CHUYEN DE PHUONG TRINHCO LOI GIAI CHI TIET

Trường THPT Phùng Khắc Khoan

Phương trình 10

Trang 1


Trường THPT Phùng Khắc Khoan
 BÀI 01

Phương trình 10

KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH

I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương trình một ẩn
Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng
f ( x) = g( x)
trong đó
1.
trình ( )

f ( x)

( 1)

gx
f x
gx
và ( ) là những biểu thức của x. Ta gọi ( ) là vế trái, ( ) là vế phải của phương

f x = g( x0 )
Nếu có số thực x0 sao cho ( 0 )
là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương
1.
trình ( )
1
Giải phương trình ( ) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).
Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm
của nó là rỗng).
2. Điều kiện của một phương trình
1
f x
gx
Khi giải phương trình ( ) , ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để ( ) và ( ) có nghĩa (tức là

mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt
là điều kiện của phương trình).
3. Phương trình nhiều ẩn
Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn
3x + 2y = x2 - 2xy + 8,
( 2)
2
2
2
4x - xy + 2z = 3z + 2xz + y .
( 3)
2
3
Phương trình ( ) là phương trình hai ẩn ( x và y ), còn ( ) là phương trình ba ẩn ( x, y và z ).
2

x; y = 2;1
Khi x = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình ( ) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp ( ) ( ) là một
2.
nghiệm của phương trình ( )
x; y; z) = ( - 1;1;2)
3.
Tương tự, bộ ba số (
là một nghiệm của phương trình ( )
4. Phương trình chứa tham số
Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ
khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.
II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ
PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
1. Phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
2. Phép biến đổi tương đương
Định lí
Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện
của nó thì ta được một phương trình mới tương đương
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác
0.

Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu
thức đó.
3. Phương trình hệ quả
f x = g( x)
f x =g x
Nếu mọi nghiệm của phương trình ( )
đều là nghiệm của phương trình 1 ( ) 1 ( ) thì

f x =g x
f x = g( x) .
phương trình 1 ( ) 1 ( ) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình ( )
Trang 2


Trường THPT Phùng Khắc Khoan

Phương trình 10

Ta viết
f ( x) = g( x) Þ f1 ( x) = g1 ( x) .

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó
là nghiệm ngoại lai.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH
2x
3
- 5= 2
x +1
x +1
2

Câu 1. Điều kiện xác định của phương trình
là
x
¹
1.
x

¹
1.
x
¹
±
1.
A.
B.
C.
D. x Î ¡ .
Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình x - 1+ x - 2 = x - 3 là
A. x > 3.
B. x ³ 2.
C. x ³ 1.
D. x ³ 3.
x2 + 5

x- 2 +

7- x
Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình
A. x ³ 2.
B. x < 7.
C. 2 £ x £ 7.

1

=0

là

D. 2 £ x < 7.

+ x2 - 1 = 0

Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình x
là
A. x ³ 0.
B. x > 0.
2
2
C. x > 0 và x - 1³ 0.
D. x ³ 0 và x - 1> 0.
x2
x- 2

Câu 5. Điều kiện xác định của phương trình
A. x ¹ 2.
B. x ³ 2.
C. x < 2.

8

=

x- 2

là
D. x > 2.

1

= x +3
x2 - 4

Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình
A. x ³ - 3 và x ¹ ±2.
B. x ¹ ±2.
C. x > - 3 và x ¹ ±2.
D. x ³ - 3.

x2 - 4 =

là:

1
x- 2

Câu 7. Điều kiện xác định của phương trình
là
x
³
2
x
£
2.
x
³
2
A.
hoặc
B.

hoặc x <- 2.
C. x > 2 hoặc x <- 2.
D. x > 2 hoặc x £ - 2.
x+

Câu 8. Điều kiện xác định của phương trình

2x + 4

3- 2x
x

=

x >- 2, x ¹ 0

và

x ¹ 0.

B.

C. x >- 2 và

3
x< .
2

D. x ¹ - 2 và x ¹ 0.

A.

x >- 2

1

x + 2-

Câu 9. Điều kiện xác định của phương trình
A. x >- 2 và x ¹ - 1.
C.

x >- 2, x ¹ - 1

và

1
x+2

B. x >- 2 và
x£

4
.
3

và

x£

=

4
x< .
3

D. x ¹ - 2 và x ¹ - 1.
Trang 3

là

3
.
2

4- 3x
x +1

là


Trường THPT Phùng Khắc Khoan

Phương trình 10

2x +1
=0
x2 + 3x

Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình

A.
C.

x³ -

1
.
2

x³ -

1
2

B.
và x ¹ 0.

x³ -

1
2

là

và x ¹ - 3.

D. x ¹ - 3 và x ¹ 0.

Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
Câu 11. Hai phương trình được gọi là tương đương khi

A. Có cùng dạng phương trình.
B. Có cùng tập xác định.
C. Có cùng tập hợp nghiệm.
D. Cả A, B, C đều đúng.
2
Câu 12. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x - 4 = 0 ?
( 2+ x) ( - x2 + 2x +1) = 0.
( x - 2) ( x2 + 3x + 2) = 0.
A.
B.
2

2

C. x - 3 = 1.
D. x - 4x + 4 = 0.
2
Câu 13. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x - 3x = 0 ?
A.

x2 + x - 2 = 3x + x - 2.

B.

x2 +

1
1
= 3x +
.

x- 3
x- 3

2
2
2
D. x + x +1 = 3x + x +1.
x2 +1) ( x – 1) ( x +1) = 0
Câu 14. Cho phương trình (
. Phương trình nào sau đây tương đương với phương
trình đã cho ?
2
x – 1) ( x+1) = 0.
A. x- 1= 0.
B. x+1= 0.
C. x +1= 0.
D. (
2

C. x x - 3 = 3x x - 3.

Câu 15. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình

x+

1
=1
x
?

2
A. x + x = - 1.
B. 2x - 1 + 2x +1 = 0.
C. x x- 5 = 0.
D. 7+ 6x - 1 = - 18.
Câu 16. Khẳng định nào sau đây là đúng?
2
2
2
A. 3x + x - 2 = x Û 3x = x - x - 2.
B. x - 1 = 3x Û x - 1= 9x .

2x - 3
2

2

C. 3x + x - 2 = x + x - 2 Û 3x = x . D.
Câu 17. Khẳng định nào sau đây là sai?

x- 1

2

= x - 1 Û 2x - 3 = ( x - 1) .

x2 +1= 0 Û

x- 1

= 0.

x- 1
A. x - 1 = 2 1- x Û x - 1= 0.
B.
2
2
2
C. x - 2 = x +1 Û ( x - 2) = ( x +1) . D. x = 1Û x = 1.
Câu 18. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. x + x - 1 = 1+ x - 1 và x = 1.
B. x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1.
x x + 2) = x
C. x ( x + 2) = x và x+ 2 = 1.
D. (
và x+ 2 = 1.

Câu 19. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
x x +1

=0

A. 2x + x - 3 = 1+ x - 3 và 2x = 1. B. x +1
và x = 0.
2
C. x +1 = 2- x và x +1= ( 2- x) . D. x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1.
Câu 20. Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau:
Trang 4

Trường THPT Phùng Khắc Khoan

Phương trình 10

2
2
A. x +1= x - 2x và x + 2 = ( x - 1) .

B. 3x x +1 = 8 3- x và 6x x +1 = 16 3- x.
2
2
C. x 3- 2x + x = x + x và x 3- 2x = x.
D. x + 2 = 2x và x + 2 = 4x .
Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:
3
2
2x2 + mx - 2 = 0 ( 1) và 2x +( m+ 4) x + 2( m- 1) x - 4 = 0 ( 2) .
2

m= 2.

m= 3.

1
m= .
2
C.
của tham số m để

D. m= - 2.

cặp phương trình sau tương đương:
m- 2) x2 - 3x + m2 - 15 = 0 ( 2)
và (
.
C. m= 4.
D. m= 5.

A.
B.
Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực
mx2 - 2( m- 1) x + m- 2 = 0 ( 1)
A. m= - 5.
B. m= - 5; m= 4.
Câu 23. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. x - 2 = 1Þ x - 2 = 1.

x( x - 1)

B.

x- 1

= 1Þ x = 1.

3x - 2 = x - 3 Þ 8x2 - 4x - 5 = 0.

C.
D. x - 3 = 9- 2x Þ 3x - 12 = 0.
2
Câu 24. Cho phương trình 2x - x = 0 . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải

là hệ quả của phương trình đã cho?
A.
C.

2x -

x
= 0.
1- x

( 2x2 - x)

2

3
B. 4x - x = 0.
2

+( x - 5) = 0.

3
2
D. 2x + x - x = 0.

x x - 2) = 3( x - 2) ( 1)
Câu 25. Cho hai phương trình: (
và
đúng?
1
2

A. Phương trình ( ) là hệ quả của phương trình ( ) .

x( x - 2)
x- 2

= 3 ( 2)

. Khẳng định nào sau đây là

1
2
B. Phương trình ( ) và ( ) là hai phương trình tương đương.
2
1
C. Phương trình ( ) là hệ quả của phương trình ( ) .
D. Cả A, B, C đều sai.

Vấn đề 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
2
2
Câu 26. Tập nghiệm của phương trình x - 2x = 2x - x là:
S = { 0} .
S = { 2} .
A.
B. S = Æ.
C. S = { 0;2} .
D.

x x2 - 1) x - 1 = 0
Câu 27. Phương trình (

có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

2
3
Câu 28. Phương trình - x + 6x - 9 + x = 27 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
( x - 3) ( 5- 3x) + 2x = 3x - 5 + 4
Câu 29. Phương trình
có bao nhiêu nghiệm?
0.
1.
2.
A.
B.
C.
D. 3.
Câu 30. Phương trình x + x - 1 = 1- x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

Trang 5


Trường THPT Phùng Khắc Khoan

Phương trình 10

Câu 31. Phương trình 2x + x - 2 = 2- x + 2 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
3
2
Câu 32. Phương trình x - 4x + 5x - 2 + x = 2- x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

x+

Câu 33. Phương trình
A. 0.
B. 1.

1
2x - 1
=
x- 1 x- 1

Câu 34. Phương trình (
A. 0.
B. 1.

có bao nhiêu nghiệm?
C. 2.
D. 3.

x2 - 3x + 2) x - 3 = 0

Câu 35. Phương trình (
A. 0.
B. 1.

có bao nhiêu nghiệm?
C.
D. 3.
2.

x2 - x - 2) x +1 = 0

có bao nhiêu nghiệm?
C. 2.
D. 3.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH
2x
3

- 5= 2
x +1
x +1
2

Câu 1. Điều kiện xác định của phương trình
là
A. x ¹ 1.
B. x ¹ - 1.
C. x ¹ ±1.
D. x Î ¡ .
2
Lời giải. Chọn D. Vì x +1¹ 0 với mọi x Î ¡ .
Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình x - 1+ x - 2 = x - 3 là
A. x > 3.
B. x ³ 2.
C. x ³ 1.
D. x ³ 3.
ìï x - 1³ 0
ïï
ïí x - 2 ³ 0 Û
ïï
ï
Lời giải. Phương trình xác định khi îï x - 3 ³ 0

ìï x ³ 1
ïï
ïí x ³ 2 Û x ³ 3.
ïï
ïîï x ³ 3

Chọn D.
x2 + 5
x- 2 +
=0
7- x
là

Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình
A. x ³ 2.
B. x < 7.
C. 2 £ x £ 7.
Lời giải. Phương trình xác định khi

ïìï x - 2 ³ 0
Û
í
ïîï 7- x > 0

D. 2 £ x < 7.

ïìï x ³ 2
Û 2 £ x < 7.
í
ïîï x < 7

1
x

Chọn D.

+ x2 - 1 = 0

Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình
là
x
³
0.
A.
B. x > 0.
2
2
C. x > 0 và x - 1³ 0.
D. x ³ 0 và x - 1> 0.
Lời giải. Phương trình xác định khi

ìï x > 0
ïí
ïïî x2 - 1³ 0
.

Chọn C.
x2

=

8

x - 2 là
Câu 5. Điều kiện xác định của phương trình x - 2
A. x ¹ 2.

B. x ³ 2.
C. x < 2.
D. x > 2.
Lời giải. Phương trình xác định khi x - 2 > 0 Û x > 2 . Chọn D.

Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình

1
= x +3
x - 4
2

Trang 6

là:


Trường THPT Phùng Khắc Khoan
A. x ³ - 3 và x ¹ ±2.
C. x >- 3 và x ¹ ±2.

Phương trình 10
B. x ¹ ±2.
D. x ³ - 3.

Lời giải. Phương trình xác định khi

ïìï x2 - 4 ¹ 0
Û
í

ïîï x + 3³ 0

ïìï x ¹ ±2
í
ïïî x ³ - 3

. Chọn A.

1
x - 4=
x- 2
2

Câu 7. Điều kiện xác định của phương trình
là
x
³
2
x
£
2.
x
³
2
A.
hoặc
B.
hoặc x <- 2.
C. x > 2 hoặc x <- 2.
D. x > 2 hoặc x £ - 2.

Lời giải. Phương trình xác định khi

ïìï x2 - 4 ³ 0
Û
í
ïîï x - 2 ¹ 0

x+

Câu 8. Điều kiện xác định của phương trình

C.

và

1
2x + 4

3
x< .
2

ïìï 2x + 4 > 0
ïï
í 3- 2x ³ 0 Û
ïï
ïïî x ¹ 0

ïìï x >- 2

ïï
ï x£ 3
í
ïï
2
ïïï x ¹ 0
î

x + 2-

Câu 9. Điều kiện xác định của phương trình
A. x > - 2 và x ¹ - 1.
C.

và

x£

4
.
3

C.

1
x³ - .
2
1
2

x+2

ïìï x + 2 > 0
ïï
í 4- 3x ³ 0 Û
ïï
ïïî x +1¹ 0

B.
và x ¹ 0.

Lời giải. Phương trình xác định khi

4- 3x
x +1

=

là

4
x< .
3

D. x ¹ - 2 và x ¹ - 1.

Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình

x³ -

là

3
x£ .
2

. Chọn B.

1

B. x >- 2 và

Lời giải. Phương trình xác định khi

A.

3- 2x
x

=

. Chọn D.

D. x ¹ - 2 và x ¹ 0.

Lời giải. Phương trình xác định khi

x >- 2, x ¹ - 1

éx > 2

ê
êx £ - 2
ë

B. x >- 2, x ¹ 0 và

A. x >- 2 và x ¹ 0.
x >- 2

ïìï éx ³ 2
ïï ê
x£ - 2Û
íê
ïï ë
ïïî x ¹ 2

ìï x >- 2
ïï
ïï
4
í x£
ïï
3
ïïï x ¹ - 1
î

. Chọn C.

2x +1
=0

x2 + 3x

1
x³ 2

là

và x ¹ - 3.

D. x ¹ - 3 và x ¹ 0.
ìï
ïï x >- 1
ïï
2
ïìï 2x +1³ 0
ï
Û í x¹ 0 Û
í 2
ïîï x + 3x ¹ 0 ïï
ïï x ¹ - 3
ïï
ïî

ìï
ïï x ³ - 1
2
í
ïï
x
¹

0
ïî

. Chọn C.

Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
Trang 7


Trường THPT Phùng Khắc Khoan

Phương trình 10

Câu 11. Hai phương trình được gọi là tương đương khi
A. Có cùng dạng phương trình.
B. Có cùng tập xác định.
C. Có cùng tập hợp nghiệm.
D. Cả A, B, C đều đúng.
Lời giải. Chọn C.
2
Câu 12. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x - 4 = 0 ?
( 2+ x) ( - x2 + 2x +1) = 0.
( x - 2) ( x2 + 3x + 2) = 0.
A.
B.
2
C. x - 3 = 1.

2
D. x - 4x + 4 = 0.

2
S = - 2;2}
Lời giải. Ta có x - 4 = 0 Û x = ±2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là 0 {
.
Xét các đáp án:

éx = - 2
Û ê
êx = 1± 2
ë- x + 2x +1= 0 ê
ë
.
é

 Đáp án A. Ta có
phương trình là

x+2= 0
( 2+ x) ( - x2 + 2x +1) = 0 Û ê
ê 2

{

S1 = - 2;1-

}

2;1+ 2 ¹ S0

Do đó, tập nghiệm của

.

éx - 2 = 0
Û
( x - 2) ( x + 3x + 2) = 0 Û ê
êx2 + 3x + 2 = 0
ë
2

 Đáp án B. Ta có
trình là S2 = { - 2;- 1;2} ¹ S0 .

éx = 2
ê
êx = - 1
ê
êx = - 2
ë
.

Do đó, tập nghiệm của phương

2
2
 Đáp án C. Ta có x - 3 = 1Û x - 3 = 1Û x = ±2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình là
S3 = { - 2;2} = S0
. Chọn C.
2

 Đáp án D. Ta có x - 4x + 4 = 0 Û x = 2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình là S4 = { 2} ¹ S0 .
2
Câu 13. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x - 3x = 0 ?

x2 +

1
1
= 3x +
.
x- 3
x- 3

2

B.

2

2
2
2
D. x + x +1 = 3x + x +1.

A. x + x - 2 = 3x + x - 2.
C. x x - 3 = 3x x - 3.
Lời giải. Ta có
Xét các đáp án:

éx = 0

x2 - 3x = 0 Û ê
êx = 3
ë

. Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là

ïì x - 2 ³ 0
x + x - 2 = 3x + x - 2 Û ïí 2
Û
ïîï x - 3x = 0
2

 Đáp án A. Ta có
S = 3 ¹ S
phương trình là 1 { } 0 .
x2 +

 Đáp án B. Ta có
S2 = { 0} ¹ S0
.
2

x

 Đáp án C. Ta có
S = 3 ¹ S
trình là 3 { } 0 .

1
1

= 3x +
Û
x- 3
x- 3

ïìï x - 3 ¹ 0
Û x=0
í 2
ïïî x - 3x = 0

ìï x - 3 ³ 0
ïï
x2 - 3x = 0 Û
x - 3 = 3x x - 3 Û ïí é
ïï ê
ïï ê
ê x- 3 = 0
îë

Trang 8

ïìï x ³ 2
ïíï éx = 0 Û x = 3
ïï ê
ïïî ê
ëx = 3
.

S0 = { 0;3}

.

Do đó, tập nghiệm của

. Do đó, tập nghiệm của phương trình là

ïìï x ³ 3
ï
íï éx = 0 Û x = 3
ïï ê
ïïî ê
ëx = 3
.

Do đó, tập nghiệm của phương


Trường THPT Phùng Khắc Khoan

Phương trình 10

éx = 0
x2 + x2 +1 = 3x + x2 +1 Û x2 = 3x Û ê
êx = 3
ë
.

 Đáp án D. Ta có
S4 = { 0;3} = S0
. Chọn D.

Do đó, tập nghiệm của phương trình là

x2 +1) ( x – 1) ( x +1) = 0
Câu 14. Cho phương trình (
. Phương trình nào sau đây tương đương với phương
trình đã cho ?
2
x – 1) ( x+1) = 0.
A. x- 1= 0.
B. x+1= 0.
C. x +1= 0.
D. (
2
x2 +1) ( x – 1) ( x +1) = 0 Û ( x - 1) ( x +1) = 0
Lời giải. Ta có (
(vì x +1> 0, " x Î ¡ .
Chọn D.

Câu 15. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình

1
=1
x
?

B. 2x - 1 + 2x +1 = 0.

2
A. x + x = - 1.

C. x x- 5 = 0.

Lời giải. Ta có
S0 = Æ .
Xét các đáp án:

x+

D. 7+ 6x - 1 = - 18.

ìï x ¹ 0
1
x + = 1 Û ïí 2
ïïî x - x +1= 0
x

(vô nghiệm). Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là

ìï x2 ³ 0
ï
¾¾
® x2 + x ³ 0
í
ïï x ³ 0
2
 Đáp án A. Ta có î
. Do đó, phương trình x + x = - 1 vô nghiệm. Tập nghiệm
của phương trình là S1 = Æ= S0 .

 Đáp án B. Ta có

2x - 1 + 2x +1 = 0

ìï 2x - 1 = 0
2x - 1 + 2x +1 = 0 Û ïí
ïï 2x +1 = 0
î

(vô nghiệm). Do đó, phương trình

vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S2 = Æ= S0 .
ïìï x - 5 ³ 0
ï
x x - 5 = 0 Û ïí ïìï x = 0
Û x=5
ïï í
ïï ïîï x - 5 = 0
î
.

 Đáp án C. Ta có
S = 5 ¹ S
là 3 { } 0 . Chọn C.

Do đó, phương trình x x- 5 = 0 có tập nghiệm

® 7 + 6x - 1 ³ 7 >- 18 . Do đó, phương trình 7+ 6x - 1 = - 18 vô
 Đáp án D. Ta có 6x - 1 ³ 0 ¾¾
nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S4 = Æ= S0 .
Câu 16. Khẳng định nào sau đây là đúng?
2

2
2
A. 3x + x - 2 = x Û 3x = x - x - 2.
B. x - 1 = 3x Û x - 1= 9x .

2x - 3
2

2

C. 3x + x - 2 = x + x - 2 Û 3x = x . D.
Lời giải. Chọn A.
Câu 17. Khẳng định nào sau đây là sai?

x- 1

2

= x - 1 Û 2x - 3 = ( x - 1) .

x2 +1= 0 Û

x- 1

= 0.

x- 1
A. x - 1 = 2 1- x Û x - 1= 0.
B.
2

2
2
C. x - 2 = x +1 Û ( x - 2) = ( x +1) . D. x = 1 Û x = 1.
2
Lời giải. Chọn D. Vì x = 1Û x = ±1.
Câu 18. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. x + x - 1 = 1+ x - 1 và x = 1.
B. x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1.

Trang 9


Trường THPT Phùng Khắc Khoan
C. x ( x + 2) = x và x+ 2 = 1.
Lời giải. Xét các đáp án:
 Đáp án A. Ta có

Phương trình 10
D. x( x + 2) = x và x+ 2 = 1.

ìï x ³ 1
x + x - 1 = 1+ x - 1 Û ïí
Û x = 1¾¾
® x + x - 1 = 1+ x - 1 Û x = 1
ïïî x = 1
.
ìïï x - 2 ³ 0
x + x - 2 = 1+ x - 2 Û í
Û xÎ Æ
ïïî x = 1

Chọn A.

 Đáp án B. Ta có
.
Do đó, x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1 không phải là cặp phương trình tương đương.
ïìï x ³ 0
ï
x ( x + 2) = x Û ïí éx = 0
Û x=0
ïï ê
ê
ïïî ëx + 2 = 0
x + 2 = 1Û x = - 1

 Đáp án C. Ta có
phải là cặp phương trình tương đương.

. Do đó,

x ( x + 2) = x

và x + 2 = 1 không

éx = 0
x( x + 2) = x Û ê
êx = - 1
ë
x + 2 = 1 Û x =- 1

x x + 2) = x
 Đáp án D. Ta có
. Do đó, (
và x + 2 = 1 không phải là cặp phương
trình tương đương.
Câu 19. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
x x +1

=0

A. 2x + x - 3 = 1+ x - 3 và 2x = 1. B. x +1
và x = 0.
2
C. x +1 = 2- x và x +1= ( 2- x) . D. x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1.
Lời giải. Xét các đáp án:
ìï x ³ 3
ïìï x - 3 ³ 0 ïï
2x + x - 3 = 1+ x - 3 Û í
Û í
Û xÎ Æ
ïïî 2x = 1
ïï x = 1
ïî
2
1
2x = 1 Û x =
2
. Do đó, 2x + x - 3 = 1+ x- 3

 Đáp án A. Ta có

và 2x = 1 không phải là cặp phương trình tương đương.
ïì x +1> 0
= 0 Û ïí
Û
ïîï x = 0
x +1

x x +1

 Đáp án B. Ta có
phương trình tương đương. Chọn B.

ïìï x >- 1
Û x=0
í
ïîï x = 0

x x +1

. Do đó,

x +1

ìï x £ 2
ï
5- 13
ïí
Û x=
ïï x = 5± 13
2

ïïî
2
5± 13
2
x +1= ( 2- x) Û x2 - 5x + 3 = 0 Û x =
2
.

=0

và x = 0 là cặp

ïì 2- x ³ 0
x +1 = 2- x Û ïí
Û
ïï x +1= ( 2- x) 2
î

 Đáp án C. Ta có
2
và x +1= ( 2- x) không phải là cặp phương trình tương đương.

ìï x - 2 ³ 0
x + x - 2 = 1+ x - 2 Û ïí
Û xÎ Æ
ïïî x = 1
.

Do đó,

x +1 = 2- x

 Đáp án D. Ta có
Do đó, x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1
không phải là cặp phương trình tương đương.
Câu 20. Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau:
2
2
A. x +1= x - 2x và x + 2 = ( x - 1) .
Trang 10


Trường THPT Phùng Khắc Khoan

Phương trình 10

B. 3x x +1 = 8 3- x và 6x x +1 = 16 3- x.
2
2
C. x 3- 2x + x = x + x và x 3- 2x = x.
2
D. x + 2 = 2x và x + 2 = 4x .
Lời giải. Chọn D.

ìï 2x ³ 0
x + 2 = 2x Û ïí
Û
ïîï x + 2 = 4x2

Ta có

x + 2 = 4x2 Û x =

ïìï x ³ 0
1+ 33
ï
Û x=
í
ïï x = 1± 33
8
ïïî
8

1± 33
8

.
2

Do đó, x + 2 = 2x và x + 2 = 4x không phải là cặp phương trình tương đương.
Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:
3
2
2x2 + mx - 2 = 0 ( 1) và 2x +( m+ 4) x + 2( m- 1) x - 4 = 0 ( 2) .
A.

m= 2.

Lời giải. Ta có

1
m= .
2
B.
C.
D. m= - 2.
éx = - 2
.
( 2) Û ( x + 2) ( 2x2 + mx - 2) = 0 Û ê
ê2x2 + mx - 2 = 0
ë
m= 3.

1
Do hai phương trình tương đương nên x = - 2 cũng là nghiệm của phương trình ( ) .
2
1
Thay x = - 2 vào ( ) , ta được 2( - 2) + m( - 2) - 2 = 0 Û m= 3 .

Với m= 3 , ta có
1

x= .
2
2
· ( 1) trở thành 2x + 3x - 2 = 0 Û x = - 2 hoặc
1

3
2

x=
2.
· ( 2) trở thành 2x + 7x + 4x - 4 = 0 Û ( x + 2) ( 2x +1) = 0 Û x = - 2 hoặc
Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy m= 3 thỏa mãn. Chọn B.
Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:
2
2
2
mx2 - 2( m- 1) x + m- 2 = 0 ( 1)
và ( m- 2) x - 3x + m - 15 = 0 ( ) .
2

B. m= - 5; m= 4.

A. m= - 5.

C. m= 4.

D. m= 5.

éx = 1

Lời giải. Ta có

( 1) Û ( x - 1) ( mx - m+ 2) = 0 Û ê
ê

.
ëmx - m+ 2 = 0 .

2
Do hai phương trình tương đương nên x = 1 cũng là nghiệm của phương trình ( ) .
2
Thay x = 1 vào ( ) , ta được
Với m= - 5 , ta có

ém= - 5
.
ëm= 4

( m- 2) - 3+ m2 - 15 = 0 Û m2 + m- 20 = 0 Û ê
ê
7

- 5x2 +12x - 7 = 0 Û x =
1)
(
5 hoặc x = 1.
•
trở thành
10

2

- 7x - 3x +10 = 0 Û x = 2
7 hoặc x = 1.
• ( ) trở thành
Suy ra hai phương trình không tương đương
Với m= 4 , ta có

1

4x2 - 6x + 2 = 0 Û x =
1)
(
2 hoặc x = 1.
•
trở thành
1

2x2 - 3x +1= 0 Û x =
2
2 hoặc x = 1.
• ( ) trở thành
Trang 11


Trng THPT Phựng Khc Khoan

Phng trỡnh 10

Suy ra hai phng trỡnh tng ng. Vy m= 4 tha món. Chn C.
Cõu 23. Khng nh no sau õy l sai?
x( x - 1)
A. x - 2 = 1ị x - 2 = 1.

B.

3x - 2 = x - 3 ị 8x2 - 4x - 5 = 0.

C.
Li gii. Chn C.
Ta cú:




x- 1

= 1ị x = 1.

D. x - 3 = 9- 2x ị 3x - 12 = 0.

ỡù x 3
ùù
ùù ộ 5
ỡù x 3
ùỡù x - 3 0
ù ờx =
ù
3x - 2 = x - 3 ớ
ớ
ớù ờ
xẻ ặ
ùù ( 3x - 2) 2 = ( x - 3) 2 ùùợ 8x2 - 6x - 5 = 0 ùù ờ 4
ợ
ùù ờ
1
ùù ờx = 2
ở

ùợ ờ
.

8x2 - 4x - 5 = 0 x =

1 11
4 .
3x - 2 = x - 3

2

Do ú, phng trỡnh 8x - 4x - 5 = 0 khụng phi l h qu ca phng trỡnh
.
2
2
x
x
=
0
Cõu 24. Cho phng trỡnh
. Trong cỏc phng trỡnh sau õy, phng trỡnh no khụng phi
l h qu ca phng trỡnh ó cho?
A.

2x -

x
= 0.
1- x

2x2 - x)
C. (

2

3
B. 4x - x = 0.
2

+( x - 5) = 0.

ộx = 0
ờ
2x - x = 0 ờ 1
ờx =
ờ
ở 2
2

Li gii. Ta cú
Xột cỏc ỏp ỏn:

3
2
D. 2x + x - x = 0.

ỡ 1ỹ
S0 = ùớ 0; ùý
ùợù 2ùỵ
ù .

. Do ú, tp nghim ca phng trỡnh ó cho l

ỡù 1- x ạ 0
x
2x = 0 ùớ

ùù 2x( 1- x) - x = 0
1- x
ợ

ỏp ỏn A. Ta cú
trỡnh l

ùỡ 1ùỹ
S1 = ớ 0; ýẫ S0
ùợù 2ùỵ
ù

ùỡù x ạ 1
ùùù ộx = 0

ớờ
ùù ờ 1
ùù ờx =
ùợ ờ
ở 2

ộx = 0
ờ
ờ 1

ờx =
ờ
ở 2

. Do ú, tp nghim ca phng

.

ùỡù x = 0
4x3 - x = 0 ùớ
ùù x = 1
ùợ
2.

ỡ 1 1ỹ
S2 = ùớ - ;0; ùýẫ S0
ù
ợùù 2 2ùỵ
ỏp ỏn B. Ta cú
Do ú, tp nghim ca phng trỡnh l
.
2
2
ỡ
ỡ
2
ù 2x - x = 0 ù 2x - x = 0
( 2x2 - x) +( x - 5) 2 = 0 ùớù x - 5 = 0 ùớù x = 5
ợù
ợù

ỏp ỏn C. Ta cú
ca phng trỡnh l S3 = ặẫ S0 . Chn C.

ỏp ỏn D. Ta cú

(vụ nghim). Do ú, tp nghim

ộx = 0
ờ
ờ 1
3
2
2x + x - x = 0 ờx =
ờ 2
ờ
ờx = - 1
ở

1ùỹ
ùỡ
S2 = ớ - 1;0; ý ẫ S0
2ỵ
ùù
ợùù

. Do ú, tp nghim ca phng trỡnh l
.
x( x - 2)
= 3 ( 2)

Cõu 25. Cho hai phng trỡnh: x( x - 2) = 3( x - 2) ( 1) v x - 2
. Khng nh no sau õy l
ỳng?
1
2
A. Phng trỡnh ( ) l h qu ca phng trỡnh ( ) .
Trang 12


Trường THPT Phùng Khắc Khoan

Phương trình 10

1
2
B. Phương trình ( ) và ( ) là hai phương trình tương đương.
2
1
C. Phương trình ( ) là hệ quả của phương trình ( ) .
D. Cả A, B, C đều sai.
Lời giải. Ta có:
éx - 2 = 0

 Phương trình

( 1) Û ê
ê

éx = 2
Û ê

êx = 3
ë
.

ëx = 3
ìï x - 2 ¹ 0
Û x=3
( 2) Û ïí
ïïî x = 3

1
S = 2;3
Do đó, tập nghiệm của phương trình ( ) là 1 { } .

2
. Do đó, tập nghiệm của phương trình ( ) là S2 = 3 .
1
2
Vì S2 Ì S1 nên phương trình ( ) là hệ quả của phương trình ( ) . Chọn A.

 Phương trình

Vấn đề 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
2
2
Câu 26. Tập nghiệm của phương trình x - 2x = 2x - x là:
S = { 0} .
S = { 0;2} .
S = { 2} .
A.

B. S = Æ.
C.
D.

ïìï x2 - 2x ³ 0 ïìï x2 - 2x ³ 0
Û í
Û x2 - 2x = 0 Û
í
ïï 2x - x2 ³ 0 ïï x2 - 2x £ 0
î
Lời giải. Điều kiện: î
Thử lại ta thấy cả x = 0 và x = 2 đều thỏa mãn phương trình.
x( x2 - 1) x - 1 = 0

Câu 27. Phương trình
A. 0.
B. 1.
Lời giải. Điều kiện: x - 1³ 0 Û x ³ 1.

éx = 0
ê
.
ê
ëx = 2

Chọn C.

có bao nhiêu nghiệm?
C. 2.
D. 3.

éx = 0
ê
êx2 - 1= 0 Û
ê
ê
ê
ë x- 1 = 0

éx = 0
ê
êx = ±1.
ê
êx = 1
ë

Phương trình tương đương với
Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.
2
3
Câu 28. Phương trình - x + 6x - 9 + x = 27 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
2
Lời giải. Điều kiện: - x + 6x - 9 ³ 0 Û - ( x- 3) ³ 0 Û x = 3 .

Thử lại ta thấy x = 3 thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.
2
( x - 3) ( 5- 3x) + 2x = 3x - 5 + 4
Câu 29. Phương trình
có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
ìï ( x - 3) ( 5- 3x) ³ 0
ï
í
ï
*
Lời giải. Điều kiện: ïî 3x - 5 ³ 0
.( )
*
Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện ( ) .

Nếu x ¹ 3 thì

ìï
ï x£
ïìï 5- 3x ³ 0 ïïï
Û í
( *) Û í
ïïî 3x - 5 ³ 0 ïï
ïï x ³

ïî

5
5
3
Û x=
5
3
3
.

Trang 13


Trường THPT Phùng Khắc Khoan

Phương trình 10

Do đó điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc
x=

x=

5
3.

5
3

Thay x = 3 và

vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.
Câu 30. Phương trình x + x - 1 = 1- x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
ìïï x - 1³ 0
Û
í
ïîï 1- x ³ 0

ìïï x ³ 1
Û x =1
í
ïîï x £ 1
.

Lời giải. Điều kiện
Thử lại x = 1 thì phương trình không thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn A.
Câu 31. Phương trình 2x + x - 2 = 2- x + 2 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
ìï x ³ 0
ïï
í x- 2³ 0 Û x = 2
ïï

ï
Lời giải. Điều kiện: ïî 2- x ³ 0
.
x
=
2
Thử lại phương trình thấy
thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.
3
2
Câu 32. Phương trình x - 4x + 5x - 2 + x = 2- x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
ìï x3 - 4x2 + 5x - 2 ³ 0 ïìï ( x - 1) ( x - 2) ³ 0 éx = 1
ï
ê

Û í
Û
í
êx = 2
ïîï 2- x ³ 0
ïï x £ 2
ë
î

Lời giải. Điều kiện:
.
x
=
1
x
=
2
x
=
1
Thay
và
vào phương trình thấy chỉ có
thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.
x+

1
2x - 1
=
x- 1 x- 1

Câu 33. Phương trình
có bao nhiêu nghiệm?
0.
1.
A.
B.

C. 2.
D. 3.
Lời giải. Điều kiện: x ¹ 1.
2
Với điều kiện trên phương trình tương đương x - x +1= 2x- 1Û x = 1 hoặc x = 2 .
Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Chọn B.
Câu 34. Phương trình (
A. 0.
B. 1.
Lời giải. Điều kiện: x ³ 3 .
• Ta có x = 3 là một nghiệm.

x2 - 3x + 2) x - 3 = 0

có bao nhiêu nghiệm?
C.
D. 3.
2.

•Nếu x > 3 thì x- 3 > 0 . Do đó phương trình tuong đương

( x2 -

3x + 2) x - 3 = 0 Û x2 - 3x + 2 = 0 Û x = 1

hoặc x = 2 .
Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. Chọn B.
x2 - x - 2) x +1 = 0
Câu 35. Phương trình (
có bao nhiêu nghiệm?

0.
1.
A.
B.
C. 2.
D. 3.
Lời giải. Điều kiện: x ³ - 1 .
• Ta có x = - 1 là một nghiệm.

• Nếu x >- 1 thì x+1 > 0 . Do đó phương trình tương đương
Trang 14


Trường THPT Phùng Khắc Khoan

Phương trình 10

x2 - x - 2 = 0 Û x = - 1 hoặc x = 2 .

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = - 1, x = 2 .
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Chọn C.
 BÀI02
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
I – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
1. Phương trình bậc nhất
Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau
ax + b = 0
( 1)
Hệ số
Kết luận

a¹ 0
b¹ 0

a= 0

b

( 1) có nghiệm duy nhất x = - a
( 1) vô nghiệm

( 1) nghiệm đúng với mọi x
Khi a ¹ 0 phương trình ax + b= 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Phương trình bậc hai
Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau
ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0)
( 2)
2
D = b - 4ac
Kết luận
b= 0

D >0

( 2) có hai nghiệm phân biệt x1, 2 =

D =0

( 2) có nghiệm kép x =- 2a
( 2) vô nghiệm

D <0

- b± D
2a

b

3. Định lí Vi–ét
Nếu phương trình bậc hai

ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0)
x1 + x2 = -

có hai nghiệm x1, x2 thì
b
,
a

c
x1x2 = .
a
tích uv = P thì u

Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và
và v là các nghiệm của phương
trình
x2 - Sx + P = 0.
II – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.
Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó.

1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối
hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.
x - 3 = 2x +1. ( 3)
Ví dụ 1. Giải phương trình
Giải
Cách 1
3
a) Nếu x ³ 3 thì phương trình ( ) trở thành x - 3 = 2x +1. Từ đó x = - 4.
Giá trị x = - 4 không thỏa mãn điều kiện x ³ 3 nên bị loại.

Trang 15


Trường THPT Phùng Khắc Khoan

Phương trình 10
2

x= .
3
3
b) Nếu x < 3 thì phương trình ( ) trở thành - x + 3 = 2x +1. Từ đó
giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm.

Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là

2
x= .
3

3
Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình ( ) ta đưa tới phương trình hệ quả
2
2
( 3) Þ ( x - 3) = ( 2x +1)
Þ x2 - 6x + 9 = 4x2 + 4x +1
Þ 3x2 +10x - 8 = 0.
2
x= .
x
=
4
3
Phương trình cuối có hai nghiệm là
và
2
x= .
3)
(
3
Thử lại ta thấy phương trình
chỉ có nghiệm là

2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một
phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.
4
Ví dụ 2. Giải phương trình 2x - 3 = x - 2. ( )
3

x³ .
4
2
Giải. Điều kiện của phương trình ( ) là
4
Bình phương hai vế của phương trình ( ) ta đưa tới phương trình hệ quả

( 4) Þ 2x - 3 = x2 - 4x + 4
Þ x2 - 6x + 7 = 0.

Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3+ 2 và x = 3- 2. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện
4,
4
của phương trình ( ) nhưng khi thay vào phương trình ( ) thì giá trị x = 3- 2 bị loại (vế trái dương
còn vế phải âm), còn giá trị x = 3+ 2 là nghiệm (hai vế cùng bằng 2 +1 ).
4
Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình ( ) là x = 3+ 2.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT

)
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (
vô nghiệm.
m=
1.
m=
2.
m=
±

2.
m=
2.
A.
B.
C.
D.
m
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình mx - m= 0 vô nghiệm.
+
m= { 0} .
A. mÎ Æ.
B.
C. mÎ ¡ .
D. mÎ ¡ .
m2 - 4 x = 3m+ 6

)
Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình (
vô nghiệm.
m=
1.
m=
2.
m=
3.
m=
6.
A.

B.
C.
D.
2
Câu 4. Cho phương trình ( m+1) x +1= ( 7m- 5) x + m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình đã cho vô nghiệm.
A. m= 1.
B. m= 2; m= 3.
C. m= 2.
D. m= 3.
2
2
y = ( m+1) x + 3m x + m
y = ( m+1) x2 +12x + 2
Câu 5. Cho hai hàm số
và
. Tìm tất cả các giá trị của
m2 - 5m+ 6 x = m2 - 2m

tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau.

Trang 16


Trường THPT Phùng Khắc Khoan
A. m= 2.

B. m= - 2.

Phương trình 10

C. m= ±2.

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m
nhất.
A. m= - 1.
B. m= 2.
C. m¹ - 1.

D. m= 1.
2m- 4) x = m- 2
để phương trình (
có nghiệm duy
D. m¹ 2.
m

Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
( m2 - 9) x = 3m( m- 3) có nghiệm duy nhất ?
A. 2.
B. 19.
C. 20.

- 10;10]
thuộc đoạn [
để phương trình

D. 21.

- 5;10]
Câu 8. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [
để phương trình

2
( m+1) x = ( 3m - 1) x + m- 1
có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trong S bằng:
A. 15.
B. 16.
C. 39.
D. 40.

)
Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (
có nghiệm duy
x
=
1.
nhất
A. m= - 1.
B. m¹ 0.
C. m¹ - 1.
D. m= 1.
2
y = ( 3m+ 7) x + m
Câu 10. Cho hai hàm số y = ( m+1) x - 2 và
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
m2 + m x = m+1

đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau.
A. m¹ - 2.
C. m¹ - 2; m¹ 3.

B. m¹ - 3.

D. m= - 2; m= 3.

)
Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (
có nghiệm đúng
x
¡
.
với mọi thuộc
A. m= 1.
B. m= ±1.
C. m= - 1.
D. m= 0.
2
Câu 12. Cho phương trình m x + 6 = 4x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương
trình đã cho có nghiệm.
A. m= 2.
B. m¹ - 2.
C. m¹ - 2 và m¹ 2.
D. mÎ ¡ .
m2 - 1 x = m- 1

m – 3m+ 2) x + m + 4m+ 5 = 0.
Câu 13. Cho phương trình (
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
x
¡
.
phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi thuộc
A. m= - 2.

B. m= - 5.
C. m= 1.
D. Không tồn tại.
2

2

)
Câu 14. Cho phương trình (
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình đã cho có nghiệm.
A. m= 0.
B. m= 2.
C. m¹ 0; m¹ 2.
D. m¹ 0.
2
y = ( 3m - 1) x + m
y = ( m+1) x +1
Câu 15. Cho hai hàm số
và
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau.
m2 - 2m x = m2 - 3m+ 2.

A.

m= 1; m= -

C. m= 1.

2
.
3

B.
D.

m¹ 1

và

m= -

2
.
3

m¹ -

2
.
3

Vấn đề 2. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2
Câu 16. Phương trình ax + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

A. a= 0.

B.

ìïï a ¹ 0
í
ïïî D = 0

hoặc

Trang 17

ìïï a = 0
.
í
ïïî b ¹ 0


Trường THPT Phùng Khắc Khoan

Phương trình 10
ìïï a ¹ 0
.
í
ïïî D = 0

C. a = b = c = 0.
D.
Câu 17. Số - 1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?
2
2
A. x + 4x + 2 = 0.
B. 2x - 5x - 7 = 0.

2
3
C. - 3x + 5x - 2 = 0.
D. x - 1= 0.
2
Câu 18. Nghiệm của phương trình x - 7x +12 = 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị
hàm số nào sau đây?
2
A. y = x và y = - 7x +12.

2
B. y = x và y =- 7x - 12.

2
C. y = x và y = 7x +12.

2
D. y = x và y = 7x - 12.

- 10;10]
Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [
để phương trình
2
x - x + m= 0 vô nghiệm?
A. 9.
B. 10.
C. 20.
D. 21.
2
m+1) x - 2mx + m- 2 = 0

Câu 20. Phương trình (
vô nghiệm khi:

A. m£ - 2.

D. m³ 2.
2
Câu 21. Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn phương trình 2x( kx - 4) - x + 6 = 0 vô nghiệm là?
A. k = - 1.
B. k = 1.
C. k = 2.
D. k = 3.
2
m– 2) x + 2x – 1= 0
Câu 22. Phương trình (
có nghiệm kép khi:
B. m<- 2.

C. m> 2.

A. m= 1; m= 2. B. m= 1.
C. m= 2.
D. m= - 1.
2
Câu 23. Phương trình mx + 6 = 4x +3m có nghiệm duy nhất khi:
A. mÎ Æ.
B. m= 0.
C. mÎ ¡ .
D. m¹ 0.
2

mx – 2( m+1) x + m+1= 0
Câu 24. Phương trình
có nghiệm duy nhất khi:
B. m= - 1.
C. m= 0; m= - 1. D. m= 1.
2
Câu 25. Phương trình ( m+1) x – 6( m+1) x + 2m+ 3 = 0 có nghiệm kép khi:
A. m= 0.

A. m= - 1.

B.

m= - 1; m= -

6
7

m= -

6
.
7

6
m= .
7

C.
D.

2 x - 1) = x( mx +1)
Câu 26. Phương trình (
có nghiệm duy nhất khi:
2

m=

17
.
8

m= 2; m=

17
.
8

A.
B. m= 2.
C.
D. m= - 1.
S
Câu 27. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
2
( m- 2) x - 2x +1- 2m= 0 có nghiệm duy nhất. Tổng của các phần tử trong S bằng:
A.

5
.

2

A.

m>- 8.

7
.
2

9
.
2

B. 3.
C.
D.
2
m- 1) x + 6x - 1= 0
Câu 28. Phương trình (
có hai nghiệm phân biệt khi:
B.

m>-

5
.
4

C. m>- 8; m¹ 1.

Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực
mx2 - 2( m+ 2) x + m- 1= 0
có hai nghiệm phân biệt.
A. 5.

B. 6.

)
Câu 30. Phương trình (
A. 0 < m< 2.
B. m> 2.

C. 9.
2

C.

m

5
; m¹ 1.
4

- 5;5]
thuộc đoạn [
để phương trình

D. 10.

m + 2 x +( m- 2) x - 3 = 0
2

D.

m>-

có hai nghiệm phân biệt khi:
D. m£ 2.

mÎ ¡ .

Trang 18


Trường THPT Phùng Khắc Khoan

Phương trình 10

Câu 31. Tìm giá trị thực của tham số
( P ) : y = ( m– 1) x2 + 2mx + 3m– 1.

để đường thẳng d : y = 2x + m tiếp xúc với parabol

m

A. m= 1.
B. m=- 1.
C. m= 0.
2

Câu 32. Phương trình x + m= 0 có nghiệm khi:
A. m> 0.
B. m< 0.
C. m£ 0.

D. m= 2.
D. m³ 0.

- 20;20]
Câu 33. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc [
để phương trình
2
x - 2mx +144 = 0 có nghiệm. Tổng của các phần tử trong S bằng:
A. 21.
B. 18.
C. 1.
D. 0.

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
có điểm chung.
A.

m

2
2
để hai đồ thị hàm số y = - x - 2x + 3 và y = x - m

m= -

7
.
2

m<-

7
.
2

m>-

7
.
2

m³ -

5
.
4

m£ -

5
.
4

m= -

5
.
4

B.
C.
m- 1) x2 + 3x - 1= 0
(
Câu 35. Phương trình
có nghiệm khi:
A.

B.

C.

D.

D.

m³ -

7
.
2

5
m= .
4

- 10;10]
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [
để phương trình
mx2 - mx +1= 0 có nghiệm.
A. 17.
B. 18.
C. 20.
D. 21.
2
Câu 37. Biết rằng phương trình x - 4x + m+1= 0 có một nghiệm bằng 3 . Nghiệm còn lại của phương
trình bằng:
A. - 1.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
3x2 - ( m+ 2) x + m- 1= 0
Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
có một

nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại.
A.

ïì 5 ïü
mÎ í ;7ý.
ïï
îïï 2 þ

1ïü
ïì
mÎ í - 2;- ý.

2ïþ
ï
îïï
B.

C.

ïì 2ïü
mÎ í 0; ý.
ïï
îïï 5þ

ïì 3 ïü
mÎ í - ;1ý.
ï
îïï 4 ïþ
D.
2
3x - 2( m+1) x + 3m- 5 = 0

Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
có một
nghiệm gấp ba nghiệm còn lại.
A. m= 7.
B. m= 3.
C. m= 3; m= 7.
D. mÎ Æ.
( x - 1) ( x2 - 4mx - 4) = 0
Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
ba nghiệm

phân biệt.
A.

mÎ ¡ .

B.

m¹ 0.

C.

m¹

3
.
4

D.

m¹ -

3
.
4

Vấn đề 3. DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2
Câu 41. Phương trình ax + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi:

A.

ïìï D > 0
.
í
ïïî P > 0

B.

ïìï D ³ 0
.
í
ïïî P > 0

ïìï D > 0
.
í
ïïî S > 0

ïìï D > 0
.
í
ïïî S < 0

ìï D > 0
ïï
ïí P > 0.
ïï
ï
C. ïî S < 0

ìïï D > 0
.
í
ïïî S > 0

C.
D.
ax + bx + c = 0 ( a ¹ 0)
Câu 42. Phương trình
có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:
2

A.

ìïï D > 0
.
í
ïïî P > 0

ìï D > 0
ïï
ïí P > 0.
ïï
ï
B. ïî S > 0

Trang 19

D.

Trường THPT Phùng Khắc Khoan

Câu 43. Phương trình

A.

ìïï D > 0
.
í
ïïî P > 0

B.

Câu 44. Phương trình
ïìï D > 0
.
í
ïïî S < 0

Phương trình 10

ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0)
ìï D > 0
ïï
ïí P > 0.
ïï
ïïî S > 0

C.

ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0)

có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:
ìï D > 0
ïï
ïí P > 0.
ïï
ïïî S < 0

D.

ìïï D > 0
.
í
ïïî S > 0

có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

ïìï D > 0
.
í
ïïî S > 0

A.
B.
C. P < 0.
D. P > 0.
2
Câu 45. Phương trình x - mx +1= 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi:

A. m<- 2.
B. m> 2.
C. m³ - 2.
D. m¹ 0.
2
2
- 5;5]
Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [
để phương trình x + 4mx + m = 0 có
hai nghiệm âm phân biệt?
A. 5.
B. 6.
C. 10.
D. 11.
2
Câu 47. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx + x + m= 0 có hai nghiệm
âm phân biệt là:
æ1 ö
æ 1 1÷
ö
mÎ ç
- ;0÷
.
mÎ ç
- ; ÷
.
÷
ç
ç
÷

÷
ç
ç
è 2 ø B.
è 2 2ø
A.

æ 1÷
ö
mÎ ç
0; ÷
.
ç
÷
ç
è 2ø
D.

C. mÎ ( 0;2) .

- 2;6]
Câu 48. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [
để phương trình
2
2
x + 4mx + m = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. Tổng các phần tử trong S bằng:
A. - 3.
B. 2.
C. 18.
D. 21.

2
2
Câu 49. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x - 2( m+1) x + m - 1= 0 có hai

nghiệm dương phân biệt là:
A.

mÎ ( - 1;1) .

æ1
mÎ ç
- ;+¥
ç
ç
è 2
B.
C.
( m- 1) x2 + 3x - 1= 0

mÎ ( 1; +¥ ) .

Câu 50. Phương trình
A. m> 1.
B. m< 1.

ö
÷
.
÷
÷

ø

D.

mÎ ( - ¥ ; - 1) .

có hai nghiệm trái dấu khi:
C. m³ 1.
D. m£ 1.

Vấn đề 4. BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2
2
Câu 51. Giả sử phương trình x - ( 2m+1) x + m + 2 = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là x1, x2 . Tính
P = 3x1x2 - 5( x1 + x2 )
giá trị biểu thức
theo m.

2

2

A. P = 3m - 10m+ 6.
B. P = 3m +10m- 5.
2
2
C. P = 3m - 10m+1.
D. P = 3m +10m+1.
2

Câu 52. Giả sử phương trình x - 3x - m= 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là x1, x2 . Tính giá trị biểu
2
2
thức P = x1 ( 1- x2 ) + x2 ( 1- x1) theo m.
A. P = - m+ 9. B. P = 5m+ 9.
C. P = m+ 9.
D. P = - 5m+ 9.
2
Câu 53. Giả sử phương trình 2x - 4ax - 1= 0 có hai nghiệm x1, x2. Tính giá trị của biểu thức
T = x1 - x2 .

A.

T =

4a2 + 2
.
2
3
B. T = 4a + 2.

C.

T =

a2 + 8
.
2

Trang 20

D.

T =

a2 + 8
.
4


Trường THPT Phùng Khắc Khoan

Phương trình 10

2
Câu 54. Cho phương trình x + px + q = 0 trong đó p > 0, q> 0. Nếu hiệu các nghiệm của phương trình
bằng 1. Khi đó p bằng

A. 4q+1.

B. 4q- 1.

C. - 4q+1.

D. q+1.
x2 - ( 2m+1) x + m2 +1= 0 m
Câu 55. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
( là tham số). Tìm giá
trị nguyên của m sao cho biểu thức
A. m= - 2.

B. m= - 1.

P=

x1x2
x1 + x2

có giá trị nguyên.
C.
D. m= 2.
2
x - 2( m+1) x + m2 + 2 = 0 m
Câu 56. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
( là tham số). Tìm
P = x1x2 - 2( x1 + x2 ) - 6
để biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất.
m= 1.

m

1
m= .
2

A.
B. m= 1.
C. m= 2.
D. m= - 12.
2

2
Câu 57. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x + 2mx + m - 2 = 0 ( m là tham số). Tìm giá trị
lớn nhất Pmax của biểu thức P = 2x1x2 + x1 + x2 - 4 .
A.

1
Pmax = .
2

B.

Pmax = 2.

C.

Pmax =

25
.
4

D.

9
Pmax = .
4

x2 - 2( m- 1) x + 2m2 - 3m+1= 0 m
Câu 58. Gọi
là hai nghiệm của phương trình

( là tham số). Tìm
P
=
x
+
x
+
x
x
.
P
1
2
1 2
giá trị lớn nhất max của biểu thức
9
9
1
Pmax = .
Pmax = .
Pmax = .
P
=
1.
8
16
4
A.
B. max
C.

D.
2
x
,
x
Câu 59. Gọi 1 2 là hai nghiệm của phương trình x - mx + m- 1= 0 ( m là tham số). Tìm m để biểu
x1, x2

P=

thức

2x1x2 + 3
x12 + x22 + 2( x1x2 +1)

đạt giá trị lớn nhất.

1
m= .
2

5
m= .
2

A.
B. m= 1.
C. m= 2.
D.
2

x
,
x
Câu 60. Gọi 1 2 là hai nghiệm của phương trình x - mx + m- 1= 0 ( m là tham số). Tìm giá trị nhỏ
nhất Pmin của biểu thức
A.

Pmin = - 2.

B.

P=

2x1x2 + 3
.
x + x22 + 2( x1x2 +1)
2
1

Pmin = -

1
.
2

C. Pmin = 0.

D. Pmin = 1.

Vấn đề 5. TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

2
Câu 61. Nếu m¹ 0 và n ¹ 0 là các nghiệm của phương trình x + mx + n = 0 thì tổng m+ n bằng:

A.

-

1
.
2

B.

- 1.

C.

1
.
2

D. 1.
2

Câu 62. Giả sử các nghiệm của phương trình x + px + q = 0 là lập phương các nghiệm của phương
2
trình x + mx + n = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
3

3

3

3

æ
mö
p
÷
ç
÷
ç
÷ = q.
ç
èn ø

A. p+ q = m . B. p = m + 3mn.
C. p = m - 3mn.
D.
2
2
x
2
m
x
+
1
=
0
x

2
x
+
m
=
0. Có hai giá trị của m để phương trình
Câu 63. Cho hai phương trình
và
này có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kia. Tính tổng S của hai giá trị m
đó.
Trang 21


Trường THPT Phùng Khắc Khoan

S =-

5
.
4

Phương trình 10

S =-

S = 1.

1
.
4

1
S= .
4

A.
B.
C.
D.
2
2
x
m
x
+
2
=
0
x
+
2
x
m
=
0 . Có bao nhiêu giá trị của m để một
Câu 64. Cho hai phương trình
và
nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3 ?
A. 0.
B. 1.

C. 2.
D. 3.
Câu 65. Cho a, b, c, d là các số thực khác 0 . Biết c và d là hai nghiệm của phương trình
x2 + ax + b = 0 và a, b là hai nghiệm của phương trình x2 + cx + d = 0. Tính giá trị của biểu thức
S = a + b+ c + d.

A.

S = - 2.

B.

S = 0.

C.

S=

- 1+ 5
.
2

D. S = 2.

Vấn đề 6. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

Câu 66. Tập nghiệm
A.

ì 3ü
S = ïí 1; ïý.
ïïî 2ïïþ

S

B.

2x +

của phương trình
S = {1} .

C.

là:

ì 3ü
S = ïí ïý.
ïïî 2ïïþ

x2 - 5x

Câu 67. Tập nghiệm của phương trình
S = {1;4} .
S = {1} .
A.
B.

3

3x
=
x- 1 x- 1

x- 2

D.

S = ¡ \ {1} .

4

=-

x- 2

là:

C. S = Æ.

D.

S = { 4} .

2x2 - 10x
= x- 3
2
Câu 68. Phương trình x - 5x
có bao nhiêu nghiệm?
0.

1.
A.
B.
C. 2.
D. 3.
1-

2
10
50
=
x - 2 x + 3 ( 2- x) ( x + 3)

Câu 69. Gọi x0 là nghiệm của phương trình
đúng?
x Î - 5;- 3) .
x Î - 3;- 1.
x Î - 1;4) .
]
A. 0 (
B. 0 [
C. 0 (

( m +1) x 2

x +1

Câu 70. Tập nghiệm S của phương trình
ì m+1ïü
S = ïí

ý.
ïîï m2 ïþ
ï
A.

B. S = Æ.

1

=1

D.

x0 Î [ 4;+¥ ) .

trong trường hợp m¹ 0 là:
ì 2ü
S = ïí 2 ïý.
ïîï m ïþ
ï
D.

C. S = ¡ .

( 2m + 3) x + 6m

. Mệnh đề nào sau đây

2

Câu 71. Tập nghiệm S của phương trình
A. S = Æ.

ì 3ü
ï
S = ïí - ý.
ïî mïïþ
ï
B.

x

C. S = ¡ .

=3

khi m¹ 0 là:
D.

S = ¡ \ { 0} .

x2 + mx + 2
=1
x2 - 1
Câu 72. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình
vô nghiệm?
0.
1.
2.
3.

A.
B.
C.
D.
2mx - 1
=3
Câu 73. Phương trình x +1
có nghiệm duy nhất khi:

A.

m¹

3
.
2

B. m¹ 0.
Trang 22


Trường THPT Phùng Khắc Khoan

C.

m¹ 0

và

m¹

3
.
2

Phương trình 10

D.

m¹ -

1
2

và

m¹

3
.
2

- 3;5]
Câu 74. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [
để phương trình
x- m x- 2
=
x +1 x - 1 có

A. - 1.

nghiệm. Tổng các phần tử trong tập S bằng:
B. 8.
C. 9.
D. 10.

Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
x +1
m
x +3
+
=
2
x - 2 4- x
x+2

A. 4.

có nghiệm.
B. 18.

C. 19.
3x - 2 = 3- 2x

Câu 76. Tập nghiệm S của phương trình
A. S = { - 1;1} . B. S = { - 1} .
C. S = {1} .
2x - 4 - 2x + 4 = 0

Câu 77. Phương trình

A. 0.
B. 1.

m

1;20]
thuộc đoạn [
để phương trình

D. 20.
là:
0.
D. S = { }

có bao nhiêu nghiệm?
C. 2.
D. Vô số.

2x - 1 = x - 3
Câu 78. Tập nghiệm S của phương trình
là:
ïì 4ïü
S = í ý.
ïîï 3ïþ
ï
A.

4ïü
ïì
S = í - 2; ý.

S = {- 2} .
ïîï
3ïþ
ï
C.
D.
x2 + 5x + 4 = x + 4

B. S = Æ.

Câu 79. Tổng các nghiệm của phương trình
bằng:
12.
6.
6.
A.
B.
C.
D. 12.
x2 - 4x - 5 = 4x - 17
x, x x Câu 80. Gọi 1 2 ( 1 2 ) là hai nghiệm của phương trình
. Tính giá trị biểu thức
P = x12 + x2.
A. P = 16.

B. P = 58.

C. P = 28.

D. P = 22.

x - 2 = 3x - 5
Câu 81. Tập nghiệm S của phương trình
là:
ïì 3 7ïü
S = í ; ý.
ïîï 2 4ïþ
ï
A.

ïì 3 7ïü
S = í - ; ý.
ïîï 2 4ïþ
ï
B.

ïì 7 3ïü
S = í - ;- ý.
ïîï 4 2ïþ
ï
C.
x +2 = 2 x- 2

Câu 82. Tổng các nghiệm của phương trình
A.

1
.
2

B.

2
.
3

C. 6.
2

ïì 7 3ïü
S = í - ; ý.
ïîï 4 2ïþ
ï
D.

bằng:
D.

20
.
3

2x +1 = x - 3x - 4

Câu 83. Phương trình
A. 0.
B. 1.

2x - 4 + x - 1 = 0

Câu 84. Phương trình
A. 0.
B. 1.

có bao nhiêu nghiệm?
C. 2.
D. 4.

có bao nhiêu nghiệm ?
C. 2.
D. Vô số.

Câu 85. Tổng các nghiệm của phương trình

2x - 5 + 2x2 - 7x + 5 = 0

A. 6.

5
.
2

7
.
2

A. 0.

B. 1.

C. 2.

bằng:

3
.
2

B.
C.
D.
2
Câu 86. Phương trình ( x +1) - 3 x +1 + 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
4x x - 1) = 2x - 1 +1
Câu 87. Tổng các nghiệm của phương trình (
bằng:
D. - 2.

3 x + 2ax = - 1
Câu 88. Với giá trị nào của a thì phương trình
có nghiệm duy nhất?

Trang 23

Trng THPT Phựng Khc Khoan

A.

3
a> .
2

B.

a<

Phng trỡnh 10

- 3
.
2

C.

3
- 3
a ạ
.
2
2

aạ

Cõu 89. Tỡm giỏ tr thc ca tham s m phng trỡnh

A. m= 0.
B. m= 1.
C. m= - 1.

D.

a<

- 3
3
a> .
2
2

x +1= x2 + m

cú nghim duy nht.
D. Khụng cú m.
- 5;5]
Cõu 90. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca tham s m thuc on [
phng trỡnh
mx + 2x - 1 = x - 1

cú ỳng hai nghim phõn bit?
A.
B. 9.
C. 10.
D. 11.
Cõu 91. Tp nghim S ca phng trỡnh 2x - 3 = x - 3 l:
S = { 2} .

S = { 6} .
A. S = { 6;2} .
B.
C.
D. S = ặ.
8.

2
Cõu 92. Tp nghim S ca phng trỡnh x - 4 = x - 2 l:
S = { 0;2} .
S = { 2} .
S = { 0} .
A.
B.
C.
D. S = ặ.
2
Cõu 93. Tng cỏc nghim ca phng trỡnh ( x - 2) 2x + 7 = x - 4 bng:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

2

x - 4x - 2

x- 2
Cõu 94. Phng trỡnh
A. 1.
B. 2.

2- x +

Cõu 95. Phng trỡnh
A. 0.
B. 1.

= x- 2

cú tt c bao nhiờu nghim?
C. 3.
D. 5.

4
2- x + 3

=2

cú tt c bao nhiờu nghim?
C. 2.
D. 3.
2

Cõu 96. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca tham s
bn nghim?
A. 0.

B. 1.
C. 2.

m

ổx2 ử
2x2
ữ
ỗ
ữ+
+ m= 0
ỗ
ữ
ỗ
ữ x- 1
ốx - 1ứ

phng trỡnh

cú ỳng

D. Vụ s.

ổ2 1 ử
ổ 1ử
ỗ
x + 2ữ
x+ ữ
ữ- 2mỗ
ữ+1= 0

ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố
ứ
ố
xứ
x
Cõu 97. Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m phng trỡnh
cú

nghim.
ổ 3 3ử
mẻ ỗ
- ; ữ
ữ
ỗ
ữ.
ỗ
ố
4 4ứ
A.
ổ
3ự
mẻ ỗ
- Ơ ;- ỳ.
ỗ

ỗ
ố
4ỳ
ỷ
C.

ộ3
mẻ ờ ;+Ơ
ờ
ở4
B.
ổ
mẻ ỗ
- Ơ ;ỗ
ỗ
ố
D.

ử
ữ
.
ữ
ữ
ứ
3ự ộ3
ỳẩ ờ ;+Ơ
4ỳ
ỷ ờ
ở4

ử
ữ
.
ữ
ữ
ứ
x2 +

Cõu 98. Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m phng trỡnh
ỳng hai nghim ln hn 1.
A. m<- 8.
B. - 8 < m<1.
C. 0 < m<1.
D. mÊ - 8.
Cõu 99. Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s

(x

2

2

+ 2x + 4) 2m( x + 2x + 4) + 4m 1= 0

A.

2

mẻ ( 3;4) .

mẻ ( 4;+Ơ ) ẩ { 2+ 3} .
C.
Cõu 100. Tỡm tt c
2

2

cú ỳng hai nghim.
B.

cỏc

x + 2mx + 2m x + m + m + 3- 2m= 0

(

mẻ - Ơ ;2-

D. mẻ Ă .
giỏ tr thc
cú nghim.
Trang 24

) (

ổ 2ử
4
- 4ỗ
x- ữ
ữ

ỗ
2
ữ+ m- 1= 0
ỗ
ố xứ
x
cú

m



phng

trỡnh

m



phng

trỡnh

)

3 ẩ 2+ 3;+Ơ .

ca

tham

s


Trường THPT Phùng Khắc Khoan

A.
C.

Phương trình 10
é3
mÎ ( ¥ ;- 3] È ê ;+¥
ê
ë2
B.
é3
ö
mÎ ê ;+¥ ÷
.
÷
÷
ê
ø
ë2
D.

mÎ ( ¥ ;- 3] È [1;+¥ ) .
mÎ [1;+¥ ) .

ö
÷
.
÷
÷
ø

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT

)
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (
A. m= 1.
B. m= 2.
C. m= ±2.
D. m= - 2.

m2 - 4 x = 3m+ 6

ìï m2 - 4 = 0
ïí
Û
ïîï 3m+ 6 ¹ 0

vô nghiệm.

ïíìï m= ±2 Û m= 2
ïîï m¹ - 2
.

Lời giải. Phương trình đã cho vô nghiệm khi
Chọn B.
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx - m= 0 vô nghiệm.
+
A. mÎ Æ.
B. m= { 0} .
C. mÎ ¡ .
D. mÎ ¡ .
Lời giải. Phương trình viết lại

mx = m .

Phương trình đã cho vô nghiệm khi
Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số
A. m= 1.
B. m= 2.

ïìï m= 0
Û mÎ Æ
í
ïïî m¹ 0

. Chọn A.

m

m2 - 5m+ 6) x = m2 - 2m
để phương trình (
vô nghiệm.
m=

3.
m=
6.
C.
D.

ìï ém= 2
ïï ê
ïìï m - 5m+ 6 = 0 ïï ê
m= 3
Û íë
Û m= 3
í 2
ïï m - 2m¹ 0
ïï m¹ 0
î
ïï
ïïî m¹ 2
.
2

Lời giải. Phương trình đã cho vô nghiệm khi
Chọn C.
2
Câu 4. Cho phương trình ( m+1) x +1= ( 7m- 5) x + m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
phương trình đã cho vô nghiệm.
A. m= 1.
B. m= 2; m= 3.
C. m= 2.
D. m= 3.

m

để

m2 - 5m+ 6) x = m- 1
Lời giải. Phương trình viết lại (
.

Phương trình vô nghiệm khi

ìï m2 - 5m+ 6 = 0
ïí
Û
ïïî m- 1¹ 0

ïìï ém= 2
ê
ïíï êm= 3 Û
ïï ë
ïïî m¹ 1

ém= 2
ê
.
êm= 3
ë

Chọn B.

y = ( m+1) x + 3m x + m
y = ( m+1) x2 +12x + 2
Câu 5. Cho hai hàm số
và
. Tìm tất cả các giá trị của
m
tham số
để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau.
A. m= 2.
B. m= - 2.
C. m= ±2.
D. m= 1.
Lời giải. Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình
( m+1) x2 + 3m2 x + m= ( m+1) x2 +12x + 2 vô nghiệm
2

Û 3( m2 - 4) x = 2- m

ìï m2 - 4 = 0
Û ïí
Û
ïîï 2- m¹ 0

2

vô nghiệm

ïíìï m= ±2 Û m= - 2.
ïîï m¹ 2

Chọn A.
Trang 25