Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song (NCKH)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐH KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ KINH DOANH
——————–o0o——————–

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CỦA MỘT SỐ VẤN ĐỀ
LẬP KẾ HOẠCH THỰC HIỆN TRÊN MÔ HÌNH MÁY ĐƠN
VÀ MÔ HÌNH MÁY SONG SONG
Mã số: ĐH2015–TN08-10

Chủ nhiệm đề tài: TS. Phạm Hồng Trường

THÁI NGUYÊN, 08/2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐH KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ KINH DOANH
——————–o0o——————–

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CỦA MỘT SỐ VẤN ĐỀ
LẬP KẾ HOẠCH THỰC HIỆN TRÊN MÔ HÌNH MÁY ĐƠN
VÀ MÔ HÌNH MÁY SONG SONG
Mã số: ĐH2015–TN08-10

Cơ quan chủ trì

Chủ nhiệm đề tài

TS. Phạm Hồng Trường

THÁI NGUYÊN, 08/2018


ii

Mục lục
Thành viên tham gia và đơn vị phối hợp

ii

Bảng ký hiệu

iv

Danh sách hình vẽ

v

Thông tin kết quả nghiên cứu

vi

Information on research results

ix

Mở đầu
Chương 1. Một số kiến thức cơ bản về bài toán lập lịch
1.1 Bài toán lập lịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Lời dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Phân loại các bài toán lập lịch . . . . . . . . . . . . .
1.2 Tìm lời giải của bài toán lập lịch . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Trình tự có thể thực hiện (trình tự khả thi) và trình
tự tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Trình tự thực hiện không trì hoãn và trình tự thực
hiện trì hoãn được . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Sơ lược thuật toán và độ phức tạp của bài toán lập lịch

1
4
4
4
5
9
11
11
11
12

Chương 2. Một dạng điều kiện cần cực trị của bài toán tối ưu 18
2.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động và bài toán
cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

iii

2.2.1

2.3

Bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn
chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach và
bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Bài toán cân bằng trong không gian Hilbert . . . . .
Một số phương pháp giải bất đẳng thức biến phân . . . . . .
2.3.1 Phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Phương pháp lai ghép . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 3. Điều kiện tối ưu của một số bài toán lập biểu trên
mô hình máy đơn, mô hình máy song song
3.1 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian
hoàn thành thực hiện các công việc tương đương nhau trên
mô hình máy đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực
hiện các công việc tương đương nhau trên mô hình
máy đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng thời
gian hoàn thành thực hiện các công việc tương đương
nhau trên mô hình máy đơn . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian
hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số khác nhau
trên mô hình máy đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực

hiện các công việc có trọng số khác nhau trên mô hình
máy đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng thời
gian hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số
khác nhau trên mô hình máy đơn . . . . . . . . . . .
3.3 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa thời gian trễ tối
đa của các công việc có thời gian đến như nhau trên mô hình
máy đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Bài toán tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của các
công việc có thời gian đến như nhau trên mô hình
máy đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21
22
23
24
24
34

36

38

38

39

41

41

42

44

44


3.3.2

3.4

3.5

3.6

Điều kiện đủ để bài toán tối thiểu hóa thời gian trễ
tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau
trên mô hình máy đơn là tối ưu . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Điều kiện cần và đủ của bài toán tối thiểu hóa thời
gian trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như
nhau trên mô hình máy đơn . . . . . . . . . . . . . .
Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa thời gian thực
hiện tối đa của công việc trên mô hình máy đơn với thời gian
tham gia vào quá trình thực hiện bất kì . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Bài toán tối thiểu hóa thời gian thực hiện tối đa của
công việc trên mô hình máy đơn với thời gian tham
gia vào quá trình thực hiện bất kì . . . . . . . . . . .
3.4.2 Điều kiện cần và đủ của bài toán tối thiểu hóa thời
gian thực hiện tối đa của công việc trên mô hình máy

đơn với thời gian tham gia vào quá trình thực hiện
bất kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng các công
việc trễ trên mô hình máy đơn . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Bài toán tối thiểu hóa tổng các công việc trễ trên mô
hình máy đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Điều kiện cần và đủ của bài toán tối thiểu hóa tổng
các công việc trễ trên mô hình máy đơn . . . . . . .
Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian
hoàn thành các công việc trên mô hình các máy sản xuất
song song đồng tốc độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành các
công việc trên mô hình các máy sản xuất song song
đồng tốc độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng thời
gian hoàn thành các công việc trên mô hình các máy
sản xuất song song đồng tốc độ . . . . . . . . . . . .

45

45

47

47

48
50
50
51

55

55

56

Kết luận

61

Tài liệu tham khảo

62


ii

Thành viên tham gia và đơn vị phối hợp
I. Những thành viên tham gia nghiên cứu đề tài
1. PGS. TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, Trường ĐH Khoa học – Đại học Thái Nguyên
2. TS. Nguyễn Văn Minh, Trường ĐH Kinh tế & QTKD - Đại học Thái Nguyên
3. ThS-GVC. Nguyễn Thị Thu Hường, Trường ĐH Kinh tế & QTKD – Đại học Thái
Nguyên
4. ThS-GVC. Trần Thị Mai, Trường ĐH Kinh tế & QTKD – Đại học Thái Nguyên
II. Đơn vị phối hợp chính
1. Department of Mathematics, East China University of Science and Technology, Shanghai, China
2. Department of Mathematics, Luoyang Teachers Education University, Luoyang, Henan,
China
3. School of Mathematical Science, Guangxi Teachers Education University, Nanning,

Guangxi, China


Mục lục


iv

Bảng ký hiệu
Tj
T = {T1 , T2 , . . . , Tn }
hoặc J = {J1 , J2 , . . . , Jn }
P = {P1 , P2 , . . . , Pn }
hoặc M = {M1 , M2 , . . . , Mn }
p
r
d
w
Cj
Cj
wj Cj
Cmax
Lj
Lmax
Uj
Uj
PT
SPT
WSPT
EDD

EST

Công việc thứ j
Tập hợp các nhiệm vụ
Tập hợp các máy xử lý
Thời gian thực hiện
Thời gian đến
Kỳ hạn
Trọng số
Thời gian hoàn thành thực hiện công việc Tj
Tổng thời gian hoàn thành thực hiện
các công việc tương đương
Tổng thời gian hoàn thành của các công việc
có trọng số khác nhau
Độ dài thời gian thực hiện
Thời gian chậm trễ của nhiệm vụ Tj
Thời gian trễ tối đa của các công việc
Đơn vị phạt của nhiệm vụ trễ hẹn Tj
Tổng các công việc trễ của các nhiệm vụ
tương đương
Processing Time
Shortest Processing Time first
Weighted Shortest Processing Time first
Earliest Due Date first
Earliest Start Time first


v

Danh sách hình vẽ

1.1
1.2

Ví dụ của đồ thị ràng buộc ưu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ví dụ của đồ thị ràng buộc ưu tiên. (a) dạng xích; (b) dạng cây nhập; (c)
dạng cây xuất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Trình tự tối ưu của Ví dụ 1.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Sơ đồ Grant Charts của Ví dụ 1.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Trình tự khả thi của Ví dụ 1.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Quan hệ tổng quát hóa của một số bài toán lập lịch dựa theo điều kiện của
máy xử lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Quan hệ tổng quát hóa của một số bài toán lập lịch dựa theo điều kiện ràng
buộc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Quan hệ tổng quát hóa của một số bài toán lập lịch dựa theo điều kiện
hàm mục tiêu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Mối quan hệ giữa một số bài toán độ dài thời gian biểu tối đa. . . . . . . .
1.10 Mối quan hệ giữa một số bài toán trễ tối đa. . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
8
11
11
12
15
15
16
16
16

vi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ KINH DOANH

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên
mô hình máy đơn và mô hình máy song song
- Mã số: ĐH2015–TN08-10
- Chủ nhiệm: TS. Phạm Hồng Trường
- Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Kinh tế & Quản trị kinh doanh – Đại học Thái
Nguyên
- Thời gian thực hiện: Từ tháng 09 năm 2015 đến tháng 09 năm 2017
2. Mục tiêu: Tìm điều kiện cần và đủ đối với vấn đề tối ưu của một số bài toán lập lịch
điển hình trên mô hình máy sản xuất đơn và mô hình máy sản xuất song song dưới đây
• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc tương đương nhau
trên mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số khác
nhau trên mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau trên
mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa tổng các công việc trễ trên mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa thời gian thực hiện tối đa của công việc trên mô hình máy đơn với thời
gian tham gia vào quá trình thực hiện bất kì.
• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành các công việc trên mô hình các máy sản xuất
song song đồng tốc độ.
3. Tính mới và sáng tạo: Đề tài đã tập trung nghiên cứu và tìm ra điều kiện cần và đủ
đối với vấn đề tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện điển hình trên mô hình
máy sản xuất đơn và hình máy sản xuất song song theo mục tiêu đặt ra đối với đề tài. Cụ

thể, đề tài đã nghiên cứu và tìm ra điều kiện cần và đủ đối với vấn đề tối ưu của một số
vấn đề lập kế hoạch thực hiện sau đây:
• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc tương đương nhau
trên mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số khác
nhau trên mô hình máy đơn.


vii

• Tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau trên
mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa tổng các công việc trễ trên mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa thời gian thực hiện tối đa của công việc trên mô hình máy đơn với thời
gian tham gia vào quá trình thực hiện bất kì.
• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành các công việc trên mô hình các máy sản xuất
song song đồng tốc độ.
4. Kết quả nghiên cứu: Đề tài đã mang lại nhiều lợi ích cho chủ nhiệm đề tài và tổ chức
chủ trì. Nó đã giúp chủ nhiệm đề tài xuất bản 06 bài báo, hướng dẫn và bảo vệ thành công
06 học viên cao học. Đề tài đã nghiên cứu và tìm ra điều kiện cần và đủ đối với vấn đề tối
ưu của một số vấn đề lập kế hoạch trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.
5. Sản phẩm:
5.1. Sản phẩm khoa học:
- Bài báo đăng tạp chí trong nước (0,5 điểm do hội đồng chức danh Giáo sư Nhà nước
quy định): 02.
(1) Phạm Hồng Trường, Nguyễn Việt Hưng, Nguyễn Quỳnh Hoa, Trần Đình Chúc (2016).
“Vấn đề tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành các công việc trên mô hình máy đơn”,
Tạp chí Khoa học & Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 159(14), tr. 71-74.
(2) Trần Thị Mai, Nguyễn Thị Thu Hường, Nguyễn Thị Thu Hằng, Phạm Hồng Trường
(2016). “Điều kiện tối ưu của bài toán cân bằng vectơ cho nghiệm hữu hiệu yếu và nghiệm

hữu hiệu Henig”, Tạp chí Khoa học & Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 159(14), tr.
175-179.
- Bài báo khoa học trên tạp chí chuyên ngành nước ngoài: 04.
(1) Hieu. P.T., Thuy. Ng.T.T. (2016), "Regularization methods for nonexpansive semigroups in Hilbert spaces", Vietnam J. Math. (SCOPUS, ESCI), 44(3), pp. 637-648.
(2) Thuy. Ng.T.T. (2015), "An iterative method for equilibrium, variational inequality and
fixed point problems for a nonexpansive semigroup in Hilbert spaces", Bull. Malays. Math.
Sci. Soc. (SCIE), 38(1), pp. 113–130.
(3) Buong. Ng., Ha. Ng.S., Thuy. Ng.T.T. (2016), "A new explicit iteration method for a
class of variational inequalities", Numerical Algorithms (SCIE), 72, pp. 467-481.
(4) Thuy. Ng.T.T., Hieu. P.T., J.J. Strodiot (2016), "Regularization methods for accretive
variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups",
Optimization (SCIE), 65(8), pp. 1553-1567.
5.2. Sản phẩm đào tạo: Hướng dẫn và bảo vệ thành công 06 luận văn thạc sĩ.
(1) Nguyễn Việt Hưng (2016), Một số vấn đề sắp xếp lập kế hoạch thực hiện tối ưu trên
mô hình máy đơn, Luận văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên.
(2) Nguyễn Thị Việt Hà (2016), Hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử đặt không
chỉnh: tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều, Luận văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường
Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.


viii

(3) Ngô Thùy Linh (2016), Bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng kinh tế, Luận
văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
(4) Nguyễn Thị Mỵ (2016), Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh
cho bài toán đặt không chỉnh, Luận văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên.
(5) Bùi Thị Kiều Trang (2016), Phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Krasnoselskij và
bài toán điểm bất động, Luận văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường Đại học Khoa học - Đại

học Thái Nguyên.
(6) Lê Thị Thanh Tâm (2016), Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt
không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điệu, Luận văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường
Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
6. Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại của
kết quả nghiên cứu:
- Kết quả nghiên cứu của đề tài tạo điều kiện để sinh viên và cán bộ giảng dạy Toán
trong Đại học Thái Nguyên được cập nhật với các vấn đề mang tính thời sự hiện nay trên
thế giới.
- Các kết quả trong đề tài sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho công tác nghiên cứu và
đào tạo ở trình độ Đại học và sau Đại học.
Ngày ... tháng 6 năm 2018
Tổ chức chủ trì
Chủ nhiệm đề tài
(ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu)
(ký, ghi rõ họ tên)

TS. Phạm Hồng Trường


ix

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1. General information:
- Project title: The optimality conditions of the implementation on single and parallel
machine models
- Code number: ĐH2015–TN08-10
- Coordinator: Dr. Pham Hong Truong
- Implementing institution: Thainguyen University of Economics and Business Administration
- Duration: From 09/2015 to 09/2017

2. Objectives: Find necessary and sufficient conditions toward the optimization of implementation on the single and parallel models as follows:
• Minimizing the processing time of the same jobs on single machine models.
• Minimizing the processing time of jobs with different weight on single machine models.
• Minimizing the maximum tardiness of jobs atthe same time duration.
• Minimizing the maximum tardiness on single machine models.
• Minimizing the maximum processing time on single machine models and the implementing time.
• Minimizing the amount of processing time on parallel machine models at the same
speed.
3. Creativeness and innovativeness: The research focused on neccessary and sufficient
conditions toward the optimization of implementation on the single and parallel models as
in research goals part. Specifically, the findings showed those conditions as follows:
• Minimizing the processing time of the same jobs on single machine models.
• Minimizing the processing time of jobs with different weight on single machine models.
• Minimizing the maximum tardiness of jobs atthe same time duration.
• Minimizing the maximum tardiness on single machine models.
• Minimizing the maximum processing time on single machine models and the implementing time.
• Minimizing the amount of processing time on parallel machine models at the same
speed.
4. Research results:
The project brought many benifits to the coordinator as well as the implementing
institution. It helped the coordinator to publish six papers, supervise six masters students
in Mathematics.


x

5. Products:
5.1. Scientific products:
- National paper: 02.
(1) Pham Hong Truong, Nguyen Viet Hung, Nguyen Quynh Hoa, Tran Đinh Chuc (2016).

“The minimum total completion time of jobs on the single machine model”, Journal of
Science and technology-TNU, 159(14), tr. 71-74.
(2) Tran Thi Mai, Nguyen Thi Thu Huong, Nguyen Thi Thu Hang, Pham Hong Truong
(2016). “Optimality conditions of vector equilibrium problems for weakly efficient solution
and Henig efficient solution”, Journal of Science and technology-TNU, 159(14), tr. 175-179.
- International paper: 04.
(1) Hieu. P.T., Thuy. Ng.T.T. (2016), "Regularization methods for nonexpansive semigroups in Hilbert spaces", Vietnam J. Math. (SCOPUS, ESCI), 44(3), pp. 637-648.
(2) Thuy. Ng.T.T. (2015), "An iterative method for equilibrium, variational inequality and
fixed point problems for a nonexpansive semigroup in Hilbert spaces", Bull. Malays. Math.
Sci. Soc. (SCIE), 38(1), pp. 113–130.
(3) Buong. Ng., Ha. Ng.S., Thuy. Ng.T.T. (2016), "A new explicit iteration method for a
class of variational inequalities", Numerical Algorithms (SCIE), 72, pp. 467-481.
(4) Thuy. Ng.T.T., Hieu. P.T., J.J. Strodiot (2016), "Regularization methods for accretive
variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups",
Optimization (SCIE), 65(8), pp. 1553-1567.
5.2. Training products: 06 masters ’ graduation thesis.
(1) Nguyen Viet Hung (2016), Some problems of the arrangement and plan for the optimal
process on the single machine model, Master’s thesis, Applied Mathematics, Thai Nguyen
University of Sciences.
(2) Nguyen Thi Viet Ha (2016), Tikhonov regularization for ill-posed monotone equation:
convergence rates and finite-dimentional approximations, Master’s thesis, Applied Mathematics, Thai Nguyen University of Sciences.
(3) Ngo Thuy Linh (2016), Variational Inequalities and Economic Equilibrium, Master’s
thesis, Applied Mathematics, Thai Nguyen University of Sciences.
(4) Nguyen Thi My (2016), Linear and strongly monotone operators in regularization for illposed problem, Master’s thesis, Applied Mathematics, Thai Nguyen University of Sciences.
(5) Bui Kieu Trang (2016), Interative method Mann, Krasnoselskii and fixed point problems,
Master’s thesis, Applied Mathematics, Thai Nguyen University of Sciences.
(6) Le Thi Thanh Tam (2016), Convergence rates of Tikhonov regularization for nonlinear
ill-posed problems for monotone perturbation, Master’s thesis, Applied Mathematics, Thai
Nguyen University of Sciences.
6. Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results:

- The results of the research subjects help students ans teachers of mathematics in Thai
Nguyen University can be accessed with the current issues in the world.
- The results of the subject will be an useful source reference dor researching and training


xi

at graduate and postgraduate levels.


1

Mở đầu
1. Tính cấp thiết của đề tài
Tối ưu hóa là một trong những lĩnh vực kinh điển của toán học có ảnh hưởng đến hầu
hết các lĩnh vực khoa học - công nghệ và kinh tế xã hội. Hàng ngàn dạng vấn đề sắp xếp
trong lĩnh vực của tối ưu hóa, trong đó rất nhiều kết quả lý thuyết được phát triển. Đã
có rất nhiều ứng dụng của tối ưu hóa tổ hợp được ứng dụng và phát triển trong nhiều bài
toán liên quan đến việc lập lịch. Trong đó nhiều kết quả lý thuyết đã được phát triển và
được ứng dụng trong thực tế, trong các lĩnh vực khoa học, bao gồm cả trong các khía cạnh
thuật toán, tính toán phức tạp, các thuật toán đa thức, các thuật toán xấp xỉ. Trong các
kết quả đó, các kết quả liên quan đến việc nghiên cứu về tính chất, cấu trúc của các bài
toán lập lịch thực hiện trên các mô hình máy sản xuất đơn và mô hình máy sản xuất song
song là rất phong phú được nhiều nhà khoa học quan tâm.
Đối với một số bài toán lập lịch với thời gian đa thức giải quyết được, có vẻ như mọi
người đều hài lòng với điều kiện đủ (như quy tắc Smith, quy tắc EDD, quy tắc SPT đối
với máy đơn, quy tắc SPT đối với máy song song, quy tắc WSPT) và ít chú ý đến các điều
kiện cần. Tuy nhiên, trong thực tế, để tìm một giải pháp tối ưu cho một quá trình thực
hiện, điều kiện đủ chỉ có thể thực hiện được mục tiêu đề ra là tìm một giải pháp tối ưu,
trong khi việc nhận biết và mô tả một giải pháp tối ưu đó không thể thực hiện được nếu

không có điều kiện cần. Cả điều kiện cần và đủ trong một Bài toán lập lịch đều rất quan
trọng. Điều kiện cần giúp cho việc nhận biết và mô tả giải pháp tối ưu, điều kiện đủ giúp
cho việc tìm ra giải pháp tối ưu đó.
Lập biểu thực hiện là một phần ứng dụng của tối ưu hóa. Đó là một trong những hoạt
động cơ bản của quá trình quản lý. Xét về mặt bản chất, hoạt động này nhằm mục đích
xem xét các mục tiêu, các phương án kinh doanh, trình tự và cách tiến hành các hoạt động
sản xuất thực hiện.
Lập biểu thực hiện là khâu đầu tiền, là chức năng quan trọng để thúc đẩy hoạt động
sản xuất kinh doanh hiểu quả, nhằm đặt được và nâng cao kết quả đã đề ra. Các nhà quản
lý cần phải lập kế hoạt bời vì lập kế hoạch sẽ cho biết phương hướng hoạt động trong
tương lại, làm giảm sự tác động của nhưng thay đổi từ môi trường, tránh được sự lãng
phí, dư thừa nguồn lực, làm giảm giảm được sự chồng chèo và hoạt động không cần thiết
của quá trình thực hiện, từ đó sử dụng nguồn lực một cách hiệu quả, cực tiểu hóa chi phí
nhằm đạt được mục tiêu đã được lựa chọn. Chính vì vậy việc nghiên cứu điều kiện tối ưu
của một số bài toán lập lịch trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song trong sản


2

xuất ở các nhà máy đóng vai trò rất quan trọng.
2. Mục tiêu của đề tài
Trong đề tài này, chúng tôi tập trung nghiên cứu và tìm ra điều kiện tối ưu của một
số bài toán lập lịch trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song dưới đây:
• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc tương đương nhau
trên mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số khác
nhau trên mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau trên
mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa tổng các công việc trễ trên mô hình máy đơn.

• Tối thiểu hóa thời gian thực hiện tối đa của công việc trên mô hình máy đơn với thời
gian tham gia vào quá trình thực hiện bất kì trên máy đơn.
• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành các công việc trên mô hình các máy sản xuất
song song đồng tốc độ.
• Nghiên cứu đề xuất phương pháp hiệu chỉnh, phương pháp lai ghép giải bất đẳng thức
biến phân, một trong những dạng điều kiền cần cực trị của bài toán cực trị.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu và tìm ra điều kiện tối ưu của một số bài
toán lập lịch trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.
• Phạm vi nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu điều kiện tối ưu của một số bài toán lập lịch
trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.
4. Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu
Đề tài dựa trên kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học trong và ngoài nước để
nghiên cứu, tìm hiểu, phát triển và mở rộng các bài toán thuộc lĩnh vực sắp xếp tối ưu.
5. Cấu truc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của đề tài gồm 3
chương.
Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kiến thức bổ trợ phục vụ cho
việc nghiên cứu và trình bày các kết quả chính trong chương sau, như: tập hợp các nhiệm
vụ, tập hợp các máy xử lý, các loại máy xử lý, thời gian thực hiện, thời gian đến, kỳ hạn
và hạn định kế thúc, yếu tố ưu tiên, tổng thời gian hoàn thành, độ dài thời gian thực hiện,
thời gian trễ, thời gian trễ tối đa, tổng thời gian hoàn thành, thời gian hoàn thành của các
công việc có trọng số khác nhau, tổng công việc trễ tương đương nhau.


3

Trong chương 2, chúng tôi nghiên cứu đề xuất phương pháp hiệu chỉnh, phương pháp
lai ghép giải bất đẳng thức biến phân, một trong những dạng điều kiền cần cực trị của bài
toán cực trị.

Nội dung của Chương 3 trình bày và chứng minh các kết quả cùng các ví dụ minh họa
đối với các kết quả được về điều kiện tối ưu của các bài toán lập lịch sau đây:
• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc tương đương nhau
trên mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số khác
nhau trên mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau trên
mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa tổng các công việc trễ trên mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa thời gian thực hiện tối đa của công việc trên mô hình máy đơn với thời
gian tham gia vào quá trình thực hiện bất kì trên máy đơn.
• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành các công việc trên mô hình các máy sản xuất
song song đồng tốc độ.


4

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản
về bài toán lập lịch
1.1
1.1.1

Bài toán lập lịch
Lời dẫn

Bài toán lập lịch trên máy đơn và máy song song là một trong những bài toán lập
lịch đơn giản nhất, đồng thời cũng là một trong những bài toán lập lịch rất quan trọng
có phạm vi ứng dụng lớn (xem [1], [5], [8]). Bài toán lập lịch trên máy đơn tương đối dễ

tìm ra phương pháp giải quyết hơn trên máy song song. Những phương pháp giải quyết có
những tác dụng cụ thể đối với việc nghiên cứu những bài toán lập lịch phức tạp, có thể
giúp cho việc tìm ra những thuật toán xấp xỉ đối với những bài toán lập lịch được giới
thiệu là những bài toán tồn tại trong cuộc sống hiện thực, có bối cảnh thực tế. Vì vậy,
bài toán lập lịch trên máy đơn và máy song song có phạm vi ứng dụng lớn, nâng cao hiệu
xuất lao động, có ý nghĩa cực kỳ to lớn. Việc nghiên cứu các thuộc tính cấu trúc đối với
các bài toán lập lịch cũng là một lĩnh vực phong phú. Bài toán lập lịch ra đời chủ yếu là
trong lĩnh vực chế tạo máy, về sau được phát triển trong lĩnh vực hệ thống máy tính, lập
kế hoạch trong giao thông vận tải, quản lý sản xuất. . . (xem [4], [10], [12], [17], [18], [19]).
Từ những sắp xếp kế hoạch trong cuộc sống hàng ngày, lập kế hoạch của nhân viên, xây
dựng thời khóa biểu của nhà trường, từ những tính toán kế hoạch bay cho những chuyến
bay cho một sân bay lớn đều cần dùng đến phương pháp và lý luận của bài toán lập lịch.
Trước khi đưa ra định nghĩa của bài toán lập lịch trên máy đơn và máy song song, chúng
tôi xem xét một vài ví dụ ứng dụng thực tế trong lĩnh vực này.
Ví dụ 1.1.1. Sắp xếp điều hành chuyến bay một sân bay. Sân bay có vài chục cửa ra máy
bay, mỗi ngày có vài trăm chuyến bay cất cánh và hạ cánh. Cửa ra sân bay có kiểu và kích
cỡ không giống nhau, kích cỡ của các máy bay cũng khác nhau (số lượng hành khách có
thể chứa khác nhau) một vài cửa chỉ cho phép sắp xếp máy bay cỡ lớn và một vài cửa chỉ


5

cho phép sắp xếp với máy bay cỡ nhỏ. Các máy bay đều có thời gian biểu để hạ cánh và
cất cánh. Do ảnh hưởng của thời tiết và các nhân tố khác của sân bay, thời gian biểu đó có
tính ngẫu nhiên rất lớn. Khi máy bay vào đến cửa ra vào để hành khách lên xuống, máy
bay cần bơm dầu, kiểm tra kỹ thuật, sửa chữa (nếu có), sắp xếp hành lý. Nếu có máy bay
không thể hạ cánh đúng giờ sẽ ảnh hưởng đến các máy bay khác ở sân bay, ảnh hưởng
đến việc chiếm hữu cửa ra vào, thời gian lên máy bay bị lùi lại và các máy bay khác không
thể được đưa vào sử dụng. Nhân viên phụ trách điều động của sân bay cần đưa ra phương
pháp sắp xếp các cửa ra vào cho các máy bay hạ cánh và cất cánh sao cho hiệu suất sử

dụng của sân bay là cao nhất, số máy bay bị trễ thời gian cất cánh là ít nhất. Đây cũng
là một bài toán lập lịch có ứng dụng rất lớn.
Ví dụ 1.1.2. Trình tự xử lý trên máy tính khi thực hiện hệ thống thao tác đa nhiệm,
phát sinh thêm một nhiệm vụ. Về tổng quan ta có thể hiểu là đồng thời tiến hành nhiều
tiến trình. Tuy nhiên tại một thời điểm bất kỳ CPU chỉ có thể tiến hành một tiến trình.
Thời gian đạt đến của tiến trình là không như nhau. Vấn đề đặt ra là sắp đặt như thế
nào những tiến trình đó thì mới có thể làm cho hiệu suất sử dụng của CPU là cao nhất
hoặc thời gian để thay đổi của tiến trình là ngắn nhất? Đây cũng là một bài toán sắp xếp.
Ngoài ra thời gian đạt đến của mỗi tiến trình và thời gian thay đổi là không biết trước,
nhưng kì vọng toán, phương sai... của thời gian đạt đến ngẫu nhiên và thời gian thay đổi
đã được biết trước. Lúc này mục tiêu là tối thiểu hóa kì vọng của thời gian trung chuyển.
Như vậy bài toán sắp xếp suất hiện biến lượng ngẫu nhiên và được gọi là bài toán lập lịch
ngẫu nhiên.

1.1.2

Các định nghĩa

Bài toán lập lịch là loại bài toán tối ưu hóa tổ hợp quan trọng, đó là sử dụng một số
máy xử lý, máy móc, nguồn lực để hoàn thành tối ưu một số lượng nhiệm vụ hoặc công
việc đã cho. Khi thực hiện giải quyết những nhiệm vụ hoặc những công việc này, cần thỏa
mãn một số điều kiện giới hạn như: thời gian đến, thời gian hạn định phải hoàn thành,
thứ tự thực hiện các nhiệm vụ,... Mục đích là làm cho hàm mục tiêu đạt giá trị tối ưu,
trong đó hàm mục tiêu thông thường là khoảng thời gian thực hiện, cách thức hiệu suất
sử dụng của máy xử lý.
Trong bài toán lập lịch, số lượng, chủng loại của máy xử lý, thứ tự của các công việc
(nhiệm vụ), thời gian đến, hạn chế hoàn thành công việc,... là những nhân tố rắc rối phức
tạp, rất khó dùng toán học mô tả chính xác để đưa ra định nghĩa một thứ tự thông thường.
Trong đề tài này, ta dùng cách thức sau đây để mô tả bài toán lập lịch.
Tập hợp n nhiệm vụ: T = T1 , ..., Tn hoặc J = J1 , ..., Jn . Tập hợp m máy xử lý:

P = P1 , ..., Pm hoặc M = M1 , ..., Mm . Tập hợp s loại nguồn lực: R = R1 , ..., Rs .
Mục đích của bài toán lập lịch đó là sắp xếp những điều kiện được đưa ra nhất định
để hoàn thành các hạng mục nhiệm vụ đưa ra, sắp xếp các máy xử lý và các nguồn lực
(nếu có) phân phối sắp xếp đối với các nhiệm vụ để làm cho hàm mục tiêu đạt được tối
ưu.


6

Máy xử lý:
Bài toán lập lịch trên máy đơn là bài toán lập lịch chỉ có một máy xử lý. Nếu số máy
xử lý nhiều hơn một, ta gọi là bài toán lập lịch đa máy. bài toán lập lịch trên máy song
song là bài toán lập lịch đa máy, nếu tất cả các máy xử lý đều có công năng như nhau thì
ta gọi đó là bài toán lập lịch song song. Máy song song phân thành 3 loại dựa vào tốc độ
xử lý:
• Đồng tốc độ: Tất cả các máy xử lý đều có tốc độ như nhau.
• Hằng tốc độ: Tốc độ các máy không giống nhau, nhưng tốc độ xử lý của các máy đều
là hằng số, không phụ thuộc vào nhiệm vụ thực hiện.
• Biến tốc độ: Tốc độ các máy phụ thuộc vào nhiệm vụ thực hiện.
Một trường hợp khác của đa máy xử lý đó là đa loại hình. Mục đích của loại bài toán
này là sử dụng các máy có các công năng khác nhau. Trong trường hợp xử lý đa máy, các
nhiệm vụ cần thực hiện được thực hiện xử lý trên những máy khác nhau. Trong trường hợp
này các nhiệm vụ được gọi cụ thể là công việc. Giả sử có tập các nhiệm vụ T = T, ..., Tn .
Mỗi nhiệm vụ Tj có nj quá trình thực hiện [T1j , T2j . . . , Tnj ]. Nếu mỗi công việc đều cần
xử lý thực hiện trên các máy xử lý, tức là nj = m, j = 1, 2, . . . , n mà quá trình thực hiện
của mỗi công việc đều như nhau, tức là thứ tự thực hiện trên mỗi máy giống nhau thì bài
toán này được gọi là cùng thứ tự tuần tự. Nếu mỗi công việc đều cần thực hiện thực hiện
trên các máy xử lý, mỗi công việc có quá trình thực hiện không giống nhau thì được gọi là
không cùng thứ tự tuần tự. Nếu mỗi công việc đều cần thực hiện thực hiện trên các máy
xử lý, mỗi công việc có thể có thứ tự thực hiện xử lý bất kỳ thì được gọi là thứ tự thực

hiện mở.
Công việc:
Những điều kiện ràng buộc trong bài toán lập lịch chủ yếu là những hạn định, yêu cầu
trong quá trình thực hiện và tính chất của công việc.
(1) Véctơ thời gian thực hiện: Véctơ thời gian thực hiện của nhiệm vụ là pj (p1j ; p2j , . . . , pnj )
trong đó pij là thời gian thực hiện cần thiết của nhiệm vụ Tj trên máy pi . Đối với máy
đồng tốc, ta có pij = pj với i = 1, 2, . . . , m. Đối với máy hằng tốc, ta có pij = pj /bi với
i = 1, 2, . . . , m. Trong đó pj là thời gian thực hiện tiêu chuẩn (thông thường là thời gian
thực hiện trên máy xử lý có tốc độ chậm nhất), bi là tốc độ trên máy xử lý pi . Trong
bài toán lập lịch, véctơ thời gian thực hiện của công việc Tj là pj (p1j ; p2j , . . . , pnj ).
Trong đó pij là thời gian thực hiện tương ứng trên máy xử lý của quá trình thực hiện
Tij .
(2) Thời gian đến (thời gian chuẩn bị) rj : là thời gian đã chuẩn bị xong để có thể tham
gia vào quá trình thực hiện của nhiệm vụ Tj . Nếu tất cả các nhiệm vụ đều có thời
gian chuẩn bị đều như nhau, ta quy ước rj = 0, j = 1, 2, . . . , n.
(3) Kỳ hạn và hạn định kết thúc: Kỳ hạn dj biểu thị thời gian hoàn thành hạn định của
nhiệm vụ Tj , nếu không hoàn thành đúng kỳ hạn sẽ bị “phạt”. Mốc thời gian tuyệt
đối không được kéo dài quá được gọi là hạn định kết thúc.


7

(4) Yếu tố ưu tiên: Yếu tố ưu tiên wj là một trọng số biểu thị mức độ ưu tiên quan trọng
của nhiệm vụ Tj , đối với các nhiệm vụ khác để tiện cho trình bày, ta giả sử các tham
số pj , rj , dj và wj là các số có giá trị nguyên. Trên thực tế chúng có thể là những số
hữu tỷ bất kỳ. Ta dùng véctơ và ma trận để đưa ra các số liệu sau đây:
r = (r1 ; r2 , . . . , rn ),
d = (d1 ; d2 , . . . , dn ),
w = (w1 ; w2 , . . . , wn ),
lần lượt là thời gian đến, kỳ hạn và trọng số ưu tiên của n nhiệm vụ. Ký hiệu



p11

 p21

 .
 ..


p12
p22
..
.

pm1 pm2



. . . p1n

. . . p2n 

.. 
..
.
. 

. . . pmn

trong đó, véctơ (pi1 ; pi2 , . . . , pin ) trên dòng thứ i biểu thị thời gian thực hiện của n
nhiệm vụ trên máy thứ i. Một ràng buộc quan trọng khi nhiệm vụ được thực hiện
đó là có thể gián đoạn hoặc không được gián đoạn. Một hạn chế quan trọng khác khi
thực hiện nhiệm vụ đó là ràng buộc ưu tiên giữa các nhiệm vụ trên tập các nhiệm
vụ, thiết lập một quan hệ ưu tiên ≺. Nếu viết Ti ≺ Tj thì được hiểu là cần thiết phải
thực hiện xong Ti rồi mới được bắt đầu thực hiện Tj . Ta dùng đồ thị ràng buộc ưu
tiên để biểu thị mức độ ưu tiên của những nhiệm vụ (xem [17], [18]). Điển hình, trong
ràng buộc ưu tiên có ba trường hợp ràng buộc đặc biệt quan trọng:
– Đồ thị ràng buộc ưu tiên dạng xích: Mỗi nhiệm vụ có nhiều nhất một nhiệm vụ
ngay trước nó và một nhiệm vụ tiếp ngay sau nó.

Hình 1.1: Ví dụ của đồ thị ràng buộc ưu tiên
– Đồ thị ràng buộc ưu tiên dạng cây nhập: mỗi nhiệm vụ có nhiều nhất một nhiệm
vụ tiếp ngay sau nó.
– Đồ thị ràng buộc ưu tiên dạng cây xuất: mỗi nhiệm vụ có nhiều nhất một nhiệm
vụ tiếp ngay trước nó.
Hàm mục tiêu:


8

Hình 1.2: Ví dụ của đồ thị ràng buộc ưu tiên. (a) dạng xích; (b) dạng cây nhập; (c) dạng
cây xuất.
Kí hiệu C = (C1 , C2 , . . . , Cn ) biểu thị thời gian thực hiện hoàn thành nhiệm vụ, mục
tiêu là cực tiểu hóa thời gian hoàn thành các nhiệm vụ. Hàm mục tiêu có một số loại chủ
yếu sau:
(1) Tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số khác nhau
n

w j Cj .

j=1

Trường hợp đặc biệt, khi wj = 1, ∀j = 1, 2, . . . , n thì tổng thời gian hoàn thành thực
hiện các công việc có trọng số khác nhau trở thành tổng thời gian hoàn thành thực
hiện các công việc tương đương nhau
n

Cj .
j=1

(2) Độ dài thời gian thực hiện: Độ dài thời gian thực hiện được định nghĩa là
Cmax = max{Cj }.
và được hiểu là thời gian hoàn thành thực hiện của nhiệm vụ cuối cùng. Nếu độ dài
thời gian thực hiện ngắn thì có nghĩa là máy xử lý có hiệu suất làm việc cao.
(3) Thời gian thực hiện tối đa với thời gian tham gia vào quá trình thực hiện bất kì Thời
gian thực hiện tối đa với thời gian tham gia vào quá trình thực hiện bất kì được định
nghĩa là
1|rj |Cmax
(4) Thời gian trễ tối đa của các công việc: Thời gian trễ tối đa (maximum lateness) được
định nghĩa là
L = max{Lj }.
trong đó, Lj = Cj − dj , là thời gian chậm trễ của nhiệm vụ Tj .


9

(5) Tổng các công việc trễ của các nhiệm vụ có trọng số khác nhau: Tổng các công việc
trễ được định nghĩa là
n

U=

wj Uj .
j=1

trong đó
Uj =



1

nếu Cj > dj


0

ngược lại

là đơn vị phạt của nhiệm vụ trễ hẹn Tj . Trường hợp đặc biệt, khi wj = 1, ∀j =
1, 2, . . . , n thì tổng các công việc trễ của các nhiệm vụ có trọng số khác nhau trở
thành tổng các công việc trễ tương đương nhau
n

U=

Uj .
j=1

1.1.3

Phân loại các bài toán lập lịch

Trong phân loại bài toán lập lịch, nếu như tất cả những dữ liệu số liệu đều được biết
trước khi tiến hành thực hiện thì được gọi là bài toán lập lịch xác định. Nếu như có một vài
dữ liệu số liệu chưa được biết, những số liệu đó là một vài biến lượng ngẫu nhiên, nhưng
sự phân bố của chúng là đã biết, khi đó bài toán này được gọi là bài toán lập lịch ngẫu
nhiên. Dù là bài toán lập lịch sắp xếp ngẫu nhiên hay xác định, ta đều có thể giả sử như
sau:
(1) Số nhiệm vụ (hoặc công việc) và số máy xử lý là hữu hạn.
(2) Trong một khoảng thời gian trên bất kỳ, 1 máy xử lý chỉ được xử lý duy nhất một
nhiệm vụ hoặc thứ tự nhiệm vụ nào đó.
Ba yếu tố: máy xử lý, nhiệm vụ (hoặc công việc) và hàm mục tiêu tạo thành bài toán
lập lịch. Số lượng loại hình và điều kiện của các máy xử lý có gần 10 trường hợp khác
nhau, điều kiện ràng buộc của các nhiệm vụ (công việc) và dữ liệu hiện có cực kỳ phức
tạp và rắc rối, thêm vào đó là yêu cầu cần đặt ra không giống nhau của các hàm mục tiêu
đã tạo ra nhiều loại hình trình tự thực hiện phong phú đa dạng. Ta dùng ba thành phần
cơ bản trong dạng thức các loại hình của bài toán lập lịch α|β|γ. Trong đó:
- Vị trí α biểu thị số lượng loại hình, điều kiện máy xử lý, vị trí đó có thể là:
• 1: máy đơn (1 máy xử lý).
• Pm : m máy đồng tốc.
• Qm : m máy hằng tốc.
• Rm : m máy biến tốc.
- Vị trí β biểu thị tính chất, hạn chế, yêu cầu, chủng loại dữ liệu. Số lượng và điều kiện
ràng buộc ảnh hưởng của các nhiệm vụ (hoặc công việc). Vị trí này có thể có cùng lúc
nhiều điều kiện theo yêu cầu của bài toán. Vị trí đó có thể là:


10

• ri : các nhiệm vụ có thời gian đến không giống nhau. Nếu vị trí β không có mặt ri ,
điều đó có nghĩa là rj = 0, ∀j = 1, 2, . . . , m.
• pmtn: thời gian thực hiện có thể gián đoạn.
• prec, chains, intree, ontree: biểu thị tính tương quan giữa các nhiệm vụ, lần lượt biểu
thị là ràng buộc ưu tiên thông thường, xích, cây nhập, cây xuất.
Nếu vị trí β không có xuất hiện những yêu cầu này, điều đó có nghĩa là tập nhiệm vụ
là không có quan hệ (các nhiệm vụ không có ràng buộc lẫn nhau).
- Vị trí γ biểu thị hàm mục tiêu cần tối ưu hóa, vị trí đó có thể là:
• Cmax : độ dài thời gian biểu tối đa.
•

Cj : tổng thời gian hoàn thành.

•

wj Cj : tổng thời gian hoàn thành của các công việc có trọng số khác nhau.

• Lmax : thời gian trễ tối đa.
•

wj Uj : Tổng các công việc trễ của các nhiệm vụ có trọng số khác nhau.

•

Uj : Tổng các công việc trễ tương đương nhau.

Ví dụ 1.1.3. Một số bài toán lập lịch trên mô hình máy đơn.
• Bài toán 1|| Cj là bài toán tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc tương
đương nhau, hàm mục tiêu là tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các
công việc tương đương nhau.

• Bài toán 1|| wj Cj là bài toán tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc có
trọng số khác nhau, hàm mục tiêu là tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực
hiện các công việc có trọng số khác nhau.
• Bài toán 1||Lmax là bài toán thời gian trễ tối đa, hàm mục tiêu là tối thiểu hóa thời
gian trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau.
• Bài toán 1|| Uj là bài toán tổng các công việc trễ, hàm mục tiêu là tối thiểu hóa
tổng các công việc trễ.
• Bài toán 1|rj |Cmax là bài toán thời gian thực hiện tối đa, hàm mục tiêu là tối thiểu
hóa thời gian thực hiện tối đa của các công việc với thời gian tham gia vào quá trình
thực hiện bất kì.
Ví dụ 1.1.4. Bài toán 1|rj , pmtn| wj Cj là bài toán lập lịch trên máy đơn, có thể gián
đoạn, các nhiệm vụ có thời gian chuẩn bị không giống nhau, hàm mục tiêu cần cực tiểu
hóa là tổng thời gian hoàn thành của các nhiệm vụ có trọng số khác nhau.
Ví dụ 1.1.5. Bài toán P m||Cmax là bài toán lập lịch trên m máy đồng tốc, các nhiệm vụ
không có quan hệ với nhau, không được gián đoạn, hàm mục tiêu là cực tiểu hóa thời gian
hoàn thành của nhiệm vụ có thời gian thực hiện lâu nhất (cực tiểu hóa độ dài thời gian
biểu dãy sắp xếp).