CAC DE HAY DANH CHO CHUYEN TOAN VAO 10

ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Câu 1 (1,5 điểm).
1. Rút gọn biểu thức
2. Giải hệ phương trình

.
.

Câu 2 (2,0 điểm). Cho biểu thức:
1. Rút gọn A.
2. Tìm giá trị lớn nhất của A.
Câu 3 (2,0 điểm). Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 2m = 0 (1) (với x là ẩn, m là tham số).
1. Giải phương trình (1) với m = 0.
2. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng √2.
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C
và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường
tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD.
1. Chứng minh tứ giác BCFM là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh EM = EF.
3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng, từ đó suy ra góc ABI có số đo không đổi
khi M di chuyển trên cung BD.
Câu 5 (1,5 điểm).
1. Chứng minh rằng phương trình (n + 1)x2 + 2x - n(n + 2)(n + 3) = 0 (x là ẩn, n là tham số) luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số nguyên n.
2. Giải phương trình:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG

NĂM HỌC: 2013 - 2014

ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh chuyên Toán, chuyên Tin)
Ngày thi: 29/6/2013
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I. ( 2,0 điểm)
1) Cho biểu thức
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên.
2) Tìm số nguyên dương n để
là số nguyên tố.
Câu II. (1,5 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + 2.
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm nằm về hai phía của trục tung.
b) Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại A(x1; y1) và B(x2; y2). Tìm giá trị của m để
Câu III. (2,0 điểm)

.

1) Giải phương trình:

2) Giải hệ phương trình:
Câu IV. (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định, đường kính CD thay đổi (CD ≠ AB). Các tia BC, BD cắt tiếp tuyến của đường tròn (O)
tại A lần lượt ở E, F.
a) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp.
b) Khi đường kính CD thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất của EF theo R.
c) Đường tròn đi qua ba điểm O, D, F và đường tròn đi qua ba điểm O, C, E cắt nhau ở G (G ≠ O). Chứng minh ba điểm B, A, G thẳng
hàng.

Câu V. (1,0 điểm)
Cho số thực x thỏa mãn 0 < x < 1. Chứng minh rằng
Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa
Hà Nội - Amsterdam

ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 CHUYÊN
Môn: TOÁN


Thi thử vào lớp 10 - đợt 1 ngày 5/4/2015

(Dành cho học sinh Chuyên Toán - Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu I (1,5 điểm)
Đơn giản biểu thức:

Câu II (2,5 điểm).
1) Cho x, y, z là các số dương thay đổi và thỏa mãn: xyz = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

Câu III ( 2,5 điểm).
1) Cho a và b là các số nguyên dương khác nhau thỏa mãn: ab(a + b) chia hết cho (a2 + ab + b2). Chứng minh rằng:

2) Tìm tất cả các số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình: x2 + y2 = 3x + xy .
Câu IV (2,5 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC và AB = AC = a. Dựng đường tròn (O, r) tiếp xúc với đường thẳng AB tại điểm B và tiếp xúc với đường thẳng
AC tại điểm C. Gọi M là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC của (O) và M khác B, M khác C. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của
M lên các đường thẳng AB, AC và BC.
1) Chứng minh tam giác MDF đồng dạng với tam giác MFE.
2) Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để biểu thức 1/MD 2 + 1/ME2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a và r.

Câu V (1 điểm).
Cho đa thức P(x) = x2 + ax + b, trong đó a và b là hai số nguyên dương cho trước và thỏa mãn a2 < 4b. Chứng minh rằng tồn tại hai số
nguyên m, n sao cho: m > 2015, n > 2017 và P(m)/P(n) = P(2015)/P(2017).

ĐÁP ÁN HÀ NỘI – AMSTERDAM
Câu I (1,5 điểm)

Câu II (2,5 điểm)
1. 1,5 điểm

2. 1 điểm

Suy ra x = y hoặc x = y =0
Thay y = x vào PT(2) có x = 1, x = -1.






Nghiệm của hệ x y = = ±1.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Ngày thi: 20/6/2013

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Câu 1 (1,5 điểm).
1. Rút gọn biểu thức

2. Giải hệ phương trình

.

.

Câu 2 (2,0 điểm). Cho biểu thức:
1. Rút gọn A.
2. Tìm giá trị lớn nhất của A.
Câu 3 (2,0 điểm). Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 2m = 0 (1) (với x là ẩn, m là tham số).
1. Giải phương trình (1) với m = 0.
2. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng √2.
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C
và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường
tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD.
1. Chứng minh tứ giác BCFM là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh EM = EF.
3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng, từ đó suy ra góc ABI có số đo không đổi
khi M di chuyển trên cung BD.
Câu 5 (1,5 điểm).
1. Chứng minh rằng phương trình (n + 1)x2 + 2x - n(n + 2)(n + 3) = 0 (x là ẩn, n là tham số) luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số nguyên n.
2. Giải phương trình:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN (VÒNG 1)
Thời gian làm bài:120 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1: (2,5 điểm)
1. Cho biểu thức:

với a > 0, b > 0, a ≠ b. Chứng minh giá trị của biểu thức Q không phụ thuộc vào a và b.
2. Các số thức a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0.
Chứng minh đẳng thức: (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4).
Câu 2: (2,0 điểm)
Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng
(tham số m ≠ 0)
1. Chứng minh rằng với mỗi m ≠ 0, đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
2. Gọi A(x1, y1), B(x2, y2) là các giao điểm của (d) và (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = y12 + y22.
Câu 3: (1,5 điểm)
Giả sử a, b, c là các số thực, a ≠ b sao cho hai phương trình: x 2 + ax + 1 = 0, x2 + bx + 1 = 0 có nghiệm chung và hai phương trình x2 +
x + a = 0, x2 + cx + b = 0 có nghiệm chung. Tính: a + b + c.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC không cân, có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AA 1, BB1, CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại
H, các đường thẳng A1C1 và AC cắt nhau tại điểm D. Gọi X là giao điểm thứ hai của đường thẳng BD với đường tròn (O).
1. Chứng minh: DX.DB = DC1.DA1.
2. Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Chứng minh: DH vuông góc BM.
Câu 5: (1,0 điểm)
Các số thực x, y, x thỏa mãn:


Chứng minh: x = y = z.

*Chúc các em đạt điểm cao ! #AC