Bài toán logarithm rời rạc và hệ mật elgamal có sửa đổi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÊ THANH PHÚC

VIỆN ĐẠI HỌC MỞ HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SỸ
CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

CHUYÊN NGÀNH CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

BÀI TOÁN LOGARITHM RỜI RẠC VÀ HỆ MẬT
ELGAMAL CÓ SỬA ĐỔI

LÊ THANH PHÚC
2015-2017
HÀ NỘI - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆN ĐẠI HỌC MỞ HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SỸ

BÀI TOÁN LOGARITHM RỜI RẠC VÀ HỆ MẬT
ELGAMAL CÓ SỬA ĐỔI

LÊ THANH PHÚC
CHUYÊN NGÀNH: CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
MÃ SỐ: 60.48.02.018
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS. NGUYỄN BÌNH

HÀ NỘI - 2017


LỜI CAM ĐOAN
Luận văn thạc sĩ đánh dấu cho những thành quả, kiến thức tôi đã tiếp thu đƣợc
trong suốt quá trình rèn luyện, học tập tại trƣờng. Tôi xin cam đoan luận văn “Bài
toán Logarithm rời rạc & Hệ mật ElGamal có sửa đổi” đã đƣợc hoàn thành bằng
quá trình học tập và nghiên cứu của tôi dƣới sự hƣớng dẫn, góp ý và chỉnh sửa của
GS. TS. Nguyễn Bình.
Trong toàn bộ nội dung nghiên cứu của luận văn, các vấn đề đƣợc trình bày là
những tìm hiểu và nghiên cứu của cá nhân tôi hoặc là trích dẫn các nguồn tài liệu và
một số trang web hợp pháp đƣợc đƣa ra ở phần Tài liệu tham khảo.
Tôi xin cam đoan những lời trên là sự thật và chịu mọi trách nhiệm trƣớc thầy
cô và hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ.
Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2017
HỌCVIÊN

Lê Thanh Phúc

i


LỜI CẢM ƠN
Học viên xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới tập thể các thầy cô giáo Viện
Đại học Mở Hà Nội và Viện công nghệ thông tin đã mang lại cho học viên kiến
thức vô cùng quý giá và bổ ích trong suốt quá trình học tập chƣơng trình cao học tại
trƣờng. Đặc biệt học viên xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo GS.TS
Nguyễn Bình- Học viện Bƣu chính viễn thông đã định hƣớng khoa học và đƣa ra
những góp ý, gợi ý, chỉnh sửa quý báu, quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi trong suốt

quá trình nghiên cứu hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, học viên xin chân thành cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp, các bạn
học Viên lớp CNTT khóa 2015 - 2017, những ngƣời đồng hành trong suốt khóa học
và có nhiều góp ý bổ ích cho tôi. Cảm ơn gia đình và ngƣời thân đã quan tâm, giúp
đỡ và chia sẻ với học viên trong suốt quá trình học tập.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn chắc không tránh khỏi những
thiếu sót nhất định. Học viên rất mong nhận đƣợc những sự góp ý quý báu của thầy
cô và các bạn.
Một lần nữa học viên xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc.
Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2017
HỌCVIÊN

Lê Thanh Phúc

ii


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ ii
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ, CHỮ VIẾT TẮT ................................................v
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU ............................................................................. vi
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ.................................................................................. vii
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN LOGARITHM RỜI RẠC VÀ CÁC
HỆ MẬT MÃ ..............................................................................................................4
1.1.

Tổng quan về bài toán logarithm rời rạc [1] ....................................................4

1.1.1. Bài toán Logarithm trên trƣờng số thực R .................................................4
1.1.2. Bài toán Logarithm trên trƣờng hữu hạn....................................................5
1.1.3. Thuật toán logarithm rời rạc.......................................................................8
1.1.3.1.

Phƣơng pháp đơn định .....................................................................8

1.1.3.2.

Thuật toán Adleman .......................................................................10

1.1.3.3.

Thuật toán vét cạn ..........................................................................11

1.1.3.5.

Thuật toán Shank ...........................................................................11

1.1.3.6.

Thuật toán tính logarithm rời rạc đối với nhóm cyclic ..................13

1.1.3.7.

Tính chỉ số trên GF(p) ....................................................................14

1.1.3.8.

Tính chỉ số trên GF(2n) ..................................................................15

1.2.

Tổng quan mật mã học [4, Tr.11] ...................................................................17

1.3.

Vấn đề về mã hóa [4, Tr.12-15] ......................................................................18

1.3.1. Khái niệm mật mã ....................................................................................18
1.3.2. Khái niệm về mã hóa................................................................................19
1.3.3. Phân loại mã hóa [4, Tr.20-97] ................................................................20
1.3.3.1.

Hệ mã hóa khóa đối xứng ..............................................................20

1.3.3.2.

Hệ mã hóa khóa bất đối xứng ........................................................24

Hệ mật đƣờng cong Eliptic ...............................................................................30
Hệ mã hóa RSA [4, tr.74-79]............................................................................31
Hệ mã hóa Paillier ............................................................................................32

iii


1.4.

Lý thuyết độ phức tạp của thuật toán [1] ........................................................33

1.5.

Kết luận chƣơng 1 ...........................................................................................36

CHƢƠNG 2. XÂY DỰNG HỆ MẬT ELGAMAL CÓ SỬA ĐỔI ..........................38
2.1.

Hệ mật mã Elgamal [2, tr.5]............................................................................38

2.1.1. Thuật toán mật mã ElGamal cổ điển ..........................................................38
2.2.

Hệ mã hóa ElGamal sửa đổi ...........................................................................43

2.2.1. Thuật toán thứ nhất [5] ...............................................................................43
2.2.2. Thuật toán thứ hai [3, tr.17-20]...................................................................45
2.3.

Chƣơng trình thực nghiệm hệ mã hóa công khai Elgamal sửa đổi .................49

2.4.

Kết luận chƣơng 2 ...........................................................................................51

CHƢƠNG 3. PHÂN TÍCH HIỆU NĂNG AN TOÀN CỦA HỆ MẬT ELGAMAL
CÓ SỬA ĐỔI & ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT MÃ HÓA PGP ĐỂ BẢO
MẬT EMAIL ............................................................................................................52
3.1

Đánh giá Hệ mật ElGamal [5] ........................................................................52

3.2

Hệ mật ElGamal sửa đổi: ................................................................................53

3.3

Tìm hiểu kỹ thuật mã hóa PGP sử dụng hệ mã hóa khóa công khai Elgamal,

RSA trong mã hóa Email [13] ...................................................................................55
3.3.1. Giới thiệu về hệ mã hóa PGP ...................................................................55
3.3.2. Các thuật toán sử dụng trong PGP ...........................................................55
3.4

Tổng kết chƣơng 3 ..........................................................................................69

KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO .........................................70
1.

Hạn chế:....................................................................................................70

2.

Hƣớng phát triển ......................................................................................70

TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................71
Tiếng Việt .............................................................................................................71
Tiếng nƣớc ngoài ..................................................................................................71
Internet ..................................................................................................................71

iv


DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ, CHỮ VIẾT TẮT
STT

Từ viết tắt

Tiếng Anh

Tiếng Việt

1

CA

Certificate Authority

Cơ quan chứng thực chữ ký số

2

DS

Digital Signatures

Chữ ký số

3

DSA

Digital Signature Algorithm

Giải thuật chữ ký điện tử

4

DES

Data Encryption Standard

Chuẩn mã hóa dữ liệu

5

EMAIL

Electronic Mail

Thƣ điện tử

6

ID

7

RSA

Rivest, Shamir and Adleman

8

PGP

Pretty Good Privacy

9

PKI

Public Key Infrastructure

Cơ sở hạ tầng khóa công khai

10

SHA

Secure Hash Algorithm

Giải thuật băn an toàn

11

SSL

Secure Socket Layer

Giao thức an ninh thông tin

12

UCLN

Gcd

Ƣớc chung lớn nhất

13

XCB

14

NSA

Chỉ danh ngƣời dùng trên mạng
Giải thuật mã hóa công khai
Phần mềm mã hóa dữ liệu và xác
thực

Xyclic cục bộ
National Security Agency

v

Cơ quan An ninh Quốc gia Mỹ

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Trang
Bảng 1.1. Các giá trị của y = 2x mod 19 trên Z*19 .................................................... 05
Bảng 1.2. Các giá trị log2x(mod 19) trên Z*19 ......................................................... 06
Bảng 1.3. Bài toán logarithm rời rạc trên Z*19......................................................... 07
Bảng 1.4. Bảng chi phí thời gian phân tích sốnguyên n ra thừa số nguyên tố ......... 34
Bảng 3.1. Bảng so sánh tốc độ mã hóa .................................................................... 53
Bảng 3.2. Bảng so sánh tốc độ giải mã .................................................................... 53
Bảng 3.3. Bảng kết quả so sánh thời gian mã hóa của hệ mật trƣớc và sau sửa đổi 54

vi


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Trang
Hình 1.1. Đồ thị hàm số y=ax và y = logax ............................................................. 05
Hình 1.2. Quá trình mã hoá và giải mã .................................................................... 20
Hình 1.3. Sơ đồ hoạt động của mã hóa khóa đối xứng ............................................ 21
Hình 1.4. Sơ đồ hoạt động của mã hóa khóa bất đối xứng ...................................... 25
Hình 1.5. Mã hoá thông điệp sử dụng khoá công khai ............................................ 26
Hình 1.6. Giải mã thông điệp sử dụng khoá riêng của ngƣời nhận ......................... 26
Hình 1.7. Hệ mật Omura- Massey xây dựng trên bài toán lôgarith rời rạc ............. 29
Hình 1.8. Quá trình truyền tin sử dụng hệ mật Omura – Massey ............................ 29
Hinh 2.1. Hệ mã Emlgamal ...................................................................................... 40
Hình 2.2. Sơ đồ chứng nhận khóa công khai ........................................................... 42
Hình 2.3. Giao diện sinh khóa .................................................................................. 49
Hình 2.4. Kết quả sinh khóa ..................................................................................... 50
Hình 2.6. Mã hóa và giải mã .................................................................................... 50

Hình 3.1. Quá trình mã hóa một thông điệp trong PGP ........................................... 56
Hình 3.2. Quá trình giải mã một thông điệp trong PGP........................................... 58

vii


MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Cùng với sự phát triển của công nghệ thông tin và truyền thông, mạng máy
tính đang trở thành một phƣơng tiện điều hành thiết yếu trong mọi lĩnh vực hoạt
động của xã hội. Việc trao đổi thông tin và dữ liệu trong môi trƣờng mạng ngày
càng trở nên phổ biến và đang dần thay thế các phƣơng thức truyền tin trực tiếp.
Khi ngày càng nhiều thông tin đƣợc trao đổi thì nhu cầu về bảo mật thông tin là một
vấn đề đặt ra cho nhiều ngành, lĩnh vực và nhiều quốc gia...Để bảo vệ các thông tin
khỏi sự truy cập trái phép cần phải kiểm soát đƣợc những vấn đề nhƣ: thông tin
đƣợc tạo ra, lƣu trữ và truy nhập nhƣ thế nào, ở đâu, bởi ai và vào thời điểm nào.
Giải quyết các vấn đề trên, kỹ thuật mật mã hiện đại phải đảm bảo các dịch vụ an
toàn cơ bản: (1) bí mật (Confidential); (2) xác thực (Authentication); (3) đảm bảo
tính toàn vẹn (Integrity).
Hệ mật mã ra đời nhằm đảm bảo các dịch vụ an toàn cơ bản trên nhƣ: hệ mật
mã với khóa sở hữu riêng (Private Key Cryptosystems), hệ mã với khóa bí mật
(Secret Key Cryptosystems), hệ mã truyền thống (Conventional Cryptosystems) đều
là những hệ mật mã sử dụng mã khóa đối xứng. Hệ mật mã với khóa công khai cho
phép ngƣời sử dụng trao đổi các thông tin mật mà không cần phải trao đổi các khóa
chung bí mật trƣớc đó; mật mã hóa khóa công khai đƣợc thiết kế sao cho khóa sử
dụng trong quá trình mã hóa khác biệt với khóa sử dụng trong quá trình giải mã;
khóa sử dụng dùng để mã hóa và ngƣợc lại, tức là hai khóa này có quan hệ với nhau
về mặt toán học nhƣng không thể suy diễn đƣợc ra nhau. Một trong những thuật
toán mã khóa công khai đƣợc phát triển dựa trên Hệ mật mã ElGamal cho phép giải
quyết tốt các yêu cầu bảo mật thông tin thực hiện đồng thời việc xác thực về nguồn

gốc và tính toàn vẹn của thông tin. Luận văn sẽ trình bày về hệ mật mã ElGamal và
xem xét các biến thể của nó.

2. Mục tiêu, đối tƣợng, phạm vi và phƣơng pháp nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu: Tìm hiểu hoạt động của hệ mật mã khóa công khai và
các biến thể thuật toán ElGamal để đƣa ra sửa đổi đối với hệ mật. Đánh giá tính bảo

1


mật thông tin, xác thực về nguồn gốc thông tin, xác thực về tính toàn vẹn của thông
tin của hệ thống.
Đối tượng nghiên cứu: Hệ mật mã ElGamal là đối tƣợng chính nghiên cứu của
đề tài nhằm phát hiện các phƣơng pháp tấn công qua đó tìm hiểu các ứng dụng thử
nghiệm đánh giá mã hóa với thuật toán ElGamal.
Phạm vi nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu và đánh giá hiệu quả tính an toàn của
hệ mật ElGamal sửa đổi. Xây dựng hoặc tìm hiểu các thuật toán thử nghiệm trên
chữ ký số giúp tăng tính an toàn cho chữ ký số Elgamal/ RSA.
Phương pháp nghiên cứu
* Phương pháp lý thuyết
- Tìm hiểu nghiên cứu về mật mã, cơ sở toán học của hệ mật mã
- Tìm hiểu bài toán logarithm rời rạc và hệ mật ElGamal; thủ tục trao đổi khóa
Diffie- Hellman; các phƣơng pháp che giấu dữ liệu và các điều kiện lũy đẳng và
giao hoán của các hệ mật.
- Lý thuyết chung về hệ mật khóa công khai từ đó đƣa ra những sửa đổi của hệ
mật ElGamal.
* Phương pháp thực nghiệm
- Sửa đổi hệ mật bằng cách giữ nguyên cấu trúc trao đổi khóa Diffie-Hellman,
sửa đổi kiểu che giấu dữ liệu.
- Đánh giá hiệu quả và tính an toàn của Hệ mật ElGamal.

3. Cấu trúc luận văn
Luận văn đƣợc tác giả trình bày trong 3 chƣơng, có phần mở đầu, danh mục
hình vẽ, danh mục từ viết tắt, danh mục bảng, phần kết luận, phần mục lục, phần tài
liệu tham khảo. Các nội dung cơ bản của luận văn đƣợc trình bày theo cấu trúc sau:
Chƣơng 1: Tổng quan về bài toán Logarithm rời rạc và các hệ mật mã
Trong chƣơng này, luận văn trình bày một số khái niệm cơ bản trong toán học
mà các hệ mã hoá thƣờng sử dụng nhƣ: modulo, số nguyên tố, vành Zn, các phép
toán cộng, nhân, bài toán logarithm rời rạc trên không gian Zn, Zn*,...Sau đó đƣa ra
các khái niệm mật mã, các thuật toán mã hoá, chữ ký số phục vụ cho việc mã hoá và
giải mã thông tin.
2


Chƣơng 2: Xây dựng hệ mật Elgamal có sửa đổi
Tập trung nghiên cứu hệ mật mã Elgamal cổ điển và đƣa ra những đánh giá về
ƣu nhƣợc điểm từ đó đƣa ra những sửa đổi đối với thuật toán hệ mật mã khóa công
khai ElGamal, tính chất đồng cấu của hệ mật mã ElGamal và sơ đồ chia sẻ bí mật
theo ngƣỡng Shamir.
Chƣơng 3: Phân tích hiệu năng an toàn của hệ mật Elgamal có sửa đổi và tìm
hiểu các ứng dụng có sử dụng thuật toán mã hóa khóa công khai
Cài đặt thử nghiệm chƣơng trình mô phỏng thuật toán hệ mật mã khóa công
khai ElGamal sửa đổi và kỹ thuật chia sẻ khóa bí mật. Demo ứng dụng mã hóa và
giải mã trong việc gửi nhận thƣ điện tử.

3


CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN LOGARITHM RỜI
RẠC VÀ CÁC HỆ MẬT MÃ

1.1. Tổng quan về bài toán logarithm rời rạc [1]
Bài toán Logarithm rời rạc là sự kết nối của phép tính logarithm trên trƣờng số
thực vào các nhóm hữu hạn. Với hai số thực x,y và cơ số a>0, a 1, nếu ax - y =0 thì
x đƣợc gọi là logarithm cơ số a của y, ký hiệu x = logay. Bài toán logarithm rời rạc
là bài toán khó. Trong khi bài toán ngƣợc lũy thừa rời rạc lại không khó (có thể sử
dụng thuật toán bình phƣơng và nhân).

1.1.1.

Bài toán Logarithm trên trường số thực R

Bài toán thuận:
Hàm số y =ax với a,x R việc tính toán hàm mũ này có thể đƣợc thực hiện dễ
dàng bằng thuật toán nhân và bình phƣơng.
Ví dụ 1:
Cho p là một số nguyên tố, xét nhóm nhân các số nguyên modulo p:
Zp* = { 1,2….,p } với phép nhân modulo p.
Nếu ta tính lũy thừa bậc k của một số trong nhóm rồi rút gọn theo modulo p
thì ta đƣợc một số trong nhóm đó. Quá trình này đƣợc gọi là lũy thừa rời rạc
modulo p. Chẳng hạn với p = 17, lấy a = 3, k = 4 ta có: 34 = 81 = 13 mod 17.
Logarithm rời rạc là phép tính ngƣợc lại :
Biết: 3k = 13 (mod 17) hãy tìm k?
 Thực hiện tƣơng tự nhƣ thuật toán Shank → k=4. Tuy nhiên đây là một bài
toán tƣơng đối khó. Trong trƣờng hợp p lớn (có ít nhất 150 chữ số) thì bài toán trở
thành bất khả thi → an toàn.
Bài toán ngƣợc:
Phép tính ngƣợc của hàm mũ chính là hàm logarithm y= logax, việc tính toán
hàm ngƣợc logarithm này khó khăn hơn nhiều so với hàm thuận. Tuy nhiên, cả hai
phép mũ và logarithm đều là các hàm đồng biến cho nên có thể xác định giá trị
tƣơng đối của hàm logarithm nhƣ hình dƣới đây

4


Hình 1.1: Đồ thị hàm số y=ax và y = logax

Một số tính chất của hàm logarithm.
 y =logabc =logab +logac
 y = loga = logab - logac
 loga1 = 0
 y = logax -1 = - logax.

Bài toán Logarithm trên trường hữu hạn

1.1.2.

Xét với vành đa thức Zp* với p là số nguyên tố thì theo định lý nếu p là nguyên
tố thì Zp là một trƣờng (Zp = GF(2)).
Tập tất cả các phần tử khác không của trƣờng sẽ tạo nên một nhóm nhân xyclic Z*p.
Z*p= Zp/{0}={1,2,...,p -1}


Bài toán thuận: y = ax mod p, (a,x Z*p)
Ví dụ 2:

Xét p = 19, a = 2 ta có các giá trị y = ax nhƣ trong bảng dƣới đây:
x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

2x

2

4

8

16 13

7

14

9

18

17

15

11

3

6

12

5

10

1

Bảng 1.1: Các giá trị của y = 2x mod 19 trên Z*19

Chú ý:
+ Nếu a là một phần tử nguyên thủy thì ax sẽ đi qua tất cả các phần tử của
nhóm.

5


+ Nếu a là phần tử nguyên thủy thì ai cũng là nguyên thủy với (i,p-1)= 1(p là
số nguyên tố).
Trong ví dụ trên các giá trị của i thỏa mãn (i, 18)=1 là i = (1,5,7,11,13,17). Số
lƣợng các giá trị của i bằng giá trị hàm (p-1).
Ni = (p-1) = (18)=6
Cách tính hàm Phi-Euler

nhƣ sau:

(1)= 1, và (n) = (p-1)pk-1 với n là lũy thừa bậc k của số nguyên tố p; nếu m
và n là hai số nguyên tố cùng nhau thì (mn)= (m). (n)

Nếu n = P1k1 ............. prkr trong đó các Pjlà các số nguyên tố phân biệt thì
(n) = (p1- 1)p1k1-1 .............. (P1- 1)prkr-1
(n) = n ∏
p|n
Nhƣ vậy trong nhóm Z*19 có 6 phần tử nguyên thủy:
2 = 2i ; 13 = 25; 14 = 27; 15 = 211; 3 = 213; 10 = 217
Các phần tử nguyên thủy này tạo thành các cặp nghịch đảo nhƣ sau:
(2,10)

2 = 10-1

(13,3)

13 = 3-1
14 = 15-1

(14,15)


Bài toán ngƣợc: y = logax, (a,x

Z*p)

Từ bảng trên ta tính đƣợc giá trị hàm log2x nhƣ sau:
x

1

2

3

4

5

6

7

8

2x

2

4

8

16

13

7

14 9 18 17 15 11

3

6

12

5

10

1

log2x

18

1

13

2

16

14

6

5

7

11

4

10

9

3

9

8

10 11 12 13 14 15 16 17 18

17 12 15

Bảng 1.2: Các giá trị log2x(mod 19) trên Z*19

Vì 218 = 1 nên log21 = 18
Một số tính chất của hàm logarit rời rạc a-1
+ y = logabc = (logab + logac)modp- 1 + y = loga = (logab - logac)modp-1
+ loga-1x = - logax = p - 1 - loga
+ loga1 = 0 = p - 1( coi 0 = p - 1)
Nhận xét: Từ hai bảng trên ta thấy hai hàm thuận và ngƣợc đều không phải là
6


hàm đồng biến, khi biết bài toán thuận thì mới tìm đƣợc bài toán ngƣợc. Do đó việc

giải bài toán ngƣợc giống bài toán vét cạn, phải thử lần lƣợt các trƣờng hợp.
Việc xác định logarithm của một phần tử bất kỳ trong trƣờng hợp là bài toán
khó giải.
Bài toán thuận:
Cho Z*pvới plà số nguyên tố, a là một phần tử nguyên thủy a Z*p.
Yêu cầu tìm y = logax với a, x Z*p.
Nhận xét: x

Z*p thì:

-

Bài toán có nghiệm khi α là phần tử nguyên thủy

-

Bài toán có thể không có nghiệm khi α là phần tử bất kỳ

Ví dụ:
Với trƣờng hợp p = 19 ta đã tính đƣợc 6 phần tử nguyên thủy nhƣ trong bảng
1.1. Ta sẽ đi tìm bài toán logarithm rời rạc với cơ số 6 phần tử nguyên thủy này.
Tuy nhiên ta có thể áp dụng tính chất của hàm logarithm rời rạc để tính
logarithm với cơ số là các cặp số nghịch đảo.
loga-1x= - logax = p - 1 - logax, hayloga-1x+ logax = p - 1
Tức là (2,10) là cặp số nghịch đảo, khi đó log10x = p - 1 - log2x = 18 - log2x
Tƣơng tự (13,3) và (14,15)là các cặp nghịch đảo nênlog3x = 18 - log13x và
log15x = 18 - log14x
Với quy tắc nhƣ thế có thể tính đƣợc các giá trị logarithm nhƣ trong bảng dƣới đây:
x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

2

x

2

4

8

16

13

7

14

9

18

17

15

11

3

6

12

5

10

1

log2x

18

1

13

2

16

14

6

3

8

17

12

15

5

7

11

4

10

9

log10x

18

17

5

16

2

4

12

15

10

1

6

3

13

11

7

14

8

9

13x

13

17

12

4

14

11

10

16

18

6

2

7

15

5

8

9

3

1

log13x

18

11

17

4

14

10

12

15

16

7

6

3

1

5

13

8

2

9

log3x

18

7

1

14

4

8

6

3

2

11

12

15

17

13

5

10

16

9

14x

14

6

8

17

10

7

3

4

18

5

13

11

2

9

12

16

15

1

log14x

18

13

7

8

10

2

6

3

14

5

12

15

11

1

17

16

4

9

log15x

18

5

11

10

8

16

12

15

4

13

6

3

7

17

1

2

14

9

*

Bảng 1.3. Bài toán logarithm rời rạc trên Z

7

19


Có thể tính 13x thông qua 2x, ta thấy 13 = 25 do đó 13x= 25x,

tƣơng tự nhƣ thế có thể tính 14x= 27x
Phương pháp

– Pollaid đối với bài toán logarithm rời rạc

Bài toán logarithm rời rạc theo modulo là số nguyên tố p. Chúng ta muốn giải
phƣơng trình ax

b(modp).

Để làm việc này chúng ta xem 3 dãy số:{ui}, {vi}, {zi}, i = 0,1,2,...,Đƣợc xác định
nhƣ sau:
u0=v0=0, z0=1
ui+1 ui + 1(modp-1), nếu nhƣ 0 ui+1 2ui(modp-1), nếu nhƣ p/3 ui+1 ui(modp-1), nếu nhƣ 2/3pvi+1 Vi (modp -1), nếu nhƣ 0 < zi

Vi+1

2vi(modp -1), nếu nhƣ p/3
Vi+1 Vi +1(modp -1), nếu nhƣ 2/3p < zi< p;
Zi+1 bui+1 avi+1(modp -1).
Tiếp theo chúng ta xem tập hợp (Zi, ui, vi, Z2i, U2i, V2i), i = 1,2,3,..., chúng ta
tìm vị trí i, sao cho zi=z2i. Từ đẳng thức cuối cùng ta rút ra
Bu2i -ui aVi-V2i (mod p).
Nếu nhƣ gcd(u2i - ui, p -1) = 1, thì khi l Z, l(u2i- ui)

1(modp -1)chúng ta thu

đƣợc
b al(vi v2i)(mod p)
từ đây giá trị x cần tìm bằng logab

l(vi – v2i)(mod p -1).

1.1.3. Thuật toán logarithm rời rạc
1.1.3.1. Phƣơng pháp đơn định
Cho G là nhóm nhân Abel, a,b G. Bài toán tìm kiếm nghiệm của phƣơng
trình: ax = b
gọi là bài toán logarithm rời rạc trong nhóm G. Nghiệm x của phƣơng trình
gọi là logarithm rời rạc cơ số a của b, ký hiệu là logab, nếu nhƣ cơ số a cố định và
nếu nhƣ nghiệm của phƣơng trình tồn tại; logab Z|G|, nếu nhƣ |G|<∞.

8


Bài toán logarithm rời rạc có vai trò rất lớn trong ứng dụng của mật mã. Đặc
biệt quan trọng trong trƣờng hợp G = F(q)*, với q = pl, p là số nguyên tố, l N, tức
là trong trƣờng Galois, cũng nhƣ trong trƣờng hợp G là một nhóm điểm của đƣờng
cong Elliptic trong trƣờng hữu hạn.
Chúng ta xem phƣơng trình
ax b(mod p)

(3.1)

trong nhóm Z*p, với p là số nguyên tố. Chúng ta giả sử rằng bậc của a (modp) bằng
p-1. Khi đó phƣơng trình giải đƣợc, và nghiệm x là một phần tử của Zp – 1. Trong
phần này chúng ta miêu tả phƣơng pháp đơn định để xác định nghiệm của (3.1).
Nếu với sự giúp đỡ của phƣơng pháp chọn thì có thể giải phƣơng trình (3.1) cần

O(p)lệnh số học.
Nghiệm logab của phƣơng trình (3.1) có thể tìm theo công thức sau:
logab(1aj)1bj(mod p1), thế nhƣng độ phức tạp nếu tính theo công thức này thi
sẽ tồi hơn cách lựa chọn.
Thuật toán tiếp theo giải phƣơng trình (3.1) có độ phức tạp là O(p1/2log p) lệnh số
học.
Thuật toán tƣơng hợp.
Bƣớc 1. Gán H:= [p12]+1.
Bƣớc 2. Tìm c≡aH(modp).
Bƣớc 3. Lập bảng giá trị cu(modp),1≤ u≤H, sắp xếp nó.
Bƣớc 4. Lập bảng giá trị b.av(modp),0 ≤v ≤ H, sắp xếp nó.
Bƣớc 5. Tìm sự trùng nhau phần tử từ bảng thứ nhất và bảng thứ hai. Để làm điều
này
Cu ≡ b.av(modp)
từ đây
aHu–v≡ b(mod p).
Bƣớc 6. Đƣa ra giá trị x≡Hu -v(modp -1).
Kết thúc thuật toán.
Chúng ta chứng minh sự đúng đắn của thuật toán. Bất kỳ số nguyên x,
0≤x ≤ p-2, có thể biểu diễn dƣới dạng x≡Hu -v(mod p-1),
9


Ở đây 1≤u≤H, 0≤v≤H, rõ ràng rằng tập số H, H-1, H-2,..., H-H, 2H, 2H-1,..., H2,
H2-1,..., H2–H chứa trong mình tập số 0,1,...,p-2, bởi vì H2>p.
Từ đây dẫn đến sự đúng đắn của thuật toán. Đánh giá độ phức tạp của thuật
toán cũng rõ ràng đúng, bởi vì tập từ N phần tử có thể sắp xếp cần O(N log N) lệnh
số học.

1.1.3.2. Thuật toán Adleman

Trong phần này chúng ta xem thuật toán giải phƣơng trình
ax ≡ b(modp)

(3.2)

ở đây p là số nguyên tố. Thuật toán này có độ phức tạp là Lp[ ;c]với một số giá trị
của hằng số c. Chúng ta cho rằng a(mod p) có bậc là p-1.
Thuật toán
Tầng 1. Hình thành cơ sở nhân tử, bao gồm tất cả các số nguyên tố q,
√

Q≤B=

Tầng 2. Bằng cách chọn lựa chúng ta tìm số tự nhiên risao cho
ari≡  q aiq (mod p) ,q là số nguyên tố
qB

Từ đây dẫn đến
(3.3), q là số nguyên tố
Tầng 3. Chọn số lƣợng đủ lớn biểu thức (3.3), giải hệ phƣơng trình tuyến tính thu
đƣợc ứng với các ẩn logaq -logarithmh rời rạc của phần tử của cơ sở nhân tử.
Tầng 4. Bằng cách lựa chọn chúng ta tìm ra một giá trị của r, sao cho
ar.b ≡

q

q

. p1... pk (modp)

q B

ở đây p1,.., pk - là các số nguyên tố với độ lớn “trung bình”, có nghĩa
B < pi< B1, với B =

√

Tầng 5. Bằng cách tính toán tƣơng tự nhƣ tầng 2 và 3 của thuật toán, tìm ra
logarithm rời rạc logapi đối với các số nguyên tố p1,...,pk ở tầng 4.
Tầng 6. Xác định giá trị cần tìm logab:

10


Kết thúc thuật toán.

1.1.3.3. Thuật toán vét cạn
Đây là thuật toán tự nhiên nhất và kém hiệu quả nhất để tính logarithmth rời
rạc. Ngƣời ta cứ thử tính

0,

1,

2,

… cho đến khi nào đạt đƣợc β thì thôi. Phƣơng

pháp này đòi hỏi O(n) phép toán nhân với n là cấp của α và do đó không hiệu quả
khi n lớn và rõ ràng là hàm mũ thực sự theo logn.

1.1.3.4. Thuật toán bƣớc đi lớn bƣớc đi nhỏ (Baby-step giant-step)
Giả sử m = [√ ] với n là cấp của α.
Thuật toán bƣớc đi lớn bƣớc đi nhỏ là sự thoả hiệp giữa thời gian và bộ nhớ của
phƣơng pháp vét cạn và dựa trên quan sát sau là nếu β = αx thì chúng có thể viết:
x = im + j với 0  i,j < m. Từ đó

x= im j

hay ( -m)i =

j.

Vậy nên ngƣời ta có thể

lập bảng (j, j) với 0  j < m. Sau đó lần lƣợt tính β( -m)-i với i lần lƣợt chạy từ 0
đến (m – 1) và tra trong bảng (j,

j)

chừng nào có đƣợc đẳng thức β( -m)i = αj thì

dừng lại.
Thuật toán này đòi hỏi không gian lƣu trữ là O(√ ) phần tử nhóm và đòi hỏi O(√ )
phép nhân để xây dựng và O(√ logn) phép so sánh để sắp xếp. Ngoài ra nó cũng
cần O(√ ) phép toán nhân và O(√ ) phép toán tra bảng. Tựu chung là nó có thời
gian chạy O(√ ) phép toán nhóm.

1.1.3.5. Thuật toán Shank
Thuật toán này có tên gọi khác là thuật toán thời gian và bộ nhớ. Tƣ tƣởng của

thuật toán là nếu ta có đủ bộ nhớ thì có thể sử dụng bộ nhớ đó để giảm thời gian
thực hiện của thuật toán.
Input: Số nguyên tố p, phần tử nguyên thủy a cua Z*p, số nguyên y.
Output: Cần tìm a sao cho beta =alphaa mod p
Thuật toán :
Gọim = [(p-1)1/2](lấy phần nguyên).
 Bƣớc 1: Tính alphamj mod p với 0 ≤ j ≤ m-1.

11


 Bƣớc 2:Sắp xếp các cặp (j, alphamj mod p) theo alphalmj mod p và lƣu vào
danh sách L1.
 Bƣớc 3: Tính beta*alpha-i mod p với 0 i m-1.
 Bƣớc 4:Sắp xếp các cặp (i, beta*alpha-imod p) theo beta*alpha-i mod p và
lƣu vào danh sách L2.
 Bƣớc 5: Tìm trong hai danh sách L1 và L2 xem có tồn tại cặp (j, alphamj mod
p) và (i, beta*alpha-i mod p) nào mà alphamjmodp = beta*alpha-imodp(tọa độ thứ hai
của hai cặp bằng nhau).
Lƣu ý: Vì alphamj= beta*alpha-I

alphamj-i = beta nên bƣớc 5 luôn thành công.

 Bƣớc 6: Tính a=logalphabeta=(mj+ i) mod (p-1). Kết quả này có thể kiểm
chứng từ công thức:
alphamj mod p= beta*alpha-imod p
=>alphamj+i mod p= beta mod p
=> logalpha beta =(mj + i) mod (p–1) = a.
Ví dụ: Với bài toán trên ngƣời ta thám mã chỉ có khóa công khai:
Kp= ( p,a,y ) = ( 97,5,44 )

m = [(p-1)1/2] = [( 97-1)1/2] = 10
Bƣớc 1: Tính alphamj mod p với 0 j m-1.
Bƣớc 2: Sắp xếp các cặp (j, alphamj mod p) theo alphamj mod p và lƣu vào danh
sách L1
J(0≤j≤m-1)

510j mod 97(alphamj mod p)

0

1

1

53

2

93

3

79

4

16

5

72

6

33

7

3

8

62

9

85
12


Bƣớc 3: Tính beta*alpha-i mod p với 0≤i≤m-1.
Bƣớc 4: Sắp xếp các cặp (i, beta*alpha-imod p) theo beta*alpha-i mod p và lƣu vào
danh sách L2.
i(0≤j≤m-1)

44*5-i mod 97(beta*alpha-imod p)

0

44

1

26

2

33

3

68

4

49

5

51

6

61

7

14

8

70

9

59

Bƣớc 5: Tìm trong hai danh sách L1 và L2 xem có tồn tại cặp ( j, alphamj mod p ) và
( i, beta*alpha-i mod p ) nào mà alphamj mod p = beta*alpha-i mod p (tọa độ thứ hai
của hai cặp bằng nhau ).
Dựa vào bảng 2 bảng danh sách L1 và L2 khi j = 6 và i = 2 thì:
alphamj mod p = beta*alpha-imod p = 33
Bƣớc 6:Tính a= (mj + i) mod (p - 1). Kết quả này có thể kiểm chứng từ công thức
alphamj mod p = beta*alpha-imod p = alphamj+i mod p => a=( mj + i ) mod (p – 1).
Vậy ta có a = (10 * 6 +2) mod (97 – 1) = 62.

1.1.3.6. Thuật toán tính logarithm rời rạc đối với nhóm cyclic
Input: Phần tử sinh α của nhóm cyclic G có cấp n và phần tử β G.
Output: Logarithm rời rạc y =

.

(3.4)

B1: Chọn cơ sở phân tích S: Chọn tập con S = {p1, p2, …, pt } của G sao cho “một
tỷ lệ đáng kể” của tất cả các phần tử của G có thể đƣợc biểu diễn hiệu quả nhƣ là
tích của các phần tử của S.
B2: Chọn các quan hệ tuyến tính liên quan đến logarithm của các phần tử của S.
B2.1:Chọn số ngẫu nhiên k, 0
B2.2:Thử biểu diễn

k

k

n – 1 và tính

k

thành tích các phần tử trong S:
13


t

 k   pic

i

i 1

, ci  0

(3.5)

Nếu thành công thì lấy logarithmh cả hai vế của đẳng thức trên để đạt đƣợc quan hệ
tuyến tính:
t

k=

 c log p
i

i 1

i

(mod n)

(3.6)

Lặp lại các bƣớc (B2.1 và B2.2) chừng nào t + c các quan hệ nhƣ trên đạt đƣợc (c là
số tự nhiên nhỏ chẳng hạn c = 10 sao cho hệ phƣơng trình đã cho với t + c phƣơng
trình sẽ có nghiệm duy nhất với xác xuất cao ).
B3: Tìm các logarithm của các phƣơng trình trong S: Tính theo mod n giải hệ
phƣơng trình có t + c phƣơng trình với t ẩn số giống nhƣ trên tại bƣớc 2 để đạt đƣợc
logɑpi, với 1  i  t.
B4: tính y
B4.1: chọn số nguyên ngẫu nhiên k, 0  i  k  n  1 và tính  . k .
B4.2: cố gắng biểu diễn  . k thành tích của các phần tử trong S:
t

 . k   pid

i

i 1

(3.7)

Nếu cố gắng không đạt kết quả thì lặp lại bƣớc B4.1. Ngƣợc lại, lấy logarithm cả
hai vế của đẳng thức thu đƣợc để đạt đƣợc :
log  



t
i 1



di log pi  k mod n

(3.8)

do đó chúng ta có đƣợc kết quả của thuật toán là:
y



t
i 1



di log pi  k mod n

(3.9)

1.1.3.7. Tính chỉ số trên GF(p)
Đối với trƣờng GF(p) với số nguyên tố thì cơ sở phân tích đƣợc chọn sẽ là t số
nguyên tố đầu tiên. Quan hệ phân rã trên cơ sở phân tích đƣợc sinh ra bằng cách
tính αk mod p và sử dụng phép chia thông thƣờng để kiểm tra xem số nguyên này có
là tích của các số nguyên tố trong S hay không.

14


Ví dụ: Thuật toán tính logarithm rời rạc trên Z*229 với p = 229. Phần tử sinh α = 6
có cấp n = 228. Xét trƣờng hợp β = 13. Khi log613 đƣợc tính nhƣ sau đây sử dụng
kỹ thuật tính chỉ số:
B1: Cơ sở phân tích đƣợc chọn là 5 số nguyên tố đầu tiên S = {2, 3, 5, 7, 11}.
B2: Sáu quan hệ sau đây liên quan đến các phần tử của cơ sở phân tích đã đạt đƣợc:
6100 mod 229 = 180 = 22.32.5
618 mod 229 = 176 = 24.11

612 mod 229 = 165 = 3.5.11

662 mod 229 = 154 = 2.7.11
6143 mod 229 = 198 = 2.32.11
6206 mod 229 = 210 = 2.3.5.7

Các quan hệ này mang lại 6 phƣơng trình sau đây liên quan đến các phần tử trong
cơ sở phân tích:
100 = 2log62 + 2log63 + log65 (mod 228)
18 = 4log62 + log611 (mod 228)
12 = log63 + log65 + log611 (mod 228)
62 = log62 + log67 + log611 (mod 228)
143 = log62 + 2log63 + log611 (mod 228)

206 = log62 + log63 + log65 + log67 (mod 228)
B3: Giải hệ phƣơng trình tuyến tính có sáu phƣơng trình với năm ẩn số chúng ta
thu đƣợc lời giải log62 = 21, log63 = 208, log65 = 98, log67 = 107 và log611 = 162.
B4: Giả sử số nguyên k = 77 đƣợc chọn thì vì rằng
 . k  13.677 mod 229  147  3.72

suy ra rằng: log613 = ( log63 + 2log67 – 77 ) mod 228 = 117.

1.1.3.8. Tính chỉ số trên GF(2n)
Các phần tử của trƣờng hữu hạn F2*n đƣợc biểu diễn thành các đa thức trên
Z2[x] có bậc cao nhất là n – 1 với phép nhân đƣợc thực hiện modulo một đa thức bất
khả quy f(x) có bậc n trên Z2[x]. Cơ sở phân tích S đƣợc chọn là tập các đa thức bất

15


khả quy trên Z2[x] có bậc cao nhất là một cận b nào đó. Quan hệ phân tích đƣợc
sinh bằng cách tính  k mod f(x) và sử dụng phép chia thông thƣờng để kiểm tra
xem đa thức này có là tích của các đa thức trong S không.
Ví dụ:
Thuật toán tính logarithm trên F2*7 . Đa thức f(x) = x7 + x + 1 bất khả quy trên
Z2. Từ đó các phần tử của trƣờng hữu hạn GF(27) có cấp 128 đƣợc biểu diễn là một
tập của tất cả các đa thức trên Z2[x] có bậc cao nhất là 6 với các phép nhân đƣợc
thực hiện modulo f(x). Cấp của F2*7 là n = 27 – 1 = 127 và  = x là phần tử sinh của
F2*7 . Giả sử  = x4 + x3 + x2 + x + 1. Khi đó y =

có thể đƣợc tính bằng cách

sử dụng kỹ thuật tính chỉ số:
B1: Cơ sở phân tích đƣợc chọn là tập tất cả các đa thức bất khả quy trên Z2[x] có

bậc cao nhất là 3: S = {x, x + 1, x2 + x + 1, x3 + x + 1, x3 + x2 + 1}
B2: Năm quan hệ sau đây liên quan đến các phần tử của cơ sở phân tích đã đạt
đƣợc:
x18 mod f(x) = x6 + x4 = x4(x+1)2
x103 mod f(x) = x6 + x5 + x4 + x = x(x+1)2(x3 + x2 + 1 )
x72 mod f(x) = x6 + x5 + x3 + x2 = x2(x+1)2( x2 + x + 1 )
x45 mod f(x) = x5 + x2 + x + 1 = (x+1)2( x3 + x + 1 )
x121 mod f(x) = x6 + x5 +x4 + x3 + x2 + x + 1 = ( x3 + x + 1 )(x3 + x2 + 1)
Để cho thuận tiện chúng ta kí hiệu p1 = logxx, p2 = logx(x+1), p3 = logx(x2 + x +1),
p4 = logx(x3 + x +1), p5 = logx(x3 + x2 +1). Sau đó chúng ta có các phƣơng trình:
18 = 4p1 + 2p2 (mod 127 )
105 = p1 + 2p2 + p3 (mod 127 )
72 = 2p1 + 2p2 + p3 (mod 127 )
45 = 2p2 + 2p4 (mod 127 )
121 = p4 + p3 (mod 127 )
B3: Giải hệ phƣơng trình tuyến tính gồm năm phƣơng trình và năm ẩn số chúng ta
thu đƣợc p1 = 1, p2 = 7, p3 = 56, p4 = 34 và p5 = 90.
B4: Giả sử k = 66 đƣợc chọn thì vì rằng:

16