(GV vũ văn NGỌC) 98 câu hình học không gian image marked image marked

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình hộp chữ nhật đứng ABCD. A' B 'C ' D ' có

Câu 1

AB = a, AD = 2a, AA' = 3a. Gọi O ' là tâm hình chữ nhật A' B 'C ' D ' . Thể tích của khối chóp
O ' . ABCD là?

A. 4 a 3 .

B. 2 a 3 .

C. a 3 .

D. 6 a 3 .

Đáp án B
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD thì OO ' = 3a.
1
1
VO' . ABCD = OO ' . AB. AD = .3a.a.2a = 2a 3 .
3
3

Câu 2 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Tứ diện đều

ABCD

có

khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BCD ) bằng a. Cạnh của tứ diện có độ dài bằng?
A.

a 6
.
3

B.

a 6
.
2

C.

a 2
.
3

D.

a 2
.
2

Đáp án A
Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC suy ra GA ⊥ ( BCD ) .
Gọi M là trung điểm BD.
2
2x 3 x 3
=
Đặt AC = x  GC = CM =

, lại có AC 2 − GC 2 = AG 2
3
3 2
3

 x2 −

x2
3
a 6
= a2  x2 = a2  x =
3
2
2

Câu 3: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho khối trụ có bán kính đáy R = 5cm. Khoảng cách
hai đáy h = 7cm. Cắt khối trụ bằng một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Diện
tích của thiết diện bằng:
A. 46 cm2 .

B. 56 cm2 .

Đáp án B
Ta có thiết diện như hình vẽ.
Ta có:

C. 66 cm2 .

D. 36 cm2 .

O ' I = 3cm, O ' A = 5cm  AI = O ' A2 − O ' I 2 = 4cm
 AB = 8cm
 S ABCD = 7.8 = 56cm2
Câu 4 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho khối chóp S . ABCD, trong đó ABCD là hình thang
có các cạnh đáy AB, CD sao cho CD = 4 AB. Một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB tại các điểm
tương ứng M, N. Nếu điểm M nằm trên SA sao cho thiết diện MNCD chia khối chóp đã cho
thành hai phần có thể tích VS .MNCD : VMNCDA tỉ lệ 1:2. Khi đó tỉ số
A.

−3 + 132
.
2

B.

−6 + 51
.
3

C.

−3 + 17
.
2

Đáp án C
Đặt

SM

= x ( 0  x  1)
SA

Gọi thể tích của hình chóp S.ABCD là V.
VS .MNC SM .SN .SC
=
= x2
VS . ABC
SA.SB.SC

(1)

VS .MCD SM .SC.SD
=
=x
VS . ACD
SA.SC.SD

( 2)

Ta có:
CD = 4 AB  S ADC = 4S ABC  S ADC =

4
S ABCD
5

4
4
V

 VS . ADC = VS . ABCD = V ; VS . ABC =
5
5
5

V
4V
Ta có: VS .MNC = x 2 . ; VS .MCD = x
5
5

V1 = VS .MNC + VS .MCD =

V 2
( x + 4x )
5


−6 + 51
x =
V1 x + 4 x 1
4
3
=
=  x 2 + 3x − = 0  
V
5
3
3


−6 − 51
( L)
x =
3

2

x=

−6 + 51
3

SM
bằng:
SA

D.

−3 + 21
.
2


Câu 5 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng
đáy, tam giác SBC đều cạnh a, góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và mặt phẳng đáy là 30 . Tính thể
tích V của khối chóp S.ABC.
a3 2
.
16

A. V =

B. V =

a3 3
.
32

C. V =

3a 3
.
64

D. V =

a3 3
.
12

Đáp án A
Gọi M là trung điểm của BC, SBC đều  SM ⊥ BC
Mà SA ⊥ ( ABC )  SA ⊥ BC và SM ⊥ BC suy ra BC ⊥ ( SAM )
Ta có:

( SAM )  ( SBC ) = SM
 ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = ( SM , AM ) = SMA = 30

SAM


ABC
=
AM
(
)
(
)



Xét

tam

sin SMA =

giác

vuông

tại

A

có:

SA
a 3 a 3
 SA = sin 30 .
=

SM
2
4

Và cos SMA =
 S ABC =

SAM

AM
a 3 3a
 AM = cos 30 .
=
SM
2
4

1
3a 2
1
a3 3
AM .BC =
 VS . ABC = SA.S ABC =
2
8
3
32

Câu 6

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Cho hình hộp

ABCD. A' B 'C ' D '

có

AB = AD = 2a, AA' = 4a. Lấy M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AA' , BB' , CC ' , DD' . Biết
hình hộp chữ nhật ABCD. A' B 'C ' D ' nội tiếp khối trụ (T ) và lăng trụ ABCD.MNPQ nội tiếp
mặt cầu ( C ) .
Tỉ số thể tích

A.

V(T )
V( C )

giữa khối trụ và khối cầu là:

2 3
.
3

B.

3
.
3

C.

2
3 3

.

Đáp án B
Xét lăng trụ (T ) có: R =

AC
= a 2; h = 4a  V = 8 a 3
2

Xét mặt cầu ( C ) có: RC =

AP
4
= a 3  V =  RC3 = 4 3a 3
2
3

D.

1
2 3

.


Tỉ số bằng

8
4 3

=

2 3
.
3

Câu 7 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Lăng trụ ABC. A' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a.
Hình chiếu vuông góc của A' lên ( ABC ) trùng với tâm O của tam giác ABC. Mặt phẳng ( P )
qua BC và vuông góc AA' cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích bằng

a2 3
. Thể tích lăng
8

trụ ABC. A' B 'C ' bằng:
A.

a3 2
.
12

B.

a3 6
.
12

C.

a3 6
.
3

D.

a3 3
.
12

Đáp án A
Gọi H là trung điểm của BC, giao điểm của ( P ) và AA' là
P.


1
a2 3
a 3
PH .BC =
 PH =
2
8
4

AH =

a 3
a 3

, AO =
2
3

AHP vuông tại P có AP =

'
AAO

AH 2 − PH 2 =

3a
4

a 3
'
'
AO
HP
AO
a
'
AHP 
=

= 4  AO
=
3a
AO AP
3

a 3
4
3

 VABC . A' B'C ' = OA' .S ABC =

a a 2 3 a3 3
.
=
3 4
12

Câu 8 (Gv Nguyễn Bá Tuấn). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 6 . Gọi  là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng
trong các khẳng định sau?
A.  = 30.

B. cos  =

3
.
3

C.  = 45.

D.  = 60.

Chọn D.
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD).

 Góc giữa giữa SC và mp (ABCD) bằng góc SC&AC  α = SCA.


Xét tam giác SAC vuông tại A có, tan  =

SA a 6
=
= 3   = 60.
AC a 2

Câu 9 (Gv Nguyễn Bá Tuấn). Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' . Mặt phẳng đi qua A,B
và trung điểm M của cạnh CC' chia lăng trụ thành 2 phần có thể tích V1 , V2 ( V1  V2 ) . Tỉ số

V1
là
V2
A. 4

B. 2

C. 5

D. 3

Đáp án C

C'

A'

Hình chóp MABC có cùng diện tích đáy với hình lăng trụ
Và có chiều cao bằng

1
lăng trụ nên
2

B'
M

V
1
5
V2 = VABC . A ' B 'C '  V1 = VABC . A ' B ' C '  1 = 5
6
6
V2
A

C

B

Câu 10 (Gv Nguyễn Bá Tuấn). Người ta cần chế tạo một ly dạng hình cầu tâm O, đường
kính 2R. Trong hình cầu có một hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Nước chỉ chứa
được trong hình trụ. Hãy tìm bán kính đáy r của hình trụ để ly chứa được nhiều nước nhất.
A. r =

R 6
3

Đáp án A

B. r =

2R
3

C. r =

2R
3

D. r =

R
3


Chiều cao của hình trụ là h = 2 R 2 − r 2

 VTr = 2 r 2 R 2 − r 2 = 4

1 4 2 2
r (R − r )
4
3

1 2 1 2
2

2 
 2 r + 2 r + (R − r )
R3
 2 
 = 2
3
3 3




Thể tích lớn nhất đặt được khi

1 2
6
r = R2 − r 2  r =
R
2
3

Câu 11. (Gv Nguyễn Bá Tuấn) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), AB = a , BC = a 3 , SA = a . Một mặt phẳng
(α) qua A vuông góc SC tại H và cắt SB tại K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.
A. VS.AHK =

a3 3
20

B. VS.AHK =

a3 3
30

C. VS.AHK =

a3 3
60

D. VS.AHK =

a3 3
90

Đáp án C
S

Ta có
SB = a 2 + a 2 = a 2;
AC 2 = a 2 + 3a 2 = 4a 2  SC = a 2 + 4a 2 = a 5

SK =

2

2

2

a

H

K

2

SA
a
a
SA
a
a
=
=
; SH =
=
=
SB a 2
SC a 5
2
5

VSAHK SK .SH 1 1 1
=
= . =
VSABC SB.SC 2 5 10
 VSAHK =

C

A
a

a 3

1
1
1
VSABC =
SA.BA.BC =
3a 3
10
60
60

B

Câu 12. (Gv Nguyễn Bá Tuấn) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân,

AD = BC =

a 13
3a
, AB = 2a , CD =
, mặt phẳng
4
2

(SCD) vuông góc với mặt phẳng

(ABCD). Tam giác ASI cân tại S, với I là trung điểm của cạnh AB, SB tạo với mặt phẳng
(ABCD) một góc 30º. Khoảng cách giữa SI và CD là
A.

a 13
7

B.

2a 21
7

C.

2a 13
7

D.

a 21
7


Đáp án D

S

Gọi M , E là trung điểm của AI và CD
Kẻ SH ⊥ CD do mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) nên SH ⊥ ( ABCD ) . Mặt khác SA = SI

K

 SM ⊥ AI  AI ⊥ ( SHM )  HK ⊥ ( SAI ) mà CD

D

C
H

Song song với ( SAB )  HK là khoảng cách cần tìm.
Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F

 EF =

Ta có

E
30°

A

M

I

F

a 13
a
a 3

1
; FI =  HM =
 HB = a 3 ; SH = HB.tan 300 = a 3.
=a
4
4
2
3

1
1
1
1
4
7
a 21
=
+
= 2 + 2 = 2  HK =
2
2
2
HK
SH
HM
a 3a
3a
7

Câu 13 (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại

5;3
B. 36

A. 12

C. 18

D. 24

Khối đa diện đều loại 5;3 là khối mười hai mặt đều, gồm 12 mặt là các ngũ giác đều nên
tổng các góc bằng 12.3 = 36 (mỗi mặt chia thành 5 tam giác để tổng góc)
Chọn đáp án B
Câu 14 (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Cho hình nón có diện tích toàn phần bằng 5a 2 và bán kính
đáy bằng a. Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho.
B. l = 4a.

A. l = 5a.

Stp = Sxq + Sd  5a 2 = .a.1 + .a 2  1 =

C. l = 2a.

D. l = 3a.

5a − .a 2
= 4a
.a

Chọn đáp án B

Câu 15 (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Cho khối chóp S.ABCD, hỏi hai mặt phẳng
(SBD) chia khối chóp S.ABCD thành mấy khối chóp?
A. 4.

B. 3.

C. 5.

D. 2.

Chọn A.
Gọi O là giao điểm của AC và BD.

(SAC) và

B


Mặt phẳng (SAC) và (SBD) chia khối chóp S.ABCD thành mấy khối chóp thành 4 khối
chóp là các khối chóp sau S.ABO, S.ADO, S.CDO, S.BCO.

Câu 16 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình chóp S.ABC. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các
cạnh SA, SB, SC thỏa mãn SA = 2SM , SB = 3SN , SC = 2SP. Biết thể tích S.ABC là

a3
. Thể
2

tích hình chóp S.MNP là:
2a 3

B.
.
7

a3
A.
.
4

a3
C.
.
24

a3
D.
.
16

VS .MNP SM SN SP 1 1 1 1
a3
Ta có:
=
.
.
= . . =  VS .MNP = .
VS . ABC
SA SB SC 2 3 2 12
24
Câu 17:

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A' B 'C ' D ' có

AB = 2a, BC = a. Biết bán kính của mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật là

3a
. Thể tích
2

của hình hộp chữ nhật là:
A.

a3 3
.
2

B. 4 a 3 .

C. 2 a 3 .

Ta có: AC = AB2 + BC 2 = a 5. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là

D.

2 3
a.
3

3a
 AC ' = 3a.

2

Xét tam giác ACC ' vuông tại C, ta có: CC ' = AC '2 − AC 2 = 2a.
Thể tích hình hộp là: V = CC ' .S ABCD = 2a.a.2a = 4a 3 .

Câu 18: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Một hình thang vuông ABCD có đường cao AD =  ,
đáy nhỏ AB =  , đáy lớn CD = 2 . Cho hình thang đó quay quanh CD, ta được vật tròn
xoay có thể tích bằng:
A.

4 4
 .
3

B.

7 4
 .
3

C.

10 4
 .
3

D.

1
4

Lấy I là trung điểm CD. Thể tích vật tròn xoay là  . . 2 +  . . 2 =  4
3
3

13 4
 .
3


Câu 19: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Thể tích hình hộp chữ nhật đạt giá trị lớn nhất bằng
bao nhiêu nếu biết diện tích toàn phần của hình hộp đã cho là S?
A.

S3
.
8

B.

S3
.
27

C.

S3
.
125

D.

S3
.
216

Đáp án D
Gọi chiều dài, rộng, cao của hình hộp chữ nhật lần lượt là a, b, c ( a, b, c  0).

 S = 2ab + 2 ( a + b ) .c = 2(ab + bc + ca)  2.3. 3 ab.bc.ca (BĐT Cauchy cho 3 số dương)
 S  6.

(

3

Vậy Vmax =

abc

)

2

S 3
S3
 V V 
.
6
216



S3
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab = bc = ca  a = b = c ( a, b, c  0).
216

Câu 20 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho lục giác đều có cạnh bằng a. Quay lục giác quanh
đường trung trực của một cạnh ta được khối tròn xoay có thể tích bằng:
A.

7 a 3 3
.
12

B.

7 a 3 3
.
6

C.

5a 3 3
.
12

D.

3a 3 3
.

4

Đáp án A
Gọi O là tâm lục giác đều ABCDEF

 OA = OB = OC = OD = OE = OF = a.

Gọi AF  BC = I ; IO  AB = K  IO = 2IK = 2OK.
2

a 3
a
 IO = a 3.
Xét AOK : OK = AO − AK = a −   =
2
2
2

2

2

2
1 2
1  a   a 3   7 a 3 3
(đvtt).
 V = 2   a a 3 −    
 =
3  2   2  
12

 3

(

)

Câu 21 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABCD. M,N là hai điểm trên AB, CD.
Mặt phẳng ( ) qua MN // SA. Điều kiện của MN để thiết diện của hình chóp với ( ) là hình
thang là:
A. MN // AD.

B. MN // BC.

C. MN là trung điểm AB, CD.

D. MN qua trung điểm AC.

Đáp án B
Thật vậy, giả sử MN / / BC. Ta sẽ chứng minh thiết diện là hình thang.
Kẻ MI / / SA( I  SB ) ; IJ / / BC( J  SC). Khi đó, thiết diện là tứ giác IMJN.


Mà IJ / / BC ; MN / / BC  IJ / / MN . Do đó, tứ giác IMJN là hình thang (đpcm).
Câu 22 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy là I thuộc AB sao cho BI = 2 AI . Góc
giữa mặt bên ( SCD ) và mặt đáy bằng 60 . Khoảng cách giữa AD và SC là:
A.

3a 93
.

31

B.

4a 93
.
31

C.

5a 93
.
31

D.

6a 93
.
31

Đáp án A
Gọi IE ⊥ DC = E.
Gắn trục tọa độ Ixyz với I là gốc tọa độ sao cho:
Tia Ix trùng tia IB; tia Iy trùng tia IE; tia Iz trùng tia IS.
Khi đó
A(

−a
2a
2a

−a
;0;0); B( ;0;0); C ( ; a;0); D( ; a;0).
3
3
3
3

· = 600.
Do góc giữa mặt phẳng (SDC) và (ABCD) bằng 600 nên SEI
· = a.tan 600 = a 3 Þ S (0;0; a 3 ).
Xét D SEI vuông tại I có: SI = EI .tan SEI

(

)

 2a

 SC  ; a; −a 3  / / u1 2;3; −3 3 ; AD ( 0; a;0 ) / / u2 ( 0;1;0 )
 3

r

ur uur

Mặt phẳng (P) chứa SC và song song với AD nhận n = éêu1; u2 ùú= (3 3;0;2) làm vectơ pháp
ë
û
tuyến nên có phương trình: 3 3x + 2z - 2a 3 = 0.
Do đó, khoảng cách giữa AD và SC bằng khoảng các từ A đến (P) và bằng:

d ( A;( P ) ) =

3a 93
31

(đvđd).

Câu 23 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABC có thể tích V, M là trung điểm
của SA. Thể tích khối chóp S.MBC bằng:
V
.
3

V
.
2

B.

Đáp án A Ta có:

VS .MBC SM 1
=
= .
VS . ABC
SA 2

A.

Câu 25

C.

V
.
6

D.

2V
.
5

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A' B 'C ' D ' có

AB = 2a, AD = 3a, AA' = 3a. Gọi E là trung điểm B 'C ' . Thể tích khối chóp E.BCD bằng:
A.

a3
.
2

B. a 3 .

C. 3a 3 .

D.

4a 3

.
3


1
1
1
Đáp án C Ta có: VE .BCD = d ( E , ( BCD ) ) S BCD = . AA' . S ABCD = 3a 3 .
3
3
2

Câu 26 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho tam giác ABC vuông tại A. Các cạnh AB, AC, BC
của hình tam giác lần lượt là 3; 4; 5. Tính thể tích hình nón khi quay tam giác quanh trục AB.
A. 12 .

C. 48 .

B. 16 .

D. Đáp án khác.

1
Đáp án B Thể tích hình nón là V =  AC 2 . AB = 16 .
3

Câu 27 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh
a, SD =

a 17

. Hình chiếu H của S lên mặt đáy là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung
2

điểm của AD. Thể tích của khối chóp S.HKDC là:
A.

5a 3 3
.
8

B.

5a 3 3
.
16

C.

5a 3 3
.
24

D.

5a 3 3
.
32

Đáp án C
Ta có: Xét D ADH vuông tại A có: DH =

Xét D SDH vuông tại H có: SH =
S HKDC =

AD 2 + AH 2 =

a 5
.
2

SD 2 - DH 2 = a 3.

5S ABCD 5a 2
(đvdt)
=
8
8

1 5a 2
5a 3 3
 VSHKDC = .
.a 3 =
3 8
24

(đvtt)

Câu 28 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của CD và AB. Lấy I  AC , J  DN sao cho IJ // BM. Độ dài IJ theo a là:
A.

a 3
.
3

B.

a 2
.
3

C.

a 3
.
4

D.

a 2
.
2

Đáp án A
Kẻ đường thẳng qua C song song với BM cắt BD ở G, AG cắt DN ở J, đường thẳng qua J
song song với CG cắt AC ở I. Kẻ AH vuông góc với BD tại H.
Dễ dàng chứng minh được IJ//BM; B là trung điểm của GD và tính được

BM =

a 3

3a
; CG = 2 BM = a 3; GH = .
2
2

Ta có: Tam giác ANJ đồng dạng với tam giác AHG nên:


AJ AN
a/2 1
=
=
= .
AG GH 3a / 2 3

Mà IJ//CG nên:
IJ
AJ 1
CG a 3
=
=  IJ =
=
.
CG AG 3
3
3
Câu 29 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy,
ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = CD = a, SA = 2a. Gọi I là trung điểm
của AB. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện S.AICD là:
A.  a3 6.

B.  a3 3.

C.  a3 5.

D. Đáp án khác.

Đáp án A
Dễ thấy trung điểm I của SC là tâm hình cầu ngoại tiếp chóp S.AICD.

Mà SC = SA2 + AC 2 = (2a )2 + (a 2) 2 = a 6  SI =

SC a 6
=
.
2
2
3

4 a 6
3
Vậy thể tích hình cầu ngoại tiếp chop S.AICD là:  
 =  a 6 (đvtt).
3  2 

Câu 30 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
SA vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm BC, góc giữa SC và mặt phẳng ( SAB ) bằng 30 .
Khoảng cách giữa DE và SC là:
A.

a 38
.
19

B.

a 2
.
7

C.

2a
.
9

D.

2a 3
.
9

Đáp án A
· = 300 nên dễ tính được SB = a 3. Từ đó suy ra SA = a 2.
Xét SBC vuông tại B, có BSC

Gắn trục tọa độ Axyz với A là gốc tọa độ sao cho:
Tia Ax trùng tia AB; tia Ay trùng tia AD; tia Az trùng tia AS.
Khi đó:
a

A(0;0;0); B(a;0;0); C ( a; a;0); D(0; a;0); E ( a; ;0); S (0;0; a 2).
2

Phương trình mặt phẳng qua DE và song song với SC là:
( P) : 2 x + 2 2 y + 3z - 2 2a = 0.

Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng ED và SC là: d(ED;SC ) = d ( S ;( P )) =

a 38
19

(đvđd).


Câu 31 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Cho hình nón tròn xoay có bán kiń h đáy R, chiều cao
h và góc ở đỉnh là góc  không là góc nhọn. Mô ̣t mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt
hình nón theo thiế t diện là tam giác. Khi đó tam giác có diện tích lớn nhấ t là:
A.

1 2
( h + R2 ).
2

B.

1 2
( h + R ) .
2

C.

1
( h + R 2 ) h.
2

D.

1 2
( h − R2 ).
2

Đáp án A
Giả sử thiết diện là một tam giác cân có độ dài chiều cao hạ từ đỉnh nón xuống đáy tam giác
là x ( 0  x  R 2 + h 2 ) .
Khi đó ta dễ dàng tính được độ dài đáy tam giác theo x, h và R là: 2. R2 + h2 − x2 .
Do đó, diện tích S của tam giác là:

S = x. R + h − x 
2

Vậy S max =

2

2

x 2 + ( R 2 + h2 − x2 )
2

(BĐT Cauchy)  S 

R 2 + h2
.
2

R 2 + h2
.
2

Câu 32 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với
đáy, tam giác ABC vuông cân tại B. Có cạnh AB = a. Góc giữa SB và mặt đáy là 60 . Thể
tích hình chóp là:
A.

a3 3
.
3

B.

a3 3
.
4

C.

a3 3
.
5

D.

a3 3
.
6

1
a2
Đáp án D Có S ABC = .a.a = . Có ( SB, ( ABC ) ) = ( SB, AB ) = SBA = 60 .
2
2
1
a3 3
SA = AB.tan 60 = a 3. Vậy VS . ABC = SA.S ABC =
.
3
6

Câu 33: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình lập phương cạnh a. Diện tích mặt cầu đi
qua các đỉnh của hình lập phương là:
A. a 2 .

B. 2 a 2 .

Đáp án C Theo giả thiết R =

C. 3a 2 .

D. 4 a 2 .

a 3
. Vậy diện tích mặt cầu là 4 R 2 = 3a 2 .
2

Câu 34: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a
và SAB = SAD = BAD = 60 , cạnh bên SA = a. Thể tích khối chóp tính theo a là:
A.

a3 2
.
2

B.

a3 2
.
3

C.

a3 2
.
6

D.

a3 2
.
12

Đáp án C
Ta có: SA = SB = SC = a.
· = SAD
· = BAD
· = 600 Þ D SAB, D SAD, D BAD đều.
Mà SAB
Þ SB = SD = BD = a Þ D SBD đều.

Gọi O là tâm hình thoi ABCD, I là tâm tam giác đều SBD cạnh
a. Vì AS = AB = AD Þ AI ^ mp (SBD)= {I }.
Dễ dàng tính được AO = SO =
Xét D AIO vuông tại I có: AI =

a 3
SO a 3
; IO =
=
.
2
3
6

AO 2 + OI 2 =

a 6
.
3

1

1 a 6 a 2 3 a3 2
 VA.SBD = . AI .S SBD = .
.
=
3
3 3
4
12

(đvtt)

Câu 35: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là mô ̣t hình
thang với đáy AD và BC. Biế t AD = a, BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác
SAD và SBC. Mặt phẳng ( ADJ ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng ( BCI ) cắt SA, SD
tại P, Q. Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Tính EF theo a,b.
A. EF =

1
(a + b).
2

B. EF =

3
( a + b).
5

C. EF =

2

(a + b).
3

D. EF =

2
(a + b).
5

Đáp án D
Dễ thấy rằng:

SP SM SN SQ 2
=
=
=
=  PM / / AB; MN / / BC ; NQ / / CD; QP / / DA.
SA SB SC SD 3

Giả sử SE  AB = E '; SF  CD = F '.
Áp dụng định lý Ceva vào tam giác SAB có:
E'A MB PS
E'A 1
.
.
=1
. .2 = 1  E ' A = E ' B  E ' là trung điểm của AB.
E ' B MS PA
E 'B 2

Chứng minh tương tự ta cũng có F ' là trung điểm của CD  E ' F ' là đường trung bình của
hình thang ABCD  E ' F ' =

AD + BC a + b
=
.
2
2

Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác SBE’ với cát tuyến AEM
có:
MB ES AE '
1 ES 1
ES
ES 4
.
.
=1 .
. =1
=4
= .
MS EE ' AB
2 EE ' 2
EE '
E 'S 5


Chứng minh tương tự ta cũng có:

FS

4
=  E ' F '/ / EF .
F 'S 5

Áp dụng định lý Thales vào tam giác SE’F’ có:
EF
SE 4
4
4 a + b 2( a + b)
=
=  EF = E ' F ' = .
=
.
E ' F ' SE ' 5
5
5 2
5

Câu 36: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho mô ̣t hình vuông ABCD cạnh a. Khi quay hình
vuông theo trục chéo AC thì ta thu được mô ̣t khối tròn xoay có thể tích V1 và quay quan trục
AB được khối tròn xoay có thể tích V2 . Khi đó

A.

2
.
2

B.

V1
bằng:
V2

2
.
3

C.

2
.
6

D.

 2
12

.

Đáp án C
Gọi O là tâm hình vuông ABCD  OA = OB = OC = OD =

a 2
.
2
3

1

2
2
2  a 2  a3 2
 V1 = 2. .OA.S(O;OB ) = .OA. .OB 2 =
OA3 =

 =
3
3
3
3  2 
6

(đvtt)

V2 = AB.S(O; AD ) = AB. . AD 2 =  . AB3 = a 3 .


V1
2
=
.
V2
6

Câu 37 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,

SA ⊥ ( ABCD ) . Biết SA = y; M  AD; AM = x; x 2 + y 2 = a 2 . Khi đó giá trị lớn nhất của
VS . ABCM là:
A.

a3 3
.
4

B.

a3
.
8

C.

a3 3
.
2

Đáp án D
Ta có: S ABCM =
Þ VS . ABCM =

a ( x + a)
AM + BC
(đvdt)
. AB =
2
2

a (x + a ) y a (x + a ) a 2 - x 2
1

SA.S ABCM =
=
3
6
6

Đặt f ( x) = (x + a) a 2 - x 2 Þ f '( x) =

- 2 x 2 - ax + a 2
a2 - x2

(đvtt).

D.

a3 3
.
8


Xét phương trình f '( x) = 0  x =
Từ đó suy ra VS . ABCM max =

a
a
 f ( x) đạt giá trị lớn nhất khi x = .
2
2

a3 3

(đvtt).
8

Câu 38: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cắt mặt trụ bởi mặt phẳng như hình
vẽ. Thiế t diện tạo được là Elip có trục lớn bằng 10. Khi đó thể tích của hình vẽ
là:
A. 192 .
B. 275 .
C. 704 .
D. 176 .

Đáp án D
Bán kính đường tròn đáy là: R =

102 − 62
= 4.
2

Khi đó ta dễ dàng tính được thể tích hình vẽ là: V =  .42.8 +

 .42.6
2

= 176 (đvtt).

Câu 39 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC
vuông tại B. Góc giữa SC và mặt phẳng (SBC) là:
A. ABC.

B. SAB.

C. BSC.

D. ASB.

Đáp án C
Ta có: SA ⊥ BC, AB ⊥ BC  BC ⊥ ( SAB ) . Do đó ( SC , ( SAB ) ) = ( SC , SB ) = BSC.
Câu 40 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Khối tứ diện là khối đa diện lồi.
B. Khối hộp là khối đa diện lồi.
C. Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi.
D. Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.
Khẳng định lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện là sai.
Câu 41

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A' B 'C ' D ' có

AB = 2a, AD = 3a, AA' = a 2. Gọi I là trung điểm của cạnh B 'C ' . Thể tích khối chóp I.BCD

bằng:


3
B. a .

3
A. 3a .

3a3 .

C.

D.

2a3.

1
1
1
VI . BCD = d ( I , ( BCD ) ) S BCD = AA' . S ABCD = 2a 3
3
3
2

Câu 42 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Tam giác ABC vuông tại A cạnh AB = 6, AC = 8, M là
trung điểm của cạnh AC. Thể tích khối tròn xoay do tam giác qua quanh cạnh AB là:
B. 84 .

A. 102 .

C. 76 .

D. 96 .

Khi quay tam giác BMC quanh cạnh AB ta được khối tròn xoay như
hình vẽ, khi đó ta có:
V=

1
1

AB . AC 2 − AB . AM 2 = 96
3
3

Câu 43: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy
vuông cân tại C, AB = 3a và G là trọng tâm tam giác ABC,
SG ⊥ ( ABC ) , SB =

A.

a 3
.
3

a 14
. Khi đó d ( B, ( SAC ) ) bằng:
2

B. a 3.

C.

a 3
.
2

Đáp án B
Gọi I là trung điểm BC; kẻ GH ⊥ AC = H .
Xét ABC vuông cân tại C ta có:

AC = BC =

3a
3a
3a 10
 CI =
; AI = AC 2 + CI 2 =
4
2
2 2


2
a 10
 GS = SB 2 − BG 2 = a
 BG = AG = AI =

3
2

GH / / CI  GH = 2 CI = a 2

3
2
Kẻ GK ⊥ SH = K  GK ⊥ mp(SAC ). Xét SGH vuông tại G có:

1
1
1
2 1

a 3
=
+
= 2 + 2  GK =
2
2
2
GK
GH
GS
a a
3
 d( B;mp ( SAC ) ) = 3GK = a 3 (đvđd).

Câu 44 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và mặt phẳng ( SBD ) tạo với mặt phẳng

D.

a 2
.
2


( ABCD )

mô ̣t góc bằng 60 . Gọi M là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng SC và BM

A.

2a
.
11

B.

6a
.
11

C.

a
.
11

D.

3a
.
11

Đáp án A
Gắn trục tọa độ Axyz với A là gốc tọa độ sao cho:
Tia Ax trùng tia AB; tia Ay trùng tia AD; tia Az trùng tia AS.
Khi đó:

 a 

A(0;0;0); B(a;0;0); C (a; a;0); D(0; a;0); M  0; ;0  .
 2 
Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Do góc giữa mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 600 nên
æ
ö
· = 600 Þ SA = OA.tan SOA
· = a 2 tan 600 = a 6 Þ S çç0;0; a 6 ÷
÷
SOA
.
÷
ç
çè
2
2
2 ÷
ø


−a 6 
a 

 SC  a; a;
 / / 2;2; − 6 ; BM  −a; ;0  / / ( −2;1;0 ) . Mặt phẳng (P) chứa SC và
2 
2 



(

)

song song với BM có vecto pháp tuyến là

(

6;2 6;6 / / 1;2; 6 nên có phương trình:

x + 2 y + 6 z − 3a = 0. Do đó: d( SC ;BM ) = d( B;( P ) ) =

) (

)

2a
(đvđd).
11

Câu 45 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cắt mô ̣t khối trụ bởi mô ̣t mặt phẳng vuông góc với trục
của nó ta được thiế t diện là mô ̣t hình tròn có chu vi bằng chu vi vủa hình chữ nhâ ̣t được tạo
thành khi cắt mặt trụ bởi một mặt phẳng đi qua 2 tâm. Khi đó tỉ số

A.

 −2
.
 −1

B.

 +2
.
 +1

C.

 ( − 2 )
.
2 − 2

S xq
Stp

của khối trụ bằng:

D.

 −2
.
 +2

Đáp án A
Gọi chiều cao, bán kính đáy của hình trụ lần lượt là h; r ( h; r  0).

 2 r = 2.( 2r + h )  h = ( − 2) r. Khi đó:
S xq
Stp

=

2 rh
h
( − 2 ) r =  − 2 .
=
=
2 r ( h + r ) h + r ( − 2 ) r + r  − 1

Câu 46:

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình chóp S.ABC với đáy ABC có

AB = 10cm, BC = 12cm, AC = 14cm, các mặt bên cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng

nhau và bằng  với tan  = 3. Thể tích khối chóp S.ABC là:


B. 242 cm 3 .

A. 182 cm 3 .

C. 192 cm 3 .

D. 252 cm 3 .

Đáp án C
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng đáy. Kẻ HM, HN, HP lần lượt
vuông góc với các cạnh AB, BC, CA. Khi đó ta có SM, SN, SP
lần

lượt

vuông

góc

với

AB,

BC,

CA.

Do

đó:

·
· = SPH
· = α.
SMH
= SNH

Khi đó: HM = HN = HP =

HS
HS
=
.

tan 
3

Suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC bán kính HM.
Áp dụng công thức Hê-rông ta có: SABC = 24 6 (đvdt)

 HM =

SABC 24 6 4 6
=
=
 HS = 3HM = 4 6.
p
18
3

1
1
 VS . ABC = HS .S ABC = .4 6.24 6 = 192 (đvtt).
3
3

Câu 47. (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh
đáy bằng 2a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A ' BC ) bằng a 3 . Thể tích khối lăng trụ
là.
A. 8a3 3.

B. 4a3 3.

C.

8 3
a 3.
3

D. 3a3 3.

Đáp án A.
Từ A dựng AH ⊥ A' B( H  A' B)  AH = a 3

1
1
1
1
1
1
1
=
+

= 2− 2=
2
2
2
2
AH
AA' AB
AA'
3a 4a 12a2
 AA' = 2a 3  V = 2a 3.4a2 = 8a3 3.

Câu 48 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình nón có độ dài
đường cao là a 3 , bán kính đáy là a. Số đo của góc ở đỉnh là.
A. 300.

B. 600.

C. 120 0.

Đáp án B.
Đường sinh 1 = h2 + r 2 =

( a 3)

Ta có góc ở đỉnh 2 , với sin =

2

+ a2 = 2a

r
a 1
=
=   = 300  2 = 600.
l 2a 2

D. 900.


r
Cách 2: Ta có góc ở đỉnh bằng 2.tan−1   = 2.300 = 600.

 h
Câu 49 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng
a, một mặt phẳng ( ) cắt các cạnh AA ', BB ', CC ', DD ' lần lượt tại M , N , P, Q . Biết
1
2
AM = a, CP = a . Thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ là.
3
5

A.

11 3
a.
30

B.

a3
.
3

C.

2a 3
.
3

D.

11 3

a.
15

Đáp án A
B'

Thể tích của khối đa diện ABCD.MNPQ bằng thể tích khối hình hộp
đứng có đáy là

C'
D'

A'
N

1  a 2a  11a
ABCD và chiều cao h =  +  =
2  3 5  30

P

M

Q

11
Vậy thể tích cần tính V = a 3
30

C

B
A

D

Câu 50 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A1B1C1 có đáy là tam
giác đều cạnh 2a, điểm A1 cách đều 3 điểm A, B, C. Cạnh bên AA1 tạo với mặt phẳng đáy
một góc  . Thể tích khối trụ ABC. A1B1C1 bằng 2 3a3 . Giá trị của  là.
A. 300.

D. Đáp án khác.

C. 600.

B. 450.

Đáp án C

A'

Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC có diện tích S ABC = a2 3

A1 cách đều A, B, C  A1H ⊥ ( ABC )  A1 AH = 
A1 H =

V
2 3a 3
=
= 2a

S ABC
3a 2

 cot  =

Câu 51.

B'

C'

A

α

M

AH 2 3a
1
=
: 2a =
  = 600
A1 A
3
3

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình hộp

H
C

B

ABCD.A ' B ' C ' D ' có

AB = AD = 2a, AA' = 4 a . Lấy M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AA’, BB’,CC, DD’.

Biết hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' nội tiếp khối trụ (T) và lăng trụ ABCD.MNPQ
nội tiếp mặt cầu (C). Tỉ số thể tích

V(T )
V( C )

giữa khối cầu và khối trụ là.


A.

2 3
.
3

B.

3
.
3

C.

2
3 3

D.

.

1
2 3

.

Đáp án A

ABCD.A ' B ' C ' D ' nội tiếp khối lăng trụ,

ABCD.MNPQ

nội tiếp mặt cầu nên

ABCD.A ' B ' C ' D ' là hình hộp chữ nhật
B

Bán kính đường tròn ngoại tiếp

ABCD là r = 2a, VT = 4a. .2a2 = 8 a3

D

A

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD.MNPQ là
R=

Vậy

N

1
4
4a 2 + 4a 2 + 4a 2 = 3a  VC =  R 3 = 4 3 a 3
2
3

V(T )
V(C )

=

C

P

M

Q

8 a3
2 3
=

3
3
4 3 a

C'

B'
A'

D'

Câu 52 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABC với AB = SA = a , tất cả các cạnh
còn lại bằng b. Độ dài EF (E, F là trung điểm của AB, SC) theo a, b.
A.

b 2
.
2

B.

a 2 + 4b2
.
2

C.

b 3
.
2

a 2 + 3b 2
.
4

D.

Đáp án A

S

Áp dụng công thức trung tuyến ta có:
SE 2 =

SA2 + SB 2 AB 2 a 2 + b 2 a 2 b 2 a 2
−
=
−
= +
2
4
2
4
2 4

F

Theo Định lý PiTaGo ta có:

a2

4
2
2
SE + CE
SC 2 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 b 2
 EF2 =
−
= + + − − =
2
4
4 8 2 8 4
2
2b
 EF =
2

CE 2 = BC 2 − CE 2 = b 2 −

H
C

A
E
B

Câu 53 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình chữ
nhật, biết AB = 2a, AD = a. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM =

a
, Cạnh AC cắt MD

2


tại H. Biết SH vuông gốc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a. Khoảng cách giữa hai đường
thẳng SD và AC.
A.

a
.
3

B.

2a
.
5

C.

2a
.
3

D.

a
.
2

Đáp án C

AM BC 1
=
=  AMD
AD AB 2

BCA

S

 AMH = ACB  AMH + MAH = ACB + BAC = 900
 AC ⊥ DM
Vì SH ⊥ ( ABCD )  DH ⊥ ( SAC )
K A

từ H kẻ HK ⊥ SD  HK là khoảng cách cần tính.
Ta

có

B

M
H

a

2a

D

C

DH DC
DH
4
DH 4
4
4 a2
2 5a
=
=4
= 
=  DH = DM =
+ a2 =
HM AM
HM + DH 5
DM 5
5
5 4
5
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
1
1
1
1
5
9
2a
=

+
= 2 + 2 = 2  HK =
2
2
2
HK
SH
DH
a
4a
4a
3

Câu 54 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc
giữa cặp vectơ AB và EG ?
B. 60 o .

A. 90o .

C. 45o .

D. 120o .

Ta có. EG//AC (do ACGE là hình chữ nhật)

(

) (

)

 AB, EG = AB, AC = BAC = 45o


Câu 55 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
vuông tại A và B, AB = BC =

1
AD = 2a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông
2

góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ACD.
A.

4a 3 3
.
3

B.

a3 3
.
2

C.

a3 2
.
6

D.

a3 3
.
6

Ta có tam giác ACD vuông cân tại C và CA = CD = 2a 2
 SΔACD = 4a 2 . Gọi H là trung điểm của AB

Vì tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

 SH ⊥ ( ABCD ) ;SH = a 3 . Vậy SS.ACD

4a 3 3
=
.
3

Câu 56 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường
thẳng AB và CD bằng.
A. 60 o .

B. 30o .

C. 90o .

D. 45o .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Vì tứ diện ABCD đều nên AG ⊥ ( BCD) .

CD ⊥ AG
 CD ⊥ ( ABG )  CD ⊥ AB .
Ta có. 
CD ⊥ BG
Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 900.
Câu 57 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Một hình trụ có chiều cao h, một thiết diện song song
và cách trục một khoảng bằng d chắn trên đáy một dây cung sao cho cung nhỏ có số đo bằng
60 o . Thể tích của khối trụ là

A.

2πd 2 h
.
3

B.

3πd 2 h
.
2

C.

πd 2 h
.
3

D.

4πd 2 h
.
3


Ta có bán kính đáy R =

d
2d
=
o
cos30
3

2

4πd 2 h
 2d 
 VTr = π 
.h
=

3
 3

Câu 58 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc.
Tam giác ABC cân tại A, có AB = 2a , ACD = 60o . M là trung điểm AB, N  BC sao cho

BN = 2NC . Khi đó khoảng cách từ P đến mặt phẳng (BCD) bằng (với P là giao điểm MN
và AC).

A.

2a 21
.
7

B.

a 21
.
7

C.

a 7
.
7

D.

2a 7
.
7

Đáp án A
D

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
Có O  A, AB  Ox, AC  Oy, AD  Oz AD = 2a tan 600 = 2a 3
Từ

M

kẻ

MH

song

song

với

AC

ta

có

1
1
1 1
NH =  −  BC = BC = NC
6
2
 2 3
 CP = 2MH = 2a  AP = 4a
PT của mặt phẳng (BCD) là

B

MH = a ;
M
H

A
N
60°

x
y
z
+
+
= 1 Vậy khoảng cách từ P ( 0;4a;0)
2a 2a 2 3a

C
P

đến (BCD) là:

1
12 2a 21
=a
=
7
1
1
1

7
+ 2+
2
2
4a
4a 12a

Câu 59 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Cho hình thanh cân ABCD, AD//BC có AB = BC =
CD = a; AD = 2a. Thể tích của khối tròn xoay thu được khi xoay hình thang theo trục AC là.

πa 3 2
A.
.
3

πa 3 3
B.
.
3

πa 3 6
C.
.
3

πa 3 3
D.
.
9

C

B

Đáp án B
Chọn hệ trục Oxy trong đó A  O;Ox  AC
Hình thang thỏa mãn bài toán có AC ⊥ CD , góc đáy bằng 600

60°

A

D

y


(

)

AC = AD.sin 600 = a 3  D a 3; a  PT đường thẳng AD là y =
Vậy thể tích cần tính V = 

a 3


0

1

x
3

1 2
 a 3  a3 3
x dx = x3 | =
3
9
0
3

Câu 60. (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Lăng trị ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a.
Hình chiếu vuông góc của A' lên

(ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Mặt phẳng

a2 3
. Thể tích
8

(P) chứa BC vuông góc với AA' cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích bằng
khối lăng trụ ABCA’B’C' bằng.
A.

a3 2
.
12

B.

a3 6
.
12

C.

a3 6
.
3

a3 3
.
12

D.

Đáp án D

A'

B'

Gọi M là trung điểm BC. Từ M kẻ MH ⊥ AA'  ( HBC ) ⊥ AA'

2dt HBC
a2 3 a 3
HM =
=2
=
BC

8a
4
AH = AM 2 − HM 2 =

;

3a 2 3a 2 3a
−
=
4
16
4

C'

H

A

B
O

AMH

AH MH
AO.MH a.a 3.4 a
AA ' O 
=
 A'O =
=

=
AO A ' O
AH
3.4.3a 3

M

C

a a 2 3 a3 3
=
Vậy thể tích ABCA ' B ' C ' là V = AO.dt ABC = .
3 4
12
Câu 61. (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và
có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB
lần lượt tại M và N. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm giá trị nhỏ nhất của
A.

1
.
8

B.

2
.
3

C.

3
.
8

V1
?
V

1
.
3

D.

S

Đáp án D

P

Gọi G là trọng tâm tam giác SAC  MN đi qua G

N
B

C

G
M

A

D