BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC

CHƯƠNG 04 ( tiếp theo)
BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC
CHỦ ĐỀ 2.
PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC.
Bài 26: Tập hợp điểm biểu diễn số phức

z  2i  3

là đường tròn tâm I . Tất cả giá trị m thỏa mãn

1
khoảng cách từ I đến  : 3x  4 y  m  0 bằng 5 là:
A. m  7; m  9
B. m  8; m  8

C. m  7; m  9

D. m  8; m  9

Lời giải
z  2i  3 � x   y  2  i  3 � x 2   y  2   3 � x 2   y  2   9 � I  0; 2 
2

d  I,  

3.0  4.2  m

d  I,  

8 m 1
�

1
1
1
� 8m  � �
�
8  m  1
5
5
5
�

32  42



2

1
8 m
5
m7
�
�
m9
�

Chọn C.
Bài 27: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức z  x  yi, M �0. Xem số phức
1�
1�

Z  �z 2  2 �
.
2 � z �Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực.

A. Trục tung (hay trục hoành ) , không kể điểm O.
B. Trục tung hay trục hoành
C. Đường thẳng y  1
D. Đường thẳng x  1
Lời giải
Trường hợp Z là một số thực � Phần ảo bằng 0.
�

x

xy
2

y



2 2

x  0, y �0
2
�
�
 0 � xy  0, x 2  y 2 �0 � �
�x 2  y 2   1�
�

y  0, x �0
�

Tập hợp điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z là
-

Trục tung , không kể điểm O.
Trục hoành, không kể điểm O.

Chọn A.
Bài 28: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức z  x  yi, M �0. Xem số phức
1�
1�
Z  �z 2  2 �
.
2 � z �Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thuần ảo.


A. Đường tròn tâm O, bán kính R  1

B. Đường tròn tâm   bán kính R  1
C. Đường thẳng y  1
D. Đường thẳng x  1
Lời giải
Trường hợp Z là một số thuần ảo � Phần thực bằng 0.
I 0;1

�  x2  y 2  1  0 � x2  y 2  1
2

Tập hợp điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R  1 .
Chọn A.
Bài 29: Cho

Z

1  iz
, z �C
1  iz
, z  x  yi với x, y �R . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực.

A. Trục tung ngoại trừ điểm
C. Đường thẳng y  1
Lời giải

A  0;1

z  x  yi; x, y �R � Z 

Ta có:
�Z 

A  0;1

1  zi 1  i  x  yi 

1  zi 1  i  x  yi 

1  yi 2  xi 1  y  xi  1  y  xi   1  y  xi 



1  yi 2  xi 1  y  xi  1  y  xi   1  y  xi 

 1  xi   y 2
2
 1  y   x 2i 2
2



B. Trục hoành ngoại trừ điểm
D.Đường thẳng x  1

1  x 2i 2  2 xi  y 2



 1 y

Z là một số thực
z  yi, y �1

Ta có

2

 x2
� x  0, y �0



1  x 2  y 2  2 xi

 1 y 

2

 x2

.

A  1;0  .
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là trục tung ngoại trừ điểm
Chọn A.
�

Bài 30: Cho
thuần ảo.

Z

1  iz
, z �C
1  iz
, z  x  yi với x, y �R . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số

A 0;1
A. Đường tròn tâm O, bán kính R  1 ngoại trừ điểm  
B. Đường tròn tâm O, bán kính R  1
C. Đường thẳng y  1

D. Đường thẳng x  1
Lời giải
�
1  x2  y 2  0
�x 2  y 2  1
�
�
�
�
2
1  y   x 2 �0

�x �0, y �0
�
Z
Số phức là một số thuần ảo khi và chỉ khi:
� Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O, bán kính R  1 ngoại trừ điểm
A  0;1


Chọn A.

Bài 31: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z sao cho: Số phức z có mô
đun bằng 1.
A. Đường tròn tâm O, bán kính R  1
B. Đường tròn tâm   bán kính R  1
C. Đường thẳng y  1
D. Đường thẳng x  1
Lời giải
Gọi M là điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z  a  bi với a, b �R

O 2; 2 ,

z  1 � OM  1

Ta có:
Tập hợp điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R  1
Chọn A.
Bài 32: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z sao cho: Số phức z có
phần thực bằng 1.
A. Đường tròn tâm O, bán kính R  1
B. Đường tròn tâm   bán kính R  1
C. Đường thẳng y  1
D. Đường thẳng x  1
Lời giải
Ta có: a  1
Tập hợp điểm M là đường thẳng D : x  1
Chọn D.
Bài 33: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z sao cho: Số phức z có
phần ảo bằng -1.
A. Đường tròn tâm O, bán kính R  1
O 2; 2 ,

B. Đường tròn tâm   bán kính R  1
C. Đường thẳng y  1
D. Đường thẳng x  1
Lời giải
Ta có: b  1
Tập hợp điểm M là đường thẳng  : y  1
Chọn C.
O 2; 2 ,


Bài 34: Tìm trong mặt phẳng tập hợp   các điểm

M biểu diễn số phức z sao cho

số thực.
A. Trục hoành x ' Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O , bán kính R  2
B. Trục hoành x ' Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O , bán kính R  1
C. Đường tròn tâm O , bán kính R  1
D. Trục hoành x ' Ox ngoại trừ điểm gốc

Z  z

4
z là một


Lời giải
Đặt

z  x  yi,  z �0 

Ta có:
�Z 

Z  z

với x, y �R.

4  x  yi 
4
4
 x  yi 
 x  yi  2
z
x  yi
x  y2

x  x2  y2  4   y  x2  y 2  4  i
x2  y2

2
2
2
2
�
�y  x  y  4   0 �
�y  0 �x  y  4
��
� �2
2
2
2
�x  y �0
�x  y �0
Z là một số thực:
 

Do đó

gồm :
- Trục hoành x ' Ox ngoại trừ điểm gốc.
- Đường tròn tâm O, bán kính R  2.
Chọn A.

z  2 z i .
Bài 35: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z sao cho:

A.

x2  y 2 

8
4
y 0
3
3

x  1
B. 

x2 y 2

1
C. 4 3

Lời giải
Cách 1. Đặt
Ta có:

Với

với x, y �R



2

�x

8
4
 y2  y   0
3
3
uuuu
r
uuuu
r uuu
r
uuuu
r
uuuu
r
z  2 z  i � OM  2 OM  OB � OM  2 BM

z  2 z  i � x 2  y 2  4 x 2   y  1

B  1;0 

  y  1  4

2
2
D. 3x  4 y  36  0

z  x  yi,  z �0 

Cách 2. Ta có:

2

2

2

là điểm biểu diễn số i.
OM  2 BM �

MO
2
MB

Do đó ta có:
Ta suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn Apollonius đường kính IJ , với I , J thuộc trục tung và:
uur
uur
OI  2 IB
� 2�
0; �

uuu
r
uur � I �
� 3 �và J  0; 2 
OJ  2 JB

2

8
4
� 2�
x  �y  � y  2   0 � x 2  y 2  y   0
3
3
� 3�
Phương trình đường tròn :
2

Chọn A.
1 z  z  i .
Bài 36: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z sao cho:
A. Đường thẳng y  x

B. Đường tròn tâm 
C. Đường thẳng y  1
D. Đường thẳng x  1
Lời giải

I 0;1 ,

Cách 1. Đặt

z  x  yi,  z �0 

bán kính R  1

với x, y �R


1  z  z  i �  1  x   y 2  x 2   y  1 � y  x.
2

Ta có:

2

i : A  1;0  , B  0;1 .
Cách 2. Gọi A là ảnh của 1 và B là ảnh của
uuur uuur
1  z  z  i � MA  MB � MA  MB

Ta có:
Do đó tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB � y  x
Chọn A.
Bài 37: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z
z  a . z  a  aa.

sao cho:
A. Đường tròn tâm A , bán kính R  AO
B. Đường tròn tâm A , bán kính R  2

C. Một hyperbol vuông góc
D. Đường thẳng x  1
Lời giải
2

z  a . z  a  aa � z  a  a

2

 1

Ta có:
Gọi A là điểm biểu diễn số phức a trong mặt phẳng phức.

 1 �

uuur 2 uuu
r2
MA  OA � AM 2  OA2 � AM  AO

Ta có:
Do đó, tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A , bán kính R  AO .
Chọn A.
Bài 38: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z
2

2

sao cho: z  a  z  a .
A. Đường tròn tâm A , bán kính R  AO

B. Đường tròn tâm A , bán kính R  2
C. Một hyperbol vuông góc
D. Đường thẳng x  1
Lời giải
2

2

2

Ta có:

2

2

2





 



z2  a2  z  a � z2  z  a2  a � z  z z  z  a  a a  a



 2

�z  x  yi
�
Đặt: �a     i
 2  � 2 x  2 yi   2  2 i  � xy  

Ta có:
Do đó, tập hợp các điểm M là một hyperbol vuông góc.
Chọn C.
Bài 39: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm M là ảnh của số phức z sao cho: Ảnh của các
số i, z , iz thẳng hàng.
�1 1 �
2
I�; �
R
2 ngoại trừ điểm  0;1
A. Đường tròn x  y  x  y  0, có tâm �2 2 �, bán kính
�1 1 �
2
I�; �
R
2
2
2
B. Đường tròn x  y  x  y  0, có tâm �2 2 �, bán kính
2

2

C. Một hyperbol vuông góc
D. Đường thẳng x  1
Lời giải


M x; y  .
Cách 1: Gọi điểm biểu diễn số phức z là 

N 0;1 .
Gọi điểm biểu diễn số phức i là  

iz là P   y; x  .
Gọi
điểm
biểu
diễn
số
phức
uuuur
uuur

NM   x; y  1 ; NP    y; x  1

x x  1   y  y  1 � x 2  y 2  x  y  0.
Vì 3 điểm M , N , P thẳng hàng nên ta có: 
�1 1 �
2
I�; �
R
2 ngoại

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn x  y  x  y  0, có tâm �2 2 �, bán kính
 0;1
2

trừ điểm

.

Cách 2: Kí hiệu
Giả sử các điểm

M  z

2

dùng để chỉ M là điểm biểu diễn số phức z hay ảnh của số phức z.

A  i  , M  z  , M '  iz 

thẳng hàng:

uuuuur
uuur
iz  z
� MM '  k MA, k �R � iz  z  k  i  z  � k 
iz
�
 x   y  1 i �
  y  x   x  y i�
i  x  yi    x  yi 

��
�
�
z  x  yi � k 
�k  �
i   x  yi 
�
 x   y  1 i �
 x   y  1 i �
�
��
�
�
Đặt

�k

x2  y 2  x  y
x 2   y  1

2



x2  y 2  x  y
x 2   y  1

2

i

2
2
�
�x  y  x  y  0
�2
2
k là một số thực . Do đó ta có: �x   y  1 �0

�1 1 �
2
I�; �
R
2 ngoại
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn x  y  x  y  0, có tâm �2 2 �, bán kính
 0;1
2

2

trừ điểm
.
Chọn A.
Bài 40: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm M là ảnh của số phức z sao cho: Ảnh của các
2
4
số z, z , z thẳng hàng.

A.
B.

C.

�1 1 �
I�; �
0;1
Đường tròn x  y  x  y  0, có tâm �2 2 �, bán kính R  1 ngoại trừ điểm  
�1 1 �
2
I�; �
R
2
2
2
Đường tròn x  y  x  y  0, có tâm �2 2 �, bán kính
Một hyperbol vuông góc và trục hoành Ox
1
x
2 và trục hoành Ox
Đường thẳng
2

2

D.
Lời giải

M  z  , M '  z 2  , M ''  z 4 
thẳng hàng.
uuuuur
4

� MM ''  k MM ', k �R � z  z  k  z 2  z  � z  z 3  1  kz  z  1  0

Cácuuđiểm
uuur

� z  z  1  z 2  z  1  k   0, z �0,1 � z 2  z  1  k  0

Đặt z  x  yi; x, y �R


k  z 2  z  1   x  yi    x  yi  i  1 � k  x 2  y 2  x  1   2 xy  y  i
2

Ta có:

k �R � 2 xy  x  0 � y  0 �x  

1
2

Vậy tập hợp điểm M gồm:
+ Trục hoành Ox.
1
x .
2
+ Đường thẳng

Chọn D.
Bài 41: Trong mặt phẳng phức, cho m và M là điểm biểu diễn số phức z  x  yi, M �0.
1� 1�

Z  X  Yi  �z  �
.
2 � z � Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực.
A. Đường tròn tâm O , bán kính R  1 và trục hoành Ox, không kể điểm gốc O
B. Đường tròn tâm O , bán kính R  1
C. Đường thẳng y  1.

D. Đường thẳng
Lời giải
Ta có:

x

1
2 và trục hoành Ox

2
2
2
2
1� 1� 1�
1 �  x  y  1 x  x  y  1 x
Z  �z  � �x  yi 

�
2� z � 2�
x  yi � 2  x 2  y 2 
2  x2  y 2 

�

x 2  y 2  1 y  0

�
Y 0��
2
2
�x  y �0
Z là số thực khi và chỉ khi:
y0
y0
�
�
� �2
 1 � �2 2
x  y 1  0
x  y2  1
�
�

 1

Ta có:
Tập hợp các điểm M phải gồm:
+ Trục hoành Ox, không kể điểm gốc O.
+ Đường tròn tâm O , bán kính R  1
Chọn A.
Bài 42: Trong mặt phẳng phức, cho m và M theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi và
Z

z 1

.
z  2i Tìm tập hợp các điểm m sao cho: Z là một số thực.
O  0;0 
R 1

A. Đường tròn tâm

, bán kính

I 0;1
B. Đường tròn tâm   , bán kính R  1
C. Đường thẳng y  2 x  2
D. Đường thẳng x  1
Lời giải
Z

Ta có:

 x  yi   1  x  1  yi   x  1  yi   x   y  2  i 
z 1

z  2i  x  yi   2i x   y  2  i  x   y  2  i   x   y  2  i 


�Z 

x  x  1  y  y  2    y  2 x  2  i
x2   y  2

2

Z là một số thực khi và chỉ khi y  2 x  2  0
Tập hợp các điểm m biểu diễn số phức z  x  yi là đường thẳng y  2 x  2  0 � y  2 x  2

Chọn C.
Bài 43: Trong mặt phẳng phức, cho m và M theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi và
z 1
.
z  2i Tìm tập hợp các điểm m sao cho: Z là một số thuần ảo.
�1
�
5
I � ; 1�
R
2
�, bán kính
2
A. Đường tròn tâm �

Z

I 0;1
B. Đường tròn tâm   , bán kính R  1
C. Đường thẳng y  2 x  2
D. Đường thẳng x  1
Lời giải
Z

Ta có:
�Z 

 x  yi   1  x  1  yi   x  1  yi   x   y  2  i 
z 1

z  2i  x  yi   2i x   y  2  i  x   y  2  i   x   y  2  i 

x  x  1  y  y  2    y  2 x  2  i
x2   y  2

2

2
2
Z là một số thuần ảo khi và chỉ khi: x  x  1  y  y  2   0 � x  y  x  2 y  0
�1
�
5
I � ; 1 �
R
2 .
Tập hợp các điểm m là đường tròn tâm �2 �, bán kính

Chọn A.
zz k z .
Bài 44: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho:
Với k là một số thực cho
trước.

A. Đường tròn tâm

O  0;0 

, bán kính R  1

I 0;1
B. Đường tròn tâm   , bán kính R  1
C. Nửa trục Ox, nửa trục Ox'
D. Nửa trục Ox'
Lời giải
Đặt z  x  yi; x, y �R

 
Ta có:
Nếu k  0, ta có: x  0
Tập hợp các điểm M là trục tung.
Xét k �0 :
zzk z

1 � 2 x  k x2  y 2

 2

�
�
4 x2  k 2  x2  y2 
4  k 2  x2  k 2 y 2

�
�
��

 2 � �
kx �0
kx �0
�
�
Ta có:
Với 2 �k �2 và k �0, ta có:


4  k2 2
4  k2
x
�
y

�
x
k2
k
Do đó, tập hợp M phải tìm là:
y2 

 kx �0 

-

4  k2
x
k
Các đường thẳng

+ Giới hạn bởi 0  k  2, x �0.
y�

+ Hoặc giới hạn bởi 2  k  0, x �0.
- Nửa trục Ox nếu k  2.
- Nửa trục Ox ' nếu k  2.
Chọn C.
Bài 45: Cho hai số phức: p  a  bi; q  c  di

z  p  z  q
Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho số 
là số thực.

A. Đường tròn tâm
B. Đường tròn tâm

O  0;0 
I  0;1

, bán kính R  1
, bán kính R  1

C. Một hyperbol vuông góc có tiệm cận là

x

ac
bd
;y
2

2

O 0;0
D. Các đường thẳng y  2 x, trừ gốc tọa độ  
Lời giải
Đặt z  x  yi; x, y �R

Ta có:

z  p  x  a   y  b i ;

zq  xc yd i

�  z  p  z  q  �
x  a   y  b i�
xc y d i �
�
��
�
�
  x  a  x  c   y  b  y  d   �
i
 x  a  y  d    x  c  y  b �
�
�

 z  p   z  q  là một số thực.
�  x  a  x  c   y  b  y  d   0
��
 x  a   x  c �

�
�y   x  a  d   x  c  b
 b  d  x   ad  bc 
ac
� y
x�
2x   a  c 
2
với

x

ac
bd
;y
2
2

Do đó ta có tập hợp các điểm M là một hyperbol vuông góc có tiệm cận là
Chọn C.
Bài 46: Tìm trong mặt phẳng phức tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z sao cho: Số phức z
có mô đun

z �1.

A. Hình tròn tâm

O  0;0 

B. Đường tròn tâm

I  0;1

, bán kính R  1
, bán kính R  1

C. Một hyperbol vuông góc có tiệm cận là

x

ac
bd
;y
2
2

O 0;0
D. Các đường thẳng y  2 x, trừ gốc tọa độ  


Lời giải
z �1.
Xem số phức z có

Tập hợp các điểm M là hình tròn tâm   , bán kính R  1 .
Chọn A.
Bài 47: Tìm trong mặt phẳng phức tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z sao cho: Số phức z
O 0;0

có mô đun

z � 1; 2 .

A. Đường tròn tâm
B. Đường tròn tâm

O  0;0 

I  0;1

, bán kính R  1
, bán kính R  1

 O;1 và  O; 2 
O 0;0
trừ gốc tọa độ  

C. Hình vành khăn gồm giữ hai hình tròn
D. Các đường thẳng y  2 x,
Lời giải
z � 1; 2 .
Xem số phức z có

 và   .
Tập hợp các điểm M là hình vành khăn gồm giữ hai hình tròn 
Chọn C.
Bài 48: Tìm trong mặt phẳng phức tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z thỏa điều kiện:
O;1

O; 2

z  4.

A. Đường tròn tâm
B. Đường tròn tâm

O  0;0 

I  0;1

, bán kính R  4
, bán kính R  4

C. Một hyperbol vuông góc có tiệm cận là

x

ac
bd
;y
2
2

O 0;0
D. Các đường thẳng y  2 x, trừ gốc tọa độ  
Lời giải

Ta có:

OM  z � OM  4

Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm   , bán kính R  4 .
Chọn A.
Bài 49: Tìm trong mặt phẳng phức tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z thỏa điều kiện:
O 0;0

z �2.

A. Hình tròn tâm

O  0; 0 

B. Đường tròn tâm

I  0;1

, bán kính R  2
, bán kính R  1

C. Một hyperbol vuông góc có tiệm cận là

x

ac
bd
;y
2
2

O 0;0

D. Các đường thẳng y  2 x, trừ gốc tọa độ  
Lời giải

Ta có:

z �2

OM

2.

O 0; 0
Tập hợp các điểm M là hình tròn tâm   , bán kính R  2 .
Chọn A.


Bài 50: Tìm trong mặt phẳng phức tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z thỏa điều kiện:
1  z �2.

A. Đường tròn tâm

O  0;0 

, bán kính R  1

 O;1 và  O; 2  kể cả các điểm nằm trên
O; 2 
O;1
đường tròn 
; không kể các điểm nằm trên đường tròn 

O;1
O; 2 
C. Hình vành khăn gồm các điểm giữa hai hình tròn 
và 
kể cả các điểm nằm trên
O; 2   O;1
đường tròn 
;
O 0;0
D. Các đường thẳng y  2 x, trừ gốc tọa độ  
B. Hình vành khăn gồm các điểm giữa hai hình tròn

Lời giải
1  z �2 � 1  OM �2
O;1
O; 2 
Tập hợp các điểm M là hình vành khăn gồm các điểm giữa hai hình tròn 
và 
kể cả các

 ; không kể các điểm nằm trên đường tròn   .
điểm nằm trên đường tròn 
Chọn B.
Bài 51: Tìm trong mặt phẳng phức tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z thỏa điều kiện:
O; 2

z 2

và phần thực của z bằng 1.

A. Có 2 điểm:





O;1



M : M 1 1; 3 , M 2 1;  3

 
M  1;  3 
C. Chỉ có 1 điểm
B. Chỉ có 1 điểm



M 1 1; 3
2

   tâm O bán kính

D. Đường tròn
Lời giải

R2

z  2 � OM  2 � M


Ta có:
nằm trên đường tròn   tâm O bán kính R  2 .
Phần thực của z  1 � M nằm trên đường thẳng x  1.

Có 2 điểm:
Chọn A.







M : M 1 1; 3 , M 2 1;  3

.

T
Bài 52: Tìm tập hợp   các điểm

M biểu diễn các số phức z sao cho
A. Miền phẳng nằm bên phải đường thẳng x  1
I  0;1
R 1

B. Đường tròn tâm

, bán kính

log 1 z  2  log 1 z .
2

2

 O;1 và  O; 2  kể cả các điểm nằm trên
O; 2 
O;1
đường tròn 
; không kể các điểm nằm trên đường tròn 

C. Hình vành khăn gồm các điểm giữa hai hình tròn
D. Đường thẳng x  1
Lời giải
Điều kiện: z �0, z �2
Cách 1: Đặt

z  x  yi,  x, y �R  .


log 1 z  2  log 1 z � z  2  z �  x  2   y 2  x 2  y 2 � x  1.
2

2

2

Do đó, tập hợp
x 1.
Cách 2: Ta có:

 T  các điểm

M biểu diễn các số phức z là miền phẳng nằm bên phải đường thẳng

log 1 z  2  log 1 z � z  2  z
2

2

.

z  2 � A  2;0 
Gọi A là điểm biểu diễn số phức 1
z  2  z � MA  MO

Xét trường hợp
Khi đó M chạy trên đường trung trực  của đoạn OA, có phương trình x  1.
z  2  z � MA  MB

Với trường hợp
� M nằm bên phải đường thẳng  .

Do đó, tập hợp   các điểm M biểu diễn các số phức z là miền phẳng nằm bên phải đường thẳng
 , trung trực của đoạn thẳng OA là miền phẳng nằm bên phải đường thẳng x  1 .
Chọn A.
T

z2
 2  i ?

Bài 53: Điểm nào sau đây biểu diễn số phức z
�1 1�
� ; �
3; 1
3; 1
A. 
B. � 2 2 �
C. 

D.

 3; 3

Lời giải
Đặt

z  x  yi;  z �0; x, y �R 

1
�
x
�
x

2


2
x


y
�
x  yi  2
�
2
 2  i � x  2  yi  2 x  y   2 y  x  i � �
��
x  yi
� y  2 y  x
�y  1
� 2

Chọn B.
Bài 54: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện
A. y  0
B. y  2
C. y  x
Lời giải
Cách 1: Đặt

z i  zi

là:
D. x  1

z  x  yi;  z �0; x, y �R 

z  i  z  i � x 2   y  1  x 2   y  1 � y  0
2

2

Do đó tập hợp điểm cần tìm là trục Ox.
Cách 2: Nhận xét: nếu M 1 , M 2 là điểm biểu diễn các số phức:
z1  x1  y1 , z2  x2  y2 thì M 1M 2  z1  z2 
M 1  i  , M 2  i  .

Xét 2 điểm

 x1  x2    y1  y2 

Theo giả thiết ta có:

z  i  z  i � MM 1  MM 2 , M  z 

M 0; 1 , M 2  0;1 .
Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn M 1M 2 với 1 
Do đó tập hợp
điểm cần tìm là trục Ox.
Chọn A.


Bài 55: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện
A. x  y  2
Lời giải
2

2

Xét điểm

B.

I  2;0  ,

 x  2

2

y 4
2

theo giả thiết ta có:

z2  2

là:
D. x  y  0

C. x  0

z  2  2 � MI  2, M  z  .

I 2;0
Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường tròn tâm   , bán kính R  2.
x  2   y 2  4.
Phương trình đường tròn: 
Chọn B.
2

Bài 56: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện

 x  1

2

  y  1  4

B.

x2 y2

1
C. 4 3

2
2
D. 3x  4 y  36  0

Xét hai điểm:

F1  1;0  , F2  1;0  ,

là:

2

2
2
A. x  y  4

Lời giải

z  1  z 1  4

theo giả thiết ta có:

z  1  z  1  4 � MF1  MF2  4, M  z  .

Vậy tập hợp điểm cần tìm là elip có các tiêu điểm

F1  1;0  , F2  1;0  ,

nửa trục lớn a  2, nửa trục nhỏ

b 3 .

x2 y 2

1
4 3
elip
Phương trình
.

Chọn C.
Bài 57: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện
A. x  y  1
2

2

B.

 x  2

2

  y  2  9
2

Lời giải
Xét hai điểm



y2
2

�3 � � 7 �
�� � �
�2 � �2 �
D.
F1  2; 0  , F2  2;0  ,

.

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hyperbol có các tiêu điểm
nửa trục nhỏ

3
.
2

x2

y2


 1.
2
2
�3 � � 7 �
�� � �
�2 � �2 �
Phương trình của hyperbol

Chọn D.

1

theo giả thiết ta có:

z  2  z  2  3 � MF1  MF2  3, M  z 

b

là:

2

x2
x2 y 2

1
C. 3 2

z2  z2 3

F1  2;0  , F2  2;0  ,

3
a ,
2
nửa trục lớn


Bài 58: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện z z  2 z là số ảo là:
A.

2 x  y  1  0,  y �0 

B.

x 2  y 2  2 x  0,  y �0 

C.
Lời giải

2 x  y  1  0,  x �0 

D.

x 2  y 2  2 y  0,  x �0 

2
2
Đặt z  x  yi thì z  x  yi. Ta có: z z  2 z  x  y  2 x  2 yi

�x 2  y 2  2 x  0
�
Vì z z  2 z là số ảo nên �y �0
x 2  y 2  2 x  0,  y �0  .

Vậy tập hợp điểm cần tìm là
Chọn C.

Bài 59: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện
A. 4 x  8 y  3  0
B. 4 x  8 y  3  0
C. 8 x  4 y  1  0
D. 8 x  4 y  1  0
Lời giải
Đặt

2i  2 z  2 z  1

là:

z  x  yi,  x, y �R  � z  x  yi.

2

2i  2 z  2 z  1 � i  z  z 

1
2
� 1�
� x 2   y  1  �x  � y 2 � 4 x  8 y  3  0.  *
2
� 2�

Chọn B.
Bài 60: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện
1
1� 3
3
y�
y
y�
2
2
2
A.
B.
C.
Lời giải
Đặt

z  z 1 i  2

là:

D. Trục Ox

z  x  yi,  x, y �R  .

z  z  1  i  2 � 1   2 y  1 i  2 � 1   2 y  1  4 �  2 y  1  3 � y 
2

2

1� 3
.
2

Chọn A.
Bài 61: Trong mặt phẳng cho 3 điểm A, B, C lần lượt biểu diễn các số phức i; 2  3i; 3  4i. Trọng tâm
G của tam giác ABC biểu diễn số phức nào sau đây?
1 2
1 2
1 2
1 2
 i
  i
 i
  i
A. 3 3
B. 3 3
C. 3 3

D. 3 3
Lời giải
�1 2 �
G� ; �
.
Ta có:
Trọng tâm ABC là �3 3 �
1 2
z    i.
3 3
Vậy trọng tâm G biểu diễn số phức

A  0;1 , B  2; 3 , C  3; 4  .

Chọn B.
1;3i; 3  5i biểu diễn bởi các điểm A, B, C . Điểm I thỏa mãn
Bài
uu
r 62:uurCho u3ursố rphức:
2 IA  3IB  2 IC  0 biểu diễn số phức nào sau đây?
A. 4  19i
B. 4  19i
C. 4  19i

D. 4  6i


Lời giải

A  1;0  , B  0;3 , C  3; 5 

uu
r uur uur r
uuu
r uur
uuu
r uur
uuur uur r
2 IA  3IB  2 IC  0 � 2 OA  OI  3 OB  OI  2 OC  OI  0
uur
uuu
r uuu
r uuur
� OI  2OA  3OB  2OC � I  4; 19 
Vậy điểm I biểu diễn số phức z  4  19i.

Ta có:



 

 



Chọn C.
Bài 63: Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức
1  i; 4 









3  1 i;1  2 3  1 i.

A. Tam giác vuông tại A
C. Tam giác cân tại A
Lời giải
Ta có:



 

Tam giác ABC là:
B. Tam giác vuông tại B
D. Tam giác đều



A  1;1 , B 4; 3  1 , C 1; 2 3  1 .

� AB  BC  CA  2 3. Vậy tam giác ABC đều.

Chọn D.
Bài 64: Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức

4i
2  6i
;  1  i   i  2 ;
.
i 1
3  i Tam giác ABC là:

A. Tam giác đều
C. Tam giác cân tại A
Lời giải

B. Tam giác vuông tại A
D. Tam giác vuông tại B

4i
2  6i
 2  2i;  1  i   i  2   3  i;
 2i.
3i
Ta có: 1  i
A 2; 2  , B  3;1 , C  0; 2  . AB  BC  10; AC  20.
Suy ra 

Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.
Chọn D.
Bài 65: A, B, C , D là 4 điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức
1  2i;1  3  i;1  3  i;1  2. Khi đó tứ giác ABCD là:

A. Hình vuông
C. Hình thang cân

Lời giải

B. Hình thoi
D. Hình bình hành

Vì 1  2i;1  2i và 1  3  i;1  3  i là các cặp số phức liên hợp nên hai điểm A, D và hai điểm B, C
đối xứng nhau qua trục Ox. Hơn nữa 1 �1  3 nên ABCD là hình thang cân.
Chọn C.
Bài 66: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện sau:

z  i  1.


A. Đường tròn tâm

A  0;1 ,

B. Đường tròn tâm 
C. Đường thẳng y  1
D. Đường thẳng x  1
Lời giải

I 0;1 ,

bán kính R  1
bán kính R  2

y

z  x  yi, z  i  x   y  1 i

Giả sử:

z  i  x 2   y  1  1 � x 2   y  1  1  1
2

2

I

Như vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số
z i 1
phức z  x  yi thỏa mãn
nằm trên

đường tròn tâm
Chọn A.

A  0;1 ,

bán kính R  1

x
O

Bài 67: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
z i
 1.
kiện sau: z  i

A. Đường tròn tâm

O  0;0  ,

B. Đường tròn tâm 
C. Trục hoành
D. Đường thẳng x  0

I 0;1 ,

bán kính R  1
bán kính R  1

Lời giải
Đặt

z  x  yi,  z �i, x, y �R  .

z i
2
2
 1 � z  i  z  i � x 2   y  1  x 2   y  1 � y  0.
z i

Như vậy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện đã cho là trục hoành.
Chọn A.
Bài 68: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện sau:

z  z  3  4i .

A. Đường tròn tâm

O  0;0  ,

bán kính R  1

I 0;1 ,
B. Đường tròn tâm   bán kính R  1
C. Đường thẳng y  1
D. Đường thẳng 6 x  8 y  25  0
Lời giải

Cách 1: Đặt

z  x  yi,  x, y �R  .

z  z  3  4i � x  yi   x  3   4  y  i � x 2  y 2   x  3   4  y  � 6 x  8 y  25  0.
2

Ta có:

2


y
4

A(3;4)

3
M(x;y)

O

3

x

z  z  3  4i � x  yi   x  3   4  y  i

Cách 2:
Theo tính chất hai số phức liên hợp có mô đun bằng nhau, ta có:

z   x  3   4  y  i   x  3   4  y  i   x  yi    3  4i   z   3  4i 
z  0  z   3  4i 

 2

uuuu
r

uuuu
r
2
2
M x; y 
Ta có, vế trái   là độ dài véc tơ OM , vế phải   là độ dài véc tơ AM trong đó 
là điểm

z , A  3; 4 
2
biểu diễn số phức
là điểm biểu diễn số phức 3  4i. Hệ số   chứng tỏ tập hợp các số phức

z  x  yi có các điểm biểu diễn nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng OA là 6 x  8 y  25  0.

Chọn D.
Bài 69: Trong mặt phẳng phức, cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số
phức z1 , z2 , z3 . Hỏi trong tâm tam giác ABC biểu diễn số phức nào?
1
1
 x1  x2  x3    y1  y2  y3  i
3
3
A.
1
1
z   x1  x2  x3    y1  y2  y3  i
2
2
C.
z

1
1
 x1  x2  x3    y1  y2  y3  i
4
4
B.

1
1
z   y1  y2  y3    x1  x2  x3  i
3
3
D.
z

Lời giải

Giả sử: z1  x1  y1i, z2  x2  y2i, z3  x3  y3i biểu diễn bởi A, B, C thì tọa độ của các điểm đó là
A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  , C  x3 ; y3  .

�x  x  x y  y2  y3 �
G �1 2 3 ; 1
�
3
�biểu diễn số phức
Trọng tâm G tam giác ABC có tọa độ � 3
1
1
z   x1  x2  x3    y1  y2  y3  i.
3
3

Chọn A.


Bài 70: Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z1 , z2 , z3
thỏa mãn

z1  z2  z3 .

Nhận định nào sau đây đúng:

A. Tam giác ABC đều
B. O là tâm của tam giác ABC
C. O là trọng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
D. Trọng tâm của ABC là điểm biểu diễn của số phức z1  z2  z3
Lời giải
Từ điều kiện

z1  z2  z3

R  z1
chứng tỏ A, B, C nằm trên một đường tròn tâm O bán kính
.

Nếu ABC là tam giác đều thì tâm O là trọng tâm của tam giác ABC. Theo tính chất trọng tâm ta có:
y

D

B

A
OO

x

C
uuu
r uuur uuur r
OA  OB  OC  0 hay z1  z2  z3  0
Đảo lại, nếu z1  z2  z3  0 , ta có:
uuu
r uuu
r uuur r
uuur
uuu
r uuur
uuur
OA  OB  OC  0 � OC   OA  OB  OD





Điểm D cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC ( vì

uuur
uuur
OC   OD , OADB

là hình bình hành có

OA  OB  BD  DA ). Các tam giác OAD và OBD là các tam giác đều. Suy ra sd �
AB  1200.
0
�

Làm tương tự ta chứng minh được sd AC  120 .
Suy ra ABC đều.

Chọn A.
Bài 71: Trong mặt phẳng phức cho các điểm O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức
z không thực, A ' biểu diễn số phức z ' �0 và B ' biểu diễn số phức zz '. Nhận định nào sau đây
đúng?
A. Tam giác OAB đều
B. Hai tam giác OAB, OA ' B ' là hai tam giác đồng dạng
C. O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AA ' B '


D. Trọng tâm của OAB là điểm biểu diễn của số phức z1  z2  z3

Lời giải

uuu
r
uuu
r
uuur
uuuu
r
z  OB ,1  OA , z '  OA ' , zz '  z . z '  OB '
Ta có
uuu
r uuur uuu
r
AB  OB  OA  z  1
Ta có:

uuuuu
r uuuu
r uuur
A ' B '  OB '  OA '  zz ' z '  z ' . z  1

y
B
B’

Từ trên ta suy ra
z'
z . z'
z ' . z 1
OA ' OB ' A ' B '


�


1
z
z 1
OA OB
AB

A

� OA ' B ' : OAB.

O

A’

x

Chọn B.
Bài 72: Một hình vuông tâm là gốc tọa độ O, các cạnh song song với các trục tọa độ và có độ dài
bằng 4. Hãy xác định điều kiện của a và b để điểm biểu diễn số phức z  a  bi nằm trên đường
chéo của hình vuông.
a  b 2

a  b �2

a  b �2

A.
B.
C.
D.
Lời giải
Vì điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường chéo của hình vuông nên

a  b 2

ab
�
�
a  b
2 �a �2; 2 �b �2 và �
a  b �2

Vậy điều kiện là
Chọn C.

Bài 73: Cho z1  1  i; z2  1  i. Tìm z3 �C sao cho các điểm biểu diễn z1 , z2 , z3 tạo thành tam giác
đều.
A.

z3   2  1  i 

và

z3  2  1  i 

B.

z3   3  1  i 

  và 3
 
C. 3
D. 3
Lời giải
Để giải bài toán này ta cần chú ý đến kiến thức sau:
z  2 1 i

Giả sử
Giả sử

M 1  x1; y1 

M 2  x2 ; y2 

z  3  1 i 

z   2 1 i

và

và

z3  3  1  i 

z3   3  1  i 

biểu diễn số phức z1  x1  y1i
biểu diễn số phức z2  x2  y2i

Khi đó khoảng cách giữa 2 điểm M 1M 2 bằng mô đun của số phức z1  z2 .
Vậy

M 1M 2  z1  z2 

 x1  x2 

2

  y1  y2 

2

Áp dụng vào bài toán: Giả sử z3  x  yi
Để các điểm biểu diễn của z1 , z2 , z3 tạo thành một tam giác đều thì


� 4  4   x  1 2   y  1 2
2
2
�z1  z2  z1  z3
�
x  1   y  1  8
�
�
�

��
��
�
2
2
�z1  z2  z2  z3
�x  y  0
� 4  4   x  1   y  1
�
� 2 y2  6 � y  � 3 � x  m 3

  và 3
 
Vậy có hai số phức thỏa mãn là : 3
Chọn D.

Bài 74: Cho hình vuông ABCD có tâm H và A, B, C , D, H lần lượt biểu diễn cho các số phức
a, b, c, d , h. Biết a  2  i; h  1  3i và số phức b có phần ảo âm. Khi đó mô đun của số phức b là:
z  3 1 i

A. 26
Lời giải
Ta có:

z   3 1 i

145
C. 13

B. 13

D. 10

A  2;1 ; H  1;3 � C  4;5

�AB  BC
r uuur
�uuu
AB
.BC  0
�
Tam giác ABC vuông cân tại B nên :
�43 6 �
B� ; �
.
13

13
�
�
Giải hệ tìm được

Suy ra mô đun của số phức b là
Chọn C.

145
.
13

 là kết quả sẽ xảy ra sau khi
Bài 75: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Ký hiệu 
gieo, trong đó a, b lần lượt là số chấm xuất hiện lần thứ nhất, thứ hai. Gọi A là biến cố số chấm xuất
hiện trên hai lần gieo như nhau. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là tập hợp con của tập
hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
a; b

A.

z  2  3i �12

B.

z  2  3i �13

C.
Lời giải
Ta có

D.

z  2  3i �11

A    1;1 ,  2; 2  ,  3;3  ,  4; 4  ,  5;5  ,  6;6  

 x  2

z  2  3i 
Gọi z  x  yi; x, y �R khi đó

Giả sử

z  2  3i  10

z  2  3i �R �

�  x  2    y  3 �R 2 .
2

 x  2

2

2

  y  3

2

  y  3 �R
2

2

Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là những điểm thuộc miền

 và bán kính R.
trong và trên đường tròn tâm 
Để tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là tập hợp con của tập hợp các điểm biểu diễn của số
phức z thì IM �R, M �R.
Khi đó ta được R  13
Chọn C.
I 2; 3