Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song (tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐH KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ KINH DOANH
——————–o0o——————–

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CỦA MỘT SỐ VẤN ĐỀ
LẬP KẾ HOẠCH THỰC HIỆN TRÊN MÔ HÌNH MÁY ĐƠN
VÀ MÔ HÌNH MÁY SONG SONG
Mã số: ĐH2015–TN08-10

Chủ nhiệm đề tài: TS. Phạm Hồng Trường

THÁI NGUYÊN, 08/2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐH KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ KINH DOANH
——————–o0o——————–

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CỦA MỘT SỐ VẤN ĐỀ
LẬP KẾ HOẠCH THỰC HIỆN TRÊN MÔ HÌNH MÁY ĐƠN
VÀ MÔ HÌNH MÁY SONG SONG
Mã số: ĐH2015–TN08-10

Cơ quan chủ trì

Chủ nhiệm đề tài

TS. Phạm Hồng Trường

THÁI NGUYÊN, 08/2018


ii

Mục lục
Thành viên tham gia và đơn vị phối hợp

i

Thông tin kết quả nghiên cứu

iv

Information on research results

vii

Mở đầu
Chương 1. Một số kiến thức cơ bản về bài toán lập
1.1 Bài toán lập lịch . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Lời dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Phân loại các bài toán lập lịch . . . . . . .
1.2 Tìm lời giải của bài toán lập lịch . . . . . . . . .

1
lịch
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

2
2
2
2

2
2

Chương 2. Một dạng điều kiện cần cực trị của bài toán tối ưu 3
2.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2 Bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động và bài toán
cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn
chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach và
bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2.3 Bài toán cân bằng trong không gian Hilbert . . . . .
4
2.3 Một số phương pháp giải bất đẳng thức biến phân . . . . . .
4
2.3.1 Phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3.2 Phương pháp lai ghép . . . . . . . . . . . . . . . . .
6


iii

Chương 3. Điều kiện tối ưu của một số bài toán lập biểu trên
mô hình máy đơn, mô hình máy song song
7

3.1 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian
hoàn thành thực hiện các công việc tương đương nhau trên
mô hình máy đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.1.1 Bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực
hiện các công việc tương đương nhau trên mô hình
máy đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.1.2 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng thời
gian hoàn thành thực hiện các công việc tương đương
nhau trên mô hình máy đơn . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian
hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số khác nhau
trên mô hình máy đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.2.1 Bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực
hiện các công việc có trọng số khác nhau trên mô hình
máy đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.2.2 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng thời
gian hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số
khác nhau trên mô hình máy đơn . . . . . . . . . . .
8
3.3 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa thời gian trễ tối
đa của các công việc có thời gian đến như nhau trên mô hình
máy đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.3.1 Bài toán tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của các
công việc có thời gian đến như nhau trên mô hình

máy đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.3.2 Điều kiện đủ để bài toán tối thiểu hóa thời gian trễ
tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau
trên mô hình máy đơn là tối ưu . . . . . . . . . . . .
9
3.3.3 Điều kiện cần và đủ của bài toán tối thiểu hóa thời
gian trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như
nhau trên mô hình máy đơn . . . . . . . . . . . . . .
9


3.4

3.5

3.6

Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa thời gian thực
hiện tối đa của công việc trên mô hình máy đơn với thời gian
tham gia vào quá trình thực hiện bất kì . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Bài toán tối thiểu hóa thời gian thực hiện tối đa của
công việc trên mô hình máy đơn với thời gian tham
gia vào quá trình thực hiện bất kì . . . . . . . . . . .
3.4.2 Điều kiện cần và đủ của bài toán tối thiểu hóa thời
gian thực hiện tối đa của công việc trên mô hình máy
đơn với thời gian tham gia vào quá trình thực hiện
bất kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng các công
việc trễ trên mô hình máy đơn . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.1 Bài toán tối thiểu hóa tổng các công việc trễ trên mô
hình máy đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Điều kiện cần và đủ của bài toán tối thiểu hóa tổng
các công việc trễ trên mô hình máy đơn . . . . . . .
Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian
hoàn thành các công việc trên mô hình các máy sản xuất
song song đồng tốc độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành các
công việc trên mô hình các máy sản xuất song song
đồng tốc độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng thời
gian hoàn thành các công việc trên mô hình các máy
sản xuất song song đồng tốc độ . . . . . . . . . . . .

Kết luận

10

10

10
10
10
10

11

11

11

13

Thành viên tham gia và đơn vị phối hợp
I. Những thành viên tham gia nghiên cứu đề tài
1. PGS. TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, Trường ĐH Khoa học – Đại học Thái Nguyên
2. TS. Nguyễn Văn Minh, Trường ĐH Kinh tế & QTKD - Đại học Thái Nguyên
3. ThS. Nguyễn Thị Thu Hường, Trường ĐH Kinh tế & QTKD – Đại học Thái Nguyên


ii

4. ThS. Trần Thị Mai, Trường ĐH Kinh tế & QTKD – Đại học Thái Nguyên
II. Đơn vị phối hợp chính
1. Department of Mathematics, East China University of Science and Technology, Shanghai, China
2. Department of Mathematics, Luoyang Teachers Education University, Luoyang, Henan,
China
3. School of Mathematical Science, Guangxi Teachers Education University, Nanning,
Guangxi, China


Mục lục


iv

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ KINH DOANH

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung:

- Tên đề tài: Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên
mô hình máy đơn và mô hình máy song song
- Mã số: ĐH2015–TN08-10
- Chủ nhiệm: TS. Phạm Hồng Trường
- Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Kinh tế & Quản trị kinh doanh – Đại học Thái
Nguyên
- Thời gian thực hiện: Từ tháng 09 năm 2015 đến tháng 09 năm 2017
2. Mục tiêu: Tìm điều kiện cần và đủ đối với vấn đề tối ưu của một số bài toán lập lịch
điển hình trên mô hình máy sản xuất đơn và mô hình máy sản xuất song song dưới đây
• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc tương đương nhau
trên mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số khác
nhau trên mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau trên
mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa tổng các công việc trễ trên mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa thời gian thực hiện tối đa của công việc trên mô hình máy đơn với thời
gian tham gia vào quá trình thực hiện bất kì.
• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành các công việc trên mô hình các máy sản xuất
song song đồng tốc độ.
3. Tính mới và sáng tạo: Đề tài đã tập trung nghiên cứu và tìm ra điều kiện cần và đủ
đối với vấn đề tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện điển hình trên mô hình
máy sản xuất đơn và hình máy sản xuất song song theo mục tiêu đặt ra đối với đề tài. Cụ
thể, đề tài đã nghiên cứu và tìm ra điều kiện cần và đủ đối với vấn đề tối ưu của một số
vấn đề lập kế hoạch thực hiện sau đây:
• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc tương đương nhau
trên mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số khác
nhau trên mô hình máy đơn.

v

• Tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau trên
mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa tổng các công việc trễ trên mô hình máy đơn.
• Tối thiểu hóa thời gian thực hiện tối đa của công việc trên mô hình máy đơn với thời
gian tham gia vào quá trình thực hiện bất kì.
• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành các công việc trên mô hình các máy sản xuất
song song đồng tốc độ.
4. Kết quả nghiên cứu: Đề tài đã mang lại nhiều lợi ích cho chủ nhiệm đề tài và tổ chức
chủ trì. Nó đã giúp chủ nhiệm đề tài xuất bản 06 bài báo, hướng dẫn và bảo vệ thành công
06 học viên cao học. Đề tài đã nghiên cứu và tìm ra điều kiện cần và đủ đối với vấn đề tối
ưu của một số vấn đề lập kế hoạch trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.
5. Sản phẩm:
5.1. Sản phẩm khoa học:
- Bài báo đăng tạp chí trong nước (0,5 điểm do hội đồng chức danh Giáo sư Nhà nước
quy định): 02.
(1) Phạm Hồng Trường, Nguyễn Việt Hưng, Nguyễn Quỳnh Hoa, Trần Đình Chúc (2016).
“Vấn đề tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành các công việc trên mô hình máy đơn”,
Tạp chí Khoa học & Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 159(14), tr. 71-74.
(2) Trần Thị Mai, Nguyễn Thị Thu Hường, Nguyễn Thị Thu Hằng, Phạm Hồng Trường
(2016). “Điều kiện tối ưu của bài toán cân bằng vectơ cho nghiệm hữu hiệu yếu và nghiệm
hữu hiệu Henig”, Tạp chí Khoa học & Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 159(14), tr.
175-179.
- Bài báo khoa học trên tạp chí chuyên ngành nước ngoài: 04.
(1) Hieu. P.T., Thuy. Ng.T.T. (2016), "Regularization methods for nonexpansive semigroups in Hilbert spaces", Vietnam J. Math. (SCOPUS, ESCI), 44(3), pp. 637-648.
(2) Thuy. Ng.T.T. (2015), "An iterative method for equilibrium, variational inequality and
fixed point problems for a nonexpansive semigroup in Hilbert spaces", Bull. Malays. Math.
Sci. Soc. (SCIE), 38(1), pp. 113–130.

(3) Buong. Ng., Ha. Ng.S., Thuy. Ng.T.T. (2016), "A new explicit iteration method for a
class of variational inequalities", Numerical Algorithms (SCIE), 72, pp. 467-481.
(4) Thuy. Ng.T.T., Hieu. P.T., J.J. Strodiot (2016), "Regularization methods for accretive
variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups",
Optimization (SCIE), 65(8), pp. 1553-1567.
5.2. Sản phẩm đào tạo: Hướng dẫn và bảo vệ thành công 06 luận văn thạc sĩ.
(1) Nguyễn Việt Hưng (2016), Một số vấn đề sắp xếp lập kế hoạch thực hiện tối ưu trên
mô hình máy đơn, Luận văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên.
(2) Nguyễn Thị Việt Hà (2016), Hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử đặt không
chỉnh: tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều, Luận văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường
Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.


vi

(3) Ngô Thùy Linh (2016), Bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng kinh tế, Luận
văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
(4) Nguyễn Thị Mỵ (2016), Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh
cho bài toán đặt không chỉnh, Luận văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên.
(5) Bùi Thị Kiều Trang (2016), Phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Krasnoselskij và
bài toán điểm bất động, Luận văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên.
(6) Lê Thị Thanh Tâm (2016), Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt
không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điệu, Luận văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường
Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
6. Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại của
kết quả nghiên cứu:
- Kết quả nghiên cứu của đề tài tạo điều kiện để sinh viên và cán bộ giảng dạy Toán

trong Đại học Thái Nguyên được cập nhật với các vấn đề mang tính thời sự hiện nay trên
thế giới.
- Các kết quả trong đề tài sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho công tác nghiên cứu và
đào tạo ở trình độ Đại học và sau Đại học.
Ngày ... tháng 6 năm 2018
Tổ chức chủ trì
Chủ nhiệm đề tài
(ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu)
(ký, ghi rõ họ tên)

TS. Phạm Hồng Trường


vii

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1. General information:
- Project title: The optimality conditions of the implementation on single and parallel
machine models
- Code number: ĐH2015–TN08-10
- Coordinator: Dr. Pham Hong Truong
- Implementing institution: Thainguyen University of Economics and Business Administration
- Duration: From 09/2015 to 09/2017
2. Objectives: Find necessary and sufficient conditions toward the optimization of implementation on the single and parallel models as follows:
• Minimizing the processing time of the same jobs on single machine models.
• Minimizing the processing time of jobs with different weight on single machine models.
• Minimizing the maximum tardiness of jobs atthe same time duration.
• Minimizing the maximum tardiness on single machine models.
• Minimizing the maximum processing time on single machine models and the implementing time.
• Minimizing the amount of processing time on parallel machine models at the same

speed.
3. Creativeness and innovativeness: The research focused on neccessary and sufficient
conditions toward the optimization of implementation on the single and parallel models as
in research goals part. Specifically, the findings showed those conditions as follows:
• Minimizing the processing time of the same jobs on single machine models.
• Minimizing the processing time of jobs with different weight on single machine models.
• Minimizing the maximum tardiness of jobs atthe same time duration.
• Minimizing the maximum tardiness on single machine models.
• Minimizing the maximum processing time on single machine models and the implementing time.
• Minimizing the amount of processing time on parallel machine models at the same
speed.
4. Research results:
The project brought many benifits to the coordinator as well as the implementing
institution. It helped the coordinator to publish six papers, supervise six masters students
in Mathematics.


viii

5. Products:
5.1. Scientific products:
- National paper: 02.
(1) Pham Hong Truong, Nguyen Viet Hung, Nguyen Quynh Hoa, Tran Đinh Chuc (2016).
“The minimum total completion time of jobs on the single machine model”, Journal of
Science and technology-TNU, 159(14), tr. 71-74.
(2) Tran Thi Mai, Nguyen Thi Thu Huong, Nguyen Thi Thu Hang, Pham Hong Truong
(2016). “Optimality conditions of vector equilibrium problems for weakly efficient solution
and Henig efficient solution”, Journal of Science and technology-TNU, 159(14), tr. 175-179.
- International paper: 04.
(1) Hieu. P.T., Thuy. Ng.T.T. (2016), "Regularization methods for nonexpansive semigroups in Hilbert spaces", Vietnam J. Math. (SCOPUS, ESCI), 44(3), pp. 637-648.

(2) Thuy. Ng.T.T. (2015), "An iterative method for equilibrium, variational inequality and
fixed point problems for a nonexpansive semigroup in Hilbert spaces", Bull. Malays. Math.
Sci. Soc. (SCIE), 38(1), pp. 113–130.
(3) Buong. Ng., Ha. Ng.S., Thuy. Ng.T.T. (2016), "A new explicit iteration method for a
class of variational inequalities", Numerical Algorithms (SCIE), 72, pp. 467-481.
(4) Thuy. Ng.T.T., Hieu. P.T., J.J. Strodiot (2016), "Regularization methods for accretive
variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups",
Optimization (SCIE), 65(8), pp. 1553-1567.
5.2. Training products: 06 masters ’ graduation thesis.
(1) Nguyen Viet Hung (2016), Some problems of the arrangement and plan for the optimal
process on the single machine model, Master’s thesis, Applied Mathematics, Thai Nguyen
University of Sciences.
(2) Nguyen Thi Viet Ha (2016), Tikhonov regularization for ill-posed monotone equation:
convergence rates and finite-dimentional approximations, Master’s thesis, Applied Mathematics, Thai Nguyen University of Sciences.
(3) Ngo Thuy Linh (2016), Variational Inequalities and Economic Equilibrium, Master’s
thesis, Applied Mathematics, Thai Nguyen University of Sciences.
(4) Nguyen Thi My (2016), Linear and strongly monotone operators in regularization for illposed problem, Master’s thesis, Applied Mathematics, Thai Nguyen University of Sciences.
(5) Bui Kieu Trang (2016), Interative method Mann, Krasnoselskii and fixed point problems,
Master’s thesis, Applied Mathematics, Thai Nguyen University of Sciences.
(6) Le Thi Thanh Tam (2016), Convergence rates of Tikhonov regularization for nonlinear
ill-posed problems for monotone perturbation, Master’s thesis, Applied Mathematics, Thai
Nguyen University of Sciences.
6. Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results:
- The results of the research subjects help students ans teachers of mathematics in Thai
Nguyen University can be accessed with the current issues in the world.
- The results of the subject will be an useful source reference dor researching and training


ix

at graduate and postgraduate levels.


1

Mở đầu
Tối ưu hóa là một trong những lĩnh vực kinh điển của toán học có ảnh hưởng đến hầu
hết các lĩnh vực khoa học - công nghệ và kinh tế xã hội. Hàng ngàn dạng vấn đề sắp xếp
trong lĩnh vực của tối ưu hóa, trong đó rất nhiều kết quả lý thuyết được phát triển. Đã
có rất nhiều ứng dụng của tối ưu hóa tổ hợp được ứng dụng và phát triển trong nhiều bài
toán liên quan đến việc lập lịch. Trong đó nhiều kết quả lý thuyết đã được phát triển và
được ứng dụng trong thực tế, trong các lĩnh vực khoa học, bao gồm cả trong các khía cạnh
thuật toán, tính toán phức tạp, các thuật toán đa thức, các thuật toán xấp xỉ. Trong các
kết quả đó, các kết quả liên quan đến việc nghiên cứu về tính chất, cấu trúc của các bài
toán lập lịch thực hiện trên các mô hình máy sản xuất đơn và mô hình máy sản xuất song
song là rất phong phú được nhiều nhà khoa học quan tâm.
Lập biểu thực hiện là một phần ứng dụng của tối ưu hóa. Đó là một trong những hoạt
động cơ bản của quá trình quản lý. Xét về mặt bản chất, hoạt động này nhằm mục đích
xem xét các mục tiêu, các phương án kinh doanh, trình tự và cách tiến hành các hoạt động
sản xuất thực hiện.
Trong đề tài này, chúng tôi tập trung nghiên cứu và tìm ra điều kiện tối ưu của một
số bài toán lập lịch trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.


2

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản
về bài toán lập lịch

1.1

Bài toán lập lịch

1.1.1

Lời dẫn

1.1.2

Các định nghĩa

1.1.3

Phân loại các bài toán lập lịch

1.2

Tìm lời giải của bài toán lập lịch


3

Chương 2

Một dạng điều kiện cần
cực trị của bài toán tối ưu
Chương này nghiên cứu một số phương pháp giải bất đẳng thức biến phân - một trong
những dạng điều kiền cần cực trị của bài toán tối ưu.

2.1

Một số khái niệm và kết quả bổ trợ

2.2

Bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm
bất động và bài toán cân bằng

2.2.1

Bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu
hạn chiều

Trong tiểu mục này ta giả thiết RN là không gian Euclid với tích vô hướng và chuẩn
lần lượt được ký hiệu bởi ., . và . .
Định nghĩa 2.2.1. Cho C là tập con lồi đóng trong RN và hàm f là khả vi liên tục trên
một tập mở U ⊂ RN chứa C. Bài toán cực trị (OP - Optimization Problem) được phát
biểu như sau:
Tìm điểm x∗ ∈ C thỏa mãn f (x∗ ) f (x) ∀x ∈ C,
hay dưới dạng ngắn gọn
min → {f (x) | x ∈ C}.

(2.1)


4

2.2.2

Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach và bài toán điểm bất động

Định lý 2.2.2. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H và A : C →
H là một toán tử xác định trên C. Khi đó u ∈ C là nghiệm của bất đẳng thức biến phân
VI(A, C) khi và chỉ khi với mỗi λ > 0 cố định, u là điểm bất động của ánh xạ PC (I − λA),
tức là
u ∈ ΩA ⇔ u = PC (u − λAu) ∀λ > 0.
(2.2)
Định lý 2.2.3. Cho X là không gian Banach lồi đều, C là một tập con lồi đóng và bị chặn
trong X và T : C → C là ánh xạ không giãn. Khi đó, T có điểm bất động. Hơn nữa tập
điểm bất động Fix(T ) := {x ∈ X : T x = x} của ánh xạ T là một tập lồi đóng.

2.2.3

Bài toán cân bằng trong không gian Hilbert

Định nghĩa 2.2.4. Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi đóng của
H, G : C × C → R là một song hàm. Bài toán cân bằng của song hàm G(u, v) xác định
trên C × C được phát biểu như sau:
Tìm điểm u∗ ∈ C thỏa mãn G(u∗ , v) ≥ 0 với mọi v ∈ C.

(2.3)

Ta giả thiết song hàm G : C × C → R thỏa mãn các tính chất sau:
(A1) G(u, u) = 0 với mọi u ∈ C;
(A2) G là đơn điệu, tức là, G(u, v) + G(v, u)

0 với mọi (u, v) ∈ C × C;

(A3) Với mọi u ∈ C, G(u, .) : C → R là nửa liên tục dưới yếu và lồi;

(A4) limt→+0 G((1 − t)u + tz, v)

G(u, v) với mọi (u, z, v) ∈ C × C × C.

Bổ đề 2.2.5. Cho C là tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian Hilbert H và G là
song hàm từ C × C vào R thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4). Cho r > 0 và x ∈ H. Khi
đó, tồn tại z ∈ C sao cho
1
G(z, v) + z − x, v − z ≥ 0 với mọi v ∈ C.
(2.4)
r

2.3

2.3.1

Một số phương pháp giải bất đẳng thức
biến phân
Phương pháp hiệu chỉnh

Ta xây dựng phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov trong không gian Hilbert H
giải bất đẳng thức biến phân VI(A, C) như sau: tìm điểm xn ∈ H thỏa mãn
AC (tn )xn + αn (xn − x∗ ) = 0,

AC (tn ) = I − T (tn )PC ,

n ≥ 0,

(2.5)

5

ở đây I là ánh xạ đơn vị của H và {tn }, {αn } là hai dãy số thực dương hội tụ về 0 khi
n → ∞.
Định lý 2.3.1. Cho C là tập con khác rỗng, bị chặn, lồi và đóng trong không gian Hilbert
thực H và {T (t) : t ≥ 0} là nửa nhóm ánh xạ không giãn trên C sao cho F˜ = ∩t>0
Fix(T (t)) = ∅. Khi đó,
(i) Với mỗi αn , tn > 0, bài toán (2.5) có duy nhất nghiệm xn .
(ii) Nếu αn và tn được chọn sao cho
lim tn = lim αn = 0,

n→∞

n→∞

thì n→∞
lim xn = p thỏa mãn
p ∈ F˜ :

x∗ − p = min x∗ − y .
y∈F˜

(2.6)

Phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C) trong không gian
Banach thực trơn được đề xuất như sau:
Fn xn + εn Axn = 0,

n≥0

(2.7)

trong đó Fn = I − Tn , Tn được xác định bởi
Tn x =

1
tn

tn

T (s)xds ∀x ∈ X,

(2.8)

0

và {tn }, {εn } là các dãy tham số dương thỏa mãn tn → ∞ và εn → 0 khi n → ∞.
Định lý 2.3.2. Cho X là không gian Banach lồi đều có chuẩn khả vi Gâteaux đều, A :
X → X là ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz với η and L là các hằng
số dương, {T (s) : s ≥ 0} là nửa nhóm ánh xạ không giãn trên X sao cho F˜ = ∩s≥0
Fix(T (s)) = ∅. Khi đó,
(i) Với mỗi tn > 0 và εn > 0, phương trình hiệu chỉnh (2.7) có duy nhất nghiệm xn .
(ii) Nếu các dãy tham số tn và εn được chọn sao cho
lim tn = +∞ và

n→∞

lim εn = 0,

n→∞

˜
thì dãy {xn } hội tụ mạnh đến u ∈ F˜ thỏa mãn bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, F).
(iii) Hơn nữa, ta có đánh giá sau:
xn − xm

|εm − εn |
|tm − tn | M1
+2
εn
εn tm
η

(2.9)

ở đây M1 là một tham số dương, xn , xm là các nghiệm hiệu chỉnh của (2.7) với các
dãy tham số tương ứng tn , εn và tm , εm .


6

2.3.2

Phương pháp lai ghép

Ta đưa ra phương pháp lặp sau đây:




x0






uk






y k




∈H

được chọn bất kỳ,

∈ C : G(uk , y) +

1
rk

uk − xk , y − uk ≥ 0, ∀y ∈ C,

= PC (uk − λk Auk ),
(2.10)

zk = (1 − µk )xk + µk Tk PC (uk − λk Ayk ),






Hk = {z ∈ H : zk − z
xk − z },






Wk = {z ∈ H : xk − z, x0 − xk ≥ 0},






xk+1 = PHk ∩Wk (x0 ),

k ≥ 0,

trong đó Tk xác định bởi

Tk x = T (sk )x,

∀x ∈ C và

lim inf sk = 0,

lim sup sk > 0,

k→∞

k→∞

lim (sk+1 − sk ) = 0,

(2.11)

k→∞

và Tk xác định bởi
Tk x =

1
sk

sk
0

T (s)xds,

∀x ∈ C

và

lim sk = +∞,

k→∞

(2.12)

Định lý 2.3.3. Cho C là tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian Hilbert thực H,
{T (s) : s ≥ 0} là nửa nhóm không giãn trên C, G : C × C → R là một song hàm thỏa mãn
các điều kiện (A1)-(A4) và A : C → H là ánh xạ đơn điệu và L-liên tục Lipschitz sao
cho F∩ EP(G) ∩ ΩA = ∅. Xác định các dãy {xk }, {uk }, {yk } và {zk } bởi lược đồ (2.10) với
mọi k ≥ 0, trong đó {µk } ⊂ [a, 1] với a ∈ (0, 1), {rk } ⊂ (0, ∞) sao cho lim inf k→∞ rk > 0,
√
{λk } ⊂ [b, c] với b, c ∈ (0, 1/ 2L) và Tk cùng với {sk } thỏa mãn (2.11) hoặc (2.12). Khi
đó, {xk }, {uk }, {yk } và {zk } hội tụ mạnh về điểm p ∈ F∩ EP(G) ∩ ΩA .


7

Chương 3

Điều kiện tối ưu của một
số bài toán lập biểu trên
mô hình máy đơn, mô
hình máy song song
3.1

Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu

hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện
các công việc tương đương nhau trên mô
hình máy đơn

3.1.1

Bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành
thực hiện các công việc tương đương nhau trên
mô hình máy đơn

3.1.2

Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa
tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công
việc tương đương nhau trên mô hình máy đơn


8

Định lý 3.1.1. Điều kiện cần và đủ của bài toán tối ưu hoá tổng thời gian hoàn thành các
công việc trên mô hình máy đơn là các công việc phải được sắp xếp tuân theo quy tắc SPT.

3.2

Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu
hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện
các công việc có trọng số khác nhau trên
mô hình máy đơn

3.2.1

Bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành
thực hiện các công việc có trọng số khác nhau
trên mô hình máy đơn

Bài toán 1|| nj=1 wj Cj được gọi là bài toán tổng thời gian hoàn thành thực hiện của
các công việc có trọng số khác nhau trên mô hình máy đơn.

3.2.2

Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng
thời gian hoàn thành thực hiện các công việc có
trọng số khác nhau trên mô hình máy đơn

Định lý 3.2.1. Quy tắc WSPT giải quyết bài toán tối ưu đối với bài toán tối thiểu hóa
tổng thời gian hoàn thành công việc có trọng số khác nhau trên mô hình máy đơn. Nghĩa
là, áp dụng quy tắc WSPT, ta sẽ đạt được trình tự sắp xếp tối ưu.
Định lý 3.2.2. Điều kiện cần và đủ của bài toán tối ưu tối thiểu hoá tổng thời gian hoàn
thành các công việc có trọng số khác nhau trên mô hình máy đơn là dãy các công việc sắp
xếp tuân theo quy tắc WSPT.


9

3.3

Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu
hóa thời gian trễ tối đa của các công việc
có thời gian đến như nhau trên mô hình
máy đơn

3.3.1

Bài toán tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của
các công việc có thời gian đến như nhau trên
mô hình máy đơn

Bài toán trình tự trễ tối đa của các nhiệm vụ có thời gian đến như nhau
1||Lmax .

3.3.2

Điều kiện đủ để bài toán tối thiểu hóa thời gian
trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như
nhau trên mô hình máy đơn là tối ưu

Một điều kiện đủ nổi tiếng của giải pháp tối ưu là trình tự EDD (Earliest Due Date
first): dπ1 dπ2 · · · dπn .
Định lý 3.3.1. Quy tắc EDD giải quyết vấn đề tìm trình tự tối ưu đối với bài toán 1||Lmax .

3.3.3

Điều kiện cần và đủ của bài toán tối thiểu hóa
thời gian trễ tối đa của các công việc có thời
gian đến như nhau trên mô hình máy đơn

Định nghĩa 3.3.2. Đối với một trình tự sắp xếp π cho trước, một công việc Tπ(r) được
gọi là chủ chốt nếu nó có thời gian trễ tối đa Lπ(r) = Lmax (π).
Định lý 3.3.3. Một trình tự sắp xếp π là tối ưu đối với bài toán 1||Lmax nếu và chỉ nếu
có một công việc chủ chốt Tπ(r) sao cho dπ(i) < dπ(r) , ∀i < r.

10

3.4

Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu
hóa thời gian thực hiện tối đa của công
việc trên mô hình máy đơn với thời gian
tham gia vào quá trình thực hiện bất kì

3.4.1

Bài toán tối thiểu hóa thời gian thực hiện tối
đa của công việc trên mô hình máy đơn với thời
gian tham gia vào quá trình thực hiện bất kì

3.4.2

Điều kiện cần và đủ của bài toán tối thiểu hóa
thời gian thực hiện tối đa của công việc trên mô
hình máy đơn với thời gian tham gia vào quá
trình thực hiện bất kì

Một điều kiện đủ đã biết của các giải pháp tối ưu là
rπ(1)

rπ(2)

···

rπ(n) .

Định lý 3.4.1. Một trình tự sắp xếp π là tối ưu đối với bài toán 1|rj |Cmax nếu và chỉ nếu
tồn tại một công việc then chốt Tπ(r) sao cho rπ(r) rπ(j) , ∀j > r.

3.5

Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu
hóa tổng các công việc trễ trên mô hình
máy đơn

3.5.1

Bài toán tối thiểu hóa tổng các công việc trễ
trên mô hình máy đơn

Bài toán tối thiểu hóa tổng các công việc trễ trên mô hình máy đơn được kí hiệu là
1|| Uj .

3.5.2

Điều kiện cần và đủ của bài toán tối thiểu hóa
tổng các công việc trễ trên mô hình máy đơn


11

Bổ đề 3.5.1. Trong thuật toán trên, giả sử rằng hiện tại S là một tập hợp độc lập bao
gồm một vài tập hợp độc lập cực đại I (giải pháp tối ưu). Cho k ∈ E \ S là một công việc

có thời gian xử lý nhỏ nhất. Nếu S ∪ {k} là độc lập, khi đó tồn tại một tập hợp độc lập cực
đại I ∗ bao gồm cả S ∪ {k}.
Định lý 3.5.2. Một tập hợp độc lập I là tối ưu đối với bài toán 1|| Uj nếu và chỉ nếu
nó có thể thu được bằng cách làm cho một số chuyển đổi từ một tập hợp then chốt I ∗ .

3.6

Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu
hóa tổng thời gian hoàn thành các công
việc trên mô hình các máy sản xuất song
song đồng tốc độ

3.6.1

Bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành
các công việc trên mô hình các máy sản xuất
song song đồng tốc độ

3.6.2

Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng
thời gian hoàn thành các công việc trên mô hình
các máy sản xuất song song đồng tốc độ

Định lý 3.6.1. Giả sử n = km + h, k ∈ {1, 2, . . .}, h ∈ {0, 1, . . . , m − 1} và trình tự SPT
của n công việc là
π=

{J1 , J2 , . . . , Jm }, {Jm+1 , Jm+2 , . . . , J2m } . . . , {J(k−1)m+1 , J(k−1)m+2 , . . . , Jkm },
m công việc

m công việc

m công việc

{Jkm+1 , Jkm+2 , . . . , Jkm+h } .
h công việc
Nếu trình tự σ được tạo ra bằng cách sắp xếp liên tục tùy ý nhóm h công việc trên h
máy đầu tiên (mỗi máy chỉ có một công việc):
{J1 , J2 , . . . , Jm },


12

hoặc bằng cách sắp xếp nhóm m công việc tùy ý trên nhóm m máy (mỗi máy chỉ có một
công việc):
{J(i−1)m+h+1 , J(i−1)m+h+2 , . . . , Jim−1 , Jim }, {Jim+1 , Jim+2 , . . . , Jim+h },
h công việc

(m-h) công việc
thì σ cũng là trình tự tối ưu đối với bài toán Pm ||

Cj .