dùng kĩ thuật lấy vi phân hoặc đổi biến

ĐỔI BIẾN
Dùng kỹ thuật lấy vi phân hoặc đổi biến
Các em nhớ công thức vi phân như sau du  u 'dx ở đây u là hàm hợp của x
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) y  sinx 2cosx  1;

b)

sinx
.
cos2 x

y

Lời giải:
a.

sin x
�



2cosx  1dx   �2cosx  1d cosx



Cách 1 : Đặt t  cosx � dt  d(cosx)   sinxdx






1

�2t  1dt   �2t  1 2 dt  

3
3
1
1
2t  1 2  C   2cosx  1 2  C
3
3









Cách 2 : Nếu giải bằng phương pháp lấy vi phân ta làm như sau



1





sin x 2cosx  1dx   �2cosx  1d cosx   �
(2cosx  1)2d cosx
�
3
2



3
(2cosx  1)
1
2

  .(2cosx  1)  C
3
3
2.
2

Trong bài toán này ta áp dụng công thức : d(cosx) = -sinxdx . Khi đó (cosx) là ẩn mới ta sử
1

dụng công thức tổng quát với ẩn mới này .
(aX  b) dx 
�
sinx

(2cosx  1)2dx
�

1 (aX  b) 1
.
C
a
 1
thì X ở bài toán trên là cosx
1

dx  �
d  cosx 
�
cos x
cos x
2

theo công thức tổng quát dưới đây

2

b.
Cách 1 : Đặt t  cosx � dt  d(cosx)   sinxdx


dt 1
1
  �2   C 
C

t
cosx
t
Cách 2 : Nếu giải bằng phương pháp lấy vi phân ta làm như sau
d cosx
1
 � 2 
C
cos x cosx
Qua 2 ví dụ trên ta thấy rằng việc đổi biến (đặt ẩn phụ) và việc lấy vi phân không khác nhau
hướng giải , chỉ khác nhau ở biểu diễn mà thôi , nếu các em không quen nhìn vi phân thì các em
đặt ẩn phụ , còn quen thì lấy vi phân thì bài toán sẽ chuyên nghiệp hơn .
Bài 3: Tìm nguyên hàm: (bằng phương pháp đặt ẩn phụ)

a)

2x
�

c)

�
(3x

x2  1dx;
x
dx;
 9)4

F �

2x x2  1dx 

Đặt

F 



3x
b. �

F 

c.

2





 1d x2  1


3





�x

3



�
(3x





3

2 3
x  1 2 C
3

x
dx
 9)4

2

2
Đặt t  x � 2xdx  dt





 1d x3  1

t  x3  1

�tdt 



3

2 2
2
t  C  x2  1 2  C
3
3

x3  1dx 

2

Đặt

�x

t  x2  1

�tdt 

3x
�

d)

dx.
�
x  4x  5

2

x3  1dx.

2x  4

2

Lời giải:
a.

b)

2


F 

dt

�





2 3t  9

4

 3t  9
dt  
30

5

C

2x  4

dx
�
d. x  4x  5
2

2
Đặt t  x  4x  5 � dt  (2x  4)dx

F  ln t  C  ln x2  4x  5  C

Bài 4 : Tìm nguyên hàm: (bằng phương pháp đặt ẩn phụ)

a)

1 x
�

9

dx

Đặt u  1  x �  du  dx

 1 x
u10
1

x
dx

u

du


u
du


C  





�
�
�
10
10
9

b)

Đặt

9

3
2 2

x  1 x 
�

x  1 x 
�

c)

cos
�

3

5

3
2

5
du 1 32
1 u2
1
dx  �
u
 �
u du 
 C   1  x2  2  C
2 2
2 5
5
2

Đặt u  cos x �  du  sin xdx

cos3 x sin xdx   �
u 3du  
�

d)

C

du
 xdx
2

x sin xdx

lnex

10

dx

u  1  x2 �

3
2 2

9

1  ln x

u4
cos 4 x
C  
C
4
4

dx  �
dx

�
1  x ln x
1  x lnx


u  1  x ln x � du   1  ln x  dx

Đặt

ln ex

Vậy

du

dx  �
�
1  x ln x
u

 ln u  C  ln 1  x ln x  C

 sin x  cos x 

�sin x  cos x dx
3

e)

� 3u 2 du   cos x  sin x  dx

3
3
Đặt u  sinx  cosx � u  sin x  cos x

Vậy

 sin x  cos x  dx 

�sin x  cos x
3

3u 2 du
u2

3
udu

3
C
�u
�
2

Bài 4 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: (Dùng vi phân)

a)

x3
;

(6x4  5)5

y

�

 6x

3

x
4



5

5

dx 

�



3

4x



4 6x  5
4

5

dx 

�



4

1



4 6x  5
4

 6x


5

dx4



5

4

4.6.(4)

 6x
C  

4



5

96

4

C

4
3
Bình luận : Ở bài toán này ta áp dụng vi phân : dx  4x dx . Mục dích giảm bớt việc đặt ẩn
phụ . Sau khi biến đổi vi phân ta được một biến mới , ở bài toán trên không phải là biến x nữa mà
lúc này x4 là biến .

Khi ta coi x4 là biến thì bài toán trên , rồi áp dụng công thức tổng quát
(aX  b) dx 
�

1 (aX  b) 1
.
C
a
 1
ở đây X là x4

Bài 5 : Tìm nguyên hàm: (Dùng vi phân)

etanx
dx;
a) �
cos2 x

ex
dx.
b) �
1  ex

1

c)

dx;
�
x ln x

Lời giải:

d)

x2  4

2xe
�

dx.


dx
etan x
d tan x 
dx  �
etan xd tan x  etanx  C
�
2
cos2 x
a. cos x
ở đây ta dùng công thức vi phân

 

d ex
ex
dx   � x  ln ex  1  C
�
x
1 e
b. 1  e

ở đây ta dùng công thức vi phân





 

d ex  exdx





d ln x
1
1
dx

 ln ln x  C
d ln x  dx
�
�
ln x
x
c. x ln x
ở đây ta dùng công thức vi phân
x2  4

2xe

d. �

2



 

2

dx  �
ex  4d x2  ex 4  C

sin4 x cosxdx  �
sin4 xd sin x 
�

b.
d sin x  cosxdx

ở đây ta dùng công thức vi phân



 

d x2  2xdx

sin5 x
C

5
ở đây ta dùng công thức vi phân

ex
dt
dx 
 ln t  1  C
�
x
x
x
t 1
c. e  1
ở đây ta dùng công thức vi phân de  e dx





CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ KHI ÁP DỤNG VI PHÂN
Đôi khi đổi biết khiến ta mất thời gian hơn , nhiều khi chúng ta chỉ cần áp dụng công thức vi
phân vào bài toán sẽ dơn giản hơn :

Nhớ các công thức vi phân sau đây :
1)d  cos x    sin xdx

1')d  cos ax   a.sin axdx

2) d  sin x   cos x.dx

2 ') d  sin ax   a cos ax.dx

3) d  tan  

dx
cos 2 x
 dx
4)d  cot  
sin 2 x

3')d  tan ax  

5)d  e x   e x .dx

5')d  eax   aeax .dx

a.dx
cos 2 ax
 adx
4 ')d  cot ax  
sin 2 ax


1
6)d  ln   .dx
x

1
6 ') d  lnax   .dx
x

7) d  x a   a.x a 1.dx

7 ')d  a.x+b   a. .  ax+b 


a 1

.dx

ĐỔI BIẾN : DẠNG VÔ TỈ
Kinh nghiệm khi giải các bài toán tích phân có căn ta thường đổi biết t bằng căn đó , rồi sau đó
biểu diễn các biểu thức của x theo t , đồng thời đổi dx theo dt nữa , bài toán trở về một bài toán
mới của biến t .

Câu 6 : Cho

I �
x x 2  3dx 

x

2

 3

a

b

C

2
. Tính S  logb a  loga b  2016 ?

Chọn đáp án đúng:
A.2018

B.2020

C.2025

D.2030

Giải:
2
2
2
Đặt t  x  3 � t  x  3 � 2tdt  2xdx � xdx  tdt .

Suy ra
Vậy

I �
t.tdt  �
t 2 dt 

t3
( x 2  3)3
C 

C
3
3

S  log32 3 log3 3 2016  2018

Bình luận : khi có căn

x 2  3 ta sẽ tìm cách đặt t  x 2  3 .Tiếp đó ta biến đổi các phần còn

lại theo t , kể cả dx cũng biểu diễn theo dt . xdx  tdt
dx
I �
 2x  1  ln
2x  1  4
Câu 7. Cho





n

2x  1  4  C

. Tính

S  Sin(

Chọn đáp án đúng:

1
2
A.

B. 0

C. 1

D. 1

n.
)
8


Chọn C
2
Đặt t  2x  1 � t  2x  1 � tdt  dx

� 4 �
tdt
�I � �
1
dt  t  4 ln t  4  C
�
�
t 4
� t 4 �

 2x  1  ln



Vậy n = 4 vậy



4

2x  1  4  C
S  Sin(

n.
)1
8

2x  1 ta đặt t  2x  1 , sau đó vẫn như thói quen , ta biểu diễn

Bình luận : việc suất hiện căn
dx theo dt : tdt  dx

Câu 8. Cho

I =�
x 3x2 + 1dx =

A.4 và 3

1

a

( 3x

B.9 và 3

2

)

b

+ 1 +C

. Giá trị a và b lần lượt là:

C.3 và 9

D.4 và 9

Chọn B

1
t  3x 2  1 � 2tdt  6 xdx � tdt  xdx
3
Đặt
2

2

1 2
1
7
I �
t dt  t 3 
31
9 1 9
I

1 2
1
1
t dt  t 3  C 
�
3
9
9

 3x

2

 1  C
3

Vậy a=9;b=3

Bình luận : việc suất hiện căn

3x 2  1 ta đặt t  3x 2  1 , sau đó vẫn như thói quen , ta biểu

diễn dx theo dt .

Câu 9: Cho

12
A. 79

A�
x 5 1  x 2 dx  at 7  bt 5  ct 3  C

2
, với t  1  x . Tính A  a  b  c

95
B. 103

22
48
C. 105 D. 109


Chọn C
Đặt t 

x 2  1 � x 2  t 2  1 � xdx  tdt

A�
 t 2  1 t 2 dt  � t 6  2t 4  t 2  dt 
2

� a b c 

Câu 10 Cho


2

3

�sin

2

t 7 2 5 t3
 t 
7 5
3

1
2
1
 C � a  ;b   ;c 
7
5
3

22
105





sin x
1
2
15
dx 
ln a  4 3  ln b  2 2  1 
A   a b
3 . Tín
x 1  cos x
2 2
2

A.30

B.24

C.36

D.75

Chọn D
2
Đặt t  1  cos x � t  1  cos x � 2tdt   sin xdx

x


3

�t 
;x  �t 1
3
2
2

1
1
�1 � 1
2tdt
2
1��
C�
�
dt  2 �
 2�
dt �
3
3 2
3 �2
�
2
2
2 �
� 2 �t  2 t � �
1   t 2  1 � 2 t  t  2 
�

�




1
2 3
�1 � t  2 1�
�
1
 2� �
ln
 �
ln
� 3
�
2 2�
2 3
�
�
� t 2 t�
�
� 2 2 2


1
2

 ln  7  4 3   ln  3  2 2    1 
2




 1
2  1
2 1

2
3

2
� a  7; b  3
3

3

I
Câu 11. Cho

1  x2
11
dx  a  ln b  ln 3
 a b  3
�
x
1
. Tính 2
.

A.0

B.1

C.2

D.3

Chọn A
2
2
2
Đặt t  1  x � t  1  x � tdt  xdx và x :1 � 3 thì t : 2 � 2

3

Khi đó

1  x2
I  � 2 xdx 
x
1

2

t
.tdt 
2
�
t 1

2

2

t 2 11
�t 2  1 dt 
2

2

�

1
�
�
� t
2

2

1 �
dt
�
1 �


2

2

� 1 �1
1 �
� � 1 t 1 �
�
1 � 
t  ln
�
�  2  2  ln
�
�dt  �
2 �t  1 t  1 �
� � 2 t  1 �2
2�
� a  2  2; b  2  1 �





1
2  1  ln 3
2

11
 a  b  3  0
2

2
2
Bình luận : Việc suất hiện căn 1  x ta đặt t  1  x , ta tiếp tục công việc biểu diễn

1  x2
1  x2

x
x
x2
và dồn về ẩn t , có xdx = tdt .Kinh nghiệm cho thấy khi có căn bậc 2 ta
cứ đặt căn đó bằng một biến t rồi kiên trì biến đổi là giải được bài toán .
1
�2  a �
dx
I �
 2 ln �
�1  b �
�
x2  4x  3
0
�
�. Tính A  a b
Câu 12. Cho

Biết

Chọn đáp án đúng:
A. 3

B. 2

C. 5

D. 7

Chọn C

Đặt t  x  1  x  3
1
x 1  x  3
� 1
�
� dt  �

dx 
dx  t.
�
2  x  1  x  3
2
�2 x  1 2 x  3 �

Và x : 0 � 1 thì t :1  3 � 2  2 . Khi đó:
2

Câu 13. Cho tích phân
A.0

I �
(4 
a

B.1

Chọn A
2

2

x2

I �
4dx  �
dx
3
1

x
a
a
Ta có

x2
1 x

3

I4  2

)dx 

28
3

C.- 1

2 2

dx

 x  1  x  3

dt
�t  2 ln t
1 3

2 2
1 3

�

dx

 x  1  x  3 



2dt
t

�2  2 �
 2 ln �
�1  3 �

�� a  2; b  3
�
�

. Giá trị a là: (biết a có giá trị nguyên)
D. 3


2

x2
2
B�
dx
1  x 3  t � 1  x 3  t 2 � x 2 dx  tdt
3
1 x
a
3
Tính
. Đặt
2

2

x2

2
2
B�

dx 
1  x3  2 
1  b3
3
3
3
a
a 1 x
Khi đó
Ta có:

2
I  4x 
1  x3
3

2

2
�
�
 10  �4a 
1  a3 �
3
�
�
a
28
2
2

2
�
�
�
 10  �4a 
1  a 3 �� 4a 
1  a 3  � 6a  1  a 3  1
3
3
3
3
�
�
�
SHIFT  SOLVE � a  0

LUYỆN TỐC ĐỘ
ĐỀ 1 :
6

x  3 1
I �
dx  a  ln a
3
4
5
x

2
1

Câu 1. Cho tích phân:
. Tính S  a  2a  4a  8a

Chọn đáp án đúng:
A.10

B.5

C.15

a 1
3 . Giá trị của a là:

x 3 dx

1

I �

0 2
x  x4  1
Câu 2. Cho tích phân
A.1

B.2

C.3
b

I  �3

a

Câu 3. Tính tích phân

D.8

D.4

xdx
35
 b  0
  3i
2x  2
, Biết z  a bi là căn bậc hai của số phức 4

Chọn đáp án đúng:

12
A. 5

7
B. 5

6
C. 5
2

Câu 4. Tính tích phân

I �

x
1





x  1  ln x dx 

11
D. 5
3b5  a2
19
 ln b
S
 76
3
a
. Tính


Chọn đáp án đúng:
A.100

B.-100

C.-200



1

Câu 5. Tính tích phân

I �
x x2  1  ex
.0




dx 

D.200



2

a  b 1
3

. Giá trị của a và b là:

Chọn đáp án đúng:
A.3 và 1

B.2 và 3

C.3 và 2





1

I �
x ax  b 3x 2  1 dx  3

Câu 6. Cho tích phân:

0

D.2 và 1

3
3
, biết a  b  1. Tính S  a  b

Chọn đáp án đúng:
A.-15

B.20

C.-19

D.15
3

x5

2

a
� a � � a � 370
I �
dx 
S  � � � �
3
0
b . Tính
10b � �
10b � 729 .
x 1
�
Câu 7. Tính tích phân
2

Chọn đáp án đúng:

2
A. 9

B.

�
Câu 8. Cho



2
9

4
C. 9

1

1 x 



1 x



3

dx  f  x  C
. Tính

D.



f ' 8  ?

Chọn đáp án đúng:

1
5

4
B. 5

1
C. 6

7
D. 6

A.
2 3

I
Câu 9. Cho tich phân
Chọn đáp án đúng:

�x
5

dx
x 2  4 =  lna lnb . Tính e8 ln2a ln2b

4
9


4

A. 9

25
B. 9

9
C. 4

9
D. 25

2

x
I �
dx a  lnc
1

x

1
1
Câu 10. Cho tich phân
=b
. Giá trị của a và c là (a,b tối giản)
Chọn đáp án đúng:
A .4 và 15

B.11 và 16

C.11 và 3

D. 8 và 5

ĐỀ 2 :
e

e

1  3ln x ln x
5
3
I �
dx  a�
3  1 3lnx  5  1 3lnx �
�
�
x
�
1 . Giá trị của a là
1
Câu 1. Cho
= �

Chọn đáp án đúng:

7
A. 125

2

B. 135

9
C. 145

4
D. 115

sin2x  sinx
I�
dx  f  x  C
f 0
1

3cosx
Câu 2. Cho
. Tính  
Chọn đáp án đúng:
Chọn C

5
A. 27

13
B. 27

44
C. 27

19

D. 27

�t t �

 � C
�1 cos x sinxcos xdx  2�
�  � với t  6 1 cos3 x . Tỉ số  bằng bao
Câu 3. Cho
nhiêu? Chọn đáp án đúng:
6

3

5
A. 13

5

7
B. 5
7

7
C. 13

5
D. 6

x2
x 2

I �
dx
   t  t  C
3
�
3
3
x

1
0
Câu 4. Cho
= x1
với t  x  1 . Tính A      






Chọn đáp án đúng:

25
A. 10

43
B. 5

7
C. 60

73
D. 10

ln2 x
I�
dx a bt5  ct3  d.t  C
x lnx  1
Câu 5. Cho
, biết t  lnx  1 . Tính A  abcd





Chọn đáp án đúng:
A.-30

B.-60

C.-45

D.-27


�
  
�
2
�


�
sin 2 x
2
� �
�
I �
dx 

,

�
0; �
�
2
2
3
�
2�. Tính A  cos  
cos
x

4
sin
x
�

�
Câu 6. Cho
, biết

Chọn đáp án đúng:

1
A. 2

B.1

C.


2

Câu 7. Tính

B  �1  cos x sin xdx  a 
0

43
A. 4

29
B. 4



1
2

4 b 2
3

37
C. 4

D.0

4
4
. Tính A  sin a  b

65
D. 4

a

3  2 ln x
5
I �
dx 
3 . Giá trị của a là:
1 x 1  2 ln x
Câu 8.
3

2

A. e

B. e

C.e

D.

e3

e 2 x dx

I �
 at 3  bt  C
x
x
2
2
e 1
Câu 9.
.Với t  e  1 ; Tính A  a  b

52
A. 9

40
B. 9

47
C. 9

46
D. 9

I
Câu 10. Cho

ln 3

� e
0

A.23

e x dx

x

 1 e x  1

 a b
. Tính

B.34



A  2 a4  b4

C.21


D.45

ĐỀ 3 :
1

2x  1
28 b a
�a � 3997  cosa
I �
dx 
 ln
S  cos2 � �
27 a b
b
�b �
0 1  3x  1
Câu 1.Cho tích phân sau
. Tính
Biết a,b tối giản . Chọn đáp án đúng:
A.

cos2  5  cos 5  1999

B.1999
D.

C.2016

cos2  3  cos 3  2016

6

x  3 1
I �
dx  a  ln b
S  z z
x

2
1
Câu 2. Tính tích phân:
.Tính
. Biết z  a bi .
A.2

B.4

C.3

D.1

Giải:
10

Câu 3. Tính tích phân

x3  3x 2  4
I�
dx  a  ln b
x


2
5

A.a < b

B.a = b

C.b < 21

e

Câu 4. Cho tích phân:

I �
x ln xdx 
1

A.12

Câu 5. Cho tích phân :
A.364

C.6

0

B.356

D.8

a

x. x  1dx 
�
b
3

D.a , b đều nguyên

e2  b
a . Tính S  ab .

B.4
7

.Chọn phát biểu đúng

. Giá trị của a là: (biết a , b tối giải )
C.346

D.365


dx

1

Câu 6. Cho tích phân

�1  x 

1

1 x2

a
. Tính

S   ai 

2016

  ai 

2000

Chọn đáp án đúng:
A.3

B.2

C.0
1

Câu 7. Tính tích phân:

D.1





I �
x 2 1  x 1  x 2 dx 
0

a 98
i
b

a
. Tính S  a  b ,biết b là tối giản.
3

3

Chon đáp án đúng:
A.5747

B.4828

D. 7273

C.7565

10ab �
�
cos�
 11
dx
6 �

2
�
�

ln
a

ln
b
S  cos  a b 
�
2
Câu 8.Cho tích phân e3 x ln x ln ex
. Tính
e8

Chon đáp án đúng:
A.-10

B.-5

C.-20

D.-40

2

2 x3  3x 2  x
b
I �

dx   1
2
2
S  log2729  a  log1999
 b ? biết a,b
a
x

x

1
0
Câu 9. Cho tích phân:
. Tính

tối giản . Chọn đáp án đúng:

1
9

1
B. 27

1
C. 81

1
D. 36

A.

 3x  1
x 1
D�
dx

3
3x  1
Câu 10. Cho
A.20

B.75

3

 3x  1

2

 b 3  3 x  1

a

2

C
. Tìm a + b

C.55

LỜI GIẢI

D.45


ĐỀ 1 :
6

x  3 1
I �
dx  a  ln a
3
4
5
x2
1
Câu 1. Cho tích phân:
. Tính S  a  2a  4a  8a

Chọn đáp án đúng:
A.10

B.5

C.15

D.8

Chọn D
2

Đặt: t  x  3 � x  t  3 � dx  2tdt
x6
t 3
�
x 1
t2
Đổi cận:

Suy ra
3

3

3

t2  t
t
� t �
I  2�
dt  2� dt  2�
1
dt
�
�
2
t

1
t


1
t

1
�
�
2
2
2

 2  t  ln t  1   2  2 ln 2  2  ln 4 � a  2
3

2

S  4  2.4  4 4.4  5 8.4  8
Chọn D
3

1
x 3 dx
a 1
I �

0 2
3 . Giá trị của a là:
x  x4  1
Câu 2. Cho tích phân

A.1

B.2

C.3

Chọn B
1

1

I �
x x  1dx  �
x5 dx
3

Ta có:

4

0

0

1

1

�x 6 � 1
x dx  � �
�

6
�6 �
0
0
5

4
2
4
3
Đặt t  x  1 � t  x  1 � tdt  2 x dx

Đổi cận: x  0 � t  1; x  1 � t  2

D.4


Suy ra:

Vậy

1
I
2

2

2

1�

t3 �
2 1
t
dt



�
�
�
2 �3 �
3 6
1
1
2

2 1
�a 2
3

I

b

I  �3
a

Câu 3. Tính tích phân

xdx

35
 b  0
  3i
2x  2
, Biết z  a bi là căn bậc hai của số phức 4

Chọn đáp án đúng:

12
A. 5

7
B. 5

6
C. 5

11
D. 5

Chọn A

 a bi 

2

Theo đề:

1
�2 2 35 �

a 
a b 
35
�
�
2

 3i � �
4 ��
4
�
�
b  3 b  0
2ab  3
�
�

t3  2
3t 2 dt
t  2x  2 � x 
� dx 
2
2
Đặt
3

1
x   � t  1; x  3 � t  2
2
Đổi cận:

t 3  2 3t 2
.
2
2 dt  3 2 t 4  2t dt
I � 2


1
1
t
4�
2

3�
t 5 2 � 12
 t �
4�
5
�5
�
1
2

Câu 4. Tính tích phân

I �
x
1





x  1  ln x dx 

3b5  a2
19
 ln b
S
 76
3
a
. Tính

Chọn đáp án đúng:
A.100
Chọn B

B.-100

C.-200

D.200


2

I1  �
x x  1dx

1

. Đặt u  x  1 , ta được

2
�u 5 u 3 �1 16
2
I1  �
u

1
.
u
.2
udu

2


�  �
1
�5 3 �0 15

2

I2  �
x ln xdx
1

I2 

I

. Đặt u  ln x, dv  xdx , ta được

2 2x
�x 2
x2
x 2 �2
3
ln x  � dx  � ln x  �  2 ln 2 
1 1 2
2
4 �1
4
�2

3.45  602
19
 76  100
 2 ln 2 � a  60, b  4 S 
3
60

Chọn đáp án B

1

Câu 5. Tính tích phân



I �
x x2  1  ex
.0




dx 



2

a  b 1
3

. Giá trị của a và b là:

Chọn đáp án đúng:
A.3 và 1

B.2 và 3

C.3 và 2

D.2 và 1

Chọn D

Ta có:

1

1

0

0

I �
x x 2  1dx  �
xe x dx  I1  I 2

2
2
2
Đặt u  x  1 � u  x  1 � udu  xdx

2

Đổi cận x  0 � u  1; x  1 � u  2 , ta có
ux
du  dx
�
�
��
I 2  xe x
�

x
x
dv

e
dx
x

e
�
Đặt �
, ta có

I1 

u 2 du 
�
1

u3
3

2
1



1

1

0

�
e x dx  e  e x
0

1
0

1

2 2 1
3


Vậy

I  I1  I 2 

2 2 


2 2 1
2
1 
3
3

2

3





1

Câu 6. Cho tích phân:



2 1 1

I �
x ax  b 3x 2  1 dx  3
0

� a  2, b  1

3
3
, biết a  b  1. Tính S  a  b

Chọn đáp án đúng:
A.-15

B.20

C.-19

D.15

Chọn C
1

1

1

�ax 3 � 1
I �
ax dx  �
bx 3x  1dx  � �  �
bx 3x 2  1dx
�3 �0 0
0
0
2

Ta có:

2

1

+) Xét

Đặt

A�
bx 3 x 2  1dx
0

1
3 x 2  1  t � 3 x 2  1  t 2 � xdx  tdt
3

Đổi cận x  0 � t  1; x  1 � t  2
2

2

�t 3 � 8b b 7b
bt 2
� A  � dt  b � �   
3
9 9 9
�9 �
1
1
1

Vậy

�ax 3 � 7b a 7b
I  � �
 
�3 �0 9 3 9

Ta có hệ

�a 7b
a 2
3 �
�
��
� S  19
�3 9
b

3
�
�
a  b  1
�
2

Câu 7. Tính tích phân
Chọn đáp án đúng:

I �
0

x5
x3  1

3

dx 

2

a
� a � � a � 370
S  � � � �
b . Tính
10b � �
10b � 729 .
�


2
A. 9



B.

2
9

4
C. 9

D.



4

9

Chọn A
2 3
2 x .x
I �
dx
3
3
0
x

1
Ta có
. Đặt t  x  1 , khi đó với x = 0 thì t = 1, x = 2 thì t = 3

dt 
Và

3x 2
2 x3  1

I
Suy ra

x3  1

I �
0

x5
x3  1

dx 

1 x 

Câu 8. Cho

2
dt , x 3  t 2  1
3
2 �26
� 40
�  2 �
3 �3
� 9

40
9

1

�

dx 

2 �1 3 �3
� t  t �1 
3 �3

�

2 3 2
 t 1 dt 
1
3�

2

Vậy

x2

dx �



1 x



3

dx  f  x  C
. Tính

f ' 8  ?

Chọn đáp án đúng:

1
5

4
B. 5

1
C. 6

A.
Chọn C
2
Đặt u  1  x � u  1  x � 2udu  dx

�
Vậy

1 x 

1



1 x



3

2udu

du
dx  �
 2�
3
2
u 1
u u

2
Đặt t  u  1 � t  u  1 � 2tdt  du

du
2tdt
� 2�
 2 �  4t  C  4 1  1  x  C
t
u 1

7
D. 6


Do đó

f  x  4 1 1 x � f ' 8 
2 3

I
Câu 9. Cho tich phân

�x
5

1
6

dx
x 2  4 =  lna lnb . Tính e8 ln2a ln2b

Chọn đáp án đúng:

4
A. 9

25
B. 9

9
C. 4

9
D. 25

Giải
Chọn D
2 3

�x

I

Ta có:

5

dx
x 4
2

2 3



�x

2

5

Đặt t  x  4 � t  4  x ,
2

2

4

dt
1 t2
I �
 ln
2

t 4 4 t 2
3
8ln

x2  4
dt 

xdx
x2  4

�
x2 3 �
t4
��
�
t 3
x 5
�
�

Đổi cận

A e

2

xdx

a
b



4

3

1� 1
1� 1 5
 �
ln  ln � ln
4� 3
5 � 4 3 ln 4 5  ln 4 3 � a  4 5;b  4 3
=

25
9
2

x
I �
dx a  lnc
1

x

1
1
Câu 10. Cho tich phân
=b

. Giá trị của a và c là (a,b tối giản)
Chọn đáp án đúng:
A .4 và 15
Giải
Chọn B

B.11 và 16

C.11 và 3

D. 8 và 5


2
Đặt t  x  1 � t  x  1 � 2tdt  dx

x2 �
t 1
�
��
�
x 1
t 0
�
Đổi cận �

1

�
� 11

t3 t2
I  2 �   2t  2 ln t  1 �   4 ln 2
�3 2
�0 3
� a  11;c  16

ĐỀ 2 :
e

e

1  3ln x ln x
5
3
I �
dx  a�
3  1 3lnx  5  1 3lnx �
�
�
x
�
1 . Giá trị của a là
1
Câu 1. Cho
= �

Chọn đáp án đúng:

7
A. 125

2
B. 135

9
C. 145

Giải
Chọn B

Đặt

t  1  3ln x � t 2  1  3ln x � 2tdt 

3dx
x

xe �
t2
�
��
�
x 1 �
t 1
Đổi cận �
2

t  t 2  1

I �

1

3

2
2

a= 9.15 135

2

2
2tdt 2 4 2
2�
t 5 t 3 � 116
�
 �
t

t
dt


 9 �5  3 �  135
3
91
�
�1

4

D. 115


sin2x  sinx
I�
dx  f  x  C
f 0
1

3cosx
Câu 2. Cho
. Tính  
Chọn đáp án đúng:
Chọn C

5
A. 27

13
B. 27

44
C. 27

19
D. 27

Giải
2
Đặt t  1  3cos x � t  1  3cos x � 2tdt  3sin xdx

3
�
�
2 2
2 �2t3 �
2 �2  1 3cosx
I  � 2t  1 dt  �  t � C 
 1 3cosx � C
�
�
9
9 �3
9
3
�
�
�
�
�
3
�
�
2 �2  1 3cosx
44
� f  x 
 1 3cosx �� f  0 
�
9�
3
27

�
�
�
�





�t t �
3
5
1

cos
x
sinxcos
xdx

2
�  � C
�
�  �
6

Câu 3. Cho
nhiêu? Chọn đáp án đúng:

5
A. 13

7
B. 5


với t  1 cos x . Tỉ số  bằng bao
6

7
C. 13

3

5
D. 6

Giải
Chọn C

�1 cos x sinxcos xdx  �1 cos x.cos x.sinx.cos xdx
6

Ta có:

3

5

6

3

3

2

6
3
6
3
5
2
3
6
Đặt t  1  cos x � t  1  cos x � 6t dt  3sin x cos xdx � cos x  1  t
13
2t7 2t �   7;  13�   7
t.(1 t ).2t .dt  �
(2t  2t ).dt 

�
 13
7 13
6

5

6

7

11

x2
x 2
I �
dx
   t  t  C
3
�
3
3
x

1
0
Câu 4. Cho
= x1
với t  x  1 . Tính A      






Chọn đáp án đúng:

25
A. 10

43
B. 5

7
C. 60

73
D. 10

Giải
Chọn D
3
2
3
3
Đặt t  x  1 � x  t  1 � dx  3t dt � x  2  t  1

x7 �
t2
�
��
�
x0 �
t 1
Đổi cận �
2

Vậy

t

3

I �
1

 1 3t 2
t

2

2

�
t 5 t 2 � 231
dt  3�
t

t
dt

3
 
�5  2 � 10
�
�
1
1
4

�
�
5
ln2 x
�
3
73
5
2
I

dx a bt5  ct3  d.t  C
I   2t  5t   C � �
2 �A 
�
x lnx  1
10
10 Câu 5. Cho
� 3
� 
, biết t  lnx  1 . Tính A  abcd
� 10
Chọn đáp án đúng:
A.-30

B.-60

C.-45

D.-27

Giải
Chọn A

Đặt

t  ln x  1 � t 2  ln x  1 � 2tdt 

dx
x và t 2  1  ln x

t2
�
x  e3
�
��
�
t 1
x 1
�
Đổi cận �
2

2

2
�
t 4  2t 2  1
t 5 2t 3 � 76
4

2
I �
2tdt  2 �
t

2
t

1
dt

2


�5  3  t �  15
t
�
�
1
1
1
Ta có:


� 2
a
�
15
5
3

�
�t 2t
�
2 5
�
3
b 3
I  2� 
 t � C 
3t  10t  15t  C � �
15
�5 3
�
�
c  10
�
d  15
�






�
  
�
2
�


�
sin 2 x
2
� �
�
I �
dx 
, ��
0; �
2
2
3
cos x  4sin x
� 2�. Tính A  cos  

�
Câu 6. Cho
, biết �
Chọn đáp án đúng:

1
A. 2

B.1

C.



1

2

D.0

Chọn B

2
t  cos2 x  4sin 2 x  1  3sin 2 x � t 2  1  3sin 2 x � 2tdt  6sin x cos xdx � sin 2 xdx  tdt
3
Đặt
2

2

2

2 tdt 2
2
2
t :1 � 2 � I1  �  �
dt  t 
31 t
31
3 1 3
Và cận

1  3sin 2   1  3sin 2   1 � 1  3cos 2   1  3sin 2   1
� 1  3t 2  1  3  1  t 2   1 � t  1  cos 

2

Câu 7. Tính
43
A. 4

B  �1  cos x sin xdx  a 
0

29
B. 4

4 b 2
3

37
C. 4

4
4
. Tính A  sin a  b

65
D. 4

Chọn D
2
Đặt t  1  cos x � t  1  cos x � 2tdt   sin xdx và cận t : 2 � 1