Biểu diễn của nhóm đối xứng (Khóa luận tốt nghiệp)

ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN

HOÀNG TRỌNG TẤN

BIỂU DIỄN CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. NGUYỄN ÁI QUỐC

TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 5 NĂM 2017


ii

Lời cam đoan.
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của tôi, các kết quả nghiên cứu nêu trong khóa
luận là trung thực và chưa từng được công bố
trong bất kì một công trình nào khác.

Tác giả khoá luận
Hoàng Trọng Tấn


iii

Lời cảm ơn.
Lời đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy TS. Phan Hoàng
Chơn, thầy hướng dẫn tôi, người đã tận tình hướng dẫn, nhiệt tình truyền đạt cho tôi
những kiến thức quan trọng để có thế hoàn thành khóa luận này.
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn các quý thầy cô đã tận tình giảng dạy,
truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt thời gian tôi học tại khoa ToánỨng dụng, trường Đại học Sài Gòn.
Mặc dù tôi đã rất cố gắng nhưng chắc không thế tránh khỏi những thiếu sót. Vì
vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô, cùng các bạn sinh viên để khóa
luận này được hoàn thiện hơn.

Sinh viên thực hiện
Hoàng Trọng Tấn


4

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết biểu diễn của nhón hữu hạn đóng vai trò quan trọng trong việc
nghiên cứu nhóm hữu hạn. Hơn nữa nó còn có nhiều ứng dụng trong Topo đại số,
đối đồng đều của nhóm, lý thuyết số, trong hóa học lượng tử và cả vật lý.
Vì vậy, hiểu về lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn là một vấn đề cần thiết. Mục tiêu
của khóa luận này là giới thiệu về lý thuyết biểu diễn nhóm đối xứng và ứng dụng
vào việc tính các biểu diễn tuyến tính của nhóm 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 , 𝑆4 , 𝑆5 . Chúng tôi cố gắng
trình bày khóa luận một cách rõ ràng và chi tiết về lý thuyết biểu nhóm đối xứng,
nhằm giúp độc giả có cái nhìn cụ thế về lý thuyết biểu diễn nhóm.

2. Bố cục của khóa luận gồm năm chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số các kiến thức cần thiết về nhóm, đồng cấu

nhóm, không gian vectơ, tích tenxơ, tác động nhóm lên một tập hợp,... là tiền đề để
xây dựng lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn.
Chương 2: Biểu diễn tuyến tính của nhóm hữu hạn
Chương này trình bày các vấn đề liên quan đến biểu diễn của nhóm hữu hạn
như biểu diễn bất khả quy, tích tenxơ của chúng.
Chương 3: Lý Thuyết đặc trưng
Chương này trình bày về định nghĩa đặc trưng của biểu diễn, biểu diễn chính
quy, biểu diễn bất khả quy.
Chương 4: Nhóm con giao hoán, tích của hai nhóm
Chương này trình bày về nhóm con giao hoán, tích của hai nhóm, tích của
hai biểu diễn tuyến tính.


5

Chương 5: Ứng dụng
Chương này chúng tôi đề cập đến các biểu diễn nhóm 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 , 𝑆4 , 𝑆5 .


6

MỤC LỤC.
Lời cam đoan .............................................................................................................. ii
Lời cảm ơn ................................................................................................................ iii
Chương 1 .....................................................................................................................8
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. ..........................................................................................8
1.1.

Nhóm và nhóm con........................................................................................8

Định nghĩa 1.1.1. Một nhóm là một cặp 𝑮,∘ trong đó G là một tập hợp khác rỗng
và ∘ là một luật hợp thành trên G thỏa mãn ba điều sau đây: ..................................8
1.2. Nhóm cyclic và nhóm con cyclic......................................................................9
1.3. Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương. ...........................................................10
1.4. Đồng cấu nhóm. ..............................................................................................13
1.5. Nhóm đối xứng và nhóm thay phiên ...............................................................14
1.6. Không gian Vectơ và nhóm tuyến tính tổng quát. ..........................................18
1.7. Tích Tenxơ. .....................................................................................................23
1.8. Tác động nhóm lên một tập hợp. ....................................................................23
Chương 2 ...................................................................................................................27
BIỂU DIỄN TUYẾN TÍNH CỦA NHÓM HỮU HẠN. .........................................27
2.1. Biểu diễn tuyến tính và biểu diễn con. ...........................................................27
2.2. Tích tenxơ của hai biểu diễn. ..........................................................................34
2.3. Bình phương đối xứng và bình phương thay phiên. .......................................35
Chương 3 ...................................................................................................................36
LÝ THUYẾT ĐẶC TRƯNG. ...................................................................................36
3.1. Đặc trưng của một biểu diễn. ..........................................................................36
3.2. Bổ đề Schur, ứng dụng cơ bản. .......................................................................39
3.3. Hệ thức trực giao của đặc trưng. .....................................................................42
3.4. Khai triển của biểu diễn chính quy. ................................................................45
3.5. Số các biểu diễn bất khả quy. .........................................................................46
3.6. Phân tích rõ ràng của một biểu diễn. ..............................................................48
Chương 4: NHÓM CON GIAO HOÁN, TÍCH CỦA HAI NHÓM CON. ...............51


7

4.1. Nhóm con giao hoán. ......................................................................................51
4.2. Tích của hai nhóm. ..........................................................................................52
Chương 5: ỨNG DỤNG. ..........................................................................................55

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ...................................................................................70
TÀI LIỆU THAM KHẢO. ........................................................................................71
BẢNG KÍ HIỆU. .......................................................................................................72


8

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
1.1. Nhóm và nhóm con.
Định nghĩa 1.1.1. Một nhóm là một cặp (𝑮,∘) trong đó G là một tập hợp khác rỗng
và ∘ là một luật hợp thành trên G thỏa mãn ba điều sau đây:
Luật hợp thành có tính kết hợp, tức là với mọi 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺,

(i)

(𝑥 ∘ 𝑦 ) ∘ 𝑧 = 𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧 ).
Tồn tại một phần tử 1 ∈ 𝐺, được gọi là phần tử đơn vị, có tính chất

(ii)

𝑥 ∘ 1 = 1 ∘ 𝑥 = 𝑥 với mọi 𝑥 ∈ 𝐺.
(iii)

Với mỗi 𝑥 ∈ 𝐺, có một phần tử 𝑥′ ∈ 𝐺, được gọi là nghịch đảo của x sao
cho
𝑥 ∘ 𝑥 ′ = 𝑥 ′ ∘ 𝑥 = 1.

Nếu luật hợp thành

đã rõ ràng và không sợ nhầm lẫn gì, ta cũng nói G là

một nhóm và có thế ký hiệu
𝑥 ∘ 𝑦 thành 𝑥𝑦, 𝑥𝑥 = 𝑥 2 và 𝑥𝑥 … . 𝑥 = 𝑥 𝑛 (có n chữ x).
Từ định nghĩa trên suy ra mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử (𝐺,∘) là một nhóm. Khi đó,
(i)

Phần tử đơn vị của G là duy nhất,

(ii)

Với mỗi 𝑥 ∈ 𝐺, phần tử nghịch đảo của x là duy nhất
Khi G có hữu hạn phần tử, bậc của nhóm G, được ký hiệu là |𝐺 |, là số phần

tử của nhóm G.


9

Chứng minh: xem mệnh đề 1.15 trong [2]
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử G là một nhóm. Một tập con khác rỗng 𝑆 ⊂ 𝐺 được gọi là
một nhóm con của G nếu S khép kín đối với luật hợp thành trong G (tức là 𝑥𝑦 ∈ 𝑆
với mọi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆) và khép kín đối với phép lấy nghịch đảo trong G (tức là 𝑥 −1 ∈ 𝑆
với mọi𝑥 ∈ 𝑆).
Khi đó S được trang bị một luật hợp thành, là hạn chế của luật hợp thành
trong 𝐺. Với phép toán này, S thật sự lập thành một nhóm. Thật vậy, luật hợp thành
trong S là kết hợp bởi luật hợp thành trong 𝐺 là kết hợp. Do 𝑆 ≠ ∅, nên có một phần
tử 𝑠 ∈ 𝑆. Điều này kéo theo 𝑠 −1 ∈ 𝑆, và hơn nữa. Phần tử đơn vị 𝑒 ∈ 𝐺 cũng là đơn
vị của S. Với mọi 𝑥 ∈ 𝑆, nghịch đảo 𝑥 −1 của 𝑥 trong G cũng là nghịch đảo của

𝑥 trong S.
Định nghĩa 1.1.4. Cho S là một tập con của nhóm G. Nhóm con sinh bởi S là nhóm
con nhỏ nhất của G chứa S là kí hiệu 〈𝑆〉. Tập hợp S được gọi là tập sinh của nhóm
〈𝑆〉. Nếu tập hợp S hữu hạn: 𝑆 = {𝑥1 , … , 𝑥𝑛 } thì ta nói 〈𝑆〉 là nhóm hữu hạn sinh với
các phần tử sinh 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ta thường kí hiệu nhóm này là {𝑥1 , … , 𝑥𝑛 }
Định lý 1.1.5. Cho S là một tập con của nhóm G. Khi đó,
(i)

Nếu 𝑆 = ∅ thì 〈𝑆〉 = {𝑒}, với e là phần tử đơn vị của G,

(ii)

Nếu 𝑆 ≠ ∅ thì 〈𝑆〉 = {𝑥1 1 . … . 𝑥𝑛𝑛 |𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝑥𝑖 ∈ 𝑆, 𝜀𝑖 = ±1}.

𝜀

𝜀

Chứng mimh: xem mệnh đề 1.24 trong [2]

1.2. Nhóm cyclic và nhóm con cyclic
Định nghĩa 1.2.1. Cho G là một nhóm. Nhóm con 〈𝑎〉 của G sinh bởi phần tử 𝑎 ∈ 𝐺
được gọi là nhóm con cyclic sinh bởi a. Nếu tồn tại một phần tử 𝑎 ∈ 𝐺 sao cho
〈𝑎〉 = 𝐺 thì ta nói G là một nhóm cyclic và a là phần tử sinh của G.
Mệnh đề 1.2.2. Nhóm con cyclic sinh bởi a là tập hợp tất cả các lũy thừa 𝑎𝑛 với
𝑛 ∈ ℤ, nghĩa là 〈𝑎〉 = {𝑎𝑛 |𝑛 ∈ ℤ}.


10

Cho (𝐺,∘) là một nhóm và 𝑎 ∈ 𝐺. Xét nhóm con cyclic 〈𝑎〉, khi đó có hai
trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1. Tất cả các lũy thừa 𝑎𝑛 (𝑛 ∈ ℤ) đều khác nhau từng đôi một. Trong
trường hợp này 〈𝑎〉 là nhóm vô hạn.
Trường hợp 2. Tồn tại các lũy thừa của a bằng nhau, chẳng hạn 𝑎𝑘 = 𝑎𝑙 (𝑘 > 𝑙).
Khi đó 𝑎𝑘−𝑙 = 𝑒 với 𝑘 − 𝑙 > 0. Do đó tồn tại những số nguyên dương m sao cho
𝑎𝑚 = 𝑒. Gọi n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho 𝑎𝑛 = 𝑒. Khi đó các phần tử
𝑒, 𝑎, … , 𝑎𝑛−1 đôi một khác nhau và 〈𝑎〉 = {𝑒, 𝑎, … , 𝑎𝑛−1 }.
Định nghĩa 1.2.3. Bậc của một phần tử a trong nhóm G là bậc của nhóm con cyclic
〈𝑎〉. Ta thường kí hiệu |𝑎| để chỉ bậc của phần tử a.
Hệ quả 1.2.4. Cho G là một nhóm và 𝑎 ∈ 𝐺. Khi đó,
(i)

Phần tử a có bậc vô hạn khi và chỉ khi với mọi 𝑘 ∈ ℤ, nếu 𝑎𝑘 = 𝑒 thì
𝑘 = 0,

(ii)

Phần tử a có bậc hữu hạn khi và chỉ khi tồn tại 𝑘 ∈ ℤ\{0} sao cho
𝑎𝑘 = 𝑒,

(iii)

Nếu a có bậc hữu hạn thì bậc của a là số nguyên dương n nhỏ nhất sao
cho 𝑎𝑛 = 𝑒. Hơn nữa, khi đó với mọi 𝑘 ∈ ℤ, 𝑎𝑘 = 𝑒 khi và chỉ khi k là
một bội số của n.
Chứng minh: xem mệnh đề 1.33 trong [2]

1.3. Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương.
Định lý 1.3.1. Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G. Xét quan hệ ~ trên

G như sau:
𝑥~𝑦 ⇔ 𝑥 −1 𝑦 ∈ 𝐻.
Khi đó,
(i)

Quan hệ ~ là một quan hệ tương đương trên G,


Khóa luận đầy đủ ở file: Khóa luận full