Tổng hợp lý thuyết toán thpt phần đại số

Muc
. luc
.
Muc
. luc
. .................................................... 2
✱✱
✱
Chuong 1. Mênh
¯ ` v`a tâp
. dê
. ho. p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1. Mênh
¯ ` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
. dê
✱
1.2. Tâp
. ho. p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
✱
1.2.1. C´ac tâp
. ho. p sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
✱✱ ✱
✱
1.2.2. Phâ`n tu cua tâp
. ho. p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
✱

✱

1.2.3. C´ac tâp
. ho. p con cua R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✱
✱
1.2.4. C´ac ph´ep to´an vo´ i tâp
. ho. p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´ - Sai sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Sô´ gâ`n d¯ung
✱✱
Chuong 2. H`am sô´ bâc
. nhâ´t v`a bâc
. hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
✱
2.1. Kh´ai niêm
. co ban vê` h`am sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´ xa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Anh
2.1.2. Kh´ai niêm
. h`am sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
2.1.3. Ðô` th.i cua h`am sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱

✱

✱

2.1.4. C´ac t´ınh châ´t co ban cua h`am sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. H`am sô´ bâc
. nhâ´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. H`am sô´ bâc

. nhâ´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
2.2.2. H`am sô´ ha˘` ng y ✏ b vo´ i b € R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. H`am sô´ y ✏ ⑤x⑤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. H`am sô´ bâc
. hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱ ✱
2.3.1. Co ban vê` h`am sô´ bâc
. hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Ðô` th.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱

2.3.3. Bang biê´n thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. C´ach v˜e dô
¯ ` th.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3

12
12
14
15
15
15
16
17
17
18
18
18
19

19
19
19
20
20


✱

4

✱

Sô tay d¯ai
. sô´ va` giai t´ıch 10-11-12
✱✱
✱✱
✱✱
Chuong 3. Phuong tr`ınh v`a hê. phuong tr`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . 21
✱✱
✱✱
3.1. Ðai
. cuong vê` phuong tr`✱ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
✱
3.1.1. C´ac kh´ai niêm
. co ban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .✱ . . . . . . 21
✱✱
✱✱
✱✱
✱✱

3.1.2. Phuong tr`ınh tuong du
¯ ong v`a phuong tr`ınh hê. qua . . . . . 22
✱ ✱✱
✱✱
✱✱
3.1.3. Biê´n dô
¯ i tuong du
¯ ong c´ac phuong tr`ınh . . . . . . . . . . . . . . . 22
✱✱
3.2. Phuong tr`ınh qui vê` bâc
. nhâ´t, bâc
. hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
✱
✱✱
3.2.1. Giai v`a biên
. luân
. phuong tr`ınh bâc
. nhâ´t . . . . . . . . . . . . . . 23
✱
✱✱
3.2.2. Giai v`a biên
. . . . . . . . . . . . . . . 23
. ✱luân
. phuong tr`ınh bâc
. hai
✱
✱✱
3.2.3. Ð.inh l´y vê` tông v`a t´ıch hai nghiêm
. cua phuong tr`ınh bâc
. hai .

24
✱✱
✱✱
` phuong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.4. Phuong tr`ınh trung
✱✱
✱
3.2.5. Phuong tr`ınh chu´ a dâ´u gi´a tr.i tuyêt
¯ ´i . . . . . . . . . . . . . . . 24
. dô
✱
✱✱
✱
3.2.6. Phuong tr`ınh chu´ a dâ´u c˘an thu´ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
✱
✱✱
✱✱
3.3. Phuong tr`ınh, hê. phuong tr`ınh bâc
nhâ´t nhiê`u ân . . . . . . . . . . 27
.
✱
✱✱
3.3.1. Phuong tr`ınh bâc
. nhâ´t hai ân . . . .✱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
✱✱
3.3.2. Hê. hai phuong tr`ınh bâc
. nhâ´t 2 ân . . . . . . . . . . . . . . .✱. . . 27
✱
✱✱
3.3.3. Dang

. tam gi´ac cua hê. 3 phuong✱tr`ınh bâc
. nhâ´t ba ân . . 27
✱✱
3.3.4. Hê. ba phuong tr`ınh bâc
. nhâ´t 3 ân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
✱
✱
3.3.5. Môt
. sô´ ✱hê. phuong tr`ınh kh´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
✱✱
✱
✱✱
Chuong 4. Bâ´t d¯a˘ ng thu´ c v`a bâ´t phuong tr`ınh . . . . . . . . . . . . . . 30
✱

✱
4.1. Bâ´t d¯a˘ ng thu´ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.1. Ð.inh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
✱
✱
✱ ✱
4.1.2. C´ac t´ınh châ´t bâ´t d¯a˘ ng thu´ c co ban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
✱
✱
✱
4.1.3. Bâ´t d¯a˘ ng thu´ c chu´ a dâ´u gi´a tr.i tuyêt
¯ ´i . . . . . . . . . . . . . . . 31
. dô
✱
✱

4.1.4. Bâ´t d¯a˘ ng thu´ c Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
✱
✱
4.1.5. Bâ´t d¯a˘ ng thu´ c Bunhiacopski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
✱
✱
✱
4.1.6. Gi´a tr.i lo´ n nhâ´t, nho nhâ´t cua môt
. h`am sô´ ✱. . . . . . . . . . . . 33
✱✱
✱✱
4.2. Bâ´t phuong tr`ınh v`a hê. bâ´t phuong tr`ınh môt
. ân . . . . . . . . . . 33
✱
✱
✱
4.2.1. Ðiê`u kiên
. cua môt
. bâ´t phuong tr`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


5

Muc
. luc
.
✱✱

✱✱

✱✱

✱✱

4.2.2. Hai bâ´t phuong tr`ınh (hê. bâ´t phuong tr`ınh) tuong du
¯ ong
✱
✱
✱
4.2.3. C´ac ph´ep biê´n dô
¯ i bâ´t phuong tr`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4. Chu´ y´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
✱
4.3. Dâ´u cua nh.i thu´ c bâc
. nhâ´t . . .✱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱✱
4.4. Bâ´t phuong tr`ınh bâc
. nhâ´t 2 ân . .✱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
✱
4.4.1. Bâ´t phuong tr`ınh bâc
. nhâ´t 2 ân . . ✱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
✱
4.4.2. Hê. bâ´t phuong tr`ınh bâc
. nhâ´t 2 ân . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
4.4.3. B`ai to´an tô´i uu trong kinh tê´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱

✱
4.5. Dâ´u cua tam thu´ c bâc
.✱ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
4.5.1. Ð.inh l´y vê` dâ´u cua tam thu´ c bâc
. hai . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱✱
✱✱
´
`
4.5.2. Môt
¯ u kiên
¯ ong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. sô diê
. tuong du
✱✱
´
Chuong 5. Thông kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
5.1. Bang phân bô´ tâ`n sô´ v`a tâ`n suâ´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
5.1.1. Tâ`n sô´ v`a tâ`n suâ´t cua môt
. gi´a tr.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
✱
5.1.2. Tâ`n sô´ v`a tâ`n suâ´t cua môt
. lo´ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Sô´ trung b`ınh công
. ....................................
5.2.1. Sô´ trung b`ınh công

. ................................
5.2.2. Sô´ trung v.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Mô´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4. Chon
. d¯ai
. diên
. cho c´ac ✱sô´ liêu
. thô´ng kê . . . . . . . . . . . . . .
✱✱
5.3. Phuong sai v`a d¯ô. lêch
. chuân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
✱✱
´
5.3.1. Công thuc t´ınh phuong sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱✱
✱✱
5.3.2. Y´ ngh˜ıa v`a c´ach su dung
phuong sai . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
✱
5.3.3. Ðô. lêch
chuân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
✱✱
✱
´ luo.✱ng gi´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chuong 6. Cung v`a goc
✱✱
6.1. Cung v`a goc

´ luo. ng gi´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
6.1.1. Quan hê. gi˜ua d¯ô. v`a radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
6.1.2. Ðô. d`ai cua cung tron
` ..............................
✱
✱
✱
6.1.3. Sô´ do
¯ cua cung luo. ng gi´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
˜ cung lu✱o.✱ng gi´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4. Biêu diên

33
33
34
34
34
34
35
35
36
36
36
38
38
38
38

39
39
39
40
40
40
40
41
41
43
43
43
44
44
44


6

✱

✱

Sô tay d¯ai
. sô´ va` giai t´ıch 10-11-12
✱
✱✱
6.2. Gi´a tr.i luo. ng gi´ac cua môt
. cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
✱

✱
✱
6.2.1. C´ac kiê´n thu´ c co ban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
✱
✱ ✱✱
✱ ✱
6.2.2. C´ac ha˘` ng d¯a˘ ng thu´ c luo. ng gi´ac co ban . . . . . . . . . . . . . . 46
✱
✱✱
6.2.3. Gi´a tr.i luo. ng gi´ac cua c´ac cung dô
¯ ´i nhau . . . . . . . . . . . . . 46
✱
✱✱
6.2.4. Gi´a tr.i luo. ng gi´ac cua c´ac cung bu` nhau . . . . . . . . . . . . . 46
✱
✱✱
6.2.5. Gi´a tr.i luo. ng gi´ac cua c´ac cung phu. nhau . . . . . . . . . . . . 46
✱
✱✱
✱
6.2.6. Gi´a tr.i luo. ng gi´ac cua c´ac cung hon k´em π . . . . . . . . . . . 46
✱ ✱✱
6.3. Công thu´ c luo. ng gi´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
✱
6.3.1. Công thu´ c công
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
✱
6.3.2. Công thu´ c nhân dôi
¯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
✱

6.3.3. Công thu´ c nhân ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
✱
6.3.4. Công thu´ c ha. bâc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
✱
´
6.3.5. Công thuc t´ınh theo t ✏ tan x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
✱
✱
6.3.6. Công thu´ c tông th`anh t´ıch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
✱
✱
6.3.7. Công thu´ c t´ıch th`anh tông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
✱
6.3.8. Môt
. sô´ công thu´ c kh´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
✱✱
✱✱
Chuong 7. H`am sô´ luo. ng gi´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
✱✱
7.1. H`am sô´ luo. ng gi´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.1.1. H`am sô´ sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.1.2. H`am sô´ cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.1.3. H`am sô´ tang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.1.4. H`am sô´ cotang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
✱✱
✱✱
✱ ✱
7.2. Phuong tr`ınh luo. ng gi´ac co ban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
✱✱

✱ ✱
7.2.1. Phuong tr`ınh co ban theo sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
✱✱
✱ ✱
7.2.2. Phuong tr`ınh co ban theo cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
✱✱
✱ ✱
7.2.3. Phuong tr`ınh co ban theo tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
✱✱
✱ ✱
7.2.4. Phuong tr`ınh co ban theo cot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
✱✱
✱✱
✱✱
7.3. Phuong tr`ınh luo. ng gi´ac thuo` ng ga˘. p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
✱✱
✱✱
✱
7.3.1. Phuong tr`ınh luo. ng gi´ac du
¯ a vê` dang
. d¯ai
. sô´ . . . . . . . . . . . 54
✱✱
✱
7.3.2. Phuong tr`ınh bâc
¯ ´i vo´ i sin v`a cos . . . . . . . . . . . . . 55
. nhâ´t dô


Muc

. luc
.
✱✱

✱

✱

✱

7

7.3.3. Phuong tr`ınh chu´ a tông (hay hiêu)
. v`a t´ıch cua sin v`a cos 55
✱
✱✱
✱
7.3.4. Phuong tr`ınh d¯a˘ ng câ´p dô
¯ ´i vo´ i sin va cos . . . . . . . . . . . . . 56
✱ ✱
✱✱
Chuong 8. Tô ho. p v`a x´ac suâ´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.1. Quy ta˘´ c dê
¯ ´m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.1.1. Quy ta˘´ c công
. ......................................
8.1.2. Quy ta˘´ c nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

8.2. Ho´an v.i, chınh ho. p, tô ho. p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1. Ho´an v.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58
58

8.2.2. Chınh ho. p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱ ✱
8.2.3. Tô ho. p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
8.3. Nh.i thu´ c Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
✱
8.3.1. Công thu´ c nh.i thu´ c Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2. C´ac t´ınh châ´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱ ✱
8.4. L´y thuyê´t co ban vê` x´ac suâ´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

✱

✱

✱

✱

✱

✱

✱✱

8.4.1. Ph´ep thu v`a biê´n cô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
8.4.2. X´ac suâ´t cua biê´n cô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱✱
Chuong 9. D˜ay sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱✱
9.1. Phuong ph´ap quy nap
. to´an hoc
. .........................
9.2. D˜ay sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱ ✱
9.2.1. Co ban vê` d˜ay sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2. C´ach cho môt
. d˜ay sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱

9.2.3. D˜ay sô´ t˘ang, d˜ay sô´ giam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4. D˜ay sô´ b.i cha˘. n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Câ´p sô´ công
. .........................................
✱ ✱
9.3.1. Co ban vê` câ´p sô´ công
. .............................
✱

9.3.2. Sô´ hang

. tông qu´at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.3. T´ınh châ´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
9.3.4. Tông n sô´ hang
¯ `u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. dâ

57

59
59
59
59
60
60
60
62
62
64
64
64
65
65
65
65
66
66
66

8

✱

✱

Sô tay d¯ai
. sô´ va` giai t´ıch 10-11-12
9.4. Câ´p sô´ nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
✱ ✱
9.4.1. Co ban vê` câ´p sô´ nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
✱

9.4.2. Sô´ hang
. tông qu´at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.3. T´ınh châ´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
9.4.4. Tông n sô´ hang
¯ `u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. dâ
✱✱
✱
Chuong 10. Gio´ i han
. ......................................
✱
✱
10.1. Gio´ i han
. cua d˜ay sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
✱

10.1.1. Gio´ i han
. h˜uu han
. ..................................
✱
✱
´
10.1.2. Gioi han
. vô cu. c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
10.1.3. C´ac gio´ i han
. d¯a˘. c biêt
. ..............................
✱
✱
`
10.1.4. Ð.inh l´y vê gio´ i han
. h˜uu han
. ........................
✱
✱
✱
✱
10.1.5. Liên hê. gi˜ua gio´ i han
. h˜uu han
. v`a vô cu. c . . . . . . . . . . . . .
` vô han
10.1.6. Câ´p sô´ nhân lui
. ............................
✱
✱

10.2. Gio´ i han
. cua h`am sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
✱
10.2.1. Gio´ i han
. h˜uu han
. .................................
✱
✱
10.2.2. Gio´ i han
. vô cu. c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
10.2.3. C´ac gio´ i han
. d¯a˘. c biêt
. ..............................
✱
✱
10.2.4. C´ac d¯.inh l´y vê` gio´ i han
. h˜uu han
. .....................
✱
✱
10.2.5. C´ac quy ta˘´ c vê` gio´ i han
. vô cu. c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3. H`am sô´ liên tuc
. ......................................
10.3.1. H`am sô´ liên tuc
. ...................................
10.3.2. C´ac d¯.inh l´y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱✱

Chuong 11. Ðao
. h`am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1. C´ac l´y thuyê´t vê` d¯ao
. h`am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1. Ð.inh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.2. Quy ta˘´ c t´ınh d¯ao
. h`am ba˘` ng d¯.inh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . .
✱

✱

11.1.3. Quan hê. gi˜ua t´ınh liên tuc
. v`a su. co´ d¯ao
. h`am . . . . . . . . . .
✱
11.1.4. Y´ ngh˜ıa h`ınh hoc
. cua d¯ao
. h`am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
11.1.5. Y´ ngh˜ıa vât
. l´y cua d¯ao
. h`am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67
67
67
68
68
68
69

69
69
69
69
70
70
70
71
71
72
72
72
73
74
74
74
74
75
75
75


9

Muc
. luc
.
11.2. C´ac qui ta˘´ c t´ınh d¯ao
. h`am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱

11.2.1. C´ac công thu´ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75
75

11.2.2. Bang c´ac d¯ao
. h`am co ban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3. Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
✱✱
Chuong 12. Khao s´at h`am sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76
77

✱

✱

✱

✱

12.1. T´ınh dô
¯ `ng biê´n - ngh.ich biê´n cua h`am sô´ . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
✱
12.2. Cu. c tr.i cua h`am sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱

✱

✱

12.3. Gi´a tr.i lo´ n nhâ´t, nho nhâ´t cua h`am sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
✱
12.3.1. C´ach t`ım gi´a tr.i lo´ n nhâ´t, gi´a tr.i nho nhâ´t trên môt
¯ an
. do
.
✱
✱
✱
´
´
´
12.3.2. C´ach t`ım gi´a tr.i lon nhât, nho nhât trên môt
. khoang . . .
✱✱
`
12.4. Ðuong tiêm
. cân
. ......................................
✱
✱✱
12.4.1. Ðuo` ng tiêm
. cân
. d¯u´ ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱✱

12.4.2. Ðuo` ng tiêm
. cân
. ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
✱✱
12.5. C´ac buo´ c khao s´at h`am sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
✱ `
12.5.1. So dô
¯ khao s´at h`am sô´ y ✏ f ♣xq . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱✱

✱

78
78
78
79
79
79
80
80
80
80
80

12.5.2. Tuong giao cua hai dô
¯ ` th.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
✱
Chuong 13. L˜uy thu` a v`a logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

✱
13.1. L˜uy thu` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
✱
✱
13.1.1. L˜uy thu` a vo´ i sô´ m˜u nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
13.1.2. C˘an bâc
. n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
✱
✱ ✱
✱
13.1.3. L˜uy thu` a vo´ i sô´ m˜u h˜uu tı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
✱
✱
✱
13.1.4. L˜uy thu` a vo´ i sô´ m˜u vô tı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
✱
13.1.5. C´ac t´ınh châ´t l˜uy thu` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
✱
13.2. H`am sô´ l˜uy thu` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
✱
✱ ✱
13.2.1. Co ban vê` h`am sô´ l˜uy thu` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
13.2.2. Tâp
. x´ac d¯.inh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
13.2.3. Ðao
. h`am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
13.2.4. T´ınh châ´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
13.2.5. Ðô` th.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
✱✱

10

✱

✱

Sô tay d¯ai
. sô´ va` giai t´ıch 10-11-12
13.3. Logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
✱ ✱
13.3.1. Co ban vê` logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
13.3.2. C´ac t´ınh châ´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
13.3.3. C´ac quy ta˘´ c t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
✱
13.3.4. Logarit thâp
. phân v`a logarit tu. nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 87
13.4. H`am sô´ m˜u v`a h`am sô´ logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
13.4.1. H`am sô´ m˜u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
13.4.2. H`am sô´ logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
✱✱
✱✱
13.5. Phuong tr`ınh m˜u v`a phuong tr`ınh logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
✱✱
13.5.1. Phuong tr`ınh m˜u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
✱✱
13.5.2. Phuong tr`ınh logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
✱✱
13.6. Bâ´t phuong tr`ınh m˜u v`a logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
✱✱

13.6.1. Bâ´t phuong tr`ınh m˜u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
✱✱
13.6.2. Bâ´t phuong tr`ınh logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
✱✱
Chuong 14. Nguyên h`am v`a t´ıch phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
14.1. Nguyên h`am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
14.1.1. Nguyên h`am v`a c´ac t´ınh châ´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
✱✱
14.1.2. Phuong ph´ap t´ınh nguyên h`am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
✱
✱ ✱
14.1.3. Bang c´ac nguyên h`am co ban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
14.2. T´ıch phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
14.2.1. T´ıch phân v`a c´ac t´ınh châ´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
✱✱
14.2.2. Phuong ph´ap t´ınh t´ıch phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
✱
✱
14.2.3. U´ ng dung
. cua t´ıch phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
✱✱
✱
Chuong 15. Sô´ phu´ c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
✱
✱ ✱
15.1. Co ban vê` sô´ phu´ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
✱
✱
15.2. C´ac ph´ep to´an vo´ i sô´ phu´ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
✱✱

✱
✱
15.3. Phuong tr`ınh bâc
vo´ i hê. sô´ thu. c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
. hai
✱
✱✱
✱
✱
15.4. Dang
gi´ac cua sô´ phu´ c v`a u´ ng dung
. luo. ng
. . . . . . . . . . . . . . . 99
✱
T`ai liêu
. tham khao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


✱✱

Chuong

1

✱
`
`
MÊNH
ÐÊ VA TÂP
. HO. P

.

1.1. Mênh
¯ `. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. dê
✱
1.2. Tâp
. ho. p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
11

´ - Sai sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Sô´ gâ`n d¯ung

14

✱
1.2.1. C´ac tâp
. ho.✱p sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
✱✱
✱
`
1.2.2. Phân tu cua tâp
. ho.✱p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
✱
1.2.3. C´ac tâp
. ho. p con ✱cua R .✱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4. C´ac ph´ep to´an vo´ i tâp
. ho. p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1. Mênh
¯`
. dê

✱

˜ mênh
´ hoa˘. c sai.
1. Môi
¯ ` phai hoa˘. c d¯ung
. dê
✱
✱
✱
✱
˜
2. Vo´ i môi gi´a tr.i cua biê´n thuôc
môt
tâp
ho. p n`ao d¯o,
dê
´ mênh
¯ ` chu´ a biê´n
.
.
.
.
✱✱
tro th`anh mênh

¯ `.
.✱ dê
✱
´ khi P sai v`a
3. Mênh
¯ ` phu d¯.inh cua mênh
¯ ` P k´y hiêu
. dê
. l`a P , P d¯ung
. ✱ ✱ dê
nguo. c lai.
.
✱
´ v`a Q sai.
4. Mênh
¯ ` k´eo theo P ùñ Q chı sai khi P d¯ung
. dê
✱
✱
✱
✱✱
✱
✱
5. K´y hiêu
. ❅ (ch˜u A d¯ao nguo. c) d¯oc
. l`a “vo´ i moi”
. hay “tâ´t ca” xuâ´t ph´at tu`
tiê´ng anh l`a “All”. ✱
✱
✱✱

✱
6. K´y hiêu
. ❉ (ch˜u E d¯ao nguo. c) d¯oc
. l`a “tô`n tai”
. hay “co´ môt”
. xuâ´t ph´at tu`
tiê´ng anh l`a “Exists”.

✱

1.2. Tâp
. ho. p

✱
1.2.1. C´ac tâp
. ho. p sô´

✱

✱
✱
✱
1. Tâp
. ✱ ho. p c´ac sô´ thu. c k´y hiêu
. l`a R, viê´t ta˘´ t cua tu` “Real” co´ ngh˜ıa l`a
“thu. c”.


12
2.

3.
4.
5.

✱✱
✱
Chuong 1. Mênh
¯ ` va` tâp
. dê
. ho. p
✱
✱
✱ ✱
✱
Tâp
. ho. p c´ac sô´ h˜uu tı k´y hi✱êu
. l`a Q, viê´t ta˘´ t cua tu` “Quotient” trong
✱
✱
tiê´ng Ðu´ c co´ ngh˜ıa l`a “h˜uu tı” .
✱
✱
✱
Tâp
. ho. p c´ac sô´ nguyên k´y hiêu
. l`a Z, viê´t ta˘´ t cua tu` “Zahlen” trong
✱
tiê´ng Ðu´ c co´ ngh˜ıa l`a “sô´ nguyên”.
✱
✱

✱
✱
Tâp
. ✱ho. p c´ac sô´ tu. nhiên k´y hiêu
. l`a N, viê´t ta˘´ t cua tu` “Natural” co´ ngh˜ıa
l`a “tu. nhiên”.
✱
K´y hiêu
. “⑨” d¯oc
. l`a “chu´ a trong” hay “tâp
. con”. Khi d¯o´ N ⑨ Z ⑨ Q ⑨
R.

✱

✱

✱
✱
1.2.2. Phâ`n tu cua tâp
. ho. p
✱✱ ✱

✱✱ ✱

1. a l`a môt
. ho. p A viê´t l`a a € A, b không l`a phâ`n tu cua
. phâ`n tu cua tâp
✱
tâp

. ho. p A viê´t ✱l`a b ❘ A.
✱✱
✱
✱
✱
2. Tâp
. ho.✱p co´ thê co´ h˜uu han
. hoa˘. c vô han
. phâ`n tu. Tâp
. ho. p không co´
✱
✱ ˜
phâ`n tu n`ao l`a tâp
k´y hiêu
. ho. p rông,
. l`a ∅.
✱

✱

✱

1.2.3. C´ac tâp
. ho. p con cua R
✱

1. C´ac khoang:
(a) ♣a; bq ✏ tx € R ⑤ a ➔ x ➔ b✉
(b) ♣a;  ✽q ✏ tx € R ⑤ a ➔ x ➔  ✽✉
(c) ♣✁✽; bq ✏ tx € R ⑤ ✁ ✽ ➔ x ➔ b✉

2. Ðoan:
. ✱ra; bs ✱✏ tx € R ⑤ a ↕ x ↕ b✉
✱
3. C´ac nua khoang:
(a) ra; bq ✏ tx € R ⑤ a ↕ x ➔ b✉
(b) ♣a; bs ✏ tx € R ⑤ a ➔ x ↕ b✉
(c) ra;  ✽q ✏ tx € R ⑤ a ↕ x ➔  ✽✉
(d) ♣✁✽; bs ✏ tx € R ⑤ ✁ ✽ ➔ x ↕ b✉
✱

✱

1.2.4. C´ac ph´ep to´an vo´ i tâp
. ho. p
✱

✱

✱ ✱
✱
✱
1. Giao cua hai tâp
ho. p A v`a➇B l`a tâp
ho. p gô`m c´ac phâ`n tu vu` a thuôc
.
.
.
✱
✱
A vu` a thuôc

B,
k´
y
hi
êu
A
B.
Nhu
v
ây
.
.
.

A

➇

B

✏ tx ⑤ x € A ✈ ❛ x € B ✉


✱

13

1.2. Tâp
. ho. p

➇

V´ı du. 1.2.1. A ✏ t0, 1, 2✉ v`a B ✏ t1, 2, 3✉, khi d¯o´ ➇
A B ✏ t1, 2✉.
V´ı du. 1.2.2. A ✏ ♣✁1; 1q v`a B ✏ r0; 2q, khi d¯o´ A B ✏ r0; 1q.
✱
✱✱
✱
✱
✱
2. Ho. p cua hai tâp
. ho. p A v`a B➈l`a tâp
. ho✱. p gô`m c´ac phâ`n tu hoa˘. c thuôc
.
A hoa˘. c thuôc
B,
k´
y
hi
êu
A
B.
Nhu
v
ây
.
.
.
A

➈

B

✏ tx ⑤ x € A ❤♦➔❝
✳ x € B✉

➈

V´ı du. 1.2.3. A ✏ t0, 1, 2✉ v`a B ✏ t1, 2, 3✉, khi d¯o´ A B ✏
t0, 1, 2, 3✉.
➈
V´ı du. 1.2.4. A ✏ ♣✁1; 1q v`a B ✏ r0; 2q, khi d¯o´ A B ✏ ♣✁1; 2q.
✱
✱✱
✱
✱
3. Hiêu
. cua hai tâp
. ho. p A v`a B l`a tâp
. ✱ ho. p gô`m c´ac phâ`n tu thuôc
. A v`a
không thuôc
B,
k´
y
hi
êu
A
③

B.
Nhu
v
ây
.
.
.
A③B

✏ tx ⑤ x € A ✈ ❛ x ❘ B ✉


✱✱
✱
Chuong 1. Mênh
¯ ` va` tâp
. dê
. ho. p

14

V´ı du. 1.2.5. A ✏ t0, 1, 2✉ v`a B ✏ t1, 2, 3✉, khi d¯o´ A③B ✏ t0✉.
V´ı du. 1.2.6. A ✏ ♣✁1; 1q v`a B ✏ r0; 2q, khi d¯o´ A③B ✏ ♣✁1; 0q.
✱
4. Khi A ⑨ B th`ı➇A③B➈
goi
l`a phâ`n bu` cua B trong A.
.
✱
5. Quan h➈

ê. gi˜ua➇ v`a
➈
➇ ➈
(a) A ➇♣B ➈ C q ✏ ♣A ➇ B q ➈♣A ➇ C q.
(b) A ♣B C q ✏ ♣A B➈q ♣A C
q.
➇
➇
✱
✱✱
1
´
A
B
✏
A
B,
v`
a
ngu
o
c
l
ai
A
B
6. Công
th
u
c

De
Morgan
.
.
➈
A B

✏

´ - Sai sô´
1.3. Sô´ gâ`n d¯ung
✱

´ cua sô´ ch´ınh x´a✱c a, khi d¯o´
Cho a l`a sô´ gâ`n d¯ung
´ a.
1. ∆a ✏ ⑤a ✁ a⑤ goi
¯ ´i cua sô´ gâ`n d¯ung
. l`a sai sô´ tuyêt
. dô
✱
✱
✱
´
´
´ a v`a quy
2. Nêu ∆a ↕ d th`ı d du
¯ o. c goi
. l`a d¯ô. ch´ınh x´ac cua sô gâ`n d¯ung
✱✱

´
uo´ c viêt gon
. l`a a ✏ a ✟ d.
✱
✱✱
´
´ c˘an cu´ v`ao d¯ô. ch´ınh x´ac cho truo´ c:
3. C´ach viêt quy tron
` sô´ gâ`n d¯ung
✱
✱✱
✱
´ a vo´ i d¯ô. ch´ınh x´ac d (tu´ c l`a a ✏ a ✟ d), khi du
Cho sô´ gâ`n d¯ung
¯ o. c
yêu câ`u quy tron
n`ao th`ı ta
` sô´ a m`a không noi
´ r˜o✱ quy tron
` dê
¯ ´n h`ang
✱
✱
✱
quy tron
` a dê
´
¯ ´n h`ang cao nhâ´t m`a d nho hon môt
¯ n v.i cua h`ang d¯o.
. do

✱✱
Augustus De Morgan (1806-1871) l`a nh`a to´an hoc
. v`a lôgic hoc
. nguo` i Anh sinh
✱ ✱
✱✱✱
✱
✱ ✱
´
`n dê
truong tai
¯ ` co ban cho su. ph´at triên cua ng`anh m´ay
. ✱ Ân Ðô.
. Ð.inh ✱l´y De Morgan l`a tiê
✱
✱
✱
t´ınh v`ı chı câ`n co´ hai công di
¯ ên
. ✱to´an - công d¯ao dâ´u (NOT gate) v`a công v`a (AND gate)✱
✱
✱✱
cha˘ ng han
ı nguo` i ta co´ thê thiê´t lâp
. - th`
. nên bâ´t k`ı môt
. ph´ep to´an lô gic n`ao ba˘` ng tô
✱
✱

✱
ho. p cua hai công di
¯ ên
. to´an trên.
1


✱✱

Chuong

2

´ BÂC NHÂT
´
` SÔ
HAM
.
VA` BÂC
. HAI
✱

✱
2.1. Kh´ai niêm
. co ban vê` h`am sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´
2.1.1. Anh
xa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Kh´ai niêm

. h`am sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
2.1.3. Ðô` th.i cua h`am sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱

✱

✱
2.1.4. C´ac t´ınh châ´t co ban cua h`am sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. H`am sô´ bâc
. nhâ´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1. H`am sô´ bâc
. nhâ´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
2.2.2. H`am sô´ ha˘` ng y b vo´ i b R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. H`am sô´ y
x .................................................

✏⑤ ⑤

✏

€

2.3. H`am sô´ bâc
. hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱

✱
2.3.1. Co ban vê` h`am sô´ bâc
. hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Ðô` th.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱

2.3.3. Bang biê´n thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. C´ach v˜e dô
¯ ` th.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15
15
16
17
17

18
18
18
19

19
19
19
20
20

✱

✱

2.1. Kh´ai niêm
. co ban vê` h`am sô´

´
2.1.1. Anh
xa.
✱
✱
˜ Môt
´
1. Anh
xa.
¯ ´n
. ho. p kh´ac rông.
. a´ nh xa.✱ tu` X✱ dê
. Cho X v`a Y l`a c´ac tâp
✱
✱
✱
✱
˜ phâ`n tu x cua X
Y (k´y hiêu
ta˘´ c cho tuong u´ ng môi
. l`a✱f ) l`a môt
. quy
✱
✱✱
✱
vo´ i môt
. v`a chı môt

. phâ`n tu y cua Y .


✱✱
` sô´ bâc
Chuong 2. Ham
. nhâ´t va` bâc
. hai

16
f : X ÝÑ Y
x ÞÝÑ f ♣xq ✏ y
✱

Y

X
✱

• y ✏ f ♣xq goi
. l`a anh cua
✱✱
`
phân tu x qua a´ nh xa. f .
• X goi
. l`a tâp
. nguô`n.
• Y goi
¯ıch.
. l`a tâp

. d´

f
y

x

✱
˜
´
2. Anh
xa. t´ıch. Cho X, Y, Z l`a ba tâp
X´et hai a´ nh xa.
. ho. p kh´ac rông.

f : X ÝÑ Y
x ÞÝÑ f ♣xq ✏ y

g: Y
y

€Y

ÝÑ Z
ÞÝÑ g♣yq ✏ z € Z

´ xa. t´ıch tu` X dê
Khi d¯o,
´ a´ nh xa. biê´n x € X th`anh z € Z goi
¯ ´n

. l`a anh
✱
Z qua f v`a g, k´y hiêu
. l`a g ✆ f , nhu vây
.
✱

g ✆ f : X ÝÑ Z
x ÞÝÑ ♣g ✆ f q♣xq ✏ g rf ♣xqs ✏ g ♣y q ✏ z

g✆f

X

Y
y

f

x

€Z

Z
g

z

V´ı du. 2.1.1. f ♣xq ✏ x2   x; g ♣y q ✏ 3y th`ı ♣g ✆ f q♣xq ✏ g rf ♣xqs ✏
g ♣x2   xq ✏ 3♣x2   xq ✏ 3x2   3x.

2.1.2. Kh´ai niêm
. h`am sô´

✱
1. Môt
. h`am sô´ l`a môt
. a´ nh xa. tu` X
sau

f: X

✱
⑨ R dê
¯ ´n Y ⑨ R. X´et h`am sô´ f nhu

ÝÑ Y


✱

✱
´ niêm
` sô´
2.1. Khai
. co ban vê` ham
x ÞÝÑ f ♣xq ✏ y

17

€Y

trong d¯o´
✱
• x goi
¯ ´i sô´ cua h`am f .
. l`a biê´n sô´ hay dô
✱
✱
• y ✏ f ♣xq goi
. l`a gi´a tr.i c✱ua h`am sô´ f tai
. gi´a tr.i x cua biê´n sô´.
• X goi
. l`a tâp
. x´ac d¯.inh✱ cua h`am f .
• Y goi
. l`a tâp
. gi´✱a tr.i cua h`am f . ✱
✱
✱
✱✱
´
2. Môt
¯ `; công thu´ c hay dô
¯`
¯ o. c cho ba˘` ng: Bang; biêu dô
. h`am sô co´ thê du
th.i.
✱
✱

✱✱
3. Khi h`am sô´ du
¯ o. c cho ba˘` ng công thu´ c m`a không chı r˜o tâp
. x´ac d¯.inh✱
✱
✱✱
✱
´
D cua h`am sô y ✏ f ♣xq l`a tâp
ho. p tâ´t ca
th`ı ta quy uo´ c tâp
. x´ac d¯.inh
.
✱
✱
✱
c´ac ô´ thu. c x sao cho biêu thu´ c f ♣xq co´ ngh˜ıa.
✱
1
V´ı du. 2.1.2. Tâp
. x´ac d¯.inh cua h`am sô´ y ✏ f ♣xq ✏ x ✁ 1 l`a D ✏ R③t1✉.
✱

2.1.3. Ðô` th.i cua h`am sô´

✱

✱
✱
Trong hê. truc

¯ ` th.i cua h`am sô´ y ✏ f ♣xq l`a tâp
. Oxy, dô
. ho. p nh˜ung
✱
✱
diê
¯ m M ♣a; bq, trong d¯o´ a thuôc
. tâp
. x´ac d¯.inh cua h`am sô´ v`a b ✏ f ♣aq.

✱

✱

✱
2.1.4. C´ac t´ınh châ´t co ban cua h`am sô´
✱

1. T´ınh do
¯ n di
¯ êu
.
´
(a) H`am sô y
nê´u
(b)

✱

✏ f ♣xq goi. l`a dô

¯ `ng biê´n (hay t˘ang) trên khoang ♣a; bq

❅x1, x2 € ♣a; bq s❛♦ ❝❤♦ x1 ➔ x2 t❤ ✙ f ♣x1q ➔ f ♣x2q
✱
✱
H`am sô´ y ✏ f ♣xq goi
. l`a ngh.ich biê´n (hay giam) trên khoang
♣a; bq nê´u
❅x1, x2 € ♣a; bq s❛♦ ❝❤♦ x1 ➔ x2 t❤ ✙ f ♣x1q → f ♣x2q
✱

✱

2. T´ınh cha˘ n le
✱
✱
✱
(a) H`am sô´ y ✏ f ♣xq vo´ i tâp
. x´ac d¯.inh D (viê´t ta˘´ t cua tu` “domain”
ngh˜ıa l`a “x´ac d¯.inh”) goi
. l`a h`am sô´ cha˜˘n nê´u
❅x € D t❤ ✙ ✁ x € D ✈ ❛ f ♣✁xq ✏ f ♣xq


18

✱✱
` sô´ bâc
Chuong 2. Ham
. nhâ´t va` bâc

. hai
✱
Ðô` th.i h`am sô´ cha˜˘n nhân
¯ ´i xu´ ng.
. truc
. tung Oy l`am truc
. dô
✱
✱
(b) H`am sô´ y ✏ f ♣xq vo´ i tâp
. x´ac d¯.inh D goi
. l`a h`am sô´ le nê´u
✱

❅x € D t❤ ✙ ✁ x € D ✈ ❛ f ♣✁xq ✏ ✁f ♣xq
✱

✱
Ðô` th.i cua h`am sô´ le nhân
¯ ´i xu´ ng.
. gô´c toa
. d¯ô. O l`am tâm dô
✱

✱
➓ Chu´ y´ : Co´ nh˜ung h`am sô´ không cha˜˘n m`a c˜ung không le, v´ı du. h`am
y ✏ x   1.

2.2. H`am sô´ bâc
. nhâ´t

2.2.1. H`am sô´ bâc
. nhâ´t

1. H`am sô´ bâc
. nhâ´t co´ dang
. y
2. Tâp
. x´ac d¯.inh D ✏ R.
✱
3. Bang biê´n thiên
x

✁✽

a→0

✏ ax   b vo´✱i a ✘ 0.

 ✽
 ✽

y

x

✁✽
 ✽

a➔0

 ✽

y

✁✽

✁✽
✱

✱✱
✱
` vo´ i c´ac
4. Ðô` th.i l`a môt
¯ o` ng tha˘ ng không song song v`a không trung
. du
truc
.✱ toa
. d¯ô.
.
✱
✱
✱
✱✱
5. Ðê v˜e du
¯ o` ng tha˘ ng y ✏ ax   b chı câ`n x´ac d¯.inh hai diê
¯ m kh´ac nhau
✱
✱✱
thuôc

´
¯ o` ng tha˘ ng d¯o.
. du

✱
2.2.2. H`am sô´ ha˘` ng y ✏ b vo´ i b P R

1. Tâp
. x´ac d¯.inh D ✏ R.
2. H`am sô´ ha˘` ng l`a h`am sô´✱cha˜˘n.
✱✱
✱
` vo´ i truc
3. Ðô` th.i l`a môt
¯ o` ng tha˘ ng song song hoa˘. c trung
. du
. ho`anh v`a
✱
ca˘´ t truc
¯ m co´ toa
. tung tai
. diê
. d¯ô. ♣0; bq.


19

` sô´ bâc
2.3. Ham
. hai

2.2.3. H`am sô´ y ✏ ⑤x⑤

1. Tâp
. x´ac d¯.inh D ✏ R.
2. H`am sô´ y ✏ ⑤x⑤ l`a h`am sô´ cha˜˘n.
✱
✱
3. H`am sô´ dô
¯ `ng biê´n trên khoang ♣0;  ✽q v`a ngh.ich biê´n trên khoang
♣✁✽; 0q.

2.3. H`am sô´ bâc
. hai
✱

✱
2.3.1. Co ban vê` h`am sô´ bâc
. hai

H`am sô´ bâc
. hai y

✏ ax2   bx   c vo´✱i a ✘ 0 co´ tâp
. x´ac d¯.inh D ✏ R.

2.3.2. Ðô` th.i
✱

co´

Ðô` th.i cua h`am sô´ bâc
. hai y
✱

✱

✂

1. Ðınh l`a diê
¯ mI

✱✱
✏ ax2   bx   c l`a môt. du
¯ o` ng parabol

✁b ; ✁∆ ✡.
2a

4a

✱
✁b .
2. Truc
¯ ´i xu´ ng l`a du
¯ o` ng tha˘ ng x ✏
. dô
2a
3. Parabol n`ay quay bê` l˜om lên trên nê´u a
✱✱

xuô´ng duo´ i nê´u a ➔ 0 (h`ınh 2.2).
✱

✱✱

→ 0 (h`ınh 2.1), quay bê` l˜om

y

✁b
O

2a

✁∆
x

y

4a
O

✁∆

✁b

x

2a

4a
H`ınh 2.1: Parabol y
✱
bx   c vo´ i a → 0.

✏ ax2  

H`ınh 2.2: Parabol y
✱
bx   c vo´ i a ➔ 0.

✏ ax2  


20

✱✱
` sô´ bâc
Chuong 2. Ham
. nhâ´t va` bâc
. hai

✱

2.3.3. Bang biê´n thiên

✁✽

x

a➔0

✁b

 ✽

2a
✁∆
4a

y

✁✽

x

y

✁✽

✁✽
 ✽

a→0

✁b
2a

✁∆

 ✽
 ✽

4a

2.3.4. C´ach v˜e dô
¯ ` th.i
✱

✱✱
✏ ax2   bx   c, a ✘ 0 ta thu.✱c hiên
. c´ac buo´ c
sau
✂
✡
✱
✱
✁
b ✁∆
1. X´ac dinh toa dô dınh l`a diêm I
;
.
✱✱

Ðê v˜e du
¯ o` ng parabol y
¯.

2.

. ¯. ¯

¯

2a

4a

✁b .
✱
✱✱
V˜e truc dô´i xu´ ng l`a duo` ng tha˘ ng x ✏
. ¯

¯

✱

2a
✱
✱
3. X´ac d¯.inh giao diê
´ X´ac d¯.inh
¯ m cua parabol vo´ i c´ac truc
. toa
. d¯ô. (nê´u co).
✱
✱
´
`

`
thêm môt
¯ m thuôc
¯ th.i. Lâp
. sô diê
. dô
. bang gi´a tr.i rôi v˜e parabol.
✱


✱✱

Chuong

3

✱ ✱

PHUONG TR`INH
✱ ✱
`
VA HÊ. PHUONG TR`INH

✱✱
✱✱
3.1. Ðai
. cuong vê` phuong tr`ınh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱

✱

3.1.1. C´ac kh´ai niêm
. co ban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .✱. . . . . . . . . . . . . . . . .
✱✱
✱✱
✱✱
✱✱
3.1.2. Phuong tr`ınh tuong du
¯ ong v`a phuong tr`ınh hê. qua . . . . . . . . . . . . . . . .
✱ ✱✱
✱✱
✱✱
´
3.1.3. Biên dô
¯ i tuong du
¯ ong c´ac phuong tr`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✱✱
3.2. Phuong tr`ınh qui vê` bâc
. nhâ´t, bâc
. hai . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱

✱✱
3.2.1. Giai v`a biên
. luân
. phuong tr`ınh bâc
. nhâ´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱
✱✱

3.2.2. Giai v`a biên
...........................
. ✱luân
. phuong tr`ınh bâc
. hai
✱
✱✱
3.2.3. Ð.inh l´y vê` tông v`a t´ıch hai nghiêm
cua phuong tr`ınh bâc
.
. hai . . . . . .
✱✱
✱
` phuo✱ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4. Phuong tr`ınh trung
✱✱
✱
3.2.5. Phuong tr`ınh chu´ a dâ´u gi´a tr.i tuyêt
¯ ´i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. dô
✱✱
✱
✱
´
´
´
3.2.6. Phuong tr`ınh chua dâu c˘an thuc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✱

✱✱
✱✱
3.3. Phuong tr`ınh, hê. phuong tr`ınh bâc
. nhâ´t nhiê`u ân . . . . . .
✱

✱✱
3.3.1. Phuong tr`ınh bâc
. nhâ´t hai ân . . . . ✱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱✱
3.3.2. Hê. hai phuong tr`ınh bâc
. nhâ´t 2 ân . . . . . . . . . . . . . . . . ✱. . . . . . . . . . . . . .
✱
✱✱
3.3.3. Dang
. tam gi´ac cua hê. 3 phuong ✱tr`ınh bâc
. nhâ´t ba ân . . . . . . . . . . . .
✱✱
3.3.4. Hê. ba phuong tr`ınh bâc
. nhâ´t 3 ân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✱✱
3.3.5. Môt
. sô´ hê. phuong tr`ınh kh´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21
21
22
22

23

23
23
24
24
24
25

27
27
27
27
28
28

✱✱
✱✱
3.1. Ðai
. cuong vê` phuong tr`ınh
✱

✱

3.1.1. C´ac kh´ai niêm
. co ban
✱

✱✱
✱
1. Phuong tr`ınh ân x l`a môt

¯ ` chu´ a biê´n co´ dang
. mênh
. ✱dê
. f ♣xq ✏ g ♣xq,
✱
✱
trong d¯o´ f ♣xq v`a g ♣xq l`a c´ac biêu thu´ c cua x.
✱
✱
✱✱
2. Ðiê`u kiên
ac d¯.inh cua phuong tr`ınh l`a c´ac diê
cua biê´n x sao
¯ `u kiên
. x´
.
✱
✱
✱✱
cho c´ac biê
u thu´ c trong phuong tr`ınh dê
¯ ✱`u co´ ngh˜ıa.
✱
✱
✱✱
3. Nghiêm
. cua phuong tr`ınh l`a gi´a tr.i x0 cua biê´n sô´ (hay ân sô´) sao cho


22

✱

✱

✱

✱
✱
✱
Chuong 3. Phuong tr`ınh va` hê. phuong tr`ınh

✱

✱
´
d¯a˘ ng thu´ c f ♣x0 q ✏ g ♣x0 q d¯ung.
✱
✱
✱
✱✱
4. Giai môt
phuong tr`ınh l`a t`ım tâ´t ca c´ac nghiêm
cua no.
´
.
.
✱
✱
✱✱

✱
5. Giai v`a biên
. luân
. phuong tr`ınh ✱l`a x´et xem vo´ i gi´a tr.i n`ao cua tham sô´
✱✱
✱✱
(sô´ không du
¯ o. c x´ac d¯.inh cu. thê) th`ı phuong tr`ınh co´ nghiêm
. v`a co´ bao
nhiêu nghiêm.
.
✱✱
V´ı du. 3.1.1. X´et phuong tr`ınh 3x2 ✁ ♣m ✁ 1qx   4 ✏ mx ✁ 2 th`ı
✱
• x l`a ân sô´.
• m l`a tham sô´.

✱✱

✱✱

✱✱

✱

✱✱

3.1.2. Phuong tr`ınh tuong du
¯ ong v`a phuong tr`ınh hê. qua
1. Hai phuong tr`ınh f ♣xq ✏ g ♣xq v`a f1 ♣xq ✏ g1 ♣xq goi

¯ ong
. l`a tuong du
✱
˜
´ co´ tâp
nê´u chung
k´y hiêu
. nghiêm
. ba˘` ng nhau (co´ thê rông),
.
✱✱

✱✱

✱✱

f ♣xq ✏ g ♣xq ðñ f1 ♣xq ✏ g1 ♣xq

.
✱
✱
✱✱
˜ nghiêm
2. Nê´u môi
cua phuong tr`ınh f ♣xq ✏ g ♣xq c˜ung l`a nghiêm
cua
.
.
✱✱
✱✱

phuong tr`ınh h♣xq ✏ k ♣xq th`ı ta noi
´ phuong tr`ınh h♣xq ✏ k ♣xq l`a
✱ ✱
✱✱
✱✱
phuong tr`ınh hê. qua cua phuong tr`ınh f ♣xq ✏ g ♣xq, k´y hiêu
.
f ♣xq ✏ g ♣xq ùñ h♣xq ✏ k ♣xq

✱

✱✱
✱
` y´ ta co´ f ♣xq ✏ g ♣xq ùñ
cha˘ ng han,
. vo´ i sô´ nguyên duong n tuy
✱
✱
✱
✱
rf ♣xqsn ✏✱ rg♣xqsn. Phu✱ong tr`ınh hê. qua co´ thê co´ nghiêm
. ngoai
. lai,
✱✱
`
´
không phai l`a nghiêm
¯ u. Muôn loai
. cua phuong tr`ınh ban dâ
. nghiêm

.
✱
✱✱
✱✱
ngoai
¯ `u.
. lai ta phai thu lai
. v`ao phu✱ong tr`ınh ban dâ
✱
✱✱
✱✱
3. Ngo`ai c´ac phuong tr`ınh môt
ân con
` co´ c´ac phuong tr`ınh nhiê`u ân.
.
✱
✱
✱✱
✱
Nghiêm
cua môt
phuong tr`ınh 2 ân x, y l`a môt
.
.
. ca˘. p sô´ thu. c x0 , y✱0
✱
✱
✱✱
✱✱
thoa m˜an phuong tr`ınh d¯o,

´ con
` nghiêm
. ✱ cua môt
. phuong tr`ınh 3 ân
✱✱
✱
x, y, z l`a môt
´ ...
. bô. 3 sô´ thu. c x0 , y0 , z0 thoa m˜an phuong tr`ınh d¯o,

✱

✱✱
✱✱
✱✱
3.1.3. Biê´n dô
¯ i tuong du
¯ ong c´ac phuong tr`ınh
✱

✱
✱✱
Nê´u thu. c hiên
¯ i sau dây
¯ trên môt
. ✱c´ac ph´ep biê´n dô
. phuong tr`ınh m`a
✱
✱✱
✱✱

không l`am thay dô
¯ i diê
¯ `u kiên
¯ o. c môt
. x´ac d¯.inh cua no´ th`ı ta du
. phuong


✱✱
3.2. Phuong tr`ınh qui vê` bâc
. nhâ´t, bâc
. hai
✱

✱✱

23

✱✱

tr`ınh mo´ i tuong du
¯ ong:
✱
✱
✱
✱
` môt
` môt
1. Công
. hay tru` hai vê´ vo´ i cung

. sô´ hay cung
. biêu thu´ c
f ♣xq ✏ g ♣xq ðñ f ♣xq   A ✏ g ♣xq   A

✱

✱
✱
` môt
` môt
2. Nhân hoa˘. c chia hai vê´ vo´ i cung
sô´ kh´ac 0 hoa˘. c vo´ i cung
.
. biêu
✱
thu´ c luôn co´ gi´a tr.i kh´ac 0.

f ♣xq ✏ g ♣xq ðñ f ♣xq.A ✏ g ♣xq.A ♣✈✁♦✱✐ A ✘ 0q

✱✱
3.2. Phuong tr`ınh qui vê` bâc
. nhâ´t, bâc
. hai
✱

✱✱
3.2.1. Giai v`a biên
. nhâ´t
. luân
. phuong tr`ınh bâc

ax   b ✏ 0

(3.1)

✘ 0 th`ı phu✱o✱ng tr`ınh (3.1) goi. l`a phu✱o✱ng tr`ınh bâc. nhâ´t v`a no´
b
co´ nghiêm
. duy nhâ´t x ✏ ✁ a .
✱✱
✱
Nê´u a ✏ 0 ta x´et 2 truo` ng ho. p
✱✱
✱
(a) Vo´ i b ✘ 0 th`ı phuong tr`ınh (3.1) vô nghiêm.
.
✱✱
✱
✱
´ vo´ i moi
(b) Vo´ i b ✏ 0 th`ı phuong tr`ınh (3.1) nghiêm
. d¯ung
. x € R.

1. Nê´u a
2.

✱

✱✱

3.2.2. Giai v`a biên
. luân
. phuong tr`ınh bâc
. hai
ax2   bx   c ✏ 0, ♣a ✘ 0q

(3.2)
✱
Biêt
. thu´ c
∆ ✏ b2 ✁ 4ac

Kê´t luân
.

✏ ✁b ✟

∆→0

Phuong tr`ınh (3.2) co´ 2 nghiêm
. x1,2

∆✏0

Phuong tr`ınh (3.2) co´ nghiêm
. k´ep x ✏ ✁

∆➔0

Phuong tr`ınh (3.2) vô nghiêm
.

✱✱
✱✱
✱✱

❄

2a

b
2a

∆


✱

24

✱

✱

✱

✱
✱
✱

Chuong 3. Phuong tr`ınh va` hê. phuong tr`ınh

✱

✱✱
3.2.3. Ð.inh l´y vê` tông v`a t´ıch hai nghiêm
. cua phuong
tr`ınh bâc
. hai
✱

✱

1
Goi
. ta˘´ t l`a d¯.inh l´y Vi´et , ph´at biêu nhu sau:
✱
✱
Nê´u phuong tr`ınh (3.2) co´ 2 nghiêm
. x1 , x2 th`ı

✩
✫x

  x2 ✏ ✁ ab
✪x .x ✏ c
1 2
a
1

✱

✱✱
Nguo. c lai,
. nê´u 2 ✱sô´ u v`a v co´ tông u   v ✏ S v`a t´ıch uv
✱✱
2
v`a v l`a c´ac nghiêm
. cua phuong tr`ınh x ✁ Sx   P ✏ 0.

✱✱

✏ P th`ı u

✱✱

` phuong
3.2.4. Phuong tr`ınh trung
✱

4
2
Co´ dang
. ax   bx   c ✏ 0, a ✘ 0, giai ba˘` ng c´ach d¯a˘. t t ✏ x , ♣t ➙ 0q
✱ ✱
✱
✱
dê
¯ du
¯ a vê` phuong tr`ınh bâc

. hai.

✱✱
✱
3.2.5. Phuong tr`ınh chu´ a dâ´u gi´a tr.i tuyêt
¯ ´i
. dô
✱✱
1. Khu dâ´u gi´a tr.i tuyêt
¯ ´i ba˘` ng d¯.inh ngh˜ıa
. dô

✧

2.
3.
4.

♥ê✁✉ A ➙ 0
⑤A⑤ ✏ ✁AA ♥ê
✁✉ A ➔ 0
⑤f ♣xq⑤ ✏ ⑤g♣xq⑤ ðñ ✧f ♣xq ✏ g♣xq ❤♦➔❝
✳ f ♣xq✧✏ ✁g ♣xq
❛❝❤ ✶
f ♣xq ➙ 0
f ♣xq ➔ 0
⑤f ♣xq⑤ ✏ g♣xq ❈✁ðñ
❤♦➔❝
✳
f

♣
x
q
✏
g
♣
x
q
✁f ♣xq ✏ g♣xq
✧
✧
❛❝❤ ✷
g ♣xq ➙ 0
g ♣xq ➙ 0
⑤f ♣xq⑤ ✏ g♣xq ❈✁ðñ
❤♦➔❝
✳
f ♣xq ✏ g ♣xq
f ♣xq ✏ ✁g ♣xq

✱
✱✱
François Vi`ete (1540 - 1603), l`a môt
ât
. nh`a to´an hoc,
. lu
. su, ch´ınh tr.i gia nguo✱` i Ph´ap,
✱
✱
✱

vê` to´an hoc
¯ ` ra c´ach giai thô´ng
. ông hoat
. d¯ông
. trong l˜ınh lu. c d¯ai
. sô´. Ông nôi tiê´ng vo´ i dê
✱
✱
✱
✱
✱
`
` c´ac ch˜u c´ai
nhâ´t c´ac phuong tr`ınh bâc
2,
3
v`
a
4.
Ông
l`
a
ngu
o
i
s´
a
ng
t
ao

nên
c´
a
ch dung
. ✱
.
✱
✱
✱
✱✱
dê
c˜ung kh´am ph´a ra mô´i quan hê.
¯ thê hiên
. cho c´a✱c ân sô´ cua môt
. phuong tr`ınh. Ông
✱
✱
✱
✱
✱✱
✱
´
˜
´
´
giua c´ac nghiêm
´ ng`ay nay du
¯ thuc voi c´ac hê. sô cua da
¯ thu´ c d¯o,
¯ o. c goi

. cua môt
. da
. l`a
d¯.inh l´y Vi`ete.
1


✱✱
3.2. Phuong tr`ınh qui vê` bâc
. nhâ´t, bâc
. hai

✱✱

✱

25

✱

3.2.6. Phuong tr`ınh chu´ a dâ´u c˘an thu´ c
✱

✱

✱✱
✱✱
✱
✱
1. Phu✱ ong ph´ap chung✱ l`a b`ınh phuong✱ 2 vê´ dê

¯ khu dâ´u c˘an thu´ c, chu´ y´
phai x´et diê
¯ `u kiên
¯ `u phai không âm. ✧
. ca hai✧vê´ dê
❛
❛
f ♣xq ➙ 0
g ♣ xq ➙ 0
2. f ♣xq ✏ g ♣xq ðñ
❤♦➔❝
✳
f ♣xq ✏ g ♣xq
f ♣xq ✏ g ♣xq
✧
❛
g ♣xq ➙ 0
3. f ♣xq ✏ g ♣xq ðñ
f ♣xq ✏ rg ♣xqs2
✱
✱✱
´n sô´:
4. Phuong ph´✱ap dô
¯ i biê
✱
✱
✱
✱
✱
` môt

(a) Co´ thê biê´n dô
biêu thu´ c kh´ac
¯ i nhu chia ca hai vê´ cho cung
.
✱
✱
0 rô`i mo´ i dô
¯ i biê✱´n sô´.
❄
❄
✱✱
V´ı du. 3.2.1. Giai phuong tr`ınh x   1   x2 ✁ 4x   1 ✏ 3 x.
✱✱
˜
Huo´ ng dân.
★
★
❄
x2 ✁ 4x   1 ➙ 0
x➙2  3
❄ .
Ðiê`u kiên
ô
.
x➙0
0↕x↕2✁ 3
Nê´u x ✏ 0 th`ı thay v`ao ta thâ´y không l`a nghiêm.
. ❄
✱
✱

✱✱
✱✱
Nê´u x → 0, chia ca hai vê´ cua phuong tr`ınh cho x ta du
¯ o. c

❄
hay

x 

❄

❄1x

x 

 

❄1x

❝

 

x2 ✁ 4x   1
x

❝

x 

1
x

✏3

✁4✏3

❄
1 ✱
1
✱
Tu` d¯o´ ta d¯a˘. t t ✏ x   ❄ vo´ i t ➙ 2, suy ra t2 ✏ x     2
x
x
✱
1
✱
✱
hay x   ✏ t2 ✁ 2. Thay v`ao phuong tr`ınh d˜
¯a cho rô`i giai t`ım t,
x
sau d¯o´✱ t`ım x. ✱
✱
` ca ✱hai biê´n sô´ mo´ i ❄
(b) Co´ thê dung
❄
✱✱
V´ı du. 3.2.2. Giai phuong tr`ınh 2 3 3x ✁ 2   3 6x ✁ 5 ✁ 8 ✏ 0.
✱✱

˜
Huo´ ng dân.
3
Ðiê`u kiên:
. x ➙ 2.


26

❄

★

Ða˘. t
hay

✱

u ✏ 3 3x ✁ 2
❄
v ✏ 6x ✁ 5

★

✱

✱

✱
✱

✱
Chuong 3. Phuong tr`ınh va` hê. phuong tr`ınh

★

✱✱

ta du
¯ o. c

2u3 ✏ 6x ✁ 4
v 2 ✏ 6x ✁ 5

u3 ✏ 3x ✁ 2
v 2 ✏ 6x ✁ 5

✱ ✱
✱✱
, tru` tu` ng vê´ ta du
¯ o. c 2u3

✁ v2 ✏ 1. Kê´t

✱✱
✱
✱
✱
ho. p vo´ i phuong tr`ınh d˜
¯a cho sau khi thay ba˘` ng c´ac biê´n mo´ i ta
✱✱

du
¯ o. c hê.

★

2u   3v ✁ 8 ✏ 0
2u3 ✁ v 2 ✏ 1

✱

✱✱
Giai t`ım du
¯ o. c u, v rô`i t`ım x.
✱
✱
✱✱
chu´ ng minh nghiêm
5. Phuong ph´ap nhâm nghiêm
. v`a ❄
❄ . duy 2nhâ´t
✱
✱✱
V´ı du. 3.2.3. Giai phuong tr`ınh 3x   1 ✁ 6 ✁ x   3x ✁ 14x ✁ 8 ✏
0.
✱✱
˜
Huo´ ng dân.
✱
✱✱
1

5 l`a nghiêm cua phuong
Ðiê`u kiên:
. thâ´y x ✏
. ✁ 3 ↕ x✱ ↕ 6. Nhân
✱✱
✱
tr`ınh nên ta biê´n dô
¯ i l`am xuâ´t hiên
. nhân tu x ✁ 5 nhu sau

❄
❄
♣ 3x   1 ✁ 4q   ♣1 ✁ 6 ✁ xq   3x2 ✁ 15x   x ✁ 5 ✏ 0

hay

❄
❄
❄
❄
♣ 3x   ❄1 ✁ 4q♣ 3x   1   4q   ♣1 ✁ 6 ✁ x❄q♣1   6 ✁ xq
3x   1   4
1  6✁x
 ♣x ✁ 5q♣3x   1q ✏ 0

✱

tu´ c l`a

❄ 3x ✁ 15   x❄✁ 5   ♣x ✁ 5q♣3x   1q ✏ 0

3x   1   4 1   6 ✁ x
✱

✱

✱
´ nhân tu chung v`a giai tiê´p...
Rut


✱

✱✱
✱✱
3.3. Phuong tr`ınh, hê. phuong tr`ınh bâc
. nhâ´t nhiê`u ân
✱✱
✱✱

27

3.3. Phuong tr`ınh, hê. phuong tr`ınh bâc
. nhâ´t
✱
nhiê`u ân
✱

✱✱
3.3.1. Phuong tr`ınh bâc
. nhâ´t hai ân

✱
Co´ dang
¯ `ng
. ax   by ✏✱ c, trong d¯o´ a, b, c l`a c´ac sô´ thu. c, a, b không dô
✱ `
tho` i ba˘ ng 0, x, y l`a 2 ân.

✱

✱✱
3.3.2. Hê. hai phuong tr`ınh bâc
. nhâ´t 2 ân

co´ dang
.

✧

a1 x   b 1 y
a2 x   b 2 y

✏ c1
✏ c2

✱

✱

✱✱

✱✱
trong d¯o´ ca hai phuong tr`ınh dê
¯ `u l`a phuong tr`ınh bâc
. nhâ´t 2 ân.
✱
Co´ 2 c´ach giai
✱
✱
✱
✱
✱✱
✱
✱✱
1. Phuong ph´ap thê´: Tu` môt
. ân qua ân
. phuong tr`ınh cua hê. biêu th.i môt
✱✱
kia rô`i thê´ v`ao phuong tr`ınh con
` lai.
.
✱
✱
✱✱
✱✱
´
2. Phuong ph´ap công:
Biê
n
dô
i

cho
h
ê. sô´ cua môt
¯
.
. trong hai phuong tr`ınh
✱
✱
✱
l`a hai sô´ dô
¯ ´i nhau rô`i công
. tu` ng vê´ hai phuong tr`ınh lai.
.

✱

✱✱
3.3.3. Dang
. ✱ tam gi´ac cua hê. 3 phuong tr`ınh bâc
. nhâ´t
ba ân

✩
✫ a1 x

a2 x   b 2 y
✪
a3 x   b 3 y   c 3 z

(3.3)

✱

✱

✏ d1
✏ d2
✏ d3

✱
✱✱
✱✱
✱✱
C´ach giai: Tu` phuong tr`ınh dâ
¯ `u cua hê. (3.3) t´ınh du
¯ o. c x, thay v`ao phuong
✱
✱✱
✱✱
✱
✱✱
tr`ınh thu´ hai t´ınh du
¯ o. c y rô`i thay v`ao phuong tr`ınh thu´ ba t´ınh du
¯ o. c z.