bộ chuyên đề thi vào lớp 10 môn toán hay nhất

Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1

Contents
Chương 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ ......................................................................................................................... 3
Chuyên đề 1.1

Rút gọn và tính giá trị của biểu thức ................................................................................................. 3

Rút gọn biểu thức đại số ............................................................................................................................ 3
Tính giá trị của biểu thức đại số một biến ........................................................................................... 11
Tính giá trị của biểu thức nhiều biến có điều kiện ............................................................................ 13
Chuyên đề 1.2

Tìm điều kiện để biểu thức đại số thỏa mãn điều kiện cho trước. ........................................18

Chương 2:ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC ............................................................................................. 24
Chuyên đề 2.1

Đẳng thức

Một số phương pháp chứng minh đẳng thức có điều kiện ............................................................................ 24
Tìm hệ thức không phụ thuộc vào tham số ......................................................................................... 30
Chuyên đề 2.2

Bất đẳng thức ............................................................................................................................................. 33

Một hướng chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ........................................................................................ 33
Áp dụng bất đẳng thức cauchy hai số để chứng minh bất đẳng thức ............................................ 36
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức có chứa biến ở mẫu ........................................... 39
Sử dụng vai trò như nhau của các biến để chứng minh bất đẳng thức .......................................... 43
Chuyên đề 2.3

Tìm giá trị lớn nhất, giái trị nhỏ nhất ............................................................................................. 47

Một phương pháp tìm giá trị lớn nhất, ................................................................................................. 47
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ................................................................................................................ 47
Suy luận để tìm ra lời giải trong bài toàn cực trị ................................................................................ 53
Chƣơng 3: PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH........................................................................... 57
Chuyên đề 3.1

Phương trình và bất phương trình bậc nhất ................................................................................. 57

Chuyên đề 3.2

Phương trình bậc hai ................................................................................................................................61

Ba dạng toán thường gặp liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai ................................. 62
Vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải toán ........................................ 66
Bất đẳng thức về tính chất các nghiệm của phương trình đại số ..................................................... 71
Chuyên đề 3.3

Phương trình quy về bậc nhất và bậc hai ...................................................................................... 74

Phương pháp dùng ẩn phụ để giải một số dạng phương trình thường gặp ................................. 74
Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn.............................................................. 81
Sử dụng hằng đẳng thức  A  B   A2  2 AB  B 2 để giải phương trình ......................................... 85
2

Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ ...................................................................................... 88
1|MUA TRỌN BỘ FILE WORD LIÊN HỆ 0937351107

Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1
Bài toán về số nghiệm của một số loại phương trình ......................................................................... 93
Chƣơng 4. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ..................................................................................................................... 97
Chuyên đề 4.1.

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ....................................................................................................... 97

Chuyên đề 4.2

Một số dạng hệ phương trình hệ phương trình đối xứng ....................................................... 102

Chuyên đề 4.3

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.................................................................................... 115

Chuyên đề 4.4
Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình có chứa
dấu giá trị tuyệt đối ................................................................................................................................................................ 125
Chƣơng 5: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ ................................................................................................................... 131
Một số dạng toán về hàm số và đồ thị ................................................................................................. 131
Parabol- một đường cong tuyệt đẹp ................................................................................................... 140
Các đề tự luyện .................................................................................................................................................. 147

2|MUA TRỌN BỘ FILE WORD LIÊN HỆ 0937351107


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1

Chương 1: biểu thức đại số

Chuyên đề 1.1
Rút gọn và tính giá trị của biểu thức
Rút gọn biểu thức đại số
Thanh loan
để rút gọn biểu thức ta thường thực hiện như sau:
 Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa. Lưu ý:
a có nghĩa  a  0 ;
a
có nghĩa  b  0;
b

1
có nghĩa  a  0, b  0 và a  b
a b
 Vận dụng các phép toán đối với đa thức, phân thức, thứ tự thực hiện các phép tính, các hằng đẳng thức
đáng nhớ,....
I - rút gọn phân thức hữu tỉ
phƣơng pháp. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử, rồi rút gọn nhân tử chung (lưu ý phải đặt
điểu kiện cho mẫu thức khác 0).
 Thí dụ 1: rút gọn biểu thức:

A

x 4  x3  2 x  4
2 x 4  3x3  2 x 2  6 x  4

lời giải. Ta có
x4  x3  2 x  4   x4  4    x3  2 x    x2  2  x2  2   x  x 2  2 

  x2  2  x2  x  2    x 2  2   x  1 x  2  .

để rút gọn biểu thức ta thường thực hiện như sau:
 Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa. Lưu ý
a có nghĩa  a  0 ;
a
có nghĩa  b  0;
b

3|MUA TRỌN BỘ FILE WORD LIÊN HỆ 0937351107


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1
 Vận dụng các phép toán đối với đa thức, phân thức, thứ tự thực hiện các phép tính, các hằng đẳng thức
đáng nhớ.
I- rút gọn phân thức hữu tỉ
 Thí dụ 1:
Lời giải.
2x 4  3x 3  2x 2  6x  4

 (2x 4  8)  (3x 3  6x)  (2x 2  4)
 2(x 4  4)  3x(x 2  2)  2(x 2  2)
 (x 2  2)(2x 2  3x  2)
 (x 2  2)(x  2)(2x  1).
1
Điều kiện xác định A là x  2 và x   . ta có:
2
2
(x  2)(x  1)(x  2)
x 1

A 2

.
(x  2)(x  2)(2x  1) 2x  1
1
x 1
Vậy với x  2 và x   thì A 
.
2
2x  1
 Thí dụ 2: rút gọn biểu thức
2xy  x 2  z 2  y 2
B 2 2
.
x  z  y 2  2xz
Lời giải.
z 2  (x 2  2xy  y 2 ) z 2  (x  y) 2 (z  x  y)(z  x  y)
B 2


.
(x  2xz  z 2 )  y 2 (x  z) 2  y 2 (x  z  y)(x  z  y)
zxy
Với x  y  z  0, x  y  z  0 thì B 
.
xzy
Ii- rút gọn biểu thức có chứa căn thức.
ta thường dùng các hằng đẳng thức
a  b  ( a  b)( a  b) , với a  0, b  0;
a a  b b  ( a  b)(a  ab  b) , với a  0, b  0;

a a  b b  ( a  b)(a  ab  b) , với a  0, b  0;

a  b neáu a  b
(a  b) 2  a  b  
b  a neáu a  b.
 Thí dụ 3: rút gọn biểu thức
C  x  2y  x 2  4xy  4y2 .

Lời giải.
Ta có: C  x  2y  (x  2y) 2  x  2y  x  2y .
Nếu x  2y thì x  2y  x  2y. do đó C  x  2y  x  2y  4y.

Nếu x < 2y thì x  2y  x  2y . Do đó c = x + 2y + x – 2y = 2x.
4|MUA TRỌN BỘ FILE WORD LIÊN HỆ 0937351107


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1

4y neáu x  y
Vậy C  
2x neáu x < y
 Thí dụ 4: rút gọn biểu thức :



a b



2

 ab
a a b b 
D


 a b
 a ab b
a

b


Lời giải: điều kiện xác định a  0, b  0,a  b . Khi đó:

D






a b



a b

a b










a  b a  ab  b 


a b
a b 


 



a b





2

a  b a  ab  b




a  ab  b 
a b

=  a b

a  b  a  ab  b




=





a b

  a 




ab  b 
a b
ab



a b
 a  ab  b a  ab  b


2

ab

Vậy với a  0, b  0,a  b thì d =

a  ab  b
Bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp, ta có thể đưa bài toán rút gọn biểu thức có chứa căn về bài toán rút
gọn biểu thức hữu tỉ (không chứa căn) dễ biến đổi hơn
 Thí dụ 5: rút gọn biểu thức:
2

 4  2 1 2 
E

 
4
 1 4 2
2 

4

Lời giải: đặt

4

2  a thì a4 = 2,
2

 a  a 1 a 

E= 
 
a 
 1 a
2

2

4

4

1

2



2
1 2

1
2

4  a2  2 . Ta có:

2 1

a2 a 4
1  a2

1

2


1  a2 
1  a2
1 1
 2  2  0 . Vậy e = 0
=  a 
  2
2
a  a (1  a ) a a

 Thí dụ 6: rút gọn biểu thức
2
F
4  3 4 5  2 4 25  4 125
Lời giải: đặt a  4 5 thì a 4  5; a 2  4 25; a3  4 125 . Ta có:

5|MUA TRỌN BỘ FILE WORD LIÊN HỆ 0937351107

Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1

  a 3  3a  2a 2  4 
1
1


2
2
4  3 4 5  2 4 25  4 135  a 3  3a    2a 2  4   a 3  3a    2a 2  4 


  a 3  3a  2a 2  4 



a 3  3a  2a 2  4
2a 2  6

a 6  6a 4  9a 2  4a 4  16a 2  16
 a3  3a  2a 2  4  a 2  3  a5  2a 4  2a 2  9a  12   a  1 2



8
2  a4  9
 2 

 a 1 
4

Suy ra F  2 
  a 1  5 1
 2 
 Đối với biểu thức có dạng tổng hay hiệu của hai biểu thức liên hợp bậc hai
2

M  a  b c , M '  a  b c , ta có:

 M  M '

 2a  2 a 2  b2c ,  M  M '  2a  2 a 2  b2c

2

2

Vì vậy có thể dùng phép lũy thừa bậc hai để khử bớt căn
 Thí dụ 7: rút gọn biểu thức:
G  a  b  c  2 ac  bc  a  b  c  2 ac  bc trong đó a,b,c là các số không âm
Lời giải : bình phương biểu thức g ta có :

G2  2  a  b  c  2

a  b  c

 2a  b  c  2

Nếu a  b  c
Nếu a  b  c

2

 4  ac  bc 

a  b  c  2a  b  c  2 a  b  c
thì G 2  2  a  b  c   2  a  b  c   4(a  b)  G  2
thì G 2  2  a  b  c   2  a  b  c   4c  G  2 c
2

ab


2 a  b khi a  b  c
Vậy G  
khi a  b  c

2 c
 Đối với biểu thức có dạng tổng hay hiệu của hai biểu thức liên hợp bậc ba
M  3 a  b c , M '  3 a  b c , ta có :

 M  M '

3

 M 3  M ' 3  3M .M '(M  M ')  2a  3 3 a 2  b2c  M  M ' 

Nên m+ m’ là một nghiệm của phương trình : x3  3 3 a 2  b2c x  2a  0
Tương tự M  M  là một nghiệm của phương trình

x3  3 3 a 2  b2c  2a  0 .

Vì vậy dùng lũy thừa bậc ba để khử bớt căn.
 Thí dụ 8: rút gọn biểu thức
H  3 10  6 3  3 10  6 3 .

Lời giải. Lập phương biểu thức H ta có:

6|MUA TRỌN BỘ FILE WORD LIÊN HỆ 0937351107


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1

H 3  20  3 3 102  62.3 .H  H 3  6H  20  0   H  2   H 2  2H  10   0 .
Do H 2  2H  10   H  1  9  0 nên suy ra H  2  0  H  2 .
2

Khi gặp biểu thức chứa căn bậc hai, nếu biến đổi được thành

A2  A thì việc thực hiện phép tính sẽ

đơn giản hơn nhiều.
Xuất phát từ đẳng thức
1 1 1
2
2 2
1 1 1 2a  b  c
 1 1 1
.
   2 2 2
     2 2 2
a b c ab ac bc a b c

abc
a b c
2

2

1 1 1
1 1 1
Nếu a  b  c  0 thì      2  2  2 .
a b c
a b c

Suy ra : với abc  0 , a  b  c  0 thì

1 1 1
1 1 1
 2 2   
2
a b c
a b c

 *

Vận dụng đẳng thức * vào rút gọn biểu thức chứa căn rất hiệu quả.
 Thí dụ 9: cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng
S

1

 a  b

2



1

b  c 

2



1

c  a 

2

là số hữu tỉ.

Lời giải. Nhận thấy  a  b   b  c   c  a   0 và a  b  0 , b  c  0 , c  a  0 .
Áp dụng * cho ba số a  b , b  c , c  a ta có
S

1
1
1



a b b c c a

Mà a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau nên S phải là số hữu tỉ.
 Thí dụ 10: rút gọn biểu thức
P

1
1
1
1
1
.

 4 4
2
2
2
x  y  x  y
x
y  x  y 2 2
2

Lời giải. Điều kiện x  0, y  0, x   y . Nhận thấy x 2  y 2   x 2  y 2   0 . Áp dụng * cho ba số
x 2 , y 2 ,   x 2  y 2  ta được

7|MUA TRỌN BỘ FILE WORD LIÊN HỆ 0937351107


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1

1 1
1
1 1
1
1 1
1
 4
 2 2
 2 2 2
.
2
4
2
2
x
y  x2  y 2 
x
y x  y  x
y  x  y2 
1
1
1
 2
2
x
y  x  y 2

Do đó: P 

Lại áp dụng * với ba số x, y,   x  y  ta có:

P

1 1
1
1 1
1
.
 
  
x y  x  y
x y x y

 Thí dụ 11: tính tổng gồm 2010 số hạng

S  1

1 1
1 1
1
1
 2  1  2  2  ...  1 

.
2
2
2 3
3 4
2011 20122

Lời giải. Mỗi số hạng của tổng có dạng

1

1

 n  1

2



1
1
1
1
1
1
 2

 1
  n  3,..., 2012  .
2
2
2
n
1  n  1  n 
n 1 n

Từ đó, ta có:
1
1 

1
1
 1 1  1 1

S  1     1     ...  1 

  2010  
2 2012
 2 3  3 4
 2011 2012 
 2010

1005
.
2012

Iii – vận dụng tính chất nghiệm của đa thức để rút gọn
1.

Cơ sở lí thuyết
Mệnh đề
a) Nếu nhị thức dạng f  x   ax  b ( a, b là các tham số ) có hai nghiệm phân biệt thì a  b  0 , tức là

f  x  đồng nhất bằng 0 .
b) Nếu tam thức dạng f  x   ax 2  bx  c ( a, b, c là các tham số ) có ba nghiệm đôi một khác nhau thì

a  b  c  0 , tức là f  x  đồng nhất bằng 0 .
Chứng minh
a) Giả sử với x1  x2 mà f  x1   f  x2   0 thì ax1  b  0 và ax2  b  0 . Từ đó a  x1  x2   0 . Vì
x1  x2  0 nên a  0 suy ra b  0 .

8|MUA TRỌN BỘ FILE WORD LIÊN HỆ 0937351107


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1
b) Giả sử x1 , x2 , x3 đôi một khác nhau mà f  x1   f  x2   f  x3   0 thì ax12  bx1  c  0 ;
ax22  bx2  c  0 ; ax32  bx3  c  0 .

Từ đó suy ra a  x12  x22   b  x1  x2   0 ; a  x12  x32   b  x1  x3   0 . Do x1  x2 , x1  x3 , nên

a  x1  x2   b  0 ; a  x1  x3   b  0 .
c) Suy ra a  x2  x3   0 . Vì x2  x3 nên a  0 . Từ đó suy ra b  0 , c  0 .
Khi rút gọn các phân thức hữu tỉ, nếu khai triển các phép tính gặp phải những biến đổi phức tạp thì ta
nên coi nó như một đa thức theo một biến rồi áp dụng mệnh đề trên. Lúc đó công việc trở nên dễ dàng hơn.
2.

Một số thí dụ áp dụng
 Thí dụ 12. Rút gọn biểu thức

 d  b  d  c    d  c  d  a    d  a  d  b  .
 a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b 
Lời giải. Điều kiện xác định a  b, b  c, c  a .
Xét đa thức f  x  

 x  b  x  c    x  c  x  a    x  a  x  b  .
 a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b 

Khi đó biểu thức đã cho chính là f  d  .
Nhận thấy f  a  

 a  b  a  c    a  c  a  a    a  a  a  b   1 .
 a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b 

Tương tự có f  b   f  c   1 .
Như vậy f  x   1 là tam thức dạng Ax2  Bx  C nhận ba số khác nhau a, b, c làm nghiệm.
Vậy f  x   1 đồng nhất bằng 0 , hay f  x   1 với mọi x. Suy ra f  d   1 .
 Thí dụ 13. Đơn giản biểu thức
a  b b  c c  a  a  b  b  c  c  a 
.



a  b b  c c  a  a  b  b  c  c  a 

Lời giải. Điều kiện xác định a  b, b  c, c  a .
Sau khi quy đồng mẫu số chung

 a  b b  c  c  a  , ta có tử thức là

9|MUA TRỌN BỘ FILE WORD LIÊN HỆ 0937351107


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1

P   a  b  b  c  c  a    a  b b  c  c  a    a  b b  c  c  a    a  b b  c c  a  xét
f  x    x  b  b  c  c  x    x  b b  c  c  x    x  b b  c  c  x    x  b b  c c  x  thì

P  f a .
Ta thấy

f  b    b  b  b  c  c  b   b  b b  c  c  b   0 ;
f  c    c  b  b  c  c  c    c  b b  c  c  c   0 ;

f  0  bc  b  c   bc  b  c   bc b  c   bc b  c  .
-

Nếu b  c và đều khác 0 thì f  x  có dạng Ax2  Bx  C nhận b, c, 0 đôi một khác nhau làm
nghiệm nên f  x  đồng nhất bằng 0 và P  0 .

-

Nếu b  0 hoặc b  c hoặc c  0 thì suy ra P  0 .

Vậy biểu thức đã cho bằng 0 .
Bài tập.
Bài 1. rút gọn các biểu thức sau
2
2
 x2
 2  4 x 3x  x  1

 3 :

1) M  
.
x 1  x 1
3x
 3x

 x2 1

1   4 1  x4 
 2  . x 
2) N   4
.
2
1  x2 
 x  x 1 x 1  
3) N 

a 2  bc
b2  ac
c 2  ab
.


 a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b 

Bài 2. Chứng minh rằng với a, b, c là các số đôi một khác nhau thì

a 2  x  b  x  c  b 2  x  c  x  a  c 2  x  a  x  b 


 x2 .
 a  b  a  c 
 b  c  b  a 
 c  a  c  b 
Bài 3. Rút gọn các biểu thức chứa căn thức
1) A 

a 2  4a  4

.
a 2

2) B  3x  4  2 3x  5 .

10 | M U A T R Ọ N B Ộ F I L E W O R D L I Ê N H Ệ 0 9 3 7 3 5 1 1 0 7


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1

3) C 

2 a 9
a  3 2 a 1
.


a 5 a 6
a  2 3 a

 1  a a

a  a   1  a a
:

a

a
4) D 



 .
 1  a
1  a 2  1  a


3

Bài 4. Rút gọn các biểu thức
1) E 

2
7  5 4 5  3 4 25  4 125 .
2

847 3
847
 6
.
27
27
1
7
2
6
7 
3) G  3  3 7 

7
1

3
7
73 7 
7

2) F  3 6 





1 

7



7
.
3
343

Bài 5. Cho Sn  1  99...9   0,99...9  . hãy viết S n dưới dạng số thập phân.
2

2

Tính giá trị của biểu thức đại số một biến
Đinh văn đông
Tính giá trị của biểu thức đại số một biến mà giá trị của biến là một biểu thức tạp hoặc thỏa mãn điều kiện

nào đó là dạng toán gặp nhiều trong các kì thi vào thpt, thi học sinh giỏi với những bài tập hay và khó, đòi
hỏi sự vận dụng linh hoạt và sáng tạo các phép biến đổi. Ta thường sử dụng phương pháp phân tích từ
điều kiện đã cho của biến để biến đổi.

 Bài toán 1: tính giá trị của biểu thức





A  x5  x 4  x3  1

2012



x

2

 x 3



2012

x  x  x 2
5

4

3

2012

khi x 

5 1
.
2

5 1
 2 x  1  5  4 x 2  4 x  1  5  x 2  x  1  0.
2
5
4
Ta có: x  x  x3  1  x3  x 2  x  1  1  x3 .0  1  1.
lời giải. x 

x2  x  3  x2  x  1  2  0  2  2;

x5  x4  x3  22012  x3  x2  x  1  22012  x3 .0  22012  22012.
Khi đó A  1

2012

 2


2012

22012

22012
 1  2012  0.
2





2

 Bài toán 2: cho biểu thức B  4 x5  4 x 4  5x3  5x  2  2011.

11 | M U A T R Ọ N B Ộ F I L E W O R D L I Ê N H Ệ 0 9 3 7 3 5 1 1 0 7


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1

Tính giá trị của biểu thức b khi x 

2 1 1

2 1 2

1
lời giải. Ta có x 
2

2 1
.
2 1

1
2







2 1



2 1

2



2 1

2 1
 2x  1  2
2



  2 x  1  2  4 x 2  4 x  1  0.
2



 



Suy ra 4 x5  4 x4  5x3  5x  2  x3 4 x 2  4 x  1  x 4 x 2  4 x  1  4 x 2  4 x  2
= x3 .0  x.0  0  1  1.
Vậy B   1  2011  2012 .
2

2 x2  x  1  0. không giải phương trình. Hãy

 Bài toán 3: gọi a là nghiệm dương của phương trình
tính giá trị của biểu thức C 

2a  3





2 2a  2a  3  2a
4

Lời giải. Do a là nghiệm dương của phuong trình

2a4  1  2a  a2 . từ đó , ta có:

2a  3

C







2 2a 4  2a  3  2a 2

 2a  3 









 2a  3 

2 x2  x  1  0. nên 2a2  1  a suy ra 0  a  1 và





2 2a 4  2a  3  2a 2



4a 2  4a  6  4a 4



2 2a 4  2a  3  2a 2
2  2a  3



.
2







2 2a 4  2a  3  2a 2
2



2a

a  2 1 a
1
 a2 


.
2
2
2
2
 Bài toán 4: chứng minh rằng phương trình x2  x  1  0 có hai nghiệm trái dấu. Gọi x1 là nghiệm âm của
phương trình. Tính giá trị của biểu thức


1
2





2 2a 4  2a  3  2a 2  

D  x18  10 x1  13  x1.
Lời giải. Do ac  1  0 nên phương trình x2  x  1  0 có hai nghiệm trái dấu. Vì x1 là nghiệm của
2
2
phương trình nên x1  x1  1  0  x1  1  x1. do đó:

x14  1  x1   1  2 x1  x12  1  2 x1  1  x1  2  3x1 ;

2

x18   2  3x1   4  12 x1  9 x12  4  12 x1  8x12  x12  4  12 x1  8 1  x1   x12  12  20 x1  x12 ;
2

x18  10 x1  13  12  20 x1  x12  10 x1  13  25  10 x1  x12   5  x1  .
2

Suy ra

x18  10 x1  13  5  x1 .

Vì x1  0 nên 5  x1  0  5  x1  5  x1.
Do đó D  x18  10 x1  13  x1  5  x1  x1  5.
 Bài toán 5: tính giá trị của biểu thức
12 | M U A T R Ọ N B Ộ F I L E W O R D L I Ê N H Ệ 0 9 3 7 3 5 1 1 0 7


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1

F

x5  3x3  10 x  12
x
1
 .
với 2
4
2
x  7 x  15

x  x 1 4

x
1
  4 x  x 2  x  1  x 2  3x  1.
x  x 1 4
3
2
Do đó x  x.x  x  3x  1  3x2  x  3  3x  1  x  8x  3;
Lời giải. Ta có

2

x4  x3 .x  8x  3 x  8x 2  3x  8 3x  1  3x  21x  8;
x5  x4 .x   21x  8 x  21x 2  8x  213x  1  8x  55x  21.
từ đó, ta có
x5  3x3  10 x  12  55x  21  3 8x  3  10 x  12  21x ;

x4  7 x2  15  21x  8  7  3x  1  15  42 x .
Vậy

F

x5  3x3  10 x  12 21x 1

 (vì x  0 ).
x 4  7 x 2  15
42 x 2
Bài tập.

Bài 1. Tính giá trị của biểu thức A  x2  x 4  x  1 với x 
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức B 

a 1
a  a  1  a2
4

1
2

1
2
2 
.
8 8

, trong đó a là nghiệm dương của phương trình

4 x2  2 x  2  0.
x5  4 x3  3x  9
x
1
 .
Bài 3. Tính giá trị của biểu thức C 
với 2
4
3
x  3x  11
x  x 1 4

Tính giá trị của biểu thức nhiều biến có điều kiện
Để tính giá trị của biểu thức có nhiều hơn một biến số với điều kiện cho trước ta có thể sử dụng phương
pháp phân tích từ điều kiện đã cho, phương pháp hệ số bất định hay phương pháp hình học. Sau đây là
một số ví dụ minh họa.
I – phương pháp phân tích

 Thí dụ 1: cho các số thực dương x, y thỏa mãn 7 x2  13xy  2 y 2  0
2x  6 y
.
Tính giá trị của biểu thức A 
7x  4 y
lời giải. Ta có
1   7 x  y  x  2 y   0  x  2 y (do x  0, y  0 ).
Thay vào biểu thức A , thu được A 

2.2 y  6 y 2 y
1
1

  . vậy A  .
7.2 y  4 y 18 y
9
9

 Thí dụ 2: cho các số thực dương x, y thỏa mãn

13 | M U A T R Ọ N B Ộ F I L E W O R D L I Ê N H Ệ 0 9 3 7 3 5 1 1 0 7


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1

2012
 2012
 x  1  y

 x  2 y  7042

3
x
.
y
2012
2012
, b
lời giải. Đặt a 
với a, b  0 thì hệ điều kiện đã cho trở thành
x
y
Tính giá trị của biểu thức B 

a  1  b

1 2 7
 a  b  6 .
1
2
7

  7a 2  11a  6  0  a  2 (do a  0 ).
a a 1 6

x a 3
Vậy B    .
y b 2
 Thí dụ 3: cho các số thực dương x, y, z, t, s thỏa mãn

 5
t.x   t  2  y   t  2  z



s  7  s
 x 2 z
s s
Tính giá trị của biểu thức C   .
x y
5
lời giải. Từ điều kiện của bài toán suy ra t  2 và t  .
2
tx
2tx
từ (2) suy ra y 
;
,z 
t 2
2t  5
s
s
7
s 7
Thay vào (3) ta được 

   .
x 2tx 2
tx 5
s s s s s  t  2  2s 14
Do đó C      1 
 .

x y x tx x 
t  tx
5
Ii-phương pháp hệ số bất định.
 Thí dụ 4:cho các số thực x, y, z thỏa mãn
Suy ra

 2
 3

 x  y  x  y   z 2

2
2
 4 y  5  7z
Hãy tính giá trị của biểu thức D  2 x 2  10 y 2  23z 2
 x2  y 2  z 2  0
.
Lời giải. Ta có  4   
2
2
4
y


7
z

5

Gọi a, b là các số thực thỏa mãn

a  x 2  y 2  z 2   b  4 y 2  7 z 2   2 x 2  10 y 2  23z 2

14 | M U A T R Ọ N B Ộ F I L E W O R D L I Ê N H Ệ 0 9 3 7 3 5 1 1 0 7

(4)


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1
Vậy D  2  x 2  y 2  z 2   3 4 y 2  7z 2   2.0  3.5  15 . Type equation here.
 Thí dụ 5: cho các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn

t

 x  2 y  2 z  1

t
1


 z  3x 2
t
Tính giá trị của biểu thức E 

.
x  8 y  9z

(5)

z
 x 2y
 t  t  2. t  1
1 x
y
z
Lời giải. Ta có  5   
và   8.  9. .
E t
t
t
 3. x  z  1

t t 2
y
z 
x z x
y
z
x
Gọi a, b là các số thực thảo mãn a   2.  2.   b  3.     8.  9.
t
t 
t t t
t

t
t
1
1
 4.1  1.2  6 . Vậy E  .
E
6
Ii-phƣơng pháp hình học.
 Thí dụ 6: cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn


 x2  y 2  9
 2
2
 y  z  16
 y 2  xz


(6)

Tính giá trị của biểu thức G  xy  yz .
Lời giải.
Xét tam giác ABC vuông tại B, BC  4, BA  3 và
đường cao BD . Đặt BD  y, DA  xvà DC  z . Ta
ta thấy x, y, z hoàn toàn thỏa mãn hệ điều kiện (6).
Khi đó
G  x. y  y.z   x  z  y  2.S ABC  3.4  12.
Vậy G  12.

 Thí dụ 7: cho các số thực x, y, z với y  0 thỏa mãn

15 | M U A T R Ọ N B Ộ F I L E W O R D L I Ê N H Ệ 0 9 3 7 3 5 1 1 0 7


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1

Tính giá trị biểu thức H  y



29

2
 x y  4

y2  z  2

 2
 y  x  1. 2  z


(7)



x 1  2  z .

Lời giải.(h1.2)
Từ (7) suy ra x  1, z  2 .





2
25

2
x

1

y


4

2
 2
Ta viết hệ (7) dưới dạng  y  2  x  4 .
 2
 y  x  1. 2  z






5
Xét tam giác vuông tại B , đường cao BD với AB  ; BC  2 .

2
Đặt BD  y, AD  x  1, CD  2  x . Rõ ràng x, y, z thỏa mãn hệ trên. Từ đó
1 5
H  y( x  1  2  z  2S ABC  2. . . 2  5 . Vậy H  5 .
2 2
 Thí dụ 8.cho các số dương x, y, z thỏa mãn.


 y 2  z 2  50

y2
 2
x

xy

 169

2

 2
z2
 x  xz   144
2

Tính giá trị biểu thức K  xy  yz  zx .
Lời giải.(h.1.3)
Ta viết lại hệ (8) dưới dạng
 y2 z2
  52


2
 2
y2
 2
x

xy

 132 .

2

 2
z2
2
 x  xz   12
2


(8)

16 | M U A T R Ọ N B Ộ F I L E W O R D L I Ê N H Ệ 0 9 3 7 3 5 1 1 0 7


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1
Xét tam giác vuông ABC vuông tại C với AB  13, AC  5, BC  12. gọi O là điểm nằm trong tam
y
z
giác ABC thỏa mãn AOC  900 ; BOC  1350 . Đặt OB  x, OA 

; OC 
. ta dễ dàng kiểm tra
2
2
1
1
1
được x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện trên. Ta có S AOB  xy; S AOC  yz; S BOC  zx .
4
4
4
1
Từ đó, suy ra K  xy  yz  zx  4  S AOB  S AOC  S BOC   4S ABC  4. . 5.123  120.
2
Vậy K  120.
Bài tập
Bài 1. Cho 3 số thực x,y,z dương và x>y thỏa mãn
z z
x  y  6


 z 4
 x  y 3

z
.
x y
Bài 2. Cho các số thực dương x,y,z,t,s thỏa mãn
hãy tính giá trị biểu thức M 


x
1
 x yz  4


2x
1
 .

 x  2y t 3

s
1

 2x  y  z  t
7 x  4z  t
.
s
Bài 3. Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn

Hãy tính giá trị biểu thức N 

 2
y3
x

xy



3

2
 y
 z2  9 .

 2 3
 z  xz  x 2  16


Hãy tính giá trị biểu thức P  xy  2 yz  3xz .

17 | M U A T R Ọ N B Ộ F I L E W O R D L I Ê N H Ệ 0 9 3 7 3 5 1 1 0 7


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1

Chuyên đề 1.2
Tìm điều kiện để biểu thức đại số
Thỏa mãn điều kiện cho trước.
Sau khi rút gọn biểu thức, đề thi có thể yêu cầu thêm:
 Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị là số nguyên.
 Chứng minh giá trị của biểu thức không là số nguyên.
 Tìm điều kiện để biểu thức không âm (hoặc không dương) hoặc thỏa mãn một bất đẳng thức, một đẳng
thức nào đó.
 Tìm điều kiện để biểu thức có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Dạng 1: tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị là số nguyên
phƣơng pháp: biến đổi biểu thức về dạng phân thức hoặc tổng của một đa thức với hệ số nguyên và
a
một phân thức dạng  a  Z  với A là đa thức với hệ số nguyên.

A
để tìm giá trị là một số nguyên thì a nhận giá trị là ước số của a
Trong trường hợp cần tìm giá trị của biến số thực để biểu thức nhận giá trị nguyên thì nên tìm trước các
giá trị nguyên có thể có của biểu thức, từ đó suy ra giá trị của các biến số.
 Thí dụ 1. Cho biểu thức A 

a 4  16
. Tìm các giá trị nguyên của a để a có giá trị
a 4  4a3  8a 2  16a  16

nguyên.
Lời giải. Trước hết ta rút gọn biểu thức a. Ta có:

a
A

2

 4   a  2  a  2 

a

2

 4  a  2

2



a2
4
 1
( với điều kiện a  2 )
a2
a2

A nhận giá trị nguyên khi a  2 là ước số của 4, tức là a  2 4; 2; 1;1; 2; 4
Suy ra a 2;0;1;3; 4;6
 Thí dụ 2. Cho biểu thức B 

m4 m4  m4 m4
. Tìm các giá trị nguyên của m để a có
8 16
1  2
m m

giá trị nguyên.
Lời giải. Trước hết ta rút gọn biểu thức b. Ta có:

B



m4 2



2





4

1  
 m

m4 2
2



2



m4 2
1

m4 2
4
m

18 | M U A T R Ọ N B Ộ F I L E W O R D L I Ê N H Ệ 0 9 3 7 3 5 1 1 0 7


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1


 m  4  2 khi m  8
m4 2  

 m  4  2 khi 4  m  8

Nhận thấy

 4
1
khi m  4 hoac m  0
4  m
1  
m 4
 1 khi 0  m  4
 m

4m
16
 4
m4
m4
Với m nguyên, để b nguyên thì m  4 là các ước của 16, nhưng 4  m  8 nên m  5;6;8



Nếu 4  m  8 thì B 



Nếu m  8 thì B 

2m
m4

Với m nguyên, để b nhận giá trị nguyên thì
Do đó B 

2  k 2  4
k

 2k 

m  4  k  k  N *  suy ra m  k 2  4 .

8
k

B nguyên thì k là ước số của 8, mà k  2 ( vì m  8 ) nên k  4;8
Suy ra m 20;68
Vậy với m 5;6;8; 20;68 thì b nhận giá trị nguyên.

2
x 
 1
 

:
1


 Thí dụ 3. Cho C  

 . Tìm các giá trị nguyên của m để c có

 x  1 x x  x  x  1   x  1 
giá trị nguyên.
Lời giải. Điều kiện x  0 và x  1

1
2
Ta có: C  

 x  1  x  1 x  1






Đặt

x 1

 x  1 




. x 1
 x  x 1



x 1
x 1

x 1 x  x  1 x  x  1



.

x  a  a  0, a  1 . Nếu tồn tại x để p có giá trị nguyên thì phương trình C 

, tham số c ) có nghiệm. Tức là:
Ca 2   C  1 a   C  1  0 có nghiệm

   3C 2  6C  1  0  3  C  1  4  1 
2

2 3
2 3
 C  1
3
3

19 | M U A T R Ọ N B Ộ F I L E W O R D L I Ê N H Ệ 0 9 3 7 3 5 1 1 0 7

a 1
( ẩn a
a  a 1

2


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1
Dễ thấy C  0 và c nguyên nên C  1; 2
Với C  1 thì

x  0
x 1
1 x  2 x  0  
( thỏa điều kiện )
x  x 1
x  4

Với C  2 thì

x 1
 2  2 x  3 x  1  0  x  0, 25 ( do x  1 ).
x  x 1

Vậy x 0; 0, 25; 4  thì C nhận giá trị nguyên.
Dạng 2. Chứng minh giá trị của biểu thức không là số nguyên.
Phƣơng pháp. Ta thường sử dụng một trong các cách sau:



Chỉ ra giá trị của biểu thức nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.
Hoặc biến đổi biểu thức về dạng phân thức hoặc tổng của một đa thức với hệ số nguyên và một phân
thức, rồi chứng minh rằng tử thức không chia hết cho mẫu thức.
 Hoặc chỉ ra giá trị của một biểu thức là một số vô tỉ.

a
b
c


 Thí dụ 4. Cho a, b, c là các số dương và C 
. Chứng minh rằng giá trị của c
bc bc ca
không là số nguyên.
Lời giải. Ta có:

C

a
b
c
a bc



1
a b c a b c a b c a b c

Ta lại có:
b  
c  
a 

C  1 
  1 

  1 

 ab  bc   ac
b
c
a


 3



 abc abc abc 
 3 1  2

Do đó: 1  C  2 . Vậy giá trị của c không phải là số nguyên.
 Thí dụ 5. Chứng minh rằng giá trị của D  x 2  4 x 2  36 x 2  10 x  3 ( với x là số tự nhiên )
không là số nguyên.
Lời giải. Do x  N nên

 4 x  1

2

 36 x 2  10 x  3   6 x  2 

2

 4 x  1  36 x 2  10 x  3  6 x  2
  2 x  1  4 x 2  36 x 2  10 x  3  4 x 2  6 x  2   2 x  2 

2

2

 2 x  1  4 x 2  36 x 2  10 x  3  2 x  2
  x  1  x 2  4 x 2  36 x 2  10 x  3  x 2  2 x  2   x  2 
2

2

 x 1  D  x  2

20 | M U A T R Ọ N B Ộ F I L E W O R D L I Ê N H Ệ 0 9 3 7 3 5 1 1 0 7


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1
Giá trị của d nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp nên không là số nguyên.
3n 2
1
( với n nguyên và n  1, n  0 ). Chứng minh rằng

2
2n  n  1 n  1
giá trị của biểu thức e không phải là số nguyên.
Lời giải. Rút gọn biểu thức

 Thí dụ 6. Cho biểu thức E 

E

 3n  1 n  1  3n  1  1  n
3n2
1


2n  1
 2n  1 n  1 n  1  2n  1 n  1 2n 1

Gọi d  ưcln  n; 2n  1 thì n d ,  2n  1 d suy ra 1 d hay d  1.
Lại có n  1, n  0 nên 2n  1  1
Vì vậy n

 2n  1

. Do đó e không phải là số nguyên với mọi số n nguyên và n  1, n  0 .

 Thí dụ 7. Cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên  n  1 . Chứng minh rằng
nguyên.
Lời giải. Giả sử

p  1 không là số

p  1  k  k  N  thì p  k 2  1   k  1 k  1

Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p 2 suy ra k  1, k  1 đều là số chẵn nên p 4 ( điều này
vô lý vì p 2 và p 4 ).
Vì vậy

p  1 phải là số hữu tỉ . Suy ra điều phải chứng minh.

Dạng 3. Tìm điều kiện để biểu thức thỏa mãn một bất đẳng thức hoặc một đẳng thức.
Phương pháp. Trước hết rút gọn biểu thức, rồi từ điều kiện đã cho dẫn đến phương trình hoặc bất
phương trình ( ẩn là biến số đã cho )
 Thí dụ 8. Cho biểu thức F 

3
3
x xx


x 3  x
x 3  x
x 1

a) Tìm x sao cho F  6 .
b) Tìm x sao cho F  2 .
c) So sánh f với 1,5.

x  3  0
 x3
Lời giải. F có nghĩa khi 
x

0

Khi đó F 

3



 

x 3  x 3

x 3  x

x 3 x

a) F  6  x  2 x  3  6 





x6

x 3
 x  x2 x3
3

2

x  3  1  4  3  3  x  12

b) F  2  x  2 x  3  2   x  3  2 x  3  1  0 





2

3  1  0

 x  3  0
x  3


 x  3  1  x  4
C) xét hiệu F  1,5  x  2 x  3  1,5 





2

x  3  1  0,5  0 .

Vậy F  1,5.
21 | M U A T R Ọ N B Ộ F I L E W O R D L I Ê N H Ệ 0 9 3 7 3 5 1 1 0 7


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1
 Thí dụ 9. Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện

x  y 1  z  2 

1

x  y  z .
2

Lời giải. Biến đổi đẳng thức đã cho thành dạng



 
2

x 1 

 
2

y 1 1 

 x 1  0
x  3


z  2 1  0   y 1 1  0   y  2

 z  3.
 z  2  1  0 



2

Dạng 4. Tìm điều kiện để biểu thức có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
 Thí dụ 10. Tìm x để biểu thức

 x  2010 

G

Lời giải. Áp dụng công thức

2



 x  2011

2



2
 x  2012  có giá trị nhỏ nhất.

A2  A , ta có
G  x  2010  x  2011  x  2012

Nhận thấy
x  2010  x  2012  x  2010   x  2012  x  2010  x  2012  2

Và x  2011  0 với mọi x. Suy ra . G  2 .

G2

 x  2010   x  2012   0
 x  2011 .
khi và chỉ khi 
 x  2011  0

Vậy khi x  2011 thì g có giá trị nhỏ nhất bằng 2
 Thí dụ 11. Tìm x để biểu thức H  6  x  x  2 có giá trị lớn nhất.
6  x  0
 2  x  6.
Lời giải. Điều kiện xác định h là 
x  2  0
Nhận thấy H  0 nên h lớn nhất khi H 2 lớn nhất. Ta có
H 2  8  2 12  4 x  x 2  8  2 16   x  2  .
2

Do đó H 2  8  2 16  16 ; H 2  16  x  2
Vậy h có giá trị lớn nhất là 4 khi x  2 .

Bài tập
Bài 1. Cho biểu thức M 

x

2

 3  12 x 2
2

x

2



 x  2

2

 8x .

22 | M U A T R Ọ N B Ộ F I L E W O R D L I Ê N H Ệ 0 9 3 7 3 5 1 1 0 7


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1
a) Rút gọn m.
b) Tìm những giá trị nguyên của x sao cho biểu thức m có giá trị nguyên.
Bài 2. Cho biểu thức
a) Rút gọn n.
1
b) Tìm x để N   .
3
c) Tìm các giá trị nguyên của x để n nhận giá trị nguyên.



Bài 3. Cho biểu thức P  13  10 x 



x 3

   2 x . Tìm x nhỏ nhất để p nhận giá trị nguyên.
2

Bài 4. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không là số nguyên
1
1
1
a)

 ... 
.
1 2
3 4
99  100
b)

x 2  4 x 2  16 x 2  100 x 2  39 x  3 với x  .

2x2  2
1
với x là số nguyên khác 0 và khác 1.

2
3x  2 x  1 3x  1
Bài 5. Tìm x để f  x   2  x  1  x đạt giá trị lớn nhất.

c)

Bài 6. Tìm x để g  x  

 x  1

2



 x  5

2



 x  100

2



2
 x  2012  đạt giá trị nhỏ nhất.

23 | M U A T R Ọ N B Ộ F I L E W O R D L I Ê N H Ệ 0 9 3 7 3 5 1 1 0 7


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1

Chương II:đẳng thức và bất đẳng thức

Chuyên đề 2.1
Một số phương pháp chứng minh
Đẳng thức có điều kiện
I – phƣơng pháp biến đổi đại số
1. Dùng phép biến đổi tƣơng đƣơng.
 Thí dụ 1. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
1
1
1


 1.
1  a  ab 1  b  bc 1  c  ca
Lời giải. Vì abc = 1 nên ta có

1
abc
abc
bc



.
1  a  ab abc  a  ab a  bc  1  b  bc  1  b
Hơn nữa, còn có

Vậy

1

abc
abc
b



.
1  c  ca abc  c  ca c  ab  abc  a  b  bc  1

1
1
1
bc
1
b





 1.
1  a  ab 1  b  bc 1 c  ca bc  1 b 1 b  bc b bc  1

 Thí dụ 2. Cho

a
b
c



 1 . Chứng minh rằng
bc ca ab
a2
b2
c2


0.
bc ca a b

Lời giải. Ta có

b
c  a2
b2
c2
 a
a  b  c  a  b  c


a
b
c.

ca
a b
bc ca ab  bc
Suy ra

a2

b2
c2


 0.
bc ca a b

 Thí dụ 3. Cho a,b,c là ba số thực phân biệt khác 0 và thỏa mãn a  b  c  0 .
Chứng minh rằng
b
c  b  c c  a a  b 
 a






 9.
b
c 
 b  c c  a a  b  a

24 | M U A T R Ọ N B Ộ F I L E W O R D L I Ê N H Ệ 0 9 3 7 3 5 1 1 0 7


Tuyển chọn chuyên đề chọn lọc thi vào lớp 10 trung học phổ thông tập 1
Lời giải. Biến đổi vế trái ta được

3

a  c a a b 
b  b c a b 
c bc c a 









bc b
c  ca a
c  a b  a
b 

2a 3 2b3 2c3
2


 3
a 3  b3  c 3 

abc abc abc
abc
2
2
3

 3
 b  c   b3  c3  3   3bc  b  c    9
abc
abc
 3





 Thí dụ 4. Cho các số a, b, c khác -1 và các số x, y, z thỏa mãn
 x  by  cz

 y  ax  cz
 z  ax  by.

Chứng minh rằng

1
1
1


2
1 a 1 b 1 c

Lời giải. Từ giả thiết suy ra
x  y  z  2  ax  by  cz   2  ax  x   2  a  1 x 

Tương tự ta có

Do đó

1
2x

.
1 a x  y  z

1
2y
1
2x

:

.
1 b x  y  z 1 c x  y  z

1
1
1


 2.
1 a 1 b 1 c

2. Sử dụng hằng đẳng thức quen biết
 Thí dụ 5: cho a, b, c khác 0 , thỏa mãn
Chứng minh rằng

1 1 1
   2; a  b  c  abc .
a b c

1 1 1
   2.
a 2 b2 c 2

Lời giải: ta có:
1 1 1 1 1 1
1 1 
abc
 1
 2  2       2      4  2.
 2.
2
a b c a b c
abc
 ab bc ca 
2

 Thí dụ 6: cho các số dương a, b, c với b  c; a  b  c ; a  b 


Chứng mình rằng:
b
a


c

a c

2

b

2







2

a b c .

a c
b c

Lời giải: tá có:

25 | M U A T R Ọ N B Ộ F I L E W O R D L I Ê N H Ệ 0 9 3 7 3 5 1 1 0 7