Giáo trình cơ học lượng tử đại học BKHN

CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ PHI TƯƠNG ĐỐI TÍNH

2012

- 0904999568

1


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƯƠNG 1:

CHƢƠNG 1

NHỮNG NGUYÊN LÝ CƠ SỞ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

1. CƠ HỌC CỔ ĐIỂN
Những nguyên lý cơ sở của cơ học cổ điển đã đƣợc biết từ thời Newton (1643-1727), nhƣng cấu
trúc toán học của nó đạt tới mức hoàn thiện là do công của Lagrange (1736-1813), Hamilton
(1805-1865) và Jacobi (1804-1851). Do đó, cơ học cổ điển thƣờng đƣợc trình bầy dƣới dạng các
hình thức luận (formalism) tƣơng đƣơng với nhau là cơ học Lagrange, cơ học Hamilton và phƣơng
trình Hamilton-Jacobi và từ đó ta có thể rút ra các định luật Newton nhƣ những hệ quả.
1.1 Cơ học Lagrange
Trong cơ học Lagrange, trạng thái của một cơ hệ có s bậc tự do đƣợc mô tả bởi 2s đại lƣợng

gồm s tọa độ suy rộng q  (q1 , q 2 ,...q s ) và s tốc độ suy rộng q  (q1 , q 2 ,...q s ) . Mọi thông tin về
cơ hệ đều nằm trong hàm Lagrange L  L(q, q , t )  L(q1 , q 2 ,...q s ; q1 , q 2 ,...q s ; t ) . Phƣơng trình
chuyển động của cơ hệ là hệ phương trình Lagrange
d  L

dt  q i

 L
 
 0 , i  1,2,...s
 qi

(1.1)

Đặc biệt, đối với cơ hệ một hạt ( s  3) , tức là một hạt khối lƣợng m , hàm Lagrange hay
lagrangien trong hệ tọa độ Descartes của hạt có dạng tổng quát

L  T U 

p x2  p y2  p z2
2m

 U ( x, y , z )

(1.2)

Các đại lượng vật lý hay các biến động lực của hệ sẽ là năng lượng hay hamiltonien

E  H  T U 

p x2  p y2  p z2
2m

 U ( x, y , z )

(1.3)

Ba thành phần của vector xung lượng
 p x  mv x

 
p  mv   p y  mv y

 p z  mv z

(1.4)

Ba thành phần của vector mômen xung lượng hay mômen góc (mômen xoắn)

 Lx  ypz  zp y


 
L  [ r  p ]   L y  zp x  xpz

 Lz  xp y  ypx
- 0904999568

(1.5)

2


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

Phƣơng trình Lagrange của hệ chính là định luật 2 Newton

dp
U
 
dt
r

(1.6)

1.2 Cơ học Hamilton
Trong cơ học Hamilton, trạng thái của một cơ hệ có s bậc tự do đƣợc mô tả bởi 2s đại lƣợng
gồm s tọa độ suy rộng q  (q1 , q 2 ,...q s ) và s xung lượng suy rộng p  ( p1 , p 2 ,... p s ) . Bản thân
cơ hệ đƣợc đặc trƣng bởi hàm Hamilton: H  H (q, p, t )  H (q1 , q2 ,...qs ; p1 , p2 ,... ps ; t ) . Hàm
Hamilton hay hamiltonien có vai trò rất quan trọng vì nó chính là năng lƣợng của cơ hệ.
Phƣơng trình chuyển động của cơ hệ là hệ phương trình chính tắc Hamilton

H
qi
H
q i 
pi

p i  

(1.7)
(1.8)

1.3 Phƣơng trình Hamilton-Jacobi
Để đơn giản, ta xét một hạt chuyển động trong trƣờng lực. Trong hình thức luận Hamilton –
Jacobi, ngƣời ta dùng hàm S phụ thuộc 3 tọa độ và thời gian, gọi là hàm tác dụng đặc trƣng cho
hạt

S  S ( r , t )  S ( x, y , z , t )

(1.9)

Phƣơng trình chuyển động của hạt khối lƣợng m trong trƣờng lực U ( x, y , z ) là phương trình
Hamilton – Jacobi
S
1  2


S  U ( x , y , z )
(1.10)
t 2m

 


Giải phƣơng trình trên sẽ tìm đƣợc hàm tác dụng S ( r , t ) , từ đó sẽ tìm đƣợc các biến động lực
quan trọng nhƣ năng lƣợng và vector xung lƣợng của hạt theo các công thức sau

S
t
 S 
p    S
r

E

(1.11)
(1.12)

1.4 Các dấu ngoặc Poisson
Giữa 2 biến động lực f và g có định nghĩa dẫu ngoặc Poisson


f
g f 
  g , f 

 qi pi pi qi 

 f , g    g
i

- 0904999568

(1.13)
3

CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

Nhƣ đã biết, một hạt có 7 biến động lực H , p x , p y , p z , Lx , Ly , Lz . Giữa các biến động lực này và
các tọa độ Descartes x, y, z (không phải là biến động lực) có các dấu ngoặc Poisson sau

xi , xk   0

p i , p k   0

;

;

xi , pk    ik

(1.14)

Trong đó, i, k  1,2,3  x, y, z . Các dấu ngoặc Poisson (1.14) là các dấu ngoặc Poisson cơ bản.
Giữa 3 thành phần của vector mômen xung lƣợng có các dấu ngoặc quan trọng

L , L   L
x

y

Hay

z

;

L , L   L
y

z

L , L   e
i

j

;

x

i jk

L z , Lx   Ly

(1.15)

(1.16)

Lk

Trong đó, ei j k có giá trị bằng  1 nếu 3 chỉ số i, j , k là một hoán vị chẵn; ei j k có giá trị bằng  1
nếu 3 số i, j , k là một hoán vị lẻ; ei j k có giá trị bằng 0 nếu trong 3 chỉ số i, j , k có từ 2 trong 3
chỉ số trùng nhau. Qui ƣớc: e123  1 ; Thí dụ: e321  e123  1 (số hoán vị lẻ: hoán vị 1 với 3);

e231  e213  e123  1 (số hoán vị chẵn: hoán vị 1 với 3 và hoán vị 2 với 1); e122  0 ; e333  0
Ký hiệu ei j k gọi là ký hiệu Levy – Civita tƣơng tự nhƣ ký hiệu Kronecker  ik .
Cuối cùng là các dấu ngoặc Poisson giữa hamiltonien và các biến động lực khác

H , pi   0
Và

H , Lz   0

;

(1.17)

2

H , L  0

(1.18)


Trong đó, L2  L2x  L2y  L2z là bình phƣơng độ dài vector mômen xung lƣợng.
Định nghĩa: nếu dấu ngoặc Poison giữa 2 biến động lực bằng không, ta nói 2 biến động lực giao
hoán với nhau, thí dụ các dấu ngoặc Poisson cơ bản xi , x k   0 ; pi , p k   0 của (1.14). Nếu dấu
ngoặc Poisson giữa 2 biến động lực khác không, ta nói 2 biến động lực này là không giao hoán, thí
dụ các dấu ngoặc Poisson (1.15) giữa 3 thành phần mômen xung lƣợng.
Nhận xét: Từ (1.17), nhận thấy hamiltonien H giao hoán với 3 thành phần vector xung
lƣợng p x , p y , p z và từ (1.18) hamiltonien H giao hoán với thành phần trên trục z của vector

mômen xung lƣợng L z và bình phƣơng độ dài vector mômen xung lƣợng L2 .

1.5 Nguyên lý tất định Laplace
Nguyên Lý Tất Định (Certainty Principe) hay Tất Định Luận (Determinism) có nguồn gốc từ Luật
Nhân Quả (The Law of Causality) cho rằng: mọi kết quả xẩy ra ở hiện tại là do các nguyên nhân
đã gây ra trong quá khứ, hay những sự kiện xẩy ra bây giờ là nguyên nhân của mọi sự kiện sẽ diễn
ra trong tƣơng lai.
Trong cơ học cổ điển, nguyên lý tất định đƣợc phát biểu dƣới dạng: Nếu biết trước trạng thái ban
đầu của một cơ hệ, về nguyên tắc, cơ học cổ điển có thể tiên đoán chính xác trạng thái của hệ ở
một thời điểm bất kỳ trong tương lai. Đó là nguyên lý tất định Laplace của cơ học cổ điển.
- 0904999568

4


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

2. CÁC LÝ THUYẾT TIỀN CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
2.1 Bức xạ của vật đen tuyệt đối – Thuyết lƣợng tử năng lƣợng Planck
Năm 1900, trong nỗ lực giải quyết một vấn đề gây khủng hoảng trong vật lý học lúc đó: bức xạ
của một vật đen tuyệt đối, Planck (!858-1947) đã đề xuất một ý tƣởng táo bạo về sự lượng tử hóa
năng lượng , hoàn toàn xa lạ với vật lý học cổ điển. Theo đó, vật đen tuyệt đối sẽ phát xạ hay hấp
thụ năng lượng một cách gián đoạn dƣới dạng từng lượng tử năng lượng (energy’s quantum). Mỗi
lƣợng tử năng lƣợng chứa một lƣợng năng lƣợng tỷ lệ thuận với tần số của bức xạ và có giá trị
bằng

  hf  

(2.1)

Trong đó, f là tần số và   2 f là tần số góc của bức xạ. Hệ số h là một hằng số cơ bản đƣợc
gọi là hằng số Planck h  6,625  10 34 Js và   h 2  1,054  1034 Js gọi là hằng số Planck rút
gọn. Do đó, năng lƣợng của vật đen tuyệt đối sẽ là tổng các lƣợng tử năng lƣợng
E  n  nhf  n ; n  1,2,3,...

(2.2)

Với giả thuyết thiên tài trên, Planck đã tìm đƣợc một công thức mới về năng suất phát xạ đơn sắc
của vật đen tuyệt đối ở nhiệt độ T hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm

 3
1
 ( , T )  2 3  k BT
 c e
1

(2.3)

Trong đó, c  2,9979 108 m / s là vận tốc ánh sáng trong chân không và k B  1,3806 1023 J / K
là hằng số Boltzmann. Với công thức Planck trên, vấn đề bức xạ nhiệt cân bằng của vật đen tuyệt
đối, một trong hai bế tắc lớn của vật lý học đầu thế kỷ 20, đã đƣợc giải quyết trọn vẹn .

Từ công thức Planck (2.3), dễ dàng tìm đƣợc các công thức của Rayleigh – Jeans và Wien coi nhƣ
các trƣờng hợp đặc biệt. Thật vậy,
Khi   k BT hay   0  h k B T , tức là bức xạ điện từ có bƣớc sóng rất nhỏ, ta sẽ có
exp ( k BT )  1 và có thể bỏ số 1 ở mẫu số. Từ công thức Planck sẽ tìm đƣợc công thức Wien
- 0904999568

5

CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

 ( , T ) 

  
 3

exp  
2 3
 c
 k BT 

(2.4)

  

  1 
Khi   k BT hay   0  h k B T , ta có công thức gần đúng: exp 
vì
k BT
 k BT 

 1 . Do đó, công thức Planck sẽ qui về công thức Rayleigh – Jeans
k BT

 ( , T ) 

k T
 3 k B T
 2B 3  2
2 3
 c   c

(2.5)

Lƣu ý rằng, sự khác biệt căn bản là: các công thức Rayleigh – Jeans và Wien đều dựa trên quan
niệm về sự phát ra hay hấp thụ một cách liên tục các bức xạ. Chúng chỉ là các công thức gần đúng.
2.2 Hiệu ứng quang điện – Thuyết lƣợng tử ánh sáng Eisntein
Năm 1905. Einstein (1879 - 1955) đã phát triển ý tƣởng lƣợng tử năng lƣợng của Planck và đề
xuất thuyết lượng tử ánh sáng hay thuyết photon , theo đó cho rằng bức xạ điện từ và ánh sáng là
tập hợp vô số các lượng tử ánh sáng hay các photon . Nói khác đi, Einstein đã lƣợng tử hóa các
bức xạ điện từ, tức là xem bức xạ điện từ và ánh sáng cấu tạo rời rạc từ các “hạt ánh sáng” hay các
photon.
So sánh các đặc trưng sóng và các đặc trưng hạt của ánh sáng:
Sóng ánh sáng phẳng – đơn sắc

Photon

Tần số: f , 

Năng lƣợng:   hf  

 2 
n
Vector sóng: k 



Tính chất sóng

Vector xung lƣợng:



p  k

Tính chất hạt

Nhƣ vậy, ánh sáng vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt, ánh sáng có lưỡng tính sóng – hạt.
Theo thuyết lƣợng tử ánh sáng, các photon  có khối lƣợng m  0 , tốc độ c  3  108 m / s , điện
tích q  0 nhƣng có spin s  1 , do đó chúng tuân theo phân bố Bose – Einstein.
Thuyêt lƣợng tử ánh sáng đã giải thích thành công 3 định luật thực nghiệm của hiệu ứng quang
điện, mà thuyết sóng điện từ về ánh sáng của Maxwell (1831-1879) đã không thể giải thích đƣợc.

- 0904999568

6


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1



Lƣu ý rằng để thiết lập công thức vector xung lƣợng của photon p  k , Einstein đã sử dụng hệ
thức giữa năng lƣợng và xung lƣợng của một hạt tƣơng đối tính E  m 2 c 4  p 2 c 2 , đó là một hệ

thức quan trọng của thuyết tƣơng đối hẹp.
Vì photon độ có khối lƣợng m  0 , do đó, năng lƣợng của photon sẽ là

   hf  p c

(2.6)

Suy ra
p 

hf 

 k
c
c

(2.7)

Định nghĩa vector sóng của ánh sáng
 2 
k 
n

(2.7)




Trong đó, n là vector đơn vị chỉ phƣơng truyền ánh sáng và  c  2 cT  2  , với   cT là
bước sóng ánh sáng trong chân không.

Do đó, ta tìm đƣợc biểu thức vector xung lƣợng của photon


p  k

(2.8)

2.3 Hiệu ứng Compton
Thuyết điện từ về ánh sáng của Maxwell cũng thất bại hoàn toàn trong giải thích hiệu ứng
Compton về tán xạ chùm tia X (tia Roentgen) lên các electron tự do giả thiết đứng yên.
Để giải thích hiệu ứng Compton, ta không thể xem chùm tia X nhƣ là sóng điện từ có bƣớc sóng
cực ngắn theo thuyết điện từ về ánh sáng của Maxwell mà phải xem chúng là chùm photon có tần
số rất cao theo thuyết lƣợng tử ánh sáng của Einstein.
Các photon có năng lƣợng cao va chạm đàn hồi với các electron tự do giả thiết đứng yên tuân theo
định luật bảo toàn năng lƣợng

hf  me c 2  hf  

- 0904999568

me c 2
1 v2 c2

(2.9)

7


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

Và định luật bảo toàn xung lƣợng


k  k  


me v

(2.10)

1 v2 c2

Phƣơng trình vector (2.10) tƣơng đƣơng với 2 phƣơng trình đƣợc chiếu lên 2 trục tọa độ x, y
me v
  

cos 
cos
c
c
1 v2 c2

(2.11)

me v
 
sin  
sin 

c
1 v2 c2

(2.12)

Và

Từ 3 phƣơng trình (2.9) , (2.11) và (2.12), dễ dàng tìm đƣợc công thức

      

2
 
  sin 2  
2
me c
2

(2.13)


Đặt   2 c  và    2 c  vào (2.13), ta sẽ tìm đƣợc công thức tán xạ Compton biểu diễn
hiệu các bƣớc sóng theo góc tán xạ

 
       4  C sin 2  
2
11
Trong đó, C   me c  2,2 10 m gọi là bước sóng Compton của electron.
Dễ dàng tìm đƣợc động năng T của electron sau va chạm đàn hồi với photon

T       

- 0904999568

2C sin 2  2
  2C sin 2  2

(2.14)

(.2.15)

8


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

Hiệu ứng Compton chứng minh tính đúng đắn của thuyết photon Einstein và khẳng định về tính
chất hạt của ánh sáng. Do đó, các photon cần đƣợc xem là những hạt tƣơng tự nhƣ electron,
positron, proton, neutron, neutrino, …
Nhƣng vì các hiện tƣợng giao thoa và nhiễu xạ ánh sáng lại chứng minh bản chất sóng của ánh
sáng. Do đó, ánh sáng có tính lƣỡng nguyên, vừa là hạt và vừa là sóng.
2.4 Giả thuyết De Broglie
Năm 1924, Louis de Broglie (1892-1987) đã đƣa ra một ý tƣởng thiên tài cho rằng: không phải chỉ
ánh sáng hay các photon mới có lưỡng tính sóng hạt. Nó là một thuộc tính phổ biến của mọi hạt
vật chất. Do đó, tất cả các hạt vật chất đã biết nhƣ: electron, positron, proton, neutron, …đều có
lƣỡng tính sóng – hạt.


Theo ý tƣởng của De Broglie, một vi hạt tự do có năng lượng E và vector xung lượng p liên kết
 
với một sóng phẳng – đơn sắc có tần số   E  và vector sóng k  p  .
Sóng phẳng – đơn sắc liên kết với vi hạt tự do có dạng



 i 

(r , t )  0 exp  ( pr  Et )   0 exp i [ k r   t ]







(2.15)

gọi là sóng De Broglie hay sóng vật chất (matter wave).
So sánh vi hạt tự do và sóng De Broglie liên kết với nó
Vi hạt tự do

Sóng De Broglie

Hàm tác dụng:


S (r , t )   Et  pr

Hàm sóng:

 i 

(r , t )  0 exp  ( pr  Et ) 




Năng lƣợng: E  p 2 2m

Tần số sóng:   E  ; f  E h

 2 
n
Vector xung lƣợng: k 

 
Vector sóng: k  p 



Không có đại lƣợng tƣơng ứng

Bƣớc sóng De Broglie: D  h p  h

2mE


Trong công thức (2.15), 0  const là biên độ và   k r   t là pha của sóng De Broglie

Nhƣ vậy, các vi hạt cũng có lưỡng tính hạt-sóng.
Tuy nhiên vấn đề bản chất của sóng De Broglie không hề đơn giản:

- 0904999568

9


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

Ta biết rằng, photon liên kết với sóng điện từ phẳng – đơn sắc hay sóng ánh sáng phẳng – đơn sắc,
đó là các sóng tồn tại thực.
Các hạt vật chất nhƣ electron, proton, neutron,…cũng tồn tại thực, nhƣng các sóng De Broglie liên
kết với chúng không phải là các sóng tồn tại thực nhƣ sóng điện từ hay sóng ánh sáng.
Vậy bản chất của sóng De Broglie là gì?
Theo giải thích của tác giả, sóng De Broglie liên kết với các hạt vật chất tƣơng tự nhƣ cái phao
tiêu dao động và trôi dạt trên sóng nƣớc, do đó, sóng De Broglie còn đƣợc gọi là sóng hoa tiêu
(pilot wave) hay sóng vật chất (matter wave). Nhƣng giải thích De Broglie nhanh chóng bị bác bỏ
bởi Pauli (1900-1958) trong hiệu ứng tán xạ phi đàn hồi.
Giải thích bản chất hàm sóng đƣợc thừa nhận trong vật lý hiện đại là giải thích thống kê do Max
Born (1982-1970) phát biểu năm 1953.
2.5 Thí nghiệm Davisson – Germer
Năm 1927, Davisson (1891-1958) và Germer (1896-1971) đã thực hiện thí nghiệm tán xạ chùm tia
electron trên đơn tinh thể, kết quả nhận đƣợc hình nhiễu xạ electron trên kính ảnh tƣơng tự nhƣ
hình nhiễu xạ của chùm tia X trên đơn tinh thể mà Laue (1879-1960) đã thực hiện.

Điều này chứng tỏ rằng chuyển động của các electron có tính chất sóng, đồng thời giả thuyết De
Broglie đã đƣợc kiểm chứng bằng thực nghiệm.

Nhƣ vậy, lưỡng tính sóng-hạt không phải là đặc tính riêng của photon mà là một thuộc tính phổ
biến của mọi hạt vật chất như electron, proton, neutron,…
- 0904999568

10


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

Đây là một khám phá rất quan trọng và chứng tỏ rằng các định luật chuyển động của các hạt vi
mô hoàn toàn khác với qui luật vận động của các vật thể vĩ mô.
Các cực đại nhiễu xạ electron thỏa mãn công thức

d sin  nD

; n  0,1,2,3,...

(2.16)

tƣơng tự nhƣ công thức Wulf-Bragg d sin  2n trong nhiễu xạ chùm tia X .
Thay  D  h 2me E  h 2me eU vào (2.16) ta sẽ có công thức

nh

 U sin

d 2me e

(2.17)

đã đƣợc kiểm chứng bằng thực nghiệm.
2.6 Vận tốc pha và vận tốc nhóm của sóng De Broglie



Khi đạo hàm pha   k r   t của sóng De Broglie theo thời gian, sẽ có: d dt  k u    0 . Do
đó
 
u u 
k

(2.18)



Trong đó, u  dr dt gọi là vận tốc pha của sóng De Broglie và độ dài của vector sóng bằng


2 p
k k 

D 

(2.19)

Quan hệ giữa tần số  và vector sóng k trong sóng De Broglie khá phức tạp. Thật vậy,
i) Đối với sóng De Broglie liên kết với vi hạt phi tương đối tính, từ hệ thức giữa năng lƣợng và



xung lƣợng, E  p 2 2m và từ các hệ thức Planck E    và Einstein p   k , suy ra

 k    k 2
E
p2
 

 2m 2m
2m
2

 

k2
2m

(1.2.20)

ii) Đối với sóng De Broglie liên kết với vi hạt tương đối tính, từ hệ thức giữa năng lƣợng và xung
lƣợng trong thuyết tƣơng đối hẹp, E  c p 2  m 2 c 2 , ta có
c
 2k 2  m2c 2

Trong trƣờng hợp, v  c hay  k  m c , ta có thể khai triển

 (k ) 

 (k ) 
- 0904999568

mc2  k 2

 ...,

2m

(1.2.21)

(2.22)
11


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

Lƣu ý: Đối với sóng điện từ hay sóng ánh sáng trong chân không, hệ thức giữa tần số  và vector
sóng k có dạng rất đơn giản:  ( k )  c k .
Từ công thức (2.18), vận tốc pha của sóng De Broglie liên kết với vi hạt tương đối tính sẽ là

u


k



  E mc 2 c 2
 


k
p mv
v

(2.23)

Trong đó,   1   2 
với   v c . Từ (2.23), nhận thấy, v  c suy ra u  c . Theo thuyết
tƣơng đối hẹp, tốc độ của mọi vật không thể lớn hơn tốc độ ánh sáng trong chân không. Do đó vận
tốc pha u không có ý nghĩa vật lý.
Tóm lại, vận tốc pha u không phải là vận tốc chuyển động của vi hạt.
Để thay thế khái niệm vận tốc pha u không có ý nghĩa vật lý, ngƣời ta đƣa vào khái niệm vận tốc
nhóm v g đƣợc định nghĩa nhƣ sau
1 2

vg 

d
dk

(2.24)

i) Đối với vi hạt phi tƣơng đối tính, từ (2.20), ta có
vg 

d  k p

 v
dk

m m

(2.25)



Vận tốc nhóm v g của sóng De Broglie trùng với vận tốc v của vi hạt liên kết với nó.
ii) Đối với vi hạt tƣơng đối tính,

vg 

d d   dE


dk d  k  dp

(2.26)



Dƣới tác dụng của lực F , hạt dịch chuyển một quãng đƣờng vô cùng bé ds , đồng thời năng
 
lƣợng của nó biến thiên một lƣợng vô cùng nhỏ dE  F ds .


Mặt khác, từ công thức F  dp dt , ta có


  dp 
 ds



dE 
dE  F ds 
ds  dp
 dp v  v g    v
dt
dt
dp

(2.27)



Rõ ràng vận tốc nhóm v g của sóng De Broglie đồng nhất với vận tốc chuyển động của vi hạt v liên
kết với nó .
2.7 Bó sóng De Broglie
Khi khảo sát kỹ hình nhiễu xạ electron, ngƣời ta thấy các vân tròn ứng với các cực đại nhiễu xạ
không thanh nét mà có bề rộng.
- 0904999568

12


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

Điều này chứng tỏ rằng sóng De Broglie liên kết với các electron có thể có vector sóng k khác
nhau chút ít và giá trị của k nằm trong một dải hẹp quanh giá trị k 0 nào đó

k 0  k  k  k 0  k

(2.28)

Do đó, thay vì một hàm sóng De Broglie phẳng-đơn sắc, ta cần phải xét hàm sóng tổng hợp các
hàm sóng De broglie phẳng-đơn sắc ứng với các vector sóng k biến thiên trong dải hẹp nhƣ trên .
Để đơn giản tính toán, ta chỉ xét trƣờng hợp 1D (vi hạt chuyển động dọc theo trục x ). Ta có

( x, t ) 

k0  k

 C (k ) exp i  k x  (k ) t  dk

(2.29)

k0  k

Hàm sóng (2.29) đƣợc gọi là bó sóng De Broglie.
Trong đó, vector sóng k 0  2 0 . Do k  k 0 , ta có thể khai triển Taylor tần số  (k ) xung
quanh giá trị k 0
1  d 2 
 d 
2
 (k  k 0 )   2  (k  k 0 )  ....
2  dk  k k
 dk  k k0
0

 (k )   (k 0 )  

(2.30)

và loại bỏ các số hạng vô cùng bé từ bậc hai trở đi: (k  k 0 ) n ; n  2 . Ta có

 d 
 (k  k 0 )   (k 0 )  v g 
 dk  k k0

 (k )   (k 0 )  

(2.31)

Trong đó, ta đã đƣa vào vận tốc nhóm của bó sóng De Broglie: v g  d dk k k0 và ký hiệu

  k  k 0 . Thay (2.31) vào (2.29) dễ dàng tìm đƣợc biểu thức của bó sóng De Broglie
 ( x, t )  exp  i k 0 x   (k 0 ) t  

 k

 C( k

0





  ) exp  i x  v g t   d

(2.32)

 k

Ta có thể coi   0 và hệ số C (k 0   )  C (k 0 )  const .
Sau khi tích phân theo biến số  , ta sẽ tìm đƣợc biểu thức của bó sóng De Broglie nhƣ sau



( x, t )  C( x, t ) exp  i k ( x  v g t )
C ( x, t )  2 C (k 0 )



sin k ( x  v g t )





x  vg t
Trong đó, biên độ C ( x, t ) của bó sóng De Broglie đƣợc tính nhƣ sau

- 0904999568

(2.33)

(2.34)

13

CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

 k

C ( x, t )  C ( k 0 )







exp  i x  v g t   d  C (k 0 )

 k

 k



 k





exp (i [ x  v g t ] ) d 



sin k ( x  v g t )
C (k 0 )
i ( x v g t ) k
i ( x  v g t ) k

e
e
 2C (k 0 )
i [x  vg t]
x  vg t



(2.35)

Biên độ của bó sóng De Broglie (đƣờng đứt nét) là hình bao của bó sóng De Broglie (đƣờng liền
nét) đƣợc biểu diễn trên hình H.1.9 nhƣ sau

Trong đó, nếu đặt z  k ( x  v g t ) , sự biến thiên của biên độ của bó sóng De Broglie theo z tỷ lệ
với thừa số sin z z . Khảo sát thừa số sin z z , ta có
Khi z  0 , lim
z 0

sin z
sin z
 1 . Khi z   ,  2 , ... ,

0
z
z

(2.36)

Khi z  0 suy ra x  v g t  0 . Do đó, vận tốc nhóm v g  dx dt chính là vận tốc của tâm bó sóng
De Broglie. Điều này gợi ý rằng không phải sóng De Broglie phẳng-đơn sắc mà chính là bó sóng
De Broglie mới liên kết với vi hạt tự do.Tuy nhiên, ngƣời ta đã chứng minh đƣợc bó sóng De
Broglie không ổn định và nhanh chóng tan rã, trong khi đó vi hạt nhƣ electron rất bền vững.
Mặc dù nỗ lực giải thích bản chất sóng De Broglie và liên kết nó với vi hạt tự do thất bại, nhƣng
giả thuyết De Broglie đã góp phần rất quan trọng trong việc tìm hiểu và khám phá các qui luật vận
động của thế giới vi mô.
2.8 Phƣơng trình Schrodinger
Năm 1925, Schrodinger (1887-1961) đã tìm đƣợc một phƣơng trình vi phân tuyến tính đạo hàm
riêng cấp 2 nhận hàm sóng De Broglie phẳng-đơn sắc là nghiệm. Thật vậy, từ (2.15), ta có






i 

i

(r , t )  0 exp   p r  E t    0 exp  xpx  yp y  zpz  E t 






(2.37)

Bây giờ ta tính các đạo hàm riêng theo các tọa độ x, y, z và thời gian t
- 0904999568

14


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1


i
  E
t


 i


 E
t

p x2
 2



x 2
2
p y2
 2
 2
y 2


(2.38)

(2.39)

p z2
 2


z 2
2
Tổng 3 đạo hàm riêng cấp 2 theo các tọa độ x, y, z sẽ là

p x2  p y2  p z2
 2  2  2
p2
 
 2  2 
 2 
x 2
y
z
2



(2.40)


So sánh 2 phƣơng trình (2.38) và (2.40) và từ hệ thức giữa năng lƣợng E và vector xung lƣợng p

trong cơ học cổ điển E  p 2 2m , trong đó m là khối lƣợng vi hạt, dễ dàng tìm đƣợc phƣơng trình
sau

i


2m
  2 
t


(2.41)

2m
E  0
2

(2.42)

Hay
 

Phƣơng trình (2.41) hay (2.42) gọi là phương trình Schrodinger cho một vi hạt tự do. Từ phƣơng

trình (2.42), Schrodinger sử dụng phƣơng pháp nội suy (interpolation) để tìm ra phƣơng trình cho
vi hạt chuyển động trong một trƣờng lực thế U ( x, y , z ) .


Trong phƣơng trình (2.42), năng lƣợng E  p 2 2m thực chất chỉ là động năng T  p 2 2m của vi
hạt tự do. Trong trƣờng lực thế, động năng của vi hạt là T  E  U , phương trình Schrodinger cho
một vi hạt trong trường lực thế sẽ có dạng nhƣ sau
 

2m
[ E  U ( x, y, z )]  0
2

(2.43)

Phƣơng trình chuyển động của một vi hạt trong trƣờng lực thế đƣợc tìm ra nhờ trực giác thiên tài
của Schrodinger và nó chính là phƣơng trình cơ bản của cơ học lƣợng tử phi tƣơng đối.
Phƣơng trình (2.43) là phƣơng trình Schrodinger cho một vi hạt ở trạng thái dừng.
Trƣờng hợp tổng quát, phƣơng trình Schrodinger cho một vi hạt chuyển động trong trƣờng lực thế
có dạng nhƣ sau

- 0904999568

15


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

i


 Hˆ 
t

(2.44)

Trong đó, Hˆ là một toán tử gọi là toán tử Hamilton cho bởi công thức sau
2
2  2
2
2
 2  2  2
Hˆ  
  U ( x, y , z )  
2m
2m  x
y
z


  U ( x, y, z )


(2.45)

2.9 Thí nghiệm Franck – Hertz
Năm 1913, Frank (1882-1964) và Hertz (1887-1975) đã tiến hành một thí nghiệm để chứng minh
phổ năng lƣợng của nguyên tử là gián đoạn.

Sơ đồ trên H. 1.10, mô tả một triode gồm một cathode dạng trục K đƣợc đốt nóng để phát ra các
electron và một anode A có dạng lƣới hình trụ bao quanh trục cathode K. Ngoài cùng là một cực
góp (electrode) Z cũng có dạng hình trụ bao quanh anode A.
Khi chuyển động trong điện trƣờng giữa cathode và anode, các electron có năng lƣợng không vƣợt
quá 4,9 eV đều có thể xuyên qua lƣới của anode mà không bị mất mát năng lƣợng. Sự trao đổi
năng lƣợng do va chạm đàn hồi giữa các electron và các nguyên tử thủy ngân (hơi thủy ngân
choán đầy trong triode) có thể bỏ qua.
Quan sát cho thấy, dòng điện đƣợc tăng dần đến khi năng lƣợng của các electron đạt mức 4,9 eV ,
sau đó dòng điện sụt giảm rất nhanh. Rõ ràng rằng các nguyên tử thủy ngân đã hấp thụ phần năng
lƣợng mà các electron mất đi trong va chạm. Các electron không đủ năng lƣợng sẽ đi đến cực góp
Z . Nguyên tử thủy ngân sau khi hấp thụ năng lƣợng của electron sẽ phát ra photon có bƣớc sóng
đặc trƣng   0,2537 m . Tiếp tục tăng dòng điện, các electron sẽ có đủ năng lƣợng đến mức
9,8 eV và quá trình trên sẽ đƣợc lặp lại. Thí nghiệm Franck-Hertz đã chứng minh sự tồn tại các
mức năng lượng gián đoạn của nguyên tử thủy ngân.
2.10 Thuyết nguyên tử Bohr – Sommerfeld
a) Thuyết nguyên tử Rutherford: Năm 1911, sau khi nghiên cứu kết quả thí nghiệm tán xạ
chùm hạt  trên tấm vàng (Au) dát mỏng, Rutherford (1871-1937) đã đề xuất thuyết hành tinh
- 0904999568

16


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

nguyên tử. Theo thuyết này, nguyên tử là một hệ điện tích bao gồm một hạt nhân mang điện tích
dƣơng  Ze , khối lƣợng khoảng 1836me , kích thƣớc rất nhỏ cỡ 10 15 m và Z electron mang
điện tích âm e  1,6  10 19 C , khối lƣợng 9,1  10 31 kg quay xung quanh hạt nhân tƣơng tự nhƣ

các hành tinh quay xung quanh mặt trời.
Thuyết hành tinhnguyên tử của Rutherford tuy đẹp và có tính trực quan nhƣng đã nhanh chóng
bị bác bỏ bởi một lý do rất đơn giản: Theo điện động lực học cổ điển Maxwell, các electron
mang điện tích, trong chuyển động có gia tốc xung quanh hạt nhận, sẽ bức xạ ra sóng điện từ.
Do đó, chúng sẽ mất dần năng lƣợng và rất nhanh (khoảng 10 8 s ) sẽ rơi vào hạt nhân, nhƣ vậy,
nguyên tử không bền vững. Nhƣng thực tế chứng tỏ nguyên tử rất bền vững và điều này đã đƣợc
chứng minh bởi các phản ứng hóa học: không thể phân chia đƣợc nguyên tử.
Mặt khác, khi electron mất dần năng lƣợng do bức xạ ra sóng điện từ, quang phổ của hyđrô phải
là quang phổ liên tục, nhƣng thực nghiệm cho thấy quang phổ của hyđrô lại là quang phổ vạch.
b) Thuyết nguyên tử Bohr: Năm 1913, Bohr (1885-1962), trong nỗ lực cứu vớt thuyết nguyên tử
Rutherford , đã bổ xung thêm ba tiên đề:
Tiên đề thứ nhất: Tồn tại một số các quĩ đạo dừng hay quĩ đạo lượng tử, sao cho khi chuyển động
trên các quĩ đạo này, electron không bức xạ ra sóng điện từ. Nói khác đi, khi chuyển động trên các
quĩ đạo dừng, năng lƣợng của electron bảo toàn.
Tiên đề thứ hai: Khi electron di chuyển từ quĩ đạo dừng này đến quĩ đạo dừng khác, nguyên tử sẽ
phát xạ hay hấp thụ cóng điện từ (photon) có tần số xác định bởi công thức

f mn 

Em  En
h

hay

mn 

Em  En


(2.46)

Tiên đề thứ ba: Mômen xung lƣợng của electron trong chuyển động trên các quĩ đạo dừng xung
quanh hạt nhân có các giá trị gián đoạn

Lz  p  me r v  n ; n  1,2,3,...

(2.47)

Kết hợp 3 tiên đề trên với cơ học và điện động lực học cổ điển, Bohr đã tìm đƣợc công thức năng
lƣợng năng lƣợng của electron nhận các giá trị gián đoạn hay lƣợng tử hóa.
Thật vậy, trong nguyên tử hyđrô, hạt nhân và electron tƣơng tác với nhau bằng lực tĩnh điện
Coulomb FC và nó cũng chính là lực hƣớng tâm Fn để giữ electron chuyển động trên quĩ đạo tròn
FC  Fn



me v 2 e 2
 2
r
r

(hệ đơn vị CGS)

(2.48)

Từ đó, suy ra

e2
r
me v 2

(2.49)

Theo tiên đề thứ ba, ta có

r

- 0904999568

n
me v

(2.50)

17


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

Từ (2.49) và (2.50), dễ dàng tìm đƣợc bán kính lượng tử hóa của electron

rn 

2 2
n  a0 n 2
2
me e

; n  1,2,3,...

(2.51)

Trong đó, a 0 là bán kính Bohr thứ nhất và có gía trị

2
a0 
 0,53  108 cm
2
me e

(2.52)

.
Ta cũng tìm đƣợc vận tốc lượng tử hóa của electron trên quĩ đạo dừng thứ n

e2
vn 
; n  1,2,3,...
n

(2.53)

Từ (2.51) và (2.53), ta sẽ tìm đƣợc năng lƣợng lƣợng tử hóa của electron trong nguyên tử hyđrô
E  T U 

me v 2 e 2
m e4 m e4
m e4 1


 e2 2  2e 2   e 2 2
2
r
2n 
n 
2 n

(2.54)

me e 4 1
E
E
  21
2
2
2 n
n

(2.55)

Hay
; n  1,2,3,...

Trong đó, E1  me e 4 2 2  13,6 eV là mức năng lƣợng thấp nhất hay mức năng lƣợng cơ bản của
electron. Năng lƣợng ion hóa của hyđrô là I  E  E1  0  (13,6 eV )  13,6 eV .

Thuyết nguyên tử Bohr đã giải thích rất thành công quang phổ vạch của hyđrô

- 0904999568

18


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

c) Thuyết nguyên tử Bohr-Sommerfeld
Năm 1916, Sommerfeld (1868-1951) đã tổng quát hóa thuyết nguyên tử Bohr bằng đề xuất một qui
tắc lượng tử hóa mới thay thế cho tiên đề thứ ba của Bohr

p

i

dqi  ni h

(2.56)

Trong đó, p i là xung lƣợng suy rộng tƣơng ứng với tọa độ suy rộng q i và h  6,625  10 34 Js là
hằng số Planck. Các số lƣợng tử n i là các số nguyên và tích phân đƣợc lấy theo toàn bộ chu kỳ
chuyển động của vi hạt.
Đồng thời Sommerfeld giả thiết rằng các electron chuyển động theo các quĩ đạo ellipse xung quanh
hạt nhân và hạt nhân nằm ở một trong hai tâm sai tƣơng tự nhƣ các quĩ đạo của các hành tinh quay
xung quanh mặt trời.
Trục chính của ellipse có độ dài bằng đƣờng kính quĩ đạo tròn tƣơng ứng trong mẫu nguyên tử
Bohr, còn truc phụ có độ dài xác định theo tỷ số m n của độ dài trục chính.
Thí dụ, n  5 , m  1,2,3,4,5 , tức là ứng với n  5 sẽ có 5 quĩ đạo ellipse với trục phụ có độ dài bằng
1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5 , 5 5 độ dài trục chính.

Từ qui tắc lƣợng tử hóa (2.56), ta có thể tìm lại đƣợc hệ thức năng lượng của electron (2.55) trong
nguyên tử hyđrô do Bohr đã phát minh từ 1913.
Thật vậy, theo qui tắc lƣợng tử hóa ((2.56), sẽ có hai tích phân

 p d  n h
 p dr  n h
r

Trong đó, p  me và p r  me r
- 0904999568

r

(2.57)
(2.58)

19


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

Khi chuyển động trong trƣờng đối xứng xuyên tâm của hạt nhân ứng với thế năng U (r )   e 2 r ,
electron có hai biến động lực bảo toàn là năng lƣợng E

p2 e 2
p r2
E



 const
2me 2me r

(2.59)

và hình chiếu mômen xung lƣợng trên trục z : L  Lz

Lz  p  me r 2  const

(2.60)

Do đó, từ (2.57), ta có
2

2

0

0

 p d  L  d  2 L  n h

 L  p  n 

(2.61)

Từ (2.59), dễ dàng ta tìm đƣợc

p r  2me E 

e2
L2

r 2me r 2

(2.62)

Thay (2.62) vào tích phân (2.58), ta có

- 0904999568

20


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1
rmax

 p dr  2 
r

rmin

rmax

e2
L2
2me E  

dr  nr h
r 2me r 2

pr dr  2 

rmin

(2.63)

Trong đó, rmin và rmax là bán kính ứng với các điểm cực cận và điểm cực viễn, đƣợc xác định từ
phƣơng trình r  0 .
Tích phân trên đƣợc tính bằng phương pháp tích phân chu tuyến trong mặt phẳng phức khá
phức tạp. Bỏ qua cách tính tích phân, ở đây ta chỉ đƣa ra kết quả
rmax

I 2

rmin

r

max
e2
L2
2me E  
dr  2 
r 2me r 2
rmin

A

B C
 B

 2 dr  2 i 
 C   nr h
r r
 A

(2.64)

Trong đó, ta ký hiệu:
Ai

 2me E

, E0

C   i L   i n 

(2.65)

B  me e 2

Nhân i vào trong dấu ngoặc và chia cả 2 vế cho 2 , ta có

 me e 2

2 i 
 i n    nr h 

 i  2m E

e



me e 2
 2 me E

 n   nr  

me e 2
 2 me E

 (nr  n )  n
(2.66)

Trong đó, ta đã đặt n  nr  n  1,2,3,...
Bình phƣơng 2 vế hệ thức sau cùng của (2.66), ta sẽ có

me2 e 4
 n2 2
 2me E

me e 4 1
 En  
2 2 n 2

, n  1,2,3,...

(2.67)

Đó chính là công thức năng lƣợng của electron trong nguyên tử hyđrô mà Bohr đã tìm đƣợc từ
1913. Tuy nhiên, phƣơng pháp Sommerfeld có tính tổng quát hơn.
Nhận xét: Thuyết nguyên tử Bohr đã có thành công lớn trong việc thiết lập đƣợc công thức năng
lƣợng của electron trong nguyên tử hyđrô và chứng minh rằng năng lƣợng của electron lƣợng tử
hóa. Do đó đã giải thích thành công quang phổ vạch của hyđrô. Phổ giá trị tần số ứng với các dải
quang phổ tính theo thuyết nguyên tử Bohr hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm.
Thuyết nguyên tử Bohr còn có thể mở rộng và áp dụng cho các nguyên tử đồng dạng hyđrô hay
các nguyên tử kim loại kiềm. Thuyết nguyên tử Bohr-Sommerfeld đã tổng quát hóa và hoàn
thiện thuyết nguyên tử Bohr.
Tuy nhiên, thuyết nguyên tử Bohr-Sommerfeld có những yếu điểm lớn:

- 0904999568

21


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

a) Thuyết Bohr-Sommerfeld là một lý thuyết hiện tƣợng luận (phenomendology), trong đó,
Bohr và cả Sommerfeld đã kết hợp cơ học cổ điển với các tiên đề hoàn toàn không liên quan
đồng thời mâu thuẫn với các quan điểm của cơ học cổ điển. Đó là sự kết hợp thành công
nhƣng chỉ đúng cho nguyên tử hyđrô và các nguyên tử đồng dạng hyđrô.
b) Thuyết Bohr- Sommerfeld hoàn toàn bất lực khi áp dụng cho nguyên tử hêli và các nguyên
tử có nhiều electron khác. Điều đó chứng tỏ thuyết Bohr-Sommerfeld chỉ là một thuyết trung
gian trong quá trình tìm kiếm một lý thuyết logic, phi mâu thuẫn cho các nguyên tử.
2.11 Kết luận: Các lý thuyết tiền cơ học lƣợng tử dựa trên hai ý tƣởng cơ bản

a)
b)

Lưỡng tính sóng-hạt là thuộc tính phổ biến của mọi hạt vật chất, tức là, chuyển động
của các hạt vật chất có tính chất sóng, nhưng tính chất hạt của chúng vẫn giữ nguyên.
Lượng tử hóa là đặc trƣng cơ bản của thế giới vi mô, tức là, các biến động lực cơ bản
của các vi hạt nhận các giá trị gián đoạn .

Mặc dù có các yếu điểm trên nhƣng các thuyết lượng tử cũ là những tiền đề quan trọng để xây
dựng một học thuyết mới cho thế giới nguyên tử.
Để xây dựng một học thuyết mới cho thế giới nguyên tử, cần có các cá nhân kiệt xuất có thể khái
quát hóa hai ý tƣởng cơ bản trên. Học thuyết đó chính là cơ học lượng tử.
Cơ học lƣợng tử, một học thuyết logic, phi mâu thuẫn cho thế giới nguyên tử, không phải do
một vĩ nhân khám phá ra mà là do một tập thể các nhà vật lý thiên tài: Bohr, Einstein, De
Broglie, Schrodinger, Heisenberg, Max Born, John Von Neumann, Pauli, Dirac,…xây dựng
trong khoảng thời gian tử 1925 đến 1935.
Các kết luận và hệ quả rút ra từ cơ học lƣợng tử hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm.
Lưu ý: Cơ học lƣợng tử hiện đại còn đƣa vào ý tưởng cơ bản thứ ba là tính vướng mắc lượng tử
(quantum entanglement) do đó đã giải thích thành công nghịch lý EPR và bác bỏ ý tƣớng tham
số ẩn của Einstein. Đồng thời tính vƣớng mắc lƣợng tử là cơ sở cho các ngành khoa học và công
nghệ mới nhƣ mật mã lƣợng tử, viễn tải lƣợng tử, máy tính lƣợng tử…
3. NGUYÊN LÝ BẤT ĐỊNH
3.1 Nguyên lý bất định Heisenberg (Heisenberg’s Uncertainty Principe)
Năm 1927, Heisenberg (1901-1976), trong nỗ lực tìm kiếm một thuyết lƣợng tử mới thay thế các
lý thuyết lƣợng tử cũ, cho rằng không thể áp dụng cứng nhắc các khái niệm cơ bản về chuyển
động của cơ học cổ diển cho các hệ lƣợng tử.
Trong quá trình phát triển cơ học ma trận, một phiên bản (version) của cơ học lƣợng tử,
Heisenberg đã phát biểu nguyên lý bất định, nội dung nhƣ sau: Trong nguyên tử, các electron
không chuyển động chính xác theo các quĩ đạo xác định.
Nói khác đi, không tồn tại khái niệm quĩ đạo đối với electron trong nguyên tử.

Từ thí nghiệm Davisson-Germer, ta thấy rằng chuyển động của electron có tính chất sóng. Đặc
trƣng của qúa trình sóng là sự lan truyền trong không gian, do đó, không thể biết chính xác vị trí
của electron tại một thời điểm nào đó. Tức là electron không thể có quĩ đạo xác định.
Việc loại bỏ khái niệm quĩ đạo của electron sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu: tọa độ và tốc độ của
electron không được xác định đồng thời.
Thật vậy, nếu tọa độ và tốc độ electron xác định đồng thời ở mọi thời điểm, ta có thể dễ dàng vẽ
đƣợc quĩ đạo của nó.
- 0904999568

22


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

Xét hệ một hạt. Trạng thái của hạt tự do cổ điển xác định bởi ba tọa độ không gian x, y, z và ba
thành phần của vector vận tốc v x , v y , v z . Nhƣng theo hệ quả của nguyên lý bất định, tọa độ và tốc
độ của hạt tự do lƣợng tử không xác định đồng thời, do đó, trạng thái của một hạt tự do lượng tử
sẽ được xác định kém chi tiết hơn trạng thái của một hạt tự do cổ điển.
Đó là bản chất của hệ lƣợng tử chứ không phải do kỹ thuật đo lƣờng của chúng ta kém chính xác.
Dù cho kỹ thuật đo lƣờng sau này tinh vi đến mức nào, về nguyên tắc, không thể xác định đồng
thời tọa độ và tốc độ của một hạt lƣợng tử.
Cần lưu ý: mặc dù electron không chuyển động theo quĩ đạo xác định nhƣng không có nghĩa
electron sẽ là sóng theo ý nghĩa cổ điển mà chỉ ngụ ý rằng chuyển động của electron có tính chất
sóng, nhƣng bản chất electron vẫn là một hạt và không hề mất đi tính nguyên vẹn và tính bền vững
của nó. Quả vậy, mỗi electron khi đập vào kính (phim) ảnh đều để lại một chấm đen nhỏ xíu (trên
âm bản là chấm sáng) . Tập hợp các chấm đen với số lƣợng ít đƣợc sắp xếp hầu nhƣ hỗn loạn
nhƣng với số lƣợng đủ lớn, chúng lại đƣợc sắp xếp theo qui luật để tạo ra hình nhiễu xạ electron

3.2 Hệ thức bất định Heisenberg
Giải thích nguyên lý bất định bằng ngôn từ là một việc không hề dễ do tính khái quát cao của nó.
Do đó, ngƣời ta thƣờng giải thích nguyên lý bất định bằng toán học dƣới dạng một bất đẳng thức
gọi hệ thức bất định Heisenberg
x p x   2

(3.1)

Với giả thiết vi hạt chuyển động 1D dọc theo trục x . Cố nhiên, cũng có thể viết thêm các hệ thức
tƣơng tự cho các trục y và z nếu nhƣ vi hạt chuyển động trong không gian 3D.
Cần lƣu ý rằng các bất định về tọa độ x 
p x 

x 2  x  hay bất định về xung lượng
2

 

p x2  p x

2

(theo định nghĩa của vật lý thống kê) không liên quan và không phải là các
sai số ngẫu nhiên hay bất kỳ loại sai số nào khác.
Một dạng khác của hệ thức bất định Heisenberg (3.1) là
- 0904999568

23

CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

x v x   2 m

(3.2)

 

2

Trong đó, v x  v x2  v x là bất định tốc độ của vi hạt và thay p x  m v x vào (3.1) với m là
khối lƣợng của vi hạt .
Áp dụng hệ thức bất định Heisenberg (3.2) cho một hạt vĩ mô khối lƣợng m  1g  10 3 kg , ta có
tích các bất định x v x   2 m  1,0541034 Js 2 103  1031 là một số vô cùng bé trong thế
giới vĩ mô và có thể coi bằng không. Do đó, ta có x v x  0 , từ đó suy ra x  0 đồng thời với
v x  0 . Nói khác đi, tọa độ và tốc độ của hạt vĩ mô được xác định đồng thời.
Nhƣng khi áp dụng hệ thức bất định (3.2) cho electron với khối lƣợng me  9,1 1031 kg , ta có
tích các bất định x v x   2 me  1,0541034 Js 2  9,11031  104 là một số vô cùng lớn
trong thế giới nguyên tử. Do đó, ta có x v x  0 , từ đó suy ra nếu x  0 thì v x   , tức là
nếu biết chính xác tọa độ của electron thì sẽ không thể xác định được tốc độ của nó. Ngƣợc lại
nếu v x  0 thì x   , tức là nếu biết chính xác tốc độ của electron thì sẽ không biết nó ở đâu.
Tóm lại, tọa độ và tốc độ của một hạt vi mô không thể xác định đồng thời và đó cũng chính là nội
dung của nguyên lý bất định Heisenberg.
Hệ thức bất định Heisenberg là biểu thức mô tả lƣỡng tính sóng-hạt của các vi hạt rõ ràng nhất,
điển hình nhất và chứng minh rằng vi hạt chuyển động không theo quĩ đạo.
3.3 Vấn đề xác định tọa độ của vi hạt
Nhƣ trên ta đã biết: tọa độ và tốc độ của vi hạt không thể đƣợc xác định đồng thời. Nhƣng tại sao
nhƣ vậy? Ta sẽ phân tích kỹ hơn về vấn đề này.

Để xác định tọa độ của một vật thể vĩ mô, thí dụ, một cái ô-tô đang chuyển động trong đêm tối, từ
trên máy bay trực thăng, ngƣời ta chiếu đèn pha vào nó. Tƣơng tự, để xác định tọa độ một vi hạt,
thí dụ, electron đang chuyển động xung quanh hạt nhân nguyên tử, ta có thể chiếu vào nó một tia
sáng với bƣớc sóng xác định.
Tuy nhiên nếu kích thƣớc của vật đƣợc chiếu sáng nhỏ hơn hay cùng cỡ với bƣớc sóng ánh sáng ta
sẽ không thể phân biệt đƣợc vật, vì sự nhòe sáng . Do đó bƣớc sóng ánh sáng phải nhỏ hơn kích
thƣớc của vật bị chiếu sáng.
Đối với ô-tô, không có vấn đề gì vì nó là một vật thể vĩ mô có kích thƣớc vô cùng lớn so với bƣớc
sóng ánh sáng chiếu vào nó. Để xác định vị trí của electron, ta cần chiếu sáng nó bằng một tia sáng
có bƣớc sóng nhỏ hơn kích thƣớc của nó. Có thể xác định kích thƣớc của electron bằng “bán kính
electron cổ điển”: r0  e 2 me c 2  1015 m .
Với bƣớc sóng ánh sáng nhỏ hơn r0 , một photon của tia sáng sẽ có năng lƣợng vô cùng lớn:

   hc   hc r0  6,625 1034  3  108 1015  1010 J  109 eV và photon này sẽ truyền cho
electron một xung lƣợng khổng lồ. Do đó, để xác định chính xác vị trí electron ta sẽ không thể xác
định đƣợc xung lƣợng hay vận tốc của nó bằng bao nhiêu. Ngƣợc lại nếu xác định đƣợc chính xác
xung lƣợng hay vận tốc của electron ta không thể biết nó ở đâu. Đó là sự nhòe lượng tử.
Nhƣ vậy thế giới vi mô đã áp đặt một giới hạn đối với sự hiểu biết của chúng ta.
Giả thiết nếu biết đầy đủ trạng thái của một vi hạt ở thời điểm ban đầu, về nguyên tắc, ta sẽ không
thể xác định đƣợc một cách đơn trị trạng thái của vi hạt ở một thời điểm bất kỳ trong tƣơng lai.
Điều này rõ ràng trái với nguyên lý tất định mà hầu tƣớc Laplace hết lòng ca ngợi, tức là, nguyên
lý tất định Laplace không còn đúng trong thế giới vi mô. Thay thế nó là nguyên lý bất định
Heisenberg.
- 0904999568

24


CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

CHƢƠNG 1

4. NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT
4.1 Hàm sóng – Trạng thái của một hệ lƣợng tử
Trạng thái của một hệ cổ điển có s bậc tự do đƣợc xác định bởi 2s đại lƣợng: s tọa độ suy rộng
q  q1 , q 2 ,...q s  và s tốc độ suy rộng q  q1 , q 2 ,...q s  theo hình thức luận Lagrange hay bởi 2s
đại lƣợng: s tọa độ suy rộng q  q1 , q 2 ,...q s  và s xung lƣợng suy rộng p  p1 , p 2 ,... p s  theo
hình thức luận Hamilton. Mọi thông tin về hệ cổ điển có s bậc tự do đƣợc xác định bằng hàm
Lagrange L  L(q, q , t ) , hàm Hamilton H  H ( p, q, t ) hay hàm tác dụng S  S ( q, t ) .
Cách mô tả nhƣ trên của cơ học cổ điển không thể áp dụng để mô tả trạng thái một hệ lƣợng tử có
cùng bậc tự do, vì theo nguyên lý bất định Heisenberg, tọa độ và tốc độ hay tọa độ và xung lƣợng
không thể xác định đồng thời.
Thí dụ, một electron tự do có s  3 bậc tự do, không thể sử dụng đồng thời 3 tọa độ x, y, z và 3
thành phần xung lƣợng p x , p y , p z . Ta chỉ có thể sử dụng 3 tọa độ x, y, z hoặc sử dụng 3 thành
phần xung lƣợng p x , p y , p z . Trạng thái lƣợng tử của electron đƣợc xác định bởi hàm sóng tọa độ
   ( x, y, z, t ) hoặc hàm sóng xung lượng   ( p x , p y , p z , t ) .

Trƣờng hợp tổng quát, trạng thái của một hệ lƣợng tử có s bậc tự do đƣợc xác định bởi hàm sóng
tọa độ
 (q, t )   (q1 , q 2 ,...q s , t )

(4.1)

( p, t )  ( p1 , p 2 ,... p s , t )

(4.2)

hoặc bởi hàm sóng xung lượng

Trong đó, q1 , q 2 ,...q s  là tập các tọa độ suy rộng có thể xem nhƣ là tọa độ của một điểm trong

không gian toán học s chiều gọi là không gian cấu hình (configuration space) và p1 , p 2 ,... p s  là
tập các xung lƣợng suy rộng có thể xem nhƣ là “tọa độ” của một điểm trong không gian toán học
s chiều gọi là không gian xung lượng (momentum space).
Đặc biệt nếu s  3 , không gian cấu hình chính là không gian Euclide 3D có yếu tố thể tích vi phân

dV  dxdydz và không gian xung lƣợng 3D có “yếu tố thể tích” vi phân d 3 p  dpx dp y dpz .
Rõ ràng cách mô tả trạng thái nhƣ trên sẽ khiến ta hiểu biết ít hơn, kém chi tiết hơn về một hệ
lƣợng tử, nhƣng đó là đặc tính của hệ lƣợng tử.
Nhận xét: Hàm sóng tọa độ của hệ lượng tử có s bậc tự do  (q, t )   (q1 , q 2 ,...q s , t ) có dạng
tƣơng tự nhƣ hàm tác dụng của một hệ cổ điển có cùng bậc tự do S (q, t )  S (q1 , q 2 ,...q s , t ) .
4.2 Giải thích thống kê Max Born về hàm sóng
Ta biết rằng hàm sóng của một sóng đàn hồi hay sóng điện từ là các hàm thực có ý nghĩa vật lý
trực tiếp. Mặc dù ta có thể dùng số phức để biểu diễn chúng, nhƣng đó chỉ là thủ thuật toán học và
phần thực của số phức mới có ý nghĩa vật lý

- 0904999568

25