 a 2   a 2 3a 2
Bán kính mặt cầu R = 
 +   =
4
 2  2
2

Diện tích mặt cầu S = 4 R 2 = 4 .

3a 2
= 3 a 2

4

Câu 13: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc
tấm bìa một hình vuông cạnh 12cm rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp.
Khi dung tích của cái hộp đó là 4800cm3 , tính độ dài cạnh của tấm bìa
A. 42 cm

B. 36 cm

C. 44 cm

D. 38 cm

Đáp án

Đặt cạnh hình vuông là x, x  24 cm
Theo đề ta có 4800 = ( x − 24 ) .12  x = 44 cm
2

Vậy độ dài cạnh của tấm bìa hình vuông là 44cm
Câu 14: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy là hình
thoi cạnh a, góc BAD = 60 , cạnh bên hợp với đáy góc 45 sao cho A’ chiếu xuống mặt
phẳng ( ABCD ) trùng với giao điểm O của hai đường chéo mặt đáy. Tính thể tích hình hộp.
A. V =

3a 3 3
4

B. V =

3a 3
4

C. V =

a3 3
4

D. V =

a3
4

Đáp án B
S ABCD = 2.

a2 3 a2 3
=
4
2

AA ' O vuông cân  A ' O = AO =
Vậy V =

a 3
2

a 2 3 a 3 3a 3
.
=

2
3
4

Câu 15: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và


DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng

( ABCD )

và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp

S.CDNM theo a: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
A. V =

3 3
a
24

B. V =

5 3 3
a
24

C. V =

3 3

a
12

D. V =

5 3 3
a
12

Đáp án B
Vì SH ⊥ ( ABCD ) nên
1
1
VS .CDMN = SH .SCDMN = SH . ( S ABCD − S BCM − S AMN )
3
3
1
5
5 3 3
= a 3 a2 =
a
3
8
24

Câu 16: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại
A và B; AB = BC = a; AD = 2a; SA ⊥ ( ABCD ) . Góc giữa mặt phẳng ( SCD ) và

( ABCD )

bằng 45 . Gọi M là trung điểm AD. Tính theo a thể tích V khối chóp S.MCD và khoảng cách
d giữa hai đường thẳng SM và BD

a3 2
V
=


6
A. 
 d = a 22

11


a3 6
V
=


6
B. 
 d = a 22

11

Đáp án A
Ta có ( SCD )  ( ABCD ) = CD

CD ⊥ SA

 CD ⊥ ( SAC )  SC ⊥ CD

CD ⊥ AC

 SC ⊥ CD, SC  ( SCD )
Vì 
 AC ⊥ CD, AC  ( ABCD )
S ABCD = 2.

a2 3 a2 3
=
4
2

AA ' O vuông cân  A ' O = AO =
Nên

a 3
2

(( SCD ) , ( ABCD )) = SCA = 45

Dễ thấy SAC vuông cân tại A


a3 2
V
=



6
C. 
 d = a 22

22


a3 6
V
=


6
D. 
 d = a 22

22


Suy ra SA = AC = a 2
Lại có SMCD =

1
1
a2
MC.MD = a.a =
2
2
2

1
1 a2
a3 2
Do đó V = VS .MCD = S MCD .SA = . .a 2 =
3
3 2
6

 BD / / MN
 BD / / ( SMN )
Ta có 
 MN  ( SMN )

Khi đó d ( SM , BD ) = d ( SM , ( SMN ) ) = d ( D, ( SMN ) ) = d ( A, ( SMN ) )

 AP ⊥ MN , P  MN
Kẻ 
 AH ⊥ SP, H  SP
Suy ra AH ⊥ ( SMN )  d ( A ( SMN ) ) = AH

SAP vuông tại A có
1
1
1
1
1
1
1
1
1

11
= 2+
= 2+
+
= 2+ 2 + 2= 2
2
2
2
2
a
AH
SA AP
SA AN
AM
2a
a
2a
4
Do đó d = d ( SM , BD ) = AH =

a 22
11

Câu 17: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 . Quay tam
giác quanh AB ta được hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh S1 và quay tam giác
quanh AC ta thu được hình nón xoay có diện tích xung quanh S 2 . Tính tỉ số
A.

4
3

B.

3
4

C.

4
5

D.

S1
S2
3
5

Đáp án A
Vì BAC = 90 nên BC = 5 . Khi đó

S1  .4.5 4
=
=
S2  .3.5 3

Câu 18: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình chữ nhật ABCD có canh AB =

4
, AD = 1. Lấy

3

điểm M trên CD sao cho MD = 3 . Cho hình vẽ quay quanh AB, tam giác MAB tạo thành
vật tròn xoay gồm 2 hình nón chung đáy. Tính diện tích toàn phần của vật tròn xoay này.
A. S = 2

B. S =

2
3


3
C. S = 2 1 +

3 



3
D. S =   1 +

3 



Đáp án C
Kẻ MN ⊥ AB  MN = 1, AM = 2, MC =

1

2
, BM =
3
3

2 
1 


S =  MN . AM +  MN .BM =  .1.  2 +
 = 2 1 +

3
3


Câu 19: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho tứ diện đều SABC cạnh a. Tỉ số thể tích của hai hình
nón cùng đỉnh S, đáy lần lượt là hai đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC là: (Gv Văn
Phú Quốc 2018)
A.

1
2

1
4

B.

C.

1
3

D. Tỉ số khác

Đáp án A
Gọi D là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Kẻ OH ⊥ AB . Khi đó
V1 OH a 3 3
1
=
=
.
=
V2 OA
6 a 3 2

Câu 20: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A ' B ' C ' có góc giữa hai
mặt phẳng

( A ' BC )

và

( ABC )

bằng 60 ; cạnh AB = a . Tính thể tích khối đa diện

ABCC ' B '
A.

3 3
a
4

B.

3 3
a
4

C.

3a3

D.

3 3 3
a
4

Đáp án B
Gọi H là trung điểm BC  AH =
Suy ra AA ' = AH .tan 60 =

a 3
. Góc giữa ( ABC ) và ( A ' BC ) là AHA ' = 60
2

3a

1
3 3
 VABCC ' B ' = AH .BC.BB ' =
a
2
3
4

Câu 21: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , cạnh đáy AB = 2a ,
góc ASB = 2 ( 00    90) . Gọi V là thể tích của khối chóp. Kết quả nào sau đây sai?
A. V =

4a 3 sin 2
.
3
sin 

4a 3
C. V =
. cos 2  − 1
3

Đáp án A
Diện tích đáy S = 4a 2

B. V =

4a 3 cos 2
.
3

sin 

4a3
1
D. V =
.
−2
3
sin 2 


1
1
 cot 2  − 1 =
− 2 . Do đó (C) và (D) đúng
2
sin 
sin 2 

cot 2  + 1 =

Từ câu (D) suy ra V =

4a3 1 − sin 2  4a3
=
3
sin 2 
3

cos 2

. Do đó (B) đúng
sin 

Vậy (A) là kết quả sai
Câu 22: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình
thoi canh a, BCD = 120 và AA ' =

( ABCD )

7a
. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng
2

trùng với giao điểm của AC và BD. Tính theo a thể tích khối hộp

ABCD.A ' B ' C ' D '
A. V = 12a 3

B. V = 3a 3

C. V = 9a3

D. V = 6a 3

Đáp án B
Gọi O = AC  BD
Từ giả thuyết suy ra A ' O ⊥ ( ABCD )
Ta có S ABCD

a2 3

= BC.CD.sin120 =
2

Vì BCD = 120 nên ABC = 60
Suy ra ABC đều
Câu 23: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho lăng trụ tam giác ABC. A1B1C1 có đáy là tam giác đều
cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 . Biết hình chiếu vuông góc của
A’ trên ( ABC ) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

A '.ABC
A. R =
Đáp án C

a 3
9

B. R =

2a 3
3

C. R =

a 3
3

D. R =

a 3
6

Gọi G là tâm của ABC . Qua G kẻ đường thẳng d / / A ' H cắt AA ' tại E.
Gọi F là trung điểm của AA’. Trong mặt phẳng ( AA ' H ) kẻ đường trung trực của AA’ cắt d tại
I. Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ' ABC và bán kính R = IA
Ta có AEI = 60, EF =

1
a
AA ' =
6
6

IF = EF .tan 60 =

a 3
6

R = AF 2 + FI 2 =

a 3
3

Câu 24: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2 AD = 2 . Quay hình
chữ nhật ABCD lần lượt quanh AD và AB ta được hai hình trụ tròn xoay có thể tích lần lượt là

V1 ,V2 . Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. V1 = V2

B. V2 = 2V1

D. 2V1 = 3V2

C. V1 = 2V2

Đáp án C
Quay quanh AD : V1 =  AB 2 . AD = 4
Quay quanh AB : V2 =  AD 2 . AB = 2
Do đó V1 = 2V2
Câu 25: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R
có BAC = 75, ACB = 60 . Kẻ BH vuông góc với AC. Quay ABC quanh AC thì BHC tạo
thành hình nón tròn xoay. Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay này.
A. S xq =
C. S xq =
Đáp án D

 R2 3
2

 R2 3
4

(

3 −1

)

(

3 −1

)

2

2

B. S xq =
D. S xq =

 R2 3
2

 R2 3
4

(

3 +1

)

(

3 +1

2

)

2


ABC có BC = 2 R sin 75 =

R
2

BHC có BH = BC sin 60 =
S xq =  BH .BC =

 R2 3
4

(

(

6+ 2

R 6
4

)

3 +1

(

)

)

3 +1

2

Câu 26: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình lập phương

ABCD.EFGH với

AE = BF = CG = HD . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm bốn cạnh BF , FE , DH , DC .
Hỏi mệnh đề nào đúng?
A. MNPQ là một tứ diện

B. MNPQ là một hình chữ nhật

C. MNPQ là một hình thoi

D. MNPQ là một hình vuông

Đáp án B
Đặt hình lập phương vào hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O  A; Ox, Oy, Oz hướng theo
AB, AD, AE . Gọi a  0 là cạnh hình lập phương. Khi đó

a a
a

 

a

M  a;0;  , N  ;0; a  , P  0; a;  , M  ; a;0 
2 2
2

 
2


a
a
a
 a
 a
 a
Ta có MN =  − ;0;  , QP =  − ;0;  , MQ =  − ; a; − 
2
2
2
 2
 2
 2

Suy ra MN = QPMN MQ = 0, MN =

a 2
a 6
, MQ =
2

2

Vậy MNPQ là hình chữ nhật
Câu 27: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh
a, với SA =

a
a 3
, SB =
và BAD = 60 và mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt phẳng đáy.
2
2

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích V của tứ diện K.SDC
A. V =

a3
4

B. V =

a3
16

Đáp án D
a
a 3
Từ giả thiết ta có AB = a; SA = ; SB =
2
2

ASB vuông tại S  SH =

AB
 SAH đều.
2

Gọi M là trung điểm của AH thì SM ⊥ AB

C. V =

a3
8

D. V =

a3
32


Do ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) nên SM ⊥ ( ABCD )
1
a3
Vậy V = SM .S KCD =
3
32

Câu 28: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' ; đáy ABC có
AC = a 3, BC = 3a, ACB = 30 . Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 60 và mặt phẳng

( A ' BC )

vuông góc với ( ABC ) . Điểm H trên cạnh BC sao cho BC = 3BH và mặt phẳng

( A ' AH ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) .Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A ' B ' C '
Đáp án C
Áp dụng định lí côsin cho AHC ta dễ dàng tính được

AH = a
( A ' BC ) ⊥ ( ABC )

Do ( A ' AH ) ⊥ ( ABC )

 A ' H = ( A ' BC )  ( A ' AH )
 A ' H ⊥ ( ABC )  A ' AH = 60

Do AA ' H vuông tại H nên
A ' H = d ( A ' ( ABC ) ) = AH .tan 60 = a 3

1
9a 3
Vậy V = S ABC .d ( A ' ( ABC ) ) = .3a.a 3.sin 30.a 3 =
2
4

Câu 29: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một hình trụ tròn xoay bán kính đáy bằng R, trục

O ' O = R 6 . Một đoạn thẳng AB = R 2 với A  ( O ) và B  ( O ') . Tính góc giữa AB và trục
hình trụ.
A. 30

C. 60

B. 45

D. 75

Đáp án A
Kẻ đường sinh B ' B . Khi đó B ' B = O ' O = R 6
Ta có tan  = tan AB ' B −

AB R 2
3
=
=
  = 30
B'B R 6
3

Câu 43: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ngoại
tiếp tứ diện đều cạnh bằng a.
A. S xq =
Đáp án C

 a2
3

B. S xq =

 a2 2

3

C. S xq =

 a2 3
3

D. S xq =

 a2 3
6


Kẻ SO ⊥ ( ABC ) , SH ⊥ BC  OH ⊥ BC
Ta có OA =

2
2 a 3 a 3
AH = .
=
3
3 2
3

S xq =  .OA.SA = 

a 3
 a2 3
.a =
3

3

Câu 30: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông. Xét
hình cầu nhận hai đáy của hình trụ là hai hình tròn nhỏ đối xứng nhau qua tâm hình câu. Gọi

V1 ,V2 lần lượt là thể tích của hình trụ và hình cầu. Tính tỉ số
A.

3 2
2

B.

3 2
4

C.

V1
V2

1
2

D.

3 2
8

Đáp án D

2

a
   .a
V
3 2
2
=
Ta có 1 =
3
V2 4  a 2 
8


3  2 

Câu 31: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Từ một miếng bìa hình vuông
có cạnh bằng 5, người ta cắt 4 góc bìa 4 tứ giác bằng nhau và gập lại
phần còn lại của tấm bìa để được một khối chóp tứ giác đều có cạnh
đáy bằng x (xem hình vẽ bên). Cho chiều cao khối chóp tứ giác đều
này bằng

5
. Tính giá trị của x
2

A. x = 1

B. x = 2

C. x = 3

D. x = 4

Đáp án B
Gọi M là trung điểm một cạnh đáy. Khi đó h = SO = SM 2 − OM 2
2
1
5
 5− x  x
= 
=
25 − 10 x =
5 − 2x
 −
4 2
2
 2 
2

Theo đề h =

5
5
5

5 − 2x =
 5 − 2x = 1  x = 2
2
2

2

Câu 32: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho tứ diện S.ABC có M, N lần
lượt là điểm chia SA và SC theo cùng tỉ số k. Mặt phẳng ( ) qua MN cắt ( ABC ) theo giao
tuyến cắt BC tại P và cắt AB tại Q. Tính tỉ số

QB
để MNPQ là hình bình hành.
QA


B. 2k .

A. k.

C.

1
k.
2

D.

3
k.
2

Đáp án A
Để MNPQ là hình bình hành thì MN //PQ và MQ //NP .
Khi đó MQ //SB 

QB MS
=
=k
QA MA

Câu 33: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với
cạnh a 3, BAD = 120 và cạnh bên SA ⊥ ( ABCD ) . Biết số đo của góc giữa hai mặt phẳng

( SBC ) và ( ABCD )
A. d =

bằng 60 . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng BD và SC.

a 29
.
26

B. d =

3a 39
.
26

C. d =

3a 39
.
13

D. d =

a 16
.
6

Đáp án B
Gọi O = AC  BD .

 BD ⊥ AC
 BD ⊥ ( SAC ) tại O.
Ta có 
 BD ⊥ SC
Kẻ OI ⊥ SC  OI là đoạn vuông góc chung của BD và SC.
Lại có ICO ∽ ACS nên suy ra OI =
Vậy d =

3a 39
.
26

3a 39
.
26

Câu 34: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng cạnh bên và
bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
A. S =

3 a 2

.
2

B. S =

 a2
2

.

C. S = 2 a 2 .

D. S =  a 2 .

Đáp án C
Gọi O là tâm hình vuông của mặt đáy. Khi đó O cũng là tâm của mặt cầu.
2

 a 2  a2
Ta có R = SO = a − 
 = .
2
2


2

2

2

S = 4 R 2 = 2 a 2 .

Câu 35: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một hình trụ có bán kính đáy R = 2 và thiết diện qua
trục là một hình vuông. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.
A. S =  .

B. S = 2 .

C. S = 3 .

D. S = 4 .


Đáp án D
Ta có S = 2 Rl = 2 . 2. 2 = 4 .
Câu 36: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua đỉnh là một tam
giác vuông cân. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?
A. Đường cao bằng bán kính đáy.

B. Đường sinh hợp với đáy góc 45 .

C. Đường sinh hợp với trục góc 45 .

D. Hai đường sinh tùy ý thì vuông góc nhau.

Đáp án D
Sai vì thiết diện qua trục là tam giác vuông cân nghĩa là hai đường sinh tạo thành một mặt phẳng
chứa SO mới vuông góc với nhau, còn hai đường sinh bất kì thì chưa chắc vuông góc
Câu 37: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ ( ABC ) , DA = 1 và ABC là

tam giác đều cạnh bằng 1. Trên ba cạnh DA, DB, DC lấy 3 điểm M, N, P mà
DM 1 DN 1 DP 3
= ,
= ,
= .
DA 2 DB 3 DC 4

Tính thể tích khối tứ diện MNPD.
A. V =

3
.
12

B. V =

2
.
12

C. V =

3
.
96

D. V =

2
.

96

Đáp án C
1 3
3
Ta có VABCD = . .1 =
.
3 4
12
VDMNP DM DN DP 1 1 3 1
1 3
3
=
=
.
.
= . . = . Do đó VDMNP = .
.
8 12 96
VDABC
DA DB DC 2 3 4 8

Câu 38: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50 cm  240 cm ,
người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem
hình minh họa dưới đây): (Gv Văn Phú Quốc 2018)
* Cách 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
* Cách 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò
mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò
được theo cách 2. Tính tỉ số

V1
.
V2


A.

V1 1
= .
V2 2

B.

V1
= 1.
V2

C.

V1
= 2.
V2

D.

V1
= 2.
V2

Đáp án C
Ban đầu bán kính đáy là R, sau khi cắt và gò ta được 2 khối trụ có bán kính đáy là

R
. Đường
2

cao của các khối trụ không thay đổi.

 R2h
R
Ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) V1 = Sd .h =  .R .h; V2 = 2 ( S d 1.h ) = 2   .h =
.
2
2
2

2

Khi đó: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

V1
= 2
V2

Câu 39: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho tứ diện S.ABC. Trên cạnh SC lấy điểm M sao cho

MS = 2MC . Gọi N là trung điểm cạnh SB. Tính tỉ số thể tích hai tứ diện SAMN và SACB.
A.

1
1
1
2
. B. . C. . D.
3
2
3
6

Đáp án A
Ta có

VS . AMN SA SM SN
2 1 1
=
.
.
= 1. . = .
VS . ACB SA SC SB
3 2 3

Câu 40: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy 2a, cạnh
bên hợp với cạnh đáy góc 45 . Tính diện tích xung quanh của hình chóp.
A. 4a 2 .

B. 3a 2 .

C. 2a 2 .

Đáp án A
Kẻ SI ⊥ AB . Khi đó SAI là tam giác vuông cân nên SI = AI = a .

D. a 2 .


1

Vậy S xq = 4.  .2a.a  = 4a 2 .
2


Câu 41: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC là tam giác đều
cạnh a; cạnh bên trùng với đáy một góc  sao cho A’ có hình chiếu xuống mặt phẳng

( ABC )
A.

trùng với trọng tâm của ABC . Tính thể tích khối lăng trụ.

a3
tan  .
4

B.

a3
cot  .
4

C.

a3
tan  .
12

D.

a3
cot  .
12

Đáp án A
2 a 3
a 3
.tan  =
.tan  .
Đường cao của lăng trụ h = .
3 2
3

V=

a2 3 a 3
a3
.
tan  = tan  .
4
3
4

Câu 42: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một hình nón tròn xoay có bán kính bằng chiều cao và bằng
1. Gọi O là tâm của đường tròn đáy. Xét thiết diện qua đỉnh S hình nón là tam giác đều SAB.
Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SAB ) .
A.

3.

B.

3
.
3

C. 2 3 .

D.

2 3
.
3

Đáp án B

OSA vuông cân OA = OS = 1.
SAB đều suy ra AB = 2 .
Kẻ OI ⊥ AB  OI =

1
2

AB =
.
2
2

Kẻ OH ⊥ SI  OH = d =

3
.
3

Câu 43: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B
với AB = 3, BC = 4 . Hai mặt bên ( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông góc với ( ABC ) và SC hợp
với ( ABC ) góc 45 . Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp S.ABC.
A. V =

5 2
.
3

Đáp án D
Ta có AC = 5

B. V =

25 2
.
3

C. V =

125 3
.
3

D. V =

125 2
.
3


( SAB ) ⊥ ( ABC )

 SA ⊥ ( ABC )
( SAC ) ⊥ ( ABC )

 SA = ( SAB )  ( SAC )

 SCA = 45  SA = SC = 5 .
3

3
4  SC  4  5 2  125 2
Do đó V =  
.

 =
 =
3  2 

3  2 
3

Câu 44: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cắt bỏ hình quạt tròn AOB từ một mảnh các tông hình
tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được
một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu

0  x  2 .

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình nón.
A.

2 3
 R3 .
27

B.

2
 R3 .
27

C.

2 3
 R3
9

Đáp án A
1

Thể tích cái phễu là V =  r 2 h .
3

Ta có chu vi đáy là 2 r = Rx .

Rx
R2 x2
R
2
2
2
,h = R − r = R −
=
Suy ra r =
2
2
4
2

4 2 − x 2 .

1
R3 x 2 4 2 − x 2
Do đó V =  r 2 h =
( 0  x  2 ) .
3
24 2
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương ta có

V=

3R 3 2 2
.x . . 4 2 − x 2
48 2
3

3R 3 2  4 2
3R3 2  16 2

2
2

.x .   + 4 − x  =
x   − x2 
2
2
2.48
3
 2.48
3

2

1 3R3  2  16 2
1 3R3 16 4 2 3
2 

. x +   − x  =
.
 =

 R3
2 
2
8 48 
9
27
3
  8 48

D.

4 3
 R3 .
27


 2
2
2
 3  = 4 − x
2 2
Dấu bằng có khi và chỉ khi 
x=

3
 x 2 = 16  2 − x 2

3
Vậy max V =

2 2
2 3
 R 3 khi và chỉ khi x =
.
27
3

Câu 45: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một ống hình trụ rỗng đường kính a được đặt xuyên qua tâm
hình cầu bán kính a. Tìm thể tích phần còn lại của hình cầu.
A.

 3
2

B.  3a 3 .

a3 .

C.

 2
3

D.  2a3 .

a3 .

Đáp án A
Ta xem hình cầu được sinh bởi khi quay hình tròn ( C ) : x2 + y 2 = a2 quanh Oy và hình trụ
sinh bởi phần mặt phẳng của hai đường thẳng x = 0; x =

a
quay quanh Oy.
2

Ta có y 2 = a 2 − x 2  y =  a 2 − x 2 .
Thể tích cần tìm là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
3
4 2
V = 4  x a − x dx = −2  ( a − x ) d ( a − x ) = −
a − x2 ) 2
(
3
a
a
a

a

2

2

2

2

2

2

a

=

2

2

a
2

 3
2

a3

Câu 46: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại A với AB = a, AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với
trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 . Gọi V là thể
tích khối lăng trụ ABC.ABC . Tính 3 V +
A. 1.

V
−1 .
a3

C. a 2 .

B. a.

Đáp án B
Gọi M là trung điểm BC.
Từ giả thiết ta có BC = 2a, AG =
Suy ra AG = AG tan 60 =
Ta có V = S ABC . AG =
Vậy 3 V +

V
−1 = a .
a3

2
2a
AI =
, AAG = 60 .
3
3

2a 3
.
3

1
1
2a 3
AB. AC. AG = .a.a 3.
= a3 .
2
2

3

D. a 3 .


Câu 47: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân
tại B, SA vuông góc với mặt đáy và SA = AB = a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
A.

a 2
.
2

B. a.

C.

a 5
.
2

D.

a 3
.
2

Đáp án D

 SA ⊥ ( ABC )

 SA ⊥ AC .
Ta có 
 AC  ( ABC )
 SA ⊥ ( ABC )
 SB ⊥ BC .

 AB ⊥ BC

Tâm I của mặt cầu là trung điểm của cạnh huyền SC.
Bán

(Gv

kính:

Văn

Phú

Quốc

2018)

SC
SA2 + AC 2
SA2 + AB 2 + BC 2
a2 + a2 + a2 a 3
.
R = SI =
=

=
=
=
2
2
2
2
2
Câu 48: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một hình chữ nhật ABCD có AB = a và BAC =  với

0    90 . Cho hình chữ nhật đó quay quanh cạnh AB, tam giác ABC tạo thành một hình
nón có diện tích xung quanh là S. Mệnh đề nào là sai?

 a 2 tan 
A. S =
.
cos 

 a 2 sin 
B. S =
.
cos 2 

C. S =  a 2 sin  (1 + tan 2  ) .

D. S =  a 2 tan  .

Đáp án D

ABC có BC = a.tan  ; AC =

S =  BC. AC =

a
.
cos 

 a 2 tan   a 2 sin 
=
=  a 2 sin  (1 + tan 2  ) .
2
cos 
cos 

Do đó (A), (B), (C) đúng cho nên (D) sai.
Câu 49: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình trụ trục OO , đường tròn đáy ( C ) và ( C  ) . Xét
hình nón đỉnh O’, đáy ( C ) có đường sinh hợp với đáy góc  ( 0    90) . Cho biết tỉ số
diện tích xung quanh của hình lăng trụ và hình nón bằng
A. 30 .

B. 45 .

3 . Tính giá trị  .

C. 60 .

Đáp án C
Gọi V1 ,V2 lần lượt là thể tích hình trụ và hình nón. Khi đó
V1 2 Rh 2 Ra sin 
=
=

= 2sin  = 3 . Vì 0    90 nên  = 60 .
V2  Ra
 Ra

D. Kết quả khác.


Câu 50: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình nón tròn xoay đáy là đường tròn ( C ) tâm O,
bán kính R =

3
3
, đường cao SO = . Xét hình cầu tâm I, nhận ( O ) làm đường tròn nhỏ và
2
2

nhận tất cả đường sinh của hình nón làm tiếp tuyến. Tính thể tích hình cầu.
A. V =


3

B. V =

.

2
.
3

C. V =

4
.
3

D. V =

5
.
3

Đáp án C
Gọi ST là đường sinh hình nón.
Ta có tan IST =

3
 OTI = IST = 30 .
3

3
OT
= 2 = 1.
OIT có R =
cos 30
3
2
4
4
Vậy V =  R 3 =

.
3
3

Câu 51: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có

AB = a, AD = b, AA ' = c . Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD’
A.

C.

a b2 + c 2

B.

a 2 + b2 + c 2
c a 2 + b2

D.

a 2 + b2 + c 2

b c2 + a2
a 2 + b2 + c 2
ab + bc + ca
a 2 + b2 + c2

Đáp án A
Do AB ⊥ AD ' nên  ABD ' vuông tại A.
Trong  ABD ' kẻ đường cao AH thì AH = d ( A, BD ')

Trong  ADD ' ta có AD ' = AD2 + DD ' = b2 + c2
BD ' = AB2 + AD2 = a2 + b2 + c2

Xét  ABD ' ta được AH .BD ' = AB. AD '  AH =
Vậy d ( A, BD ') = AH =

AB. AD '
a b2 + c 2
.
=
BD '
a 2 + b2 + c 2

a b2 + c 2
a 2 + b2 + c 2

Câu 52: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy
ABC là tam giác vuông tại A sao cho BC = AC ' = 5a và AC = 4a . Tính thể tích hình lăng trụ.


A. V = 9a3 .

B. V = 36a 3 .

C. V = 18a 3 .

D. Kết quả khác.

Đáp án A
Đường cao của hình lăng trụ là CC ' = 25a 2 − 16a 2 = 3a

1

Do đó V = 3a.  .3a.4a  = 18a 3
2


Câu 53: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Thiết diện qua trục của một hình nón tròn xoay là tam
giác đều, cạnh a. Tính tỉ số thể tích của hình cầu ngoại tiếp và hình cầu nội tiếp hình nón.
A.

2.

B. 2.

C. 4.

D. 8.

Đáp án C
2

a 3


V1  2 
=
= 4.
Ta có
V2  a 3  2



 6 

Câu 54: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình chữ nhật ABCD cạnh AB = 4, AD = 2 . Gọi M,N
lần lượt là trung điểm AB và CD. Cho hình chữ nhật quay quanh MN ta thu được hình trụ tròn
xoay. Tính thể tích của hình trụ tròn xoay.
B. V = 8 .

A. V = 4 .

C. V = 16 .

D. V = 32 .

Đáp án B
Ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) V =  MA2 .MN =  .4.2 = 8
Câu 55: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy là a, cạnh
bên hợp với mặt đáy góc 60 . Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay có đỉnh S, đáy
là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
A. S xq =

 a2
3

.

B. S xq =

2 a 2
.

3

C. S xq =  a 2 .

D. Sxq = 2 a2 .

Đáp án B
Kẻ SO ⊥ ( ABC ) thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC Do  ABC đều cạnh a nên ta có
2 a 3
.
AO
3
2 = 2a 3
SA =
=
1
cos 60
3
2

Vậy S xq =  .OA.SA =  .

a 3 2a 3 2 a 2
.
=
.
3
3
3

Câu 56: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình lập phương (L) và hình trụ (T) có thể tích lần lượt
là V1 và V2 . Cho biết chiều cao của (T) bằng đường kính đáy và bằng cạnh của (L). Hãy chọn
phương án đúng.
A. V1  V2 .

B. V1  V2 .

C. V1 = V2 .

D. Không so sánh được.

Đáp án B
Do (T) nội tiếp trong (L) nên V1  V2