TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHƯƠNG LƯỢNG GIÁC

TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHƯƠNG LƯỢNG GIÁC
I). TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ:
1). Hàm số chẵn, hàm số lẻ:
• Hàm số y = f ( x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu: với mọi
x ∈ D thì −x ∈ D và f ( −x) = f ( x) .

• Hàm số y = f ( x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu: với mọi x ∈ D

thì −x ∈ D và f ( −x) = −f ( x) .

Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
2). Hàm số đơn điệu:
Cho hàm số y = f ( x) xác định trên tập ( a;b) ⊂ ¡ .

• Hàm số y = f ( x) gọi là đồng biến (hay hàm số tăng) trên ( a;b) nếu
∀x1,x2 ∈ ( a;b) có x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .

• Hàm số y = f ( x) gọi là nghịch biến (hay hàm số giảm) trên ( a;b) nếu

∀x1,x2 ∈ ( a;b) có x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) .

3). Hàm số tuần hoàn:
Hàm số y = f ( x) xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hoàn
nếu có số T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có (x + T) ∈ D và (x − T) ∈ D và
f ( x + T ) = f ( x) .

Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu
kì của hàm tuần hoàn f.
II). HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
1). Hàm số sin: y = sinx

Tính chất:
Tập xác định ¡ .
Tập giá trị:  −1;1 ,có nghĩa là −1 ≤ sin x ≤ 1,∀x ∈ ¡ .
Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π , có nghĩa sin ( x + k2π ) = sinx với k ∈ ¢ .

 π

π
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  − + k2π; + k2π ÷ và nghịch biến
2
 2

π

3π
trên mỗi khoảng  + k2π; + k2π ÷ , k ∈ ¢ .
2
2

y = sin x là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng
(Hình 1).


Một số giá trị đặc biệt:
sinx = 0 ⇔ x = kπ ,(k ∈ ¢ )

Hình 1.

π
+ k2π,(k ∈ ¢ )

2
π
sinx = −1 ⇔ x = − + k2π,(k ∈ ¢)
2
2). Hàm số côsin: y = cosx
Tính chất:
Tập xác định ¡ .
Tập giá trị:  −1;1 ,có nghĩa là −1 ≤ cosx ≤ 1,∀x ∈ ¡ .
sinx = 1 ⇔ x =

Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π , có nghĩa cos( x + k2π ) = cosx với k ∈ ¢ .
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −π + k2π;k2π ) và nghịch biến trên

mỗi khoảng ( k2π; π + k2π ) , k ∈ ¢ .
y = cosx là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng (Hình
2).

Một số giá trị đặc biệt:
π
cosx = 0 ⇔ x = + kπ,(k ∈ ¢)
2
cosx = 1 ⇔ x = k2π,(k ∈ ¢ ) .
cosx = −1 ⇔ x = π + k2π,(k ∈ ¢) .

Hình 2.

sin x
cosx
π


Tập xác định: ¡ \  + kπ k ∈ ¢ 
2

Tâp giá trị là R.
Hàm số tuần hoàn với chu kì π , có nghĩa tan ( x + kπ ) = tan x,(k ∈ ¢ ) .
3). Hàm số tang: y = tanx =


 π

π
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  − + kπ; + kπ ÷,( k ∈ ¢ ) .
2
 2

y = tanx là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
π
và nhận mỗi đường thẳng x = + kπ,k ∈ ¢ làm đường tiệm cận.(Hình 3)
2

Một số giá trị đặc biệt :
tan x = 0 ⇔ x = kπ ,k ∈ ¢
π
tan x = 1 ⇔ x = + kπ,k ∈ ¢ .
4
π
tan x = −1 ⇔ x = − + kπ ,k ∈ ¢ .
4
4). Hàm số cotang: y = cotx =

{

}

Hình 3.

cosx
.
sinx

Tập xác định: ¡ \ kπ k ∈ ¢ .
Tập giá trị: ¡ .
Tính chất:

Hàm số tuần hoàn với chu kì π , có nghĩa cot ( x + kπ ) = cotx,(k ∈ ¢ ) .

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( kπ; π + kπ ) ,k ∈ ¢ .
y = cotx là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
và nhận mỗi đường thẳng x = kπ,k ∈ ¢ làm đường tiệm cận (Hình 4).


Một số giá trị đặc biệt :
π
cotx = 0 ⇔ x = + kπ,k ∈ ¢ .
2
π
cotx = 1 ⇔ x = + kπ ,k ∈ ¢ .
4
π
cotx = −1 ⇔ x = − + kπ ,k ∈ ¢ .

4

Hình 4

ÔN TẬP: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
HỆ THỨC CƠ BẢN
sinx
cosx
1. sin2x + cos2x = 1
2. tanx =
3. cotx =
cosx
sinx
1
1
2
2
4. tanx.cotx = 1
5. 1+ tan x =
6. 1+ cot x =
2
cos x
sin2x
Điều kiện tồn tại:
• cotx là (x ≠ kπ , k ∈ Z)
•
tanx là (x ≠ π/ 2 + kπ , k ∈ Z)
• cosx là – 1 ≤ cosx ≤ 1
•
sinx là – 1 ≤ sinx ≤ 1

chú ý:
•
a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab • a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b)
CÔNG THỨC CỘNG
7. cos(a + b) = cosa.cosb − sina.sinb
8. cos(a − b) = cosa.cosb + sina.sinb
sin(a
+
b)
=
sina.cosb
+
cosa.sinb
9.
10. sin(a − b) = sina.cosb − cosa.sinb
tana + tanb
1− tana.tanb
cota.cotb − 1
13. cot(a + b) =
cota + cotb
CÔNG THỨC NHÂN
11. tan(a + b) =

tana − tanb
1+ tana.tanb
cotacotb + 1
14. cot(a − b) =
cota − cotb
12. tan(a − b) =

NHÂN ĐÔI
15. sin2a = 2sina.cosa
17. tan2a =

16. cos2a = 2cos2a − 1 = 1− 2sin2a = cos2a − sin2a

2tana
1− tan2a

NHÂN BA
18. cos3a = 4cos3a − 3cosa
tan3a =

19. sin3a = 3sina − 4sin3a 20.

3

3tana − tan a
1− 3tan2a

HẠ BẬC
1− cos2a
2
1
+
cos2a
22. cos2a =
2
3sina − sin3a

3
23. sin a =
4
3cosa + cos3a
3
24. cos a =
4
21. sin2a =

GÓC CHIA ĐÔI: với t = tan
25. sinx =
tan x =

2t
1+ t2

⇒ 1− cos2a = 2sin2a
⇒1+ cos2a = 2cos2a

x
2
26. cosx =

1− t2
1+ t2

27.

2t

1− t2
TỔNG THÀNH TÍCH
a+ b
a− b
28. cosa + cosb = 2cos
cos
2
2
a+ b
a− b
30. sina + sinb = 2sin
cos
2
2
sin(a + b)
32. tana + tanb =
cosacosb
sin(a + b)
34. cota + cotb =
sinasinb

a+ b
a− b
sin
2
2
a+ b
a− b
31. sina − sinb = 2cos
sin

2
2
sin(a − b)
33. tana −tanb =
cosacosb
−sin(a − b)
35. cota − cotb =
sinasinb

29. cosa − cosb = −2sin

TÍCH THÀNH TỔNG
1
36. cosacosb = cos( a − b) + cos(a + b)
2
1
37. sinasinb =  cos(a − b) − cos(a + b)
2
1
38. sinacosb = sin(a − b) + sin(a + b)
2


CUNG LIÊN KẾT

Góc đối nhau

Góc bù nhau

cos(−α) = cosα

sin(π − α) = sin α

sin(−α) = − sin α

cos(π − α) = − cosα

tan(−α) = − tan α

tan(π − α ) = − tan α

cot(−α) = − cot α

cot(π − α) = − cot α

Góc phụ nhau
π

sin  − α ÷ = cosα
2


π

cos − α ÷ = sin α
2


π


tan  − α ÷ = cot α
2

π

cot  − α ÷ = tan α
2


π
2

Góc hơn kém π

Góc hơn kém

sin(π + α) = − sin α

π

sin  + α ÷ = cosα
2


cos(π + α) = − cos α

π

cos + α ÷ = − sin α
2



tan(π + α) = tan α

π

tan  + α ÷ = − cot α
2



cot(π + α) = cot α

π

cot  + α ÷ = − tan α
2



Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:


π
6

0

00

300

π
4

450

π
3

600

2π
3

π
2

900

1200

3π
4

1350

π

3π

2π
2

23
76
1800
00
00

sin

0

1
2

2
2

3
2

1

cos

1

3
2

2
2

1
2

0

tan

0

3
3

1

3

3

1

3
3

cot

CHÚ Ý:

• 1+ sin2x = ( sinx + cosx) ; 1− sin 2x = (sinx − cosx)2;
2

2

x
x


• 1+ sin x = (sin + cos )2; 1− sin x =  sin x − cos x ÷
2
2
2
2


• 1− cos2x = 2sin2 x; 1+ cos2x = 2cos2 x .
x
x
• 1+ cosx = 2cos2 ; 1− cosx = 2sin2
2
2


π
π
• sinx + cosx = 2sin  x + ÷ = 2cos x − ÷.
4
4






π
π
• sinx + 3cosx = 2cos x − ÷ = 2sin  x + ÷ .
6
3




π
π
• 3sinx + cosx = 2sin  x + ÷ = 2cos x − ÷
6
3



1
3
• sin4 x + cos4 x = 1− sin2 2x; sin6 x + cos6 x = 1− sin2 2x
2
4

CÁC DẠNG TOÁN

0

3
2
−

1
2

2
2
−

2
2

–
0 0
1
–1 01

− 3

–1

0 0

3
3

–1

0

−


VẤN ĐỀ 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
DẠNG 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC :
PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng các mệnh đề tương đương sau:
f ( x)
y=
xác định ⇔ g ( x) ≠ 0
g ( x)
y = 2n f ( x) ,n ∈ ¥ * xác định ⇔ f ( x) ≥ 0 .
y = sin  u ( x)  xác định ⇔ u ( x) xác định.

y = cos  u ( x)  xác định ⇔ u ( x) xác định.

π
y = tan  u ( x)  xác định ⇔ u ( x) xác định và u ( x) ≠ + kπ,k ∈ ¢ .
2


y = cot  u ( x)  xác định ⇔ u ( x) xác định và u ( x) ≠ kπ,k ∈ ¢ .
Ví dụ: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

x 
π2
÷

a). y = 3 − 2cosx
b). y = sin
c). y = sin 
 2
÷
2x − 1
 x −4
sin x
d). y = 3cot ( 2x + 3)
e). y = 2sin 3x + tan ( 1− 4x)
f). y =
2
sin x − cos2 x
LỜI GIẢI
3
a). y = 3 − 2cosx , hàm số xác định khi 3 − 2cosx ≥ 0 ⇔ cosx ≤
(đúng
2
∀x ∈ ¡ ), vì −1 ≤ cosx ≤ 1,∀x ∈ ¡ . Suy ra tập xác định là D = ¡ .
1
π2
π2
hàm số xác định ⇔
xác định ⇔ 2x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠
2
2x − 1
2x − 1
 1
.Tập xác định của hàm số D = ¡ \   .
 2

b). y = sin


x
x 
÷ hàm số xác định ⇔
c). y = sin 
xác định
2
 2
÷
x −4
 x −4
⇔ x2 − 4 > 0 ⇔ x2 > 4 ⇔ x ∈ ( −∞; −2) ∪ ( 2; +∞ ) . Tập xác định của hàm số
D = ( −∞ ; −2) ∪ ( 2; +∞ ) .

d). y = 3cot ( 2x + 3) =

3cos( 2x + 3)
sin ( 2x + 3)

hàm số xác định ⇔ sin ( 2x + 3) ≠ 0

3 kπ
+
,(k ∈ ¢ ) .
2 2
 3 kπ


k ∈ ¢ .
Tập xác định của hàm số D = ¡ \  − +
2
2


⇔ 2x + 3 ≠ kπ ⇔ x ≠ −


e). y = 2sin 3x + tan ( 1− 4x) = 2sin 3x +
⇔ cos( 1− 4x) ≠ 0 ⇔ 1− 4x ≠

sin(1− 4x)
hàm số xác định
cos(1− 4x)

1 π kπ
π
,k ∈ ¢ . Tập xác định của
+ kπ ⇔ x ≠ − −
4 8 4
2

 1 π kπ

k ∈ ¢ .
hàm số D = ¡ \  − −
4 8 4

sin x

sinx
sinx
=
=−
f). y =
hàm số xác định ⇔ cos2x ≠ 0
2
2
cos2x
sin x − cos x − cos2x
⇔ 2x ≠

π
π kπ
+ kπ ⇔ x ≠ +
,k ∈ ¢ . Tập xác định của hàm số
4 2
2

 π kπ

D=¡ \  +
k ∈ ¢ .
4 2

DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

π
a). y = 2sin  x − ÷

b). y = 4 − 2sin5 ( 2x) − 8 c). y = sin6 x + cos6 x
3


2π 
d). y = cos 2x +
f). y = sin x − cosx
÷+ cos2x e). y = cos2x + 4sinx
3

 π π
 π π
g). y = 3cosx + 2 trên đoạn  − ; 
h). y = tan x,x ∈  − ; 
2
2


 3 6
 π π
2
k). y = tan x − tan x + 2,x ∈  − ; 
 4 4

l). y = 2sin2 x − sin2x + 7

LỜI GIẢI


π

π
a). Ta có −1 ≤ sin  x − ÷ ≤ 1 ⇔ −2 ≤ 2sin  x − ÷ ≤ 2 ⇔ −2 ≤ y ≤ 2 . Vậy:
3
3




π
π π
5π
• Miny = −2 khi sin  x − ÷ = 1 ⇔ x − = + k2π ⇔ x =
+ k2π,k ∈ ¢ .
3
3 2
6


π
π
π
π
• Maxy = 2 khi sin  x − ÷ = −1 ⇔ x − = − + k2π ⇔ x = − + k2π,k ∈ ¢ .
3
3
2
6

b). Ta có −1≤ sin2x ≤ 1 ⇔ −1≤ sin5(2x) ≤ 1 ⇔ 2 ≥ −2sin5(2x) ≥ −2

⇔ 4 + 2 ≥ 4 − 2sin5(2x) ≥ 4− 2 ⇔ 6 ≥ 4 − 2sin5(2x) ≥ 2 ⇔ 6 ≥ 4 − 2sin5(2x) ≥ 2
⇔ 6 − 8 ≥ 4 − 2sin5(2x) − 8 ≥ 2 − 8 ⇔ 6 − 8 ≥ y ≥ 2 − 8 . Vậy :
π
π
+ k2π ⇔ x = + kπ ,k ∈ ¢ .
2
4
π
π
• Maxy = 6 − 8 khi sin2x = −1 ⇔ 2x = − + k2π ⇔ x = − + kπ,k ∈ ¢ .
2
4
• Miny = 2 − 8 khi sin2x = 1 ⇔ 2x =


3
3
3
3
c). y = sin6 x + cos6 x = 1− sin2 2x . Do 0 ≤ sin2 2x ≤ 1 ⇔ − .0 ≥ − sin2 2x ≥ −
4
4
4
4
3
3
1
⇔ 1 ≥ 1− sin2 2x ≥ 1−
⇔ 1 ≥ y ≥ . Vậy :
4

4
4
1
π
π kπ
• Miny = khi sin2 2x = 1 ⇔ cos2x = 0 ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = +
,k ∈ ¢ .( vì
4
2
4 2

sin2 2x + cos2 2x = 1 ).
kπ
• Maxy = 1 khi sin2 2x = 0 ⇒ sin2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x =
,k ∈ ¢ .
2



2π 
π
π
π
d). y = cos 2x +
÷+ cos2x = 2cos 2x + ÷cos = cos 2x + ÷ .
3
3
3
3




Vì


π
−1 ≤ cos 2x + ÷ ≤ 1 ⇔ −1 ≤ y ≤ 1 .
3


(

)

2
2
e). y = cos2x + 4sin x = 1− 2sin x + 4sin x = −2 sin x − 2sinx + 1 + 3

= 3 − 2( sinx − 1)

2

Ta có −2 ≤ sin x − 1 ≤ 0 ⇒ 4 ≥ ( sinx − 1) ≥ 0 ⇔ −8 ≤ −2( sinx − 1) ≤ 0
2

2

2
⇔ 3− 8 ≤ 3− 2( sin x − 1) ≤ 3 + 0 ⇔ −5 ≤ y ≤ 3 . Vậy :

π
• Miny = −5 khi sinx = −1 ⇔ x = − + k2π,k ∈ ¢ .
2
π
• Maxy = 3 khi sinx = 1 ⇔ x = + k2π,k ∈ ¢ .
2
f). y = sin x − cosx
Vì 0 ≤ sin x ≤ 1 và 0 ≤ cosx ≤ 1 Do đó −1 ≤ y ≤ 1.
Lại có : Khi x = 0 thì y = −1.
π
Khi x =
thì y = 1
2
Kết luận Maxy = 1 và Miny = −1
 π π
g). y = 3cosx + 2 trên đoạn  − ; 
 2 2

 π π
Khi x ∈  − ;  thì 0 ≤ cosx ≤ 1 nên 2 ≤ 3cosx + 2 ≤ 5 ⇔ 2 ≤ y ≤ 5 .
 2 2
π
Vậy : Miny = 2 khi x = ± . Maxy = 5 khi x = 0 .
2
 π π
h). y = tanx,x ∈  − ; 
 3 6


 π π

Ta có hàm số tanx đồng biến và xác định trên khoảng  − ; ÷ mà
 2 2
 π π  π π 
 − 3 ; 6  ⊂  − 2 ; 2 ÷ do đó hàm số tanx đồng biến và xác định trên đoạn

 


 π π
 π
π
 − 3 ; 6  . Từ đó ta có tan  − 3 ÷ ≤ tan x ≤ tan 6




3
3
. Vậy :
⇔ − 3≤ y≤
3
3
π
π
3
khi x = .
Miny = − 3 khi x = − . Maxy =
3
6
3

⇔ − 3 ≤ tanx ≤

2


1 7
k). Ta có y = tan2 x − tanx + 2 =  tanx − ÷ +
2
4

 π π
Ta có hàm số tanx đồng biến và xác định trên khoảng  − ; ÷ mà
 2 2
 π π  π π 
 − 4 ; 4  ⊂  − 2 ; 2 ÷ do đó hàm số tanx đồng biến và xác định trên đoạn

 


 π π
 π
π
 − 4 ; 4  . Từ đó ta có tan  − 4 ÷ ≤ tan x ≤ tan 4




1
1
1

3
1 1
⇔ −1 ≤ tanx ≤ 1⇒ −1− ≤ tanx − ≤ 1− ⇔ − ≤ tanx − ≤
2
2
2
2
2 2
2

2


1
9
7 
1 7 9 7
7
⇒ 0 ≤  tan x − ÷ ≤ ⇔ ≤  tanx − ÷ + ≤ + ⇔ ≤ y ≤ 4 .
2
4
4 
2
4 4 4
4

7 khi
1
1
tan x = ⇔ x = arctan .

4
2
2
π
• Maxy = 4 khi tan x = −1 ⇔ x = − + kπ ,k ∈ ¢ .
4
1− cos2x
l). y = 2sin2 x − sin2x + 7 = 2.
− sin2x + 7 = − cos2x − sin 2x + 8
2

π
= −2( cos2x + sin2x) + 8 = −2 2cos x − ÷+ 8 .
4

• M iny =



π
π
Có −1 ≤ cos x − ÷ ≤ 1 ⇔ 2 2 ≥ −2 2cos x − ÷ ≥ −2 2
4
4



π
⇔ 2 2 + 8 ≥ −2 2cos x − ÷+ 8 ≥ −2 2 + 8 ⇔ 2 2 + 8 ≥ y ≥ −2 2 + 8 . Vậy :
2



π
π
π
• Miny = −2 2 + 8 khi cos x − ÷ = 1 ⇔ x − = k2π ⇔ x = + k2π ,k ∈ ¢ .
4
4
4





π
π
5π
• Maxy = 2 2 + 8 khi cos x − ÷ = −1 ⇔ x − = π + k2π ⇔ x =
+ k2π,k ∈ ¢ .
4
4
4

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau trên khoảng đã chỉ ra:
1
y = sinx +
trên khoảng ( 0;π )
sin x

( sin x + cosx)

y=

3

 π
trên khoảng  0; ÷
 2
cosxsin2 x
VẤN ĐỀ 2: TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
DẠNG 1: XÉT TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ
Ví dụ: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác sau :

9π 
a). y = f ( x) = tan x + cotx
b). y = f ( x) = sin  2x +
÷
2

π
3
c). y = −2cos  3x + ÷
d). y = tan7 2x.sin5x
2


e). y = sin3 ( 3x + 5π ) + cot ( 2x − 7π )
g). y = sin x2 − 16

f). y = cot ( 4x + 5π ) tan ( 2x − 3π )
h). y = sin2 2x + cos3x

LỜI GIẢI

π
cosx ≠ 0 x ≠ + kπ
⇔
a). Để hàm số có nghĩa ⇔ 
(với k,l ∈ ¢ ). Tập xác
2
sin x ≠ 0
 x ≠ lπ

π

định D = ¡ \  + kπ ,lπ k,l ∈ ¢  , là một tập đối xứng. Do đó ∀x ∈ D thì
2

−x ∈ D
Ta có f ( −x) = tan ( −x) + cot ( −x) = − tanx − cotx = − ( tan x + cotx) = −f ( x) . Vậy
hàm số f(x) là hàm số lẻ. Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối
xứng.
b). Tập xác định D = ¡ , là một tập đối xứng. Do đó ∀x ∈ D thì − x ∈ D .




9π 
π
π
Ta có f ( x) = sin  2x +

÷ = sin  2x + + 4π ÷ = sin  2x + ÷ = cos2x .
2
2
2





Có f ( −x) = cos( −2x) = cos2x = f ( x) . Vậy hàm số f(x) là hàm số chẵn. Đồ thị
hàm số nhận trung tung Oy làm trục đối xứng.
d). y = f ( x) = tan7 2x.sin 5x . Hàm số có nghĩa khi cos2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠

π
+ kπ
2

 π kπ

π kπ
,k ∈ ¢  , là một tập đối
+
,k ∈ ¢ . Tập xác định D = ¡ \  +
4 2
4 2

xứng. Do đó ∀x ∈ D thì − x ∈ D . Ta có
⇔ x≠

f ( −x) = tan7(−2x).sin(−5x) = tan7 2x.sin5x = f ( x ) . Vậy hàm số f(x) là hàm số

chẵn. Đồ thị hàm số nhận trung tung Oy làm trục đối xứng.


e). y = f ( x) = sin3 ( 3x + 5π ) + cot ( 2x − 7π ) = − sin3 3x + cot2x . Hàm số có nghĩa
 kπ

kπ
,k ∈ ¢ . Tập xác định D = ¡ \  ,k ∈ ¢  , là
2
 2

một tập đối xứng. Do đó ∀x ∈ D thì − x ∈ D . Ta có
khi sin2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ ⇔ x ≠

(

)

f ( −x) = − sin3(−3x) + cot(−2x) = sin3 3x − cot2x = − − sin3 3x + cot2x = −f ( x) . Vậy

hàm số f(x) là hàm số lẻ. Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối
xứng.
f). y = f ( x) = cot ( 4x + 5π ) tan ( 2x − 3π ) = cot4x.tan 2x . Hàm số có nghĩa khi

kπ
4x ≠ kπ
x≠
kπ
sin4x ≠ 0



4
⇔
⇔
⇔ x≠
. Tập xác định

π
4
cos2x ≠ 0 2x ≠ + kπ
x ≠ π + kπ
2

4 2

 kπ

D = ¡ \  ,k ∈ ¢  , là một tập đối xứng. Do đó ∀x ∈ D thì − x ∈ D .
 4


Ta có f ( −x) = cot(−4x).tan(−2x) = cot4x.tan 2x = f ( x) . Vậy hàm số f(x) là hàm
số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trung tung Oy làm trục đối xứng.

g). y = sin x2 − 16 . Hàm số có nghĩa khi x2 − 16 ≥ 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −4 ∪  4; +∞ ) .

Tập xác định D = ( −∞; −4 ∪  4; +∞ ) , là một tập đối xứng. Do đó ∀x ∈ D thì
− x ∈ D . Ta có f ( −x) = sin (−x)2 − 16 = sin x2 − 16 = f ( x) . Vậy hàm số f(x) là
hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trung tung Oy làm trục đối xứng.

h). y = sin2 2x + cos3x . Tập xác định D = ¡ , là một tập đối xứng. Do đó
∀x ∈ D thì − x ∈ D . Ta có f ( −x) = sin2(−2x) + cos(−3x) = sin2 2x + cos3x = f ( x) .

Vậy hàm số f(x) là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trung tung Oy làm
trục đối xứng.
DẠNG 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG PHÁP :
Vẽ vòng tròn lượng giác.
Biểu diễn các cung lượng giác trên vòng tròn lượng giác.
Dựa vào định nghĩa của các hàm số lượng giác để xét các khoảng đồng
biến nghịch biến của hàm số lượng giác.
Ví dụ : Xét tính tăng giảm và lập bảng biến thiên của các hàm số lượng
giác sau :
 π π
a). y = 2sinx trên ( 0;π )
b). y = sin2x trên  − ; 
 2 2

 π 5π 
π
c). y = cos x − ÷ trên  − ; 
3

 6 6
LỜI GIẢI
a).


 π
π

d). y = tan  x − ÷ trên 0; 
4

 2


 π
∀x1,x2 ∈  0; ÷ nếu x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) (Hình 1). Suy ra hàm số f(x)
 2
 π
π 
đồng biến trên  0; ÷ . ∀x1,x2 ∈  ; π ÷ nếu x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) (Hình 2).
2


2 
π 
Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên  ; π ÷ .
2 
Bảng biến thiên :
x
π
π
0
2
2
f ( x)
0
0
 π π

b). y = sin2x trên  − ; 
 2 2
 π π
Vì x ∈  − ;  ⇒ 2x ∈  −π; π  . Đặt u = 2x , đồ thị hàm số y = sinu như sau :
 2 2

 π π
Khi x biến thiên trong  − ; − ÷ thì 2x biến thiên trong
 2 4
 π π
hàm số y = sin2x nghịch biến trên khoảng  − ; − ÷.
 2 4


π
 −π; − ÷ , nên
2



 π π
 π π
Khi x biến thiên trong  − ; ÷ thì 2x biến thiên trong  − ; ÷, nên hàm
 4 4
 2 2
 π π
số y = sin2x đồng biến trên khoảng  − ; ÷.
 4 4
π π
π 

Khi x biến thiên trong  ; ÷ thì 2x biến thiên trong  ; π ÷ , nên hàm số
4
2


2 
π π
y = sin2x nghịch biến trên khoảng  ; ÷ .
 4 2
Bảng biến thiên của hàm số y = sin2x :
x
π
π
0
−
−
2
4
π
2
0
f ( x)
0

π
4

1

−1


 π 5π 
π
c). y = cos x − ÷ trên  − ; 
3

 6 6
 π 5π  

π   π π
π
Vì x ∈  − ;  ⇒  x − ÷∈  − ;  . Đặt u =  x − ÷ , đồ thị hàm số y = cosu
3   2 2
3
 6 6 

như sau :

 π π

π
Khi x biến thiên trong  − ; ÷ thì  x − ÷ biến thiên trong
6
3
3





 π π
π
hàm số y = cos x − ÷ đồng biến trên khoảng  − ; ÷.
3

 6 3

 π 
 − ;0÷ , nên
 2 

 π 5π 

 π
π
Khi x biến thiên trong  ; ÷ thì  x − ÷ biến thiên trong  0; ÷ , nên
3
3 6 

 2

 π 5π 
π
hàm số y = cos x − ÷ nghịch biến trên khoảng  ; ÷ .
3

3 6 

 π 5π 
π

Bảng biến thiên của hàm số y = cos x − ÷ trên  − ; 
3


 6 6
x
π
π
−
6
3


5π
6
f(x)

1

0
0

π

 π π
d). y = tan  − x ÷ trên  − ; ÷
4

 2 2
π

vì hàm y = − x nghịch biến trên R và hàm số y = tan u đồng biến trên
4
π

mỗi khoảng xác định. Do đó hàm số y = tan  − x ÷ nghịch biến trên mỗi
4

khoảng xác định của nó.
 π π
π
  π 3π 
Lại có khi x ∈  − ; ÷ thì  − x ÷∈  − ; ÷ và trong khoảng này hàm số
2
2
4



  4 4
không xác định ⇔
như sau :

π
π
π
− x = ⇔ x = − . Suy ra bảng biến thiên của hàm số
4
2
4

DẠNG 3: TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Ví dụ : Chứng minh các hàm số lượng giác sau đây là hàm tuần hoàn và
tìm chu kì (nếu có) của chúng :


π
π
π
2
a). y = sin  4x + ÷
b). y = 2cos  x + ÷+ 1
c). y = 3tan  2x + ÷
4
3
4



d). y =

2
sinx

f). y =

1
cos2x

π
3

g). y = 4cos  2x − ÷
3


LỜI GIẢI

π
a). y = sin  4x + ÷. Tập xác định D = ¡
4

Cách 1 : Ta có
(x ± π) ∈ ¡

∀x ∈ ¡ , 




π
π
π
f ( x + π ) = sin  4( x + π ) + 4  = sin  4x + 4 + 4π ÷ = sin  4x + 4 ÷ = f ( x)







Vậy f(x) là hàm tuần hoàn.


π
Tìm chu kì của f(x) : Giả sử L là chu kì của hàm số f ( x) = sin  4x + ÷ thì L
4

là số dương nhỏ nhất thỏa ∀x ∈ ¡ ,f ( x + L ) = f ( x)


π
π
⇔ ∀x ∈ ¡ ,sin  4( x + L ) +  = sin  4x + ÷
4
4






π
π
⇔ ∀x ∈ ¡ ,sin  4x + + 4L ÷ = sin  4x + ÷ (1)
4
4



(u ± T) ∈ ¡

Mặt khác số dương T nhỏ nhất thỏa ∀u ∈ ¡ , 
chính là 2π
sin ( u + T ) = sinu
(2).
π
Từ (1) và (2) suy ra 4L = 2π ⇔ L = .
2
Cách 2 :


π
π
Giả sử ∀x ∈ ¡ ,f ( x + L ) = f ( x) ⇔ ∀x ∈ ¡ ,sin  4( x + L ) +  = sin  4x + ÷
4
4





π
π
⇔ ∀x ∈ ¡ ,sin  4x + + 4L ÷ = sin  4x + ÷ (1).
4
4



π
Với x =

thì (1) phải đúng, có nghĩa ta có
16
 π π

 π π
sin  4. + + 4L ÷ = sin  4. + ÷
 16 4

 16 4 
π

π

π
⇔ sin  + 4L ÷ = sin ⇔ sin  + 4L ÷ = 1 ⇔ cos4L = 1 ⇔ 4L = k2π,k ∈ ¢
2
2
2




kπ
⇔L=
,k ∈ ¢ .
2
kπ
Ngược lại với L =
,k ∈ ¢ ta có:
2


kπ
(x ± 2 ) ∈ ¡

∀x ∈ ¡ , 


f  x + kπ ÷ = sin  4 x + kπ ÷+ π  = sin  4x + π + 2kπ ÷ = sin  4x + π ÷ = f ( x)
 
2
2  4
4
4



 
(x ± L) ∈ ¡
kπ
⇔L=
,k ∈ ¢ (*).
Vậy ∀x ∈ ¡ , 
f
x
+
L
=
f
x
2

) ( )
 (
Từ (*) chứng tỏ hàm số f(x) là hàm tuần hoàn.
kπ
π
Mặt khác trong các số L =
là số nguyên dương nhỏ
,k ∈ ¢ thì L =
2
2
π
nhất. Vậy chu kì của hàm số f(x) là .
2



π
2π 
2
b). y = f ( x) = 2cos  x + ÷+ 1 = 2 + cos 2x +
÷ . Tập xác định D = ¡
3
3



2π 
Cách 1 : Ta có ∀x ∈ ¡ thì (x ± π) ∈ ¡ và f ( x + π ) = 2 + cos 2( x + π ) +
÷
3





2π
2π 
= 2 + cos 2x +
+ 2π ÷ = 2 + cos 2x +
÷ = f ( x) .
3
3



Vậy f(x) là hàm tuần hoàn.

2π 
Tìm chu kì của f(x) : Giả sử L là chu kì của hàm số f ( x) = 2 + cos 2x +
÷
3

thì L là số dương nhỏ nhất thỏa ∀x ∈ ¡ ,f ( x + L ) = f ( x)


2π 
2π 
⇔ ∀x ∈ ¡ ,2 + cos  2( x + L ) +
 = 2 + cos 2x + 3 ÷
3








2π
2π 
⇔ ∀x ∈ ¡ ,cos 2x +
+ 2L ÷ = cos 2x +
÷ (1)
3
3



(u ± T) ∈ ¡
Mặt khác số dương T nhỏ nhất thỏa ∀u ∈ ¡ , 
chính là 2π
cos( u + T ) = cosu
(2).
Từ (1) và (2) suy ra 2L = 2π ⇔ L = π . Kết luận chu kì của f(x) là π .
Cách 2 :


2π 
2π 
Giả sử ∀x ∈ ¡ ,f ( x + L ) = f ( x) ⇔ ∀x ∈ ¡ ,2 + cos 2(x + L) +
÷ = 2 + cos 2x +
÷

3
3






2π
2π 
⇔ ∀x ∈ ¡ ,cos 2x +
+ 2L ÷ = cos 2x +
÷ (1).
3
3



π
Với x = − thì (1) phải đúng, có nghĩa ta có
3



π 2π
π 2π 
cos 2(− ) +
+ 2L ÷ = cos 2(− ) +
÷ ⇔ cos2L = 1 ⇔ 2L = k2π,k ∈ ¢
3

3
3
3



⇒ L = kπ ,k ∈ ¢
Ngược lại với L = kπ,k ∈ ¢ ta có ∀x ∈ ¡ ,

(x ± kπ) ∈ ¡





2π 
2π
2π 

f ( x + kπ ) = 2 + cos  2( x + kπ ) + 3  = 2 + cos 2x + 3 + k2π ÷ = 2 + cos 2x + 3 ÷ = f ( x)








(x ± L) ∈ ¡
⇔ L = kπ ,k ∈ ¢ (*). Từ (*) chứng tỏ hàm số f(x) là

Vậy ∀x ∈ ¡ , 
f ( x + L ) = f ( x)
hàm tuần hoàn.
Mặt khác trong các số L = kπ,k ∈ ¢ thì L = π là số dương nhỏ nhất. Vậy chu
kì của hàm số f(x) là π .



π
c). y = 3tan  2x + ÷
4


π
π π
π kπ
,k ∈ ¢ .
Hàm số xác định khi cos 2x + ÷ ≠ 0 ⇔ 2x + ≠ + kπ ⇔ x ≠ +
4
4 2
8 2

 π kπ

,k ∈ ¢  .
Vậy tập xác định của hàm số D = ¡ \  +
8
2





π
π
Giả sử ∀x ∈ D,f ( x + L ) = f ( x) ⇔ ∀x ∈ D,3tan  2(x + L) +  = 3tan  2x + ÷ (1).
4
4


π
Với x = − thì (1) phải đúng, có nghĩa ta phải có :
6


π
π
π π
3tan  2(− + L) +  = 3tan  2(− ) + ÷ ⇔ tan2L = tan0 ⇔ 2L = k π ,k ∈ ¢
8
4
8 4


⇒L=

kπ
,k ∈ ¢ .
2

Ngược lại với L =

kπ
,k ∈ ¢ , ta có:
2


kπ 
 x ±
÷∈ D
2

∀x ∈ D, 
f  x + kπ  = 3tan  2 x + kπ  + π  = 3tan  2x + π + kπ  = 3tan  2x + π  = f x
 

÷
÷

÷

÷ ( )
 
2
2  4
4
4



 


kπ
(x± L) ∈ D
⇔L=
,k ∈ ¢ (*).
Vậy ∀x ∈ D, 
2
f ( x + L ) = f ( x)
Từ (*) chứng tỏ rằng f(x) là hàm tuần hoàn.
kπ
π
Mặt khác trong các số L =
,k ∈ ¢ thì L =
là số dương nhỏ nhất. Vậy
2
2
π
chu kì của hàm số f(x) là .
2

{

d). Tập xác định D = ¡ \ kπ k ∈ ¢

}

Ta xét đẳng thức f ( x + T ) = f ( x) ⇔

1
1

=
⇔ sin ( x + T ) = sinx
sin
x
sin ( x + T )

π

π
π
π
thì sinx = 1 và do đó sin  + T ÷ = 1 ⇔ + T = + k2π ,k ∈ ¢
2
2
2
2

⇔ T = k2π,k ∈ ¢ . Số dương nhỏ nhất trong các số T là 2π .
1
1
=
= f ( x) . Do đó
Rõ ràng ∀x ∈ D,(x ± k2π) ∈ D và f ( x + k2π ) =
sin ( x + k2π ) sinx
chọn x =

f là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π .
VẤN ĐỀ 3: VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT HÀM SỐ SUY RA TỪ MỘT ĐỒ THỊ
CỦA HÀM SỐ ĐÃ BIẾT

PHƯƠNG PHÁP:
Giả sử hàm số y = f ( x) có đồ thị là (C).

Đồ thị ( C ') của hàm số y = k.f ( x) ,k ∈ ¡ được suy ra từ (C) bằng cách biến
mỗi điểm ( x;y ) của (C) thành điểm ( x;ky ) của (C’).

Đồ thị ( C ') của hàm số y = f ( kx) ,k ∈ ¡ được suy ra từ (C) bằng cách biến
 1

mỗi điểm ( x;y ) của (C) thành điểm  x;y ÷ của (C’) nếu k > 0 hoặc
 k
÷


 1

thành điểm  x; − y ÷ của (C’) nếu k < 0.
 k
÷


Đồ thị ( C ') của hàm số y = f ( x + k ) ,k ∈ ¡ được suy ra từ (C) bằng cách

biến mỗi điểm ( x;y ) của (C) thành điểm ( x − k;y ) của (C’) hoặc thực hiện
ur
phép tịnh tiến đồ thị (C) theo véc tơ u = ( − k;0) .
Đồ thị ( C ') của hàm số y = f ( x) + k,k ∈ ¡ được suy ra từ (C) bằng cách

biến mỗi điểm ( x;y ) của (C) thành điểm ( x;y + k ) của (C’) hoặc thực hiện

ur
phép tịnh tiến đồ thị (C) theo véc tơ u = ( 0;k ) .
Đồ thị của hai hàm số y = f ( x) và y = −f ( x) đối xứng với nhau qua trục

hoành.
Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
Ví dụ: Từ đồ thị hàm số y = sinx hãy suy ra đồ thị của mỗi hàm số sau:
 1 
1
a). y = 2sin x
b). y = − sinx
c). y = sin3x
d). y = sin  − x ÷
2
 2 

π
e). y = sin  x + ÷
3



π
f). y = sin  x − ÷ g). y = sin x + 2
h). y = 2cos2 x + 1 .
4

LỜI GIẢI
Gọi đồ thị của hàm số y = sinx là (C)

a). Đồ thị ( C1 ) của hàm số y = 2sinx được suy ra từ (C) bằng cách biến
mỗi điểm ( x;y ) của (C) thành điểm ( x;2y ) của ( C1 ) , hay nói cách khác
đồ thị ( C1 ) nhận được bằng cách thực hiện phép giãn đồ thị (C) theo
phương trục tung hai lần (hình 1).


1
b). Đồ thị ( C 2 ) của hàm số y = − sinx được suy ra từ (C) bằng cách biến
2

1 
mỗi điểm ( x;y ) của (C) thành điểm  x; − y ÷ của ( C 2 ) , hay nói cách
2 

khác đồ thị ( C 2 ) nhận được bằng cách thực hiện phép giãn đồ thị (C)
theo phương trục tung hai lần (hình 2).

c). Đồ thị ( C 3 ) của hàm số y = sin3x được suy ra từ (C) bằng cách biến
x 
mỗi điểm ( x;y ) của (C) thành điểm  ;y ÷ của ( C 3 ) , hay nói cách khác
3 
đồ thị ( C 3 ) nhận được bằng cách thực hiện phép co đồ thị (C) theo
phương trục hoành ba lần (hình 3).

 1 
d). Đồ thị ( C 4 ) của hàm số y = sin  − x ÷ được suy ra từ (C) bằng cách
 2 
biến mỗi điểm ( x;y ) của (C) thành điểm ( 2x; − y ) của ( C 4 ) , hay nói cách
khác đồ thị ( C 4 ) nhận được bằng cách thực hiện phép giãn đồ thị (C)

theo phương trục hoành hai lần để được đồ thị (C’) và sau đó thực hiện
phép đối xứng (C’) qua trục hoành được ( C 4 ) (hình 4).


π
e). Đồ thị ( C 5 ) của hàm số y = sin  x + ÷ được suy ra từ (C) bằng cách
3


π 
biến mỗi điểm ( x;y ) của (C) thành điểm  x − ;y ÷ của ( C 5 ) , hay nói cách
3 

khác đồ thị ( C 5 ) nhận được bằng cách thực hiện phép tịnh tiến (C) theo
ur  π 
véctơ u =  − ;0÷ tức là tịnh tiến (C) theo phương trục hoành sang trái
 3 
π
một đoạn
đơn vị (hình 5).
3


π
f). Đồ thị ( C 6 ) của hàm số y = sin  x − ÷ được suy ra từ (C) bằng cách
4


π 

biến mỗi điểm ( x;y ) của (C) thành điểm  x + ;y ÷ của ( C 6 ) , hay nói cách
4 

khác đồ thị ( C 6 ) nhận được bằng cách thực hiện phép tịnh tiến (C) theo
ur  π 
véctơ u =  ;0÷ tức là tịnh tiến (C) theo phương trục hoành sang phải
4 
π
một đoạn
đơn vị (hình 6).
4


g). Đồ thị ( C7 ) của hàm số y = sinx + 2 được suy ra từ (C) bằng cách biến

mỗi điểm ( x;y ) của (C) thành điểm ( x;y + 2) của ( C7 ) , hay nói cách khác
đồ thị ( C7 ) nhận được bằng cách thực hiện phép tịnh tiến (C) theo véctơ
ur
u = ( 0;2) tức là tịnh tiến (C) theo phương trục tung lên trên một đoạn 2
đơn vị (hình 7).


π
2
h). Ta có y = 2cos x + 1 = cos2x + 2 = sin  −2x + ÷+ 2 .
2

Đồ thị ( C 8 ) của hàm số y = 2cos2 x + 1 được suy ra từ đồ thị (C) bằn cách
thực hiện các phép biến đổi sau:
Phép co đồ thị ( C ) hai lần theo phương trục hoành được đồ thị (C’) và lấy

đối xứng (C’) qua trục hoành được (C’’).
Tịnh tiến (C’’) theo phương trục hoành sang trái một đoạn

π
đơn vị được
4

(C’’’).
Tịnh tiến (C’’’) theo phương trục tung lên trên một đoạn 2 đơn vị được đồ
thị ( C 8 ) cần tìm (Hình 8).

BÀI TẬP TỔNG HỢP


Câu 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
π

1
a). y = tan  cosx ÷
b). y = cosx +
c). y = tan2xcot8x
2
cosx


d). y = 2cosx − 3

e). y =

g). y = 2 + 3tan2 2x h). y =

2 + 3sin 2x
cos2x − 1
1
1+ sin3 x

f). y =

3sin3x

1− cosx
sinx
y=
k).
x
tan2
2

.

LỜI GIẢI
π

sin  cosx÷
π

π

2


a). y = tan  cosx ÷ =
hàm số xác định ⇔ cos cosx ÷ ≠ 0
2

2
 cos π cosx 

÷
2


π
π
cosx ≠ + kπ ⇔ cosx ≠ 1+ 2k
2
2
1
π
b). y = cosx +
hàm số xác định ⇔ cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ . Tập xác định
cosx
2
π

của hàm số D = ¡ \  + kπ k ∈ ¢  .
2

⇔

c). y = tan2xcot8x =

sin 2x cos8x
×
hàm số xác định
cos2x sin8x



π
x≠
cos2x ≠ 0 2x ≠ + kπ

⇔
⇔
⇔
2
sin8x ≠ 0
8x ≠ kπ
x ≠



π kπ
+
4 2 ⇔ x ≠ kπ ,k ∈ ¢
.
kπ
8
8

 kπ

Tập xác định của hàm số D = ¡ \  ,k ∈ ¢  .
 8

2 + 3sin2x
e). y =
hàm số xác định cos2x − 1 ≠ 0 ⇔ cos2x ≠ 1 ⇔ 2x ≠ k2π
cos2x − 1

{

}

⇔ x ≠ kπ ,k ∈ ¢ . Tập xác định của hàm số D = ¡ \ kπ k ∈ ¢ .
f). y =

3sin 3x
1− cosx

hàm số xác định ⇔ 1− cosx > 0 ⇔ cosx ≠ 1 ⇔ x ≠ k2π,k ∈ ¢ .

{

}

Tập xác định của hàm số D = ¡ \ k2π k ∈ ¢ .
π
+ kπ
2

 π kπ

π kπ
k ∈ ¢ .
⇔ x≠ +
,k ∈ ¢ . Tập xác định của hàm số D = ¡ \  +
4
2
4 2



g). y = 2 + 3tan2 2x hàm số xác định ⇔ cos2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠


h). y =

1
1+ sin3 x

hàm số xác định ⇔ 1+ sin3 x > 0 ⇔ sinx ≠ −1

 π

π
+ k2π ,k ∈ ¢ . Tập xác định của hàm số D = ¡ \ − + k2π k ∈ ¢  .
2
 2



x
x
sinx
tan 2 ≠ 0  2 ≠ kπ
y=
⇔
k).
x hàm số xác định ⇔ 
tan2
x
x π

cos ≠ 0  ≠ + kπ
2
2

 2 2

x ≠ k2π
⇔
⇔ x ≠ kπ ,(k ∈ ¢ ) . Tập xác định của hàm số D = ¡ \ kπ k ∈ ¢ .

x ≠ π + k2π
⇔ x≠ −

{

}

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

 π π
 π π
2
a). y = 4tan x,x ∈  − ; 
b). y = sin x − cosx trên  − ; 
 4 4
 4 4


 π π
π
c). y = sin  2x + ÷,x ∈  − ; 
4


 4 4
e). y = 4cos2 x + 4cosx − 1 trên R
y = sinx + cosx


 3π π 
π
;− 
d). y = cot  x + ÷,x ∈  −
4
3


 4
f). y = sinx − cos2x trên R

g).
h). y = cosx +

 π 5π 
k). y = −5cos2 x + 2sin x + 8 trên  − ; 
 6 6
R

(

) (

1
cos2x
2

l). y = 2sinx + 2cosx − 2sin 2x trên

)

4
4
6
6
2
m). y = 4 sin x + cos x − 6 sin x + cos x − sin 4x

LỜI GIẢI
 π π
a). Ta có hàm số tanx đồng biến và xác định trên khoảng  − ; ÷ mà

 2 2
 π π  π π 
 − 4 ; 4  ⊂  − 2 ; 2 ÷ do đó hàm số tanx đồng biến và xác định trên đoạn

 


 π π
 π
π
 − 4 ; 4  . Từ đó ta có tan  − 4 ÷ ≤ tan x ≤ tan 4




⇔ −1 ≤ tanx ≤ 1 ⇒ 0 ≤ tan2 x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ y ≤ 4 . Vậy:
min y = 0

 π π
 − 4; 4



Max y = 4

 π π
 − 4 ; 4



khi x = ±

π
;
4

khi x = 0 .

 1



1
π
π
sinx −
cosx ÷ = 2  cos sinx − sin cosx ÷
b). Ta có y = sinx − cosx = 2 
4
4
2


 2


π
= 2sin  x − ÷ .
4
