bài giảng môn xử lý số tín hiệu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ
KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

BÀI GIẢNG

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ


Chương 1: TÍN HIỆU & HỆ THỐNG RỜI RẠC

1.1 KHÁI NIỆM TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

1.2 TÍN HIỆU RỜI RẠC

1.3 HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN

1.4 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG

1.5 SƠ ĐỒ THỰC HIỆN HỆ THỐNG

1.6 TƯƠNG QUAN CÁC TÍN HIỆU


1.1 KHÁI NIỆM TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG
1.1.1 TÍN HIỆU
a.

Khái niệm tín hiệu

- Tín hiệu là biểu hiện vật lý của thông tin

Tín hiệu được biểu diễn một hàm theo một hay nhiều biến số độc lập.
Ví dụ :

−
−
−

Tín hiệu âm thanh, tiếng nói là sự thay đổi áp suất không khí theo thời gian
Tín hiệu hình ảnh là hàm độ sáng theo 2 biến không gian và thời gian
Tín hiệu điện là sự thay đổi điện áp, dòng điện theo thời gian


b.

Phân loại tín hiệu



Theo các tính chất đặc trưng:

- Tín hiệu xác định & tín hiệu ngẫu nhiên
Tín hiệu xác định: biểu diễn theo một hàm số
Tín hiệu ngẫu nhiên: không thể dự kiến trước hành vi
- Tín hiệu tuần hoàn & tín hiệu không tuần hoàn
Tín hiệu tuần hoàn: x(t)=x(t+T)=x(t+nT)
Tín hiệu không tuần hoàn: không thoả tính chất trên
- Tín hiệu nhân quả & không nhân quả

Tín hiệu nhân quả: x(t)=0 : t<0
Tín hiệu không nhân quả: không thoả tính chất trên

- Tín hiệu thực & tín hiệu phức
Tín hiệu thực: hàm theo biến số thực
Tín hiệu phức: hàm theo biến số phức
- Tín hiệu năng lượng & tín hiệu công suất
Tín hiệu năng lượng: 0Tín hiệu công suất:

0
- Tín hiệu đối xứng (chẵn) & tín hiệu phản đối xứng (lẻ)
Tín hiệu đối xứng:

x(-n)=x(n)

Tín hiệu phản đối xứng: -x(-n)=x(n)






Theo biến thời gian:
Tín hiệu liên tục: có biến thời gian liên tục
Tín hiệu rời rạc: có biến thời gian rời rạc


xa(t)

xa(nTs)

t

n
0 Ts 2Ts …

0

Tín hiệu rời rạc (lấy mẫu)

Tín hiệu tương tự

xq(t)

xd(n)

9q

9q

8q

8q

7q

7q

6q

6q

5q

5q

4q

4q

3q

t

2q

3q

n

2q

q

q

0

Tín hiệu lượng tử hóa

0 Ts 2Ts …

Tín hiệu số


1.1.2 HỆ THỐNG TÍN HIỆU

a. Định nghĩa
- Ký hiệu hệ thống

vào
Hệ thống
x

b.

Phân loại các hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc






ra

Các hệ thống xử lý tín hiệu:
Hệ thống tương tự: Tín hiệu vào và ra là tương tự
Hệ thống rời rạc: Tín hiệu vào và ra là rời rạc
Hệ thống số: Tín hiệu vào và ra là tín hiệu số

y


1.3 TÍN HIỆU RỜI RẠC

1.3.1 BIỂU DIỄN TÍN HIỆU RỜI RẠC

 Tín hiệu rời rạc được biểu diễn bằng một dãy các giá trị với phần tử thứ n được ký hiệu x(n).

Lấy mẫu

Tín hiệu liên tục xa(t)

t = nTs

Tín hiệu rời rạc xs(nTs) ≡
x(n)

Với Ts – chu kỳ lấy mẫu và n – số nguyên

 Tín hiệu rời rạc có thể biểu diễn bằng một trong các dạng: hàm số, dãy số & đồ thị.

Ts=1


 Hàm số:

 Dãy số:

(0.5) n : 0 ≤ n ≤ 3
x ( n) = 
0 : n còn lại

 1 1 1
x(n ) = 1, , , 
↑ 2 4 8 

 Đồ thị:

↑ - Gốc thời gian n=0

x(n)
1

0.5
0.25
0.125

n
-1

0

1

2

3

4


1.2.2 MỘT SỐ DÃY RỜI RẠC CƠ BẢN

 Dãy xung đơn vị:

1 : n = 0
δ ( n) = 
0 :n còn lại
 Dãy nhảy bậc đơn vị:

1 : n ≥ 0
u( n) = 
0 : n < 0
 Dãy chữ nhật:

rect N ( n ) = 1 : 0 ≤ n ≤ N - 1
0 : n ≠còn lại

δ(n)
1
n
-2 -1 0 1 2
u(n)
1
n
-2 -1 0 1 2

3

rectN(n)
1
n
-2 -1 0 1

N-1 N


r(n)

 Dãy dốc đơn vị:
3

n : n ≥ 0
r ( n) = 
0 : n < 0

2
1

 Dãy hàm mũ thực:

-2 -1 0 1 2

n
3

a n : n ≥ 0
e( n) = 

0 : n < 0
 Dãy sin:

s( n) = sin(ω 0 n)

s(n)
1
ω 0=2π/8
0 1 2 3 4

-1

n


Dãy mũ phức :
x(n) = exp[(σ + jω)n]=e

(σ +jω)n

=e

Nhờ công thức Euler ta có :
x(n) = e

σn

công thức Euler

[cos(ω n) + j sin(ω n)]

 

 

σn j ω n

.e


1.2.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TÍN HIỆU

Cho 2 dãy:

{ }
x ( n ) = { 2,3, 4 }
x1( n ) = 1, 2, 3
↑

2

a. Cộng 2 dãy:

Cộng các mẫu 2 dãy với nhau tương ứng với chỉ số n

b. Nhân 2 dãy:

Nhân các mẫu 2 dãy với nhau tương ứng với chỉ số n

↑

{ }

x1( n ) + x2 ( n ) = 3, 5, 7
↑

{ }

x1( n ).x2 ( n ) = 2, 6, 12
↑


{

1.2.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TÍN HiỆU

Cho dãy:

x ( n) = 1, 2,3

c. Dịch: x(n) ->y(n)= x(n-no)
n0>0 – dịch sang phải
n0<0 – dịch sang trái

d. Gập tín hiệu: x(n) ->x(-n)

Lấy đối xứng qua trục tung

↑

}

{ }

{ }

x(n − 1) = 1,2,3 ; x(n + 1) = 1,2, 3
↑

{ }

↑

{ }

x(n) = 1, 2,3 ⇒ x(−n) = 3, 2,1
↑

↑


1.2.4 NĂNG LƯỢNG VÀ CÔNG SUẤT TÍN HiỆU

- Năng lượng của dãy được định nghĩa là

Ex =

Ở đây | | là modul
Ví dụ :

+∞

∑ x( n )

2

n = −∞

Hãy tính năng lượng của dãy u(n) và rectN(n).
Giải :

Eu ( n ) =

+∞

2

2

+∞

2
2
2
(
)
(
)
u
n

=
u
n
=
1
+
1
+
...
+
1
∑
∑
      = ∞

n = −∞

Erect N =

n=0

+∞

∑ rect ( n )

n = −∞

N

∞ lân 1

2

=N


-

Công suất trung bình của dãy x(n) được định nghiã :
N
1
Px = lim
x( n )
∑
N →∞ 2 N + 1 n = − N

2

- Năng lượng của dãy x(n) trong khoảng hữu hạn –N ≤ n ≤ N được định nghĩa là :
-

Vậy ta có:

Và:

E xN =

N

∑ x( n )

2

n=− N

E x = lim E xN
N →∞

Ex =

+∞

∑ x( n )

2

n = −∞

1
E xN
2 Nlà+hữu
1 hạn ( tức là 0 < Ex < ∞, thì x(n)
N→
∞ x(n)
- Dãy năng lượng :Nếu năng lượng của
dãy
Px = lim

gọi là dãy năng lượng.
- Dãy công suất :Nếu Px là hữu hạn ( tức là 0 < Px <∞ ), thì x(n) gọi là dãy công suất.

Ví dụ :Hãy tính công suất trung bình của dãy u(n) và rectN(n).

-Giải
Pu =

N
N
1
1
N +1 1
2
lim
| u (n) | = lim
1 = lim
=
∑
∑
N →∞ 2 N + 1
N →∞ 2 N + 1
N →∞ 2 N + 1
2
n=− N
n=− N

N

PrectM =

2

1
M
lim
| rect M (n) | = lim
=0
∑
N →∞ 2 N + 1
N →∞ 2 N + 1
n=− N

Từ trên ta thấy rằng ErectM(n) là dãy năng lượng, còn u(n) là dãy công suất.


TÓM LẠI:

Năng lượng dãy x(n):

Ex =

∞

∑ x( n)

2

Nếu ∞>Ex>0 thì x(n) gọi là tín hiệu năng lượng

n = −∞

Công suất trung bình dãy x(n):

N
1
2
Px = Lim
x ( n)
∑
N →∞ ( 2 N + 1)
n=− N
Nếu ∞>Px>0 thì x(n) gọi là tín hiệu công suất


x( n ) = rect10 ( n ); y( n ) = u( n + 3 )

Bài tập: Cho

Các tín hiệu trên tín hiệu nào là công suất, năng lượng?

Ex =

∞

∑ x ( n)

2

9

= ∑ rect10 ( n ) = 10
2

x(n)- năng lượng

n =0

n = −∞

9
10
1
2
=0
Px = Lim
rect10 ( n) = Lim
∑
N → ∞ ( 2 N + 1)
N → ∞ ( 2 N + 1) n = 0

Ey =

∞

∑ y( n )

n = −∞

2

=

∞

∑ u( n + 3 )

2

=∞

y(n)- công suất

n = −3

N
N +4
1
1
2
Py = Lim
u( n + 3 ) = Lim
=
∑
N →∞ ( 2 N + 1 )
N →∞ ( 2 N + 1 )
2
n = −3


1.3. CÁC HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN

1.3.1.Hệ thống tuyến tính
a. Khái niệm
- Ký hiệu hệ thống
vào

ra
Hệ thống

x(n)

y(n)

- Kích thích đáp ứng : Dãy vào được gọi là dãy kích thích (hoặc kích thích), dãy ra
được gọi là đáp ứng của hệ thống với kích thích đang khảo sát.
- Đặc trưng của của hệ thống T : Một hệ thống xử lý số được đặc trưng bởi một
toán tử T làm nhiệm vụ biến đổi dãy vào x(n) thành dãy ra y(n). Chúng ta có thể
sử dụng 2 loại kí hệu toán tử sau đây :
T[x(n)] = y(n) hoặc
x(n)

T
y(n)


Có thể biểu diễn hệ thống này bằng sơ đồ:

Hệ thống
Kích thích

Ví dụ :

Đáp ứng

x(n)

y(n)

Nếu T là toán tử trễ, ta sẽ có :

T[x(n)] = x(n-n0) = y(n)
Hệ thống
Kích thích
x(n)

(Bộ trễ n0 mẫu)

Đáp ứng
y(n)= T[x(n)] = x(n-n0)


b. Hệ thống tuyến tính

Với hệ thống tuyến tính, toán tử T phải thoả mãn nguyên ly xếp chồng, vì T đặc trưng cho
một hệ thống tuyến tính nên:
T[ax1(n) + bx2(n)] = aT[x1(n)] + bT[x2(n)] = ay1(n) + by2(n)
- a và b là hai hằng số bất kỳ.
- y1(n) là đáp ứng của kích thích x1(n).
- y2(n) là đáp ứng của kích thích x2(n).
Ví dụ 1.3.1.2 :

Xét toán tử trễ T :
T[x(n)] = x(n-n0) = y(n)
T[ax1(n) + bx2(n)] = ax1(n-n0) + bx2(n-n0).
aT[x1(n)] + bT[x2(n)]=ax1(n-n0) + bx2(n-n0).
T[ax1(n) + bx2(n)]=aT[x1(n)] + bT[x2(n)]
Vậy hệ thống được đặc trưng bởi toán tử T là hệ thống tuyến tính.


C. ĐÁP ỨNG XUNG CỦA HỆ THỐNG

Biểu diễn tín hiệu theo các xung đơn vị

Ví dụ 1.3.1:

{

x( n ) = 1,2 ,3,4 ,5

Cho dãy:

x
n
=
1
2
3
4
},{)(5

↑

Hãy biểu diễn x(n) theo các xung đơn vị

x (n) = 1δ (n + 2) + 2δ (n + 1) + 3δ (n) + 4δ (n − 1)
+ 5δ (n − 2)
x (n) = x (−2)δ (n + 2) + x (−1)δ (n + 1) + x (0)δ (n)
+ x (1)δ (n − 1) + x (2)δ (n − 2)
Tổng quát:

x ( n) =

∞

∑ x( k )δ ( n − k )

k = −∞

}


Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính
x(n)

y(n)=T[x(n)]
T

δ(n-k)

hk(n)=T[δ(n-k)]

Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính là đáp ứng khi tín hiệu vào là dãy xung đơn vị, ký hiệu hk(n)

Với

x ( n) =

∞

∑ x(k )δ (n − k )

, suy ra:

k = −∞

 ∞
 ∞
y( n) = T [ x( n)] = T  ∑ x( k )δ ( n − k ) = ∑ x ( k )T [δ ( n − k )]
k =−∞
 k =−∞
y( n ) =

∞

∑ x( k )h ( n )

k = −∞

k