Tổng hợp đề thi KSTN môn toán từ năm 20152017 Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

Lời Dẫn

.co
m

Kĩ sư Tài năng là chương trình đào tạo đặc biệt của ĐH Bách Khoa Hà Nội.
Để thi vào chương trình này các em tân sinh viên cần có đủ điều kiện ( điểm xét hoặc điểm 2
môn Toán và Lý).
Sau đó phải thi 2 bài thi là Toán và Lý đều tự luận.
Nội dung 1 nửa ôn thi đại học. 1 nửa ôn thi HSG.
Do nhiều em còn bỡ ngỡ nên chúng tôi mở lớp ôn thi Kĩ sư Tài năng với team dạy có trình độ
(Thủ khoa, Olympic sinh viên, HSG, . . . ) và có kinh nghiệm : đào tạo được nhiều em đỗ Kĩ sư
Tài năng ( 80%).
Khóa học Khai giảng vào 9/7 và trước đó có 1 buổi học FREE để giải đáp thắc mắc và bổ túc
kiến thức Toán ngày 8/7
Chúng tôi có lời mời đến tất cả các bạn học sinh, anh chị sinh viên và quý phụ huynh cùng
tham gia.
Xem thêm: goo.gl/jXPbQi

on
th

ik

st
n

Liên hệ:
Fanpage : />Fb admin : />Hotline : 0162 978 0443
Gmail :

Website: onthikstn.com

Trang 3

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

on
th

ik

st
n

.co
m

ĐỀ THI

Website: onthikstn.com

Trang 4

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2015
Bài 1: Tìm tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:
x3 − 3(m + 1)x2 + (6m + 3)x + 4m3 − 3m = 0
√
Bài 2: Giải phương trình x2 − 2 = 5x2 − 6x

.co
m

Bài 3: Cho khai triển (3 + 2x + x2 )20 = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + a39 x39 + a40 x40 . Xác định
a5 .
Bài 4: Cho 1 hình chóp đều có 10 cạnh và các cạnh đều có độ dài bằng a. Tính thể tích
hình chóp.
1

(1 − x2 )

Bài 5: Tính tích phân

2015

(1 + x)dx

0

on
th

ik

st
n

Bài 6: Các học sinh của một khối 12 bắt buộc phải đăng kí thêm 1 trong 3 môn: Toán,Lí, Văn.
Sau khi kết thúc đăng kí có 23 học sinh chỉ đăng kí môn Toán, có 76 học sinh đăng kí học Văn,
có 76 học sinh đăng kí học Toán và Văn, có 37 học sinh đăng kí hai môn Lí và Toán. Hỏi khối
12 kể trên có bao nhiêu học sinh?

Website: onthikstn.com

Trang 21

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2016

Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(1;3) nội tiếp đường tròn (C)
tâm I(2;4). Đường cao AH cắt BC tại D(2;2).
Tính diện tích tam giác ABC.

.co
m

Bài 2: Một ghế đặt quanh bàn tròn có 10 chỗ ngồi thứ tự đánh số từ 1 đến 10.Sắp xếp
ngẫu nhiên 1 tổ gồm 10 học sinh gồm 7 nam và 3 nữ vào 10 ghế quanh bàn tròn đó.
Tính xác suất để có đúng 2 học sinh nữ ngồi cạnh nhau.
Bài 3: Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp 1 liên tục trên [a; b] và tồn tại f (x) trên [a; b]
sao cho
f (x) ≥ 0∀x ∈ [a, b]
f (x) > 0∀x ∈ (a, b)
Chứng minh rằng với mọi m ∈ [a, b] ta có

f (x) ≥ f (m) + (x − m)f (m)∀x ∈ [a, b]

st
n

Bài 4: Cho 2 tia chéo nhau Aa và Bb. 2 điểm C và D lần lượt chạy trên các tia Aa và Bb sao
cho AC=BD.
Tìm quỹ tích trung điểm M của CD.
Bài 5: Tìm các số nguyên không âm x, y, z thỏa mãn :
3x − 2y = 2016z

ik

Bài 6: Chứng minh rằng với n là số tự nhiên cho trước, phương trình

n

(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = x

k=1

on
th

có nghiệm với mọi ak , bk ∈, k = 1..n

Website: onthikstn.com

Trang 22

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2017
Bài 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số:
y =x+

√

x2 − 9

Bài 2: Cho số phức z thảo mãn phương trình z 2 − z + 1 = 0. Tính giá trị biểu thức:
A = z 2018 − z 2017

.co
m

Bài 3: Cho các số thực x,y thỏa mãn x2 + y 2 = 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu
thức P = x5 + y 5
Bài 4: Trong mặt phẳng (α) cho 2 điểm A, B cố định. Trên nửa đường thẳng Bx nằm trong
(α) và vuông góc với AB lấy điểm C, và trên đường thẳng Ay vuông góc với (α) tại A lấy 1
điểm D sao cho BC+AD=l (l>0 cho trước ). Xác định vị trí của C, D sao cho mặt phẳng (β)
đi qua trung điểm CD và vuông góc với AB, cắt tứ diện ABCD theo 1 thiết diện có diện tích
lớn nhất.

st
n

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Ozy cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng
với D qua A và H là hình chiếu vuông góc của D trên BE. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
BDE có phương trình (c) : (x − 4)2 + (y − 1)2 = 25 và đường thẳng AH có phương trình
3z − 4y − 17 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng AD
đi qua điểm M(7;2) vsf điểm E có tung độ âm.
Bài 6: Cho số tự nhiên n>2. Chứng minh rằng:

a1 cos x + a2 cos 2x + ... + an cos nx = b1 sin x + b2 sin 2x + ...bn sin nx

ik

khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an = b1 = b2 = ... = bn = 0
Bài 7: Giải phương trình:

√

√
cos4 x + 2cos2 x + 2 = 2 2

on
th

1 + sin4 x +

Website: onthikstn.com

Trang 23

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

on
th

ik

st
n

.co
m

LỜI GIẢI

Website: onthikstn.com

Trang 24

Team KSTN K60


Tham khảo từ tungbk.me

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2015

.co
m

Bài 1:
Giả sử m thỏa phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt. Đặt f (x) là VT của phương
trình đã cho.
Theo Vi-ét thì :

 a + b + c = 3 (m + 1) > 0
ab + bc + ca = 6m + 3 > 0

abc = 3m − 4m3 > 0

√
3
⇒02
Ta có: f (x) = (x − 1)(x − 2m − 1)
⇒ f (x) = 0 ↔ x = 1 hoặc x = 2m + 1
2 cực trị trên đều dương dẫn đến hàm số có nhiều nhất 1 giao điểm với trục hoành.
Dẫn đến không tồn tại m thỏa đề bài.

st
n

Bài 2:
√
√
ĐKXĐ: x ≥ 2 hoặc x ≤ − 2
Ta có:
√
2
x2 − 2 = 5x2 − 6x ⇔ (x2 − 2) = 5x2 − 6x
2
⇔ (x2 − 2) −√(2x − 1)2 = x2 − 2x − 1 ⇔ (x2 − 2x − 1) (x2 + 2x − 4) = 0
x=1+ √
2
⇔
x = −1 − 5
(Đối chiếu ĐKXĐ)

ik

√
2
x=1+ √
Phương trình đã cho có nghiệm :
x = −1 − 5
Bài 3:
Theo khai triển Newton:

on
th

3 + 2x + x

2 20

20
k

x2 (2x + 3)20−k

=
k=0

Nhận thấy các hạng tử chứa k > 3 thì có bậc của x lớn hơn 5
Chỉ cần xét các hạng tử có k = 0, 1, 2
Dễ dàng tính được a5
Bài 5:

1

2015

(1 − x2 )

(1 + x) dx

0

1

0
1

2 2015

(1 − x )

=
0

Website: onthikstn.com

2015

(1 − x2 )

=

0

dx +
dx +

1
2

(1 − x2 )

2015

d (1 − x2 )

1

1
4032

Trang 54

Team KSTN K60


Tham khảo từ tungbk.me

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

1

n

(1 − x2 ) dx

In =
0

= x(1 − x2 )
1

n 1
0

1

x.n.(1 − x2 )

−

d (1 − x2 )

0

2 n−1

(1 − x )

= 2n

n−1

(1 − (1 − x2 )) dx

Đáp án cần tìm:

4030!!
4031!!

+

1
4032

.co
m

0

= 2n (In−1 − In ) , ∀n > 1
2n
In−1
⇒ In = 2n+1
2n.(2n−2)...2
2n!!
= (2n+1)(2n−1)...3 I0 = (2n+1)!!

on
th

ik

st

n

Bài 6:
Nhìn nhận theo lí thuyết tập hợp, bài yêu cầu tìm lực lượng của hợp ba tập hợp học sinh đăng
kí Toán, Lí và Văn.
Ta cần tính thêm số học sinh học cả Toán, Lí và Văn.
Số học sinh học Toán bao gồm 4 loại học sinh: chỉ học Toán, chỉ học 2 môn Toán và Văn, chỉ
học hai môn Toán và Lí, học cả 3 môn.
Suy ra số học sinh học cả 3 môn: 23 + 37 + 36 − 79 = 17
Số học sinh của khối:
76 + 76 + 79 − 35 − 36 − 37 + 17 = 140 học sinh.

Website: onthikstn.com

Trang 55

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2016

.co
m

Bài 1:
Gọi M là trung điểm của BC.

HA đi qua H, A nên có PT là x + y − 4 = 0
BC vuông góc với HA và đi qua A nên có x − y = 0
Biết I và pt BC suy ra M (3; 3).
HA = 2M I nên A(−1; 5)
Suy ra R và tìm được độ dài BC, đáp số 12.

Bài 3:
Khai triển Taylor ta có:

st
n

Bài 2:
Số cách xếp 10 người nam nữ vào bàn tròn được đánh số: 10!
Làm theo các bước để xếp theo yêu cầu bài toán:
* Chọn 2 bạn nữ ngồi cạnh nhau, chọn thứ tự trước sau, có 4 cách
* Chọn cặp vị trí cho 2 bạn nữ, có 10 cách.
* Chọn vị trí cho bạn nữ còn lại, có 6 cách.
* Chọn vị trí cho 7 bạn nam còn lại, có 7! cách.
1
7!.10.6.4
= .
Xác suất cần tìm:
10!
2

F (x) = F (m) + (x − m)F (m) + (x − m)2
Suy ra đpcm.
Bài 4:

F (c)
với c nằm giữa x và m.
2

AC + BD
2
Do đó nếu gọi u, v là vector đơn vị của AC, BD thì:
u+v
OM = AC.
2

ik

Chỉ ra : OM =

Suy ra quỹ tích cần tìm là đường thẳng, khá dễ chỉ ra đường này.

on
th

Bài 5:
Xét : * y = 0
Dẫn đến z = 0, VT chia 3 dư 2 hoặc 0, VP chia 3 dư 0, do đó VT chia hết cho 3 dẫn đến x = 0,
từ đó suy ra vô nghiệm.
*y=0
Dẫn đến z = 0 theo tính chẵn lẻ, pt đã cho trở thành :
3x − 2y = 1

Xét y = 1, 2, 3
Với y > 3 thì 2y chia hết cho 16 nên 3x − 1 chia hết cho 16, suy ra x = 4k

⇒ (9k − 1)(9k + 1) = 2y Duy chỉ có hai số 2 và 4 hơn kém nhau 2 và là lũy thừa của 2, đến đây
gặp mâu thuẫn.
Đáp số: (x, y, z)=(1,1,0),(2,3,0)
Bài 6:

Website: onthikstn.com

Trang 56

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

n

(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = x(1)
k=1
n

(ak cos(kx) + bk sin(kx)) − x, cho x tiến tới +∞ thì f (x) tiến tới −∞, do các

Xét f (x) =
k=1

on
th

ik

st
n

.co
m

đại lượng lượng giác và hệ số của chúng bị chặn.
Tương tự thì khi cho x → −∞ thì f (x) → +∞.
Theo định lí giá trị trung gian thì pt f (x) = 0 có nghiệm, suy ra đpcm.

Website: onthikstn.com

Trang 57

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2017
Bài 1:
Ta thấy hàm số này không có tiệm cận đứng, có 1 tiệm cận ngang là y=0 và 1 tiệm cận xiên
là y=2x.
Bài 2:
Nhân phương trình ban đầu với z+1 thu được z 3 = −1. Do đó

.co
m

A = (z 3 )672 (z 2 − z) = (−1)672 (−1) = −1
Bài 3:
Ta thấy

(x2 + y 2 )5 − (x5 + y 5 )2 = 5x2 y 2 (x6 + y 6 ) + 9x4 y 4 (x2 + y 2 ) + x4 y 4 (x − y)2 ≥ 0∀x, y
Do đó

−32 ≤ P ≤ 32

st
n

Đẳng thức vế trái xảy ra, chẳng hạn tại (x,y)=(-2,0)
Đẳng thức vế trái xảy ra, chẳng hạn tại (x,y)=(2,0)
Bài 4:
Không khó để nhận thấy thiết diện đó là 1 hình chữ nhật có 4 đỉnh M,N,P,Q lần lượt là trung
diểm CA,AB,BD,DC. Do đó diện tích thiết diện
S = MN ∗ NP =

(BC + AD)2
l2
BC ∗ AD
≤
=
4
16
16

on
th

ik

. Đẳng thức xảy ra khi BC=AD=l/2
Bài 5:
Bạn đọc tự vẽ hình. Gọi I(4,1) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BED.
Chú ý IE và AH vuông góc ( chứng minh) do đó ta có phương trình IE là 4x+3y-19=0.
Kết hợp với IE=5 suy ra E(7,-1).
Do đó phương trình AE là x=7.
Từ phương trình AE và phương trình AH tìm ra A(7,1).
Từ phương trình AE và ID=5 tìm ra D(7,5).
Từ phương trình AH và Eh vuông góc với DH suy ra tọa độ H . ( có 2 điểm H).
Từ tọa độ H, viết phương trình EH và AB suy ra tọa độ B.
Bài toán có 2 nghiệm.
Bài 6:
1. Gọi f(x) =Vế trái= Vế phải.
Nhận thấy f(x) vừa là hàm chẵn , vừa là hàm lẻ nên đồng nhất 0.
2. Nhận thấy cos(nx) là đa thức bậc n theo cos(x).
Thật vậy, ta chứng minh bằng quy nạp, giả sử cos(kx) là đa thức bậc k của cos(x) với mọi kcos(nx)=-cos((n-2)x)+2cos(n-1)x)cos(x) nên ta có cos(nx) là đa thức bậc n của cos(x).
Như vậy nếu αn = 0 thì vế trái là đa thức bậc n của cos(x) ( vô lý).
Do đó αn = 0.
Tương tự , ta có αk = 0∀
3. Vế phải = 0 với mọi x tương đương với
β1 sin(2x) + β2 sin(4x) + β3 sin(6x) + ... + βn sin(2nx) = 0∀x
⇒ 2 sin x(β1 sin(2x) + β2 sin(4x) + β3 sin(6x) + ... + βn sin(2nx)) = 0∀x
⇒ β1 (cosx − cos 3x) + β2 (cos3x − cos 5x) + ... + β1 (cos(2n − 1)x − cos(2n + 1)x) = 0∀x

Website: onthikstn.com

Trang 58

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

Dó đó , tương tự ý 2 ta có βn = 0.
Và ta có βk = 0∀
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài 7:
Áp dụng bất đẳng thức Mincopski ta có :
VT =

2

12 + (sin2 x) +

12 + (1 + cos2 x)2 ≥

(1 + 1)2 + sin2 x + 1 + cos2 x

2

=VP

Đẳng thức xảy ra

on
th

ik

st
n

.co
m

⇔ sin2 x = cos2 x + 1
⇔ cos x = 0
⇔ x = π2 + kπ

Website: onthikstn.com

Trang 59

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

Tham gia hoàn thiện
*Thành viên của Team KSTN K60 của page onthikstn.com:

Lời giải năm 2016,2017

on
th

ik

st
n

.co
m

*Anh Sơn bên tungbk.me(email: ):
Lời giải năm 2015

Website: onthikstn.com

Trang 61

Team KSTN K60