Hàm trụ và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHÙNG THỊ NHÀN

HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

Hà Nội-2009


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHÙNG THỊ NHÀN

HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.NGƯT. Nguyễn Huy Lợi

Hà Nội, 2009


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS. TS. NGƯT

Nguyễn Huy Lợi và các thầy cô giáo đã hướng dẫn tận tình, đầy hiệu quả,
thường xuyên dành cho em sự chỉ bảo, giúp đỡ và động viên cả về vật chất
cũng như tinh thần giúp em hoàn thành luận văn đúng thời hạn.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, các thầy cô, cán bộ
nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi
cho em trong thời gian học tập tại trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh em, bạn bè gần
xa và người thân trong gia đình đã động viên, tạo mọi điều kiện để luận văn
sớm được hoàn thành.


LỜI CAM ĐOAN
Tác giả xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giả
được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. NGƯT Nguyễn Huy Lợi.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tác giả đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 10 năm 2009

Phùng Thị Nhàn


NHỮNG KÍ HIỆU
Trong luận văn sử dụng các kí hiệu với các ý nghĩa được xác định trong
bảng sau
R
C
∅
−∞
∞

ber
bei

tập hợp số thực
tập hợp số phức
tập rỗng
âm vô cùng
dương vô cùng (tương đương với +∞)
là phần thực của hàm
là phần ảo của hàm


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Những kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 1. HÀM TRỤ

9

1.1. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2. Hàm Gamar Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Hàm trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1. Hàm trụ loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2. Các hàm trụ khác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.3. Biểu diễn tiệm cận đối với các hàm trụ

. . . . . . . . 39

1.3.4. Đồ thị của hàm trụ và sự phân bố các không điểm

. . 47

Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỤ

53

2.1. Ứng dụng để giải quyết các vấn đề lý thuyết . . . . . . . . . . 53
2.1.1. Định lý cộng đối với các hàm Bessel . . . . . . . . 53
2.1.2. Những phương trình vi phân giải được nhờ hàm
trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.3. Các tích phân có chứa hàm Bessel . . . . . . . . . 54
2.1.4. Tích phân Sonhin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.5. Tích phân của thuyết sóng điện . . . . . . . . . . 58

2.1.6. Dao động của dây xích . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.1.7. Dao động của màng tròn . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.1.8. Nguồn nhiệt hình trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.1.9. Sự truyền nhiệt trong hình trụ tròn . . . . . . . . 67


6

2.2. Một số ứng dụng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sự ra đời của số phức và quá trình nghiên cứu phát triển hoàn thiện lí
thuyết hàm số biến số phức như một dấu mốc quan trọng trong quá trình
phát triển toán học. Những kết quả đạt được trong lý thuyết đó đã giải quyết
rất nhiều những vấn đề quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học, đời sống
khác nhau.
Khi nghiên cứu giải tích phức, một trong những vấn đề được nhiều nhà
toán học quan tâm nghiên cứu đó là lí thuyết hàm trụ. Nhiều tính chất quan
trọng của hàm trụ đã được tìm ra và biết đến với nhiều ứng dụng có tính
thực tiễn cao trong vật lý, kỹ thuật, xây dựng. . .
Từ việc nghiên cứu hàm trụ trong không gian hai chiều, nhiều nhà toán
học đã không ngừng phát triển, mở rộng cho không gian ba chiều, nhiều
chiều và đạt được nhiều kết quả to lớn. Với những kết quả đã đạt được trong
không gian các hàm biến số thực như việc tính độ dài đường cong, diện tích
mặt, thể tích khối. . . . Việc nghiên cứu trên hàm trụ đã giải quyết một cách
triệt để những vấn đề này trên những lớp hàm biến số phức đặc biệt được

biểu diễn thông qua hàm trụ.
Với nhiều ứng dụng đặc biệt trong khoa học và đời sống mà việc nghiên
cứu hàm trụ đem lại, với mong muốn tìm hiểu một cách sâu sắc, có hệ thống
về hàm trụ cùng với những ứng dụng của nó tác giả mạnh dạn chọn đề tài
“Hàm trụ và ứng dụng”
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu hàm trụ, các tính chất của hàm trụ và ứng dụng của hàm trụ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tìm hiểu hàm trụ, hệ thống hóa theo hướng ứng dụng của nó.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu


8

Luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1: Hàm trụ.
Chương 2: Ứng dụng của hàm trụ.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc, dịch, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu khoa học một cách logic
và hệ thống.
6. Giả thuyết khoa học
Nghiên cứu sâu một khái niệm của toán học, nâng nó lên thành đề tài
nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó trong việc giải quyết một số vấn
đề của lý thuyết, giải toán và thực tiễn.
Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học
và người yêu thích toán học.


Chương 1
HÀM TRỤ

1.1.

Hàm chỉnh hình

Giả sử hàm f = u + iv xác định và hữu hạn trong lân cận nào đó của
điểm z0 = x0 + iy0 ∈ C.
Định nghĩa 1.1. Ta nói rằng f khả vi tại điểm z0 theo nghĩa giải tích thực
(hay R2 − khả vi), nếu các hàm u và v khả vi như những hàm của (x, y) tại
điểm (x0, y0) biểu thức

df = du + idv,

(1.1)

được gọi là vi phân của f tại điểm z0 .
Định nghĩa 1.2. Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z0 nếu nó C− khả
vi trong lân cận của điểm ấy.
Ta sẽ gọi hàm f là chỉnh hình trên tập mở D, nếu nó chỉnh hình tại mỗi
điểm của D (do vậy trong tập D khái niệm giải tích và khả vi phức trùng
nhau).
Ta sẽ gọi hàm f chỉnh hình trên tập hợp bất kì M ⊂ C nếu nó có thể

thác triển giải tích lên tập hợp mở nào đó D ⊃ M.

Cuối cùng, hàm f chỉnh hình tại điểm vô cùng được hiểu là tính chỉnh

hình của hàm ϕ(z) = ϕ( z1 ) tại z = 0. Định nghĩa này cho phép ta xét hàm
chỉnh hình trên các tập hợp của mặt phẳng đóng C.
Định lý 1.1. Tổng và tích của các hàm chỉnh hình trong miền D cũng chỉnh

hình trong miền ấy.
Do đó tập hợp tất cả những hàm chỉnh hình trong miền D lập nên một
vành và vành này ta sẽ chỉ bằng kí hiệu H(D). H(D) là một không gian
vector trên C.


Luận án đủ ở file: Luận án full