ĐỀ KIỂM TRA lớp CHỌN CHUYÊN TOÁN 2018 (Phạm Công Thành)

ĐỀ KIỂM TRA LỚP CHỌN CHUYÊN TOÁN 2018-2019
Câu 1: (2,5 điểm)
1) (1 điểm) Với a, b là số nguyên dương sao cho a+1 và b+2019 chia hết cho 6.
Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6.
2) (1 điểm) Tìm nghiệm trên tập số nguyên của phương trình: 4 x 2 + 4 x = 8 y 3 − 2 z 2 + 4 .
3) (0,5 điểm) Một số tự nhiên có 4 chữ số được gọi là “số điên cuồng” nếu bình phương của
tổng hai chữ số đầu và hai chữ số cuối bằng chính nó. Tìm tất cả các “số điên cuồng” có
4 chữ số.
Câu 2: (2,5 điểm)
1) (1 điểm) Giải phương trình: 2028x 2 − x − 2 = (7 x − 2) 2018x 2 + 1 .

 x3 + y 3 = 1 + y − x + xy
2) (1 điểm) Giải hệ phương trình: 
.
7
xy
+
y
−
x
=
7

3) (0,5 điểm) Biết phương trình: 3 x9 − 3x7 + 5x6 −12x4 + 17 x3 + 12x2 − 9x + 6 = 2x + 1 có 3
nghiệm phân biệt.
1− a 1− b 1− c
+
+
Tính: L =
.
1+ a 1+ b 1+ c

Câu 3: (3,5 điểm) Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp là r và độ dài các đường cao là
m, n, q.
1 1 1 1
+ + = .
m n q r
2) (1,75 điểm) Cho r=1 và m, n, q là các số nguyên dương. Chứng minh: tam giác ABC đều.

1) (1,75 điểm) Chứng minh:

| a + b + c | 398
 a b

Câu 4: (0,75 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:  | + + c | 1 .
 3 2
| c | 1


Chứng minh rằng : | a | + | b | + | c | 2018 .
Câu 5: (0,75 điểm) Cho một bàn cờ quốc tế 8x8. Hỏi rằng quân mã có thể đi nước đầu tiên từ ô
dưới cùng bên trái và kết thúc ở ô trên cùng bên phải được không? Với điều kiện nó phải đi qua
tất cả các ô trên bàn cờ và mỗi ô chỉ đi qua đúng một lần.