Một số phương pháp giải các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình THPT (Khóa luận tốt nghiệp)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THANH THẢO

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ
TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN HỌC
Hệ đào tạo: Chính quy
Khóa học: 2014 - 2018

Người hướng dẫn: ThS. TRẦN MẠNH HÙNG

QUẢNG BÌNH, NĂM 2018


Lời cảm ơn
Trước tiên, tôi muốn gửi lời cảm ơn và tri ân sâu sắc đến thầy Trần Mạnh
Hùng - người đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn cho tôi trong suốt quá trình
thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả các thầy cô Trường Đại học Quảng
Bình, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Khoa học tự nhiên đã dạy dỗ, tạo điều
kiện cho tôi trong suốt những năm tháng ngồi trên giảng đường đại học. Chính
những điều đó đã giúp tôi học được rất nhiều điều bổ ích không những trong
chuyên ngành của mình mà trong cả cuộc sống.
Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình, các anh chị khóa trước,
tập thể lớp ĐHSP Toán K56, bạn bè xung quanh và những người đã động viên,
giúp tôi vượt qua những khó khăn thử thách. Đó chính là động lực để tôi không

ngừng cố gắng học tập và để tôi có thể hoàn thành tốt khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!

i


Mục lục

Lời cảm ơn

i

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 1Lý thuyết về tổ hợp

4
7

1.1 Tập hữu hạn, tập vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Quy tắc cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3 Quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.2 Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.3 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5 Chỉnh hợp lặp, hoán vị lặp, tổ hợp lặp . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5.1 Chỉnh hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5.2 Hoán vị lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5.3 Tổ hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6 Nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6.1 Công thức nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6.2 Các tính chất của công thức nhị thức (a + b)n . . . . . . .

12

1.6.3 Các kết quả

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.7 Tam giác Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Chương 2 Một số phương pháp giải các bài toán tổ hợp đếm

1

14

2.1 Phương pháp đếm trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2 Phương pháp đếm loại trừ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3 Phương pháp tạo vách ngăn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4 Phương pháp "dán" phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5 Phương pháp thêm bớt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.6 Phương pháp liệt kê các trường hợp . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.7 Phương pháp song ánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.8 Phương pháp sử dụng hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Chương 3 Một số phương pháp chứng minh các đẳng thức về
tổ hợp

33

3.1 Sử dụng trực tiếp định nghĩa về tổ hợp để chứng minh các đẳng
thức về tổ hợp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2 Dùng khai triển nhị thức Newton và những kĩ thuật đặc biệt để
chứng minh các đẳng thức về tổ hợp

. . . . . . . . . . . . . . .

36

3.3 Phương pháp sử dụng tích phân để chứng minh các đẳng thức về
tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.4 Phương pháp sử dụng đạo hàm để chứng minh các đẳng thức về
tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.5 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopski để
chứng minh các đẳng thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 4 Một số dạng toán khác và các ví dụ minh họa
4.1 Chứng minh một số bài toán chia hết . . . . . . . . . . . . . . .

46
49
49

4.2 Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất
phương trình tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton

52

. . . . . .

61

4.4 Tính tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

2


KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

3


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Toán học tổ hợp là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về sự liệt
kê, tổ hợp, hoán vị, các tập hợp và các tính chất toán học của chúng. Lý
thuyết tổ hợp đã được hình thành như một ngành toán mới vào quảng thế kỉ
XVII bằng một loạt các công trình nghiên cứu của các nhà toán học Pascal,
Fermat, Leibniz,. . . . Các bài toán tổ hợp đã có mầm mống từ rất sớm. Ngoài
ra, dựa trên luật chơi của cờ tướng và cờ vua, nhiều loại cờ cũng đã ra đời.
Chẳng hạn, năm 1525, một người Italia tên là Guarini di Forli đã đặt ra một
câu hỏi với kiểu bàn cờ vua 3 × 3 ô, trong đó đặt hai quân mã màu đen và
hai quân mã màu trắng đặt ở bốn góc của bàn cờ sao cho hai quân cùng
màu thì nằm trên một hàng. Câu hỏi mà ông đặt ra là: Sau bao nhiêu nước
đi thì kết thúc trò chơi, quân mã một bên sẽ bị bên kia ăn hết? Đây là một
trò chơi trí tuệ khá thú vị và đến bây giờ vẫn có nhiều người chơi. Sau này,
người ta đã tính toán được chính xác số bước đi tối thiểu là 16. Chủ đề về tổ
hợp cũng đã được nghiên cứu từ thế kỷ XVII khi những câu hỏi về tổ hợp
được nêu ra trong những công trình nghiên cứu của các trò chơi may rủi.
Năm 1850, Guthrie, người đã có nhận xét có thể dùng bốn màu khác nhau
để tô các tỉnh của nước Anh sao cho không có hai tỉnh kề nhau cùng màu.
Giả thuyết này đã thách thức các nhà toán học khoảng hơn một thế kỉ. Mãi
tới tận năm 1977, Appel và Haken mới quy được bài toán qui màu bản đồ

về việc xem xét trên 1900 cấu hình tổ hợp,. . . . Từ chỗ chỉ nghiên cứu các
trò chơi, bài toán về kinh tế xã hội,. . . tổ hợp đã trở thành ngành toán học
phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Hơn nữa, tổ hợp cũng là một dạng toán nằm trong chương trình THPT
và có cấu trúc trong các đề thi THPT Quốc gia và cũng là một mảng toán
khó, nhưng lại có ứng dụng nhiều trong cuộc sống hằng ngày.
Hiện nay, đa số học sinh đều gặp khó khăn trong việc giải các bài tập

4


có liên quan đến toán tổ hợp. Đặc biệt, đội ngũ học sinh giỏi khi tham gia
các kì thi cấp tỉnh, cấp quốc gia gặp nhiều lúng túng trong việc giải những
bài toán dạng này.
Với lí do trên, tôi đã tìm hiểu và đã chọn nghiên cứu đề tài :"Một số
phương pháp giải các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình THPT".
Nhằm cung cấp cho học sinh một hệ thống phương pháp giải các bài toán
tổ hợp từ đó nâng cao khả năng giải toán và tư duy cho học sinh.
2. Mục đính nghiên cứu
Nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống về các khái niệm, các
phương pháp giải một số bài toán tổ hợp để ứng dụng vào việc giải toán.
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu chính của khóa luận là phân loại, đưa ra các
phương pháp toán giải các bài toán đại số tổ hợp.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáo
trình về các vấn đề cần nghiên cứu như: phương pháp đếm, phương pháp
giải các bài toán chứng minh đẳng thức,. . .
Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Các ý kiến của giảng viên hướng
dẫn và các giảng viên khác trong Bộ môn Toán, khoa Khoa học Tự nhiên,

Trường Đại học Quảng Bình.
5. Tầm quan trọng đối với khoa học và thực tiễn
Việc giải các bài toán tổ hợp có ý nghĩa lớn trong các ngành, các lĩnh
vực khác nhau như: công nghệ - thông tin, kinh tế,. . .
Ngoài ra, đề tài có thể là tài liệu tham khảo cho học sinh hay những
sinh viên chuyên ngành Toán, đặc biệt là những bạn đam mê Olympic Toán.
Với bản thân, qua việc nghiên cứu đề tài em đã hệ thống cũng như ôn tập
lại những kiến thức đã học về các phương pháp giải các bài toán về tổ hợp.

5


6. Bố cục khóa luận
Ngoài lời cảm ơn, phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham
khảo, nội dung khóa luận được trình bày gồm 4 chương:
Chương 1: Lý thuyết tổ hợp
Chương 2: Một số phương pháp giải các bài toán tổ hợp đếm
Chương 3: Một số phương pháp chứng minh các đẳng thức về tổ hợp
Chương 4: Một số dạng toán khác và các ví dụ minh họa

6


Chương 1
Lý thuyết về tổ hợp
1.1

Tập hữu hạn, tập vô hạn

Định nghĩa 1.1.1.

i) Tập hữu hạn
Một tập hợp S được gọi là hữu hạn và có n phần tử nếu tồn tại một song
ánh f : S −→ { 1, 2, ..., n} (với { 1, 2, ..., n} ⊂ N).
Số n được gọi là lực lượng của tập hợp S. Kí hiệu | S |= n.
ii) Tập vô hạn
Nếu tập S không là tập hữu hạn thì ta nói tập S vô hạn.
Tập hợp tương đương: Các tập hợp tương đương, còn được gọi là tập hợp
đẳng lực, là các tập hợp mà giữa các phần tử của chúng có thể thiết lập quan
hệ tương đương, tức quan hệ tương ứng một-một (song ánh).
Nhận xét 1.1.1. Hai tập hợp có cùng lực lượng khi và chỉ khi tồn tại một
song ánh từ tập hợp này vào tập hợp kia.

1.2

Quy tắc cộng

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong k
phương án A1 , A2 , . . . , Ak .
Có n1 cách thực hiện phương án A1
7


Có n2 cách thực hiện phương án A2
...
Có nk cách thực hiện phương án Ak
Khi đó, công việc có thể được thực hiện bởi n1 + n2 + . . . + nk cách.

• Quy tắc cộng được phát biểu dưới dạng tập hợp
Nếu tập hợp hữu hạn A là hợp của n tập đôi một rời nhau A1 , A2 , . . . , An
thì:

| A |=| A1 | + | A2 | + . . . + | An |
Chú ý. Cho hai tập hợp A và B, A ∩ B = ∅ nếu cộng số phần tử của A với số
phần tử của B thì số phần tử của A ∩ B sẽ được tính hai lần. Do đó, ta có quy
tắc cộng mở rộng đối với hai phần tử:

| A ∪ B |=| A | + | B | − | A ∩ B |
Tổng quát với n tập A1 , . . . , An là n tập hữu hạn ( n ≥ 2) thì:
n

|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An | =

n

i=1

1.3

|Ai ∩ Ak | + ... + (−1)n−1 |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An |

|Ai | −
1 i k n

Quy tắc nhân

Định nghĩa 1.3.1. Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1 , A2 , . . . , Ak .
Công đoạn n1 , có thể thực hiện theo A1 cách
Công đoạn n2 , có thể thực hiện theo A2 cách
...
Công đoạn nk , có thể thực hiện theo Ak cách

Khi đó, công việc có thể được thực hiện bởi n1 n2 . . . nk cách.

• Quy tắc nhân được phát biểu dưới dạng tập hợp
Nếu A1 , A2 , . . . , An là các tập hợp hữu hạn bất kì và A1 × A2 × ... × An
là tích Descartes của n tập hợp đó thì:
8


Khóa luận đủ ở file: Khóa luận full