Phân tích ổn định và động lực phi tuyến của vỏ thoải sandwich cơ tính biến thiên chịu tác dụng của tải cơ và nhiệt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
_____________________

Đặng Thùy Đông

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ ĐỘNG LỰC PHI TUYẾN
CỦA VỎ THOẢI SANDWICH CƠ TÍNH BIẾN THIÊN
CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI CƠ VÀ NHIỆT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội – 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
_______________________

Đặng Thùy Đông

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ ĐỘNG LỰC PHI TUYẾN
CỦA VỎ THOẢI SANDWICH CƠ TÍNH BIẾN THIÊN
CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI CƠ VÀ NHIỆT

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số: 62440107

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. GS.TS. ĐÀO VĂN DŨNG
2. PGS.TS. VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội - 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tôi là Đặng Thùy Đông, hiện đang là nghiên cứu sinh của khoa Toán - Cơ - Tin
học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN.
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả
nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công
trình nào khác.
Tác giả

Đặng Thùy Đông

i


LỜI CẢM ƠN
Với tất cả sự chân thành, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy hướng dẫn là cố
GS.TS. Đào Văn Dũng đã tận tình hướng dẫn và luôn động viên tác giả vượt qua khó
khăn trong quá trình thực hiện luận án. Đặc biệt, trong những ngày bệnh nặng, thầy
vẫn luôn sát sao giúp đỡ, tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành luận án.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn là PGS.TS.Vũ
Đỗ Long đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi nhất để tác giả
hoàn thành luận án.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS. TSKH Đào Huy Bích đã
quan tâm, giúp đỡ và có những đóng góp quý báu trong quá trình tác giả thực hiện
luận án.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Vũ Hoài Nam đã quan tâm,
giúp đỡ và có những đóng góp quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận án.
Tác giả trân trọng cảm ơn tập thể các thầy cô giáo Bộ môn Cơ học, Khoa Toán
- Cơ - Tin học và Phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã luôn
quan tâm, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập
và nghiên cứu tại nhà trường.
Tác giả trân trọng cảm ơn các Phòng, Ban lãnh đạo Trường Đại học Công
nghệ Giao thông Vận tải, các đồng nghiệp trong Bộ môn Đường bộ và Khoa Công
trình trường Đại học Công nghệ Giao thông Vận tải đã luôn quan tâm, giúp đỡ và
động viên để tác giả hoàn thành luận án.
Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo và các nhà khoa học trong seminar Cơ
học Vật rắn Biến dạng đã có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện
luận án.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với những người thân
trong gia đình đã luôn ở bên cạnh động viên và chia sẻ những khó khăn với tác giả
trong suốt thời gian làm luận án.

ii


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................ ii
MỤC LỤC ............................................................................................................ iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT .......................................... vii
DANH MỤC CÁC BẢNG ................................................................................... ix
MỞ ĐẦU ................................................................................................................1
1. Tính cấp thiết của đề tài.......................................................................................1
2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án .........................................................................2
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu của luận án........................................................2

4. Phương pháp nghiên cứu .....................................................................................2
5. Bố cục của luận án ...............................................................................................3
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ........................................4
1.1. Vật liệu cơ tính biến thiên ................................................................................4
1.2. Kết cấu sandwich cơ tính biến thiên (sandwich FGM) ....................................6
1.3. Tình hình nghiên cứu về kết cấu FGM và sandwich FGM ..............................8
1.3.1.Các nghiên cứu về vỏ thoải hai độ cong FGM và sandwich FGM ............8
1.3.2.Các nghiên cứu về chỏm cầu thoải FGM và sandwich FGM ...................11
1.3.3.Các nghiên cứu về vỏ trống, vỏ trụ FGM và sandwich FGM ..................13
1.4. Kết quả đạt được từ các công trình đã công bố trong nước và quốc tế ..........15
1.5. Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu của luận án ........................................16
1.6. Các giả thiết sử dụng trong luận án ................................................................17
CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ ĐỘNG LỰC PHI TUYẾN CỦA VỎ
THOẢI HAI ĐỘ CONG SANDWICH FGM CÓ GÂN GIA CƯỜNG...............18
2.1. Giới thiệu ........................................................................................................18
2.2. Mô hình của vỏ thoải hai độ cong sandwich FGM gia cường bởi gân FGM.18
2.2.1. Vỏ thoải sandwich FGM với mô hình FGM – vật liệu thuần nhất – FGM
...........................................................................................................................21

iii


2.2.2. Vỏ thoải sandwich FGM với mô hình vật liệu thuần nhất – FGM – vật
liệu thuần nhất ....................................................................................................22
2.2.3. Hệ thống gân FGM....................................................................................23
2.3. Các công thức cơ bản .....................................................................................24
2.3.1. Liên hệ biến dạng – chuyển vị .................................................................24
2.3.2. Liên hệ ứng suất – biến dạng ...................................................................26
2.3.3. Lực giãn, mômen và lực cắt.....................................................................27
2.3.4. Hệ phương trình cân bằng tĩnh và hệ phương trình chuyển động ...........30

2.3.5. Phương trình tương thích biến dạng ........................................................31
2.4. Điều kiện biên và phương pháp giải ...............................................................32
2.4.1. Điều kiện biên ..........................................................................................32
2.4.2. Hệ phương trình chủ đạo và phương pháp giải .......................................32
2.5. Phân tích ổn định tĩnh phi tuyến ....................................................................36
2.5.1. Ổn định tĩnh của vỏ thoải hai độ cong sandwich FGM chỉ chịu áp lực
ngoài...................................................................................................................37
2.5.2. Ổn định tĩnh của panel trụ sandwich FGM chỉ chịu nén dọc trục ...........38
2.5.3. Ổn định tĩnh của vỏ thoải hai độ cong sandwich FGM chỉ chịu tải nhiệt
...........................................................................................................................38
2.5.4. Ổn định tĩnh của panel trụ sandwich FGM chịu tải cơ – nhiệt kết hợp ...41
2.6. Phân tích động lực phi tuyến ..........................................................................42
2.6.1. Phân tích dao động phi tuyến...................................................................42
2.6.2. Phân tích ổn định động phi tuyến ............................................................47
2.7. Kết quả tính toán số và thảo luận ...................................................................48
2.7.1. Nghiên cứu so sánh ..................................................................................49
2.7.2. Ổn định tĩnh phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong sandwich FGM gia
cường bởi các gân FGM ....................................................................................53
2.7.3. Dao động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong sandwich FGM được gia
cường bởi các gân FGM ....................................................................................60

iv


2.7.4. Ổn định động phi tuyến của panel trụ sandwich FGM được gia cường bởi
các gân FGM ......................................................................................................65
2.8. Kết luận chương 2 ..........................................................................................67
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA CHỎM CẦU
THOẢI SANDWICH FGM BIẾN DẠNG ĐỐI XỨNG TRỤC ..........................68
3.1. Giới thiệu ........................................................................................................68

3.2. Mô hình chỏm cầu thoải sandwich FGM .......................................................68
3.3. Các hệ thức, phương trình cơ bản ..................................................................69
3.3.1. Liên hệ biến dạng – chuyển vị .................................................................69
3.3.2. Liên hệ ứng suất – biến dạng ...................................................................70
3.3.3. Lực giãn, mô men và lực cắt....................................................................70
3.3.4. Hệ phương trình chuyển động .................................................................71
3.4. Phân tích dao động phi tuyến .........................................................................72
3.4.1. Tần số dao động cơ bản của chỏm cầu thoải sandwich FGM biến dạng
đối xứng trục ......................................................................................................74
3.4.2. Đáp ứng động lực phi tuyến của chỏm cầu thoải sandwich FGM biến
dạng đối xứng trục .............................................................................................75
3.5. Kết quả tính toán số và thảo luận ...................................................................76
3.5.1. Nghiên cứu so sánh ..................................................................................77
3.5.2. Tần số dao động cơ bản ...........................................................................77
3.5.3. Đường cong đáp ứng động lực ................................................................79
3.6. Kết luận chương 3 ..........................................................................................86
CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỔN ĐỊNH TĨNH VÀ ĐỘNG CỦA VỎ
TRỐNG, VỎ TRỤ TRÒN SANDWICH FGM GẤP NẾP VÀ LÕI GẤP NẾP CÓ
NỀN ĐÀN HỒI BAO QUANH ...........................................................................88
4.1. Giới thiệu ........................................................................................................88
4.2. Mô hình vỏ trống sandwich FGM gấp nếp và có lõi gấp nếp ........................88
4.2.1. Hệ tọa độ tổng thể của vỏ trống ...............................................................88
4.2.2. Mô hình vỏ trống sandwich FGM gấp nếp ..............................................89

v


4.2.3. Mô hình vỏ trống sandwich FGM có lõi gấp nếp ....................................90
4.3. Các công thức cơ bản .....................................................................................91
4.3.1. Nội lực .....................................................................................................91

4.3.2. Phương trình tương thích biến dạng và phương trình chuyển động ........95
4.4. Nghiệm và phương pháp giải .........................................................................97
4.4.1.Phân tích ổn định tĩnh phi tuyến ...............................................................99
4.4.2. Phân tích ổn định động phi tuyến ..........................................................100
4.5. Kết quả số và thảo luận ................................................................................103
4.5.1. Nghiên cứu so sánh ................................................................................103
4.5.2. Ổn định tĩnh của vỏ trống, vỏ trụ gấp nếp có nền đàn hồi bao quanh ...103
4.5.3. Ổn định tĩnh của vỏ trống, vỏ trụ lõi gấp nếp ........................................109
4.5.4. Ổn định động của vỏ trụ gấp nếp ...........................................................114
4.6. Kết luận chương 4 ........................................................................................115
KẾT LUẬN.........................................................................................................117
NHỮNG VẤN ĐỀ CÓ THỂ PHÁT TRIỂN TỪ LUẬN ÁN.............................119
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN .................................................................................................120
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................123
PHỤ LỤC ...........................................................................................................135

vi


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
CST

The classical shell theory - Lý thuyết vỏ cổ điển

FSDT

The first - order shear deformation theory - Lý thuyết biến
dạng trượt bậc nhất

HSDT

The higher – order shear deformation theory - Lý thuyết biến
dạng trượt bậc cao

FGM

Functionally Graded Material - Vật liệu cơ tính biến thiên.

Sandwich FGM

Vật liệu ba lớp cơ tính biến thiên

sh

Chỉ số trên hoặc dưới kí hiệu của vỏ

sx , sy, sl

Chỉ số trên hoặc dưới kí hiệu của gân theo phương x, y và gân
xiên

c, m

Chỉ số dưới thể hiện ceramic và kim loại tương ứng.

t, b

Chỉ số dưới thể hiện lớp trên và lớp dưới của vỏ tương ứng.

upper

Chỉ số dưới thể hiện tải vồng tĩnh cận trên.

cr

Chỉ số trên thể hiện tải tới hạn tĩnh.

crd

Chỉ số dưới thể hiện tải tới hạn động .

mn

Chỉ số dưới thể hiện tần số dao động tự do tuyến tính.

fd

Chỉ số dưới thể hiện tần số dao động cơ bản.

m

Số nửa sóng theo phương x .

n

Số nửa sóng (sóng) theo phương y của vỏ thoải hai độ cong
(vỏ trống).

k

Chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích của lớp lõi FGM đối với mô
hình 2A và 2B.

kt , kb

Chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích của lớp FGM phía trên và
phía dưới đối với mô hình 1A và 1B

k2 , k3 , ksl

Chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích của gân dọc, gân ngang và
gân xiên FGM

Pr eff

Tính chất hiệu dụng của vật liệu.

vii


E, 

Mô đun đàn hồi và hệ số poisson tương ứng.

Ec , Em

Mô đun đàn hồi của ceramic và kim loại tương ứng

c , m

Khối lượng thể tích của ceramic và kim loại tương ứng.

sh , sx , sy

Hệ số dãn nở nhiệt của vỏ, gân theo phương x và phương y
tương ứng.

Px , Py

Lực nén dọc trục phân bố trên một đơn vị diện tích đối với vỏ
thoải hai độ cong

r0

Lực nén dọc trục theo đường sinh của vỏ trống và vỏ trụ

q

Áp lực ngoài phân bố đều trên bề mặt vỏ.

t ,tcrd

Thời gian và thời gian tới hạn động.

c p , cr , cq

Tốc độ đặt tải của lực nén dọc trục của vỏ thoải hai độ cong, vỏ
trống (vỏ trụ) và áp lực ngoài tương ứng.

 fd

Tần số dao động cơ bản của vỏ thoải hai độ cong

0

Tần số dao động cơ bản của chỏm cầu thoải biến dạng đối
xứng trục

viii


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Các hệ số phụ thuộc nhiệt độ một số vật liệu cấu thành của FGM
[79]
Bảng 2.1. So sánh lực nén dọc trục tới hạn không thứ nguyên P với kết quả
của Zenkour [112].

5

50

Bảng 2.2. So sánh tần số dao động cơ bản của panel cầu thoải FGM gia cường
với kết quả của tác giả Đào Huy Bích và các cộng sự [25]

52

( Ks  5 / 6 ).
Bảng 2.3. Tần số dao động cơ bản của panel cầu thoải FGM gia cường với các
giá trị khác nhau của Ks ( kt  1).

53

Bảng 2.4. Ảnh hưởng của gân FGM và nền đàn hồi lên tải nén dọc trục tới hạn
của panel trụ sandwich FGM (mô hình 1B, kt  5 , HSDT)

56

Bảng 2.5. Ảnh hưởng của gân xiên lên tải nén dọc trục tới hạn của panel trụ
sandwich FGM (mô hình 1A, Ks  5 / 6 ,   450 , FSDT).
Bảng 2.6. Ảnh hưởng của góc xiên  lên tải nén dọc trục tới hạn của panel trụ
sandwich FGM ( kt  1, ds  0.1m , FSDT).

57

57

Bảng 2.7. So sánh tần số dao động cơ bản (rad/s) của vỏ thoải hai độ cong
được tính bởi công thức (2.65) và (2.66) ( ht / h  0.1, T  0K ,

61

FSDT).
Bảng 2.8. So sánh tần số dao động cơ bản (rad/s) của panel cầu sandwich
FGM với bốn mô hình vật liệu ( ht / h  1 / 3, kt  k , ( m, n ) =(1,

61

1), HSDT).
Bảng 2.9. So sánh giá trị của I 0* và giá trị của I 0 (panel cầu sandwich FGM,

ht  h / 3, mô hình 1A, HSDT).

62

Bảng 2.10. Ảnh hưởng của gân xiên FGM lên tải tới hạn động của lực nén dọc
trục của panel trụ sandwich FGM, ( c p  3 GPas).
Bảng 3.1. So sánh tham số của tần số dao động cơ bản  ,

ix

66
77


  h a  E a 2 

1/ 2

với kết quả của Varadan và Pandalai [108] và

Sathyamoorthy [81].
Bảng 3.2. So sánh tần số dao động cơ bản của 4 mô hình chỏm cầu thoải
sandwich FGM (×103 rad/s) ( a  1 m,

R  3 m,

h  0.05 m,

78

ht / h  0.1 , T  0K ).
Bảng 3.3. Ảnh hưởng của nhiệt độ đến tần số dao động cơ bản của chỏm cầu
thoải

sandwich

FGM

(×103 rad/s)

( a  1 m,

h  0.05 m,

78

ht / h  0.1, kt  1).
Bảng 3.4. Ảnh hưởng của bề dày lớp FGM lên tần số dao động cơ bản của
chỏm cầu thoải sandwich FGM (×103 rad/s)

( a  1 m, R  3 m,

79

h  0.05 m, kt  1).
Bảng 4.1. So sánh tải tới hạn động (GPa) của vỏ trống lồi chịu kéo và nén dọc
trục với công trình [6].
Bảng 4.2. Ảnh hưởng của chỉ số tỷ phần thể tích lên tải tới hạn của vỏ trống
gấp nếp chịu tác dụng của áp lực ngoài (MPa) ( r  0.005 m).

Bảng 4.3. Ảnh hưởng của r và d lên tải tới hạn của vỏ trống gấp nếp lượn
sóng chịu tác dụng của áp lực ngoài (MPa)
Bảng 4.4. Ảnh hưởng của c0 và  lên tải tới hạn tĩnh của vỏ trống gấp nếp
hình thang chịu tác dụng của áp lực ngoài (MPa)

103

104

105

106

Bảng 4.5. So sánh tải áp lực ngoài tới hạn của vỏ trụ sandwich FGM với các
cr
loại lõi khác nhau chịu tác dụng của áp lực ngoài qupper
(  107

111

N/m2).
Bảng 4.6. So sánh tải kéo, nén dọc trục tới hạn của vỏ trống sandwich FGM
với các loại lõi khác nhau chịu tác dụng của lực nén dọc trục (MPa).

112

Bảng 4.7. So sánh tải tới hạn động của vỏ trụ gấp nếp lượn sóng và hình thang
crd
qupper
(MPa), ( cq  106 N/m2s).

x

114


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Mô hình vật liệu kết cấu sandwich FGM.

6

Hình 1.2. Kết cấu sandwich FGM lõi đặc và lõi rỗng.

7

Hình 1.3. Hệ trục tọa độ của kết cấu sandwich FGM

7

Hình 2.1. Mô hình và hệ trục tọa độ của vỏ thoải hai độ cong sandwich FGM
có gân gia cường đặt trên nền đàn hồi.
Hình 2.2. Một số trường hợp riêng của vỏ thoải hai độ cong có gân gia cường.
Hình 2.3. Sự thay đổi vật liệu trong vỏ sandwich cơ tính biến thiên được gia
cường bởi các gân FGM.

19
20
21

Hình 2.4. Các cách bố trí gân.

23

Hình 2.5. Hệ trục tọa độ của gân.

26

Hình 2.6. Ảnh hưởng của bề dày lớp FGM lên đường cong tải – độ võng của
vỏ thoải hai độ cong ( kt  1, HSDT).

54

Hình 2.7. So sánh đường cong tải – độ võng của các loại vỏ thoải hai độ
cong ( kt  1, ht / h  0.1 , HSDT).

54

Hình 2.8. So sánh đường cong tải – độ võng của panel cầu sandwich FGM
không hoàn hảo của mô hình 1A và 2A ( ht / h  0.2 , k  kt ,

55

Rx  Ry  2 m, HSDT).
Hình 2.9. Ảnh hưởng của gân gia cường lên đường cong tải – độ võng của
panel cầu sandwich FGM (Mô hình 1A, kt  10 , ht / h  0.2 ,

55

Ks  5 / 6 , Rx  Ry  2 m, FSDT).
Hình 2.10. Ảnh hưởng của mode vồng lên đường cong tải nhiệt - độ võng của

panel cầu sandwich FGM hoàn hảo.
Hình 2.11 Ảnh hưởng của độ cong lên đường cong tải nhiệt - độ võng của
panel cầu sandwich FGM.
Hình 2.12. So sánh đường cong tải nhiệt - độ võng của panel cầu sandwich
FGM với mô hình 1A và 2A.

xi

58

58

59


Hình 2.13. Ảnh hưởng của bề dày lớp phủ FGM lên đường cong tải nhiệt - độ
võng của panel cầu sandwich FGM.

59

Hình 2.14. Ảnh hưởng của nhiệt độ lên đường cong tải – độ võng của panel
59

trụ sandwich FGM (   0.1 ).
Hình 2.15. Ảnh hưởng của lực nén trước lên đường cong tải nhiệt - độ võng

59

của panel trụ sandwich FGM (   0.1 ).
Hình 2.16. So sánh đường cong độ võng – thời gian của panel cầu khi sử

63

dụng phương trình (2.58) và (2.62) ( ht  0.1h, T  0K ).
Hình 2.17. Ảnh hưởng của điều kiện biên lên đường cong độ võng – thời gian

63

của panel cầu sandwich FGM ( ht / h  0.1 , T  0K ).
Hình 2.18. Ảnh hưởng của nhiệt độ lên đường cong độ võng – thời gian của
panel cầu sandwich FGM ( ht / h  0.1 ).

63

Hình 2.19. So sánh đáp ứng động lực của panel cầu chịu tác dụng của áp lực
64

ngoài với hai mô hình 1A và 2A ( ht / h  0.1, T  0K ).
Hình 2.20. So sánh đáp ứng động lực của panel cầu chịu tác dụng của áp lực
ngoài và nhiệt độ với hai mô hình 1A và 2A ( ht / h  0.1,

64

T  300K ).
Hình 2.21. Ảnh hưởng của gân FGM lên đường cong độ võng – thời gian của
panel cầu sandwich FGM chịu tác dụng của áp lực ngoài

65

( ht / h  0.1, T  0K , FSDT).

Hình 2.22. Ảnh hưởng của gân FGM lên đường cong độ võng – thời gian của
panel cầu sandwich FGM chịu tác dụng của áp lực ngoài và nhiệt

65

độ ( ht / h  0.1, T  300K ).
Hình 2.23. Đường cong quỹ đạo pha của panel cầu sandwich FGM chịu tác

ht / h  0.1,

T  0K ,

65

Hình 2.24. Đường cong quỹ đạo pha của panel cầu sandwich FGM chịu tác

65

dụng

của

áp

lực

ngoài

(  0,

  2150 rad/s).

xii


dụng

của

áp

lực

ngoài

(  0,

ht / h  0.1,

T  0K ,

  100 rad/s).
Hình 2.25. Ảnh hưởng của gân gia cường lên ổn định động phi tuyến của
panel trụ sandwich FGM ( kt  1, ds  0.05 m, c p  3 GPas).

66

Hình 2.26. Ảnh hưởng của tốc độ đặt tải lên lên ổn định động phi tuyến của
panel trụ sandwich FGM gia cường bởi gân xiên ( kt  1,

66

ds  0.1m).
Hình 3.1. Mô hình và hệ trục tọa độ của chỏm cầu thoải sandwich FGM.

69

Hình 3.2. Đường cong độ võng - thời gian của chỏm cầu thoải sandwich
FGM dao động tự do (   0 , T  0K , W  0  0.1 m).

80

Hình 3.3. Đường cong độ võng - thời gian của chỏm cầu thoải sandwich
FGM dao động tự do (   0 , T  0K , W  0  0.05 m).

80

Hình 3.4. Đường cong quỹ đạo pha của chỏm cầu thoải sandwich FGM dao
động tự do không cản ( W  0  0.1 m, T  0K ,   0 ).

80

Hình 3.5. Đường cong quỹ đạo pha của chỏm cầu thoải sandwich FGM dao
động tự do phi tuyến có cản ( W  0  0.1 m, T  0K ,   10 ).

80

Hình 3.6. So sánh đường cong độ võng - thời gian của dao động cưỡng bức
và tự do phi tuyến của chỏm cầu thoải sandwich FGM (   10 ,

81

T  0 , q  107 sin1000t (N/m2)).
Hình 3.7. So sánh đường cong độ võng - thời gian của dao động cưỡng bức
phi tuyến và tuyến tính của chỏm cầu thoải sandwich FGM (   0 ,

81

T  0 , q  105 sin 3000t (N/m2)).
Hình 3.8. Ảnh hưởng của nhiệt độ lên đường cong độ võng - thời gian của
chỏm cầu thoải sandwich FGM (   3 ).

82

Hình 3.9. Ảnh hưởng của độ không hoàn hảo lên đường cong độ võng - thời
gian của chỏm cầu thoải sandwich FGM (   0.03 , T  0K ).
Hình 3.10. So sánh đáp ứng động lực của chỏm cầu thoải sandwich FGM với

xiii

82
83


hai mô hình 1A và 2A.
Hình 3.11. So sánh đáp ứng động lực của chỏm cầu thoải sandwich FGM với
hai mô hình 1B và 2B.
Hình 3.12. Ảnh hưởng của bề dày lớp FGM lên đường cong độ võng - thời
gian của chỏm cầu thoải sandwich FGM ( T  200K ).

83

83

Hình 3.13. Ảnh hưởng của tỷ phần thể tích lên đường cong độ võng - thời
gian của chỏm cầu thoải sandwich FGM ( kt  k ).

83

Hình 3.14. Ảnh hưởng của tỷ số a / R lên đường cong độ võng - thời gian
của chỏm cầu thoải sandwich FGM ( T  0K ).
Hình 3.15. Ảnh hưởng của cản nhớt lên đường cong độ võng - thời gian của
chỏm cầu thoải sandwich FGM ( T  0K ).

84

84

Hình 3.16. Ảnh hưởng của tần số lực cưỡng bức tới hiện tượng phách điều
hòa của chỏm cầu thoải sandwich FGM (   0 , T  0K ,

84

Q  105 N/m2).
Hình 3.17. Ảnh hưởng của biên độ lực cưỡng bức tới hiện tượng phách điều
hòa của chỏm cầu thoải sandwich FGM (   0 , T  0K ,

84

  2500 rad/s).

Hình 3.18. Đường cong quỹ đạo pha của chỏm cầu thoải sandwich FGM
( q  106 sin 2500t (N/m2),   0 , T  0K ).

85

Hình 3.19. Đường cong quỹ đạo pha của chỏm cầu thoải sandwich FGM
( q  106 sin 2500t (N/m2),   30 , T  0K ).

85

Hình 3.20. Đường cong quỹ đạo pha của chỏm cầu thoải sandwich FGM
( q  106 sin1000t (N/m2),   0 , T  0K ).

86

Hình 3.21. Đường cong quỹ đạo pha của chỏm cầu thoải sandwich FGM
( q  105 sin 50000t (N/m2),   0 , T  0K ).

86

Hình 3.22. Đường cong quỹ đạo pha của chỏm cầu thoải sandwich FGM
( q  108 sin 2500t (N/m2),   0 , T  0K ).

xiv

86


Hình 3.23. Đường cong quỹ đạo pha của chỏm cầu thoải sandwich FGM
( q  108 sin1000t (N/m2),   0 , T  0K ).

86

Hình 4.1. Hệ trục tọa độ và mô hình vỏ trống.

89

Hình 4.2. Mô hình kết cấu và vật liệu vỏ trống sandwich FGM gấp nếp.

90

Hình 4.3. Mô hình vỏ trống lõi gấp nếp

91

Hình 4.4. Hệ tọa độ địa phương của nếp gấp.

91

Hình 4.5. Ảnh hưởng của k lên đường cong tải– độ võng của vỏ trụ tròn
sandwich FGM gấp nếp lượn sóng.
Hình 4.6. Ảnh hưởng của k lên đường cong tải– độ võng của vỏ trụ tròn
sandwich FGM gấp nếp hình thang.
Hình 4.7. Ảnh hưởng của d lên đường cong tải– độ võng của vỏ trụ tròn
sandwich FGM gấp nếp lượn sóng.
Hình 4.8. Ảnh hưởng của r lên đường cong tải– độ võng của vỏ trụ tròn
sandwich FGM gấp nếp lượn sóng.
Hình 4.9. Ảnh hưởng của góc  lên đường cong tải– độ võng của vỏ trụ tròn
sandwich FGM gấp nếp hình thang.
Hình 4.10. Ảnh hưởng của c0 lên đường cong tải– độ võng của vỏ trụ tròn

sandwich FGM gấp nếp hình thang.

107

107

107

107

108

108

Hình 4.11. Ảnh hưởng của mô đun nền Winkler K1 lên đường cong tải – độ
võng của vỏ trụ tròn sandwich FGM gấp nếp hình thang

108

( K2  0 N/m).
Hình 4.12. Ảnh hưởng của mô đun nền Winkler K1 lên đường cong tải– độ
võng của vỏ trụ tròn sandwich FGM gấp nếp lượn sóng

108

( K2  0 N/m).
Hình 4.13. Ảnh hưởng của độ cứng lớp trượt nền Pasternak K2 lên đường
cong tải– độ võng của vỏ trụ tròn sandwich FGM gấp nếp lượn
sóng ( K1  106 N3/m).

xv

109


Hình 4.14. Ảnh hưởng của độ cứng lớp trượt nền Pasternak K2 lên đường
cong tải– độ võng của vỏ trụ tròn sandwich FGM gấp nếp hình

9

thang ( K1  10 N /m).
6

10

3

Hình 4.15. Ảnh hưởng của chỉ số tỷ phần thể tích lên đường cong tải – độ
võng của vỏ trống sandwich FGM (mô hình 1A) có lõi gấp nếp

113

hình thang.
Hình 4.16. Ảnh hưởng của chỉ số tỷ phần thể tích lên đường cong tải – độ
võng của vỏ trống sandwich FGM (mô hình 1B) có lõi gấp nếp

113

hình thang.
Hình 4.17. Ảnh hưởng của chỉ số tỷ phần thể tích lên đường cong tải – độ

võng của vỏ trống sandwich FGM (mô hình 1A) có lõi gấp nếp

113

lượn sóng
Hình 4.18. Ảnh hưởng của chỉ số tỷ phần thể tích lên đường cong tải – độ
võng của vỏ trống sandwich FGM (mô hình 1B) có lõi gấp nếp

113

lượn sóng.
Hình 4.19. Ảnh hưởng của tỷ phần thể tích lên đường cong tải – độ võng
của vỏ trụ tròn gấp nếp lượn sóng chịu tác dụng của áp lực ngoài

115

tăng tuyến tính theo thời gian ( cq  106 N/m2s).
Hình 4.20. Ảnh hưởng của tỷ phần thể tích lên đường cong tải – độ võng
của vỏ trụ tròn gấp nếp hình thang chịu tác dụng của áp lực ngoài
tăng tuyến tính theo thời gian ( cq  106 N/m2s).

xvi

115


MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Các kết cấu tấm và vỏ sandwich với ưu điểm nhẹ, độ bền cao, khả năng cách
âm, cách nhiệt cũng như chịu va đập, kéo, uốn,... tốt đã và đang được sử dụng rộng

rãi trong nhiều lĩnh vực như: hàng không vũ trụ, hàng hải, xây dựng,.... Tuy nhiên,
nhược điểm lớn nhất của loại kết cấu này là mỗi lớp có tính chất vật liệu khác nhau,
dẫn đến tập trung ứng suất tại các vị trí tiếp giáp giữa các lớp, gây hiện tượng bong
tách, phá hủy kết cấu. Để khắc phục vấn đề này, kết cấu vật liệu sandwich cơ tính
biến thiên đã được đề xuất. Nhờ sự góp mặt của lớp vật liệu cơ tính biến thiên
(FGM) mà các tính chất vật liệu được biến đổi liên tục từ lớp này sang lớp khác
trong kết cấu, giúp giảm hiện tượng bong tách lớp do sự tập trung ứng suất gây ra.
Gần đây, các nghiên cứu về ổn định và dao động phi tuyến của các kết cấu vỏ
thoải hai độ cong FGM, sandwich FGM dưới tác dụng của tải cơ và nhiệt đã thu hút
được sự quan tâm của các nhà khoa học trong nước và quốc tế. Mặc dù vậy, các
nghiên cứu này mới chỉ xem xét vỏ không gân gia cường, hoặc gia cường bằng các
gân thuần nhất. Đồng thời chủ yếu xem xét hệ thống gân trực giao mà chưa xem xét
đến các loại gân xiên.
Các kết cấu chỏm cầu thoải cũng được sử dụng phổ biến trong kỹ thuật. Tuy
nhiên, việc phân tích ứng xử cơ học của loại vỏ này dẫn đến phải giải một hệ
phương trình vi phân đạo hàm riêng ứng với hệ số là hàm. Do vậy, các nghiên cứu
về kết cấu này, nhất là nghiên cứu sử dụng lý thuyết biến dạng trượt thường gặp
nhiều khó khăn về toán học.
Ngoài ra, để giảm nhẹ khối lượng kết cấu nhưng vẫn không làm ảnh hưởng
nhiều đến khả năng chịu tải của nó, kết cấu vỏ trống, vỏ trụ gấp nếp hoặc có lõi gấp
nếp sandwich FGM cũng đã bắt đầu được nghiên cứu tuy số lượng còn hạn chế.
Như vậy, vấn đề ổn định và dao động phi tuyến của các kết cấu vỏ thoải hai độ
cong sandwich FGM được gia cường bởi hệ thống gân trực giao và gân xiên FGM,
chỏm cầu thoải sandwich FGM chịu tải cơ – nhiệt theo lý thuyết biến dạng trượt

1


hay vỏ trống, vỏ trụ sandwich FGM gấp nếp hoặc lõi gấp nếp có nền đàn hồi bao
quanh dưới tác dụng của tải cơ, nhiệt vẫn là vấn đề mở cần được nghiên cứu.

Xuất phát từ các lý do trên, tác giả luận án chọn đề tài : “Phân tích ổn định và
động lực phi tuyến của vỏ thoải sandwich cơ tính biến thiên chịu tác dụng của tải
cơ và nhiệt” làm nội dung nghiên cứu.
2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án
- Xây dựng các phương trình chủ đạo và phương pháp giải bài toán ổn định
tĩnh phi tuyến của kết cấu vỏ sandwich FGM có gân gia cường hoặc kết cấu vỏ
sandwich FGM gấp nếp và có lõi gấp nếp chịu tải trọng tĩnh.
- Xây dựng các phương trình chủ đạo và phương pháp giải bài toán động lực
phi tuyến của kết cấu vỏ sandwich FGM có hoặc không có gân gia cường, vỏ
sandwich FGM gấp nếp và có lõi gấp nếp chịu tải trọng thay đổi theo thời gian.
- Khảo sát ảnh hưởng của các mô hình vật liệu, các yếu tố hình học, tham số
vật liệu, các loại gân gia cường, dạng gấp nếp, nền đàn hồi, nhiệt độ,... tới ứng xử
tĩnh và động lực phi tuyến của các loại vỏ sandwich FGM.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu của luận án
- Đối tượng nghiên cứu của luận án: Vỏ thoải hai độ cong sandwich FGM gia
cường bởi hệ thống gân trực giao hoặc gân xiên FGM, chỏm cầu thoải sandwich
FGM biến dạng đối xứng trục, vỏ trống và vỏ trụ sandwich FGM gấp nếp hoặc có
lõi gấp nếp.
- Phạm vi nghiên cứu:
+ Ổn định tĩnh, ổn định động và dao động phi tuyến của vỏ sandwich FGM.
+ Vỏ chịu các điều kiện tải khác nhau: tải cơ, tải nhiệt, tải cơ - nhiệt kết hợp
và được đặt trên nền đàn hồi Winkler hoặc Pasternak.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đối với bài toán ổn định tĩnh, luận án sử dụng phương pháp giải tích và tiêu
chuẩn ổn định kiểu cực trị. Đối với bài toán động lực, phương pháp sử dụng là giải
tích kết hợp với phương pháp số, trong đó, tải tới hạn động nhận được theo tiêu
chuẩn ổn định động Budiansky - Roth. Các lý thuyết sử dụng là lý thuyết biến dạng

2

trượt bậc nhất, bậc cao hoặc lý thuyết vỏ Donnell.
5. Bố cục của luận án
Luận án gồm: phần mở đầu, bốn chương nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo
và phụ lục.
Phần mở đầu: Trình bày tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu, mục tiêu, đối tượng,
phạm vi và phương pháp nghiên cứu của luận án.
Chương 1: Tổng quan vấn đề nghiên cứu đối với kết cấu vỏ thoải hai độ cong,
chỏm cầu thoải, vỏ trống và vỏ trụ FGM và sandwich FGM.
Chương 2: Phân tích ổn định và động lực phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong
sandwich FGM có gân gia cường.
Chương 3: Phân tích dao động phi tuyến của chỏm cầu thoải sandwich FGM biến
dạng đối xứng trục.
Chương 4: Phân tích phi tuyến ổn định tĩnh và động của vỏ trống, vỏ trụ tròn
sandwich FGM gấp nếp và lõi gấp nếp có nền đàn hồi bao quanh.
Kết luận: Trình bày những đóng góp chính của luận án, một số nhận xét và kiến
nghị khác.
Tài liệu tham khảo
Phụ lục.

3


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Vật liệu cơ tính biến thiên
Vật liệu cơ tính biến thiên với tên quốc tế là Functionally Graded Material
(thường được gọi tắt là FGM) tính đến nay đã xuất hiện được hơn ba mươi năm.
Với ưu điểm độ cứng cao, khả năng chịu nhiệt tốt, loại vật liệu này thường được sử
dụng làm lớp phủ ngoài của các thiết bị hàng không vũ trụ, kết cấu lò phản ứng
nhiệt hạch và một số lĩnh vực khác như y học, truyền thông, năng lượng,… [6, 60,

65, 72]. Vật liệu FGM được biết đến phổ biến nhất là loại có cơ tính biến thiên dọc
theo chiều dày của kết cấu theo quy luật phân bố hàm lũy thừa (P-FGM) hoặc quy
luật sigmoid (S- FGM) hay hàm mũ (E-FGM). Tương ứng với các quy luật phân bố
này, các tính chất hiệu dụng Pr của vật liệu như mô đun đàn hồi E , khối lượng thể
tích  , hệ số giãn nở nhiệt  được xác định như sau [4, 6, 79]
- Quy luật lũy thừa
k

 2z  h 
Pr  z   Prm  Prcm 
 , với Prcm  Prc  Prm ,
 2h 

(1.1)

với h là bề dày kết cấu, z là tọa độ theo chiều dày ( h / 2  z  h / 2 ), k  0 là chỉ
số tỷ phần thể tích (volume fraction index) và các chỉ số dưới c và m để chỉ thành
phần gốm và kim loại tương ứng.
- Quy luật sigmoid

 2 z  h k

 , h/2 z 0
 h 
, với Prmc  Prm  Prc .
Pr  z   Prc  Prmc 
k
 2 z  h 
 h  , 0  z  h / 2


(1.2)

- Quy luật hàm mũ

Pr  z   Prc

1  Pr  2 z 
  ln c 1 
2
Pr
h 
e  m 
.

(1.3)

+ Nếu tính chất vật liệu không phụ thuộc vào nhiệt độ, các tính chất hiệu dụng của
vật liệu là các hằng số và không thay đổi trong quá trình kết cấu chịu tác dụng của
nhiệt độ.

4


+ Nếu tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ, các tính chất hiệu dụng của vật liệu
sẽ biến đổi trong quá trình kết cấu chịu nhiệt độ và được tính theo công thức sau
[79]





Pri  T   P0 P1T 1  1  P1T 1  P2T 2  P3T 3 , i  c , m ,

(1.4)

trong đó T  T0  T ( K ), với T0  300K (nhiệt độ phòng) còn T là biến thiên
nhiệt độ của môi trường chứa kết cấu so với giá trị ban đầu mà ở đó kết cấu không
có biến dạng nhiệt. Các hệ số P0 , P1, P1, P2 , P3 là hằng số đối với mỗi vật liệu cụ thể
như được cho trong bảng dưới đây:
Bảng 1.1. Các hệ số phụ thuộc nhiệt độ một số vật liệu cấu thành của FGM [79].
Vật liệu
Si3N4

SUS304

ZnO2

Ti-6Al4V

Tính chất

P0
3.48e+11
E ( Pa)
5.87e-6
(1 / K )
13.72
K (W / mK )
0.24



P1
0
0
0
0

P1
-3.070e-4
9.095e-4
0
0

(kg / m3 )

0

0

2.01e+11
E ( Pa)
12.33e-6
(1 / K )
15.37
K (W / mK )
0.32


0

0
0
0

3.078e-4
8.086e-4
0
-2.002e-4

(kg / m3 )

0

0

E ( Pa)
2.44e+11
12.76e6
(1 / K )
K (W / mK )
1.7
0.2882


0
0
0
0

-1.37e-3

0.00149
0.0001276
1.13345e4

(kg / m3 )

0

0

0
0
—
0
4.5
0
86
0
35

-4.586e-4
0.00065
0.0139375
1.121e-4

2370

8166

5700

E ( Pa)
1.225e+1
(1 / K )
7.578e-6
1
K (W / mK ) 1.20947
0.2883


(kg / m3 )

4429

0

e
—
4
0

5

P2
2.16e-7
0
0
0
0
- 6.53e-7

0
0
3.79e-7
0
1.21e-6
1.e6
0.66e5
0
0
0
0.314e-6
0
0
0

P3
-8.946e-11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-3.68e-10
0.67e11
0
3.681378e

10
0
0
0
0
0
0


1.2. Kết cấu sandwich cơ tính biến thiên (sandwich FGM)
Năm 2013, tác giả luận án đã cùng một nhóm tác giả của trường Đại học Công
nghệ Giao thông Vận tải nghiên cứu về kết cấu panel trụ và vỏ trụ tròn làm bằng vật
liệu sandwich FGM. Đây là một trong những công bố đầu tiên của nhóm tác giả
Việt Nam về loại vật liệu này bằng tiếp cận giải tích.
Kết cấu sandwich cơ tính biến thiên được đề xuất dựa trên ý tưởng kết hợp
giữa kết cấu sandwich và vật liệu FGM. Trong đó, lớp lõi hoặc lớp phủ được làm từ
vật liệu FGM, các lớp còn lại được làm từ vật liệu thuần nhất gốm (ceramic) hoặc
kim loại (metal) (hình 1.1).

a.Mô hình FGM–kim loại –FGM

b.Mô hình FGM–gốm–FGM

c.Mô hình gốm – FGM – Kim loại

d.Mô hình kim loại – FGM – gốm

Hình 1.1. Mô hình vật liệu kết cấu sandwich FGM.
Về bản chất, kết cấu sandwich thường gồm ba lớp, trong đó hai lớp mặt được
chế tạo từ vật liệu có độ bền hay độ cứng cao, có chức năng chịu hầu như toàn bộ

tải trọng tác dụng theo các phương song song với mặt trung bình của kết cấu. Lớp
lõi thường được làm bằng các loại vật liệu (kết cấu) nhẹ, có tác dụng làm tăng độ
lệch tâm của hai lớp mặt và qua đó làm tăng độ cứng chung của toàn kết cấu. Tuy
nhiên, hiện nay nhiều tác giả trong nước và quốc tế sử dụng tên gọi kết cấu
sandwich cơ tính biến thiên cho mô hình a và b hoặc cả bốn mô hình trên [11-13,
32, 33, 39, 52, 53, 58, 67, 70, 94- 97, 107, 111,112,...]. Do đó, trong phạm vi luận
án, thuật ngữ “sandwich cơ tính biến thiên” cũng được sử dụng chung cho cả bốn
mô hình vật liệu này.
Tương tự kết cấu composite ba lớp, lớp lõi của kết cấu sandwich FGM có thể
đặc (hình 1.2a) hoặc rỗng dạng tổ ong, hình thang, lượn sóng, … (hình 1.2b).

6


a.Lõi đặc

b.Lõi rỗng dạng lượn sóng

Hình 1.2. Kết cấu sandwich FGM lõi đặc và lõi rỗng.
Các kết cấu sandwich FGM được nghiên cứu hiện nay gồm hai loại [6, 11- 13,
32, 33, 52, 53, 107, 111,…]
- Loại 1: Lớp lõi làm bằng vật liệu thuần nhất kim loại hoặc gốm, các lớp phủ
trong và ngoài được làm bằng vật liệu FGM. Đối với loại này, thể tích gốm Vc  z 
và kim loại Vm  z  được xác định như sau:
k

 z  h0 
Vi  z   
 , h0  z  h1 ,
h


h
 1 0
Vi  z   1,
h1  z  h2 ,

(1.5)

k

 z  h3 
Vi  z   
 , h2  z  h3 ,
h

h
3
 2
trong đó, hi ( i  0  3 ) là các tọa độ theo phương z được mô tả như trong hình 1.3.

Vi  z   Vm  z  với kết cấu có lõi thuần nhất kim loại và Vi  z   Vc  z  với kết cấu
có lõi là thuần nhất gốm

Hình 1.3. Hệ trục tọa độ của kết cấu sandwich FGM.
- Loại 2: Lớp lõi làm bằng vật liệu FGM trong khi các lớp phủ được làm bằng
vật liệu thuần nhất kim loại và gốm [107]. Khi đó, công thức của thể tích gốm

Vc  z  và kim loại Vm  z  như sau:

7