Tổng hợp đề thi KSTN môn toán từ năm 19992015 Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

on
th

ik

st
n

.co
m

Tổng hợp đề thi KSTN và lời giải môn Toán
ĐH Bách Khoa Hà Nội (1999-2017)

Website: onthikstn.com

Trang 1

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

Tài liệu tham khảo

on
th

ik

st
n

.co
m

Lời giải 1999-2007 của anh Vũ Hữu Tiệp K52 KSTN ĐTVT
email
/>Lời giải 2010-2013 của anh Lương Văn Thiện K55 KSTN ĐTVT , Trần Vũ Trung
K55 KSTN ĐKTĐ, Nguyễn Văn Hưởng K58 KSTN ĐKTĐ
email
/>Lời giải 2 năm 2014-2015 từ tungbk.me, anh Nguyễn Văn Sơn KSTN CNTT K59
email
/> />
Website: onthikstn.com

Trang 2

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

Lời Dẫn

.co
m

Kĩ sư Tài năng là chương trình đào tạo đặc biệt của ĐH Bách Khoa Hà Nội.
Để thi vào chương trình này các em tân sinh viên cần có đủ điều kiện ( điểm xét hoặc điểm 2
môn Toán và Lý).
Sau đó phải thi 2 bài thi là Toán và Lý đều tự luận.
Nội dung 1 nửa ôn thi đại học. 1 nửa ôn thi HSG.
Do nhiều em còn bỡ ngỡ nên chúng tôi mở lớp ôn thi Kĩ sư Tài năng với team dạy có trình độ
(Thủ khoa, Olympic sinh viên, HSG, . . . ) và có kinh nghiệm : đào tạo được nhiều em đỗ Kĩ sư
Tài năng ( 80%).
Khóa học Khai giảng vào 9/7 và trước đó có 1 buổi học FREE để giải đáp thắc mắc và bổ túc
kiến thức Toán ngày 8/7
Chúng tôi có lời mời đến tất cả các bạn học sinh, anh chị sinh viên và quý phụ huynh cùng
tham gia.
Xem thêm: goo.gl/jXPbQi

on
th

ik

st
n

Liên hệ:
Fanpage : />Fb admin : />Hotline : 0162 978 0443

Gmail :

Website: onthikstn.com

Trang 3

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

on
th

ik

st
n

.co
m

ĐỀ THI

Website: onthikstn.com

Trang 4

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

1999
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số xác đinh trên R sao cho:
f (x) = x +

x
1

1 + ex

với x = 0 và f (0) = 0

.co
m

Bài 2:Tìm các số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện a − 2b + 3c = 16 sao cho biểu thức
F = 2a2 + 2b2 + 2c2 − 4(a + b + c) + 15 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 3:Chứng minh rằng phương trình

a cos(x) + b sin(2x) + c cos(3x) = x
luôn có nghiệm trên đoạn [ − π; π] với mọi số thực a, b, c

on
th

ik

st
n

Bài 4:Tìm hàm số f (x) xác đinh trên đoạn [0; 1] biết rằng 0 ≤ f (x) ≤ 1 với mọi x ∈ [0; 1] và
|f (x1 ) − f (x2 ) | ≥ |x1 − x2 | với mọi x1 , x2 ∈ [0; 1]

Website: onthikstn.com

Trang 5

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2000
Bài 1: Cho dãy số {xn }∞
n=1 xác định :
x1 > 0
= ln(xn + 1)

xn+1

Chứng minh rằng dãy hội tụ đến 1 giá trị hữu hạn a và hãy tìm a.

.co
m

Bài 2: Chứng minh rằng nếu hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện

|f (x1 ) − f (x2 ) | ≤ |x1 − x2 |3 ∀x1 , x2 ∈
thì f (x) là hàm hằng.

Bài 3: Cho hàm số f (x) xác định và liên tục tại mọi x = 0 và
f (x) ≥ 0∀x ∈
x

f (t)dt với mọi x ≥ 0

và tồn tại hằng số k > 0 sao cho: f (x) ≤ k
0

st
n

Chứng minh rằng f (x) = 0∀x ≥ 0
Bài 4: Cho hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện

f (x) ≥ 0∀x

Chứng minh rằng

ik

f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y)∀x, y ∈, t ∈ [0; 1]

on
th

Bài 5: Cho các số thực k1 , k2 , ..., kn phân biệt.
Chứng minh rằng:
a1 ek1 x + a2 ek2 x + ... + an ekn x = 0∀x ∈ R ⇔ a1 = a2 = ... = an = 0

Website: onthikstn.com

Trang 6

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2001
Bài 1: Cho hàm số f (x) =

ex
(x+1)2

và dãy số {un } xác định bởi:

u0 = 1, un+1 = f (un ), ∀n = 0, 1, 2, ...

2. Chứng minh rằng un ∈ [ 21 ; 1]∀n.

.co
m

1. Chứng minh rằng phương trình f (x) = x có nghiệm duy nhất θ ∈ ( 21 ; 1).

3. Chứng minh rằng f (x) tăng trên đoạn [ 12 ; 1], từ đó suy ra tồn tại k sao cho : |un+1 − θ| =
k |un − θ| với mọi n nguyên dương.
4. Chứng minh rằng lim un = θ.
n→∞

Bài 2: Với hai số thực x, y, ta đặt d(x, y) =

|x−y|
.
1+|x−y|

Chứng minh tằng với ba số thực x, y, z tùy ý, ta luôn có d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

st
n

Bài 3: Cho hàm số f (x) có f (x) và a < b là các số thực. Chứng minh rằng:
1. f (tx + (1 − t)y) > tf (x) + (1 − t)f (y)∀x, y ∈ [a, b], t ∈ (0; 1)
b

2.
a

)

f (x)dx ≤ (a − b)f ( a+b
2

Bài 4: Cho a < b là các số thực và f (x) là hàm số có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn:
b

|f (x)| dx = m

ik

f (a) = f (b) = 0 và

m
∀x
2

∈ [a, b].

on
th

Chứng minh rằng: f (x) ≤

a

Website: onthikstn.com

Trang 7

Team KSTN K60

Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2002
Bài 1: Cho bất phương trình:

x
≥ mx2 + x(1)
1 + |x|

1. Giải bất phương trình (1) với m = 2.

Bài 2: Cho dãy số xác định như sau:

.co
m

2. Tìm số thực m lớn nhất sao cho (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ R.

x1 = − 13
2
xn+1 = xn2 − 1∀n ≥ 1

Chứng minh rằng dãy số {xn } có giới hạn khi n → ∞ và tìm giới hạn đó.
Bài 3: Cho các số thực a1 , a2 , ..., a2002 thỏa mãn:
a0 = 0 và a0 +

a1
2

+

a2
3

+ ... +

a2002
2003

=0

st
n

Chứng minh rằng phương trình: a0 + a1 x + a2 x2 + ... + a2002 x2002 = 0 có nghiệm trên [0; 1].

on
th

ik

Bài 4: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai f (x) ≥ 0 trên R và a là 1 số thực cố
định. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: g(x) = f (x) + (a − x)f (x) trên R.

Website: onthikstn.com

Trang 8

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2003
Bài 1: Tìm đa thức P (x) có bậc bé nhất, đạt cực đại tại x = 1 với P (1) = 6 và đạt cực tiểu
tại x = 3 với P (3) = 2.
Bài 2: Có tồn tại hay không 1 đa thức P (x) thỏa mãn hai điều kiện sau:

.co
m

i. P (x) ≥ P (x)
ii. P (x) ≥ P (x)
với mọi giá trị của x.
Bài 3:

1. Cho hàm số f (x) xác định và f (x) > 0∀x ∈ R. Biết rằng tồn tại x0 ∈ R sao cho:
f (f (f (f (x0 )))) = x0

st
n

Chứng minh rằng f (x0 ) = x0 .


x = y 3 + 2y − 2



y = z 3 + 2z − 2
2. Giải hệ phương trình:
z = t3 + 2t − 2



t = x3 + 2x − 2
Bài 4: Cho dãy số {xn } thỏa mãn:

x1 = 2
x1 + x2 + ... + xn = n2 xn

Tìm giới hạn lim (n2 xn ).

on
th

ik

n→∞

Website: onthikstn.com

Trang 9

Team KSTN K60

Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2004
Bài 1: Tìm các số a, b, c sao cho:
a(2x3 − x2 ) + b(x3 + 5x2 − 1) − c(3x3 + x2 )
=1
x→+∞ a(5x4 − x) − bx4 + c(4x4 + 1) + 2x2 + 5x
lim

.co
m

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi tham số m thì phương trình x3 − 9x + m(x2 − 1) = 0
luôn có 3 nghiệm.
Bài 3: Cho hàm số f (x) xác định trên [0; 1] thỏa mãn:

|f (x) − f (y)| < |x − y| với mọi x, y ∈ [0; 1]

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất 1 điểm x0 ∈ [0; 1] sao cho f (x0 ) = x0 .
Bài 4:
1. Chứng minh rằng nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] thì :
b

b

|f (x)| dx

st
n

f (x)dx ≤
a

a

2. Chứng minh rằng nếu hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và thỏa mãn điều
kiện f (a) = f (b) = 0 thì:
b

(b − a)2
M
f (x)dx ≤
4

ik

a

với M = max |f (x)|

on
th

[a;b]

Website: onthikstn.com

Trang 10

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2005
Bài 1: Cho dãy số un xác định như sau:
u0 = 1, un = un−1 +

1
un−1

∀n ≥ 1

1. Chứng minh rằng dãy số trên không dần tới 1 giới hạn hữu hạn khi n → ∞.
2. Chứng minh rằng lim = +∞.

.co
m

n→∞

Bài 2: Cho hàm số f (x) liên tục đơn điệu giảm trên đoạn [0; b] và a ∈ [0; b]. Chứng minh
rằng:
a

b

f (x)dx ≥ a

b
0

f (x)dx
0

Bài 3: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; π2 ] thỏa mãn:
π
2

f (0) > 0 và

f (x)dx < 1
0

st
n

Chứng minh rằng phương trình f (x) = sinx có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0; π2 ).
Bài 4: Cho hàm số f (x) = xα sin x1 với x = 0 và f (0) = 0(α là hằng số dương).
Với giá trị nào của α thì hàm số f (x) có đạo hàm tại mọi x.

ik

Bài 5: Tìm tất cả hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn:

f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy

on
th

với mọi x, y ∈ R.

Website: onthikstn.com

Trang 11

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2006
Bài 1: Tìm số nghiệm của phương trình
x3 − ax2 + 4 = 0
trong đó a là tham số.

1

.co
m

Bài 2: Cho dãy số un xác định như sau:
|t − un |dt∀n ≥ 0

u0 ∈ R và un+1 = un +
0

1. Chứng minh rằng nếu u0 ≥ 1 thì un là 1 dãy tăng và un+1 = 2un − 21 ∀n ≥ 0.
Từ đó chứng minh rằng: lim un = +∞.
n→+∞

2. Chứng minh rằng nếu u0 < 1 thì ta cũng có lim un = +∞.
n→+∞

1

xn ln(1 + x2 )dx.

Bài 3: Với mỗi n nguyên dương đặt: In =
1. Chứng minnh lim In = 0
n→+∞

2. Giả sử c ∈ (0; 1)
c

st
n

0

1

xn ln(1 + x2 )dx, Bn =

Đặt An =
0

xn ln(1 + x2 )dx

c

An
n→+∞ Bn

Chứng minh rằng: lim

= 0.

ik

Bài 4:
1. Tìm tất cả các hàm số f (x) xác định trên R, liên tục tại 0, sao cho:
f (2x) = f (x)∀x ∈ R

on
th

2. Tìm tất cả các hàm số g(x) xác định trên R, có đạo hàm tại 0, sao cho:
g(2x) = 2g(x)∀x ∈ R

Bài 5: Cho x, y là hai đường thẳng chéo nhau. A, B là hai điểm cố định trên x. CD là đoạn
thẳng có chiều dài l cho trước trượt trên y. Tìm vị trí của CD sao cho diện tích toàn phần tứ
diện ABCD là nhỏ nhất.

Website: onthikstn.com

Trang 12

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2007
Bài 1: Cho phương trình:
√
√
( 1 − x + x)3 −

x(1 − x) = m(1) với m là tham số.

1. Giải phương trình (1) khi m = 1.
2. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.

π
4

x

Un =

2n−1

π
4

2n

(sin x) dx và Vn =

0

1. lim Un = lim Vn = 0.
2. 2Un + Vn ≤

n→+∞
π2
∀n
32

x2n−1 (cos 2x)2n−1 dx

0

Chứng minh rằng:
n→+∞

.co
m

Bài 2: Với n là số nguyên dương, đặt:

≥ 1.

Chứng minh rằng:

st
n

Bài 3: Kí hiệu R+ là tập các số thực dương. Giả sử f : R+ → R+ là 1 hàm số liên tục
thỏa mãn:
5
f (f (x) = (x + 1)5 + 1

1. Nếu f (x1 ) = f (x2 ) thì x1 = x2 .
2. Hàm số f (x) đơn điệu tăng và lim =
x→+∞

f (x+1)
f (x)

= 1.

ik

Bài 4: Cho mặt phẳng P và hai điểm C, D ở về hai phía đối với (P ) sao cho CD không
vuông góc với (P ). Xác định vị trí hai điểm A, B thuộc (P ) sao cho AB = a (a > 0 cho trước
) và tổng độ dài CA + AB + BD đạt giá trị nhỏ nhất.

on
th

Bài 5 Cho k1 , k2 , ...kn là các số thực dương khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng nếu:
a1 cos k1 x + a2 cos k2 x + ... + an cos kn x = 0 với mọi x ∈ R

thì a1 = a2 = ... = an = 0.

Website: onthikstn.com

Trang 13

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2008
Bài 1: Cho dãy số an thỏa mãn:
a1 = 2 và a1 + a2 + ... + an = n2 an ∀n ≥ 1
Tìm lim n2 an
n→+∞

π
0

sin nx
dx
sin x

với n ∈ N .

.co
m

Bài 2: Tính tích phân In =

Bài 3: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn:
1

f (0) > 0 và

f (x)dx <
0

1
2008

Chứng minh rằng phương trình f (x) = x2017 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1).
Bài 4: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn:
f (0) = 0, f (1) = 1

st
n

Chứng minh rằng tồn tại hai số phân biệt a, b thuộc (0; 1) sao cho:
f (a)f (b) = 1

Bài 5: Cho hàm số f : [a; b] → [a; b] thỏa mãn:

|f (x) − f (y)| < |x − y| với mọi x, y ∈ [a; b], x = y

ik

Chứng minh rằng phương trình f (x) = x có nghiệm duy nhất trên [a; b].

on
th

Bài 6: Cho IK là đoạn vuông góc chung của hải đường thẳng chéo nhau a, b(I ∈ a, K ∈ b).M, N
là hai điểm bất kì lần lượt thuộc a và b sao cho IM + KN = M N . Trong số các điểm cách đều
các đường thẳng a, b, M N , hãy tìm điểm có khoảng cách đến mỗi đường thẳng trên là ngắn
nhất.

Website: onthikstn.com

Trang 14

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2009
Bài 1: Cho phương trình: x4 + x2 − mx + 4 = 0(1). trong đó m là tham số.
1. Giải phương trình (1) khi m = 6.
2. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Bài 2:

.co
m

1. Chứng minh rằng với mọi số thực a cho trước thì hàm số f (x) = |x − a| có đạo hàm
tại mọi điểm x = a và không có đạo hàm tại điểm x0 = a.
2. Cho trước các số thực a1 , a2 , ...an khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng:
k1 |x − a1 | + k2 |x − a2 | + ... + kn |x − an | = 0∀x ∈ R
khi và chỉ khi k1 = k2 = ... = kn = 0.
Bài 3:
1. Tìm tất cả các số thực x, y, z, p, q, r thảo mãn:

st
n

x2 + y 2 + z 2 − 2x − 2z − 7 = 0
p2 + q 2 + r2 + 10p − 16q + 14r + 47 = 0

sao cho biểu thức A = x2 + y 2 + z 2 + p2 + q 2 + r2 − 2xp − 2yq − 2zr đạt giá trị lớn nhất.
2. Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By và AB = a > 0 là đoạn vuông góc chung. Góc
giữa Ax, By bằng 30◦ . Hai điểm C, D lần lượt chạy trên Ax, By sao cho AC + BD = d > 0
không đổi. Xác định vị trí của các điểm C, D sao cho thể tích tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.

ik

Bài 4: Tìm hàm số f : R → R thỏa mãn:

f (x) ≤ x
f (x) + f (y) ≥ f (x + y)

on
th

với mọi x, y ∈ R.

Bài 5: Cho hàm số f : R → R liên tục thỏa mãn:
f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y)∀x, y ∈ R, t ∈ (0; 1)
b

)
Chứng minh rằng: f (x)dx ≥ (b − a)f ( a+b
2
a

Website: onthikstn.com

Trang 15

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2010
Bài 1:
2π

sin(sin x + nx)dx(n ∈ N ).

1. Tính
0

2. Cho hàm số f (x) xác định trên tập số thực thỏa mãn:

.co
m

|f (x) − f (y)| ≤ |x − y| ∀x, y ∈ R và f (f (f (0))) = 0
Chứng minh rằng f (0) = 0.
Bài 2:

1. Cho hàm số f (x) khả vi liên tục cấp hai trên [0; 1] thỏa mãn:
f (0) = 1, f (1) = 0

Chứng minh rằng tồn tại c ∈ [0; 1] sao cho f (c) = c.
√
2. Tìm giới hạn lim 30 + 30 + ... + 30 (n dấu căn).
n→∞

st
n

Bài 3:

1. Hàm số f (x) khả vi tại x0 được gọi là lồi(lõm) tại điểm này nếu tồn tại lân cận của điểm x0
là U (x0 ) sao cho với mọi x ∈ U (x0 ) ta có:
f (x) ≥ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 )

ik

(tương ứng f (x) ≤ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ).
Chứng minh rằng hàm số bất kì khả vi trên đoạn [a; b] sẽ lồi(lõm) tại ít nhất 1 điểm x0 ∈ (a; b).
2. Số nào lớn hơn trong hai số sau:

22

2

on
th

11 + 22 + ... + 10001000 và 22

Bài 4: Trong một phòng có 5 người, giữa 3 người bất kì luôn tìm được 2 người quen nhau và
2 người không quen nhau. Chứng minh rằng nhóm này có thể ngồi quanh 1 bàn tròn sao cho
mỗi người đều quen với 2 người ngồi cạnh mình.
Bài 5: Cho A, B, C là 3 góc của 1 tam giác nhọn. Chứng minh rằng:
tann A + tann B + tann C ≥ 3 +

Website: onthikstn.com

Trang 16

3n
2

Team KSTN K60

Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2011
Bài 1:
π
2

1. Tính

[cos2 (cos x) + sin2 (sin x)]dx.

0

2. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn:

Chứng minh rằng:
1

1−(

0

f (x)dx)

0

Bài 2: Giải các phương trình sau:

√
√
1 − x2 = ( 23 − x)2

√
√
√ sin2 x
2
2)
− (2 + 2)cos x + (2 − 2)cos 2x = (1 +

√
2 cos 2x
)
2

st
n

2. (2 +

2

1

1 − f 2 (x)dx ≤

1.

.co

m

|f (x)| ≤ 1∀x ∈ [0; 1]

Bài 3:
1. Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm:

√
2x + 1 ≥ a( 1 − x + 1)

ik

2. Cho hàm số f (x) = 1 + a cos x + b cos 2x + cos 3x.
Chứng minh rằng nếu f (x) ≥ 0∀x ∈ R thì a = b = 0.

on
th

Bài 4: Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c với a > b và các đường cao là ha , hb , hc .
Chứng minh rằng:
a − b ≥ hb − ha
Bài 5: Một phân xưởng cắt thép chỉ có những thanh thép dài 6m, nhưng cần phải cắt 40 đoạn
2, 5m và 60 đoạn 1, 6m. Hỏi cần dùng bao nhiêu thanh và cắt như thế nào để tổng số thanh là
ít nhất.

Website: onthikstn.com

Trang 17

Team KSTN K60

Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2012
Bài 1:
1. Tính:
I = lim

n→∞

√
n
n2012 + 2012n

Bài 2:
1. Giải phương trình:
√

2x2 + 10x + 12 −

.co
m

2. Cho cấp số cộng a1 , a2 , ...an , ... và cấp số nhân b1 , b2 , ..., bn , ... thỏa mãn ak > 0∀k và
a1 = b1 = a2012 = b2012 . Chứng minh rằng ak > bk ∀1 < k < 2012.

√

√
x2 + 2x − 3 = 2 x + 2

2. Hàm số y = sin(x2 + 4x + 4) có phải hàm tuần hoàn không?
3. Tìm điều khiện của a, b để phương trình x3 + ax + b = 0 có nghiệm duy nhất.
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:

B
C
3
A
+ sin4 + sin4 ≥
2
2
2
16

st
n

sin4

on
th

ik

Bài 4: Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, một câu hỏi có 3 phương án trả lời, trong đó chỉ
có 1 phương án đúng. Một thí sinh chọn ngẫu nhiên các câu trả lời. Hỏi xác suất thí sinh đó
đạt điểm nào là cao nhất, biết rằng 1 câu trả lời đúng được 1 điểm và trả lời sai không được

điểm nào.

Website: onthikstn.com

Trang 18

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2013
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
A = sin3 x + cos3 x − sin x cos x + sin x + cos x

theo a1 , b1 , d, q.

.co
m

Bài 2: Cho cấp số cộng a1 , a2 , ...an , ... với công sai d và cấp số nhân b1 , b2 , ..., bn , ... với công bội
q. Tính giá trị biểu thức:
A = a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a. Xác định
tâm và mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 4: Giải hệ phương trình:


 5x = 2y 2 − 4y + 7
5y = 2z 2 − 4z + 7

5z = 2x2 − 4x + 7
1

Bài 5: Cho hàm sô sf (x) khả tích thỏa mãn:

f (x)dx = 2013 và

st
n

0

|f (x1 ) − f (x2 )| ≤ |x31 + x32 − x21 x2 − x1 x22 |
Xác định hàm số đã cho.

on
th

ik

Bài 6: Một cửa hàng bán hoa có 5 loại: Hoa hồng, hoa lan, hoa cúc, hoa ly, hoa huệ với
số lượn lớn. Một khách hàng đến mua 20 bông hoa. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hoa.

Website: onthikstn.com

Trang 19

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2014
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
√
√
√
m − 9 − x − 9 + x + 81 − x2 = 0
Bài 2: Tính đạo hàm cấp 2014 tại x = 0 của hàm số:

.co
m

y = sin x sin 2x sin 3x
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang và:

SA = SB = SC = AD = 2a, AB = BC = CD = a

1. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
2, Mặt phẳng (P ) qua BC và tạo với đáy một góc 30◦ . Tính theo a thể tích thiết diện của hình
chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P ).

Bài 5: Chứng minh rằng:

st
n

Bài 4: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số:
√
√
y = x2 − 2x − 3 + 2x2 + 8x + 15
2014π

sin2014 x
dx < 1007π
1 + 2014x

−2014π

on
th

ik

Bài 6: Cho 1 mảnh đất hình vuông kích thước 10m × 10m và những viên gạch hình chữ T gồm
4 ô vuông kích thước 1m × 1m. Hỏi có thể lát kín mảnh đất bằng 25 viên gạch hay không? Vì
sao?

Website: onthikstn.com

Trang 20

Team KSTN K60

Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2015
Bài 1: Tìm tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:
x3 − 3(m + 1)x2 + (6m + 3)x + 4m3 − 3m = 0
√
Bài 2: Giải phương trình x2 − 2 = 5x2 − 6x

.co
m

Bài 3: Cho khai triển (3 + 2x + x2 )20 = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + a39 x39 + a40 x40 . Xác định
a5 .
Bài 4: Cho 1 hình chóp đều có 10 cạnh và các cạnh đều có độ dài bằng a. Tính thể tích
hình chóp.
1

(1 − x2 )

Bài 5: Tính tích phân

2015

(1 + x)dx

0

on
th

ik

st
n

Bài 6: Các học sinh của một khối 12 bắt buộc phải đăng kí thêm 1 trong 3 môn: Toán,Lí, Văn.
Sau khi kết thúc đăng kí có 23 học sinh chỉ đăng kí môn Toán, có 76 học sinh đăng kí học Văn,
có 76 học sinh đăng kí học Toán và Văn, có 37 học sinh đăng kí hai môn Lí và Toán. Hỏi khối
12 kể trên có bao nhiêu học sinh?

Website: onthikstn.com

Trang 21

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2016
Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(1;3) nội tiếp đường tròn (C)
tâm I(2;4). Đường cao AH cắt BC tại D(2;2).
Tính diện tích tam giác ABC.

.co

m

Bài 2: Một ghế đặt quanh bàn tròn có 10 chỗ ngồi thứ tự đánh số từ 1 đến 10.Sắp xếp
ngẫu nhiên 1 tổ gồm 10 học sinh gồm 7 nam và 3 nữ vào 10 ghế quanh bàn tròn đó.
Tính xác suất để có đúng 2 học sinh nữ ngồi cạnh nhau.
Bài 3: Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp 1 liên tục trên [a; b] và tồn tại f (x) trên [a; b]
sao cho
f (x) ≥ 0∀x ∈ [a, b]
f (x) > 0∀x ∈ (a, b)
Chứng minh rằng với mọi m ∈ [a, b] ta có

f (x) ≥ f (m) + (x − m)f (m)∀x ∈ [a, b]

st
n

Bài 4: Cho 2 tia chéo nhau Aa và Bb. 2 điểm C và D lần lượt chạy trên các tia Aa và Bb sao
cho AC=BD.
Tìm quỹ tích trung điểm M của CD.
Bài 5: Tìm các số nguyên không âm x, y, z thỏa mãn :
3x − 2y = 2016z

ik

Bài 6: Chứng minh rằng với n là số tự nhiên cho trước, phương trình
n

(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = x

k=1

on
th

có nghiệm với mọi ak , bk ∈, k = 1..n

Website: onthikstn.com

Trang 22

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

2017
Bài 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số:
y =x+

√

x2 − 9

Bài 2: Cho số phức z thảo mãn phương trình z 2 − z + 1 = 0. Tính giá trị biểu thức:
A = z 2018 − z 2017

.co
m

Bài 3: Cho các số thực x,y thỏa mãn x2 + y 2 = 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu
thức P = x5 + y 5
Bài 4: Trong mặt phẳng (α) cho 2 điểm A, B cố định. Trên nửa đường thẳng Bx nằm trong
(α) và vuông góc với AB lấy điểm C, và trên đường thẳng Ay vuông góc với (α) tại A lấy 1
điểm D sao cho BC+AD=l (l>0 cho trước ). Xác định vị trí của C, D sao cho mặt phẳng (β)
đi qua trung điểm CD và vuông góc với AB, cắt tứ diện ABCD theo 1 thiết diện có diện tích
lớn nhất.

st
n

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Ozy cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng
với D qua A và H là hình chiếu vuông góc của D trên BE. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
BDE có phương trình (c) : (x − 4)2 + (y − 1)2 = 25 và đường thẳng AH có phương trình
3z − 4y − 17 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng AD
đi qua điểm M(7;2) vsf điểm E có tung độ âm.
Bài 6: Cho số tự nhiên n>2. Chứng minh rằng:

a1 cos x + a2 cos 2x + ... + an cos nx = b1 sin x + b2 sin 2x + ...bn sin nx

ik

khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an = b1 = b2 = ... = bn = 0
Bài 7: Giải phương trình:

√

√
cos4 x + 2cos2 x + 2 = 2 2

on
th

1 + sin4 x +

Website: onthikstn.com

Trang 23

Team KSTN K60


Tổng hợp đề thi lời giải

Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

on
th

ik

st
n

.co
m

LỜI GIẢI

Website: onthikstn.com

Trang 24

Team KSTN K60