Hàm sinh và ứng dụng trong bài toán đếm (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN HỒNG VÂN

HÀM SINH VÀ ỨNG DỤNG
TRONG BÀI TOÁN ĐẾM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Hà Nội - 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN HỒNG VÂN

HÀM SINH VÀ ỨNG DỤNG
TRONG BÀI TOÁN ĐẾM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học

TS. Trần Vĩnh Đức

Hà Nội - 2018


Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới thầy giáo - TS. Trần Vĩnh Đức người đã tận tình hướng
dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán, Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ cho em
nhiều kiến thức quý giá về trường đời trường nghề trong suốt quá trình
học tập tại trường. Cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2 đã tạo cho em và các bạn có một môi trường học tập thân thiện,
bổ ích.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày 09 tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Hồng Vân


Lời cam đoan

Em xin cam đoan những nội dung trình bày trong bản khóa luận này
là kết quả của quá trình tìm hiểu, học tập và nỗ lực của bản thân, dưới
sự hướng dẫn, chỉ bảo của thầy giáo - TS Trần Vĩnh Đức. Các nội dung,
kết quả nghiên cứu đều là trung thực, không trùng với kết quả của tác
giả khác. Ngoài ra em có sử dụng một số nhận xét, đánh giá của các tác

giả khác ( có ghi rõ trong phần trích dẫn và tài liệu tham khảo). Nếu có
gì sai sót em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 09 tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Hồng Vân


Mục lục
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Lời mở đầu

5

1

HÀM SINH VÀ CÁC PHÉP TOÁN
1.1 Bài toán tấm vé may mắn . . . . . . . . . . . . .
1.2 Khái niệm hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Hàm sinh thường . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Một số hàm sinh khác . . . . . . . . . .
1.3 Các phép toán trên hàm sinh . . . . . . . . . .
1.3.1 Phép nhân . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 Phép cộng . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Dịch chuyển sang phải . . . . . . . . . .
1.3.4 Đạo hàm và tích phân . . . . . . . . . .
1.3.5 Các hàm sinh cơ bản ( khai triển Taylor)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

9
9
12
13
13
14
15
15
16
17
18

2

HÀM SINH CÁC CHUỖI NỔI TIẾNG
2.1 Chuỗi hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Dãy Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Số Catalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20
20
22
24

3

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SINH THƯỜNG VÀO GIẢI
BÀI TOÁN ĐẾM TỔ HỢP
28
3.1 Ứng dụng trong các bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . .
28
3

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


3.2

3.3

3.4

3.1.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ứng dụng tìm công thức tổng quát cho dãy số . . . . . .
3.2.1 Cơ sở lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ứng dụng chứng minh các đẳng thức tổ hợp, tính tổng tổ
hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Cơ sở lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ứng dụng trong bài toán phân hoạch . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Cơ sở lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kết luận

28
32
37
37
38
43
43
44
48
48
49
53

4


Lời mở đầu

1. Lí do chọn đề tài
Toán tổ hợp là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu từ khá sớm và
ngày càng được quan tâm nhờ vai trò quan trọng của nó trong nội bộ
toán học cũng như trong các ngành khoa học khác. Khi nói đến toán tổ
hợp ta không thể không nhắc tới một nhánh bài toán cơ bản của nó - đó
là bài toán đếm. Đây là một dạng toán khó, đòi hỏi tính tư duy logic và

tư duy thuật toán cao, phù hợp với mục đích cho các cuộc thi học sinh
giỏi. Hơn nữa nội dung các bài toán đếm ngày càng gần với thực tiễn,
điều đó phù hợp với xu hướng của toán học hiện đại.
Trong thực tiễn giáo dục thì việc dạy và học bộ môn này rất quan
trọng bởi tính ứng dụng thiết thực như: các bài toán quản lí "lập kế
hoạch làm việc, phân việc, sắp xếp,...", mô hình "bài toán vận tải" trong
giao thông vận tải, ... Người học có thể giải quyết được nhiều bài toán
đếm dựa vào các nguyên lí đếm cơ bản. Tuy nhiên, do nhu cầu phát triển
của toán học, các bài toán trở nên phức tạp hơn. Để giải quyết được,
chúng ta cần sử dụng một số phương pháp nâng cao như: phương pháp
truy hồi, phương pháp sử dụng nguyên lí bù trừ, phương pháp song
5


ánh, phương pháp quỹ đạo, phương pháp hàm sinh,...
Mỗi phương pháp trên đều có những ưu điểm riêng, trong đó phương
pháp hàm sinh có ưu điểm là hiện đại. Có thể nói hàm sinh một phát
minh đáng ngạc nhiên và hữu ích trong toán rời rạc, là công cụ mạnh mẽ
trong việc giải quyết nhiều bài toán tổ hợp nói chung, bài toán đếm nói
riêng mà các phương pháp khác không thể hoặc khó giải quyết được.
Phương pháp này sử dụng được các kiến thức tổng hợp của cả đại số và
giải tích. Nó giúp ta có thể chuyển các bài toán về dãy số thành các bài
toán đại số.
Mặc dù mới được tiếp cận với phương pháp này, nhưng bản thân em
nhận thấy phương pháp hàm sinh rất hay và thú vị. Chính vì vậy, với
mong muốn không ngừng tìm tòi và học hỏi, em đã nghiên cứu và lựa
chọn đề tài: "Hàm sinh và ứng dụng trong bài toán đếm".

2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu một cách chi tiết về lí thuyết hàm sinh và các nội dung

có liên quan.
- Từ nền tảng tổng hợp được, ta xây dựng hệ thống các phương pháp
và ứng dụng điển hình của hàm sinh trong các bài toán đếm thường
gặp.

6


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ của đề tài này là tập trung triển khai các nội dung về hàm
sinh từ khái niệm, các phép toán đến các hàm sinh thường gặp và mối
liên hệ với các công thức khai triển Taylor, khai triển Maclaurin. Từ đó
đưa ra hệ thống các phương pháp và vận dụng vào các bài toán cụ thể.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Lý thuyết về hàm sinh trên cơ sở đại số và giải tích.
- Giải bài toán đếm bằng phương pháp hàm sinh và các bài toán áp
dụng.
- Nghiên cứu dựa trên các tài liệu khoa học, sách báo của các tác giả
trong và ngoài nước về vấn đề hàm sinh.

5. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài này nghiên cứu dựa trên phương pháp tiếp cận logic, phân
tích tổng hợp và sử dụng những kiến thức được tích lũy trong quá trình
học tập. Ngoài ra đó còn là sự kết hợp giữa việc thu thập thông tin, tổng
hợp sách báo, tài liệu và đón nhận những ý kiến đóng góp từ giảng viên
hướng dẫn.

6. Cấu trúc khóa luận
Nội dung của khóa luận bao gồm 3 chương :

7


• Chương 1 ( Hàm sinh và phép toán): có thể nói đây là cơ sở lí thuyết
về hàm sinh. Ngoài việc tập trung trình bày lí thuyết về hàm sinh,
em có đưa ra bài toán mở đầu, khởi nguồn cho nghiên cứu của các
nhà toán học đối với phương pháp này.

• Chương 2 ( Hàm sinh các chuỗi nổi tiếng): hệ thống các hàm sinh
thường gặp trong các bài toán. Ngoài ra, chương này còn nhắc tới
hai dãy số nổi tiếng có liên quan đó là: dãy Fibonacci và dãy Catalan.

• Chương 3 ( Một số ứng dụng của hàm sinh thường vào giải bài toán
đếm tổ hợp): đây là nội dung quan trọng không kém của khóa luận.
Chương này em đã phân dạng và hệ thống các ứng dụng của hàm
sinh theo từng dạng bài toán. Mỗi dạng đều có phương pháp giải
và các ví dụ minh họa, phân tích cụ thể, rõ ràng.
Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình làm khóa luận nhưng do sự
hạn chế và thời gian và trình độ kiến thức của bản thân nên bản khóa
luận không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng
góp ý kiến của thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn!

8


Chương 1
HÀM SINH VÀ CÁC PHÉP TOÁN
1.1

Bài toán tấm vé may mắn

Trước khi tìm hiểu về hàm sinh chúng ta cùng xem xét bài toán tấm
vé may mắn. Đây là một bài toán nổi tiếng vào đầu những năm 70 của
thế kỉ XX, được A.A.Kirillov đề cập trong các một buổi thảo luận. Bài
toán phát biểu như sau:
Mỗi hành khách muốn đi xe buýt cần phải mua vé. Các tờ vé
là một số có 6 chữ số từ 000000 đến 999999. Một tờ vé được cho
là may mắn nếu tổng của ba chữ số đầu tiên của số đó bằng
với tổng của ba chữ số cuối. Ví dụ tờ vé có số 123060, 000000,
111111 là vé may mắn, còn tờ vé có số 123456 là không may
mắn. Câu hỏi đặt ra là: Có bao nhiêu tờ vé may mắn?
Ta xem xét lời giải bài toán này. Đầu tiên ta chia tất cả các vé may mắn
thành các lớp có dạng là các vé với tổng ba chữ số đầu tiên. Tổng này
chạy từ 0 (đối với bộ ba 000) đến 27 (đối với bộ ba 999). Như vậy tổng số
lớp là 28. Kí hiệu an là số các bộ ba số có tổng là n. Ta dễ dàng tính toán
9


được các giá trị đầu tiên của an :

• a0 = 1 ( có 1 bộ ba số có tổng bằng 0 là 000).
• a1 = 3 ( có 3 bộ ba số có tổng bằng 1 là 100, 010, 001).
• a2 = 6 ( có 6 bộ ba có tổng bằng 2 là 200, 020, 002, 110, 101, 011).
Khi đó số lượng vé may mắn với tổng ba chữ số bằng n là a2n . Thật vậy
chúng ta có thể đặt bất kì bộ ba số có cùng tổng là n ở cả đầu và cuối của
số lượng vé may mắn. Nếu an là tổng các bộ ba số có tổng 3 chữ số đầu
tiên của tờ vé bằng n thì an cũng là tổng các bộ ba số có tổng 3 chữ số
cuối của tờ vé bằng n.
Do đó, để tính số lượng vé may mắn ta cần đi tính các số an , sau đó đi
tìm tổng các bình phương của chúng.

• Trước khi tính an ta đi tính số lượng số có một và hai chữ số có tổng
bằng n: Với mỗi n = 0, . . . , 9 có duy nhất một số có một chữ số có
tổng các chữ số là n. Ta sẽ mô tả các số có một chữ số bởi đa thức:
A1 (s) = 1 + s + s2 + ... + s9
Các hệ số của đa thức này có nghĩa như sau:
Hệ số của sn trong đa thức A1 bằng với số lượng các số có một chữ
số mà có tổng các chữ số bằng n. Nói cách khác hệ số của sn trong
A1 bằng 1 nếu 0 ≤ n ≤ 9 và bằng 0 nếu n >9.

• Bây giờ chúng ta sẽ viết đa thức A2 (s) biểu diễn các số có hai chữ
số có tổng bằng n. Hệ số của sn trong A2 là số lượng các số có hai

10


chữ số có tổng bằng n. Dễ thấy A2 có bậc là 18. Thật vậy, 18 là tổng
lớn nhất có thể của các số có hai chữ số.
A2 (s) = 1 + 2s + 3s2 + 4s3 + ... + s18
Ta sẽ thấy đa thức A2 và A1 có quan hệ mật thiết với nhau.
Mệnh đề 1.1.1. A2 (s) = ( A1 (s))2
Chứng minh. Tích của hai đơn thức sk và sm tạo ra hệ số của sn trong

( A1 (s))2 khi và chỉ khi n = k + m. Do đó hệ số của sn trong ( A1 (s))2
chính là số cách biểu diễn n dưới dạng tổng hai số.
Ví dụ: n = 2 = 2 + 0 = 0 + 2 = 1 + 1, nên hệ số của s2 là 3.
Như vậy A2 (s) = ( A1 (s))2 .
Bây giờ ta có thể viết đa thức A3 (s) = a0 + a1 s + ... + a27 s27 biểu diễn
các số có 3 chữ số mà tổng bằng n.
Mệnh đề 1.1.2. A3 (s) = ( A1 (s))3

Chứng minh. Chứng minh tương tự với phần chứng minh của mệnh đề
1.1.1. Ở đây hệ số của sn trong ( A1 (s))3 bằng số cách biểu diễn của n
dưới dạng tổng của 3 chữ số, n = k + m + l, với k, m, l = 0, . . . , 9.
Như vậy bài toán tấm vé may mắn gần như đã được giải quyết. Việc
còn lại chỉ là đi tính các hệ số a0 , a1 , ..., a27 của đa thức ( A1 (s))3 , sau đó
đi tìm tổng bình phương các hệ số đó.

11


Kết luận:
Bài toán trên mô tả ý tưởng dùng hàm sinh để đếm các đối tượng tổ
hợp. Đây là chủ đề chính của bài luận này. Từ bài toán trên ta dẫn đến
một vài nhận xét có liên quan đến nội dung tiếp theo của khóa luận.
- Đối tượng chính là các bài toán tổ hợp. Nó liên quan đến việc đếm
các đối tượng thuộc một nhóm các tập hợp hữu hạn.
- Thông thường một bài toán đếm được giải quyết bằng cách đơn giản
là liệt kê ra tất cả các phần tử của mỗi tập hợp. Tuy nhiên mục đích của
chúng ta sẽ là đi tìm một giái pháp tốt mà không cần biết hết tất cả các
phần tử. Ở đây ta không thể khẳng định được đâu là giải pháp tốt nhất
mà chỉ có thể so sánh được giải pháp nào là tốt hơn.
- Khi giải quyết các bài toán đếm, các hàm sinh tỏ ra rất hữu hiệu.
Điển hình đó là đa thức A3 (s) ở bài toán trên. Các phép toán với đối
tượng của bài toán đếm có thể chuyển thành các phép toán trên hàm
sinh. Điều này rất tuyệt vời vì chúng ta có trong tay cả một cỗ máy lớn
để làm việc với hàm số.

1.2

Khái niệm hàm sinh

Khi làm việc với các hàm sinh, chúng ta thường muốn sử dụng các
phép biến đổi và các thao tác khác nhau mà chúng không được phép
dùng khi hàm sinh xem như một hàm với biểu diễn giải tích. Do đó ta sẽ
định nghĩa các hàm sinh như những đối tượng đại số cùng với các tính
chất đại số trên một vành nhằm mục đích sử dụng được nhiều công cụ
và có thể khai thác được nhiều ứng dụng của hàm sinh hơn.
12


1.2.1

Hàm sinh thường

Hàm sinh của một dãy vô hạn { an }∞
n=0 là chuỗi lũy thừa hình thức
được xác định bởi công thức:
G ( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... =

∞

∑ an x n

n =0

Như vậy ta có thể nói G ( x ) là hàm sinh của dãy { an }∞
n=0 hoặc dãy

{ an }∞
n=0 có hàm sinh là G ( x ).

Chú ý:

• Nếu dãy đã cho { a0 , a1 , ..., am } là hữu hạn ta hoàn toàn có thể biến
nó thành dãy vô hạn bằng cách đặt ai = 0, i > m. Trong trường hợp
này G ( x ) là đa thức bậc m.

• Mỗi dãy { an }∞
n=0 cho ta duy nhất một hàm sinh. Do đó để tìm hiểu
tính chất một dãy ta có thể tìm hiểu tính chất hàm sinh của nó.

• Ta gọi hàm sinh là chuỗi lũy thừa hình thức vì thông thường ta sẽ
chỉ coi x là một kí hiệu thay thế cho một số. Do đó ta gần như không
quan tâm đến miền hội tụ của các chuỗi.

1.2.2

( theo [2])

Một số hàm sinh khác

Chúng ta sẽ tiếp xúc rất nhiều với hàm sinh thường. Ngoài ra chúng
ta cũng sẽ bắt gặp một số dạng thức khác của hàm sinh. Ở đây em xin
giới thiệu ba dạng hàm sinh khác.

13


a, Hàm sinh mũ
Cho dãy { an }∞
n=0 , hàm số có dạng EG ( x ) =

hàm sinh mũ của dãy đã cho.

∞

an n
.x được gọi là
n!
n =0

∑

Hay nói cách khác nếu G là hàm sinh mũ của dãy { an }∞
n=0 thì G là hàm
an ∞
sinh thường của dãy
.
n! n=0
b, Hàm sinh Poisson
∞
an
∞
Cho dãy { an }n=0 , hàm số có dạng PG ( x ) = ∑ e− x . x n = e− x .EG ( x )
n!
n =0
được gọi là hàm sinh Poisson của dãy đã cho.
c, Hàm sinh Dirichlet
Cho dãy { an }∞
n=0 , hàm số có dạng DG ( x ) =
sinh Dirichlet của dãy đã cho.

∞

an
được gọi là hàm
x
n
n =0

∑

Đây là một hàm sinh khá đặc biệt so với các hàm sinh khác vì không có
sự xuất hiện của x n .

1.3

Các phép toán trên hàm sinh

Ta vẫn coi hàm sinh như chuỗi lũy thừa hình thức. Chính vì vậy mà
các phép toán trên hàm sinh ở đây ta xét như các phép toán trên vành
các chuỗi lũy thừa hình thức.
∞

Định nghĩa. Hai chuỗi A( x ) = ∑ an
n =0

xn

∞

và B( x ) = ∑ bn x n được gọi là

n =0

bằng nhau nếu dãy các hệ số tương ứng của chúng bằng nhau, tức là:
a n = bn , ∀ n ≥ 0

( theo [5])

14


1.3.1

Phép nhân

Quy tắc 1: Nhân với một hằng số
∞

∞

n =0

n =0

Cho G ( x ) = ∑ an x n ta có: c.G ( x ) = ∑ (can ) x n , ∀c ∈ R
Chứng minh. ∀c ∈ R , ta có:
∞

c.G ( x ) = c.

∑ an xn = c(a0 + a1 x + ... + an xn + ...)

n =0

∞

n

= ca0 + ca1 x + ... + can x =

∑ (can )xn

n =0

1
là hàm sinh của dãy
1−x

Ví dụ 1.3.1. A( x ) = 1 + x + x2 + x3 + ... =

{1, 1, 1, ...}.
2
là hàm sinh của dãy
1−x

B( x ) = 2.A( x ) = 2 + 2x + 2x2 + ... =

{2, 2, 2, ...}.
Quy tắc 2: Nhân hai hàm sinh
∞

∞

n =0

n =0

Cho G ( x ) = ∑ an x n và F ( x ) = ∑ bn x n ta có:
∞

∑

G ( x ).F ( x ) =

∞

an x n

·

n =0

Trong đó cn =

∑

bn x n

∞

=

n =0

∑ cn x n

n =0

∑ ai b j = a0 bn + a1 bn−1 + ... + an−1 b1 + an b0 , ∀n

i + j=n

1.3.2

Phép cộng
∞

∞

n =0

n =0

Quy tắc: Cho G ( x ) = ∑ an x n và F ( x ) = ∑ bn x n ta có:
∞

G(x) + F(x) =

∑ an x

n

∞

+

n =0

∑ bn x

n =0

15

n

∞

=

∑ ( a n + bn ) x n

n =0


Chứng minh.
G ( x ) + F ( x ) = ( a0 + a1 x + ... + an x n + ...) + (b0 + b1 x + ... + bn x n + ...)

= ( a0 + b0 ) + ( a1 + b1 ) x + ... + ( an + bn ) x n + ...
∞

=

∑ ( a n + bn ) x n

n =0

Ví dụ 1.3.2. A( x ) = 1 + x + x2 + x3 + ... =

1
là hàm sinh của dãy
1−x

{1, 1, 1, ...}.
B( x ) = 1 − x + x2 − x3 + ... =

1
là hàm sinh của dãy {1, −1, 1, −1...}.
1+x

Khi đó:
G ( x ) = A( x ) + B( x ) = 2 + 2x2 + 2x4 + ...

=

1
1
2
+
=
1−x 1+x

1 − x2

là hàm sinh của dãy {2, 0, 2, 0, ...}.

1.3.3

Dịch chuyển sang phải

Giả sử G(x) là hàm sinh biểu diễn cho dãy số { a0 , a1 , ..., an , ...} . Nếu
ta thêm vàođằng trước (phía bêntrái) của dãy trên k số 0 thì ta được


dãy mới là 0, 0, ..., a0 , a1 , ..., an , ... có hàm sinh tương ứng là x k .G ( x ).


k

Phép toán này gọi là dịch chuyển sang phải k vị trí hay lùi phải k vị trí.
∞

∞

∞

n =0

n =0

n =0

Quy tắc: Nếu G ( x ) = ∑ an x n thì x k .G ( x ) = x k . ∑ an x n = ∑ an x n+k

16


Chứng minh.
x k G ( x ) = x k ( a0 + a1 x + ... + an x n + ...)

= a0 x k + a1 x k+1 + ... + an x k+n + ... =

∞

∑ an x n+k

n =0

Ví dụ 1.3.3. F ( x ) = 1 − x + x2 − x3 + ... =

1
là hàm sinh của dãy
1+x

{1, −1, 1, −1, ....}.
Còn G ( x ) =

x k .F ( x )

=

xk

−

x k +1

+

x k +2

xk
− ... =
là hàm sinh của
1+x

dãy {0, 0, ..., 1, −1, ...}.

1.3.4

Đạo hàm và tích phân
∞

Quy tắc: Cho G ( x ) = ∑ an x n ta có:
n =0

∞

Đạo hàm của G ( x ) là: G ( x ) = ∑ nan x n−1
n =1
∞

Tích phân của G ( x ) là:

G(x) =

∑

an

n =0

x n +1
n+1

Chứng minh.
G ( x ) = ( a0 + a1 x + ... + an x n + ...) = a1 + ... + nan x n−1 + ... =

∞

∑ nan xn−1

n =1

G(x) =

( a0 + a1 x + ... + an x n + ...) = a0 x + a1
∞

=

∑

an

n =0

Ví dụ 1.3.4. Ta có F ( x ) = 1 + x + x2 + x3 + ... =

{1, 1, 1, 1, ...}.

( theo [6])
17

x2
x n +1
+ ... + an
+ ...
2
n+1

x n +1
n+1

1
là hàm sinh của dãy
1−x


Lấy đạo hàm hàm trên ta được:
d
dx

⇔
Như vậy G ( x ) =

1
1−x
1

(1 − x )

=

d
(1 + x + x2 + x3 + ...)
dx

= 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ....

2

1

(1 − x )2

là hàm sinh của dãy {1, 2, 3, 4, ....}.

Chú ý:
- Ta sẽ kí hiệu G ( x ) là đạo hàm của G ( x ). Một cách tổng quát,
G (n) ( x ) là đạo hàm cấp n của G ( x ) và được định nghĩa bằng quy nạp là
đạo hàm thứ (n-1) của G:

G ( n ) = ( G ( n −1) ) .

- Phép lấy đạo hàm hàm sinh cũng tương thích với các phép toán đã
∞

∞

n =0

n =0

học trong giải tích: Cho G ( x ) = ∑ an x n và F ( x ) = ∑ bn x n thuộc vành
các chuỗi lũy thừa hình thức, λ ∈ C . Khi đó:

• G = 0 ⇔ G = const
• (λG ) = λG
• ( G + F )(n) = G (n) + F (n)
• ( G.F ) = G.F + G .F
• ( G n ) = nG n−1 .G , ∀n ≥ 0
1.3.5

Các hàm sinh cơ bản ( khai triển Taylor)

Mặc dù hàm sinh được trang bị các phép toán đại số nhưng chúng
ta vẫn không thể từ bỏ những tính chất giải tích của chúng. Đó chính là
các công thức khai triển Taylor và công thức khai triển Maclaurin.
18

Giả sử f(x) là hàm số liên tục, có đạo hàm mọi cấp trong khoảng (a,b)
và điểm . Khi đó ta có công thức khai triển Taylor như sau:
∞

f (x) =

∑

n =0

f n ( x0 )
( x − x0 ) n
n!

Đặc biệt nếu x0 = 0, 0 ∈ ( a, b) ta có khai triển Maclaurin:
∞

f (x) =

∑

n =0

f n (0) n
x
n!

Cụ thể ta có công thức khai triển Maclaurin một số hàm sơ cấp:
∞
x2

xn
xn
x
ex = 1 + +
+ ... +
+ ... = ∑
(1.3.5.1)
1! 2!
n!
n!
n =0
2n−1
x3 x5
n −1 x
sinx = x −
+ − ... + (−1)
+ ...
3!
5!
(2n − 1)!
∞
2n−1
n −1 x
= ∑ (−1)
(2n − 1)!
n =0
∞
2n
2n
x2 x4

n x
n x
cosx = 1 − +
− ... + (−1)
+ ... = ∑ (−1)
2!
4!
(2n)!
(2n)!
n =0

(1.3.5.2)

(1.3.5.3)

∞
n
n
x2 x3
n −1 x
n −1 x
ln(1 + x ) = x − +
− ... + (−1)
+ ... = ∑ (−1)
(1.3.5.4)
2
3
n
n
n =1

∞
x2 x3
xn
1
xn
ln(
) = x + + + ... +
+ ... = ∑
1−x
2
3
n
n
n =1
∞

(1 + x )n = Cn0 + Cn1 x + ... + Cnk x k + ... = ∑ Cnk .x k
k =0

( nhị thức Newton mở rộng)

19

(1.3.5.5)

(1.3.5.6)


Chương 2
HÀM SINH CÁC CHUỖI NỔI TIẾNG

2.1

Chuỗi hình học

Định nghĩa. Ta nói một chuỗi lũy thừa hình thức A( x ) là khả nghịch nếu tồn
tại một chuỗi lũy thừa hình thức B( x ) sao cho A.B = 1. Chuỗi B( x ) nếu tồn
tại là duy nhất và gọi là nghịch đảo của A( x ). Ta còn kí hiệu nghịch đảo của
1
A( x ) là A−1 ( x ) hoặc
.
( theo [5])
A( x )
Chú ý:
- Nếu A( x ) khả nghịch thì A( x ) = 0.
- Nếu A là nghịch đảo của B thì B cũng là nghịch đảo của A.
Bây giờ ta đi xét một chuỗi đơn giản đó là chuỗi hằng {1, 1, 1, . . .},
(còn được gọi là chuỗi hình học). Hàm sinh thường của chuỗi này có
dạng: G ( x ) = 1 + x + x2 + x3 + ...
Ta có thể dễ dàng đưa G(x) về một hàm sơ cấp.
Thật vậy, nhân G(x) với x ta được:
xG ( x ) = x + x2 + x3 + x4 + ... = 1 + G ( x )
Do đó G ( x ) =

1
.
1−x
20


Nhận xét:

(1-x) chính là nghịch đảo của chuỗi lũy thừa hình thức:
G ( x ) = 1 + x + x2 + x3 + ...
- Nếu xét với chuỗi hằng {1, −1, 1, −1, ..,}, hàm sinh của chuỗi này có
dạng: G ( x ) = 1 − x + x2 − x3 + ...
1
.
1+x
- Nếu ta xét chuỗi hình học 1, a, a2 , a3 , ... , với a là hằng số bất kì thì
Khi đó: x.G ( x ) = x − x2 + x3 − x4 + ... = 1 − G ( x ) nên G ( x ) =

hàm sinh của chuỗi đó là G ( x ) = 1 + ax + a2 x2 + a3 x3 + ...
Nhân hàm sinh trên với ax ta được:
ax.G ( x ) = ax + a2 x2 + a3 x3 + ... = G ( x ) − 1
1
.
1 − ax
- Nếu ta thay x = x2 và xét chuỗi {1, 0, 1, 0, ...} thì hàm sinh tương ứng
Do đó G ( x ) =

∞

của chuỗi đó là: G ( x2 ) = ∑ x2n = 1 + x2 + x4 + ...
Nhân biểu thức trên với

n =0
x2 ta

được:

x2 .G ( x2 ) = x2 + x4 + ... = 1 − G ( x2 )

1
.
1 − x2
Như vậy ta có thể xây dựng được một số hàm sơ cấp thường gặp

Do đó G ( x2 ) =

trong các bài toán sử dụng hàm sinh:
∞
1
2
3
= 1 + x + x + x + ... = ∑ x n
1−x
n =0
∞
1
= 1 − x + x2 − x3 + ... = ∑ (−1)n .x n
1+x
n =0
∞
1
2
3
= 1 + 2x + 3x + 4x + ... = ∑ (n + 1).x n
2
(1 − x )
n =0
21

(2.1.1)
(2.1.2)
(2.1.3)


1
n(n + 1) 2 n(n + 1)(n + 2) 3
x +
x + ...
=
1
+
nx
+
2!
3!
(1 − x ) n
∞

=

∑ Cii+n−1 xi

(2.1.4)

i =0

∞
1
2 2

3 3
= 1 + ax + a x + a x + ... = ∑ ( ax )n
1 − ax
n =0
∞
1
2 2
3 3
=
1
+
2ax
+
3a
x
+
4a
x
+
...
=
(n + 1).( ax )n
∑
2
(1 − ax )
n =0
∞
1
= 1 + x2 + x4 + x6 + ... = ∑ x2n
2

1−x
n =0
∞
1
r
2r
3r
= 1 + x + x + x + ... = ∑ x nr
r
1−x
n =0
∞
1
r
2r
3r
= 1 − x + x − x + ... = ∑ (−1)n .x nr
r
1+x
n =0

2.2

(2.1.5)
(2.1.6)
(2.1.7)
(2.1.8)
(2.1.9)

Dãy Fibonacci

Xuất phát từ bài toán đôi thỏ: Một đôi thỏ ( gồm một thỏ đực và một
thỏ cái) cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con (cũng gồm một thỏ đực
và một thỏ cái ). Hai tháng sau khi ra đời, mỗi đôi thỏ mới lại sinh ra
một đôi thỏ con (một đực, một cái ). Khi đã sinh con rồi thì cứ sau mỗi
tháng tiếp theo chúng lại sinh ra một đôi thỏ con mới. Hỏi sau n tháng
có bao nhiêu đôi thỏ nếu ban đầu có một đôi thỏ?
Đây là bài toán nổi tiếng của nhà toán học Ý Leonardo Fibonacci.
Kết quả của bài toán trên được cho bởi dãy số gắn liền tên ông - dãy
Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Không phải ngẫu nhiên dãy số này lại trở nên nổi tiếng, bởi quy luật thì
rất đơn giản. Xuất phát từ hai số đầu tiên là 1 và 1, còn từ số thứ ba trở
22


đi sẽ bằng tổng của hai sốkề trước nó. Quy luật dãy số được mô tả bởi
 f = f
n≥2
n −1 + f n −2 ,
n
công thức truy hồi sau:
 f = f =1
0
1
Điều đặc biệt ở đây là tính ứng dụng trong thực tiễn và hơn hết,
dãy Fibonacci xuất hiện thường xuyên trong tự nhiên. Chúng xuất hiện
trong những bông hoa. Hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là các số
Fibonacci. Ví dụ, hoa hồng môn có 1 cánh, hoa phi yến thường 8 cánh,
hoa cúc vàng 13 cánh, hoa cúc tây 21 cánh, hoa 5 cánh thì chúng ta gặp
rất nhiều như hoa phượng, hoa gạo,. . . Hay khi ta quan sát nhị của bông

hoa hướng dương, nhìn từ tâm ra, theo hai hướng cùng chiều và ngược
chiều kim đồng hồ, ta sẽ thấy các đường xoắn ốc. Và điều thú vị đó là,
số đường xoắn ốc luôn là một số thuộc dãy Fibonacci theo từng cặp:
(21,34), (34,55), (55,89) hoặc (89,144).
Như vậy dãy Fibonacci quả là đặc biệt với những quy luật tự nhiên.
Quay trở lại với toán học, ta thấy việc tìm vài số hạng đầu tiên của
dãy là không khó. Tuy nhiên để tìm ra số thứ 100, hay số thứ 1000 bằng
công thức truy hồi thì không phải điều dễ dàng gì. Do đó ta sẽ đi xác
định công thức cho số hạng tổng quát của dãy.
Ta đi xây dựng hàm sinh cho dãy Fibonacci.
F ( x ) = 1 + x + 2x2 + 3x3 + 5x4 + 8x5 + ...
Nhân F ( x ) với ( x + x2 ) ta được:
x + x2 .F ( x ) = ( x + x2 + 2x3 + 3x4 + ...) + ( x2 + x3 + 2x4 + ...)

= x + 2x2 + 3x3 + 5x4 + ...
= F(x) − 1
23