Giá trị trung bình với hàm tùy ý và một số lớp hàm lồi liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ HƢƠNG

GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VỚI HÀM TÙY Ý
VÀ MỘT SỐ LỚP HÀM LỒI LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ HƢƠNG

GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VỚI HÀM TÙY Ý
VÀ MỘT SỐ LỚP HÀM LỒI LIÊN QUAN
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
(Xác nhận)

PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy

THÁI NGUYÊN - 2018


iii

Mục lục
Bảng ký hiệu

1

Mở đầu

3

Chương 1. Một số giá trị trung bình sơ cấp

5

1.1

Một số giá trị trung bình sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1
1.1.2

1.2

Giá trị trung bình thông thường . . . . . . . . . . . 5
Trung bình có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Một số tính chất của trung bình Mr (a) . . . . . . . 7

Hàm so sánh được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1
1.2.2

Bất đẳng thức thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . 9
Một số hàm so sánh được . . . . . . . . . . . . . . 13

Chương 2. Giá trị trung bình với hàm tùy ý và một số lớp
hàm lồi liên quan
18
2.1

2.2

2.3

Tính chất đặc trưng của giá trị trung bình . . . . . . . . . 18
2.1.1 Các giá trị trung bình tương đương . . . . . . . . . 20
2.1.2 Tính chất đặc trưng của giá trị trung bình Mr . . 21
Một số lớp hàm lồi liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1
2.2.2

Hàm lồi liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Hàm lồi hai lần khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.3

Hàm lồi nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Một số dạng toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1 Mở rộng bất đẳng thức H¨older . . . . . . . . . . . . 37
2.3.2

Mở rộng bất đẳng thức Minkowski . . . . . . . . . 39


iv

Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

44


1

Bảng ký hiệu
N∗

tập các số tự nhiên dương

(a)
Mr (a)

dãy các số thực
trung bình bậc r

A(a)
G(a)

trung bình cộng
trung bình nhân


3

Mở đầu
Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt quan trọng trong toán học không chỉ
như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một
công cụ đắc lực của các mô hình toán học liên tục cũng như các mô
hình toán học rời rạc trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý
thuyết biểu diễn v.v. . . Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia,
thi Olympic Toán khu vực và quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên giữa
các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến bất đẳng
thức hay được đề cập và thường thuộc loại khó hoặc rất khó. Các bài
toán về ước lượng và tính giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) của các tổng,
tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một số biểu thức cho
trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các tính toán, ước lượng (bất
đẳng thức) tương ứng.
Trong bất đẳng thức, thứ tự sắp xếp giữa các đại lượng trung bình
của bộ số thực dương đóng một vai trò quan trọng trong việc so sánh
giá trị giữa các đại lượng trung bình đó. Ngoài thứ tự sắp xếp của một
số đại lượng trung bình thông thường như trung bình cộng, trung bình
nhân, trung bình điều hòa v.v. . . , người ta còn quan tâm đến giá trị
trung bình với hàm tùy ý và một số lớp hàm lồi liên quan.
Mục đích của luận văn nhằm khảo sát các tính chất của giá trị trung

bình với hàm tùy ý và một số lớp hàm lồi liên quan.
Nội dung của đề tài luận văn được trình bày trong 2 chương. Chương
1 "Một số giá trị trung bình sơ cấp": trình bày các kiến thức về giá
trị trung bình thông thường, định lý về trung bình cộng và trung bình
nhân, một số tính chất của trung bình. Các kiến thức của chương này
được viết trên cơ sở tổng hợp từ các tài liệu [1] và [2]. Chương 2 "Giá


4

trị trung bình với hàm tùy ý và một số lớp hàm lồi liên quan": trình
bày tính chất đặc trưng của giá trị trung bình với hàm tùy ý và một số
lớp hàm lồi liên quan. Các kiến thức của chương này được viết trên cơ
sở các tài liệu [1], [2], [3] và [4].
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học – Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Nguyễn Thị Thu
Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Khoa học
– Đại học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ
và động viên của các thầy cô của khoa Toán - Tin và các thầy cô trong
trường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Bạch
Đằng, Thủy Nguyên, Hải Phòng và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo
điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học.
Xin cảm ơn các anh chị học viên lớp Cao học Toán K10B1 và bạn bè
đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình
học tập và làm luận văn tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái
Nguyên.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hương


5

Chương 1

Một số giá trị trung bình sơ cấp
Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất của giá trị trung
bình sơ cấp. Các kiến thức của chương này được tham khảo từ các tài
liệu [1] và [2].

1.1

Một số giá trị trung bình sơ cấp

Mục này trình bày các kiến thức về: giá trị trung bình thông thường,
định lý về trung bình cộng và trung bình nhân, một số tính chất của
trung bình.
1.1.1

Giá trị trung bình thông thường

Giả sử n ∈ N∗ . Xét tập dãy các số dương
(a) := (a1 , a2 , . . . , ai , . . . , an );
(b) := (b1 , b2 , . . . , bi , . . . , bn ).
Ký hiệu dãy không là dãy gồm toàn số 0, nghĩa là (0) := (0, 0, . . . , 0).
Định nghĩa 1.1.1 Ta nói dãy (a) tỷ lệ với dãy (b) nếu tồn tại hai số α
và β không đồng thời bằng 0 sao cho

αai = βbi

(i = 1, 2, . . . , n).

Nhận xét 1.1.2 (i) Từ định nghĩa này ta thấy dãy (0) tỷ lệ với mọi
dãy (a).


6

(ii) Nếu hai dãy (a) và (b) tỷ lệ và cả hai dãy đều khác dãy (0) thì bi = 0
nếu ai = 0.
Sau đây là định nghĩa về trung bình bậc r với r = 0 là một số thực
cho trước.
Định nghĩa 1.1.3 Tổng Mr (a) được định nghĩa bởi:
1
Mr (a) :=
n

n

ari

1/r

,

(1.1)

i=1

được gọi là một trung bình bậc r, ở đây (a) := (a1 , a2 , . . . , an ) là một
dãy gồm n số không âm.
Nếu đặt
A(a) := M1 (a)

(1.2)

H(a) := M−1 (a)

(1.3)

và
G(a) :=

√
n

a1 a2 . . . an ,

(1.4)

thay tương ứng vào công thức (1.1), ta nhận được trung bình cộng thông
thường
n
1
A(a) =
ai ,
n i=1
trung bình điều hòa

1
H(a) =
n

n

a−1
i

−1

i=1

và trung bình nhân G(a) tương ứng.
1.1.2

Trung bình có trọng

Giả sử
pi > 0 (i = 1, . . . , n)

(1.5)


7

và đặt
n

Mr = Mr (a) = Mr (a, p) =

i=1
n

pi ari

1/r

,

(1.6)

pi
i=1

Mr = 0 (r < 0 và một số số a = 0)

(1.7)

và
n

ap11 ap22

G = G(a) = G(a, p) =

. . . apnn

1/

pi
i=1

.

(1.8)

Vì trung bình là hàm thuần nhất bậc không đối với p, nên không làm
n

pi = 1. Khi đó ta sẽ viết qi thay cho pi

mất tính tổng quát ta giả sử
i=1

như sau:
n

qi ari

Mr (a) = Mr (a, p) =

n

1/r

qi = 1

i=1

(1.9)

i=1

và
n

G(a) = G(a, p) =

aq11 aq22

. . . aqnn

qi = 1 .

(1.10)

i=1

Định nghĩa 1.1.4 Xét các số thực r khác 0. Khi đó tổng Mr (a, p) xác
định theo công thức (1.9) được gọi là trung bình bậc r theo trọng (q).
Nhận xét 1.1.5 (i) Ứng với r = −1, r = 1 và r = 2 ta lần lượt nhận
được các trung bình điều hòa, trung bình cộng và trung bình bình
phương.
(ii) Trung bình có trọng trở thành trung bình thông thường khi pi = 1
với mọi i = 1, . . . , n.
1.1.3

Một số tính chất của trung bình Mr (a)

Để chứng minh các tính chất của trung bình Mr (a), ta cần sử dụng
bất đẳng thức sau đây.


8

Định lý 1.1.6 Giả sử (a), (b), . . . , (l) là m dãy, mỗi dãy gồm n số,
α, β, . . . , λ là các số dương với α + β + · · · + λ = 1. Khi đó,
n

n

aαi bβi

. . . liλ

<

n

α

ai

i=1

bi

i=1

n

β

...

λ

li

i=1

,

i=1

trừ các trường hợp
(1) hoặc tất cả các dãy (a), (b), . . . , (l) tỷ lệ,
(2) hoặc có dù chỉ một trong các dãy đó là dãy (0).
Tính chất 1.1.7 (i) Nếu 0 < r < s thì
Mr (a) < Ms (a),

(1.11)

trừ trường hợp tất cả các phần tử của dãy (a) bằng nhau.
(ii) Nếu 0 < r < s < t thì
Ms (a)s < (Mr (a)r )(t−s)/(t−r) (Mtt (a))(s−r)/(t−r) .

(1.12)

Chứng minh. (i) Đặt r = sα và pas = u, p = v. Khi đó 0 < α < 1,
v > 0 và pasα = (pas )α p1−α = uα v 1−α . Sử dụng Định lý 1.1.6 ta nhận
được
n

n

uαi vi1−α

n

α

<

1−α

ui
i=1

i=1

vi

,

(1.13)

i=1

trừ trường hợp ui /vi không phụ thuộc vào i, tức là khi ai không phụ
thuộc vào i. Vì vậy,
n
sα
i=1 pi ai
n
i=1 pi

1/sα

n
s
i=1 pi ai
n
i=1 pi

<

1/s

.

(ii) Đặt s = rα + t(1 − α), (0 < α < 1). Khi đó bất đẳng thức (1.12) có
dạng
n

qi asi
i=1

qi ari

<
i=1

α

n

qi ati

1−α

,

i=1

và đặt u = qar , v = qat ta đưa được về trường hợp riêng của Định lý
1.1.6. Điều kiện để xảy ra dấu bằng là các dãy (u) và (v) là tỷ lệ.
Nhận xét 1.1.8 Tính chất (1.11) vẫn đúng trong trường hợp r, s bất
kỳ thỏa mãn r < s (xem Định lý 5, Định lý 6 trong [1]).


9

1.2

Hàm so sánh được

Mục này trình bày các kiến thức về bất đẳng thức thuần nhất và một
số hàm so sánh được.

1.2.1

Bất đẳng thức thuần nhất

Định lý 1.2.1 Với hai dãy số thực (a) và (b) ta có
n

2

ai bi

n

n

≤

i=1

b2i .

a2i
i=1

(1.14)

i=1

Bất đẳng thức này đúng với mọi giá trị thực a1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bn .
Ta cũng gọi a1 , . . . , an , b1 . . . , bn là những biến của bất đẳng thức. Cả

hai vế của bất đẳng thức (1.14) là các hàm thuần nhất bậc hai của (a)
và (b).
Định lý 1.2.2 Giả sử k = 0, k = 1 và k liên hợp với k, tức là 1/k +
1/k = 1. Khi đó,
n

n

aki

ai bi <
i=1

1/k

i=1

n

bki

1/k

,

k>1

(1.15)

,

k<1

(1.16)

i=1

trừ trường hợp các dãy (ak ) và (bk ) tỷ lệ và
n

n

aki

ai bi >
i=1

i=1

1/k

n

bki

1/k

i=1

trừ trường hợp các dãy (ak ) và (bk ) tỷ lệ hoặc dãy (ab) là dãy (0).

Bất đẳng thức Cauchy ở Định lý 1.2.1 là trường hợp riêng của Định lý
1.2.2 khi k = k = 2, ở đây k liên hợp với chính nó.
Chứng minh. (i) Giả sử k > 1, lúc đó (1.15) là trường hợp riêng của
Định lý 1.1.6 với hai dãy và α = 1/k, β = 1/k . Trường hợp này là dạng
thông thường của bất đẳng thức H¨older.
(ii) Bây giờ giả sử 0 < k < 1, do đó k < 0. Nếu một trong các phần
tử của dãy (b) bằng không thì thừa số thứ hai trong vế phải của (1.16)
phải coi là bằng không, do đó (1.16) đúng nếu dãy (ab) khác dãy (0).


10

Nếu mỗi phần tử trong dãy (b) dương, ta xác định l, u, v bằng các đẳng
thức
l=

1
k

do đó l > 1, k = −kl

và
u = (ab)k , v = b−k

do đó ab = ul ak = uv, bk = v l .

Khi đó (1.16) trở về (1.15) với u, v, l thay cho a, b, k.
(iii) Nếu k < 0 thì 0 < k < 1. Trường hợp này được đưa về (ii) bằng
cách đổi chỗ (a) và (b), k và k . Cả (ii) và (iii) đều nằm trong (1.16).
Sau đây là định nghĩa và một số tính chất của tổng Sr (a) với r > 0

là một số thực tùy ý.
Định nghĩa 1.2.3 Tổng Sr (a) được xác định bởi
n

ari

Sr (a) :=

1/r

i=1

với r > 0 là một số thực tùy ý được gọi là tổng bậc r của bộ số (a).
Tổng bậc r của bộ số (a) có các tính chất sau đây.
Tính chất 1.2.4 (i) Nếu 0 < r < s < t thì
Sss (a) < Srr (a)

(t−s)/(t−r)

Stt (a)

(s−r)/(t−r)

(1.17)

trừ trường hợp tất cả các phần tử của dãy (a) khác không bằng nhau.
(ii) Nếu 0 < r < s thì
Ss (a) < Sr (a)

(1.18)

trừ trường hợp có duy nhất một phần tử của dãy (a) khác không.
Nhận xét 1.2.5 (i) Tính chất 1.2.4(i) chính là Tính chất 1.1.7(ii).
Thật vậy,
Sr (a) = n1/r Mr (a),

(1.19)

trong đó trung bình Mr (a) được thành lập với trọng đơn vị và (1.17)
đưa về (1.12).


11

(ii) Tính thuần nhất đối với dấu

của (1.12) và (1.17) giải thích sự

tương ứng giữa Tính chất 1.1.7(ii) và Tính chất 1.2.4(i). Ứng với
Tính chất 1.1.7 ta có Tính chất 1.2.4(ii) đối với tổng nhưng với dấu
bất đẳng thức ngược lại. Do (1.18) thuần nhất theo (a), ta có thể
giả sử ni=1 ari = 1 tức là Sr (a) = 12 . Khi đó, ai ≤ 1 với mỗi i, do
vậy asi ≤ ari và
n

n

asi
i=1

ari = 1.

≤
i=1

Nếu có hơn một phần tử của dãy (a) dương thì sẽ có ít nhất một
phần tử của dãy (a) nhỏ hơn 1, khi đó ta có dấu bất đẳng thức.
Tính đơn điệu của tổng Sr (a) được nêu trong đinh lý dưới đây.
Định lý 1.2.6 Với mỗi bộ n số dương (x), tổng Sr (x) nghịch biến trong
các khoảng (−∞, 0) và (0, +∞). Ngoài ra,
lim Sr (x) = min{xi ; i = 1, 2, . . . , n}

r→−∞

và
lim Sr (x) = max{xi ; i = 1, 2, . . . , n}.

r→+∞

Chứng minh. Vì Sr (x) khả vi trong các khoảng (−∞, 0) và (0, +∞),
nên ta kiểm tra tính đơn điệu bằng cách tính đạo hàm và xét dấu của
nó trong các khoảng tương ứng. Sử dụng đẳng thức
n

xri

r ln Sr (x) =
i=1

để tính đạo hàm hai vế theo r, ta suy ra kết luận của định lý.

Định lý 1.2.7 Với mỗi bộ n số dương (a), hàm số f (r) := r ln Sr (a) là
một hàm lồi theo r.
Chứng minh. Chứng minh được suy ra từ tính chất lồi của hàm số
F (r) := r ln Mr (a, α). Thật vậy, vì F (r) là hàm khả vi, nên ta kiểm tra
tính lồi trực tiếp thông qua tính đạo hàm của hàm số
n

αi ari .

g(r) = ln
i=1


12

Ta có
n

g (r) =

i=1

αi ari ln ai
,

n
i=1
n

g (r) =

i=1

αi ari
n

αi ari

i=1

αi ari (ln ai )2
n
i=1

αi ari

n

−
i=1

αi ari ln ai

2

.

2

Theo bất đẳng thức Cauchy, thì

n

n

αi ari
i=1

nên kéo theo g (r)

n

αi ari (ln ai )2

αi ari ln ai

−

i=1

2

0,

i=1

0.

Tương tự, ta có thể kiểm tra được tính lồi của các hàm số g1 (r) :=
Sr (a) và g2 (r) := ln Sr (a) trong (0, +∞).
Từ đây, ta thu được hệ quả sau.

Hệ quả 1.2.8 Với mỗi bộ n số dương (a) và bộ số dương (α), xét bộ số
(h) = (h1 , h2 , . . . , hn ) sao cho tổng
α1 h1 + α2 h2 + · · · + αn hn = M
không đổi. Khi đó

n

αi Shαii (x)

SM (a).

i=1

Hệ quả 1.2.9 Với mỗi bộ n số dương (a) và bộ số dương (α), xét bộ số
(h) = (h1 , h2 , . . . , hn ) sao cho tổng
α1 h1 + α2 h2 + · · · + αn hn = M
không đổi. Khi đó

n

Shαii (a)
i=1

SM (a).


13

1.2.2

Một số hàm so sánh được

Mục này giới thiệu về hàm so sánh được và trình bày điều kiện về
tính so sánh được của hàm tổng.
Định nghĩa 1.2.10 Ta nói các hàm
f (a) = f (a1 , a2 , . . . , an ),

g(a) = g(a1 , a2 , . . . , an )

là so sánh được nếu giữa hai hàm ấy có một bất đẳng thức đúng với mọi
giá trị thực và không âm của dãy (a).
Chú ý 1.2.11 (i) Hai hàm cho trước, nói chung là không so sánh được.
Chẳng hạn hai đa thức thuần nhất dương bậc khác nhau là không
so sánh được.
(ii) Định nghĩa này có thể mở rộng cho các hàm f (a, b, . . . ) phụ thuộc
nhiều dãy biến.
Sau đây ta xét tính so sánh được của một số hàm số. Trước hết, trung
bình cộng và trung bình nhân của dãy (a) là so sánh được. Ta có định
lý sau đây.
Định lý 1.2.12 Ta luôn có G(a) ≤ A(a).
Chứng minh. Bất đẳng thức phải chứng minh có thể được viết lại dưới
một trong hai dạng sau:
p1 a1 + · · · + pn an p1 +···+pn
ap11 . . . apnn <
(1.20)
p1 + · · · + p n
hay

n

aq11

. . . anqn

<

n

qi ai ,

qi = 1 .

i=1

(1.21)

i=1

Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ, ta có biểu diễn
a1 + a2 2
a1 − a2 2
a1 + a2
−
≤
a1 a2 =
2
2
2

2

.

Dấu đẳng thức ở bất đẳng thức sau xảy ra khi a1 = a2 . Mở rộng kết quả
này ta nhận được:
a1 a2 a3 a4 ≤

a1 + a2
2

2

a3 + a4
2

2

≤

a1 + a2 + a3 + a4
4

4

.


14

Dấu bất đẳng thức thật sự sẽ xảy ra ở một trong các trường hợp a1 , a2 ,

a3 , a4 không đồng thời bằng nhau. Tiếp tục mở rộng bất đẳng thức này
cho a1 , a2 , . . . , a2m , ta được:
a1 . . . a

2m

a1 + · · · + a2m
≤
2m

2m

.

(1.22)

Dấu đẳng thức xảy ra khi tất cả các số ai bằng nhau. Đây chính là bất
đẳng thức (1.20) với trọng đơn vị và n = 2m .
Bây giờ ta giả sử n là một số bất kỳ nhỏ hơn 2m . Đặt
b1 = a1 , . . . , bn = an
a1 + · · · + an
bn+1 = . . . = b2m =
=A
n
và áp dụng (1.22) cho dãy (b), ta nhận được
2m −n

a1 a2 . . . an .A

b1 + · · · + b2m

<
2m

2m

nA + (2m − n)A
=
2m

2m

m

= A2

hay
a1 . . . an < An
trừ trường hợp tất cả các phần tử của dãy (b) bằng nhau và vì thế tất
cả các phần tử của dãy (a) bằng nhau. Đây là bất đẳng thức (1.20) với
trọng đơn vị.
Thứ hai, hàm G(a + b) và hàm G(a) + G(b) là so sánh được. Đó là nội
dung của định lý sau.
Định lý 1.2.13 Giả sử (a), (b), . . . , (l) là m dãy, mỗi dãy gồm n số.
Khi đó,
G(a) + G(b) + · · · + G(l) < G(a + b + · · · + l),
trừ các trường hợp
(1) hoặc là mỗi cặp bất kỳ trong các dãy (a), (b), . . . , (l) tỷ lệ,
(2) hoặc là tồn tại số i sao cho ai = bi = · · · = li = 0.

(1.23)

15
n

qi = 1 thì

Định lý khẳng định rằng nếu
i=1

aq11 aq22 . . . aqnn + bq11 bq22 . . . bqnn + · · · + l1q1 l2q2 . . . lnqn
< (a1 + b1 + · · · + l1 )q1 (a2 + b2 + · · · + l2 )q2 · · · (an + bn + · · · + ln )qn
trừ các trường hợp hai cột bất kỳ trong bảng
a1 ,

b1 , . . . , l 1

a2 , b2 , . . . , l2
..., ..., ..., ...
an ,

bn , . . . , ln

tỷ lệ hay khi một hàng gồm toàn số không. Điều kiện cần và đủ để tất
cả các cột tỷ lệ (tức là mọi cặp cột của bảng tỷ lệ) là hệ các đẳng thức:
aj bi − ai bj = 0,
aj ci − ai cj = 0,
...
với mọi j và i. Đây cũng là điều kiện cần và đủ để tất cả các hàng tỷ lệ.
Nếu trong Định lý 1.1.6 ta thay các dãy (a), (b), . . . , (l) bằng (qar/α ),

(qbr/β ), . . . , (qlr/λ ) thì ta nhận được định lý so sánh sau đây.
Định lý 1.2.14 Giả sử (a), (b), . . . , (l) là m dãy, mỗi dãy gồm n số,
r, α, β, . . . , λ là các số dương với α + β + · · · + λ = 1. Khi đó,
Mr (ab . . . ) < Mr/α (a)Mr/β (b) . . . Mr/λ (l)
trừ các trường hợp
(1) hoặc các dãy (a1/α ), (b1/β ), . . . , (l1/λ ) tỷ lệ,
(2) hoặc một trong các thừa số của vế phải bằng không.
Đối với r < 0 thì có bất đẳng thức ngược lại.
Sau đây là một mở rộng của Định lý 1.2.13.


16

Định lý 1.2.15 Giả sử (a), (b), . . . , (l) là m dãy, mỗi dãy gồm n số,
r hữu hạn khác 1. Khi đó,
Mr (a) + Mr (b) + · · · + Mr (l) < Mr (a + b + · · · + l),

r < 1 (1.24)

Mr (a) + Mr (b) + · · · + Mr (l) > Mr (a + b + · · · + l),

r > 1 (1.25)

trừ các trường hợp
(1) hoặc là mỗi cặp bất kỳ trong các dãy (a), (b), . . . , (l) tỷ lệ,
(2) hoặc là r ≤ 0 và tồn tại số i sao cho ai = bi = · · · = li = 0.
Chú ý, nếu r = 1 thì đẳng thức nghiệm đúng với mọi dãy (a), (b) . . . .
Định lý 1.2.13 là trường hợp riêng của Định lý 1.2.15 khi r = 0.
Chứng minh. Lấy trung bình với trọng (q) và đặt
a + b + · · · + l = s,

Mr (s) = S.

Khi đó,
n
r

s =

qi ai sr−1
i

=

i=1
n

n

n

n

qi sri

qi bi sr−1
i

+

i=1

i=1

i=1

n
1/r

1/r

1/r

(qi ai )(qi si )r−1 + · · · +

=

qi li sr−1
i

+ ··· +

i=1

1/r

(qi li )(qi si )r−1 .
i=1

Trước hết, ta giả sử r > 1. Áp dụng (1.15) của Định lý 1.2.2 cho mỗi

tổng ở vế phải ta nhận được
n
r

qi ari

S ≤
i=1

1/r

n

qi sri
i=1

1/r

n

+ ··· = S

r−1

qi ari

1/r

+ ... .

i=1

(1.26)
Đẳng thức xảy ra khi tất cả các dãy (qar ), (qbr ) . . . tỷ lệ với (qsr ), tức
là khi các dãy (a), (b) tỷ lệ. Vì S dương nên từ (1.26) suy ra (1.25).
Bây giờ giả sử 0 < r < 1. Nếu không phải tất cả các dãy (a), (b),
. . . là dãy (0) thì si > 0 với i nào đó. Nếu si = 0 với một giá trị cụ thể
nào đó của i thì ai = bi = · · · = li = 0 và ta có thể loại giá trị i ấy. Vậy
ta có thể xem như tất cả các si > 0. Với giả thiết này (1.16) của Định
lý 1.2.2 cho ta bất đẳng thức (1.26) với dấu bất đẳng thức ngược lại.


17

Cuối cùng, giả sử r < 0. Nếu một si nào đó bằng 0 thì tất cả trung
bình bằng không. Do đó, ta có thể giả sử si > 0 với mọi i. Nếu một ai
nào đó bằng không thì Mr (a) = 0 và ta có thể bỏ chữ a. Do đó, ta có
thể giả thiết mọi dãy (a), (b) . . . dương và khi đó kết luận của định lý
được suy ra từ (1.16) của Định lý 1.2.2.


18

Chương 2

Giá trị trung bình với hàm tùy ý
và một số lớp hàm lồi liên quan
Chương này trình bày tính chất đặc trưng của giá trị trung bình với
hàm tùy ý và một số lớp hàm lồi liên quan. Các kiến thức của chương
này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3] và [4].

2.1

Tính chất đặc trưng của giá trị trung bình

Mục này giới thiệu các giá trị trung bình xác định với hàm tùy ý
Mϕ (a) với hàm ϕ cho trước, tính tương đương của giá trị trung bình
với hàm tùy ý, một tính chất đặc trưng của giá trị trung bình Mr (a) và
tính so sánh được.
Để tiện cho việc trình bày, trong chương này ta sẽ viết
n
i=1 ai ,

a thay cho

chẳng hạn
2

ab

≤

a2

b2

(2.1)

để chỉ bất đẳng thức (1.14).
Trước hết ta có định nghĩa sau đây về giá trị trung bình với hàm tùy

ý.
Định nghĩa 2.1.1 Các giá trị trung bình Mr (a) và G(a) có dạng
Mϕ (a) = ϕ−1

qϕ(a)

(2.2)


19

trong đó ϕ(x) tương ứng là
xr , log x
còn ϕ−1 (x) là hàm ngược của ϕ(x).
Định lý 2.1.2 Nếu
(i) Hàm ϕ(x) liên tục và đơn điệu thực sự trong khoảng A ≤ x ≤ B,
(ii) A ≤ ai ≤ B (i = 1, 2, . . . , n),
(iii) qi > 0,

n
i=1 qi

=1

thì
(1) tồn tại một và chỉ một M trong khoảng (A, B) sao cho
ϕ(M) =

qφ(a);

(2.3)

(2) M lớn hơn vài số này và nhỏ hơn vài số kia của dãy (a) nếu tất cả
các phần tử của dãy (a) không đồng thời bằng nhau.
Chứng minh. Vì ϕ(x) liên tục và tăng hoặc giảm từ ϕ(A) đến ϕ(B)
khi x tăng từ A đến B, còn
qϕ(a) nằm ở giữa giới hạn đó nên tồn tại
đúng một M thỏa mãn (2.3). Hơn nữa
q (ϕ(M) − ϕ(a) = 0,
do đó một vài số hạng của tổng đó phải dương, còn một vài số hạng
khác phải âm, nếu tất cả các số hạng không đồng thời bằng không. Do
đó M − a có khi dương, có khi âm, nếu nó không luôn luôn bằng không.
Ta đã giả thiết rằng ϕ(x) liên tục trong khoảng đóng [A, B]. Lập luận
vẫn còn đúng khi ϕ(x) liên tục và tăng thực sự trong A < x < B, đồng
thời ϕ(x) → −∞ khi x → A và ϕ(x) → +∞ khi x → B, nếu xem ϕ(A)
và ϕ(B) tương ứng là −∞ và +∞ và cho M = A nếu
qϕ(a) = −∞
và M = B nếu
qϕ(a) = +∞. Ở đây có thể A = −∞ hoặc B = +∞;
trường hợp đặc biệt quan trọng là A = 0, B = +∞.
Trong định nghĩa dưới đây và hơn nữa, khi xét các tính chất của Mϕ
ta sẽ giả thiết rằng ϕ(x) liên tục và đơn điệu thực sự trong khoảng đóng
hoặc là có dáng điệu như vừa chỉ ra.


20

Ta viết
Mϕ = Mϕ (a) = Mϕ (a, q) = ϕ−1

qϕ(a) = ϕ−1 {A[ϕ(a)]}. (2.4)

Trọng lượng (q) là số dương tùy ý với tổng bằng đơn vị và khi ta so sánh
hai giá trị trung bình, ta giả thiết rằng chúng được xây dựng với cùng
một hệ trọng lượng. Trong trường hợp ϕ(x) = x, log x và xr , Mϕ tương
ứng là A, G và Mr .
2.1.1

Các giá trị trung bình tương đương

Trong mục này ta xét giá trị trung bình Mψ (a) và Mχ (a) với hàm ψ
và χ cho trước và trình bày câu trả lời cho câu hỏi nếu Mψ = Mχ thì
có thể suy ra ψ đồng nhất với χ hay không?
Ta có định lý sau đây.
Định lý 2.1.3 Điều kiện cần và đủ của đẳng thức
Mψ (a) = Mχ (a)

(2.5)

χ = αψ + β

(2.6)

đối với tất cả a và q là

trong đó α và β là các hằng số và α = 0.
Chứng minh. Trong chứng minh này, ta giả thiết rằng các hàm ψ và
χ liên tục trên đoạn [A, B].
(i) Nếu có điều kiện (2.6) thì
χ{Mχ (a)} =

=α

qχ(a) =

q αψ(a) + β

qψ(a) + β

= αψ Mψ (a) + β = χ Mψ (a)
và do đó Mψ = Mχ . Vậy điều kiện là đủ.
(ii) Để chứng minh tính cần của điều kiện, ta chỉ giả thiết rằng (2.5)
đúng đối với tất cả các dãy gồm hai biến và hai trọng lượng.


21

Trong (2.5) ta đặt
n = 2, a1 = A, a2 = B, q1 =

B−t
t−A
, q2 =
B−A
B−A

trong đó A < t < B. Khi đó
ϕ−1

t−B
t−B

A−t
A−t
ϕ(A) +
ϕ(A) = χ−1
χ(B) +
χ(A)
A−B
A−B
A−B
A−B
(2.7)

đối với A < t < B, điều đó cũng đúng với t = A và t = B. Nếu ta ký
hiệu x là giá trị chung của vế trái và vế phải thì khi t thay đổi từ A đến
B, x nhận tất cả các giá trị của đoạn [A, B] và
A−t
t−A
ϕ(B) +
ϕ(A) = ϕ(x),
A−B
A−B
t−B
ϕ(A) − ϕ(x)
ϕ(x) − ϕ(B)
A−t
χ(B) +
χ(A) =
χ(B) +
χ(A)
A−B

A−B
ϕ(A) − ϕ(B)
ϕ(A) − ϕ(B)
= αϕ(x) + β,
trong đó α và β không phụ thuộc vào x. Từ đó
x = χ−1 αψ(x) + β
đối với tất cả x trong [A, B]. Điều này trùng với (2.6). Vậy Định lý 2.1.3
được chứng minh.
2.1.2

Tính chất đặc trưng của giá trị trung bình Mr

Mục này so sánh tính chất đơn giản của trung bình Mr (a) ở Mục
1.1.3 với giá trị trung bình với hàm tùy ý Mϕ (a); Nêu tính so sánh
được của giá trị trung bình với hàm tùy ý cho trước trên cơ sở trả lời
câu hỏi: Giả sử hai hàm ψ và χ liên tục và đơn điệu ngặt trong khoảng
(A, B), khi đó các giá trị trung bình Mψ và Mχ có so sánh được không?
Định lý 2.1.4 Giả sử ϕ(x) liên tục trong khoảng mở (0, ∞) và giả sử
Mϕ (ka) = kMϕ (a)

(2.8)

đối với tất cả a, q, k dương. Khi đó Mϕ (a) = Mr (a). Nói cách khác
trung bình Mr là trung bình thuần nhất duy nhất của Mϕ .


22

Chứng minh. Rõ ràng (2.8) đúng khi ϕ = xr hoặc là log x. Bây giờ ta
giả sử rằng, đẳng thức (2.8) đúng và từ nó sẽ rút ra hàm ϕ. Theo Định

lý 2.1.3 ta có thể giả sử
ϕ(1) = 0

(2.9)

bởi vì ta có thể thay ϕ(x) bằng ϕ(x) − ϕ(1).
Ta viết lại (2.8) dưới dạng
Mϕ (a) = k −1 Mϕ (ka) = k −1

qϕ(ka) = Mψ (a),

trong đó ψ(x) = ϕ(kx). Từ Định lý 2.1.3 suy ra rằng
ϕ(kx) = α(k)ϕ(x) + β(k),

(2.10)

trong đó α(k) và β(k) là các hàm của k và α(k) = 0. Mặt khác, từ (2.9)
và (2.10) ta có
ϕ(k) = β(k).

(2.11)

Bây giờ khi thế giá trị β(k) vào (2.10) và khi thay k bằng y ta nhận
được
ϕ(xy) = α(y)ϕ(x) + ϕ(y)

(2.12)

đối với tất cả số dương x và y.
Tương tự

ϕ(xy) = α(x)ϕ(y) + ϕ(x)

(2.13)

và các công thức (2.12) và (2.13) cho ta
α(x) − 1 α(y) − 1
=
.
ϕ(x)
ϕ(y)
Từ đó suy ra rằng mỗi một trong các hàm đó bằng hằng số c, như thế
α(y) = 1 + cϕ(y). Bây giờ từ (2.12) rút ra
ϕ(xy) = cϕ(x)ϕ(y) + ϕ(x) + ϕ(y).
(1) Nếu c = 0 thì từ (2.14) dẫn đến phương trình cổ điển
ϕ(xy) = ϕ(x) + ϕ(y).
Nghiệm tổng quát liên tục đối với x > 0 là
ϕ = c log x.

(2.14)