Ánh xạ gauss trong hệ toạ độ địa phương (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

PHẠM NGỌC MAI

ÁNH XẠ GAUSS TRONG HỆ TỌA ĐỘ
ĐỊA PHƯƠNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

PHẠM NGỌC MAI

ÁNH XẠ GAUSS TRONG HỆ TỌA ĐỘ
ĐỊA PHƯƠNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN NGHỊ

HÀ NỘI – 2018

▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝↔♠ ì♥

✶

▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥

✷

▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉

✸

✶ ⑩◆❍ ❳❸ ●❆❯❙❙

✺

✶✳✶

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✶✳✶✳✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

❈→❝ ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉② ✈➔ t↕♦ ↔♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❣✐→ trà
❝❤➼♥❤ q✉②

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✶✳✷

❍➔♠ ❦❤↔ ✈✐ tr➯♥ ♠➦t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✶✳✸

▼➦t ♣❤➥♥❣ t✐➳♣ ①ó❝ ❝õ❛ ♠➦t ❝♦♥❣ ✈➔ ✈✐ ♣❤➙♥
❝õ❛ →♥❤ ①↕

✶✳✶✳✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✶✳✷✳✶

▼➦t ✤à♥❤ ❤÷î♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✶✳✷✳✷

⑩♥❤ ①↕ ●❛✉ss ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✶✳✸

❈æ♥❣ t❤ù❝ ❊✉❧❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✶✳✹

✣ë ❝♦♥❣ ●❛✉ss

✷✺

✶✳✷

❉↕♥❣ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t ✈➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤

✶✶

⑩♥❤ ①↕ ●❛✉ss

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷ ⑩◆❍ ❳❸ ●❆❯❙❙ ❚❘❖◆● ❍➏ ❚➴❆ ✣❐ ✣➚❆ P❍×❒◆●

✐


P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✸✸
✷✳✶

⑩♥❤ ①↕ ●❛✉ss tr♦♥❣ ❤➺ tå❛ ✤ë ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

✷✳✷

❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✼

❑➳t ❧✉➟♥

✺✵

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✺✶

✐✐


P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▲í✐ ❝↔♠ ì♥
◗✉❛ ✹ ♥➠♠ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ r➧♥ ❧✉②➺♥ t↕✐ ❣✐↔♥❣ ✤÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ✱ ✤÷ñ❝ sü
❞➻✉ ❞➢t ✈➔ ❞↕② ❞é ❝õ❛ ❝→❝ ❚❤➛② ❝æ ❣✐→♦✱ ❡♠ ✤➣ t✐➳♣ t❤✉ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉
❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❤ú✉ ➼❝❤ ✈➔ q✉❛♥ trå♥❣✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ♥➔②
❝❤➼♥❤ ❧➔ t❤➔♥❤ q✉↔ ❝õ❛ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ r➧♥ ❧✉②➺♥ ✤â✳
❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✲ tr÷í♥❣ ✣↕✐
❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✱ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❣✐ó♣ ❡♠ ❝â ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝
❦❤♦❛ ❤å❝ ❝ô♥❣ ♥❤÷ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ ❡♠ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ ❤å❝
t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❞÷î✐ sü
❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝❤➾ ❜↔♦ t➟♥ t➻♥❤ ❝õ❛ ❚❤➛② ❣✐→♦

❚❙✳❚r➛♥ ❱➠♥ ◆❣❤à✳ ❊♠

①✐♥ ♣❤➨♣ ❣û✐ ✤➳♥ t❤➛② ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝
♥❤➜t✳
❈✉è✐ ❝ò♥❣ ❡♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐
✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï✱ q✉❛♥ t➙♠✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈ø❛ q✉❛✳

❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❙✐♥❤ ✈✐➯♥

P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

✶


P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✧⑩♥❤ ①↕ ●❛✉ss tr♦♥❣ ❤➺ tå❛ ✤ë ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✧
✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ tø sü ♥é ❧ü❝ t➻♠ ❤✐➸✉ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ❡♠ ❝ò♥❣ ✈î✐ sü
❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛ ❚❤➛② ❣✐→♦

❚❙✳❚r➛♥ ❱➠♥ ◆❣❤à✳ ❚r♦♥❣ ❜➔✐ ❧✉➟♥ ❡♠ ✤➣

t❤❛♠ ❦❤↔♦ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ ✭♣❤➛♥ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✮✳ ❱➻ ✈➟② ❡♠ ①✐♥
❝❛♠ ✤♦❛♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❧➔ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❡♠✱ ❦❤æ♥❣ trò♥❣
✈î✐ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝✳

❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❙✐♥❤ ✈✐➯♥

P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

✷


P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉
✶✳ ▲þ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✳
❍➻♥❤ ❤å❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❧➔ ♥❣➔♥❤ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝❤✉②➯♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝→❝
t➼♥❤ ❝❤➜t ✤à♥❤ t➼♥❤ ✈➔ ✤à♥❤ ❧÷ñ♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➻♥❤ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♥❤í ❝→❝
❝æ♥❣ ❝ö ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♠➔ trü❝ t✐➳♣ ❧➔ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ t➼❝❤ ♣❤➙♥✳ ❈→❝
♠➦t ✤è✐ ❝❤✐➲✉ ♠ët✱ ♠➦t tr♦♥❣

E3 ,

s✐➯✉ ♠➦t tr♦♥❣

En

❧➔ ❝→❝ ✤è✐

t÷ñ♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈✐ ♣❤➙♥✳ ✣➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤
❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ✤è✐ t÷ñ♥❣ tr➯♥✱ ♥❣÷í✐ t❛ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐
♥✐➺♠ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss✳ ⑩♥❤ ①↕ ●❛✉ss ❧➔ ♠ët ❝æ♥❣ ❝ö ❤ú✉ ➼❝❤ ✤➸ ✤÷❛
r❛ ❝→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ ✤ë ❝♦♥❣ ●❛✉ss✱ ✤ë ❝♦♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤✱ ✤ë ❝♦♥❣
❝❤➼♥❤✳
❱î✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ t➻♠ ❤✐➸✉ s➙✉ ❤ì♥ ✈➲ ❝→❝ ✤è✐ t÷ñ♥❣ ♥â✐ tr➯♥ ✈➔
✤÷ñ❝ sü ✤à♥❤ ❤÷î♥❣ ❝õ❛ t❤➛② ❤÷î♥❣ ❞➝♥✱ ❡♠ ✤➣ q✉②➳t ✤à♥❤ ❝❤å♥
✤➲ t➔✐ ♥➔② ✤➸ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✤↕✐ ❤å❝ ♥❣➔♥❤
❙÷ ♣❤↕♠ ❚♦→♥
✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳

❛✳

✣è✐ t÷ñ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✣è✐ t÷ñ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➔ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛

♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳

❜✳

P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➔ ❧þ t❤✉②➳t ✈➲ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss✳

✸✳ ◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳

✸


P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➔ ❧➔♠ rã ❝→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss
✈î✐ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✿ ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉②✱❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ tr➯♥ ♠➦t✱
❞↕♥❣ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t ✈➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ tr➯♥ ♠ët ♠➦t✱ ♠➦t ✤à♥❤ ❤÷î♥❣✱
✤ë ❝♦♥❣ ●❛✉ss✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss tr♦♥❣ ❤➺ tå❛
✤ë ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳

✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳
P❤➙♥ t➼❝❤ ✈➔ tê♥❣ ❤ñ♣ ❦✐➳♥ t❤ù❝✳

✺✳ ❈➜✉ tró❝ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✳
❑❤â❛ ❧✉➟♥ ❣ç♠ ✷ ❝❤÷ì♥❣ ✿
❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ⑩♥❤ ①↕ ●❛✉ss
❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ⑩♥❤ ①↕ ●❛✉ss tr♦♥❣ ❤➺ tå❛ ✤ë ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣

✹


ữỡ

r ữỡ ú t s tr ởt số ữ s



ởt số ỡ ừ t q tr

R3 , ổ t ởt

số t ỳ ữ r ởt t t ừ

R3



ởt t q



ởt tr t q t s
t r tr

R2

õ t ữủ rở

ữ õ t q tr

R3

t ởt sỹ

tt tỹ tứ t



ỡ tự t ữ ổ ử tỹ ỷ ỵ ọ
ữủ ở ừ ữớ t ừ tt
tr ởt t q



t ữợ



ss ở ss




P ồ

õ tốt ồ

tự

t q t ừ tr
q

t q tr

R3

õ t ữ s ởt số

t ú s ữủ ổ
õ ồ ổ õ ổ õ t tỹ t t
ộ õ t õ t t ú ừ t t ụ
s ữủ tt ừ trỡ õ t rở ụ ữ
t q ừ t ú s tọ
tr


q

p S

X : U V S,

ợ

ởt t ủ
tỗ t

U

S R3

V R3

ữủ ồ ởt t

ừ

ởt t ừ

p



R2

tọ

s



X õ X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),

(u, v) U


ợ

X

x, y, z

õ r ồ

ởt ỗ ổ tứ

t
ữủ

X



V S.



X

tử

ởt ỗ ổ õ

X 1 : V S U

ừ ởt tử
t ự

U

tử õ

F : W R3 R3

X

X 1

õ


tr ởt

V S.

q ợ ồ
ỡ

X

q U,



DXq : R2 R2

ởt

ữủ ồ ởt t số õ ữỡ




P ồ

õ tốt ồ
ừ

S,

ỗ ừ



S

(U, X)

ồ ởt tồ ở ữỡ ởt

ỏ

V S

ừ

p

tr

S

ồ ởt tồ

ở
ữủ ồ ữợ

t q
t


ữ õ t t q ữủ ừ ởt ồ
tồ ở tự ừ ởt ồ

X

t số õ

tọ



ú t õ t sỷ ử ổ ử ừ
t t t ự t q

t tỹ t ừ t õ õ t
õ t t ú ừ t t ồ



t ồ õ t t ú

ử

t

S 2 = {(x, y, z) R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1}

q



t


P ồ

õ tốt ồ

t
sỷ ử tr tr t q ừ
ởt t ởt ổ ổ tố tớ ỳ
t t s t ỳ ữỡ õ t tr
ỹ ởt số t q ỡ

f : U R tr t U R2.

õ ỗ t ừ f

Gf = {(x, y, z) R3 : z = f (x, y)}

ởt t q
(x, y)
= 1,
ự ữủ tọ (x,
y)
ụ ữủ tọ ú t ỏ ự
t
ữủ

X 1

tứ

R3


ừ

f

ữủ

X(x, y) = (x, y, f (x, y))

R2



Gf

ừ

tử

ởt t

f : U Rn Rm .


X 1

ỡ õ

U

ừ

Rn

õ r

Dfp : Rn Rm



ữủ

p U

ởt tợ

ổ t


P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
f (p) ∈ Rm
❝õ❛

Rm

q✉✐ ❝õ❛

❝õ❛ ♠ët ✤✐➸♠ tî✐ ❤↕♥ ❣å✐ ❧➔ ❣✐→ trà tî✐ ❤↕♥ ❝õ❛

f. ▼ët ✤✐➸♠

♠➔ ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ❣✐→ trà tî✐ ❤↕♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❣✐→ trà ❝❤➼♥❤

f.

❈❤ó þ r➡♥❣ ❜➜t ❦ý ✤✐➸♠

a∈
/ f (U )

✤➲✉ ❧➔ ❝→❝ ❣✐→ trà ❝❤➼♥❤ q✉✐ ❝õ❛

f.
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣
✤✐➸♠

x∈U

f : U ⊂ R → R,

f (x) = 0.

♠➔

◆➳✉

❝→❝ ✤✐➸♠ tî✐ ❤↕♥ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❝→❝

f : U ⊂ R3 → R

❧➔ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐✱ t❛ ❝â

∂f
∂f
f (p) = ( ∂f
∂x (p), ∂y (p), ∂z (p))
❚➼♥❤ ❝❤➜t

Dfp

❦❤æ♥❣ ❧➔ t♦➔♥ →♥❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐

∂f
∂f
∂f
(p) =
(p) =
(p)
∂x
∂y
∂z
❉♦ ✤â✱ ♥➳✉

∂f ∂f ∂f
, ,
❦❤æ♥❣ ✤ç♥❣ t❤í✐ tr✐➺t
∂x ∂y ∂z
f −1 (a) = {(x, y, z) ∈ R3 : f (x, y, z) = a}.

a ❧➔ ❣✐→ trà ❝❤➼♥❤ q✉✐ t❤➻

t✐➯✉ tr➯♥ t➟♣

◆➳✉ f : U ⊂ R3 → R, ❧➔ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ✈➔ a ∈ f (U )
❧➔ ❣✐→ trà ❝❤➼♥❤ q✉✐ ❝õ❛ f t❤➻ f −1(a), ♥➳✉ ❦❤→❝ ré♥❣✱ ❧➔ ♠ët ♠➦t ❝❤➼♥❤
q✉✐ tr♦♥❣ R3.

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✷✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✷✳
❛✳ ❊❧❧✐♣s♦✐❞ ✿
❧➔ t➟♣ ❤ñ♣

x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
f

−1

✈î✐

x2 y 2 z 2
f (x, y, z) =: 2 + 2 + 2 − 1✳
a
b
c

❜✳ ❍②♣❡r❜♦❧♦✐❞ ✷ t➛♥❣✿

S = f −1 (0)

✈î✐

0

❧➔ ♠ët ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉② ✱ t❤ü❝ t➳ ♥â

−x2 − y 2 + z 2 = 1

❧➔ ♠ët ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉② ✈➻

❧➔ ♠ët ❣✐→ trà ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ ❤➔♠

−x2 − y 2 + z 2 − 1✳

✾

f (x, y, z) =


P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❍➻♥❤ ✶✳✸✿ ❍②♣❡r❜♦❧♦✐❞ ✷ t➛♥❣ −x2 − y2 + z2 = 1✳

●✐↔ sû S ⊂ R3 ❧➔ ♠ët ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉✐ ✈➔ p ∈ S. ❑❤✐
✤â tç♥ t↕✐ ❧➙♥ ❝➟♥ V ❝õ❛ p tr♦♥❣ S s❛♦ ❝❤♦ V ❧➔ ✤ç t❤à ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠

❦❤↔ ✈✐ ❝â ♠ët tr♦♥❣ ❜❛ ❞↕♥❣ s❛✉✿
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✸✳

z = f (x, y), y = g(x, z), x = h(y, z).

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✸✳

◆â♥ ♠ët t➛♥❣

C

❝❤♦ ❜ð✐

z =

x2 + y 2 , (x, y) ∈ R2

❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉②✳

❈❤♦ →♥❤ ①↕ X : U ⊂ R2 → R3, S ❧➔ ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉✐✱
X(U ) ⊂ S. ◆➳✉ X ❧➔ ✤ì♥ →♥❤ t❤ä❛ ♠➣♥ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✶ ✈➔ ✸ tr♦♥❣ ✣à♥❤
♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶ t❤➻ X −1 ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝✱ ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ X t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✷
✈➔ ❞♦ ✤â X ❧➔ ♠ët t❤❛♠ sè ❤â❛✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✹✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✹✳ ▼ët t❤❛♠ sè ❤â❛ ❝õ❛ ♠➦t ①✉②➳♥ T
((rcosu + a)cosv, (rcosu + a)sinv, rsinu),

✶✵

✈î✐

✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐

0 < u, v < 2π.

X(u, v) =


P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✶✳✶✳✷

❍➔♠ ❦❤↔ ✈✐ tr➯♥ ♠➦t

✭✣ê✐ t❤❛♠ sè✮✳ ❈❤♦ S ⊂ R3 ❧➔ ♠ët ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉✐✱
p ∈ S, X : U ⊂ R2 → S ✈➔ Y : V ⊂ R2 → S ❧➔ ❤❛✐ t❤❛♠ sè ❤â❛ ✤à❛
♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ S s❛♦ ❝❤♦ p ∈ X(U ) ∩ Y (V ) = W. ❑❤✐ ✤â ♣❤➨♣ ✤ê✐ tå❛ ✤ë
h = X −1 ◦ Y : Y −1 (W ) → X −1 (W ) ❧➔ ✈✐ ♣❤æ✐✱ tù❝ ❧➔ h ❦❤↔ ✈✐ ✈➔ ❤➔♠
♥❣÷ñ❝ h−1 = Y −1 ◦ X ✭❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ✤ê✐ tå❛ ✤ë✮ ❝ô♥❣ ❦❤↔ ✈✐✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✺✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳ ❈❤♦ f : V ⊂ S → R ❧➔ ❤➔♠ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët t➟♣
♠ð

V

❝õ❛ ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉✐

t❤❛♠ sè ❤â❛

S. ❍➔♠ f

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ t↕✐

X : U ⊂ R2 → S, p ∈ X(U ),

❧➔ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ t↕✐

X −1 (p). ❍➔♠ f

✈✐ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ ❝õ❛

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✺✳

t❤➻ ❤➔♠ ❤ñ♣

p∈V

♥➳✉ ✈î✐

f ◦X : U → R

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ tr➯♥

V

♥➳✉

f

❦❤↔

V.

❍➔♠ ✤ë ❝❛♦ ✤è✐ ✈î✐ ♠ët ✈❡❝t♦r ✤ì♥ ✈à

v ∈ R3

h : S → R, h(p) = p.v, ∀p ∈ S
h(p) ❧➔ ✤ë ❝❛♦ ❝õ❛ p ∈ S
O

tr♦♥❣

✶✳✶✳✸

s♦ ✈î✐ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐

v

✤✐ q✉❛ ❣è❝

R3 .

▼➦t ♣❤➥♥❣ t✐➳♣ ①ó❝ ❝õ❛ ♠➦t ❝♦♥❣ ✈➔ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ →♥❤
①↕

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹✳ ▼ët ✈❡❝t♦r t✐➳♣ ①ó❝ ❝õ❛ ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉✐ S t↕✐ ✤✐➸♠

p∈S

❧➔ ✈❡❝t♦r t✐➳♣ ①ó❝ ❝õ❛ ♠ët ❝✉♥❣ t❤❛♠ sè ❦❤↔ ✈✐ ❝â ✈➳t ♥➡♠ tr➯♥

S ✱ α : (− , − ) → S,

✈î✐

α(0) = p.

❚➟♣ t➜t ❝↔ ✈❡❝t♦r t✐➳♣ ①ó❝ ❝õ❛

S

t↕✐

p,

❦þ ❤✐➺✉ ❧➔

S

t↕✐

Tp S.

✶✶

p

❣å✐ ❧➔ ♠➦t ♣❤➥♥❣ t✐➳♣ ①ó❝ ❝õ❛


P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
▼➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ❝❤♦ t❤➜② ♠é✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➳♣ ①ó❝

Tp S

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣

❣✐❛♥ ✈❡❝t♦r ✷✲❝❤✐➲✉✳

●✐↔ sû X : U ⊂ R2 −→ S ❧➔ ♠ët t❤❛♠ sè ❤â❛ ❝õ❛
S ✈î✐ p ∈ X(U ) ✈➔ q = X −1 (p). ❑❤✐ ✤â ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t♦r ✷✲❝❤✐➲✉
DXq(R2 ) ⊂ R3 ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➳♣ ①ó❝ Tp S.
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✻✳

❈❤♦

S1

✈➔

❦❤↔ ✈✐✳ ▲➜②

S2

p∈V

✈➔

w ∈ Tp S1

✤÷í♥❣ t❤❛♠ sè ❦❤↔ ✈✐
✤÷í♥❣ ❝♦♥❣

ϕ : V ⊂ S1 → S2

❧➔ ❤❛✐ ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉✐ ✈➔

β = ϕ ◦ α,

tù❝ ❧➔

w

❧➔ →♥❤ ①↕

❧➔ ✈❡❝t♦r t✐➳♣ ①ó❝ ❝õ❛ ♠ët

α : (− , − ) → V, w = α (0), p = α(0).
t❛ ❝â

β(0) = ϕ(p)

❞♦ ✤â

β (0) ∈ Tϕ(p) S2 .

❳➨t

❚❛ ❝â

♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉✿

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✼✳

❱❡❝t♦r β (0) ∈ Tϕ(p)S2 ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ α

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✽✳

⑩♥❤ ①↕
Tp ϕ :Tp S1 → Tϕ(p) S2
w → Tp ϕ(w) := β (0)

❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺✳ ⑩♥❤ ①↕ Tp ϕ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✈✐ ♣❤➙♥ ❤❛② →♥❤ ①↕ t✐➳♣
①ó❝✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✻✳

▼ët →♥❤ ①↕

ϕ : V ⊂ S1 → S2 ,

✈î✐

♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉✐✱ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ✈✐ ♣❤æ✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐

t↕✐ ❧➙♥ ❝➟♥

U ⊂V

❝õ❛

p

s❛♦ ❝❤♦

ϕ|U

✶✷

❧➔ ✈✐ ♣❤æ✐ tø

U

S1 , S2

p∈V

✈➔♦

❧➔ ❝→❝

♥➳✉ tç♥

ϕ(U ) ⊂ S2 .

P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✶✳✶✳✹
❈❤♦

❉↕♥❣ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t ✈➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤

S ⊂ R3

❧➔ ♠ët ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉✐✳ ❑❤✐ ✤â t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ tr➯♥

❝↔♠ s✐♥❤ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ tr➯♥ tø♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ t✐➳♣ ①ó❝

∀w1 , w2 ∈ Tp S, < w1 , w2 >= w1 .w2

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✼✳

✭t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ tr♦♥❣

❱î✐ ♠é✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➳♣ ①ó❝

Tp S.

R3

s➩

❈ö t❤➸

R3 ✮✳

Tp S,

❞↕♥❣ t♦➔♥

♣❤÷ì♥❣

Ip : Tp S → R
Ip(w) = w, w = |w|2 , w ∈ T pS
❣å✐ ❧➔ ❞↕♥❣ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t ❝õ❛

S

t↕✐

p.


x2 + y 2 = 1

❱➼ ❞ö✿ ▼➦t trö ✈î✐ ✤→② ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ 

✭❍➻♥❤ ✶✳✹✮

z = 0

❝â ♠ët t❤❛♠ sè ❤â❛ ❞↕♥❣
t➟♣ ♠ð

X(u, v) = (cosu, sinu, v),

U = (u, v) ∈ R2 : 0 < u < 2π, −∞ < v < +∞.

(− sin u, cos u, 0), Xv = (0, 0, 1).
❉♦ ✤â t❛ t➼♥❤ ✤÷ñ❝

E = 1, F = 0, G = 1.

❍➻♥❤ ✶✳✹
✶✸

①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥
❚❛ ❝â

Xu =


P ồ

õ tốt ồ

R S ởt ừ ởt t
q ự tr tồ ở ừ t số õ

X : U R2 S.

ố

ữỡ

|Xu Xv |dudv, Q = X 1 (R)

A(Q) :=
Q
ữủ ồ t ừ


|Xu Xv |2 + Xu , Xv

R.
2

= |Xu |2 |Xv |2



|Xu Xv | =



EG F 2 .

ổ tự t ữủ t

EG F 2 dudv.

A(R) =
Q

ú ỵ r tr t ử r

R

ự tr

ởt số tồ ở ổ q trồ tỗ t tồ
ở ừ t ở t trứ ởt số ữớ ổ ữ
tợ t

ss
ự tố ở t ờ ừ t t ừ ởt ữớ

C

t ởt t ởt t ồ q trồ ở
t t ừ ữớ ự tố ở t ờ
ừ t t t ởt tữỡ ữỡ tố ở t ờ
ừ tr trũ t õ ở t
ồ q trồ tự ừ ữớ t
ữỡ t tứ ừ ữớ ởt
t tữỡ tỹ ú t s t tố ở t ừ t t
ú tr ởt ừ

p



ừ ởt t q ởt

P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❝→❝❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❧➔ tè❝ ✤ë ❝õ❛ tr÷í♥❣ ♣❤→♣ ✈❡❝t♦r ✤ì♥ ✈à tr♦♥❣ ❧➙♥
❝➟♥ ✤â✳ ❚è❝ ✤ë ❜✐➳♥ t❤✐➯♥ ♥➔② ❦❤æ♥❣ ✤÷ñ❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❜ð✐ ♠ët ❝♦♥ sè
♠➔ ✤÷ñ❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❜ð✐ ♠ët tü ✤ç♥❣ ❝➜✉ t✉②➳♥ t➼♥❤ tü ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛

Tp S.

◆❤✐➲✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✤→♥❣ ♥❣↕❝ ♥❤✐➯♥ ✤÷ñ❝ t➻♠ t❤➜② tø

sü ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥➔②✳ ❈❤♦ ❙ ❧➔ ♠ët ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉✐ ✈➔

X :→ S

❧➔ ♠ët t❤❛♠ sè ❤â❛ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛

S. ◆❤÷ ✤➣ ❜✐➳t ♥➳✉ ❝❤ó♥❣

t❛ ❝❤å♥ ❝→❝ ✈❡❝t♦r ♣❤→♣ ✤ì♥ ✈à t↕✐ ♠é✐ ✤✐➸♠ ❝õ❛

N (q) =

N : X(U ) → R3 .

V ⊂ S ❧➔ t➟♣ ♠ð✳ ▼ët tr÷í♥❣ ✈❡❝t♦r tr➯♥ V

❚r÷í♥❣ ✈❡❝t♦r

F

♥❤÷ s❛✉

Xu ∧ X v
.q, q ∈ X(u)
|Xu ∧ Xv |

❝❤ó♥❣ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ♠ët →♥❤ ①↕ ❦❤↔ ✈✐
❈❤♦

X(U )

❧➔ →♥❤ ①↕

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝✱ ❦❤↔ ✈✐ ♥➳✉ →♥❤ ①↕

F : V → R3 .

F

❝â ❝→❝ t➼♥❤

❝❤➜t ♥❤÷ ✈➟②✳
◆➳✉

F (p) ∈ Tp S, ∀p ∈ V, t❤➻ t❛ ♥â✐ F

◆➳✉

F (p) ⊥ Tp S, ∀p ∈ V,

F

t❛ ♥â✐

F (p) ⊥ Tp S, |F (p)| = 1, ∀p ∈ V,
✈à tr➯♥

❧➔ tr÷í♥❣ ✈❡❝t♦r t✐➳♣ ①ó❝ tr➯♥

❧➔ tr÷í♥❣ ♣❤→♣ ✈❡❝t♦r tr➯♥

t❛ ♥â✐

F

V.

V.

◆➳✉

❧➔ tr÷í♥❣ ♣❤→♣ ✈❡❝t♦r ✤ì♥

V. ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥➔② N (q) ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ tr➯♥ ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣

♣❤→♣ ✈❡❝t♦r ✤ì♥ ✈à tr➯♥

X(U ).

❱➼ ❞ö✱ tr➯♥ ♠➦t ▼♦❜✐✉s ❝õ❛ ❤➻♥❤ ✶✳✺

♥â ❦❤æ♥❣ t❤➸ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ ♠ët tr÷í♥❣✳

❍➻♥❤ ✶✳✺✿ ▼➦t ▼♦❜✐✉s
✶✺


P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

✣✐➲✉ ♥➔② ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ t❤➜② ♠ët ❝→❝❤ trü❝ q✉❛♥ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤✐ ①✉♥❣
q✉❛♥❤ ♠ët ❧➛♥ ❞å❝ t❤❡♦ t❤❡♦ ✤÷í♥❣ ❝❤➼♥❤ ❣✐ú❛ ♠➦t✱ s❛✉ ❦❤✐ q✉❛② ❧↕✐
♠ët ❧➛♥ ♥ú❛ t❤➻ tr÷í♥❣ ✈❡❝tì s➩ trð t❤➔♥❤
❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛

−N,

♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈î✐ t➼♥❤

N. ❚❛ ❞➵ t❤➜② r➡♥❣ ✈❡❝tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ s➩ ✤ê✐ ❝❤✐➲✉ s❛✉ ❦❤✐

tr÷ñt ❞å❝ t❤❡♦ ✤÷í♥❣ ❝❤➼♥❤ ❣✐ú❛ ♠➦t ✤ó♥❣ ♠ët ✈á♥❣✳

✶✳✷✳✶

▼➦t ✤à♥❤ ❤÷î♥❣

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ▼ët ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉✐ S
❝â ♠ët →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝
✈❡❝t♦r ✤ì♥ ✈à

p → N (p)

❣å✐ ❧➔ ✤à♥❤ ❤÷î♥❣ ✤÷ñ❝ ♥➳✉

❜✐➳♥ ✤✐➸♠

p∈S

t❤➔♥❤ ♠ët ♣❤→♣

N (p) ⊥ Tp S. ▼ët ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉✐ ✤à♥❤ ❤÷î♥❣ ❧➔ ♠➦t ❝❤➼♥❤

q✉✐ ✤à♥❤ ❤÷î♥❣ ✤÷ñ❝ ❝ò♥❣ ✈î✐ →♥❤ ①↕

p → N (p).

❱➼ ❞ö✿ ❉➵ t❤➜② r➡♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❧➔ ♠ët ♠➦t ✤à♥❤ ❤÷î♥❣ ✤÷ñ❝✳
❈❤♦ h : U ⊂ R2 → R ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐✳ ❑❤✐ ✤â ✤ç
t❤à ❝õ❛ h ❧➔ ♠ët ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉✐ ✤à♥❤ ❤÷î♥❣ ✤÷ñ❝✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✶✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳➨t
❑❤✐ ✤â

t❤❛♠ sè ❤â❛

X(U ) = Gh

✈➔

X

N ◦X =
❱➻

1 + h2u + h2v > 0

♥➯♥

N

X(u, v) = (u, v, h(u, v)), (u, v) ∈ U.

❧➔ ✤ì♥ →♥❤✳ ❳➨t✿

Xu ∧ X v
(−hu , hv , 1)
=
|Xu ∧ Xv |
1 + h2u + h2v
❧➔ ❧✐➯♥ tö❝✳

❈❤♦ f : U ⊂ R3 → R ❧➔ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ✈➔ a ❧➔ ♠ët
❣✐→ trà ❝❤➼♥❤ q✉✐ ❝õ❛ f. ❑❤✐ ✤â S = f −1(a) ❧➔ ♠ët ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉✐ ✤à♥❤

❤÷î♥❣ ✤÷ñ❝✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✷✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▲➜② ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý p ∈ S, ❣✐↔ sû p = (x0, y0, z0). ❳➨t ✤÷í♥❣
t❤❛♠ sè

c(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ (− , ) ⊂ R

✶✻

tr➯♥ ♠➦t

S

✤✐ q✉❛

p


P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✈î✐

c(0) = p.

❱➻ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ♠➦t ♥➯♥✿

f (x(t), y(t), z(t)) = a, ∀t ∈ I.

✣↕♦ ❤➔♠ ❝↔ ❤❛✐ ✈➳ t↕✐

t = 0,

t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝✿

fx (p)x (0) + fy (p)y (0) + fz (p)z (0) = 0.
❚ø ✤➙② s✉② r❛ ✈❡❝t♦r t✐➳♣ ①ó❝ ❝õ❛
t↕✐

c

t↕✐

t=0

trü❝ ❣✐❛♦ ✈î✐

(fx , fy , fz )

p. ❉♦ ✤✐➸♠ p ✈➔ ✤÷í♥❣ t❤❛♠ sè c ✤÷ñ❝ ❧➜② tò② þ ♥➯♥ t❛ s✉② r❛ r➡♥❣



fx


N (x, y, z) = 

fy

,

fx2 + fy2 + fz2

①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t♦➔♥ ❜ë

S.

fz

,

fx2 + fy2 + fz2

fx2 + fy2 + fz2

❉♦ ❛ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ q✉✐ ♥➯♥

t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ♠➦t✳ ❉♦ ✤â

N




fx2 + fy2 + fz2 > 0

❧➔ ❧✐➯♥ tö❝✳

◆➳✉ S ❧➔ ♠ët ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉✐ ✤à♥❤ ❤÷î♥❣ ✤÷ñ❝ ✈➔ N
✈➔ N ❧➔ ❤❛✐ ✤à♥❤ ❤÷î♥❣ tr➯♥ ♠➦t S t❤➻ t❛ ♣❤↔✐ ❝â ❤♦➦❝ N = N, ❤♦➦❝
N = −N ✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✸✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚↕✐ ♠é✐ ✤✐➸♠ p

∈ S, Np

✈➔

Np

♥❤❛✉ ❤♦➦❝ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ❤❛✐ ✈❡❝t♦r ✤è✐ ♥❤❛✉✳✣➦t
✈➔

A = {p ∈ S : Np = Np }

B = {p ∈ S : Np = −Np } ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â A ✈➔ B

S = A∪B. ❉♦ N
S

s➩ ❧➔ ❤❛✐ ✈❡❝t♦r trò♥❣

✈➔

N

❧✐➯♥ tö❝ t❛ ❝â

❧➔ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ♥➯♥ t❛ ♣❤↔✐ ❝â

A ✈➔ B ❧➔ ❤❛✐ t➟♣ ✤â♥❣✳ ◆❤÷♥❣ ❞♦

A = S, B = ∅

✶✼

❧➔ ❤❛✐ t➟♣ rí✐ ♥❤❛✉ ✈➔

❤♦➦❝

A = ∅, B = S ✳


P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✶✳✷✳✷

⑩♥❤ ①↕ ●❛✉ss

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✷✳
❉♦

|Np | = 1, ∀p ∈ S

q✉✐

S

❈❤♦

(S, N )

❧➔ ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉✐ ✤à♥❤ ❤÷î♥❣✳

N

♥➯♥ ❝â t❤➸ ①❡♠

✈➔♦ ♠➦t ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à

S 2.

●❛✉ss ❝õ❛ ♠➦t ✤à♥❤ ❤÷î♥❣

⑩♥❤ ①↕

❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤↔ ✈✐ tø ♠➦t ❝❤➼♥❤

N : S → S2

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕

S.

❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss ❧➔ ❦❤↔ ✈✐✳ ❑❤✐ ✤â ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛
t↕✐ ✤✐➸♠

p∈S

N

❧➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤

DNp : Tp S → TN (p) S 2
❉♦

S.

Tp S ⊥ Np

◆❤÷ ✈➟②

✈➔

DNp

TN (p) S 2 ⊥ Np , ∀p ∈ S

♥➯♥ t❛ ❝â

Tp S ≡ TN (p) S 2 , ∀p ∈

❧➔ ♠ët tü ✤ç♥❣ ❝➜✉ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛

Tp S.

❍➻♥❤ ✶✳✻✿ ⑩♥❤ ①↕ ●❛✉ss

❘ã r➔♥❣✱ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss ❧➔ ❦❤↔ ✈✐✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈✐ ♣❤➙♥

p∈S

❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ tø

TN (p) S 2

❧➔ ❝→❝ ♣❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣✱

Tp S

DNp

✶✽

✤➳♥

TN (p) S 2 .

DNp

N

t↕✐

Tp S

✈➔

❝õ❛

❑❤✐ ✤â✱

❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ❝♦✐ ♥❤÷ ♠ët tü ✤ç♥❣


P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❍➻♥❤ ✶✳✼✿ ▼➦t ♣❤➥♥❣ DNp = 0
❝➜✉ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛

Tp S.

⑩♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤

DNp : Tp (S) → Tp (S)

❝â

t➼♥❤ ❝❤➜t ❞÷î✐ ✤➙②✿
❱î✐ ♠é✐ ✤÷í♥❣ t❤❛♠ sè ❤â❛
t❤❛♠ sè

α(t)

tr♦♥❣

S

✈î✐

α(0) = p,

t❛ ①➨t ✤÷í♥❣

N ◦ α(t) = N (t) tr♦♥❣ ♠➦t ❝➛✉ S 2 ; ✤✐➲✉ ♥➔② ✤➣ ❤↕♥ ❝❤➳ ✈❡❝tì

♣❤→♣ t✉②➳♥

N

❜ð✐ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣

❧➔ ♠ët ✈❡❝tì tr♦♥❣
♣❤→♣ t✉②➳♥

N,

DNp

N

s➩ ✤♦

α(t). ❱❡❝tì t✐➳♣ ①ó❝ N (0) = DNp (α (0))

Tp (S) ✭❍➻♥❤ ✶✳✼✮✳ ◆â ✤♦ tè❝ ✤ë ❜✐➳♥ t❤✐➯♥ ❝õ❛ ✈❡❝tì

✤÷ñ❝ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❜ð✐ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣
✤➞② r❛ ①❛

Np

α(t)

t↕✐

t = 0.

❱➻ ✈➟②✱

♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦ tr♦♥❣ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛

p.

❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❧➔ ✤ë ❝♦♥❣✱ ✤ë ✤♦ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐
♠ët sè✱ sè ✤â ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ë ❝♦♥❣✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝õ❛ ❝→❝ ♠➦t✱ ✤ë
✤♦ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❜ð✐ ♠ët →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤✳

❱➼ ❞ö✿ ❳➨t ♠➦t ♣❤➥♥❣ Q ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ax + by + cz + d = 0.
1
(a, b, c) ❧➔ ♠ët ❤➔♠
+ b2 + c2
DNp = 0, ∀p ∈ Q.

❑❤✐ ✤â

N=

❱➼ ❞ö✿

❳➨t ♠➦t ❝➛✉

a2

S(O, r)

t➙♠

O

❤➡♥❣ ♥➯♥ t❛ ❝â

❜→♥ ❦➼♥❤ r ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

x2 + y 2 + z 2 = r2 .
●✐↔ sû

α(t) = (x(t), y(t), z(t))

❧➔ ♠ët ✤÷í♥❣ t❤❛♠ sè tr➯♥ ♠➦t ❝➛✉

✶✾

P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

S(O, r), t❛ ❝â x2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t) = r2 . ✣↕♦ ❤➔♠ ❤❛✐ ✈➳ t❤❡♦ t t❛ ♥❤➟♥
✤÷ñ❝

2xx + 2yy + 2zz = 0.
❱î✐ ❝❤ó þ r➡♥❣

(x (t), y (t), z (t))

S(O, r)

t↕✐

α(t),

S(O, r)

t↕✐ ✤✐➸♠

t❛ ❝â ✈❡❝t♦r

(x, y, z).

✤ì♥ ✈à tr➯♥ ♠➦t ❝➛✉

❧➔ ♠ët ✈❡❝t♦r t✐➳♣ ①ó❝ ❝õ❛ ♠➦t ❝➛✉

(x, y, z)

❧➔ ♣❤→♣ ✈❡❝t♦r ❝õ❛ ♠➦t ❝➛✉

❉♦ ✤â ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â ❤❛✐ tr÷í♥❣ ♣❤→♣ ✈❡❝t♦r

S(O, r)

1
1
N (x, y, z) = (x, y, z), N (x, y, z) = .(−x, −y, −z)
r
r
❉➵ t❤➜②

N ❧➔ tr÷í♥❣ ♣❤→♣ ✈❡❝t♦r ❤÷î♥❣ r❛ ♥❣♦➔✐ ❝á♥ N ❧➔ tr÷í♥❣ ♣❤→♣

✈❡❝t♦r ❤÷î♥❣ ✈➔♦ t➙♠ ❝õ❛ ♠➦t ❝➛✉ ✈➔

p ∈ S(O, r)

✈➔

DN p(v) = v, DN (v) = −v;

✈î✐

v ∈ T pS(O, r).

❱➼ ❞ö✿ ❳➨t ♠➦t trö C ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 + y2 = r2. ▼➦t trö C ❝â ❤❛✐

tr÷í♥❣ ♣❤→♣ ✈❡❝t♦r ✤ì♥ ✈à✿

1
1
N (x, y, z) = (x, y, 0), N (x, y, z) = (−x, −y, 0).
r
r
❉➵ t❤➜②

N ❧➔ tr÷í♥❣ ♣❤→♣ ✈❡❝t♦r ❤÷î♥❣ r❛ ♥❣♦➔✐ ❝á♥ N ❧➔ tr÷í♥❣ ♣❤→♣

✈❡❝t♦r ❤÷î♥❣ ✈➔♦ trö❝ ❝õ❛ ♠➦t trö ✈➔

DNp (v) = π(v), DN p (v) = −π(v);
✈î✐

p ∈ S(O, r), v ∈ Tp S(O, r)

◆➳✉

v ∈ Tp C

tù❝ ❧➔

v

v ∈ Tp C

✈➔

v

✈➔

π

❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❧➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣

❝ò♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ✈î✐

e3

t❤➻

✈➔

v

trü❝ ❣✐❛♦ ✈î✐

e3

t❤➻

DNp (v) = DN p (v) = 0,
0

❝õ❛

DNp

DNp (v) = v

❝á♥

DN p (v) = −v,

❧➔ ✈❡❝t♦r r✐➯♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❣✐→ trà r✐➯♥❣

✷✵

xy.

✈➔

DN p .

◆➳✉
tù❝


P❤↕♠ ◆❣å❝ ▼❛✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
❧➔

v

DNp

❧➔ ✈❡❝t♦r r✐➯♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ✶ ❝õ❛

ù♥❣ ✈î✐ ❣✐→ trà r✐➯♥❣

−1

❝õ❛

DN p .

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✷✳✶✳ ❱✐ ♣❤➙♥ DNp : Tp S → Tp S
❧✐➯♥ ❤ñ♣✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ✈î✐ ♠å✐

❝õ❛ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss ❧➔ tü

α, β ∈ Tp S

DNp (α), β = α, DNp (β)

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✸✳

q✉❛

n

p ∈ S.

●å✐

k

❈❤♦

C

S

t↕✐

❧➔ ✤ë ❝♦♥❣ ❝õ❛

C

❝õ❛

S

t↕✐

C⊂S

❝õ❛ ♠➦t t↕✐

t↕✐

C

p. ❑❤✐ ✤â✱ sè kn = kcosθ

kn

p,

p

✈➔

✈➔

N

cosθ = n, N ,

S

✤✐

tr♦♥❣ ✤â

❧➔ ✈❡❝tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ ✭✤ì♥

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ë ❝♦♥❣ ♣❤→♣ t✉②➳♥

p.

t↕✐

◆❣♦➔✐ r❛✱

✤÷ñ❝

p✳

❧➔ ♠ët ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➼♥❤ q✉② tr♦♥❣

❧➔ ✈❡❝tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ ✭✤ì♥ ✈à✮ ❝õ❛

✈à✮ ❝õ❛

✳

IIp(α) := DNp (α), α

❉↕♥❣ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣

❣å✐ ❧➔ ❞↕♥❣ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✹✳

✈➔ ❧➔ ✈❡❝t♦r r✐➯♥❣

❝❤➼♥❤ ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ ✈❡❝tì

✈î✐ ❞➜✉ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❤÷î♥❣

N

❝õ❛

kn
S

❧➯♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥

t↕✐

p

✭❍➻♥❤ ✶✳✽✮

❍➻♥❤ ✶✳✽
❈❤ó þ✿ ✣ë ❝♦♥❣ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ C
C

❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ sü ✤à♥❤ ❤÷î♥❣ ❝õ❛

♥❤÷♥❣ s➩ t❤❛② ✤ê✐ ❞➜✉✳ ❳➨t ♠ët ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➼♥❤ q✉②

✷✶

C⊂S

✤÷ñ❝