Các phương pháp hiệu chỉnh lặp NewtonKantorovich và điểm gần kề cho phương trình toán tử không chính phi truyến tính đơn điệu (Luận án tiến sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

NGUYỄN DƯƠNG NGUYỄN

CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP
NEWTON-KANTOROVICH VÀ ĐIỂM GẦN
KỀ CHO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ
KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:
9 46 01 12

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. GS. TS. Nguyễn Bường
2. PGS. TS. Đỗ Văn Lưu

HÀ NỘI - NĂM 2018


ii

LỜI CAM ĐOAN
Các kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi,

được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn Bường và PGS.
TS. Đỗ Văn Lưu. Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa từng
được công bố trong các công trình của người khác.
Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan của mình.
Tác giả luận án

Nguyễn Dương Nguyễn


iii

LỜI CẢM ƠN
Luận án này được hoàn thành tại Học viện Khoa học và Công nghệ,
Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn tận
tình của GS. TS. Nguyễn Bường và PGS. TS. Đỗ Văn Lưu. Tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy.
Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn tới Ban lãnh đạo, các thầy cô cùng
toàn thể cán bộ, công nhân viên thuộc Viện Công nghệ thông tin, Học
viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt
Nam đã tạo mọi điều kiện tốt nhất, giúp đỡ tác giả trong quá trình học
tập và nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô trong Khoa
Cơ bản, trường Đại học Ngoại thương, nơi tác giả đang công tác, đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án.
Tác giả xin cảm ơn các anh chị em nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán
ứng dụng, bạn bè đồng nghiệp đã có những trao đổi về kiến thức và đóng
góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình học tập, seminar,
nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình của mình,
những người đã luôn động viên, chia sẻ và khích lệ để tác giả có thể hoàn

thành công việc học tập và nghiên cứu của mình, niềm vinh hạnh to lớn
này.
Tác giả


Mục lục

Trang bìa phụ

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

iv

Một số ký hiệu và viết tắt

vi

Mở đầu

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian Banach và các vấn đề liên quan . . . . . . . . .

9
9

1.1.1. Một số tính chất trong không gian Banach . . . . . .

9

1.1.2. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh 20
1.2. Phương pháp Newton-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3. Phương pháp điểm gần kề và một số cải biên . . . . . . . . . 24
1.3.1. Phương pháp điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2. Một số cải biên của phương pháp điểm gần kề . . . . 26
Chương 2. Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich
cho phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu
2.1. Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi

32

tuyến với toán tử đơn điệu trong không gian Banach . . . . 32
2.2. Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi
tuyến với toán tử J-đơn điệu trong không gian Banach . . . 44
2.3. Ví dụ số về xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương pháp hiệu
chỉnh lặp Newton-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


v

Chương 3. Phương pháp lặp tìm không điểm của ánh xạ đơn
điệu cực đại trong không gian Hilbert
64
3.1. Bài toán tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại . . . . 64
3.2. Các cải biên của phương pháp điểm gần kề với dãy tham số
của toán tử giải khả tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Kết luận chung

83

Kiến nghị hướng nghiên cứu tiếp theo

84

Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án

85

Tài liệu tham khảo

86


Một số ký hiệu và viết tắt

Rn

không gian Euclide n-chiều

H

không gian Hilbert

E∗

không gian đối ngẫu của không gian Banach E

θE

phần tử không của không gian E

2E

tập tất cả các tập con của không gian E

x, x∗

giá trị của phần tử x∗ ∈ E ∗ tại x ∈ E

R

tập hợp các số thực

∅

tập rỗng

A\B

hiệu của tập hợp A và tập hợp B

inf M

cận dưới đúng của tập hợp số M

sup M

cận trên đúng của tập hợp số M

S1 (0)

mặt cầu đơn vị trong không gian E

BE

hình cầu đơn vị trong không gian E

Br (x0 )

hình cầu tâm x0 và bán kính r

∀x

với mọi x

D(A)

miền xác định của ánh xạ A

R(A)

miền ảnh của ánh xạ A

A−1

ánh xạ ngược của ánh xạ A

A∗

ánh xạ liên hợp của ánh xạ A

I

ánh xạ đơn vị

Jk

toán tử giải của ánh xạ A với tham số rk

ZerA

tập không điểm của ánh xạ A

Lp (Ω)

không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω (1 < p < ∞)

lp

không gian các dãy số khả tổng bậc p (1 < p < ∞)


vii

l1

không gian các dãy số khả tổng bậc 1

l∞

không gian các dãy số bị chặn

Wpm (Ω)

không gian Sobolev

lim sup xn

giới hạn trên của dãy số {xn }

n→∞

lim inf xn

giới hạn dưới của dãy số {xn }

αn

dãy số thực {αn } hội tụ giảm về α0

n→∞

α0

xn → x

dãy {xn } hội tụ mạnh đến x

xn

dãy {xn } hội tụ yếu đến x

x

Js

ánh xạ đối ngẫu tổng quát

J

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

j

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị

Fix(T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

M

bao đóng của tập hợp M

ρE

mêtric của không gian mêtric E

int(C)
phần trong của tập hợp C
∂ m x(t)
đạo hàm riêng cấp m của hàm x(t), với t = (t1 , t2 , ..., tn )
∂tα1 1 ∂tα2 2 · · · ∂tαnn
Dom(f )

miền hữu hiệu của f

PC

phép chiếu mêtric lên tập hợp C

∂f

dưới vi phân của phiếm hàm lồi f

arg min f

tập tất cả các điểm cực tiểu (toàn cục) của phiếm hàm f

A×B

tích đề các của hai tập hợp A và B

A≡B

A trùng B

x≈y

x xấp xỉ y


Mở đầu

Nhiều vấn đề trong trong khoa học, công nghệ, kinh tế và sinh thái như
quá trình xử lý ảnh, chụp cắt lớp vi tính, chụp cắt lớp địa chấn trong địa
chất công trình, đo sâu bằng âm thanh trong xấp xỉ sóng, bài toán quy
hoạch tuyến tính dẫn đến việc giải các bài toán dạng phương trình toán
tử sau (xem [15, 67, 68]):
A(x) = f,

(0.1)

trong đó A là một toán tử (ánh xạ) từ không gian mêtric E vào không
gian mêtric E và f ∈ E. Tuy nhiên, tồn tại một lớp bài toán trong số các
bài toán này mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu,
tức là một thay đổi nhỏ của các dữ kiện có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn
của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở nên vô nghiệm hoặc vô định.

Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh. Do các số liệu thường
được thu thập bằng thực nghiệm (đo đạc, quan trắc ...) và sau đó lại được
xử lý trên máy tính nên chúng không tránh khỏi sai số. Vì vậy, yêu cầu đặt
ra là phải có những phương pháp giải các bài toán đặt không chỉnh sao
cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần
với nghiệm đúng của bài toán xuất phát. Những người có công đặt nền
móng cho lý thuyết bài toán đặt không chỉnh là V.K. Ivanov [50], M.M.
Lavrent’ev [57], J.L. Lions [102], A.N. Tikhonov [83, 84], ... Do tầm quan
trọng đặc biệt của lý thuyết này mà nhiều nhà toán học đã dành phần lớn
thời gian và công sức của mình cho việc nghiên cứu các phương pháp giải
bài toán đặt không chỉnh, điển hình là Ya.I. Alber [9], A.B. Bakushinskii
[15, 16], J. Baumeister [19], H.W. Engl [40, 41], V.B. Glasko [42], A.V.
Goncharskii [15], R. Gorenflo [10, 44], C.W. Groetsch [40, 45], M. Hanke
[41, 47], B. Hoffmann [49, 98], A.K. Louis [99], V.A. Morozov [63, 64],
M.Z. Nashed [66], F. Natterer [67, 68], A. Neubauer [41], G.M. Vainikko
[88], F.P. Vasil’ev [89, 90], ... Một số nhà toán học Việt Nam cũng đi sâu


2

nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết cũng như ứng dụng các bài
toán đặt không chỉnh như Đ.Đ. Áng [10], P.K. Anh [1], Ng. Bường [1, 2],
Đ.Đ. Trọng [10], v.v ... hoặc có công trình liên quan đến lý thuyết trên
như Ng.M. Chương [36], Đ.N. Hào [48, 87], T.Đ. Vân [87], ...
Nếu E là không gian Banach với chuẩn . thì trong một số trường hợp
của ánh xạ A, bài toán (0.1) có thể hiệu chỉnh bằng phương pháp cực tiểu
phiếm hàm làm trơn Tikhonov:
Fαδ (x) = A(x) − fδ

2

+ α x − x+ 2 ,

(0.2)

cùng với việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) > 0 thích hợp, ở đây fδ
là xấp xỉ của f thỏa mãn
fδ − f ≤ δ

0,

(0.3)

và x+ là phần tử được chọn trong E nhằm giúp cho ta tìm một nghiệm
của (0.1) theo ý muốn. Chính vì lí do đó mà x+ được gọi là phần tử dự
đoán. Nếu A là một ánh xạ phi tuyến thì phiếm hàm Fαδ (x) nói chung là
không lồi. Do đó, không thể áp dụng những kết quả đã đạt được trong việc
cực tiểu phiếm hàm lồi để tìm thành phần cực tiểu của Fαδ (x). Điều đó
dẫn đến việc cực tiểu và rời rạc hóa (0.2) là rất phức tạp. Vì vậy, để giải
bài toán (0.1) với A là một ánh xạ phi tuyến đơn điệu, người ta đã đưa
ra một dạng mới của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, có tên là phương
pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov. Tư tưởng của phương pháp này do
F.E. Browder [24] đưa ra vào năm 1966 để tìm nghiệm của bài toán bất
đẳng thức biến phân, trong đó sử dụng ánh xạ M làm thành phần hiệu
chỉnh, với M có các tính chất như đơn điệu, hemi-liên tục, giới nội và thỏa
mãn điều kiện bức. Cụ thể, cho T : E −→ E ∗ là một ánh xạ phi tuyến đơn
điệu và cho f : E −→ (−∞, +∞] là một phiếm hàm lồi, chính thường và
nửa liên tục dưới. Với mỗi phần tử ω ∈ E ∗ , xét bài toán bất đẳng thức
biến phân:
Tìm phần tử u0 ∈ D(T ) sao cho

T (u0 ) − ω, v − u0 ≥ f (u0 ) − f (v), v ∈ E.

(0.4)

Kí hiệu tập nghiệm của bài toán (0.4) tương ứng với phần tử ω là Aω .
Thay cho việc giải bất đẳng thức biến phân (0.4), F.E. Browder đã xét


3

bất đẳng thức biến phân sau:
Tα (uα ) − ωα , v − uα ≥ f (uα ) − f (v), v ∈ E,

(0.5)

trong đó α > 0, Tα = T + αM và ωα = ω + αv0 , với v0 là phần tử bất
kỳ trong E ∗ . Ông đã chỉ ra với mỗi α > 0, bất đẳng thức biến phân (0.5)
có duy nhất một nghiệm uα và dãy nghiệm {uα } hội tụ mạnh về phần tử
u0 ∈ Aω khi α → 0, với u0 là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến
phân:
M u0 − v0 , v − u0 ≥ 0, v ∈ Aω .
Nếu E là không gian Banach phản xạ và không gian đối ngẫu E ∗ là
không gian lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫu tổng quát J s của E có tính chất
như ánh xạ M nêu ở trên (xem [9]). Năm 1975, dựa trên tư tưởng phương
pháp hiệu chỉnh của F.E. Browder và tính chất của ánh xạ đối ngẫu J s ,
Ya.I. Alber (xem [1, 7, 9]) đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh BrowderTikhonov để giải bài toán (0.1) khi A là ánh xạ phi tuyến đơn điệu như
sau:
A(x) + αJ s (x − x+ ) = fδ .

(0.6)

Năm 2016, Ng. Bường, T.T. Hương và Ng.T.T. Thủy [32] đã phát triển
phương pháp (0.6) để đưa ra phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình
toán tử
Ai (x) = fi , i = 0, 1, ..., N,

(0.7)

ở đây N là số nguyên dương cố định, fi ∈ E ∗ và Ai : E → E ∗ là ánh xạ
đơn điệu trên không gian Banach E, i = 0, 1, ..., N .
Ta thấy, trong trường hợp E không phải là không gian Hilbert thì J s
là ánh xạ phi tuyến và do đó, (0.6) là bài toán phi tuyến, ngay cả khi
A là ánh xạ tuyến tính. Đây là lớp bài toán khó giải trong thực tế. Hơn
nữa, một vài thông tin của nghiệm chính xác, ví dụ như độ trơn, có thể
sẽ không được giữ nguyên trong nghiệm hiệu chỉnh vì ánh xạ J s xác định
trên toàn không gian nên ta không thể biết được nghiệm hiệu chỉnh nằm
đâu trong E. Vì vậy, vào năm 1991, Ng. Bường (xem [2, 28]) đã cải tiến
phương pháp (0.6) bằng cách thay ánh xạ J s bằng ánh xạ tuyến tính và
đơn điệu mạnh B để đưa ra phương pháp sau:
A(x) + αB(x − x+ ) = fδ .

(0.8)


4

Rõ ràng, nếu A là một ánh xạ tuyến tính thì (0.8) là bài toán tuyến
tính. Ngoài ra, phương pháp (0.8) còn có ưu điểm là nếu biết được một số
thông tin về nghiệm chính xác thì ta có thể xây dựng ánh xạ B sao cho
nghiệm hiệu chỉnh vẫn giữ nguyên được tính chất đó.

Trường hợp E ≡ H là không gian Hilbert thì phương pháp (0.6) có
dạng đơn giản nhất với s = 2. Khi đó, ánh xạ đối ngẫu J 2 ≡ I là ánh xạ
đơn vị trong E và phương pháp (0.6) trở thành:
A(x) + α(x − x+ ) = fδ .

(0.9)

Lý thuyết về ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach là một hướng
mở rộng của lý thuyết ánh xạ đơn điệu trong không gian Hilbert. Bài toán
(0.1) với A là ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach có mối liên hệ
chặt chẽ với bài toán điểm bất động, phương trình tiến hóa và bất đẳng
thức đồng biến phân (xem [8]). Ngoài ra, lớp bài toán này còn đóng một
vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng trong
không gian Lp và Wpm (xem [56, 59, 78, 79]). Năm 2006, Ya.I. Alber và I.P.
Ryazantseva [9] đã đưa ra sự hội tụ của phương pháp (0.9) khi A là một
ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach E dưới điều kiện ánh xạ đối
ngẫu chuẩn tắc J của E liên tục yếu theo dãy. Rất tiếc là lớp không gian
Banach vô hạn chiều có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy là
quá nhỏ (chỉ có không gian lp ). Năm 2013, Ng. Bường và Ng.T.H. Phương
[33] đã chứng minh được sự hội tụ của phương pháp (0.9) mà không đòi
hỏi tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J. Dựa vào
phương pháp (0.9), vào năm 2014, Ng. Bường và Ng.Đ. Dũng [30] đã xây
dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử (0.7) trong
trường hợp fi ∈ E, A0 là ánh xạ J-đơn điệu và Ai là ánh xạ ngược J-đơn
điệu mạnh trên không gian Banach E, i = 1, 2, ..., N .
Tuy nhiên, ta thấy, nếu A là ánh xạ phi tuyến thì (0.6), (0.8) và (0.9)
là các bài toán phi tuyến. Chính vì lí do đó, một phương pháp ổn định
khác để giải bài toán (0.1), có tên là phương pháp hiệu chỉnh lặp NewtonKantorovich đã được quan tâm nghiên cứu. Phương pháp này được đề
xuất bởi A.B. Bakushinskii [14] vào năm 1976 để giải bài toán bất đẳng
thức biến phân với ánh xạ phi tuyến đơn điệu. Đây là phương pháp hiệu

chỉnh được xây dựng dựa trên phương pháp nổi tiếng trong giải tích số là


5

phương pháp Newton-Kantorovich. Năm 1987, dựa trên cơ sở phương pháp
của A.B. Bakushinskii, để tìm nghiệm của bài toán (0.1) trong trường hợp
A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu
E ∗ , khi thay cho f ta chỉ biết xấp xỉ của nó là fδn thỏa mãn (0.3) với δ
được thay thế bởi δn , I.P. Ryazantseva (xem [9, 77]) đã đưa ra phương
pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich:
A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn J s (zn+1 ) = fδn .

(0.10)

Tuy nhiên, do phương pháp (0.10) sử dụng ánh xạ đối ngẫu J s làm thành
phần hiệu chỉnh nên nó có những hạn chế giống như phương pháp hiệu
chỉnh Browder-Tikhonov (0.6). Trường hợp A là ánh xạ J-đơn điệu trên
không gian Banach E, để tìm nghiệm của bài toán (0.1), cũng dựa trên tư
tưởng của phương pháp của A.B. Bakushinskii, năm 2005, Ng. Bường và
V.Q. Hùng [31] đã nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh lặp
Newton-Kantorovich sau:
A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fδ ,

(0.11)

dưới các điều kiện
A(x) − A(x∗ ) − J ∗ A (x∗ )∗ J(x − x∗ ) ≤ τ A(x) − A(x∗ ) , ∀x ∈ E
(0.12)
và

A (x∗ )v = x+ − x∗ ,

(0.13)

ở đây τ > 0, x∗ là nghiệm của bài toán (0.1), A (x∗ ) là đạo hàm Fréchet
của ánh xạ A tại x∗ , J ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E ∗ và v là phần
tử nào đó trong E. Ta thấy, các điều kiện (0.12) và (0.13) sử dụng đạo hàm
Fréchet của ánh xạ A tại nghiệm chưa biết x∗ nên chúng là hết sức chặt
chẽ. Năm 2007, A.B. Bakushinskii và A. Smirnova [17] đã chứng minh sự
hội tụ của phương pháp (0.11) đến nghiệm của bài toán (0.1) khi A là ánh
xạ đơn điệu từ không gian Hilbert H vào H (trong không gian Hilbert,
khái niệm J-đơn điệu trùng với khái niệm đơn điệu) dưới điều kiện là
A (x) ≤ 1, A (x) − A (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ H, L > 0.

(0.14)


Luận án đủ ở file: Luận án full