H10 c1 b2

BÀI 2: TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
I – LÝ THUYẾT
1. Tổng của hai vectơ
r
r
Định nghĩa: Phép cộng hai vectơ a và b là vectơ
theo vị trí của hai vectơ. Có 3 trường hợp.
r r
r r
a  b nối đuôi
a  b cùng điểm gốc

r r
a  b cộng theo
Quy tắc 3 điểm

r r
a  b cộng theo
Quy tắc hình bình hành

r r
a  b , được xác định tùy
r r
a  b là hai vectơ bất kỳ

r r
a  b được cộng theo
2 trường hợp trên

uuu
r uuur uuu

r
A, B, C ta có AB  AC  CB
Quy
tắc
ba
điểm:
Với
ba
điểm
bất
kỳ
-

- Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành khi đó ta có
uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur
�
�
AC  AB  AD
AB  DC
uuur uuur uuur
uuur uuur
�
�
DB  DA  DG
AD  BC
�
�

và
Tính chất:
r r r r
r r r
r r r
a

b

b

a
a

b

c

a
c b
- Giao hoán:
- Kết hợp:
r r r r r
r
r r
a  a  0
- Cộng với vectơ không: a  0  0  a  a
- Cộng với vectơ đối:
2. Hiệu của hai vectơ
r

r r
r
r
a


a
0
của vectơ a kí hiệu là - a . Đặc biệt
Vectơ đối
r r r
r
r
r
a

b

a


b
Hiệu hai vectơ a và b là vectơ
Định nghĩa:
r r r r
r r r r
uuu
r
uuu
r


a
:
a

0

a

a
:a  a  0
+
+ AB   BA
Tính chất: +



 

 

 

 

Quy tắc tam giác đối với hiệu hai vectơ
uuu
r uuu
r uuu
r

A
,
B
,
C
AB

CB

CA
Với ba điểm bất kì
ta có




3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
uu
r uur r
 Điểm I là trung điểm của đoạn AB � IA  IB  0
uuu
r uuu
r uuur r

ABC
�
GA

GB
 GC  0

 Điểm G là trọng tâm
II – DẠNG TOÁN
1. Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ
Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc 3 điểm, hình bình hành và tính chất
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r

uuur

uur

uuu
r

uuu
r

A. AB + AC = BC.

uuur

uuuu
r

uuu
r

uur

uuu
r

B. MP + NM = NP.

uur

C. CA + BA = CB.

uuu
r

D. AA + BB = AB.
Lời giải

Chọn B.
Xét các đáp án:
uuu
r

uuur

uuur

uuuu
r

uuur

uuu
r

 Đáp án A. Ta có AB + AC = AD �BC (với D là điểm thỏa mãn
bình hành). Vậy A sai.
uuuu
r

uuur

ABDC

là hình

uuu
r

 Đáp án B. Ta có MP + NM = NM + MP = NP . Vậy B đúng.
uur uuu
r
uuur uuu
r
uuur uur
CA + BA =- AC + AB =- AD �CB

(

 Đáp án C. Ta có
ABDC là hình bình hành). Vậy C sai.
uuu

r

uur

r

r

r

)

(với D là điểm thỏa mãn

uuu
r

 Đáp án D. Ta có AA + BB = 0+ 0 = 0 �AB . Vậy D sai.
Ví dụ 2: Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uur

uuu
r

uuu
r

uuu
r

uur

uur

A. CA + AB = BC.

uuu
r

uuur

uuu
r

uuu
r

uuu
r

uur

B. AB + AC = BC.

C. AB +CA = CB.

D. AB - BC = CA.
Lời giải.

Chọn C.

Xét các đáp án:
uur

uuu
r

uur

uuu
r

 Đáp án A. Ta có CA + AB = CB = - BC . Vậy A sai.


uuu
r

uuur

uuu
r

uur

uuur

uuu
r

 Đáp án B. Ta có AB + AC = AD �BC (với D là điểm thỏa mãn

bình hành). Vậy B sai.
uur

uuu
r

ABDC

là hình

uur

 Đáp án C. Ta có AB +CA = CA + AB = CB . Vậy C đúng.
uuuu
r

uuu
r

uuur

uuu
r

uuu
r

Ví dụ 3. Tính tổng MN + PQ + RN + NP + QR .
uuur

uuuu
r

A. MR.

uuu
r

B. MN .

uuur

C. PR.

D. MP.

Lời giải.
Chọn A.
Ta có

uuuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuur uuuu
r

MN + PQ + RN + NP + QR = MN + NP + PQ + QR + RN = MN

Ví dụ 4. Cho lục giác đều ABCDEF và
đúng?
uur

uuu
r

uuu
r

uur

uuu
r

uur

A. OA +OC +OE = 0.

O

là tâm của nó. Đẳng thức nào sau đây
uuu
r

uuu
r

uuur

uuu
r

uuu
r

uuu
r

B. BC + FE = AD.

uuu
r

C. OA +OC +OB = EB.

D. AB +CD + EF = 0.
Lời giải.

Chọn C.
Ta có OABC là hình bình hành.
uur uuu
r uur
uur uuu
r uur
uur
� OA +OC = OB � OA +OC +OB = 2OB.
O

uuu
r

uur

là trung điểm của EB � EB = 2OB.

uur uuu
r uur uuu
r
uur
� OA +OC +OB = EB = 2OB.

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
NHẬN BIẾT
Câu 1. Cho hình bình hành ABCD ,với giao điểm hai đường chéo là I . Khi đó:
uuu
r uu
r uur
uuu
r uuur uuur
A. AB  IA  BI .
B. AB  AD  BD .
uuu
r uuur r
uuu
r uuur r
AB  CD  0 .
AB  BD  0 .

.
D.
C
Câu 2. Điều kiện nào sau đây không phải là điều kiện cần và đủ để G là trọng
tâm của tam giác ABC , với M là trung điểm của BC .
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur r
A. AG  BG  GC .
B. AG  BG  CG  0 .
uuur uuu
r uuur r
uuu
r uuu
r uuur r
C. AG  GB  GC  0 . D. GA  GB  GC  0 .


Câu 3. Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm
của đoạn AB .
uuu
r uuu
r
A. OA  OB .
B. OA  OB .
uuur uuur
uuu
r uuu
r r
AO  BO .
OA


OB
0.
D.
C.
Câu 4. Cho 4 điểm A, B , C , D . Đẳng thức nào sau đây đúng.
uuu
r uuur uuur uuur
uuu
r uuur uuur uuur
A. AB  CD  AC  BD . B. AB  CD  AD  BC .
uuu
r uuur uuur uuu
r
uuu
r uuur uuur uuur
C. AB  CD  AD  CB . D. AB  CD  DA  BC .
Câu 5. Chọn khẳng định đúng :
uuu
r uuu
r uuur r
G
ABC
GA

GB
 CG  0 .
A. Nếu
là trọng tâm tam giác
thì

uuu
r uuu
r uuur r
B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA  GB  GC  0 .
uuu
r uuur uuur r
G
ABC
GA
 AG  GC  0 .
C. Nếu
là trọng tâm tam giác
thì
uuu
r uuu
r uuur
D. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA  GB  GC  0 .
Câu 6. Chọn khẳng định sai
uu
r uur r
IA
 BI  0 .
I
AB
A. Nếu là trung điểm đoạn
thì
uur uur uuu
r
B. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì AI  IB  AB .
uur uur r

C. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì AI  BI  0 .
uu
r uur r
IA
 IB  0 .
I
AB
thì
D. Nếu là trung điểm đoạn
Câu 7. Cho các điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào sau đây đúng ?
uuur uuur uuu
r
uuu
r uuu
r uuur
A. AB  BC  CA .
B. AB  CB  AC .
uuu
r uuur uuur
uuur uuu
r uuur
AB  BC  AC .
AB  CA  BC .
D.
C.
uuu
r uuur
ABCD
O
OA

 BO 
Câu 8. Cho hình bình hành
tâm . Khi đó
uuur uuu
r
uuu
r
A. OC  OB .
B. AB .
uuur uuur
uuur
OC  DO .
CD
D.
.
C.
Câu 9. Cho tam giác ABC , trọng tâm là G . Phát biểu nào là đúng?
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur
AB  BC  AC
GA  GB  GC  0
A.
.
B.
.
uuu
r uuur uuur

uuu
r uuu
r uuur
AB  BC  AC
GA  GB  GC  0
C.
.
D.
.
A
,
B
,
C
Câu 10. Cho các điểm phân biệt
. Đẳng thức nào sau đây đúng ?
uuur uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuur
A. AB  CB  CA .
B. BA  CA  BC .
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuu
r
BA


BC

AC
AB

BC

CA
C.
.
D.
.


THÔNG HIỂU
Câu 11. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Khi đó

uuu
r uuur
AB  AC 

a 3
B. 2 .

A. a 3 .
2a .
C.

D. a .

Câu 12. Gọi B là trung điểm của đoạn thẳng AC . Đẳng thức nào đúng?
uuur uuu
r r
uuu
r uuur
AB

CB

0
BA
 BC .
A.
.
B.
uuu
r uuur
uuur uuur r
BA, BC cùng hướng.
D. AB  BC  0 .
C. Hai véc tơ
uuu
r uuur
AB  AD
Câu 13. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Khi đó
bằng:

a 2.
A.

a 2
B. 2 .

C. 2a .

D. a .

Câu 14. Cho hình chữ nhật ABCD biết AB  4a và AD  3a thì độ dài
uuu
r uuur
AB  AD = ?
B. 6a .
C. 2a 3 .
D. 5a .
Câu 15. Cho 6 điểm A, B, C , D, E , F . Đẳng thức nào sau đây đúng.
uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur r
A. AB  CD  FA  BC  EF  DE  0 .
uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
AB

CD

FA
 BC  EF  DE  AF .
B.
uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur

C. AB  CD  FA  BC  EF  DE  AE .
uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
AB  CD  FA  BC  EF  DE  AD .
D.
Câu 16. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC  12 .
uuur uuur
Tổng hai vectơ GB  GC có độ dài bằng bao nhiêu ?
A. 7a .

C. 8 .
D. 2 3
Câu 17. Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuur uuur uuur uuur r
A. AO  BO  OC  DO  0 .
uuur uuur uuur uuur r
B. AO  BO  CO  DO  0 .
uuur uuur uuur uuur r
C. AO  OB  CO  DO  0 .
uuu
r uuur uuur uuur r
OA  BO  CO  DO  0 .
D.
Câu 18. Cho các điểm phân biệt A, B, C , D, E , F . Đẳng thức nào sau đây sai ?
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A. AB  CD  EF  AF  ED  BC .
A. 2 .

B. 4 .

uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r
AB

CD

EF

AF

ED

CB
B.
.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
C. AE  BF  DC  DF  BE  AC .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
D. AC  BD  EF  AD  BF  EC .

uuuu
r uuur uuur uuur uuu
r
MN

PQ

RN


NP

QR
Câu 19. Chỉ ravectơtổng
trong các vectơsau:
uuuu
r
uuuu
r
uuur
uuur
B. MQ .
C. MP . D. MN .
A. MR .

Câu 20. Cho G là trọng tâm tam giác ABC vuông, cạnh huyền BC  12 . Độ
uuur uuur
dài vectơ GB  GC bằng:
A. 2 .
B. 8 .
C. 6 .
D. 4 .
VẬN DỤNG
0
Câu 21. Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh bằng a và góc A .bằng 60 . Kết
luận nào sau đây đúng:
uuu
r a 3
OA 
2 .

A.
C.

uuu
r uuur
OA  OB

.

B.

uuu
r
OA  a

.

uuu
r a 2
OA 
2 .
D.

Câu 22. Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai ?
uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur
AB


CD
CA

CB
 CD .
A.
.
B.
uuur uuur r
uuur uuur
AB  CD  0 .
D. BC  AD .
C.
uuur
A
,
B
,
C
,
O
Câu 23. Cho 4 điểm
bất kì. Chọn kết quả đúng. AB 
uuur uuur
uuur uuur
A. OA  OB .
B. OA  OB .
uuur
uuur uuur
B

A
C.
.
D. AO  OB .
Câu 24. Cho hình chữ nhật ABCD , gọi O là giao điểm của AC và BD , phát
biểu nào là đúng?
uuu
r uuur uuur uuur
uuur uuur
A. OA  OB  OC  OD .
B. AC  BD .
uuu
r uuu
r uuur uuur r
uuur uuur uuur
OA  OB  OC  OD  0
AC  DA  AB .
.
D.
C.
Câu 25. Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của 2 đường chéo.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
uur uur r
uuur uuur
A. IA  IC  0 .
B. AB  DC .
uuur uuur
uuur uuur uuur
C. AC  BD .
D. AB  AD  AC .

Câu 26. Cho tam giácABC. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh
uuur uuur
AB, AC , BC . Hỏi MP  NP bằng vec tơ nào?


uuuu
r
A. AM .
uuu
r
AP
.
.
C

uuu
r
B. PB .
uuuu
r
MN
D.
.

Câu 27. Cho các điểm phân biệt A, B, C , D . Đẳng thức nào sau đây đúng ?
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuu
r uuur
AB


DC

BC

AD
AC

DB

CB
 DA .
A.
. B.
uuur uuur uuu
r uuur
uuur uuur uuur uuu
r
AC  BD  CB  AD . D. AB  DA  DC  CB .
C.
uuu
r uuur uuur
A
,
B
,
C
,
D
,
E

,
F
AB
 CD  EF bằng
Câu 28. Cho 6 điểm
. Tổng véc tơ :
uuur uuu
r uuur
uuur uuu
r uuur
A. AF  CE  DB .
B. AE  CB  DF .
uuur uuur uuu
r
uuur uuur uuur
AD

CF

EB
C.
.
D. AE  BC  DF .
Câu 29. Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C , O . Đẳng thức nào sau đây là đúng:
uuu
r uuu
r uuur
uuur uuur uuur
OA


CA

OC
A.
.
B. AB  AC  BC .
uuu
r uuur uuu
r
uuu
r uuur uuur
AB  OB  OA .
OA  OB  AB .
D.
C.
Câu 30. Chọn đẳngthức đúng:
uuur uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuur
BC

AB

CA
BA

CA

 BC .
A.
.
B.
uuur uuur uuu
r
uuur uuu
r uuur
C. OC  AO  CA .
D. AB  CB  AC .
C. ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1
C
16
B

2
C
17
B

3
D
18
B

4
C
19
D

5
B
20
D

6
A
21
A

7
B
22
A

8
D
23
A

9
D
24
D

10
B
25
C

11
A
26
C

12
A
27
D

13
A
28
C

14
D
29
A

15
A
30
D

2. Dạng 2: Tìm vectơ đối và hiệu của 2 vectơ
Phương pháp giải:
- Áp dùng định nghĩa: Tìm vectơ đối, tính tổng
- Áp dụng quy tắc 3 điểm, hình bình hành và tính chất

r

r

r

r

r

Ví dụ 1: Cho a và b là các vectơ khác 0 với a là vectơ đối của b . Khẳng định
nào sau đây sai?
r r
a
A. Hai vectơ , b cùng phương.

r r
a
B. Hai vectơ , b ngược hướng.


C. Hai vectơ

r r
a, b

cùng độ dài.

D. Hai vectơ

r r
a, b

chung điểm đầu.

Lời giải.
Chọn D.
r

r

r

r

Ta có a = - b . Do đó, a và b cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.
Ví dụ 2. Gọi

O

uur

uur

uuu
r

uuur

là tâm hình bình hành

ABCD .

uuu
r

A. OA - OB = CD.

Đẳng thức nào sau đây sai?

uur

uuu
r

uuu
r

uur

uuu
r

uuu
r

uuur

uuu
r

B. OB - OC = OD - OA.

uuu
r

C. AB - AD = DB.

D. BC - BA = DC - DA.
Lời giải.

Chọn B. Xét các đáp án:
uur

uur

uuu
r

uuu
r

 Đáp án A. Ta có OA - OB = BA = CD . Vậy A đúng.

 Đáp án B. Ta có

uur
�
OB �
�uuu

r
�
OD �
�

uuu
r uur
uuur
OC = CB = - AD
uur uuur
OA = AD

uuu
r

uuur

. Vậy B sai.

uuu
r

 Đáp án C. Ta có AB - AD = DB. Vậy C đúng.

 Đáp án D. Ta có
Ví dụ 3. Gọi

O

uuu

r
�
BC �
�uuur
�
�
�DC -

uuu
r uuur
BA = AC
uuur uuur
DA = AC

. Vậy D đúng.

là tâm hình vuông

uuu
r

uur uuu
r
ABCD . Tính OB - OC .

uuu
r

A. BC.

uuu
r

B. DA.

uur

uuu
r

C. OD - OA.

D. AB.

Lời giải.
uur

uuu
r

uur

uuu
r

Chọn B. Ta có OB - OC = CB = DA .
uuur

Ví dụ 4. Cho
nào?

O

là tâm hình bình hành

uuu
r

AO ABCD . Hỏi vectơ (

uuu
r

A. BA.

uuur

B. BC.

C. DC.
Lời giải.

uuur

uuur

uuu
r

uur

uuur

uuu
r

Chọn B. Ta có AO - DO = OD - OA = AD = BC .
3. Dạng 3: Tính độ dài của vectơ
Phương pháp giải:

uuur
DO

)

uuur

bằng vectơ

D. AC.


- Biến đổi vectơ tổng, vectơ hiệu thành một vectơ duy nhất.
- Tính độ dài của vectơ đó.
- Từ đó suy ra độ dài của vectơ tổng, vectơ hiệu.
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho tam giác
A.
C.

ABC

đều cạnh a . Khi đó

uuu
r uuur
AB + AC

bằng:

uuu
r uuur a 3
AB + AC =
.
2
B.

uuu
r uuur
AB + AC = a 3.
uuu
r uuur
AB + AC = 2a.

D. Một đáp án khác.
Lời giải.

Chọn A
Gọi H là trung điểm của

BC � AH ^ BC.

BC 3 a 3
=
.
2
2
Suy ra
uuu
r uuur
uuur
a 3
AB + AC = 2AH = 2.
=a 3
2
Ta lại có
.
AH =

Ví dụ 2. Cho tam giác vuông cân
A.
C.

ABC

tại A có

AB = a . Tính

uuu

r uuur
AB + AC .

uuu
r uuur a 2
AB + AC =
.
2
B.

uuu
r uuur
AB + AC = a 2.
uuu
r uuur
AB + AC = 2a.

D.

uuu
r uuur
AB + AC = a.

Lời giải.
Chọn A. Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác
vuông.

ABDC

là hình

uuu
r uuur
uuur
� AB + AC = AD = AD = a 2.

Ví dụ 3. Cho tam giác
uuu
r uuur
AB + AC.

A.
C.

uuu
r uuur
AB + AC = 5.
uuu
r uuur
AB + AC = 3.

ABC

vuông cân đỉnh

B.
D.
Lời giải.

C

, AB = 2 . Tính độ dài của

uuu
r uuur
AB + AC = 2 5.
uuu
r uuur
AB + AC = 2 3.


Chọn A.
� AC = CB = 1.
Ta có AB = 2 ��

Gọi I là trung điểm

BC ��
� AI = AC 2 +CI 2 =

5
.
2

uuur uuu
r
uur
uuur uuu
r
uur

5
AC + AB = 2AI ��
� AC + AB = 2 AI = 2.
= 5.
2
Khi đó

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
NHẬN BIẾT
Câu 1. Cho 4 điểm bất kì A, B, C , O . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r uuu
r
uuur uuur uuur
A. OA  OB  BA .
B. AB  OB  AO .
uuu
r uuur uuu
r
uuu
r uuu
r uuur
AB

AC

CB
OA


CA
 CO .
C.
.
D.
Câu 2. Cho hai điểm phân biệt A, B . Điều kiện để điểm I là trung điểm của
đoạn thẳng AB là:

uu
r uur

uur

A. IA  IB .
uu
r

uur

B. AI  BI .

uur

D. IA  IB .

C. IA   IB .

Câu 3. Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào sau đây là đúng?
uuu
r uuu

r

uuu
r

uuu
r uuu
r

uuu
r

A. AB  BC  CA .
C. CA  BA  BC .

uuu
r uuu
r

uuu
r

B. AB  CA  CB .
uuu
r

uuur

uuu
r

D. AB  AC  BC .

Câu 4. Chọn khẳng định sai:

uu
r uur r
A. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì IA  IB  0 .
uur uur uuu
r
B. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì AI  BI  AB .
uur uur r
I
AB
C. Nếu là trung điểm đoạn
thì AI  IB  0 .
uu
r uur r
D. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì IA  BI  0 .

Câu 5. Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai ?
uuu
r

uuur

uuu
r

uuu

r

uuu
r

A. BD  DC  CB .
uuu
r

C. BD  BC  BA .

uuu
r

uuu
r

uuu
r

B. BD  CD  CB .
uuu
r

uuu
r

uuur

D. AC  AB  AD .

Câu 6. Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C , D . Đẳng thức nào sau đây là đúng:


uuu
r

uuu
r uuu
r

uuu
r

uuu
r uuu
r

A. OA  CA  CO .

uuu
r

uuur

uuu
r

uuu
r

uuu
r uuu
r

r

B. BC  AC  AB  0 .

C. BA  OB  OA .

D. OA  OB  BA .

Câu 7. Cho tam giác ABC , khẳng định nào sau là đúng?
uuu
r

uuur

uuu
r

uuu
r

uuur

uuu
r

A. AB  AC  BC .

uuu
r

uuu
r

uuur

uuu
r

uuu
r

uuur

B. AB  BC  AC .

C. AB  AC  BC .

D. AB  BC  AC .

r r r
a
Câu 8. Cho ba vectơ , b và c đều khác vectơ – không. Trong đó hai vectơ
r r
r r
a, b cùng hướng, hai vectơ a , c đối nhau. Khẳng định nào sau đây đúng ?

r
r
b
v
à
c
A. Hai vectơ
cùng hướng.
r
r
b
v
à
c
B. Hai vectơ
ngược hướng.
r
r
b
v
à
c
C. Hai vectơ
đối nhau.
r
r
D. Hai vectơ b và c bằng nhau.
Câu 9. Cho các điểm phân biệt A, B, C , D, E, F . Đẳng thức nào sau đây sai
uuu
r

uuu
r

uuu
r

uuu
r

uuu
r

uuu
r

uuu
r

uuu
r

uuu
r

uuu
r

uuu
r

uuu
r

uuu
r

uuu
r

uuur

uuur

uuu
r uuur

uuur

uuu
r

uuu
r

uuur

uuu
r

A. AB  CD  EF  AF  ED  BC .
B. AB  CD  EF  AF  ED  CB .
C. AE  BF  DC  DF  BE  AC .
uuu
r

D. AC  BD  EF  AD  BF  EC .
Câu 10. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC  với cạnh huyền BC  12 .
uuu
r uuur
Vectơ GB  CG có độ dài bằng bao nhiêu?
A. 2 .

D. 2 3 .

C. 8 .

B. 4 .

THÔNG HIỂU
Câu 11. Cho tam ABC cạnh a, trọng tâm là G . Phát biểu nào là đúng?
uuu
r

uuur

uuu
r

A. AB  AC .

C.

uuu
r uuur
AB  AC  2a

uuu
r

uuu
r

B. GA  GB  GC .
.

D.

uuu
r uuur
AB  AC 

uuu
r uuur
3 AB  AC

r r r r r
a
Câu 12. Cho , b �0 , a, b đối nhau. Mệnh đề dưới đây sai là:

.

r r
A. a, b ngược hướng.
r r
a
C. , b cùng hướng.

r r
B. a, b cùng độ dài.
r r r
a
D.  b  0 .

Câu 13. Cho hình chữ nhật ABCD , gọi O là giao điểm của AC và BD , phát
biểu nào là đúng?
uuu
r

uuu
r

uuu
r

uuur

A. OA  OB  OC  OD .
uuu
r uuu

r uuur

uuur

uuu
r

uuu
r

uuu
r

uuur

B. AC  BD .
r

C. OA  OB  OC  OD  0 .

uuu
r

D. AC  AD  AB .
uuu
r uuur

uuu
r

Câu 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a , độ dài vectơ AB  AC  BD bằng:
A. a.
B. 3a .
C. a 2 .
D. 2a 2 .
uuu
r

uuu
r

Câu 15. Cho hình bình hành ABCD tâm O . Khi đó OA  OB 
uuu
r

uuu
r

uuu
r

A. OC  OB .

B. AB .

uuur

uuur

uuu

r

C. OC  OD . D. CD .

Câu 16. Cho các điểm phân biệt A, B, C , D . Đẳng thức nào sau đây đúng ?
uuu
r uuu
r

uuu
r

uuu
r

uuur

uuu
r uuu
r

uuur

A. AB  CD  BC  DA .
uuu
r

uuu
r

uuu
r uuur

B. AC  BD  CB  AD .
uuu
r uuur

uuur

uuu
r

C. AC  DB  CB  DA .
D. AB  AD  DC  BC .
uuuu
r uuu
r uuur uuur uuu
r
MN

QP

RN

PN

QR
Câu 17. Chỉ ra vectơ tổng
trong các vectơ sau:
uuuu

r
uuuu
r
uuur
uuur
A. MR .
B. MQ .
C. MP .
D. MN .
Câu 18. Cho hình bình hành ABCD và điểm M tùy ý. Đẳng thức nào đúng ?
uuur

uuur

uuuu
r uuuu
r

A. MA  MB  MC  MD .
uuuu
r

uuur

uuuu
r uuuu
r

C. AM  MB  CM  MD .

uuur

uuuu
r

uuuu
r uuur

uuur

uuuu
r

uuur

B. MA  MD  MC  MB .
uuuu
r

D. MA  MC  MB  MD .

Câu 19. Cho các điểm phân biệt A, B, C , D . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuur

uuu
r

uuu
r

uuu
r

uuur

uuu
r

uuu
r uuur

A. AC  BD  BC  DA .
C. AC  BD  CB  AD .

uuur

uuu
r

uuur

uuu
r

uuu
r uuu
r

B. AC  BD  CB  DA .
uuu

r

uuur

D. AC  BD  BC  AD .

Câu 20. Cho tam giác ABC có M , N , D lần lượt là trung điểm của
uuur

AB, AC , BC . Khi đó, các vectơ đối của vectơ DN là:

uuuur uuur uuur
A. AM , MB, ND .
uuur uuuur
C. MB, AM .

VẬN DỤNG

uuur uuur uuur
B. MA, MB, ND .
uuuur uuuur uuur
D. AM , BM , ND .


Câu 21. Cho hình bình hành ABCD có tâm O . Khẳng định nào sau đây là sai:
uuur

uuu
r

uuu
r

uuur

uuu
r

uuur

A. AO  BO  BC .

uuur

uuur

uuu
r

uuur

uuu
r

uuu
r

B. AO  DC  OB .

C. AO  BO  DC .

D. AO  BO  CD .

Câu 22. Cho các điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuu
r

uuu
r

uuur

uuu
r

uuu
r

uuu
r

A. AB  BC  AC .

uuu
r

uuu
r uuu
r

uuu
r

uuu
r uuu
r

B. AB  CB  CA .

C. AB  BC  CA .

D. AB  CA  CB .

Câu 23. Cho bốn điểm A, B, C , D phân biệt. Khi đó vectơ
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r
u  AD  CD  CB  DB là:
r r
r uuur
A. u  0 . B. u  AD .

r

uuur

r

C. u  CD .

uuur

D. u  AC .

Câu 24. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Đẳng thức nào sau đây là sai?
uuu
r

uuu
r

uuur

A. AB  BC  AC .
uuu
r uuur

uuu
r

C. BA  AC  BC .

uuu
r uuu
r

uuu
r

uuu
r uuur

uuu
r

B. CA  AB  BC .
D. AB  AC  CB .

Câu 25. Cho A, B, C phân biệt, mệnh đề dưới đây đúng là:
uuu
r

uuur

uuu
r

uuu
r

uuu
r

A. AB  AC  BC .
uuu
r

C. AB  CA  CB .

uuu
r uuu
r

uuu
r

uuur

uuu
r

B. CA  BA  BC .

Câu 26. Chọn kết quả sai:
uuu
r

uuur

r

uuu
r

uuur

uuu
r

A. BA  AB  0 .
C. CA  AC  AB .

uuu
r

D. AC  BC  CA .
uuu
r uuu
r

uuu
r

B. CA  CB  BA .
uuuu
r

uuur

uuu
r uuu
r

uuur

Câu 27. Kết quả bài toán tính : AB  CD  AD là:
uuu
r
A. CB .

uuur
2
B. BD .

uuuu
r

D. MN  NX  MX .
r
C. 0 .

uuur

D. AD .

Câu 28. Cho hình bình hành ABCD có tâm O . Khẳng định nào là đúng:
uuur

uuu
r

uuu
r

uuur

uuu
r

uuu
r

A. AO  BO  BD .
C. AO  BO  CD .

uuur

uuu
r

uuu
r

B. AO  AC  BO .
uuu
r uuur

uuu
r

D. AB  AC  DA .

Câu 29. Cho bốn điểm A, B, C , D phân biệt. Khi đó vectơ
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r
u  AD  CD  CB  AB bằng:
r uuur

r r
A. u  AD .
B. u  0 .

uuur

C. u  CD .

r

uuur

D. u  AC .

Câu 30. Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đẳng thức nào sau đây đúng ?
uuur uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur uuur r
AO

BO

CO

DO

0
A.
. B. AO  BO  CO  DO  0 .

uuur uuu
r uuur uuur r
AO

OB
 CO  OD  0 .
C.

uuu
r uuu
r uuur uuur r
OA

OB
 CO  DO  0 .
D.

C. ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
D C C A A B
B

B
A B
D
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
D D D D A B
B
B
B
C C
4. Dạng 4: Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ

12
C
27
A

13
C
28
D

14
A
29
B

15
D
30
B

Phương pháp: Để xác định 1 điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ, ta làm như sau
uuuu
r r
r
AM

u
u
- Biến đổi đẳng thức về dạng
, trong đó A và là cố định
r
- Lấy A làm gốc để dựng vectơ bằng u điểm ngọn chính là điểm M cần tìm
A. VÍ DỤ MINH HỌA
ABC

Ví dụ 1: Cho tam giác
định vị trí điểm M .

uuur

A. M là điểm thứ tư của hình bình hành
B. M là trung điểm của đoạn thẳng
C. M trùng

ACBM .

AB.

C.

D. M là trọng tâm tam giác

ABC.

Lời giải.
Chọn D.
Gọi

G

là trọng tâm tam giác D ABC .
uuu
r

uuu
r

uuu
r

r
0

GA +
GB +
GC
Ta có =

Ví dụ 2. Cho tam giác

uuur uuur
uuur uuu
r
MB - MC = BM - BA

A. đường thẳng

M

G.

ABC. Tập

hợp các điểm M thỏa mãn

là?

AB.

B. trung trực đoạn

uuur

uuur

r

có M thỏa mãn điều kiện MA + MB + MC = 0 . Xác

BC.

C. đường tròn tâm A, bán kính

BC.

D. đường thẳng qua A và song song với

BC.


Lời giải.
Chọn C.
Ta có

uuur uuur
uuur uuu
r
uur
uuuu
r
MB - MC = BM - BA � CB = AM � AM = BC

Mà A, B, C cố định � Tập hợp điểm M là đường tròn tâm A , bán kính
Ví dụ 3. Cho hình bình hành
uuur uuur uuur uuuu
r
MA + MB - MC = MD

ABCD . Tập

BC

.

hợp các điểm M thỏa mãn

là?

A. một đường tròn.

B. một đường thẳng.

C. tập rỗng.

D. một đoạn thẳng.
Lời giải.

uuur uuur uuur uuuu
r
uuur uuur uuuu
r uuur
MA + MB - MC = MD � MB - MC = MD - MA
uur uuur
� CB = AD

�

sai

Không có điểm M thỏa mãn. Chọn C.

Ví dụ 4. Cho tam giác
điểm M .

ABC

uuur

uuur

uuu
r

và điểm M thỏa mãn MB + MC = AB . Tìm vị trí

A. M là trung điểm của

AC.

B. M là trung điểm của

AB.

C. M là trung điểm của

BC.

D. M là điểm thứ tư của hình bình hành

ABCM .

Lời giải.
Chọn A.
Gọi I là trung điểm của

BC.

uuur uuur
uuu
r
� MB + MC = 2MI
uuu
r
uuu
r
� AB = 2MI � M

là trung điểm

AC.

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
NHẬN BIẾT

uuur uuur uuuur r

Câu 1. Cho ABC . Điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  0 thì điểm M là:
A. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AC và BC làm hai cạnh.

B. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và AC làm hai cạnh.
C. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và BC làm hai cạnh.
D. Trọng tâm tam giác ABC .
Câu 2. Cho tam giác ABC . Để điểm M thoả mãn điều kiện
uuur uuur uuuu
r r
MA  MB  MC  0

thì M phải thỏa mãn mệnh đề nào?
A. M là điểm sao cho tứ giác ABMC là hình bình hành.
B. M là trọng tâm tam giác ABC .
C. M là điểm sao cho tứ giác BAMC là hình bình hành.

D. M thuộc trung trực của AB .
uuur uuur uuuu
r r
MA

MB

CM
 0 thì điểm M là

ABC
M
Câu 3. Cho
. Điểm
thỏa mãn
A. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AC và BC làm hai cạnh.
B. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và AC làm hai cạnh.

C. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và BC làm hai cạnh.
D. trọng tâm tam giác ABC .

uuur

uuur

uuur

r

M

sao cho:

Câu 4. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn điều kiện MA - MB + MC = 0 .
Mệnh đề nào sau đây sai?
MABC

A.

uuu
r

là hình bình hành.

uuu
r

uuur

C. BA + BC = BM .

uuuu
r

uuu
r

uuur

uuu
r

uuur

B. AM + AB = AC.
D. MA = BC.

VẬN DỤNG
Câu 5. Cho tam giác ABC . Tập hợp những điểm
uuur uuur uuuu
r uuur
MA  MB  MC  MB
là:
A. M nằm trên đường trung trực của BC .

B. M nằm trên đường tròn tâm I ,bán kính R  2 AB với I nằm trên
cạnh AB sao cho IA  2 IB .
C. M nằm trên đường trung trực của IJ với I , J lần lượt là trung

điểm của AB và BC .
D. M nằm trên đường tròn tâm I , bán kính R  2 AC với I nằm
trên cạnh AB sao cho IA  2 IB .
uuur

uuur

uuur

r

Câu 6. Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện MA + MB + MC = 0 . Xác
định vị trí điểm M .


A. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM .
B. M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
C. M trùng với C.
D. M là trọng tâm tam giác ABC.
Câu 7. Cho tam giác ABC. Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn đẳng thức
uuur uuur
uuur uuu
r
MB - MC = BM - BA

là

A. đường thẳng AB.

B. trung trực đoạn BC.

C. đường tròn tâm A, bán kính BC.

D. đường qua A và song song với BC.

Câu 8. Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn đẳng
uuur

uuur

uuur

uuuu
r

thức MA + MB - MC = MD là
A. một đường tròn.

B. một đường thẳng.

C. tập rỗng.

D. một đoạn thẳng.

Câu 9. Cho D ABC và điểm M thỏa mãn

uuur uuur uuu
r
MB + MC = AB . Tìm vị trí điểm M .

A. M là trung điểm của AC.

B. M là trung điểm của AB.

C. M là trung điểm của BC.

D. M là điểm thứ tư của hbh ABCM .
uuur

uuur

uuur

r

Câu 10. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn điều kiện MA - MB + MC = 0 .
Mệnh đề nào sau đây sai?
uuu
r

uuu
r

uuuu
r

uuu
r

uuur

uuu
r

uuur

B. AM + AB = AC.

A. MABC là hình bình hành.
uuur

C. BA + BC = BM .

D. MA = BC.

C. ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1
2
3
4
5
6
7
8
A C B
A C D C C
5. Dạng 5: Bài toán thực tế (vật lý_lực)

9
A

10
A

Phương pháp giải:
uu
r

uu
r

0
Ví dụ 1: Cho hai lực F1 và F2 có điểm đặt O và tạo với nhau góc 60 . Cường

độ của hai lực

uu
r
F1

A. 100N

và

uu
r
F2

đều là 100N . Cường độ tổng hợp lực của hai lực đó là

B. 100 3N

C. 50N

D. 50 3N

Lời giải

O


Chọn B
uu
r uu
r ur uur
F1 + F2 = F = OA
uu
r uu
r
F1 + F2 = OA = 100 3

Ví dụ 2: Cho hai lực
của hai lực
đó là

uu
r
F1

và

uu
r
F2

uu
r
F1

và

uu
r
F2

có điểm đặt O vuông góc với nhau. Cường độ

lần lượt là 80N ,60N . Cường độ tổng hợp lực của hai lực

A. 100N

B. 100 3N

C. 50N

D. 50 3N

Lời giải
Chọn A
uu

r uu
r ur uur
F1 + F2 = F = OA
uu
r uu
r
F1 + F2 = OA = F12 + F22 = 100

uu
r

O

uu
r

0
Ví dụ 3: Cho hai lực F1 và F2 có điểm đặt O hợp với nhau một góc 120 .

Cường độ của hai lực
đó là
A. 100N

uu
r
F1

và

uu

r
F2

đều là 50N . Cường độ tổng hợp lực của hai lực

B. 100 3N

C. 50N

D. 50 3N

Lời giải
Chọn C.
uu
r uu
r uur uur uuu
r
F1 + F2 = OA +OB = OD
uu
r uu
r
F1 + F2 = OD = 50

Vì D OAD là tam giác đều cạnh 50N .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

O

Câu 1: Cho ba lực

uur uuur uur uuur uu
r uuuur
F1  MA, F2  MB, F3  MC

điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của

�
AMB  600 . Khi đó cường độ lực của

A. 50 2 N .

uur
F3

cùng tác động vào một vật tại

uur uur
F1 , F2

đều bằng 100N và

là:

B. 50 3 N .

C. 25 3 N .

D. 100 3 N .

ur uuur ur uuur ur uuuur
Câu 2: Cho ba lực F 1  MA, F 2  MB, F 3  MC cùng tác động vào một vật tại
ur ur
điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của F 1 , F 2 đều bằng 50N và góc
uur
�
AMB  600 . Khi đó cường độ lực của F3 là:

A.100 3 N .

B. 25 3 N .
D. 50 2 N .

C. 50 3 N .