Các công thức vận tốc của sóng rayleigh và sóng stoneley

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
_______________________

Phạm Thị Hà Giang

CÁC CÔNG THỨC VẬN TỐC CỦA SÓNG RAYLEIGH
VÀ SÓNG STONELEY

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội - 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
_______________________

Phạm Thị Hà Giang

CÁC CÔNG THỨC VẬN TỐC CỦA SÓNG RAYLEIGH
VÀ SÓNG STONELEY
Chuyên ngành:

Cơ học vật thể rắn

Mã số:

62440107

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS. Phạm Chí Vĩnh
XÁC NHẬN NCS ĐÃ CHỈNH SỬA THEO QUYẾT NGHỊ
CỦA HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ LUẬN ÁN
Người hướng dẫn khoa học

Chủ tịch hội đồng đánh giá
Luận án Tiến sĩ

GS.TS. Phạm Chí Vĩnh

GS.TSKH. Nguyễn Đình Đức

Hà Nội - 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu và kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng
được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Hà Nội, năm 2017
Nghiên cứu sinh

i


Mục lục
Danh sách hình vẽ

iv

Danh sách bảng

vii

Bảng các ký hiệu viết tắt

viii

Mở đầu

ix

1 TỔNG QUAN
1.1 Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Sóng Stoneley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Ứng dụng của sóng Rayleigh và sóng Stoneley . . . . . .
1.4 Ý nghĩa của các công thức vận tốc sóng Rayleigh và sóng
Stoneley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Mục tiêu của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Các công thức vận tốc sóng đã được tìm ra . . . . . . . .
1.6.1 Các công thức chính xác . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Các công thức xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Nội dung của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Các phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận án . . .
2 Các công thức vận tốc sóng Rayleigh
2.1 CTVTS Rayleigh trong BKGĐH có biến dạng trước chịu
ràng buộc trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Bán không gian biến dạng trước chịu ràng buộc
trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Công thức vận tốc sóng Rayleigh . . . . . . . . .
2.1.4 Công thức vận tốc sóng đối với một số hàm năng
lượng và ràng buộc trong cụ thể . . . . . . . . . .
ii

1
1
5
7
10
11
11
11
12
15
15
16
17
17
18
23
32


2.2

2.3

2.4

2.1.5 Các kết luận và chú ý . . . . . . . . . . . . . . . .
Công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong BKGĐH
micropolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Công thức vận tốc sóng Rayleigh . . . . . . . . .
Các công thức xấp xỉ vận tốc sóng Rayleigh . . . . . . .
2.3.1 CTXX cho vận tốc sóng Rayleigh trong BKGĐH
đẳng hướng có biến dạng trước chịu ràng buộc trong
2.3.2 CTXX cho vận tốc sóng Rayleigh truyền trong
BKGĐH micropolar đẳng hướng . . . . . . . . . .
2.3.3 CTXX cho vận tốc sóng Rayleigh truyền trong
BKGĐH không nén được chịu biến dạng trước . .
2.3.4 CTXX cho vận tốc sóng Rayleigh truyền trong
BKGĐH nén được chịu ứng suất trước . . . . . .
Sóng Rayleigh trong môi trường xốp trực hướng . . . . .
2.4.1 Các phương trình cơ bản trong dạng ma trận . .
2.4.2 Sóng Rayleigh. Phát biểu Stroh . . . . . . . . . .
2.4.3 Phương trình tán sắc dạng hiện . . . . . . . . . .
2.4.4 Phương trình tán sắc dạng ẩn . . . . . . . . . . .
2.4.5 Phương trình tán sắc không thứ nguyên . . . . .

38
40
40
43
49
49
51
54

59
66
66
70
71
74
75

3 Các công thức vận tốc sóng Stoneley
81
3.1 CTVTS Stoneley truyền dọc theo BPC của hai BKGĐH
có liên kết trượt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.1 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.2 Các công thức vận tốc sóng Stoneley . . . . . . . 84
3.1.3 Các trường hợp đặc biệt. . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2 CTVTS sóng Stoneley truyền dọc BPC của hai BKGĐH
liên kết chặt có cùng vận tốc sóng khối . . . . . . . . . . 98
3.2.1 Công thức chính xác của vận tốc songStoneley . . 98
3.2.2 Công thức chính xác cho độ chậm (slowness) . . . 104
3.2.3 Sự tồn tại của sóng Stoneley . . . . . . . . . . . . 104
3.3 Sự duy nhất của sóng Stoneley dọc BPC của hai BKGĐH
không nén được chịu biến dạng trước tùy ý . . . . . . . . 106
Kết luận

119

Danh mục công trình khoa học

121

Tài liệu tham khảo

122

iii


Danh sách hình vẽ
1.1
1.2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5

2.6

2.7

Bán không gian đàn hồi x2 ≥ 0. . . . . . . . . . . . . . . .
Hai bán không gian đàn hồi x2 ≥ 0 và x2 ≤ 0 với biên phân
chia gắn chặt x2 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Biến dạng kéo nén (thể tích) của hình lập phương . . . . .
Bán không gian đàn hồi có biến dạng trước chịu ràng buộc
trong x2 ≥ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sự phụ thuộc của vận tốc không thứ nguyên sóng Rayleigh
xr vào λ trong khoảng (0.66, 1.3). . . . . . . . . . . . . .
Bán không gian đàn hồi micropolar x3 ≥ 0. . . . . . . . . .
Đường cong chính xác (đường gạch-gạch), đường cong xấp

xỉ (2.164) (đường liền: sai số tương đối lớn nhất 0.38%),
đường cong xấp xỉ (2.168) (đường gạch chấm: sai số tương
đối lớn nhất 1.61%) của vận tốc sóng Rayleigh trên đoạn
γ ∈ [0.4 0.6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đường cong chính xác (đường gạch-gạch), đường cong xấp
xỉ (2.173) (đường liền: sai số tương đối lớn nhất 0.62%) và
đường cong xấp xỉ (2.175) (đường gạch chấm: sai số tương
đối lớn nhất 0.81%) của vận tốc sóng Rayleigh trên đoạn
γ ∈ [0.4 0.6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đường cong chính xác (đường gach-gạch), đường cong xấp
xỉ (2.209) (đường liền: sai số tương đối lớn nhất 0.1147%),
đường cong xấp xỉ (2.212) (đường gạch chấm: sai số tương
đối lớn nhất 0.0483%) của vận tốc sóng Rayleigh trên δ3 ∈
[1 2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

2
6
17
19
39
41

51

53

58

2.8

2.9
2.10

2.11

2.12

2.13

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

Đường cong chính xác (đường gạch-gạch), đường cong xấp
xỉ (2.254) (đường liền: sai số tương đối lớn nhất 1.62%) và
đường cong xấp xỉ (2.257)) (đường gạch chấm: sai số tương
đối lớn nhất 2.09%) của vận tốc sóng Rayleigh trên đoạn
a ∈ [0.1 0.3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bán không gian đàn hồi xốp trực hướng x3 ≥ 0. . . . . . .
Sự phụ thuộc của bình phương vận tốc sóng không thứ
nguyên x = ρs c2 /C55 của sóng Rayleigh vào độ xốp φ trong

khoảng [0 0.7]. Ở đây chúng ta cho c11 = 1.5, c33 = 2,
c13 = 0.9, α1 = 0.01, α3 = 0.02, m = 0.7, r = 0.01 . . . .
Sự phụ thuộc của bình phương vận tốc sóng không thứ
nguyên x = ρs c2 /C55 của sóng Rayleigh vào c11 trong khoảng
[0.5 2.0]. Ở đây chúng ta cho c33 = 2, c13 = 0.9, α1 = 0.01,
α3 = 0.02, m = 0.7, φ = 0.1, r = 0.01. . . . . . . . . . . .
Sự phụ thuộc của bình phương vận tốc sóng không thứ
nguyên x = ρs c2 /C55 của sóng Rayleigh vào c33 trong khoảng
[1 3]. Ở đây chúng ta cho c11 = 1.5, c13 = 0.9, α1 = 0.01,
α3 = 0.02, m = 0.7, φ = 0.1, r = 0.01. . . . . . . . . . .
Sự phụ thuộc của bình phương vận tốc sóng không thứ
nguyên x = ρs c2 /C55 của sóng Rayleigh vào c13 trong khoảng
[0 1.5]. Ở đây chúng ta cho c11 = 1.5, c33 = 2.0, α1 = 0.01,
α3 = 0.02, m = 0.7, φ = 0.1, r = 0.01. . . . . . . . . . .

65
66

77

78

78

79

Sự phụ thuộc của vận tốc sóng Stoneley không thứ nguyên
ρ1
xs = c2 /c2T vào D =
∈ [0.4 0.5] và B ∈ [0.8 0.9], E =

ρ2
0.7, F = 0.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Sự phụ thuộc của vận tốc sóng Stoneley không thứ nguyên
ρ1
∈ [0.4 0.5] và F ∈ [0.5 0.6], B =
xs = c2 /c2T vào D =
ρ2
0.7, E = 0.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Sự phụ thuộc của vận tốc sóng Stoneley không thứ nguyên
ρ1
xs = c2 /c2T vào E = [0.72 0.9] và F = [0.5 0.6], D =
=
ρ2
0.5, B = 0.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Sự phụ thuộc của vận tốc sóng Stoneley không thứ nguyên
ρ1
xs = c2 /c2T vào D =
∈ [0.4 0.5] và E ∈ [0.65 0.85],
ρ2
B = 0.9, , F = 0.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
√
Sự phụ thuộc của vận tốc sóng không thứ nguyên xs =
c/c2 vào γ ∈ [0.1, 0.5] và r ∈ [2, 10]. . . . . . . . . . . . . 103
v


Mặt phẳng phức với lát cắt L = [0 1] . . . . . . . . . . . . 108
√
√
Ảnh của ánh xạ η = z − 1/ z, z ∈ S, S0 = {η =

x0 + iy0 : x0 ≥ 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
√
3.8 Ảnh S1 ("miền không bị gạch") của ánh xạ ξ1 (η) = η + a, a ≥
0, η ∈ S0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
√
3.9 Ảnh S2 ("miền không bị gạch") của ánh xạ ξ2 (η) = η − a, 0 <
a < 1, η ∈ S0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.10 Mặt phẳng phức C với lát cắt L = [0 1/(1−a2 )], 0 < a < 1 .112
√
3.11 Ảnh của ánh xạ ξ3 (η) (phần không bị gạch) ξ3 (η) = η + a + ip, a ≥
0, p > 0, η ∈ S0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.6
3.7

vi


Danh sách bảng
1.1

Sai số tương đối lớn nhất của các xấp xỉ trên đoạn [0, 0.5].

13

2.1

Các giá trị bình phương vận tốc không thứ nguyên của sóng
Rayleigh được tính trực tiếp từ phương trình tán sắc (2.130)
(x∗r ) và từ công thức (2.153) (xr ). Ở đây ε = 0.001. . . . .

48

3.1

Các giá trị bình phương vận tốc không thứ nguyên của sóng
Stoneley được tính trực tiếp từ phương trình tán sắc (3.80)
(x∗ ), từ công thức (3.86) (xs ) và (3.111) (ys ) đối với một
số giá trị r cho trước. Ở đây γ = 1/3. . . . . . . . . . . . 105

vii


Bảng các ký hiệu viết tắt
CTVTS: Công thức vận tốc sóng
BKGĐH: Bán không gian đàn hồi
CTXX: Công thức xấp xỉ
BPC: Biên phân chia

viii


Mở đầu
Sóng Rayleigh là sóng cơ học, lan truyền trên bề mặt một bán không
gian đàn hồi, được nghiên cứu đầu tiên bởi Rayleigh [73] vào năm 1885.
Năng lượng của sóng tập trung trên bề mặt của bán không gian và giảm
rất nhanh theo chiều sâu. Ban đầu, sóng Rayleigh chỉ được quan tâm
trong lĩnh vực địa chấn học, để dự báo và phòng chống động đất, đánh
giá các đặc trưng cơ học của vỏ trái đất, thăm dò dầu khí.
Sóng Stoneley cũng là sóng cơ học, truyền dọc biên phân chia của hai
bán không gian đàn hồi. Năng lượng của sóng tập trung chủ yếu ở

vùng gần biên phân chia, giảm nhanh về hai phía của nó. Sóng Stoneley
được Stoneley [89] nghiên cứu đầu tiên vào năm 1924. Cũng như sóng
Rayleigh, ban đầu các nghiên cứu về sóng Stoneley chỉ được ứng dụng
trong lĩnh vực địa chấn học. Ứng dụng của sóng Rayleigh và sóng Stoneley thực sự trở nên rộng lớn kể từ 1965, khi thiết bị IDT (Interdigital
Transducer), một thiết bị để tạo ra sóng Rayleigh và sóng Stoneley trong
các vật liệu, được chế tạo thành công. Từ thời điểm này, sóng Rayleigh
và sóng Stoneley trở thành các công cụ vô cùng tiện lợi trong đánh giá
không phá hủy các đặc trưng cơ học của các cấu trúc trước và trong quá
trình sử dụng.
Để sử dụng sóng Rayleigh và sóng Stoneley trong đánh giá không phá
hủy, cần có phương trình tán sắc dạng hiện của chúng làm cơ sở toán
học để giải bài toán ngược: xác định các đặc trưng cơ học của cấu trúc
từ các giá trị đo được của vận tốc sóng. Việc giải bài toán ngược sẽ đơn
giản đi rất nhiều nếu sử dụng công thức vận tốc sóng thay cho phương
trình tán sắc dạng hiện. Ngoài ra, các công thức vận tốc sóng Rayeigh
và Stoneley còn liên quan đến các hàm Green của các bài toán động của
các bán không gian đàn hồi. Do vậy, các công thức của vận tốc sóng
Rayleigh và sóng Stoneley có ý nghĩa đặc biệt quan trọng cả về phương
diện lý thuyết lẫn ứng dụng thực tiễn.

ix


Mục tiêu của luận án
Mục tiêu của luận án là thiết lập các công thức vận tốc sóng Rayleigh
và sóng Stoneley cho một số môi trường đàn hồi.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận
án
• Đối tượng nghiên cứu: Sóng Rayleigh và sóng Stoneley.

• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại và duy nhất, phương trình tán
sắc, công thức vận tốc của sóng Rayleigh và sóng Stoneley.

Phương pháp nghiên cứu
Để tìm ra các công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh và sóng
Stoneley, luận án sử dụng phương pháp hàm biến phức và phương pháp
dùng lý thuyết phương trình bậc ba. Để tìm ra công thức xấp xỉ vận tốc
sóng Rayleigh trong các môi trường đàn hồi khác nhau, luận án sử dụng
phương pháp bình phương tối thiểu. Cuối cùng, để tìm ra phương trình
tán sắc dạng hiện của vận tốc sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi
xốp trực hướng, luận án sử dung phương pháp véc tơ phân cực.

Các kết quả mới của luận án
• Tìm ra công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh cho môi
trường đàn hồi có biến dạng trước tùy ý, chịu một ràng buộc trong
đẳng hướng tổng quát.
• Thu được công thức nghiệm chính xác của phương trình tán sắc
tương ứng với sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi
micropolar đẳng hướng.
• Thiết lập các công thức xấp xỉ với độ chính xác cao cho vận tốc sóng
Rayleigh truyền trong các môi trường đàn hồi có ứng suất trước, môi
trường đàn hồi micropolar.
x


• Tìm ra phương trình tán sác dạng hiện của sóng Rayleigh truyền
trong bán không gian đàn hồi xốp trực hướng. Đây là cơ sở để tìm
ra công thức vận tốc sóng Rayleigh cho môi trường này.
• Tìm được các công thức chính xác của vận tốc sóng Stoneley truyền
trong hai bán không gian đàn hồi đẳng hướng khác nhau cho hai

trường hợp:
(i) Khi hai bán không gian có liên kết trượt.
(ii) Khi hai bán không gian có liên kết gắn chặt và có cùng các vận
tốc sóng dọc và ngang.
• Chứng minh được sự duy nhất của sóng Stoneley truyền trong hai
bán không gian đàn hồi không nén được có biến dạng trước tùy ý.
Chứng minh này đặt cơ sở để tìm công thức vận tốc sóng Stoneley
trong môi trường này.
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trên 05 bài báo
quốc tế thuộc danh mục SCI.

Cấu trúc của luận án
Luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận và ba chương:
• Chương 1 trình bày tổng quan về sóng Rayleigh và Stoneley. Khái
quát tình hình nghiên cứu trên thế giới về hướng nghiên cứu của
luận án.
• Chương 2 thiết lập các công thức vận tốc chính xác của sóng
Rayleigh trong môi trường đàn hồi có biến dạng trước tùy ý, chịu
một ràng buộc trong đẳng hướng tổng quát, môi trường đàn hồi
micropolar và các công thức xấp xỉ vận tốc sóng. Ngoài ra chương
này còn thiết lâp phương trình tán sắc của sóng Rayleigh trong môi
trường xốp trực hướng.
• Chương 3 thiết lập các công thức chính xác của vận tốc sóng Stoneley truyền trong hai bán không gian đàn hồi đẳng hướng khác nhau
cho hai trường hợp liên kết không chặt và liên kết chặt nhưng chúng
chỉ khác nhau bởi mật độ khối lượng. Chứng minh sự duy nhất của
sóng Stoneley truyền trong hai bán không gian đàn hồi không nén
có biến dạng trước tùy ý.
xi

Chương 1

TỔNG QUAN
1.1

Sóng Rayleigh

Sóng Rayleigh là sóng cơ học lan truyền trong một bán không gian đàn
hồi tự do đối với ứng suất. Năng lượng của sóng tập trung trên bề mặt của
bán không gian và giảm rất nhanh theo chiều sâu (hầu như bằng không
sau một bước sóng). Do vậy sóng Rayleigh là sóng mặt (surface wave).
Sự tồn tại của sóng Rayleigh được chứng minh đầu tiên bởi Rayleigh
[73] vào năm 1885, cho trường hợp đơn giản nhất khi bán không gian
đàn hồi đẳng hướng. Để hiểu quá trình truyền của sóng Rayleigh, luận
án giới thiệu một cách vắn tắt cách xác định trường chuyển dịch, cách
dẫn ra phương trình xác định vận tốc (phương trình tán sắc) của sóng
Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng.
Xét bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén được chiếm phần không
gian x2 ≥ 0 (Hình 1.1). Xét trạng thái biến dạng phẳng:
ui = ui (x1 , x2 , t),

i = 1, 2,

u3 ≡ 0

(1.1)

ui là các thành phần của véctơ chuyển dịch. Các thành phần ứng suất
σij liên hệ với các thành phần chuyển dịch bởi các hệ thức:
σ11 = (λ + 2µ)u1,1 + λu2,2 ,

σ22 = λu1,1 + (λ + 2µ)u2,2 ,
σ12 = µ(u1,2 + u2,1 )
1

(1.2)


Hình 1.1: Bán không gian đàn hồi x2 ≥ 0.
trong đó dấu phẩy chỉ đạo hàm riêng theo các biến không gian x1 , x2 ,
x3 , λ, µ là các hằng số Lame. Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động
có dạng:
σ11,1 + σ12,2 = ρ¨
u1 ,

(1.3)

σ12,1 + σ22,2 = ρ¨
u2
dấu chấm chỉ đạo hàm theo biến thời gian t, ρ là mật độ khối lượng.
Thay (1.2) vào (1.3) ta có:


c2 u1,11 + c2 u1,22 + (c2 − c2 )u2,12 = u¨1
2
1
2
1
(1.4)

(c2 − c2 )u1,12 + c2 u2,11 + c2 u2,22 = u¨2

1
2
2
1
λ + 2µ
µ
, c2 =
là vận tốc sóng dọc, sóng ngang
ρ
ρ
trong môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được.
Giả thiết biên x2 = 0 của bán không gian tự do đối với ứng suất, tức
là: σ12 = σ22 = 0 tại x2 = 0. Khi đó, từ (1.2) suy ra:

trong đó: c1 =

µ(u1,2 + u2,1 ) = 0, λu1,1 + (λ + 2µ)u2,2 = 0 tại x2 = 0

(1.5)

Các thành phần chuyển dịch phải tắt dần ở vô cùng, tức là:
u1 = u2 = 0 tại x2 = +∞
2

(1.6)


Như vậy các thành phần chuyển dịch u1 , u2 phải thỏa mãn phương trình
(1.4) cùng với điều kiện biên (1.5) và điều kiện tắt dần (1.6).
Phương trình đặc trưng

Giả sử sóng Rayleigh truyền theo hướng 0x1 với vận tốc c (> 0), số
sóng k (> 0). Khi đó nghiệm của (1.4) được tìm dưới dạng:
u1 = U1 (y)eik(x1 −ct) , u2 = U2 (y)eik(x1 −ct)

(1.7)

trong đó y = kx2 , Um (y) (m = 1, 2) là các hàm cần tìm. Thay biểu diễn
nghiệm (1.7) vào (1.4) dẫn đến các phương trình đối với các hàm Um (y):
(c21 − c2 )U1 − c22 U1 − i(c21 − c22 )U2 = 0
(c22 − c2 )U2 − c21 U2 − i(c21 − c22 )U1 = 0

(1.8)

trong đó dấu phẩy " " chỉ đạo hàm theo biến y. Đây là một hệ hai
phương trình vi phân hệ số hằng số. Nghiệm riêng (nghiệm cơ bản) của
hệ (1.8) được tìm dưới dạng:
U1 = Ae−sy , U2 = Be−sy

(1.9)

trong đó A, B, s là các hằng số. Thay (1.9) vào hệ (1.8) dẫn đến một
hệ hai phương trình tuyến tính thuần nhất đối với A, B. Do A, B không
đồng thời bằng không nên định thức của hệ phải bằng không, tức là:
c21 c22 s4 − [2c21 c22 − (c21 + c22 )c2 ]s2 + (c21 − c2 )(c22 − c2 ) = 0

(1.10)

Phương trình (1.10) được gọi là phương trình đặc trưng của sóng Rayleigh.
Đó là một phương trình bậc hai đối với s2 với biệt thức ∆ là:
∆ = (c21 − c22 )2 c4 ≥ 0

(1.11)

Chú ý rằng các hệ số của phương trình đặc trưng (1.10) đều là thực và
phụ thuộc vào vận tốc sóng c chưa xác định. Trên trường phức, phương
trình (1.10) có bốn nghiệm s1 , s2 , −s1 , −s2 . Giả sử s1 , s2 là hai nghiệm
của (1.10) có phần thực dương. Khi đó, nghiệm tổng quát của hệ (1.8)
thỏa mãn điều kiện tắt dần (1.6) là:
U1 (y) = A1 e−s1 y + A2 e−s2 y ,
−s1 y

U2 (y) = α1 A1 e

3

+ α2 A 2 e

(1.12)
−s2 y


trong đó αk xác định bởi:
(c21 − c2 ) − c22 s2k
αk = i
, k = 1, 2
(c21 − c22 )sk

(1.13)

Dễ dàng chứng minh các mệnh đề sau.

Mệnh đề 1.1: Nếu sóng Rayleigh tồn tại thì vận tốc sóng c của nó
phải thỏa mãn bất đẳng thức:
0 < c < c2

(1.14)

Mệnh đề 1.2: Giả sử sóng Rayleigh tồn tại. Khi đó hai nghiệm có
phần thực dương của phương trình đặc trưng (1.10) là:
1−

s1 =

c2
, s2 =
c21

1−

c2
c22

(1.15)

Phương trình tán sắc
Phương trình tán sắc là phương trình xác định vận tốc truyền của
sóng Rayleigh.
Từ (1.13) và (1.15) ta có:
α1 = is1 , α2 =

i

s2

(1.16)

Tính đến (1.7), (1.12) và (1.16), chuyển dịch của sóng Rayleigh là:


u1 = (A1 e−s1 y + A2 e−s2 y )eik(x1 −ct)
(1.17)

u2 = (is1 A1 e−s1 y + i A2 e−s2 y )eik(x1 −ct)
s2
trong đó s1 , s2 xác định bởi (1.15). Từ điều kiện tự do với ứng suất (1.5)
ta có:

c2 A2


=0
2s1 A1 + (2 − 2 )
c2 s2
(1.18)
2
c
A

2

=0
(2 − 2 )A1 + 2s2

c2
s2
Do A1 , A2 không thể đồng thời bằng không nên định thức của (1.18)
phải bằng không, suy ra:
(2 −

c2 2
c2
)
−
4
1
−
c22
c21
4

1−

c2
=0
c22

(1.19)


hay:

√
(2 − x)2 − 4 1 − x

1 − γx = 0, 0 < x < 1

(1.20)

trong đó x = c2 /c22 , γ = c22 /c21 (0 < γ < 3/4). Phương trình (1.20) chính
là phương trình tán sắc của sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi
đẳng hướng nén được, được Rayleigh [73] tìm vào năm 1885. Từ phương
trình này vận tốc sóng c của sóng Rayleigh được xác định.
Trong khoảng (0, 1) phương trình (1.20) tương đương với phương
trình bậc ba sau:
x3 − 8x2 + 8(3 − 2γ) − 16(1 − γ) = 0

(1.21)

Thật vậy, với 0 < x < 1, phương trình (1.20) ⇔ (2 − x)4 = 16(1 − x)(1 −
γx) ⇔ phương trình (1.21) (sau khi giản ước và chia hai vế cho x).
Mệnh đề 1.3 (tham khảo [1]):
Với mọi giá trị của (tham số) γ thuộc khoảng (0, 3/4), phương trình
(1.21), do vậy phương trình (1.20), có một nghiệm duy nhất trong khoảng
(0, 1).
Từ mệnh đề 1.3 suy ra định lý sau về sự tồn tại duy nhất sủa sóng
Rayleigh.
Định lý 1.1: Luôn tồn tại duy nhất một sóng Rayleigh truyền trong
bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén được tự do đối với ứng suất. Vận
tốc của nó là nghiệm của phương trình (1.21) (hay phương trình (1.20))
thuộc khoảng (0, 1).
Dễ thấy A2 = 2s1 s2 A1 /(x − 2), A1 tùy ý khác không, là nghiệm của
hệ (1.18). Do vậy, chuyển dịch của sóng Rayleigh là:


2s s

u1 = A1 e−s1 y + 1 2 e−s2 y eik(x1 −ct)
x−2
, y = kx2
(1.22)

u2 = is1 A1 e−s1 y + 2s1 e−s2 y eik(x1 −ct)
x−2
trong đó
√ A1 là một hằng số tùy ý khác không, s1 , s2 xác định bởi (1.15),
c = c2 x, x được xác định bởi phương trình (1.21) (hay phương trình
(1.20)), k = ω/c, ω là tần số sóng (cho trước).

1.2

Sóng Stoneley

Sóng Stoneley là sóng cơ học truyền dọc theo biên phân chia của hai bán
không gian đàn hồi. Năng lượng của sóng tập trung chủ yếu ở vùng gần
5


biên phân chia, giảm nhanh về hai phía của nó. Do vậy sóng Stoneley
là sóng mặt. Sóng Stoneley được Stoneley [89] nghiên cứu đầu tiên vào
năm 1924 cho trường hợp khi cả hai bán không gian đàn hồi là đẳng
hướng và chúng liên kết gắn chặt với nhau (chuyển dịch và ứng suất liên
tục qua biên phân chia). Sóng Stoneley với liên kết trượt (ứng suất pháp
và chuyển dịch pháp liên tục qua biên phân chia, ứng suất tiếp bằng
không tại đó) được Murty [62] nghiên cứu vào năm 1975.

Xét hai bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén được Ω và Ω∗ tương
ứng chiếm các miền x2 ≥ 0 và x2 ≤ 0 (Hình vẽ 1.2) và gắn chặt với nhau
dọc theo biên phân chia x2 = 0. Bán không gian Ω (Ω∗ ) được đặc trưng
bởi các hằng số Lame λ (λ∗ ), µ (µ∗ ) và mật độ khối lượng ρ (ρ∗ ). Chú ý
rằng, các đại lượng liên quan đến bán không gian Ω∗ được thêm dấu *.
Trường chuyển dịch sóng Stoneley có dạng biến dạng phẳng (1.1), thỏa
mãn hệ phương trình (1.4), điều kiện liên tục tại x2 = 0:

Hình 1.2: Hai bán không gian đàn hồi x2 ≥ 0 và x2 ≤ 0 với biên phân chia
gắn chặt x2 = 0.
∗
uk = u∗k , σk2 = σk2
tại x2 = 0, k = 1, 2

(1.23)

và điều kiện tắt dần ở vô cùng:
uk = 0, σk2 = 0 tại x2 = +∞, k = 1, 2
∗
= 0 tại x2 = −∞, k = 1, 2
u∗k = 0, σk2
6

(1.24)


Dễ dàng thấy rằng, trường chuyển dịch của sóng Stoneley thỏa mãn điều
kiện tắt dần (1.24) được xác định bởi (1.17) (tương tự đối với u∗k ) trong
đó sk xác định bởi (1.15), s∗k được tính như sau:
s∗1 = −

1−

c2 ∗
c2
,
s
=
−
1
−
c∗1 2 2
c∗2 2

(1.25)

Chú ý rằng, nếu sóng Stoneley tồn tại thì vận tốc c của nó phải thỏa
mãn bất đẳng thức:
0 < c < min{c2 , c∗2 }
(1.26)
Thay biểu thức của chuyển dịch và ứng suất (sử dụng (1.2)) vào điều
kiện liên tục (1.23) dẫn đến một hệ gồm 4 phương trình đại số tuyến
tính thuần nhất đối với 4 ẩn số A1 , A2 , A∗1 , A∗2 . Do A1 ,..., A∗2 không đồng
thới bằng không nên định thức của hệ phải bằng không. Đó chính là
phương trình tán sắc của sóng Stoneley. Khai triển định thức (cấp bốn),
sau một số phép biến đổi, phương trình tán sắc có dạng:
c4 (ρ − ρ∗ )2 − ρs∗1 − ρ∗ s1 ρs∗2 − ρ∗ s2
+4c2 ρc22 − ρ∗ c∗2 2 ρs∗1 s∗2 − ρ∗ s1 s2 + ρ∗ − ρ
+4 ρc22 − ρ∗ c∗2 2

2

(1.27)

s1 s2 − 1 s∗1 s∗2 − 1 = 0

Phương trình này được Stoneley [89] tìm ra năm 1924. Phương trình
(1.27) không luôn luôn có nghiệm thỏa mãn điều kiện (1.26). Do vậy,
khác với sóng Rayleigh, sóng Stoneley không luôn luôn tồn tại. Mặc dù
vậy, khi nó tồn tại thì duy nhất.

1.3

Ứng dụng của sóng Rayleigh và sóng
Stoneley

3.1 Ứng dụng của sóng Rayleigh
Sóng mặt Rayleigh xuất hiện khi có động đất, là thủ phạm chính tàn
phá các công trình xây dựng trên bề mặt trái đất khi động đất xảy ra.
Do vậy, việc nghiên cứu sóng Rayleigh có ý nghĩa to lớn trong dự báo
và phòng chống động đất. Nó cũng được sử dụng (một cách tích cực)
để đánh giá các đặc trưng cơ học của vỏ trái đất, thăm dò dầu khí (oil
deposits).
7


Ứng dụng của sóng Rayleigh thực sự trở nên rộng lớn kể từ 1965 khi
White và Voltmer [120] chế tạo thành công thiết bị IDT (Interdigital
Transducer). Với thiết bị này, sóng Rayleigh được tạo ra dễ dàng trong
các vật liệu. Do vậy từ thời điểm này, sóng Rayleigh trở thành một công

cụ vô cùng tiện lợi trong đánh giá không phá hủy các đặc trưng cơ học,
phát hiện các vết nứt, khuyết tật của các cấu trúc trước và trong quá
trình sử dụng. Ngày nay, vật liệu mới được tạo ra thường xuyên và việc
theo dõi "tình trạng sức khỏe" (health monitoring) của các cấu trúc (như
cánh máy bay,...) trong quá trình sử dụng là hết sức cần thiết, nên ứng
dụng của sóng Rayleigh trong công nghệ hiện đại là rất lớn.
Có thể nói rằng, các nghiên cứu về sóng mặt Rayleigh có ảnh hưởng
sâu rộng đến cuộc sống hiện đại, từ dự báo động đất đến thiết kế mobile
phone và nhiều thiết bị siêu nhỏ, như Adams và các cộng sự [3] đã chia
sẻ. Trong phần mở đầu luận án tiến sỹ của mình, Voloshin [119] đánh
giá, Google Scholar, một trong những công cụ tìm kiếm mạnh nhất về
khoa học, cho chúng ta hơn một triệu đường dẫn cho yêu cầu tìm kiếm
Rayleigh waves. Kết quả tìm kiếm thật đáng kinh ngạc. Nó cho thấy
sóng mặt Rayleigh đang được nghiên cứu một cách mạnh mẽ vì những
ứng dụng to lớn của chúng.
Gần đây, sóng Rayleigh được tạo ra dễ dàng hơn bằng một thiết bị
lade [42] nên phạm vi ứng dụng của nó càng mở rộng.
Để sử dụng sóng Rayleigh trong đánh giá không phá hủy, sóng
Rayleigh được tạo ra (bởi IDT hay lade) và truyền vào trong cấu trúc
vật liệu. Nó được thu lại tại một khoảng cách cho trước tính từ vị trí
nó được tạo ra. Vì thời gian chuyển động của sóng Rayleigh đã biết nên
vận tốc được xác định dễ dàng. Từ các giá trị đo được của vận tốc sóng
và phương trình tán sắc (dạng hiện) của sóng Rayleigh, một bài toán
ngược (fitting đường cong tán sắc thực nghiệm với đường cong tán sắc
lý thuyết) sẽ được giải để tìm ra các đặc trưng cơ học của cấu trúc. Chú
ý rằng, để thiết lập được bài toán ngược, ngoài các giá trị đo được của
vận tốc sóng, cần có phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh.
Do vậy, phương trình tán sắc dạng hiện là mục tiêu chính của bất kỳ
nghiên cứu nào về sóng mặt Rayleigh.
Đối với các môi trường đàn hồi đẳng hướng, phương trình tán sắc

dạng hiện của sóng Rayleigh được tìm ra dễ dàng, như đã trình bày ở
trên. Đó là vì đối với trường hợp này: (i) Tìm được biểu thức của bốn
nghiệm của phương trình đặc trưng của sóng. (ii) Chọn được hai nghiệm
(trong bốn nghiệm này) đảm bảo sự tắt dần của sóng Rayleigh (với mọi
tham số của môi trường). Đối với môi trường đàn hồi dị hướng, tình hình
hoàn toàn khác: hoặc (i) thực hiện được nhưng (ii) thì không, hoặc (i)
8


không thực hiện được, do vậy không thể thực hiện được (ii). Cho nên,
việc tìm ra các phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh truyền
trong các bán không gian đàn hồi dị hướng là không dễ dàng. Như đã
biết, phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh trong bán không
gian đàn hồi đẳng hướng được tìm ra từ năm 1885. Tuy nhiên, mãi đến
năm 1963 nó mới được tìm ra cho bán không gian đàn hồi trực hướng
[90], đến những năm 2000 nó mới được tìm ra cho các bán không gian đàn
hồi monoclinic [22, 95] và dị hướng tổng quát [96]. Các phương trình này
được tìm ra bằng các phương pháp mới, không dựa vào phương trình đặc
trưng của sóng. Đó là phương pháp sử dụng định lý Viet [100], phương
pháp tích phân đầu [1, 22], phương pháp véctơ phân cực [1, 115, 98],
phương pháp phần bù đại số [97].
3.2 Ứng dụng của sóng Stoneley
Trước năm 1965, thời điểm các thiết bị IDT ra đời, các nghiên cứu
về sóng Stoneley có ứng dụng chủ yếu trong lĩnh vực địa vật lý. Từ 1965
đến nay, sóng Stoneley được ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực đánh giá
không phá hủy các tính chất cơ học của các cấu trúc trước và trong quá
trình sử dụng. Tuy vậy, so với sóng Rayleigh, sóng Stoneley không thuận
tiện bằng do nó không luôn tồn tại.
Để ứng dụng sóng Stoneley trong đánh giá không phá hủy, cần có
phương trình tán sắc dạng hiện của nó để thiết lập và giải bài toán

ngược. Khi hai bán không gian đàn hồi là đẳng hướng, phương trình tán
sắc dạng hiện của sóng Stoneley được tìm ra năm 1924 bởi Stoneley [89]
cho liên kết gắn chặt, năm 1975 bởi Murty [62] cho liên kết trượt. Khi
các bán không gian là dị hướng, việc tìm ra các phương trình tán sắc
dạng hiện của sóng Stoneley trở nên rất khó khăn, khó hơn so với sóng
Rayleigh. Các phương trình tán sắc dạng hiện thu được còn rất hạn chế,
mới chỉ dừng lại ở trường hợp trực hướng. Khi hai bán không gian đàn
hồi là trực hướng, phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Stoneley
được tìm ra năm 2013 bởi Ting [99] cho liên kết trượt, chỉ mới gần đây
bởi Vinh và Anh [118] cho liên kết gắn chặt. Chú ý rằng, Sotiropolous
[92] rút ra phương trình tán sắc của sóng Stoneley cho trường hợp trực
hướng năm 1999. Tuy nhiên, phương trình này chưa hoàn toàn tường
minh, như đã chỉ ra bởi Vinh và Anh [118].

9


1.4

Ý nghĩa của các công thức vận tốc sóng
Rayleigh và sóng Stoneley

Như đã nói ở trên, để sử dụng sóng Rayleigh và sóng Stoneley trong
đánh giá không phá hủy cần có các phương trình tán sắc dạng hiện của
chúng làm cơ sở toán học để giải bài toán ngược: tìm các đặc trưng cơ
học của vật liệu từ các giá trị đo được của vận tốc sóng. Vì công thức
vận tốc sóng cũng là phương trình tán sắc dạng hiện (dạng đặc biệt)
nên nó cũng được sử dụng để giải bài toán ngược. Vì nó là dạng đơn
giản nhất (tối ưu nhất) của phương trình tán sắc dạng hiện nên việc giải
bài toán ngược sẽ trở nên đơn giản đi rất nhiều khi sử dụng công thức

vận tốc sóng: không cần giải bài toán fitting đường cong tán sắc thực
nghiệm với đường cong tán sắc lý thuyết, chỉ cần giải các phương trình
đại số.
Để minh họa ta xét ví dụ sau: xác định hệ số Poisson ν của một vật
liệu (mới), đàn hồi đẳng hướng khi đã biết vận tốc sóng ngang c2 của
nó (được xác định bằng phương pháp khác). Để xác định hệ số Poisson
ν, ta truyền sóng Rayleigh vào vật liệu trên (bằng IDT hoặc chùm lade)
và đo vận tốc truyền cr của nó, sau đó xác định vận tốc sóng Rayleigh
không thứ nguyên x = c2r /c22 . Từ công thức (xấp xỉ) của vận tốc sóng
Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng [?]:
x=

1.68522 + 1.27223 ν
1.92899 + ν

(1.28)

1.92899x − 1.68522
1.27223 − x

(1.29)

dễ dàng xác định ν qua x:
ν=

chỉ bằng việc giải một phương trình bậc nhất.
Có thể nói rằng, đối với sóng mặt Rayleigh và Stoneley, vận tốc của
chúng là một đại lượng vật lý cơ bản, được các nhà nghiên cứu trong
các lĩnh vực khoa học khác nhau quan tâm. Nó được nói đến trong hầu
hết các sách chuyên khảo về sóng truyền trong các vật thể đàn hồi. Nó

liên quan đến hàm Green trong nhiều bài toán động lực học của các bán
không gian đàn hồi, và là một công cụ vô cùng tiện lợi để đánh giá không
phá hủy các đặc trưng cơ học của các kết cấu trước và trong khi chịu tải.
Do vậy, các công thức của vận tốc sóng Rayleigh và Stoneley, chính xác
cũng như xấp xỉ, có ý nghĩa đặc biệt quan trọng về cả phương diện lý
thuyết lẫn ứng dụng thực tiễn.
10


1.5

Mục tiêu của luận án

Từ các phân tích trên:
Mục tiêu của luận án là đi tìm các công thức vận tốc của sóng
Rayleigh và Stoneley.

1.6

Các công thức vận tốc sóng đã được
tìm ra

1.6.1

Các công thức chính xác

Một điều đáng chú ý là: mặc dù sự tồn tại (duy nhất) nghiệm của phương
trình tán sắc (1.20) được chứng minh từ lâu, các công thức chính xác
của vận tốc sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi đẳng hướng nén
được, tức là công thức nghiệm của phương trình (1.20), mới được tìm ra

gần đây.
Năm 1995, Rahman và Barber [74] tìm được công thức chính xác đầu
tiên cho vận tốc sóng Rayleigh truyền trong vật thể đàn hồi đẳng hướng
nén được bằng cách sử dụng lý thuyết phương trình bậc ba. Tuy nhiên
công thức này được biểu diễn bằng hai biểu thức khác nhau phụ thuộc
vào dấu biệt thức của một phương trình bậc ba, phương trình (1.21),
nên không thuận tiện khi sử dụng.
Sử dụng lý thuyết bài toán Riemann, Nkemzi [67] đã dẫn ra công
thức cho vận tốc sóng Rayleigh, nó là một hàm liên tục của tham số
γ = µ/(λ + 2µ). Công thức đó khá phức tạp [23], và kết quả cuối cùng
trong bài báo của Nkemzi là không chính xác [57]. Đến năm 2000, Malischewsky [57] đã tìm được công thức biểu diễn vận tốc sóng Rayleigh
bằng cách sử dụng công thức Cardan, công thức lượng giác của nghiệm
phương trình bậc ba và MATHEMATICA. Tuy nhiên, Malischewsky
không chứng minh được công thức mà ông đã đưa ra.
Đến năm 2004, sử dụng lý thuyết phương trình bậc ba, Vinh và Ogden
[100] đã chứng minh một cách chặt chẽ công thức của Malischewsky, và
tìm được một công thức khác. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh cho
môi trường đàn hồi trực hướng được tìm ra sau đó bởi Vinh và Ogden
[101] (2004) cho trường hợp nén được, bởi Ogden và Vinh [69] (2004) cho
cho trường hợp không nén được. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh
11


cho môi trường đàn hồi chịu ứng suất trước được tìm ra bởi Vinh [110]
(2011) cho trường hợp không nén được, Vinh [114] cho trường hợp nén
được.
Chưa có một công thức vận tốc sóng Stoneley nào được tìm ra trước
luận án.

1.6.2

Các công thức xấp xỉ

Vì những ứng dụng to lớn của vận tốc sóng Rayleigh trong nhiều lĩnh
vực khác nhau của khoa học và công nghệ mà các công thức xấp xỉ của
nó được thiết lập từ sớm, trước khi các công thức chính xác xuất hiện.
Các công thức xấp xỉ cần có dạng đơn giản để dễ sử dụng.
Khi bán không√gian đàn hồi là đẳng hướng
Ký hiệu x¯ = x = c/c2 . Công thức xấp xỉ đầu tiên của x¯ được đưa
ra bởi Bergmann [8] vào 1948 có dạng:
x¯b (ν) =

0.87 + 1.12ν
, ν ∈ [0, 0.5]
1+ν

(1.30)

Xấp xỉ trên có dạng tỷ số của hai nhị thức bậc nhất của ν, được gọi là
dạng xấp xỉ Bergmann. Thuộc lớp xấp xỉ Bergmann còn có các xấp xỉ
sau:
0.862 + 1.14ν
, ν ∈ [0, 0.5]
(1.31)
x¯a (ν) =
1+ν
thiết lập bởi Achenbach [2] và:
x¯m (ν) =

0.863 + 1.139ν

, ν ∈ [0, 0.5]
1+ν

(1.32)

thiết lập bởi Mozhaev [60]. Thuộc lớp xấp xỉ đa thức có các xấp xỉ:
x¯n2 (ν) = 0.874 + 0.198ν − 0.054ν 2 , ν ∈ [0, 0.5]

(1.33)

và:
x¯n3 (ν) = 0.874 + 0.196ν − 0.043ν 2 − 0.052ν 3 , ν ∈ [0, 0.5]

(1.34)

thiết lập bởi Nesvijski [66]. Thuộc lớp xấp xỉ nghịch đảo một đa thức có
xấp xỉ:
x¯sc (ν) =

1
, ν ∈ [0, 0.5]
1.14418 − 0.25771ν + 0.12661ν 2
12

(1.35)