Hình học 10: Vectơ trong mặt phẳng

HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng

PHẦN: HÌNH HỌC
CHƯƠNG I  VECTƠ
§1
VECTƠ  CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. CÁC ĐỊNH NGHĨA
1. VECTƠ LÀ GÌ ?

Véctơ là một đoạn thẳng có định hướng:
Một đầu được xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn.
Hướng từ gốc đến ngọn gọi là hướng của véctơ.
Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của véctơ.
Véctơ có gốc A, ngọn B được kí hiệu là AB và độ dài của vectơ AB ký hiệu là | AB |.
Một véctơ còn được kí hiệu bởi một chữ cái in thường phía trên có mũi tên như a , b , u ,
v , ... độ dài của vectơ a được kí hiệu là | a |.
2. VÉCTƠ KHÔNG

Véctơ không, kí hiệu 0 là vectơ có:
Điểm gốc và ngọn trùng nhau.
Độ dài bằng 0.
Hướng bất kì.
3. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG

Hai vectơ AB , CD gọi là cùng phương, ký hiệu:
 AB // CD
AB // CD  
.
 A, B,C, D th¼ng hµng

4. HAI VECTƠ CÙNG HƯỚNG, NGƯỢC HƯỚNG
a. Hai véctơ AB , CD gọi là cùng hướng , ký hiệu:
 AB // CD
AB  CD  
.
 hai tia AB,CD cïng h­íng
b. Hai véctơ AB , CD gọi là ngược hướng, ký hiệu:
 AB // CD
AB  CD  
.
 hai tia AB,CD ng­îc h­íng
5. HAI VECTƠ BẰNG NHAU, ĐỐI NHAU
a. Hai véctơ AB , CD gọi là bằng nhau, ký hiệu:
AB  CD
AB = CD  
.
AB  CD

 197 


HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng
b. Hai véctơ AB , CD gọi là đối nhau, ký hiệu:
AB  CD
AB =  CD  
.
AB  CD
6. GÓC CỦA HAI VECTƠ

Góc của hai vectơ AB , CD là góc tạo bởi hai tia Ox, Oy, lần lượt cùng hướng với hai tia

AB, CD.
ˆ  1800.
Khi AB , CD không cùng hướng thì 00 < xOy
ˆ = 00.
Khi AB , CD cùng hướng thì xOy

II. CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
1. PHÉP CỘNG VECTƠ

Định nghĩa: Tổng của hai véctơ a và b là một véctơ được xác định như sau:
Từ một điểm tùy ý O trên mặt phẳng dựng véctơ OA = a .
Từ điểm A dựng véctơ AB = b .
Khi đó véctơ OB gọi là véctơ tổng hợp của hai vectơ a và b , ta viết:
OB = a + b  OA  AB  OB  Quy tắc ba điểm.

(1)

Tính chất của phép cộng véctơ: Với mọi véctơ a , b và c , ta có:
Tính chất 1
(Tính chất giao hoán) Ta có:
Tính chất 2
Tính chất 3
Tính chất 4

a + b = b + a.
(Tính chất kết hợp) Ta có:
( a + b ) + c = a + ( b + c ).
Ta có a + 0 = a .
Ta có a + ( a ) = 0 .

2. PHÉP TRỪ VECTƠ

Ta có:
a  b = a + ( b ).
a  b = c  a = b + c.

 Nhận xét: Từ (1) ta có biến đổi:
OA  OB  AB  BA  Quy tắc hiệu 2 vectơ cùng gốc.

(3)

3. PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC

Định nghĩa: Tích của vectơ a với một số thực k là một vectơ k. a được xác định như sau:
a. Với a  0 và k  0 thì vectơ k. a Cùng phương với a và sẽ
Cùng hướng với a nếu k > 0

 198 


HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng
Ngược hướng với a nếu k < 0
Có độ dài bằng |k|.| a |.
b. 0. a = k. 0 = 0 .
Tính chất của phép nhân vectơ với số: Với mọi véctơ a , b và các số thực m, n, ta có các
tính chất sau:
Ta có 1. a = a ; (1). a =  a .
Ta có m(n. a ) = (mn). a .
Ta có (m + n). a = m. a + n. a .
Ta có m( a + b ) = m. a + n. b .

Nếu a  0 thì hai véctơ a , b cùng phương khi và chỉ khi a = m b , m 

Tính chất 1
Tính chất 2
Tính chất 3
Tính chất 4
Tính chất 5

.

4. BIỂU THỊ MỘT VECTƠ QUA HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG

Định lý: Cho trước hai vectơ a và b khác 0 và không cùng phương. Với mọi vectơ c bao
giờ cũng tìm được một cặp số thực ,  duy nhất, sao cho:
c = a + b .

 Nhận xét quan trọng:
1. Nếu  =  = 1 thì điểm I chính là trung điểm của AB.
2. Bài toán trên được mở rộng tự nhiên cho ba điểm A, B, C và bộ ba số thực , ,  cho

trước thoả mãn  +  +   0, tức là:
a. Tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn:

 IA +  IB +  IC = 0 .
b. Từ đó suy ra với điểm bất kỳ M, ta luôn có
 MA +  MB +  IC = ( +  + ) MI .
và khi  =  =  = 1 thì I là trọng tâm ABC.
3. Việc mở rộng cho n điểm Ai, i = 1,n và bộ n số thực i, i = 1,n thoả mãn

n


i 1

i

 0, xin

dành cho bạn đọc.
4. Kết quả trên được sử dụng để giải bài toán:
“ Cho n điểm Ai, i = 1,n và bộ n số thực i, 1,n thoả mãn

n


i 1

i

 0. Tìm số thực k và

điểm cố định I sao cho đẳng thức vectơ
n

  MA
i 1

i

i

= k MI ,

(1)

thoả mãn với mọi điểm M. ”
Phương pháp giải
Vì (1) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M  I, khi đó:
n

  IA
i 1

i

i

= k II = 0 .

(2)

 199 


HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng
Xác định được điểm I từ (2).
Từ (2), suy ra
n

  MA

i 1

i

n

i

=


i 1

i

MI .

(3)

Từ (1) và (3), suy ra:
n

 i MI = k MI  k =
i 1

n


i 1

i

.

B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Vectơ
A 'B' cùng hướng với vectơ nào trong các vectơ sau đây ?
A. AC'
B. AB
C. BA
D. C'B
Câu 2.
Câu 3.

Cho ABC. Tổ hợp vectơ AB  BC được chuyển đổi thành:
A. AC
B. CA
C. 2CA
Cho ABC. Tổ hợp vectơ AB  CA được chuyển đổi thành:
A. BC

Câu 4.

D. 2BC

C. 2 AE

B. 2 AE

D.  AE

B. 2CA

C. 2AC

D. AC

Cho ABC. Tổ hợp vectơ CB  CA được chuyển đổi thành:
A. AB

Câu 7.

C. 2CB

Cho ABC. Tổ hợp vectơ AB  CB được chuyển đổi thành:
A. CA

Câu 6.

B. CB

Cho ABC với E là trung điểm BC. Tổ hợp vectơ BA  CA được chuyển đổi thành:
A. AE

Câu 5.

D. 2AC

B. 2AB

C. 2BA

D. BA

Cho ABC với F là trung điểm AC. Tổ hợp vectơ BC  AB được chuyển đổi
thành:
A. 2 BF

B. FB

C. 2FB

D. BF

Cho ABC đều với đường cao AH. Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức nào đúng
?
3
A. HB  HC
B. AC  2HC
C. AH 
D. AB  AC
BC
2
21
Câu 9. Cho OAB vuông cân với OA = OB = a. Tổ hợp vectơ OA  2.5OB có độ dài bằng:
4
a 541
a 541
a 441
a 441

A.
B.
C.
D.
4
2
2
4
Câu 8.

14
3
OA  OB có độ dài bằng:
4
7
a 6073
6073
C. a
D.
28
28

Câu 10. Cho OAB vuông cân với OA = OB = a. Tổ hợp vectơ
A.

a 6073
4

B.

a 6073
7

 200 


HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng
Câu 11. Cho bốn điểm A, B, C, D. Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức nào đúng ?
A. AB  CD  AC  BD
B. AB  CD  AD  BC
D. AB  CD  DA  BC

C. AB  CD  AD  CB

Câu 12. Cho hình thang ABCD với hai cạnh đáy là AB = 3a và CD = 6a. Khi đó AB  CD
bằng bao nhiêu ?
A. 10a
B. 3a
C. 3a
D. 0
Câu 13. Cho ABC với G là trọng tâm của tam giác. Lựa chọn đẳng thức đúng sau:
A. GA  GB  GC  0

B. GA  GB  GC  0

C. GA  GB  GC  0
D. GA  GB  GC  0
Câu 14. Cho ABC với G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm tuỳ ý trong mặt
phẳng. Lựa chọn đẳng thức đúng sau:
A. MA  MB  MC  4MG

B. MA  MB  MC  3MG

C. MA  MB  MC  2MG
D. MA  MB  MC  MG
Câu 15. Cho O là tâm của hình bình hành ABCD và M là một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng.
Lựa chọn đẳng thức đúng sau:
A. MA  MB  MC  MD  4MO

B. MA  MB  MC  MD  3MO

C. MA  MB  MC  MD  2MO

D. MA  MB  MC  MD  MO

Câu 16. Cho đoạn thẳng AB và điểm I sao cho 2IA  3IB  0. Lựa chọn đẳng thức đúng sau:
A. AI =

1
AB
5

B. AI =

2
AB
5

C. AI =

3
AB
5

D. AI =

4
AB
5

Câu 17. Cho đoạn thẳng AB và điểm I sao cho 2IA  3IB  0. Lựa chọn đẳng thức đúng sau:
3
2
MA  MB
5
5
3
2
D. MI = MA  MB
5
5

3
2
MA + MB
5
5
3
2
C. MI = MA + MB

5
5

A. MI =

B. MI =

Câu 18. Cho ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp. Độ dài của vectơ a.IA  b.IB  c.IC bằng:
A. a + b + c
B. a  b + c
C. a + b  c
D. 0
Câu 19. Gọi G là trọng tâm ABC. Đặt a = GA và b = GB . Vectơ AB được biểu diễn:
A. a  b

B. b  a

C.  a  b

D. a + b

Câu 20. Gọi G là trọng tâm ABC. Đặt a = GA và b = GB . Vectơ GC được biểu diễn:
A. a  b

B. b  a

C.  a  b

D. a + b

Câu 21. Gọi G là trọng tâm ABC. Đặt a = GA và b = GB . Vectơ BC được biểu diễn:
A. a  b

B. b  a

C. a  2 b

D. 2 a  b

Câu 22. Gọi G là trọng tâm ABC. Đặt a = GA và b = GB . Vectơ CA được biểu diễn:
A. a  2 b

B. b  2 a

C. a + 2 b

 201 

D. 2 a + b


HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng
Câu 23. Gọi G là trọng tâm ABC và B1 là điểm đối xứng của B qua G. Vectơ CB1 được
biểu diễn theo AB và AC là:
A. AB + AC

1
3

B.  ( AB + AC )

C.

1
( AB + AC )
3

D. AB  AC

Câu 24. Gọi G là trọng tâm ABC và B1 là điểm đối xứng của B qua G. Vectơ AB1 được
biểu diễn theo AB và AC là:
1
2
AB + AC
3
3
1
2
D.  AB  AC
3
3

1
2
AB + AC
3
3
1
2
AB  AC

C.
3
3

A. 

B.

Câu 25. Gọi G là trọng tâm ABC và B1 là điểm đối xứng của B qua G. Vectơ MB1 (với M
là trung điểm BC) được biểu diễn theo AB và AC là:
1
5
AB + AC
6
6
1
5
C.  AB  AC
6
6

A.

1
5
AB  AC
6
6
1
5

D.  AB + AC
6
6

B.

Câu 26. Cho OAB. Gọi M là trung điểm cạnh OA. Hãy tìm các số m và n thích hợp trong
đẳng thức OM = m OA + n OB .
1
1
A. m = và n = 0
B. m = 0 và n =
2
2
1
1
1
1
C. m = và n =
D. m = và n = 
2
2
2
2
Câu 27. Cho OAB. Gọi N là trung điểm cạnh OB. Hãy tìm các số m và n thích hợp trong
đẳng thức AN = m OA + n OB .
1
1
A. m = 1 và n = 
B. m = 1 và n = 

2
2
1
1
C. m = 1 và n =
D. m = 1 và n =
2
2
Câu 28. Cho OAB. Gọi M là trung điểm cạnh OA. Hãy tìm các số m và n thích hợp trong
đẳng thức MB = m OA + n OB .
1
1
A. m =  và n = 1
B. m = và n = 1
2
2
1
1
C. m =  và n = 1
D. m = và n = 1
2
2
Câu 29. Cho OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm hai cạnh OA và OB. Hãy tìm các số
m và n thích hợp trong đẳng thức MN = m OA + n OB .
1
1
1
1
A. m =  và n = 
B. m = và n =

2
2
2
2
1
1
1
1
C. m =  và n =
D. m = và n = 
2
2
2
2
 202 


HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng
Câu 30. Cho ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Tính AI theo AB và AC .
3
2
AB + AC
5
5
3
2
D. AI =  AB  AC
5
5

3
2
AB + AC
5
5
3
2
C. AI = AB  AC
5
5

B. AI = 

A. AI =

Câu 31. Cho ABC, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. Tính AJ theo AB và AC .
5
2
AB  AC
3
3
5
2
D. AJ =  AB + AC
3
3

5
2
AB + AC

3
3
5
2
C. AJ = AB  AC
3
3

B. AJ = 

A. AJ =

Câu 32. Cho ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo
dài sao cho 5JB = 2JC. Gọi G là trọng tâm ABC, tính AG theo AI và AJ .
1
35
AI 
AJ
16
48
1
35
AI +
D. AG = 
AJ
16
48

1
35

AI +
AJ
16
48
1
35
AI 
C. AG =
AJ
16
48

B. AG = 

A. AG =

Câu 33. Cho hai điểm A, B phân biệt. Tìm tập hợp các điểm O sao cho OA  OB.
A. O đối xứng với B qua A
B. O là trung điểm của AB
C. O đối xứng với A qua B
D. 
Câu 34. Cho hai điểm A, B phân biệt. Tìm tập hợp các điểm O sao cho OA  OB.
A. O đối xứng với B qua A
B. O là trung điểm của AB
C. O đối xứng với A qua B
D. 
Câu 35. Cho ABC đều, nội tiếp đường tròn tâm O. Hãy xác định điểm M sao cho:
OM = OA + OB .
A. CM là đường kính của (O)
B. M  C

C. M là trung điểm AB
D. 
Câu 36. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho MA  MB + MC = 0 .
A. 
B. M là trọng tâm ABC
C. M là trung điểm BC
D. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM
Câu 37. Cho ABC. Hãy xác định điểm N sao cho 2 NA + NB + NC = 0 .
A. 
B. N là trọng tâm ABC
C. N là trung điểm AE, với E là trung điểm BC
D. N là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCN
Câu 38. Cho ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC, sao cho
NC = 2NA. Xác định điểm K sao cho 3 AB + 2 AC  12 AK = 0 .
A. 
B. K là trọng tâm ABC
 203 


HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng
C. K là trung điểm MN
D. K là đỉnh thứ tư của hình bình hành AMKN
Câu 39. Cho tứ giác ABCD, M là điểm tuỳ ý. Hãy tìm số k và điểm cố định I sao cho đẳng
thức vectơ 2 MA + MB = k MI thoả mãn với mọi điểm M.
A. k = 1
B. k = 3
C. k = 4
D. k = 6
Câu 40. Cho tứ giác ABCD, M là điểm tuỳ ý. Hãy tìm số k và điểm cố định J sao cho đẳng
thức vectơ MA + MB + 2 MC = k MJ thoả mãn với mọi điểm M.

A. k = 1
B. k = 3
C. k = 4
D. k = 6
Câu 41. Cho tứ giác ABCD, M là điểm tuỳ ý. Hãy tìm số k và điểm cố định I, J, K sao cho
đẳng thức vectơ MA + MB + MC + 3 MD = k MK thoả mãn với mọi điểm M.
A. k = 1
B. k = 3
C. k = 4
D. k = 6
Câu 42. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác A1B1C1 và A2B2C2 thì:
A. 3 G 2 G1 = A1A 2 + B1B2 + C1C2

B. G 2 G1 = A1A 2 + B1B2 + C1C2

C. 3 G1G 2 = A1A 2 + B1B2 + C1C2

D. G1G 2 = A1A 2 + B1B2 + C1C2

Câu 43. Cho ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c. Lấy các điểm A1  BC, B1  AC, C1  AB
sao cho AA1 + BB1 + CC1 = 0 . Gọi G, G1 theo thứ tự là trọng tâm các tam giác
ABC, A1B1C1, tính độ dài vectơ GG1 .
A. a + b + c
B. a  b + c
C. a + b  c
D. 0
Câu 44. Cho tứ giác lồi ABCD có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Gọi M, N, P, Q lần
lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi G, G1 theo thứ tự là trọng tâm các
tam giác ANP và CMQ, tính độ dài vectơ GG1 .
A. a + b + c + d

B. a  b + c + d
C. a + b  c + d
D. 0
Câu 45. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có:
A. Cùng trọng tâm
B. Cùng trực tâm
C. Cùng tâm đường tròn nội tiếp
D. Cùng tâm đường tròn ngoại tiếp
Câu 46. Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu điểm O thỏa mãn OA  OB  OC  OD  0 ?
A. 1 điểm
B. 2 điểm
C. 4 điểm
D. Vô số
Câu 47. Cho tứ giác ABCD. Lấy các điểm M, N theo thứ tự thuộc AB và CD sao cho
AM = k. AB và DN = k. DC . Lựa chọn đẳng thức đúng:
A. MN = (1  k). AD + k. BC

B. MN = k. AD + (1  k). BC

C. MN = (1 + k). AD + k. BC
D. MN = k. AD + (1 + k). BC
Câu 48. Cho tứ giác ABCD. Lấy các điểm M, N theo thứ tự thuộc AB và CD sao cho
AM = k. AB và DN = k. DC . Gọi các điểm E, F, I theo thứ tự thuộc AD, BC và
MN sao cho AE = l. AD , BF = l. BC và MI = l. MN . Lựa chọn khẳng định đúng:
A. EFI cân
B. EFI vuông
C. EFI đều
D. E, F, I thẳng hàng

 204 


HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng
Câu 49. Cho ABC, trọng tâm G. Lấy các điểm I, J sao cho 2 JA + 5 JB + 3 JC = 0 . Với
M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và BC. Lựa chọn khẳng định đúng:
A. MNJ cân
B. MNJ vuông
C. MNJ đều
D. M, N, J thẳng hàng
Câu 50. Cho ABC, trọng tâm G. Lấy các điểm I, J sao cho:
2 IA + 3 IC = 0 , 2 JA + 5 JB + 3 JC = 0 .
Lựa chọn khẳng định đúng:
A. J là trung điểm của BI
B. J là trung điểm của CE
C. J là trung điểm của MN
D. J là trọng tâm ABC
Câu 51. Cho ABC, trọng tâm G. Lấy các điểm I, J sao cho:
2 IA + 3 IC = 0 , 2 JA + 5 JB + 3 JC = 0 .
Gọi E là điểm thuộc AB thoả mãn AE = k AB . Xác định k để C, E, J thẳng hàng.
A. k =

1
7

B. k =

3
7

C. k =

5
7

D. k = 1

Câu 52. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Lấy các điểm I, J sao cho:
3 IA + 2 IC  2 ID = 0 ,

(1)

(2)
JA  2 JB + 2 JC = 0 .
Lựa chọn khẳng định đúng:
A. IJO cân
B. IJO vuông
C. IJO đều
D. I, J, O thẳng hàng
Câu 53. Cho ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực
tâm của ABC. Lựa chọn khẳng định đúng:
A. OGH cân
B. OGH vuông
C. OGH đều
D. O, G, H thẳng hàng
Câu 54. Cho ABC, tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
MA + k MB  k MC = 0 .

A. Đường thẳng qua A song song với BC B. Đường thẳng qua B song song với AC
C. Đường thẳng qua C song song với AB D. Đường tròn ngoại tiếp ABC

Câu 55. Cho ABC với M, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AB, AC. Tìm tập hợp
những điểm M thoả mãn (1  k) MA + MB  k MC = 0 .
A. ME
B. EF
C. MF
D. Đường tròn ngoại tiếp ABC
Câu 56. Cho tứ giác ABCD. Giả sử tồn tại điểm O sao cho:
| OA || OB || OC || OD |
.

OA  OB  OC  OD  0
Lựa chọn đáp án đúng nhất:
A. ABCD là hình bình hành
B. ABCD là hình chữ nhật
C. ABCD là hình thoi
D. ABCD là hình vuông

 205 


HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng
Câu 57. Cho ABC, có các cạnh a, b, c. Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là chân các đường phân
giác trong kẻ từ A, B, C. Tính AA1 theo AB và AC .
b
c
AB 
AC
bc
bc
c

b
AB 
D. AA1 =
AC
bc
bc

b
c
AB +
AC
bc
bc
c
b
AB +
C. AA1 =
AC
bc
bc

A. AA1 =

B. AA1 =

Câu 58. Cho ABC, có các cạnh a, b, c. Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là chân các đường phân
giác trong kẻ từ A, B, C. Tính BB1 theo BA và BC .
c
a
BA

BC 
ca
ca
a
c
BA
D. BB1 =
BC 
ca
ca

c
a
BA
BC +
ca
ca
a
c
BA
C. BB1 =
BC +
ca
ca

A. BB1 =

B. BB1 =

Câu 59. Cho ABC, có các cạnh a, b, c. Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là chân các đường phân

giác trong kẻ từ A, B, C. Tính CC1 theo CA và CB .
b
c
CA 
CB
ab
ab
b
c
D. CC1 =
CB
CA 
ab
ab

b
c
CA +
CB
ab
ab
b
c
C. CC1 =
CB
CA +
ab
ab

A. CC1 =

B. CC1 =

Câu 60. Cho ABC. Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là chân các đường phân giác trong kẻ từ A,
B, C. Nếu AA1 + BB1 + CC1 = 0 thì:
A. ABC vuông tại B
C. ABC vuông tại C

§2

B. ABC vuông tại A
D. ABC là tam giác đều

HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Cho hệ toạ độ đêcac vuông góc Oxy, ta có:
1. VECTƠ

Cho 2 điểm M1(x1; y1), M1(x2; y2) thì M1M2 = (x2  x1; y2  y1).
2. CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Nếu có hai vectơ v1 (x1; y1) và v 2 (x2; y2) thì:
(i):

 x1  x 2
v1 = v 2  
.
 y1  y 2

 206 

HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng
x1 y1

.
x 2 y2

(ii):

v1 // v 2 

(iii):

v1 + v 2 = (x1 + x2; y1 + y2).

(iv):

v1  v 2 = (x1  x2; y1  y2).

(v):

k v1 (x1; y1) = (kx1; ky1) , k 

(vi):

 v1 +  v 2 = (x1 + x2; y1 + y2).

.

3. KHOẢNG CÁCH

Khoảng cách d giữa hai điểm M1(x1; y1) và M1(x2; y2) là độ dài của vectơ M1M2 , được
cho bởi:
d = | M1M2 | =

(x1  x 2 ) 2  (y1  y 2 ) 2 .

4. CHIA MỘT ĐOẠN THẲNG THEO MỘT TỈ SỐ CHO TRƯỚC

Điểm M(x; y) chia đoạn thẳng M1M2 theo một tỉ số k (tức là MM1 = k MM2 ) được xác định
bởi các công thức:
x1  kx 2

 x  1  k
.

y

ky
1
2
y 

1 k
Đặc biệt nếu k = 1, thì M là trung điểm của đoạn thẳng M1M2 , khi đó toạ độ của M
được xác định bởi:
x1  x 2

 x  2

.

 y  y1  y 2

2
5. BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

Ba điểm A(x1; y1) , B(x2; y2) và C(x3; y3) thẳng hàng điều kiện cần và đủ là:
x  x1
y y
= 3 1.
AC // AB  3
x 2  x1
y 2  y1
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐÁP ÁN ĐÚNG

Dạng toán 1: Toạ độ vectơ  Toạ độ điểm
Phương pháp
Ta cần nhớ các kết quả sau:
1 Với hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB), ta có:
AB = (xB  xA; yB  yA),

AB = | AB | =
2

(x B  x A ) 2  (y B  y A ) 2 .

Với hai vectơ a (x1; y1) và b (x2; y2) , ta có:
a = x1. i + y1. j ,

 207 


HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng
 x1  x 2
,
a = b  
 y1  y 2

 a +  b = (x1 + x2; y1 + y2).
Câu 61. Tìm toạ độ của vectơ c , biết c = a + 3 b , với a (2; 1), b (3; 4):
A. (11; 11)
B. (11; 1)
C. (1; 11)
D. (1; 1)
Câu 62. Tìm độ dài của vectơ c , biết c = a + 3 b , với a (2; 1), b (3; 4):
A. 11 2
B. 9 2
C. 9 3
D. 11 3
Câu 63. Tìm toạ độ của vectơ c , biết c = 2 a  5 b , với a (1; 2), b (2; 3):
A. (8; 1)
B. (8; 9)
C. (19; 8)
D. (8; 19)
Câu 64. Tìm độ dài của vectơ c , biết c = 2 a  5 b , với a (1; 2), b (2; 3):
A. 5 13
B. 3 13
C. 3 17
D. 5 17

Câu 65. Cho a = (2 ; 1), b = (3; 4), c = (7 ; 2). Tìm toạ độ của vectơ u = 2 a  3 b + c .
A. (2; 8)
B. (2; 8)
C. (2; 8)
D. (2; 8)
Câu 66. Cho a = (2 ; 1), b = (3; 4), c = (7 ; 2). Tìm toạ độ của vectơ x sao cho x + a = b  c .
A. (6; 1)
B. (6; 1)
C. (6; 1)
D. (6; 1)
Câu 67. Cho hai điểm A(1; 1), B(1; 3). Xác định toạ độ của các vectơ AB .
A. (2; 2)
B. (2; 2)
C. (2;  2)
D. (2; 2)
Câu 68. Cho hai điểm A(1; 1), B(1; 3). Xác định toạ độ của các vectơ BA .
A. (2; 2)
B. (2; 2)
C. (2;  2)
D. (2; 2)
Câu 69. Cho hai điểm B(1; 3). Tìm toạ độ điểm M sao cho BM (3; 0).
A. M(4; 3)
B. M(4; 3)
C. M(4; 3)
D. M(4; 3)
Câu 70. Cho hai điểm A(1; 1). Tìm toạ độ điểm N sao cho NA (1; 1).
A. N(2; 0)
B. N(0; 2)
C. N(0; 2)
D. N(2; 0)

Câu 71. Trong mặt phẳg toạ độ, cho ba điểm A(4 ; 1), B(2; 4), C(2 ; 2). Tìm toạ độ trọng tâm
ABC.
A. (0; 1)
B. (1; 0)
C. (1; 0)
D. (0; 1)
Câu 72. Trong mặt phẳg toạ độ, cho ba điểm A(4 ; 1), B(2; 4), C(2 ; 2).
A. (8; 11)
B. (8; 11)
C. (8; 11)
D. (8; 11)
Câu 73. Trong mặt phẳg toạ độ, cho ba điểm A(4 ; 1), B(2; 4), C(2 ; 2).
A. (4; 5)
B. (4; 5)
C. (4; 5)
D. (4; 5)
Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 4) và B(3; 5). Khi đó, tọa độ
vectơ BA là cặp số nào ?
A. (2; 1)
B. (4; 9)
C. (4; 9)
D. (4; 9)
Câu 75. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(0; 5) và B(2; 7). Khi đó, tọa độ
trung điểm của đoạn thẳng AB là cặp số nào ?
A. (2; 2)
B. (2; 12)
C. (1; 6)
D. (1; 1)
Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(8; 1) và B(3; 2). Khi đó, nếu C là
điểm đối xứng với A qua B thì tọa độ của C là cặp số nào ?

A. (2; 5)
B. (11; 1)
C. (13; 3)
D. (11; 1)
 208 


HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng
Câu 77. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(5; 2), B(0; 3) và C(5; 1). Khi đó,
tọa độ trọng tâm của ABC là cặp số nào ?
A. (1; 1)
B. (0; 0)
C. (0; 11)
D. (10; 0)
Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC với trọng tâm G, biết A(1; 4), B(2; 5) và
G(0; 7). Khi đó, tọa độ của C là cặp số nào ?
A. (2; 12)
B. (1; 12)
C. (3; 1)
D. (1; 12)
Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(3; 1), B(2; 2), C(1; 6) và D(1; 6).
Khi đó, điểm G(2; 1) là trọng tâm của tam giác nào sau đây ?
A. ABC
B. ABD
C. ACD
D. BCD
Câu 80. Hãy biểu diễn vectơ c theo các vectơ a , b , biết a (2; 1), b (3; 4) và c (4; 7).
A. c = a + 2 b

B. c = 2 a + b

C. c = 2 a  b

D. c = a  2 b

Câu 81. Cho a = (2 ; 1), b = (3; 4), c = (7 ; 2). Tìm các số k, l để c = k a + l b .
3
3
22
22
A. k =
và l =
B. k =
và l = 
5
5
5
5
3
3
22
22
C. k = 
và l = 
D. k = 
và l =
5
5
5
5

Câu 82. Cho bốn điểm A(1; 1), B(2; 1), C(4; 3) và D(16; 3). Hãy biểu diễn vectơ AD theo
các vectơ AB , AC .
A. AD = 3 AB  4 AC

B. AD = 4 AB  3 AC

C. AD = 3 AB + 4 AC

D. AD = 4 AB + 3 AC

Câu 83. Cho ABC, biết A(1; 0), B(3; 5), C(0; 3). Toạ độ điểm E sao cho AE = 2 BC :
A. E(7; 16)
B. E(7; 6)
C. E(7; 1) D.
E(7; 1)
Câu 84. Cho ABC, biết A(1; 0), B(3; 5), C(0; 3). Toạ độ điểm F sao cho AF = CF = 5:
A. F1(4; 0) và F2(5; 3)
B. F1(4; 0) và F2(5; 3)
C. F1(4; 0) và F2(5; 3)
D. F1(4; 0) và F2(5; 3)
Câu 85. Cho ABC, biết A(1; 0), B(3; 5), C(0; 3). Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
|2( MA + MB )  3 MC | = | MB  MC |.
A. Đường tròn tâm I(4; 19), bán kính R =

73

B. Đường tròn tâm I(4; 19), bán kính R =

37

C. Đường tròn tâm I(4; 19), bán kính R =

37

D. Đường tròn tâm I(4; 19), bán kính R =

73

Câu 86. Cho ABC, biết A(1;3), B(2;4), C(0;1). Tìm toạ độ trung tuyến AA1 .
1
1
1
1
A. (2; )
B. (2;  )
C. (2; ) D. (2;  )
2
2
2
2
Câu 87. Cho ABC, biết A(1;3), B(2;4), C(0;1). Tìm toạ độ tâm I của đường tròn ngoại
tiếp ABC.
11 37
11 37
11
11
37
37
A. ( ;
)

B. ( ;
)
C. ( ; 
)
D. ( ; 
)
14 14
14 14
14
14
14
14

 209 


HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng
Câu 88. Cho ABC, biết A(1;3), B(2;4), C(0;1). Tìm toạ độ điểm D, sao cho ABCD là
hình bình hành.
A. (3; 0).
B. (3; 1).
C. (3; 0).
D. (3; 1).
Câu 89. Cho ABC, biết A(1; 3), B(3; 5), C(2; 2). Tìm toạ độ giao điểm E của BC với
phân giác trong của góc A.
4
3

A. E( ; 4)

4
3

4
3

B. E( ; 4)

C. E( ; 4)

4
3

D. E( ; 4)

Câu 90. Cho ABC, biết A(1; 3), B(3; 5), C(2; 2). Tìm toạ độ giao điểm F của BC với
phân giác ngoài của góc A.
A. F(4; 8)
B. F(4; 8)
C. F(4; 8)
D. F(4; 8)
Câu 91. Cho ABC cân tại A, biết A(a; 3a 7  3 7 ), B(1; b), C(2a  1; 0) và A thuộc góc
phần tư thứ nhất. Xác định toạ độ các đỉnh của ABC, biết rằng p = 9 (p là nửa chu vi).
A. A(2; 3 7 ), B(1; 0), C(3; 0)

B. A(2; 3 7 ), B(0; 1), C(3; 0)

C. A(2; 3 7 ), B(1; 0), C(0; 3)

D. A( 3 7 ; 2), B(1; 0), C(3; 0)

Câu 92. Cho ABC cân tại A, biết A(a; 3a 7  3 7 ), B(1; b), C(2a  1; 0) và A thuộc góc
phần tư thứ nhất. Tìm toạ độ điểm MAB và NBC sao cho đường thẳng MN
đồng thời chia đôi chu vi và chia đôi diện tích của ABC.
A. M(2; 3 7 ) và N(0; 2)

B. M( 3 7 ; 2) và N(0; 2)

C. M( 3 7 ; 2) và N(2; 0)

D. M(2; 3 7 ) và N(2; 0)

Câu 93. Cho ABC vuông tại A, biết A(a; 0), B(1; 0), C(a; a 3  3 ). Xác định toạ độ
trọng tâm G của ABC, biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp ABC bằng 2.
1  4 3 2  2 3
74 3 22 3
A. G1(
;
) và G2(
;
)
3
3
3
3
1  4 3 2  2 3
74 3 22 3
B. G1(
;
) và G2(

;
)
3
3
3
3
1  4 3 2  2 3
74 3 22 3
C. G1(
;
) và G2(
;
)
3
3
3
3
74 3 22 3
1  4 3 2  2 3
D. G1(
;
) và G2(
;
)
3
3
3
3
1
Câu 94. Cho u = i  5 j và v = k i  4 j . Tìm các giá trị của k để hai vectơ u , v cùng

2
phương.
1
3
4
2
A. k =
B. k =
C. k =
D. k =
5
5
5
5
Câu 95. Cho hai điểm A(2; 1) và B(6; 1). Tìm toạ độ điểm M  Ox sao cho A, B, M thẳng
hàng.
A. M(4; 0)
B. M(4; 0)
C. M(0; 4)
D. M(0; 4)
Câu 96. Cho hai điểm A(2; 1) và B(6; 1). Tìm toạ độ điểm N  Oy sao cho A, B, N thẳng hàng.
A. N(0; 2)
B. N(2; 0)
C. N(2; 0)
D. N(0; 2)

 210 


HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng

Câu 97. Cho hai điểm A(2; 1) và B(6; 1). Tìm toạ độ điểm P khác B sao cho A, B, P thẳng
hàng và PA = 2 5 .
A. P(2; 3)
B. P(2; 3)
C. P(2; 3)
D. P(2; 3)
Câu 98. Trong mặt phẳg toạ độ, cho ba điểm A(3 ; 4), B(1 ; 1), C(9 ; 5). Lựa chọn đáp
án đúng sau:
A. ABC vuông
B. ABC cân
C. ABC đều D. A, B, C thẳng hàng
Câu 99. Trong mặt phẳg toạ độ, cho ba điểm A(3 ; 4), B(1 ; 1), C(9 ; 5). Tìm toạ độ
điểm D sao cho A là trung điểm của BD.
A. D(7; 7)
B. D(7; 7)
C. D(7; 7)
D. D(7; 7)
Câu 100.Trong mặt phẳg toạ độ, cho ba điểm A(3 ; 4), B(1 ; 1), C(9 ; 5).
7
3

A. E( ; 0)

7
3

B. E( ; 0)

C. E(0;

7
)
3

7
3

D. E(0;  )

Câu 101. Trong mặt phẳg toạ độ, cho ba điểm A(1; 1), B(3; 3), C(2; 0). Diện tích ABC bằng:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 102.Trong mặt phẳg toạ độ, cho ba điểm A(1; 1), B(3; 3), C(2; 0). Điểm M trên trục Ox
sao cho góc AMB nhỏ nhất có tọa độ là:
5
3

A. ( ; 0)

1
3

B. (1; 0)

C. ( ; 0)

D. M  O

Câu 103.Điểm P trên trục hoành sao cho tổng các khoảng cách từ P tới các điểm A(1; 1) và
B(2; 4) là nhỏ nhất có tọa độ:
A. (2; 0)

6
5

4
5

B. ( ; 0)

C. ( ; 0)

D. (1; 0)

Câu 104.Điểm P trên trục hoành sao cho tổng các khoảng cách từ P tới các điểm A(1; 2) và
B(3; 4) là nhỏ nhất có tọa độ:
5
3

A. ( ; 0)

1
3

4
3

B. ( ; 0)

C. ( ; 0)

D. P  O

1
Câu 105.Cho 3 điểm A(0; 1), B(2; 3), C( ; 0). Điểm D sao cho A, B, C, D lập thành hàng
2
điểm điều hoà có tọa độ là:
A. D(1; 3)
B. D(1; 3)
C. D(1; 3)
D. D(1; 3)
2
2
Câu 106.Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x  x  1 + x  x  1 bằng:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Câu 107.Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x + 1|. 5 + 5x 2  14x  13 bằng:
A. 2
B. 2 2
C. 3 2
D. 4 2
Câu 108.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x 2  y 2  2x  4y  5 + x 2  y 2  6x  4y  13
bằng:
A. 1
B. 2

C. 3
D. 4
Câu 109.Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 1) và M(t; 2t + 1). Tọa độ điểm M sao cho (MA + MB)
nhỏ nhất là:
A. (

2 19
; )
15 15

B. (2; 5)

C. (1; 3)

 211 

D. (

1 17
;
)
15 15


HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng
Câu 110.Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 1) và M(t; 2t + 1). Tọa độ điểm M sao cho |MA  MB|
lớn nhất là:
A. (

2 19

; )
15 15

B. (2; 5)

C. (1; 3)

D. (

1 17
;
)
15 15

ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1: Cho hai vectơ tuỳ ý a và b , hệ thức " a + b  =  a  +  b " đúng hay sai ?
Đúng 
Sai 
Bài 2: Cho hai vectơ tuỳ ý a và b , hệ thức " a + b    a  +  b " đúng hay sai ?
Đúng 
Sai 
Bài 3: Mệnh đề "Nếu a  b = c thì a = b + c " đúng hay sai ?
Đúng 
Sai 
Bài 4: Mệnh đề " a  ( b + c ) = a  b  c " đúng hay sai ?
Đúng 
Sai 
Bài 5: Mệnh đề " a  ( b  c ) = a  b + c " đúng hay sai ?
Đúng 
Sai 

Bài 6: Cho hai tam giác A1B1C1 và A2B2C2 lần lượt có trọng tâm là G1, G2. Đẳng thức
vectơ A1A 2 + B1B2 + C1C2 = 3 G1G 2 là đúng hay sai ?
Đúng 
Sai 
Bài 7: Cho ABC, có I là tâm đường tròn nội tiếp. Đẳng thức a. IA + b. IB + c. IC = 0 là
đúng hay sai ?
Đúng 
Sai 
Bài 8: Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng, trong đó điểm N nằm giữa hai điểm M và P. Các
cặp vectơ nào sau đây cùng hướng ?
A. MN, PN
B. MN, MP
C. MP, PN
D. NM, NP
Bài 9: Cho hình chữ nhật ABCD. Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức nào đúng ?
A. AB  CD

C. AC  BD

B. BC  DA

D. AD  BC

Bài 10: Cho sáu điểm A, B, C, D. Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức nào đúng ?
A. AB  CD  FA  BC  EF  DE  0
B. AB  CD  FA  BC  EF  DE  AF
C. AB  CD  FA  BC  EF  DE  AE
D. AB  CD  FA  BC  EF  DE  AD
Bài 11: Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C với AB = 2a, AC = 6a. Đẳng thức nào dưới
đây đúng ?

A. AB  BC

B. 2AB  BC

C. 4AB  BC

 212 

D. 2BA  BC


HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng
Bài 12: Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C với AB = 2a, BC = 5a. Độ dài vectơ AC
bằng bao nhiêu ?
A. 7a
B. 3a.
C. 7a2
D. 3a2
Bài 13: Cho ABC đều có cạnh bằng a. Độ dài vectơ hiệu AB  CA bằng:
A. 2a.

B. a.

C. a 3 .

D.

a 3
2

Bài 14: Cho ABC đều có cạnh bằng a. Độ dài vectơ tổng AB + AC bằng:
A. a.
D. 2a.
C. a 3 .
B. a 2 .
Bài 15: Cho ABC vuông tại A, biết AB = a và AC = b. Độ dài vectơ tổng AB + AC bằng:
A. a + b.

B. ab.

C. a2 + b2.

D.

a 2  b2 .

Bài 16: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Độ dài vectơ tổng BD + AC bằng:
A. a.
B. 2a.
C. 0.
D. 2a 2 .
Bài 17: Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Nếu AB  3AC thì đẳng thức nào dưới đây đúng ?
A. BC  4AC
B. BC  4AC
C. BC  2AC
D. BC  2AC
Bài 18: Điều kiện nào dưới đây là cần và đủ để điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB ?
A. MA = MB
D. MA  MB  0
B. MA  MB

C. AM  BM
Bài 19: Cho G là trọng tâm ABC. Đẳng thức nào dưới đây đúng ?
1
1
B. AG  AB  AC
A. AG  AB  AC
3
2
3
2
C. AG  AB  AC
D. AG  AB  AC
3
2
Bài 20: Cho ABC với trung tuyến AM và I là trung điểm của AM. Đẳng thức nào dưới đây
đúng ?

















A. IA  IB  IC  0

B. IA  IB  IC  0

C. IA  IB  IC  0

D. 2IA  IB  IC  0

Bài 21. Vectơ a = 2 i + j , có tọa độ là:
A. (2; 1).

B. (1; 2).

Bài 22. Vectơ a = 3 i , có tọa độ là:
A. (3; 0).
B. (0; 3).

C. (2; 1).

D. (1; 2).

C. (3; 0).

D. (0; 3).

C. (0; 5).

D. (0; 5).

C. (3; 4).

D. (3; 4).

Bài 23. Vectơ a = 5 j , có tọa độ là:
A. (5; 0).

B. (5; 0).

Bài 24. Vectơ a = 4 i  3 j , có tọa độ là:
A. (4; 3).

B. (4; 3).

Bài 25. Biết a (1; 1), b (2; 3), vectơ c = 4 a  3 b có tọa độ là:
A. (10; 13).
B. (13; 10).
C. (2; 5).
D. (5; 2).

 213 


HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng
1
b có tọa độ là:
2
 17


 19 
C.  ;  4  .
D.   ; 8  .
 2

 2 

Bài 26. Biết a (2; 3), b (4; 1), vectơ c = 3 a +
19 

A.  8;   .
2


17 

B.  4;  .
2


Bài 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm B(1; 3), điểm M sao cho BM (3; 0) có tọa
độ là:
A. M(1; 3).
B. M(3; 4).
C. M(4; 3).
D. M(3; 1).
Bài 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 1), B(1; 3). Tọa độ của các vectơ
AB , BA là:
A. AB (2; 2) và BA (2; 2).

C. AB (2; 2) và BA (2; 2).

B. AB (2; 2) và BA (2; 2).

D. AB (2; 2) và BA (2; 2).

Bài 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm M(1; 2), N(4; 2) và P(5; 10). Điểm P
chia đoạn thẳng MN theo tỉ số bằng:
2
2
3
3
A.
.
B.  .
C.
.
D.  .
3
3
2
2
Bài 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm M(3; 2), N(1; 2) và P(5; 3). Trọng tâm
tam giác MNP có tọa độ là:
 1 3
 1 
1

1 

A.   ;  .
B.  ;1 .
C.   ;1 .
D.  ; 1 .
 2 2
 3 
3

3 
Bài 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác MNP có M(1; 1), N(5; 3) và P
thuộc trục Oy, trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox. Tọa độ điểm P là:
A. (2; 4).
B. (2; 0).
C. (0; 4).
D. (0; 2).
Bài 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC biết A(1; 3), B(3; 5), C(2;  2). Tọa độ
giao điểm E của BC với phân giác trong của góc A là:
4
4
4
4
A. E( ; 4).
B. E( ; 4).
C. E( ; 4).
D. E( ; 4).
3
3
3
3
Bài 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC biết A(1; 3), B(3; 5), C(2;  2). Tọa độ

giao điểm F của BC với phân giác ngoài của góc A.
D. F(4; 8).
A. F(4; 8).
B. F(4; 8).
C. F(4; 8).
Bài 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(0; 3), B(1; 5), C(3; 3). Chọn khẳng
định đúng:
A. A, B, C không thẳng hàng
B. A, B, C thẳng hàng
C. Điểm B ở giữa A và C
D. AB và AC cùng hướng
Bài 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; 5), B(1; 7). Chọn khẳng định đúng:
A. Trung điểm của đoạn thẳng AB là điểm (4; 2)
B. Tọa độ của vectơ AB là (2; 12)
C. Tọa độ của vectơ AB là (2; 12)
D. Trung điểm của đoạn thẳng AB là điểm (2; 1)
Bài 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm M(1; 1), N(3; 2) và P(0; 5) lần lượt là
trung điểm các cạnh BC, CA, AB của ABC. Tọa độ điểm A là:
B. (5; 1)
C. (5; 0)
D. (2; 0)
A. (2; 2)

 214 


HÌNH HỌC 10  Vectơ và Ứng dụng
Bài 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD biết A(2; 3), B(0; 4),
C(5; 4). Tọa độ đỉnh D là:
A. (2; 7)

B. (3; 5)
C. (3; 7)
D. (2; 5)
Bài 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(5; 3). Kẻ MM1 vuông góc với Ox và
MM2 vuông góc với Oy. Chọn khẳng định đúng:
A. OM1  5
C. Vectơ OM1  OM2 có tọa độ (5; 3)

B. OM 2  3
D. Vectơ OM1  OM2 có tọa độ (5; 3)
Bài 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(3; 2), B(7; 1), C(0; 1), D(8; 5).
Chọn khẳng định đúng:
A. AB, CD là hai vectơ đối nhau
B. AB, CD cùng phương nhưng ngược hướng
C. AB, CD cùng phương nhưng cùng hướng
D. A, B, C, D thẳng hàng
Bài 40. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC biết B(9; 7), C(11; 1). Với M, N theo thứ
tự là trung điểm của AB, AC thì tọa độ của MN là cặp số nào ?
C. (7; 2)
D. (1; 4)
A. (2; 8)
B. (1; 4)

 215 