Otomat hữu hạn và ngôn ngữ chính quy (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

LÊ MINH PHƯƠNG

OTOMAT HỮU HẠN
VÀ NGÔN NGỮ CHÍNH QUY

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

LÊ MINH PHƯƠNG

OTOMAT HỮU HẠN
VÀ NGÔN NGỮ CHÍNH QUY
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
TS. KIỀU VĂN HƯNG

HÀ NỘI – 2018

ữủ ỷ ớ ỡ tợ t ổ tr tờ ự
ử t ổ tr ừ
ú ù tr q tr ồ t t trữớ t
t t õ tốt
t tọ ỏ t ỡ s s tợ t

ữ t t ú ù tr sốt q tr ồ t
ự t õ
r q tr ự ổ tr ọ õ ỳ t
sõt ữủ sỹ õ õ ỵ ừ t
ổ t t ồ t ữủ t ỡ
t ỡ
ở t


Pữỡ


▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❊♠ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛ t❤➛② ❑✐➲✉ ❱➠♥ ❍÷♥❣
❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❡♠ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤æ♥❣ trò♥❣ ✈î✐ ❜➜t ❦➻ ✤➲ t➔✐ ♥➔♦
❦❤→❝✳
❚r♦♥❣ ❦❤✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤➲ t➔✐ ❡♠ ✤➣ sû ❞ö♥❣ ✈➔ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝→❝
t❤➔♥❤ tü✉ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈î✐ ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ✈➔ tr➙♥ trå♥❣✳
❍➔ ◆ë✐✱ ♥❣➔② ✷✵ t❤→♥❣ ✵✹ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❙✐♥❤ ❱✐➯♥

▲➯ ▼✐♥❤ P❤÷ì♥❣

▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ♠ð ✤➛✉

✶

✶ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❒ ❙Ð

✷

✶✳✶ ❇↔♥❣ ❝❤ú ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

✶✳✷ ❚ø ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

✶✳✸ ◆❣æ♥ ♥❣ú ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✹ ❱➠♥ ♣❤↕♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✷ ❖❚❖▼❆❚ ❍Ú❯ ❍❸◆

✶✹

✷✳✶ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ♦t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✷✳✷ ❖t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ✤ì♥ ✤à♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✷✳✸ ❖t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ❦❤æ♥❣ ✤ì♥ ✤à♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✷✳✹ ❙ü t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❣✐ú❛ ♦t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ✤ì♥ ✤à♥❤ ✈➔ ❦❤æ♥❣
✤ì♥ ✤à♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✷✳✺ ▼ët ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♦t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✶

✸ ◆●➷◆ ◆●Ú ❈❍➑◆❍ ◗❯❨

✸✻

✸✳✶ ❇✐➸✉ t❤ù❝ ❝❤➼♥❤ q✉② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✻

✸✳✷ ◆❣æ♥ ♥❣ú ❝❤➼♥❤ q✉② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✼

✸✳✸ ❙ü ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ♦t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❝❤➼♥❤ q✉②

✸✽

✐


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▲➯ ▼✐♥❤ P❤÷ì♥❣

❑➳t ❧✉➟♥

✹✹

❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖

✹✺

✐✐


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▲➯ ▼✐♥❤ P❤÷ì♥❣

▲í✐ ♠ð ✤➛✉
◆❣æ♥ ♥❣ú ❤➻♥❤ t❤ù❝✱ ♠ët sü tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ♥❣æ♥ ♥❣ú tü ♥❤✐➯♥
❞÷î✐ ❞↕♥❣ ♠æ ❤➻♥❤ t♦→♥ ❤å❝ ❦❤ð✐ ♥❣✉ç♥ tø ●✳ ❋r❡❣❡ tø ♥➠♠ ✶✽✼✾ ✈➔
✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s➙✉ s➢❝ ❜ð✐ ◆✳ ❈❤♦♠s❦② ❝ò♥❣ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝ ✈➔♦
♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ✺✵ ❝õ❛ t❤➳ ❦✛ tr÷î❝✳ ❚r♦♥❣ ✤â✱ ❧î♣ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❝â ♥❤✐➲✉ t➼♥❤
❝❤➜t ✤➦❝ ❜✐➺t ✈➔ ✤÷ñ❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ ♥❤✐➲✉ tr♦♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❝æ♥❣ ♥❣❤➺ t❤æ♥❣
t✐♥ ❧➔ ❧î♣ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❝❤➼♥❤ q✉②✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ❧î♣ ♥❣æ♥
♥❣ú ❝❤➼♥❤ q✉② ✈➔ ♠ët ❝æ♥❣ ❝ö ✤➸ ✤♦→♥ ♥❤➟♥ ♥â✱ ♦t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥✳
❑❤â❛ ❧✉➟♥ ❣ç♠ ❜❛ ❝❤÷ì♥❣✳
❈❤÷ì♥❣ ✶

✧❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð✧ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t

q✉↔ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❤➻♥❤ t❤ù❝ ♥❤÷ ❜↔♥❣ ❝❤ú✱ tø✱ ✈➠♥ ♣❤↕♠✳
❈❤÷ì♥❣ ✷

✧❖t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥✧

tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ♦t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ✲

♠ët ♠æ ❤➻♥❤ ✧♠→② trø✉ t÷ñ♥❣✧ ✤♦→♥ ♥❤➟♥ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❝❤➼♥❤ q✉② ✈î✐
❤❛✐ ❧♦↕✐ ♦t♦♠❛t ✤ì♥ ✤à♥❤ ✈➔ ♦t♦♠❛t ❦❤æ♥❣ ✤ì♥ ✤à♥❤✳
❈❤÷ì♥❣ ✸

✧◆❣æ♥ ♥❣ú ❝❤➼♥❤ q✉②✧

tr➻♥❤ ❜➔② ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ♥❣æ♥

♥❣ú ❝❤➼♥❤ q✉② ✈➔ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ♦t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❝❤➼♥❤
q✉②✳

✶


ữỡ
é
ữỡ tr ỡ t q ổ ỳ
tự s ữủ sỷ ử tr ữỡ s tự ỡ
tt t ủ số ữủ ữ t

ỳ
rộ ỗ ỳ ỵ ữủ ồ


ỳ ộ tỷ a ữủ ồ ởt ỳ

ởt ỵ



ử ởt số ỳ
= {a, b, c, d, e, ..., z}
= {, , , }
= {0, 1}

ứ
ỳ ởt ỳ ỳ =
a1 a2 ...am ợ ai (0 i m) ữủ ồ ởt

tứ





tr


õ tốt ồ

Pữỡ

ỳ ứ ổ õ ỳ ữủ ồ

tứ rộ

ữ ởt tứ tr ỳ ởt ỳ ỗ ởt
số ợ ỡ ổ ỳ ừ tr õ ởt ỳ
õ t t
ờ số tr ừ t tr tứ ữủ ồ

ở ừ tứ || ữợ || = 0
tt tứ tr ỳ ữủ + =
\ {} õ = + {}

ử = {a, b, c, ..., z} = {0, 1} ỳ õ
tứ tr ỳ |dad| = |mom| = 3
|f ood| = 4 tứ tr ỳ |1| = 1

|10| = 2 |1001| = 4 |101100| = 6

t ởt tứ tr ỳ t
ụ tứ tr ỳ

t tr tứ ỳ tứ =
a1 a2 ...am = b1 b2 ...bn = c1 c2 ...ck (m, n, k N)

t s


P ừ tứ

tứ = . = . = a1 a2 ...am b1 b2 ...bn



P tứ ữủ sỷ tứ = t tứ R = amam1...a2a1

tứ ữủ tứ s ữỡ ừ tứ


P tứ

t ọ ố ừ

ởt tứ P tr ừ tứ tứ ồ tữỡ
tr ừ t q ỏ ừ tứ

õ tốt ồ

Pữỡ

s t ọ ố tr tứ ữủ ỵ


/ \

ử tứ = abcaccabbc = abc = bbc tr
ỳ = {a, b, c} õ
. = abcaccabbcabc . = bbcabcaccabbc
R = cbbaccacba R = cba
/ = abcacca \ = accabbc

ổ ỳ
ỳ ộ t L ữủ ồ
ởt

ổ ỳ

tr ỳ

ú ỵ r t rộ ởt ổ ỳ ổ ỗ
ởt ỳ ữủ ồ ổ

ỳ rộ ổ ỳ rộ ổ

ỳ tr ồ ỳ t ổ ỳ rộ L = ợ
ổ ỳ ỗ ởt tỷ rộ L = {}

ử
ổ ỳ ỗ tt tứ tr + ổ ỳ ỗ
tt tứ rộ tr
A = {a, b, c} B = {aa, bb, cc, ab, bc, ca} C = {abca, cba, a, bc}
D = {abccda, acbab, abcc, ac} ổ ỳ tr ỳ = {a, b, c}

L1 = {0} L2 = {000, 10, 1111, 110} L3 = {0100, 01010, 100, 01010}
ổ ỳ tr ỳ = {0, 1}

t tr ổ ỳ ộ ổ ỳ ởt t
ủ t õ t số t ủ ữ




❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▲➯ ▼✐♥❤ P❤÷ì♥❣

❤ñ♣✱ ♣❤➨♣ ❤✐➺✉✱ ♣❤➨♣ ❧➜② ♣❤➛♥ ❜ò tr➯♥ ❝→❝ ♥❣æ♥ ♥❣ú✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱ ✈î✐
L1 ✈➔ L2 ❧➔ ❤❛✐ ♥❣æ♥ ♥❣ú tr➯♥ ❜↔♥❣ ❝❤ú Σ t❤➻ t❛ ❝â ❝→❝ ♥❣æ♥ ♥❣ú ♠î✐

s❛✉ ✤➙② tr➯♥ ❜↔♥❣ ❝❤ú Σ✳
✲

P❤➨♣ ❤ñ♣✿ ❍ñ♣ ❝õ❛ ❤❛✐ ♥❣æ♥ ♥❣ú L1 ✈➔ L2 tr➯♥ ❜↔♥❣ ❝❤ú Σ✱

❦þ ❤✐➺✉ L1 ∪ L2 ✱ ❧➔ ♠ët ♥❣æ♥ ♥❣ú tr➯♥ ❜↔♥❣ ❝❤ú Σ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉
L1 ∪ L2 = ω ∈ Σ∗ | ω ∈ L1 ❤♦➦❝ ω ∈ L2 ✳

❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ✈➟② t❛ ❝â t❤➸ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤ñ♣ ❝õ❛ ♠ët sè ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝
♥❣æ♥ ♥❣ú L1 , L2 , ..., Ln ✭n ≥ 2✮ tr➯♥ ❜↔♥❣ ❝❤ú Σ ♥❤÷ s❛✉
n

Li = ω ∈ Σ∗ | ω ∈ Li , ✈î✐ ✐ ♥➔♦ ✤â, 1 ≤ i ≤ n ✳

i=1

✲

P❤➨♣ ❣✐❛♦✿ ●✐❛♦ ❝õ❛ ❤❛✐ ♥❣æ♥ ♥❣ú L1 ✈➔ L2 tr➯♥ ❜↔♥❣ ❝❤ú Σ✱

❦þ ❤✐➺✉ L1 ∩ L2 ✱ ❧➔ ♠ët ♥❣æ♥ ♥❣ú tr➯♥ ❜↔♥❣ ❝❤ú Σ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉
L1 ∩ L2 = ω ∈ L1 ✈➔ ω ∈ L2 ✳

❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ✈➟② t❛ ❝â t❤➸ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ❝õ❛ ♠ët sè ❤ú✉ ❤↕♥
❝→❝ ♥❣æ♥ ♥❣ú L1 , L2 , ..., Ln ✭n ≥ 2✮ tr➯♥ ❜↔♥❣ ❝❤ú Σ ♥❤÷ s❛✉
n

Li = ω ∈ Σ∗ | ω ∈ Li , ✈î✐ ♠å✐ ✐, 1 ≤ i ≤ n ✳

i=1

✲

P❤➨♣ ❧➜② ♣❤➛♥ ❜ò✿

◆❣æ♥ ♥❣ú ♣❤➛♥ ❜ò ❝õ❛ ♥❣æ♥ ♥❣ú L tr➯♥

❜↔♥❣ ❝❤ú Σ✱ ❦þ ❤✐➺✉ L ❧➔ ♠ët ♥❣æ♥ ♥❣ú tr➯♥ ❜↔♥❣ ❝❤ú Σ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷
s❛✉
L = {ω ∈ L∗ | ω ∈
/ L}✳

✲

P❤➨♣ ♥❤➙♥ ❣❤➨♣✿ ❱î✐ ❤❛✐ ♥❣æ♥ ♥❣ú L1 tr➯♥ ❜↔♥❣ ❝❤ú Σ1 ✈➔ L2

tr➯♥ ❜↔♥❣ ❝❤ú Σ2 ✱ ♥❤➙♥ ❣❤➨♣ ✭❤❛② t➼❝❤✮ ❝õ❛ ❤❛✐ ♥❣æ♥ ♥❣ú L1 ✈➔ L2 ❧➔
♠ët ♥❣æ♥ ♥❣ú tr➯♥ ❜↔♥❣ ❝❤ú Σ1 ∪ Σ2 ✱ ❦þ ❤✐➺✉ L1 L2 ✱ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

✺


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▲➯ ▼✐♥❤ P❤÷ì♥❣

L1 L2 = αβ | α ∈ L1 ✈➔ β ∈ L2 ✳

✲

P❤➨♣ ❧➦♣✿ ❈❤♦ ♥❣æ♥ ♥❣ú L tr➯♥ ❜↔♥❣ ❝❤ú Σ✱ t❛ ❝â

✰ ❚➟♣ tø ε ∪ L ∪ L ∪ ... ∪ L ∪ ... =
2

n

∞

Ln ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❧➦♣

n=0

❝õ❛ ♥❣æ♥ ♥❣ú L ✭❤❛② ❜❛♦ ✤â♥❣ ❣❤➨♣ ❝õ❛ ♥❣æ♥ ♥❣ú L✮✱ ❦þ ❤✐➺✉ L∗ ✳ ◆â✐
❝→❝❤ ❦❤→❝ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❧➦♣ ❝õ❛ L ❧➔ ❤ñ♣ ♠å✐ ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛ L✿ L∗ =
∞

✰ ❚➟♣ tø L ∪ L2 ∪ ... ∪ Ln ∪ ... =

∞

Ln ✳

n=0

Ln ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❧➦♣ ❝➢t

n=1

❝õ❛ ♥❣æ♥ ♥❣ú L✱ ❦þ ❤✐➺✉ L+ ✳ ▼➦t ❦❤→❝ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❧➦♣ ❝➢t ❝õ❛ L ❧➔ ❤ñ♣
♠å✐ ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛ L✿ L+ =
✲

∞

Ln ✳

n=1

P❤➨♣ ❧➜② ♥❣æ♥ ♥❣ú ♥❣÷ñ❝✿ ❈❤♦ ♥❣æ♥ ♥❣ú L tr➯♥ ❜↔♥ ❝❤ú ❝→✐

Σ✱ ❦❤✐ ✤â ♥❣æ♥ ♥❣ú ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛ L ❧➔ ♠ët ♥❣æ♥ ♥❣ú tr➯♥ ❜↔♥❣ ❝❤ú Σ✱

❦þ ❤✐➺✉ LR ✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
LR = ω ∈ Σ∗ | ω R ∈ L ✳

✲

P❤➨♣ ❝❤✐❛ ♥❣æ♥ ♥❣ú✿ ❈❤♦ ♥❣æ♥ ♥❣ú X ✈➔ Y

tr➯♥ ❜↔♥❣ ❝❤ú Σ✱

❦❤✐ ✤â t❤÷ì♥❣ ❜➯♥ tr→✐ ✭♣❤↔✐✮ ❝õ❛ ♥❣æ♥ ♥❣ú X ❝❤♦ ♥❣æ♥ ♥❣ú Y ❧➔ ♠ët
♥❣æ♥ ♥❣ú tr➯♥ Σ✱ ❦þ ❤✐➺✉ Y \X ✭X /Y ✮✱ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤
X
Y\

= z ∈ Σ∗ | x ∈ X, y ∈ Y ♠➔ x = yz

✭X /Y = z ∈ Σ∗ | x ∈ X, y ∈ Y ♠➔ x = zy ✮✳

❱➼ ❞ö ✶✳✺✳ ❳➨t ❝→❝ ♥❣æ♥ ♥❣ú L0 = {0, 1}✱ L1 = {00, 111, 10, 110}✱
L2 = {00, 111, 0100, 100, 010} ✈➔ L3 = {ε, 10} tr➯♥ ❜↔♥❣ ❝❤ú Σ =
{0, 1}✳ ❚❛ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ s❛✉✿

✰ P❤➨♣ ❤ñ♣✿ L1 ∪ L2 = {00, 111, 10, 110, 0100, 100, 010}❀
✰ P❤➨♣ ❣✐❛♦✿ L1 ∩ L2 = {00, 111}❀
✰ P❤➨♣ ❧➦♣✿ L20 = {00, 10, 01, 11}✱ L30 = {000, 001, 010, 100, 110, 101, 011, 111}❀

✻


õ tốt ồ

Pữỡ

P ũ L20 = { | || = 2}
P ổ ỳ ữủ LR
1 = {00, 111, 01, 011}
P L1 L0 = {000, 1110, 100, 1100, 001, 111, 101, 1101}
P ổ ỳ
L1
L3 \

= {00, 111, 10, 110, }

L1

/L3 = {00, 111, 10, 110, , 1}


ữủ ữ ởt tt tỹ ở õ s
r ởt t ủ tứ tr ởt ỳ trữợ ộ tứ ữủ
s r s ởt số ỳ ữợ tỹ t q t ừ
s r tứ õ t ữ

tt tự ữ r t
t



G ởt ở s tự tỹ ỗ t

G = , , S, P tr õ
ởt ỳ ồ ỳ ỡ ộ tỷ ừ õ ữủ
ồ ởt ỵ ỡ
ởt ỳ = ồ

ỳ ổ t tú ộ
tỷ ừ õ ữủ ồ ởt ỵ ổ t tú
S ữủ ồ ỵ t t t
P t ủ q t s õ ợ , ( )
tr ự t t ởt ổ t tú ữ s
P = | = A, ợA , , , ( )




õ tốt ồ

Pữỡ

ử ử
G1 = {0; 1} , {S} , S, {S 1S0, S }
G2 = {a, b} , {S, A} S, {S Ab, A abA, A a}
G3 = {a, b, c} , {S, A, B, C} , S, P tr õ P ỗ q t

S ABC A aA B bB C cC A a B b C c

G = , , S, P tứ ,
( ) õ ữủ


G

ồ

s trỹ t

tứ tr G ỵ

ổ tỗ t q

t P , ( ) s = =

G = , , S, P , ( )
õ ữủ
ồ

s

tứ tr G ỵ

G

ổ = tỗ t ởt

D = 0 , 1 , ..., k ( ) s 0 = k = i1

i ợ

i = 1, 2, ..., k

D = 0 , 1 , ..., k ữủ ồ ởt t ừ tứ tr
G số k ữủ ồ ở

ừ t 0 = S k
t D t ừ
i ữủ s trỹ t tứ i1 ử ởt
q t p õ tr G t t õ q t p ữủ ử ữợ
tự i

G = , , S, P ứ ữủ
ồ s G tỗ t s S

ổ

ỳ s

G ỵ L(G) t ủ tt tứ s
G

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▲➯ ▼✐♥❤ P❤÷ì♥❣

L(G) = ω ∈ Σ∗ | S

G

ω ✳

❱➼ ❞ö ✶✳✼✳ ❚➻♠ ♥❣æ♥ ♥❣ú s✐♥❤ ❜ð✐ ❝→❝ ✈➠♥ ♣❤↕♠ tr♦♥❣ ❱➼ ❞ö ✶✳✻✳
❛✮ ❳➨t ✈➠♥ ♣❤↕♠ G1 ✈î✐ q✉② t➢❝ ✶✿
S

1S0

11S00

111S000

1111S0000

✶✵

✶✶✵✵

✶✶✶✵✵✵

✶✶✶✶✵✵✵✵

...

❚ø ✤â✱ ❜➢t ✤➛✉ tø S ✱ tø 10 ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ q✉❛ ✷ ❧➛♥ s✉② ❞➝♥✱ tø
1100 q✉❛ ✸ ❧➛♥ s✉② ❞➝♥✱ tø 111000 ✭❤❛② ✈✐➳t ❣å♥ ❧↕✐ ❧➔ 13 03 ✮ q✉❛ ✹ ❧➛♥

s✉② ❞➝♥✱ tø 11110000 ✭❤❛② ❧➔ 14 04 ✮ q✉❛ ✺ ❧➛♥ s✉② ❞➝♥✱✳✳✳ ❚ê♥❣ q✉→t✱
s❛✉ n ✭n ≥ 1✮❧➛♥ s✉② ❞➝♥ t❛ ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ tø 1n−1 0n−1 ✳
❉♦ ✤â L(G1 ) = {1n 0n | n ≥ 1}✳
❜✮ ❳➨t ✈➠♥ ♣❤↕♠ G2 ✿
✣➦t ❜❛ q✉② t➢❝ S → Ab ❧➔ ◗❚✶✱ A → abA ❧➔ ◗❚✷✱ A → a ❧➔ ◗❚✸✳ ❚❛
sû ❞ö♥❣ ◗❚✶✱ rç✐ n ❧➛♥ ✭n ≥ 1✮ ◗❚✷ s❛✉ ✤â sû ❞ö♥❣ ◗❚✸ ♥❤÷ s❛✉
S

Ab

abAb

ababAb

ab

abab

ababab

♥❣➢♥ ❣å♥ ❤ì♥ S

Ab

...

(ab)n−1 Ab

(ab)n

(ab)n ✳

(ab)n−1 Ab

❉♦ ✤â L(G2 ) = {(ab)n | n ≥ 2}✳
❝✮ ❳➨t ✈➠♥ ♣❤↕♠ G3 ✿
✣➦t S → ABC ✱ A → aA✱ B → bB ✱ C → cC ✱ A → a✱ B → b✱ C → c
❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ◗❚✶ ✤➳♥ ◗❚✼✳ ❚❛ sû ❞ö♥❣ ◗❚✶✱ rç✐ x − 1 ❧➛♥ ◗❚✷ ✭x ≥ 1✮✱
y − 1 ❧➛♥ ◗❚✸ ✭y ≥ 1✮✱ z − 1 ❧➛♥ ◗❚✹ ✭z ≥ 1✮ ✭t❤ù tü t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝

q✉② t➢❝ ❝â t❤➸ ❤❛② ✤ê✐ ❤♦➦❝ ①❡♥ ❦➩ ♥❤❛✉✮✱ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ❦➳t t❤ó❝
❜➡♥❣ ◗❚✺✱ ◗❚✻✱ ◗❚✼ ♥❤÷ s❛✉

✾


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
S

ABC

▲➯ ▼✐♥❤ P❤÷ì♥❣
ax−1 Aby−1 Bcz−1 C

ax by cz ✳

❉♦ ✤â L(G3 ) = {ax by cz | x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1}✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✽✳ ❍❛✐ ✈➠♥ ♣❤↕♠ G1 ✱ G2 ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t÷ì♥❣

✤÷ì♥❣ ♥➳✉

L(G1 ) = L(G2 )✳

❱➼ ❞ö ✶✳✽✳ ❈❤♦ ❤❛✐ ✈➠♥ ♣❤↕♠
G1 = Σ, {S} , 0S1, {S −→ 0S1, S −→ ε} ✱
G2 = Σ, {S} , S, {S −→ 0S1, S −→ 01} ✳

❚❛ ✤÷❛ r❛ ❤❛✐ ❞➣② s✉② ❞➝♥ ❝õ❛ ❤❛✐ ✈➠♥ ♣❤↕♠ ♥❤÷ s❛✉
G1 ✿ 0S1
G2 ✿ S

0k S1k

0k 1k ✱

0K−1 S1k−1

0k 1k ✳

00S11
0S1

❚ø ✤â✱ t❛ ✤÷❛ r❛ ✤÷ñ❝ ♥❣æ♥ ♥❣ú s✐♥❤ ❜ð✐ ❤❛✐ ✈➠♥ ♣❤↕♠ ✤➲✉ ❧➔
L(G1 ) = L(G2 ) = 0k 1k | k ≥ 2

❱➟② G1 ✈➔ G2 ❧➔ ❤❛✐ ✈➠♥ ♣❤↕♠ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳

P❤➙♥ ❧♦↕✐ ✈➠♥ ♣❤↕♠✿ ❉ü❛ ✈➔♦ ✤➦❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ t➟♣ q✉② t➢❝ ♠➔
◆♦❛♠ ❈❤♦♠s❦② ✤➣ ❝❤✐❛ ✈➠♥ ♣❤↕♠ t❤➔♥❤ ✹ ♥❤â♠✿
• ◆❤â♠ ✵✿ ❱➠♥ ♣❤↕♠ ♥❣ú ❝➜✉ ✭❤❛② ✈➠♥ ♣❤↕♠ tê♥❣ q✉→t✮✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✾✳ ❱➠♥ ♣❤↕♠ G = Σ, ∆, S, P ♠➔ ❦❤æ♥❣ ❝â ♠ët r➔♥❣
❜✉ë❝ ♥➔♦ ✤è✐ ✈î✐ ❝→❝ q✉② t➢❝ ❝õ❛ ♥â ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
❤❛②

✈➠♥ ♣❤↕♠ tê♥❣ q✉→t✳

✈➠♥ ♣❤↕♠ ♥❣ú ❝➜✉✱

❈→❝ q✉② t➢❝ ❝õ❛ ✈➠♥ ♣❤↕♠ ♥❤â♠ ✵ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ q✉② t➢❝ ❦❤æ♥❣
❤↕♥ ❝❤➳✳ ◆❣æ♥ ♥❣ú ❞♦ ✈➠♥ ♣❤↕♠ ♥❤â♠ ✵ s✐♥❤ r❛ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣æ♥ ♥❣ú
tê♥❣ q✉→t✳
• ◆❤â♠ ✶✿ ❱➠♥ ♣❤↕♠ ❝↔♠ ♥❣ú ❝↔♥❤✳

✶✵


õ tốt ồ

Pữỡ

G = , , S, P q t ừ
õ õ ợ = A A , , { }
|| || ữủ ồ

õ



ỳ

q t tr õ ữủ ồ q t
ỳ ổ ỳ ỳ s r ữủ ồ
ổ ỳ ỳ q t ừ ú õ
tr ự t q t rộ S ụ ữủ ợ
õ

ử G = {0; 1}, {S, A, B}, S, P tr õ
P = {S ASB, A 0A, B B1, A 0, B 1, S }

ởt ỳ
ỷ ử q t S ASB rỗ n q t A 0A m
q t B 1B ố ũ ũ q t A 0 B 1 t õ
s
S

ASB

0n ASB1m

0n+1 S1m+1

0n+1 1m+1

ứ õ t õ ổ ỳ ỳ L(G) = {0n 1m | m, n 1}
õ ỳ

G = , , S, P q t õ
A tr õ A ( ) ữủ ồ

õ



ỳ



q t tr ỳ õ tr ự
ởt ỵ ử tũ ỵ ữủ ồ q t ỳ




õ tốt ồ

Pữỡ

ổ ỳ ỳ s r ữủ ồ ổ
ỳ ỳ

ử G = {0; 1}, {S, A, B}, S, {S S0S, S 1}

ỳ
ỷ ử n q t S S0S sỷ ử q t S 1 t õ
s S

S(OS)n

1(01)n õ ổ ỳ L(G) = {1(01)n | n

1} s G ổ ỳ ỳ
õ q

G = , , S, P q t ừ
õ õ A Ab A a õ A Ba A a
tr õ A, B a ữủ ồ

q

õ





q t ừ ú õ tr ự t
q t rộ S ụ ữủ ồ q ỏ ồ
q s rở q t tr
q ữủ ồ q t q ổ ỳ q
s r ữủ ồ ổ ỳ q

ử G = {0; 1}, {S, A}, S, {S 0A, A 1S, S }

q
ỷ ử ỗ tớ q t S 0A rỗ A 1S n s õ
ũ q t S t õ s S

(01)n S

(01)n õ ổ

ỳ L(G) = {(01)n | n 1} ổ ỳ q

t ứ tr t t ợ ỳ
rở t õ ự ỹ ỳ ợ




❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▲➯ ▼✐♥❤ P❤÷ì♥❣

♣❤↕♠ ❝↔♠ ♥❣ú ❝↔♥❤ ❧↕✐ ❝❤ù❛ ❝→❝ ✈➠♥ ♣❤↕♠ ♣❤✐ ♥❣ú ❝↔♥❤✳ ❱➔ ❧î♣ ✈➠♥
♣❤↕♠ ♣❤✐ ♥❣ú ❝↔♥❤ ❝❤ù❛ ❝→❝ ✈➠♥ ♣❤↕♠ ❝❤➼♥❤ q✉②✳
◆❣æ♥ ♥❣ú tê♥❣ q✉→t ✭❤❛② ❝↔♠ ♥❣ú ❝↔♥❤✱ ♣❤✐ ♥❣ú ❝↔♥❤✱ ❝❤➼♥❤
q✉②✮ ♠➔ tç♥ t↕✐ ♠ët ✈➠♥ ♣❤↕♠ ❧♦↕✐ t÷ì♥❣ ù♥❣ s✐♥❤ r❛ ♥â ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
♥❣æ♥ ♥❣ú ❤➻♥❤ t❤ù❝✳ ❚❤❡♦ ♠ët ❝→❝❤ ❦❤→❝✱ ♥➳✉ ❦➼ ❤✐➺✉ L0 ✱ L1 ✱ L2 ✱ L3
❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ❝→❝ ❧î♣ ♥❣æ♥ ♥❣ú tê♥❣ q✉→t✱ ❝↔♠ ♥❣ú ❝↔♥❤✱ ♣❤✐ ♥❣ú ❝↔♥❤
✈➔ ❝❤➼♥❤ q✉② t❤➻ ❝â ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ L3 ⊂ L2 ⊂ L1 ⊂ L0 ✳ ❍♦➦❝ ♠æ t↔
trü❝ q✉❛♥ ❤ì♥ q✉❛ ❜✐➸✉ ✤ç ❱❡♥✳

❱➲ ♠➦t ❝➜✉ tró❝ ♥❣ú ♣❤→♣ t❤➻ ❝→❝ q✉② t➢❝ ❝õ❛ ✈➠♥ ♣❤↕♠ ♣❤✐

♥❣ú ❝↔♥❤ ✈➔ ✈➠♥ ♣❤↕♠ ❝❤➼♥❤ q✉② ❧➔ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❤ì♥ ❝↔✳ ❈❤ó♥❣ ❝â ♥❤✐➲✉
ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ t❤✐➳t ❦➳ ❝→❝ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❧➟♣ tr➻♥❤ ❤❛② tr♦♥❣ ①➙②
❞ü♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❞à❝❤✳✳✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❝→❝ ♣❤➛♥ t✐➳♣ t❤❡♦ t❛ s➩ ♥❣❤✐➯♥ ❝ú✉
❦➽ ❤ì♥ ✈➲ ❧î♣ ♥❣æ♥ ♥❣ú s✐♥❤ ❜ð✐ ✈➠♥ ♣❤↕♠ ❝❤➼♥❤ q✉②✳

✶✸


❈❤÷ì♥❣ ✷
❖❚❖▼❆❚ ❍Ú❯ ❍❸◆
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤♦↕t ✤ë♥❣ ✈➔ ♣❤➙♥ ❧♦↕✐
♦t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥✱ ♠ët ❦✐➸✉ ✧♠→② trø✉ t÷ñ♥❣✧ ✤÷ñ❝ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✤➛✉ t✐➯♥
❜ð✐ ❆✳ ❚✉r✐♥❣ ✈➔♦ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ✶✾✸✵✳

✷✳✶ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ♦t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥
❖t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ✭❋✐♥✐t❡ ❆✉t♦♠❛t❛ ✲ ❋❆✮ ❧➔ ♠ët ♠æ ❤➻♥❤ t➼♥❤ t♦→♥
❝õ❛ ❤➺ t❤è♥❣ ✈î✐ sü ♠æ t↔ ❜ð✐ ❝→❝ ✤➛✉ ✈➔♦ ✭✐♥♣✉t✮ ✈➔ ✤➛✉ r❛ ✭♦✉t♣✉t✮✳
❚↕✐ ♠é✐ t❤í✐ ✤✐➸♠✱ ❤➺ t❤è♥❣ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ð ♠ët tr♦♥❣ sè ❤ú✉
❤↕♥ ❝→❝ ❝➜✉ ❤➻♥❤ ♥ë✐ ❜ë✱ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ tr↕♥❣ t❤→✐ ✭st❛t❡✮✳ ▼é✐ tr↕♥❣ t❤→✐
❝õ❛ ❤➺ t❤è♥❣ t❤➸ ❤✐➺♥ sü tâ♠ t➢t ❝→❝ t❤æ♥❣ t✐♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♥❤ú♥❣
✤➛✉ r❛ ✤➣ ❝❤✉②➸♥ q✉❛ ✈➔ ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❝❤✉②➸♥ ❦➳ t✐➳♣ tr➯♥ ❞➣②
✤➛✉ r❛ t✐➳♣ t❤❡♦✳
❚r♦♥❣ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠→② t➼♥❤✱ t❛ ❝â t❤➸ t➻♠ t❤➜② ♥❤✐➲✉ ✈➼ ❞ö ✈➲ ❤➺
t❤è♥❣ tr↕♥❣ t❤→✐ ❤ú✉ ❤↕♥✱ ✈➔ ❧þ t❤✉②➳t ✈➲ ♦t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ❧➔ ♠ët ❝æ♥❣
❝ö t❤✐➳t ❦➳ ❤ú✉ ➼❝❤ ❝❤♦ ❝→❝ ❤➺ t❤è♥❣ ♥➔②✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱ ♠ët ❤➺ ❝❤✉②➸♥
♠↕❝❤ ♥❤÷ ❜ë ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✭❈♦♥tr♦❧ ❯♥✐t✮ tr♦♥❣ ♠→② t➼♥❤✳ ▼ët ❝❤✉②➸♥

✶✹

õ tốt ồ

Pữỡ

t ỗ ởt số ỳ ờ t r ộ ờ
õ õ tr tr
s ự t ờ ộ tr
t ừ ởt ợ ờ t ý s ởt trữớ
ủ tr ừ ố ợ ờ
t ữủ tt t t ú õ t ữủ
ữ tố tr t ỳ ữỡ tr q tở
tr sồ t ở t tứ ỹ tr
tr t ụ ữủ tt ữ tố tr
t ỳ ử ở t tứ ỹ s qt q tt ỏ
ỵ tỹ ừ ữỡ tr t t õ ộ ỵ tỹ tữỡ
ự ợ ởt tứ õ t ý r q tr ỷ ỵ ở t
tứ ỹ ợ ởt số ỳ tổ t ữ ỵ tỹ t
t ỳ ộ tứ õ ỵ tt tt ỳ
tữớ ữủ ũ tt ổ ử ỷ ỵ ộ
q
t ụ õ t ữủ ữ ởt tố tr t
ỳ r t tớ ừ ở ỷ ỵ tr t ở ợ tr
tt ữ trỳ ử ộ tớ t ý ởt tr ỳ
số rt ợ ỳ ừ số tr t ở ữớ ụ
ởt tố tr t ỳ số t t ồ
rs số õ ợ t õ t
ỵ q trồ t ự tố tr
t ỳ t tỹ ừ ự ử
tr ỹ tỹ t tt ỳ ữủ

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▲➯ ▼✐♥❤ P❤÷ì♥❣

❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ✷ ❧♦↕✐✿ ✤ì♥ ✤à♥❤ ✭❉❋❆✮ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ✤ì♥ ✤à♥❤ ✭◆❋❆✮✳ ❈↔ ❤❛✐
❧♦↕✐ ♦t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ✤➲✉ ❝â ❦❤↔ ♥➠♥❣ ♥❤➟♥ ❞↕♥❣ ❝❤➼♥❤ ①→❝ t➟♣ ❝❤➼♥❤
q✉②✳ ❖t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ✤ì♥ ✤à♥❤ ❝â ❦❤↔ ♥➠♥❣ ♥❤➟♥ ❞↕♥❣ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❞➵
❞➔♥❣ ❤ì♥ ♦t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ❦❤æ♥❣ ✤ì♥ ✤à♥❤✱ ♥❤÷♥❣ t❤❛② ✈➔♦ ✤â t❤æ♥❣
t❤÷í♥❣ ❦➼❝❤ t❤÷î❝ ❝õ❛ ♥â ❧↕✐ ❧î♥ ❤ì♥ s♦ ✈î✐ ♦t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ❦❤æ♥❣
✤ì♥ ✤à♥❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳ ❚❛ s➩ ✤✐ t➻♠ ❤✐➸✉ ❦➽ ❤ì♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ♠ö❝ t✐➳♣
t❤❡♦✳

✷✳✷ ❖t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ✤ì♥ ✤à♥❤
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳ ▼ët ❖t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ✤ì♥ ✤à♥❤ ✭❉❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❋✐♥✐t❡

❆✉t♦♠❛t❛ ✲ ❉❋❆✮ ❧➔ ♠ët ❜ë ♥➠♠ A =

Q, Σ, δ, q0 , F ✱ tr♦♥❣ ✤â

✰ Q ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❦❤→❝ ré♥❣✱ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝
✰ Σ ❧➔ ♠ët ❜↔♥❣ ❝❤ú✱ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❜↔♥❣ ❝❤ú ✈➔♦ ❀

t➟♣ tr↕♥❣ t❤→✐ ❀

✰ δ : D → Q✱ ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ tø D ✈➔♦ Q✱ ð ✤➙② D ⊆ Q × Σ✱ ✤÷ñ❝ ❣å✐

❤➔♠ ❝❤✉②➸♥ tr↕♥❣ t❤→✐ ✭❤❛② ❣å✐ t➢t ❧➔ ❤➔♠ ❝❤✉②➸♥ ✮❀
✰ q0 ∈ Q✱ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ tr↕♥❣ t❤→✐ ❦❤ð✐ ✤➛✉ ❀
✰ F ⊆ Q✱ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ❝→❝ tr↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t t❤ó❝✳
❧➔

✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♥➳✉ D = Q × Σ✱ t❛ ♥â✐ A ❧➔ ♦t♦♠❛t ✤➛② ✤õ✳

▼æ t↔ ❤♦↕t ✤ë♥❣✿ ❈❤♦ ♦t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ✤ì♥ ✤à♥❤ A = Q, Σ, δ, q0 , F
✈➔ tø ✈➔♦ ω = a1 a2 ...an ✿
❑❤✐ ❜➢t ✤➛✉ ❤♦↕t ✤ë♥❣✱ ♦t♦♠❛t ð tr↕♥❣ t❤→✐ ❦❤ð✐ ✤➛✉ q0 ✈➔ ✤➛✉
✤å❝ ✤❛♥❣ ♥❤➻♥ æ a1 ✳ ❉÷î✐ t→❝ ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❦þ ❤✐➺✉ ✈➔♦ a1 ♦t♦♠❛t ❝❤✉②➸♥
tø tr↕♥❣ t❤→✐ q0 ✈➲ tr↕♥❣ t❤→✐ ♠î✐ δ (q0 , a1 ) = q1 ∈ Q ✈➔ ✤➛✉ ✤å❝
❝❤✉②➸♥ s❛♥❣ ♥❤➻♥ æ a2 ✳ ❙❛✉ ✤â ♦t♦♠❛t A ❝â t❤➸ ❧↕✐ t✐➳♣ tö❝ ❝❤✉②➸♥ tø
tr↕♥❣ t❤→✐ q1 ♥❤í ❤➔♠ ❝❤✉②➸♥ δ ✈➲ tr↕♥❣ t❤→✐ ♠î✐ q2 = δ (q1 , a2 ) ∈ Q✳

✶✻


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▲➯ ▼✐♥❤ P❤÷ì♥❣

◗✉→ tr➻♥❤ ✤â ❦➳t t❤ó❝ ❝❤♦ tî✐ ❦❤✐ ❣➦♣ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ s❛✉✿
• ❖t♦♠❛t A ✤å❝ ❤➳t tø ✈➔♦ ω ✈➔ δ (qn−1 , an ) = qn ∈ F ✱ tù❝ ❧➔ A

✤♦→♥ ♥❤➟♥ tø ω✳
• ❖t♦♠❛t A ✤å❝ ❤➳t tø ✈➔♦ ω ✈➔ δ (qn−1 , an ) = qn ∈
/ F ❤♦➦❝ ❦❤✐

♦t♦♠❛t A ✤å❝ ✤➳♥ aj ✱ (j ≤ n) ✈➔ ❤➔♠ δ (qj−1 , aj ) ❦❤æ♥❣ ①→❝ ✤à♥❤✱
tù❝ ❧➔ A

❦❤æ♥❣ ✤♦→♥ ♥❤➟♥ tø ω✳

◗✉→ tr➻♥❤ ✤♦→♥ ♥❤➟♥ tø ✈➔♦ ω ❝õ❛ ♦t♦♠❛t A ❝â t❤➸ sì ✤ç ❤â❛ ♥❤÷
s❛✉✳
❳➙✉ ω = a1

a2

a3

↑

↑

↑

✳✳✳

an−1

an

↑

↑

q0 → q1 → q2 → ✳✳✳ → qn−2 → qn−1 → qn

❇✐➸✉ ❞✐➵♥ ♦t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ✤ì♥ ✤à♥❤✿ ❚❤➔♥❤ ♣❤➛♥ q✉❛♥
trå♥❣ ♥❤➜t ❝õ❛ ♦t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ✤ì♥ ✤à♥❤ ❧➔ ❤➔♠ ❝❤✉②➸♥ tr↕♥❣ t❤→✐✳
❈❤♦ ♠ët ♦t♦♠❛t t❤ü❝ ❝❤➜t ❧➔ ❝❤♦ ❤➔♠ ❝❤✉②➸♥ tr↕♥❣ t❤→✐ ❝õ❛ ♥â✱ ❝â
❤❛✐ ❝→❝❤ ✤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ trü❝ q✉❛♥ ❤ì♥ ❧➔

✲ ❇↔♥❣ ❝❤✉②➸♥✿
❈❤♦ ♦t♦♠❛t A = Q, Σ, δ, q0 , F ✱ ✈î✐ Q = {q0 , q1 , ..., qm } ❧➔ t➟♣ tr↕♥❣
t❤→✐ ✈➔ ❜↔♥❣ ❝❤ú Σ = {a1 , a2 , .., an }✱ ❦❤✐ ✤â ❤➔♠ ❝❤✉②➸♥ tr↕♥❣ t❤→✐ ❝â
t❤➸ ①→❝ ✤à♥❤ ❜➡♥❣ ❜↔♥❣ ❝❤✉②➸♥ ♥❤÷ s❛✉✿

✶✼


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▲➯ ▼✐♥❤ P❤÷ì♥❣

❚r↕♥❣
t❤→✐

❑➼ ❤✐➺✉ ✈➔♦
a1

a2

✳✳✳

an

q0

δ (q0 , a1 )

δ (q0 , a2 ) ✳✳✳ δ (q0 , an )

q1

δ (q1 , a1 )

δ (q1 , a2 ) ✳✳✳ δ (q1 , an )

q3

δ (q3 , a1 )

δ (q3 , a2 ) ✳✳✳ δ (q3 , an )

✳✳✳

✳✳✳

qm

✳✳✳

✳✳✳

✳✳✳

δ (qm , a1 ) δ (qm , a2 ) ✳✳✳ δ (qm , an )

❱î✐ ❜↔♥❣ ❝❤✉②➸♥ tr↕♥❣ t❤→✐ ✈➔ tr↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t t❤ó❝ F t❛ ❤♦➔♥
t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷ñ❝ ♦t♦♠❛t A✳

✲ ✣ç t❤à ❝❤✉②➸♥✿
❈❤♦ ♦t♦♠❛t A = Q, Σ, δ, q0 , F ✳ ❍➔♠ ❝❤✉②➸♥ δ ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❜➡♥❣
♠ët ✤❛ ✤ç t❤à ❝â ❤÷î♥❣✱ ❦❤✉②➯♥ G✱ ✈➔ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ç t❤à ❝❤✉②➸♥ ❝õ❛
♦t♦♠❛t A✳ ❚➟♣ ✤à♥❤ ❝õ❛ G ✤÷ñ❝ ❣→♥ ♥❤➣♥ ❜ð✐ ❝→❝ tr↕♥❣ t❤→✐ t❤✉ë❝ Q✱
❝→❝ ❝✉♥❣ ✤÷ñ❝ ❣→♥ ♥❤➣♥ ❜ð✐ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû t❤✉ë❝ Σ✱ tù❝ ❧➔ ♥➳✉ a ∈ Z ✈➔
❝❤✉②➸♥ tr↕♥❣ t❤→✐ tø q s❛♥❣ tr↕♥❣ t❤→✐ p t❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ δ (q, a) = p
t❤➻ ❝â ♠ët ❝✉♥❣ tø ✤➾♥❤ q tî✐ ✤➾♥❤ p ✤÷ñ❝ ❣➢♥ ♥❤➣♥ a✳ ✣➾♥❤ ✈➔♦ ❝õ❛
✤ç t❤à ❝❤✉②➸♥ ❧➔ ✤➾♥❤ ù♥❣ ✈î✐ tr↕♥❣ t❤→✐ ❜❛♥ ✤➛✉ q0 ✳ ❈→❝ ✤➾♥❤ s➩ ✤÷ñ❝
❦❤♦❛♥❤ ❜ð✐ ❝→❝ ✈á♥❣ trá♥✱ t↕✐ ✤➾♥❤ q0 ❝â ♠ô✐ t➯♥ ✤✐ ✈➔♦✱ r✐➯♥❣ ✤➾♥❤ ✈î✐
tr↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t t❤ó❝ ✤÷ñ❝ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❜➡♥❣ ❦❤♦❛♥❤ trá♥ ✤➟♠ ❤♦➦❝ ❤➻♥❤
✈✉æ♥❣✳ ❚ø ✤â✱ ✤ç t❤à ❝❤✉②➸♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷ñ❝ ♦t♦♠❛t A✳

❱➼ ❞ö ✷✳✶✳ ❳➨t ♦t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ✤ì♥ ✤à♥❤
A1 = {q0 , q1 , q2 } , {a, b} , δ, q0 , {q1 } ✱

✈î✐ ❤➔♠ ❝❤✉②➸♥ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉ δ (q0 , a) = q0 ✱ δ (q0 , b) = q2 ✱ δ (q1 , a) =
q1 ✱ δ (q1 , b) = q1 ✱ δ (q2 , a) = q0 ✱ δ (q2 , b) = q1 ✳

✶✽


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▲➯ ▼✐♥❤ P❤÷ì♥❣

❖t♦♠❛t A1 ❝â ❜↔♥❣ ❝❤✉②➸♥ tr↕♥❣ t❤→✐ ✈➔ ✤ç t❤à ❝❤✉②➸♥ tr↕♥❣ t❤→✐ ♥❤÷
s❛✉✿
❚r↕♥❣

❑➼ ❤✐➺✉ ✈➔♦

t❤→✐

❛

❜

q0

q0

q2

q1

q1

q1

q2

q0

q1

❖t♦♠❛t A1 ✤♦→♥ ♥❤➟♥ tø ✈➔♦ ω1 = ababbbab t❤❡♦ sì ✤ç s❛✉✳
ω1 = ❛

❜

❛

❜

❜

❛

❜

↑

↑

↑

↑

↑

↑

↑

q 0 → q0 → q2 → q 0 → q2 → q1 → q1 → q 1 ∈ F

❱➟② tø ✈➔♦ ω1 ✤÷ñ❝ ✤♦→♥ ♥❤➟♥ ❜ð✐ ♦t♦♠❛t A1 ✳

❱➼ ❞ö ✷✳✷✳ ❳➨t ♦t♦♠❛t ❤ú✉ ❤↕♥ ✤ì♥ ✤à♥❤
A2 = {q0 , q1 , q2 , q3 } ; {0, 1} ; δ; q0 ; {q0 }

✈î✐ ❤➔♠ ❝❤✉②➸♥ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉ δ(q1 , 1) = δ(q3 , 1) = q0 ✱ δ(q0 , 1) =
δ(q2 , 0) = q1 ✱ δ(q1 , 0) = δ(q3 , 0) = q2 ✱ δ(q0 , 0) = δ(q2 , 1) = q3 ✳ ❖t♦♠❛t
A2 ❝â ❜↔♥❣ ❝❤✉②➸♥ tr↕♥❣ t❤→✐ ✈➔ sì ✤ç ❝❤✉②➸♥

✶✾