Chuyên đề luyện thi môn toán về thể tích khối đa diện, bài tập trắc nghiệm và lời giải hay

CHỦ ĐỀ 1. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.
Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có:

B
A

B

 BC 2 = AB 2 + AC 2
 AH .BC = AB .AC
 AB 2 = BH .BC , AC 2 = CH .CB

C

M

H

1
1
1
=
+
, AH 2 = HB .HC
2
2
AH
AB

AC 2
 2AM = BC



2.
Các hệ thức lượng trong tam giác thường:
a. Định lý cosin:
A

b2 + c2 - a2
2bc
a2 + c2 - b2
2
2
2
* b = a + c - 2ac cosB Þ cosB =
2ac
2
a
+
b2 - c2
* c2 = a2 + b2 - 2abcosC Þ cosC =
2ab
* a2 = b2 + c2 - 2bc cosA Þ cosA =

b

c
a

B

C

b. Định lý sin:
A
c

b

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC)

R
a

B

C

c. Công thức tính diện tích tam giác:

A

c

B

b

a

C

1
1
1
. b = ch
.c
 SD ABC = a.ha = bh
2
2
2

1
1
1
SD ABC = absinC = bc sin A = ac sin B
2
2
2
abc
, SD ABC = pr
.
 SD ABC =
4R
 p = p ( p − a) ( p − b) ( p − c)

p - nửa chu vi
r - bán kính đường tròn nội tiếp

Trang
1/35


d.Công thức tính độ dài đường trung tuyến:

A
K

N

B

3.

AB 2 + AC 2 BC 2
2
4
2
2
BA + BC
AC 2
* BN 2 =
2
4
* AM 2 =

C

M

* CK 2 =

CA2 + CB 2 AB 2
2
4

Định lý Thales:

A
M

N
*

B

AM
AN
MN
=
=
=k
AB
AC
BC
2
æ
ö

AM ÷
ç
÷
=ç
= k2
÷
ç
÷
AB
è
ø

* MN / / BC Þ

C

SD AMN
SDABC

(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)

Trang
2/35


4.
B

Diện tích đa giác:
a.Diện tích tam giác vuông:

1

Þ SD ABC = AB.AC

2 bằng ½ tích
 Diện tích Ctam giác vuông
A
2 cạnh góc vuông.
b.Diện tích tam giác đều: 2
ì
B
32
 Diệ
n tích tamïï giá
u:a(cạnh)
S c đề=

ïï D ABC
4
đều
. ïí 3
Þ
SD =
ï
h
4 ïï h = a 3
ïïî giác đề
 Chiều C
cao tam
2 u: (cạnh)

a

A

hD
A

=

. 3

đều

2

c. Diện tí
ch hình vuông và hình chữ
B
nhật:
ìï SHV = a2
ï

a Diện tích hìÞnhïíïï AC
vuông
bằn=
ga
cạn
= BD
2h bình

O

D

ïî
phương.
C
 Đường chéo hình vuông bằng cạnh
nhân 2 .
 Diện tích hình chữ nhật bằng dài
nhân rộng.

d.Diện tích hình thang:
1
 SHình Thang = .(đáy lớn + đáy bé) x
2
chiều cao

A

D

Þ S=
B

e.Diện tích tứ giác có hai đường chéo
vuông góc:

2

C

H

B
CÞ

chéoA

 Diện tích tứ giác có hai đường
vuông góc nhau bằng ½ tích hai
đường chéo.
 Hình thoi có hai đường chéo vuông
góc nhau tại trung điểm của mỗi
đường.

( AD + BC ) .AH

1
SH .Thoi = AC .BD
2

D

6.Hình chóp đều:

Trang
3/35

1.Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa
giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét:
 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân
bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng
nhau.
 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các
góc bằng nhau.
2.Hai hình chóp đều thường gặp:

S

C

A
O

a.Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC .

B

Đáy ABC là tam giác đều.
Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
Chiều cao: SO .
·
·
·
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO
.

= SBO
= SCO
·
 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO
.





 Tính chất: AO = 2 AH , OH = 1 AH , AH = AB 3 .
3
3
2
Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện
đều.
 Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
 Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có
cạnh bên bằng cạnh đáy.
b.Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác
đều S.ABCD .

S

A

I

D

O
C

B

Đáy ABCD là hình vuông.
Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
Chiều cao: SO .
·
·
·
·
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO
.
= SBO
= SCO
= SDO
·
 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO
.





7.Thể tích khối đa diện:
S
1
1.Thể tích khối chóp: V = B .h
3

B : Diện tích mặt đáy.
hA
: Chiều cao của khối chóp.
B

D
O
C

Trang
4/35


A

C

A

C

B tích khối lăng B
2.Thể
trụ: V = B .h
A’

B : Diện tích mặt đáy.
C’
A’
h : Chiều cao của khối chóp. C’

B’
Lưu ý: Lăng trụ đứnB’
g có chiều cao
cũng là cạnh bên.
c
a3.Thể tích hình hộp chữ nhậ
a t:
a

b

V = abc
..

a

Þ Thể tích khối lập phương: V = a3

4. Tỉ số thể Stích:
VS .A ¢B ¢C ¢
VS .ABC

=

A
’

SA ¢ SB ¢ SC ¢
.
.

SA SB B SC
’

5.Hình chóp
A

V =

C
cụt’

(

ABC. A′B′C ′
B

)

h
B + B ¢+ BB ¢
3

Với B, B ¢, h là diệnC tích hai đáy và
chiều cao.
Nguyễn Văn Lành-THPT Nguyễn Khuyến.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1 (ĐỀ THI THPTQG 2017) Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC =
10 và CA = 8. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V = 40
B. V = 192

C. V = 32 .
D. V = 24
Câu 2. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên
bằng 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
13a 3
11a 3
11a 3
11a 3
V =
V =
V =
V =
12
12
6 D.
4
A.
B.
C.
Câu 3. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần
cạnh đáy. Tính tích V của khối chóp tứ giác đã cho.
2a 3
2a 3
14a 3
14a 3
V=
V=
V=
V=
2

6
2
6
A.
B.
C.
D.
Câu 4 (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30o. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
6a 3
2a 3
2a 3
V=
V=
V =
3
3
3
3
A.
B.
C.
D. V = 2a
Câu 5(ĐỀ THI THPTQG 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x và các cạnh còn lại đều bằng
2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất
Trang
5/35


A. x = 6

B. x = 14
C. x = 3 2
D. x = 2 3
Câu 6. (ĐỀ THI THPTQG 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
a 2
với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng
. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
2
a3
a3
3a 3
A. V =
B. V = a 3
C. V =
D. V =
2
3
9
Câu 7 (ĐỀ THI THPTQG 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 ,
SA vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích V của khối chóp
S.ABCD.
a3
3a 3
A. V =
B. V =
C. V = a 3
D. V = 3a 3
3
3
Câu 8. ( ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện
ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V.
7 2a 3
11 2a 3
13 2a 3
2a 3
V=
V=
V =
V=
216 B.
216
216
18
A.
C.
D.

Câu 9. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với
o
·
AB = AC = a, BAC
= 120o , mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối lăng trụ
đã cho.
3a 3
9a 3
a3
3a 3
V=
V =

V =
V=
8
8
8
4
A.
B.
C.
D.
Câu 10.(15/101/2018) Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a , chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối
chóp đã cho bằng
2 3
4 3
A. 4a 3
B. a
C. 2a 3
D. a
3
3
Câu 11. (42/101/2018) Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến BB ' bằng 2 , khoảng cách
từ A đến các đường thẳng BB ' và CC ' lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng
( A ' B ' C ') là trung điểm M của B ' C ' và A ' M = 2 3 .Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
3
2 3
A. 2
B. 1
C. 3
D.
3

Trang
6/35


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2
lần và độ dài đường cao không đổi thì thể tích S . ABC tăng lên bao nhiêu
lần?
1
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
D. .
2
Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?
A. 4 .
B. 5 .
C. 3 .
D. 2 .
Câu 3. Cho khối đa diện đều { p; q} , chỉ số p là
A. Số các cạnh của mỗi mặt.
C. Số cạnh của đa diện.
Câu 4. Cho khối đa diện đều { p; q} , chỉ số q là
A. Số đỉnh của đa diện.
C. Số cạnh của đa diện.
Câu 5. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a .

B. Số mặt của đa diện.
D. Số đỉnh của đa diện.

B. Số mặt của đa diện.
D. Số các mặt ở mỗi đỉnh.

a3
a3 2
a3 2
B.
C. a 3 .
D.
×
×
×
6
12
4
Câu 6. Cho S . ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết AB = a ,
SA = a .
A.

a3
a3 2
a3 2
C.
.
D.
3
2
6
Câu 7. Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy ABC là tam giác đều. Tính thể tích
khối chóp S . ABC biết AB = a , SA = a .

A. a 3

B.

Trang
7/35


a3
a3 3
a3 3
.
B.
.
C. a 3 .
D.
3
12
4
Câu 8. Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Tính thể
tích S . ABCD biết AB = a , AD = 2a , SA = 3a .
A.

a3
×
3
Câu 9. Thể tích khối tam diện vuông O. ABC vuông tại O có OA = a, OB = OC = 2a là
A. a 3 .

B. 6a 3 .

B. 2a 3 .

D.

2a 3
a3
a3
B.
C.
D. 2a 3 .
×
×
×
3
2
6
Câu 10. Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc mặt đáy, tam giác ABC vuông tại
A, SA = 2cm , AB = 4cm, AC = 3cm . Tính thể tích khối chóp.
A.

12 3
24 3
24 3
cm .
cm .
cm .
B.
C.
D. 24cm3 .

3
5
3
Câu 11. Cho hình chóp S . ABCD đáy hình chữ nhật, SA vuông góc đáy, AB = a, AD = 2a .
Góc giữa SB và đáy bằng 450 . Thể tích khối chóp là
A.

a3
2a 3
a3 2
a3 2
×
A.
B.
C.
D.
×
×
×
3
3
3
6
Câu 12. Hình chóp S . ABCD đáy hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA = a 3, AC = a 2 .
Khi đó thể tích khối chóp S . ABCD là
a3 2
a3 2
a3 3
a3 3
B.

C.
D.
×
×
×
×
2
3
2
3
Câu 13. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết ∆SAB là tam
A.

giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Tính thể tích
khối chóp S . ABC biết AB = a , AC = a 3 .
a3
a3 6
a3 6
a3 2
B.
C.
D.
×
×
×
×
4
12
4
6

Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Mặt bên ( SAB ) là tam giác
A.

vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

( ABCD ) .

Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết BD = a , AC = a 3 .
a3
a3 3
a3 3
C.
D.
×
×
×
3
4
12
Câu 15. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của S
A. a 3 .

B.

lên mặt phẳng

( ABC ) là

trung điểm H của BC . Tính thể tích khối chóp

S . ABC biết AB = a , AC = a 3 , SB = a 2 .
a3 6
a3 3
a3 3
a3 6
B.
C.
D.
×
×
×
×
6
2
6
2
Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a . Hình chiếu của S lên
A.

mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm H của AD . Tính thể tích khối chóp S . ABCD
biết SB =

3a
.
2
Trang
8/35


A.

a3
×
3

B. a 3 .

C.

a3
×
2

D.

3a 3
×
2

a 13 . Hình chiếu của S lên
Câu 17. Hình chóp S . ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SD =
2

( ABCD )

là trung điểm H của AB . Thể tích khối chóp là

a3 2
a3
a3 2

B.
C. a 3 12 .
D.
×
×
×
3
3
3
·
bằng 1200 . Hình chiếu
Câu 18. Hình chóp S . ABCD đáy hình thoi, AB = 2a , góc BAD
A.

vuông góc của S lên ( ABCD ) là I giao điểm của 2 đường chéo, biết SI =

a
.
2

Khi đó thể tích khối chóp S . ABCD là
a3 2
a3 3
a3 2
a3 3
B.
C.
D.
×
×

×
×
9
9
3
3
Câu 19. Cho hình chóp S . ABC , gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB . Tính tỉ số
A.

VS . ABC
.
VS .MNC
1
1
×
C. 2 .
D. ×
2
4
Câu 20. Cho khối chop O. ABC . Trên ba cạnh OA, OB, OC lần lượt lấy ba điểm A’, B′, C ′
A. 4 .

B.

sao cho 2OA′ = OA, 4OB′ = OB, 3OC ′ = OC . Tính tỉ số

VO. A ' B 'C '
VO. ABC

1

1
1
1
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
24
16
32
Câu 21. Cho hình chóp S.ABC. Gọi ( α ) là mặt phẳng qua A và song song với BC . ( α )
A.

cắt SB , SC lần lượt tại M , N . Tính tỉ số

SM
biết ( α ) chia khối chóp thành 2
SB

phần có thể tích bằng nhau.
1
1
1
1
A. .
B.

.
C. .
D.
.
2
2 2
2
4
Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là:
a3 3
a3 3
a3 2
a3 2
B.
C.
D.
×
×
×
×
4
3
3
2
Câu 23. Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có ABCD là hình chữ nhật, A ' A = A ' B = A ' D . Tính
A.

thể tích khối lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' biết AB = a , AD = a 3 , AA ' = 2a .
A. 3a 3 .
B. a 3 .

C. a 3 3 .
D. 3a 3 3 .
Câu 24. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của A '
lên ( ABC ) là trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' biết
AB = a , AC = a 3 , AA ' = 2a .

A.

a3
×
2

B.

3a 3
×
2

C. a 3 3 .

D. 3a 3 3 .

Trang
9/35


Câu 25. Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của A ' lên

( ABCD )

là trọng tâm của tam giác ABD . Tính thể tích khối lăng trụ

ABCA ' B ' C ' biết AB = a , ·ABC = 1200 , AA ' = a .

A. a 3 2 .

B.

a3 2
×
6

C.

a3 2
×
3

D.

a3 2
×
2

VABB ' C '
.
Câu 26. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Tính tỉ số V
ABCA ' B 'C '
1
1

1
2
×
B. ×
C. ×
D. .
2
6
3
3
Câu 27. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a . Thể
tích khối tứ diện A’BB’C’ là
A.

a3
a3 3
a3 3
a3 3
B.
C.
D.
×
×
×
×
12
12
4
6
Câu 28. Lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên

A.

và mặt đáy bằng 300. Hình chiếu A′ lên

( ABC ) là

trung điểm I của BC . Thể

tích khối lăng trụ là
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
B.
C.
D.
×
×
×
×
6
2
12
8
Câu 29. Lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a, AB = a .
A.

Mặt bên ( BB’C’C ) là hình vuông. Khi đó thể tích lăng trụ là
a3 3
.

B. a 3 2 .
C. 2a 3 3 .
D. a 3 3 .
3
Câu 30. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CC ' và BB ' .
A.

Tính tỉ số

VABCMN
.
VABC . A ' B 'C '

1
1
1
2
.
B. .
C. .
D. .
3
6
2
3
Câu 31. Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ . Tỉ số thể tích giữa khối chóp A′. ABC và khối lăng
trụ đó là
1
1
1

1
A. .
B. .
C. .
D. .
4
2
3
6
Câu 32. Cho khối lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Tỉ số thể tích giữa khối A′. ABD và khối lập
A.

phương là:
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
4
8
6
3
Cho
hình
chóp
tứ
giác

đều
có
chiều
cao
bằng
,
góc
giữa hai mặt
S . ABCD
h
Câu 33.
phẳng ( SAB ) và ( ABCD) bằng α . Tính thể tích của khối chóp S . ABCD theo h
và α .
A.

3h3 .
4 tan 2 α

B.

4h 3 .
3 tan 2 α

C.

8h3 .
3 tan 2 α

D.

3h3 .
8 tan 2 α

Trang
10/35


Câu 34. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh SB vuông
góc với đáy và mặt phẳng ( SAD ) tạo với đáy một góc 60° . Tính thể tích khối
chóp S . ABCD .
3
D. V = 4a 3 .
4
8
3
3
Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,

A. V = 3a

3

3.

BC = a , mặt phẳng

B. V = 3a

( A ' BC )

3

3.

C. V = 8a

3

3.

tạo với đáy một góc 30° và tam giác A ' BC có

diện tích bằng a 2 3 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
a3 3
3a 3 3
3a 3 3
3a 3 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
8
4
8
2
Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình
A.

chiếu vuông góc của A ' trên

( AA ' C ' C )

( ABC )

là trung điểm của AB . Mặt phẳng

tạo với đáy một góc bằng 45° . Tính thể tích V của khối lăng trụ

ABC. A ' B ' C ' .
3a 3
3a 3
3a 3
3a 3
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
16
8
4
2
Câu 37. Cho hình chóp đều S . ABC , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy ( ABC ) bằng
A. V =

600 , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng

3a
. Thể tích của
2 7

khối chóp S . ABC theo a bằng
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
18
16
24
Câu 38. Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AC = 2 3a ,
A.

BD = 2a , hai mặt phẳng

( SAC )

và

( SBD )

cùng vuông góc với mặt phẳng

a 3
O đến mặt phẳng ( SAB ) bằng
. Tính
4
thể tích của khối chóp S . ABCD theo a .

( ABCD ) . Biết khoảng cách từ điểm

a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
16
18
3
12
Câu 39. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD , O là giao điểm của AC và BD . Biết mặt
bên của hình chóp là tam giác đều và khoảng từ O đến mặt bên là a . Tính

thể tích khối chóp S . ABCD theo a .
A.

A. 2a 3 3 .

B. 4a 3 3 .

C. 6a 3 3 .

D. 8a 3 3 .

Câu 40. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) . ABCD là hình thang vuông tại
A và B biết AB = 2a . AD = 3BC = 3a . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a
biết góc giữa ( SCD ) và ( ABCD ) bằng 600 .
A. 2 6a 3 .

B. 6 6a 3 .

C. 2 3a 3 .

D. 6 3a 3 .

Trang
11/35


Câu 41. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , ABCD là hình thang vuông tại
A và B biết AB = 2a . AD = 3BC = 3a . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a ,
3 6
biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) bằng

a.
4
A. 6 6a 3 .
B. 2 6a 3 .
C. 2 3a 3 .
D. 6 3a 3 .
Câu 42. Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có BB ' = a , góc giữa đường thẳng BB ' và

( ABC )

·
bằng 60° , tam giác ABC vuông tại C và góc BAC
= 60° . Hình chiếu

vuông góc của điểm B ' lên

( ABC )

trùng với trọng tâm của ∆ABC . Thể tích

của khối tứ diện A '. ABC theo a bằng
13a 3
7a 3
15a 3
9a 3
.
B.
.
C.
.

D.
.
108
106
108
208
Câu 43. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a .
A.

Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng

( A ' BC )

bằng

a
6

.Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
3a 3 2
3a 3 2
3a 3 2
3a 3 2
.
B.
.
C.
.
D.
.

8
28
4
16
Câu 44. Cho hình chóp tam giác S . ABC có M là trung điểm của SB , N là điểm trên
cạnh SC sao cho NS = 2 NC . Kí hiệu V1 ,V2 lần lượt là thể tích của các khối
A.

chóp A.BMNC và S . AMN . Tính tỉ số
A. V1 = 2
V2 3

B. V1 = 1
V2 2

V1
.
V2
C. V1 = 2.
V2

D. V1 = 3
V2

Câu 45. ho NS = 2 NC , P là điểm trên cạnh SA sao cho PA = 2 PS . Kí hiệu V1 ,V2 lần lượt
là thể tích của các khối tứ diện BMNP và SABC . Tính tỉ số
A.

V1 1
= .

V2 9

B.

V1 3
= .
V2 4

C.

V1 2
= .
V2 3

V1
.
V2
D.

V1 1
= .
V2 3

Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa hai mặt
phẳng ( SAB ) và ( ABCD) bằng 45° , M , N và P lần lượt là trung điểm các cạnh
SA, SB và AB . Tính thể tích V của khối tứ diện DMNP .
a3
a3
a3
a3

A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
6
4
12
2
Câu 47. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC = 2a ;
cạnh bên AA′ = 2a . Hình chiếu vuông góc của A′ trên mặt phẳng ( ABC ) là
trung điểm cạnh AC . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ .
1
a3
2a 3
A. V = a 3 .
B. V =
.
C. V = a 3 .
D. V =
.
2
3
3

Trang
12/35


Câu 48. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi
G1 , G2 , G3 và G4 lần lượt là trọng tâm các mặt ABC , ABD, ACD và BCD . Biết

AB = 6a, AC = 9a , AD = 12a . Tính theo a thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 .
A. 4a 3
B. a 3
C. 108a 3
D. 36a 3
Câu 49. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 11m , BC = AD = 20m , BD = AC = 21m . Tính thể
tích khối tứ diện ABCD .
A. 360m3
B. 720m3
C. 770m3
D. 340m3
Câu 50. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là vuông; mặt bên ( SAB ) là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm
3 7a . Tính thể tích
V của khối chóp S . ABCD .
A đến mặt phẳng ( SCD) bằng
7
1
2
3a 3
A. V = a 3 .
B. V = a 3 .
C. V = a 3 .
D. V =
.
3
3
2
Câu 51. Cho tứ diện S . ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho
MA = 2SM , SN = 2 NB , (α ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu

( H1 ) và ( H 2 ) là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S . ABC bởi mặt
phẳng (α ) , trong đó, ( H1 ) chứa điểm S , ( H 2 ) chứa điểm A ; V1 và V2 lần lượt
là thể tích của ( H1 ) và ( H 2 ) . Tính tỉ số

V1
.
V2

4
5
3
4
B.
C.
D.
5
4
4
3
Câu 52. Cho hình chóp S . ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC ; các mặt
phẳng ( SAB ) , ( SAC ) và ( SBC ) cùng tạo với mặt phẳng ( ABC ) các góc bằng
nhau. Biết AB = 25 , BC = 17 , AC = 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy một
góc bằng 45° . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .
A. V = 408 .
B. V = 680 .
C. V = 578 .
D. V = 600 .
B. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 7.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A B A D A C A C A A B D A C C A A D A B
A.

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2
lần và độ dài đường cao không đổi thì thể tích S . ABC tăng lên bao nhiêu
lần?
1
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
D. .
2
Trang
13/35


Hướng dẫn giải:
Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần.
⇒ Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần.
Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?
A. 4 .
B. 5 .
C. 3 .
D. 2 .

Hướng dẫn giải:
Có 5 khối đa diện đều là: tứ diện đều, hình lập phương, khối 8 mặt đều, khối
12 mặt đều, khối 20 mặt đều.
Câu 3. Cho khối đa diện đều { p; q} , chỉ số p là
A. Số các cạnh của mỗi mặt.
C. Số cạnh của đa diện.
Câu 4. Cho khối đa diện đều { p; q} , chỉ số q là
A. Số đỉnh của đa diện.
C. Số cạnh của đa diện.
Câu 5. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a .
A.

a3 2
×
12

B.

a3 2
×
4

B. Số mặt của đa diện.
D. Số đỉnh của đa diện.
B. Số mặt của đa diện.
D. Số các mặt ở mỗi đỉnh.

C. a 3 .

D.

Hướng dẫn giải:
Gọi tứ diện ABCD đều cạnh a .
Gọi H là hình chiếu của A lên

a3
×
6

S

( BCD ) .
Ta có: BH =

a 3
3

⇒ AH = AB 2 − BH 2 =
S ∆BCD

a 6
3

C

A
O

a2 3
a3 2

.
=
⇒ VABCD =
4
12

B

Câu 6. Cho S . ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết AB = a ,
SA = a .
a3 2
.
6
Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu của S lên
A. a 3

B.

a3 2
2

C.

D.

S

( ABCD )
Ta có: AH =

a3
3

a 2
2

⇒ SH = SA2 − AH 2 =

a 2
2

A

D

H
a3 2
S ABCD = a ⇒ VS . ABCD =
B
C
6
Câu 7. Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy ABC là tam giác đều. Tính thể tích
khối chóp S . ABC biết AB = a , SA = a .
2

Trang
14/35

A.

a3 3
.
12

S ∆ABC =

a

⇒ VS . ABC

2

a3 3
.
4

B.

C. a 3 .

D.

a3
3

Hướng dẫn giải:
S

3

4
a3 3
.
=
12

C

A
B

Câu 8. Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Tính thể
tích S . ABCD biết AB = a , AD = 2a , SA = 3a .
A. a 3 .

B. 6a 3 .

B. 2a 3 .

D.

a3
×
3

Hướng dẫn giải:
S

S ∆ABCD = 2a.a = 2a 2 ⇒ VS . ABC = 2a 3

D

A

B
C
Thể
tích
khối
tam
diện
vuông
vuông
tại
có
OA = a, OB = OC = 2a là
O. ABC
O
Câu 9.

A.

2a 3
×
3

B.

a3
×
2

a3
×
6
Hướng dẫn giải:
C.

D. 2a 3 .

A
1

2
 SOBC = OB.OC = 2a
2

 h = OA = a
1
2a 3
⇒ VO. ABC = OA ×SOBC =
3
3

O

C

B
Cho
hình
chóp
có
vuông
góc
mặt
đáy,
tam
giác
S
.
ABC
SA
ABC vuông tại
Câu 10.

A, SA = 2cm , AB = 4cm, AC = 3cm . Tính thể tích khối chóp.
12 3
24 3
24 3
cm .
cm .
cm .
A.
B.
C.
3
5

3
Hướng dẫn giải:

D. 24cm3 .

Trang
15/35


S
1

2
 S ABC = AB. AC = 6 cm
2

 h = SA = 2 cm
⇒ VS . ABC

C

A

1
12
= SA ×S ABC = cm3
3
3

B

Cho
hình
chóp
đáy
hình
chữ
nhật,
vuông
góc
đáy,
AB = a, AD = 2a .
S . ABCD
SA
Câu 11.
Góc giữa SB và đáy bằng 450 . Thể tích khối chóp là
A.

a3 2
×
3

B.

2a 3
×
3

a3
×
3

Hướng dẫn giải:
C.

D.

a3 2
×
6

S
 SA = AB.tan ( 450 ) = a

2
 S ABCD = a.2a = 2a
⇒ VS . ABCD

1
2a 3
= SA.S ABCD =
3
3

450

D

A

B
C

Câu 12. Hình chóp S . ABCD đáy hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA = a 3, AC = a 2 .
Khi đó thể tích khối chóp S . ABCD là
A.

a3 2
×
2

B.

a3 2
a3 3
C.
×
×
3
2
Hướng dẫn giải:

D.

a3 3
×
3

S

 SA = a 3

0

2
 AB = AC.cos ( 45 ) = a ⇒ S ABCD = a
1
a3 3
⇒ VS . ABCD = SA.S ABCD =
3
3

D

A
B

C

Câu 13. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết ∆SAB là tam
giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Tính thể tích
khối chóp S . ABC biết AB = a , AC = a 3 .
A.

a3 6
×
12

B.

a3 6
×
4

a3 2
×
6
Hướng dẫn giải:
C.

D.

a3
×
4

∆ABC vuông tại B ⇒ BC = AC 2 − AB 2 = a 2 .
S ∆ABC =

1
a2 2
BA.BC =
2
2

Gọi H là trung điểm AB ⇒ SH =

a 3
2

Ta có: ∆SAB đều ⇒ SH ⊥ AB
Trang
16/35

S

⇒ SH ⊥ ( ABC ) (vì ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ).
⇒ VS . ABC

1
a3 6
= SH .S ∆ABC =
3
12

A

C
H

Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Mặt bên

B
( SAB ) là tam giác

vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

( ABCD ) .

Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết BD = a , AC = a 3 .
a3 3
×
12

Hướng dẫn giải:
Gọi O là giao điểm của AC và
S
BD .
ABCD là hình thoi ⇒ AC ⊥ BD ,
O là trung điểm của AC , BD .
∆ABO vuông tại O

A. a 3 .

B.

a3 3
×
4

C.

⇒ AB = AO + OB = a .
2

S ABCD

D.

a3
×
3

A

D

2

H

1
a2 3
.
= AC.BD =
2
2

B

C

Gọi H là trung điểm AB . ∆SAB vuông cân tại S cạnh AB = a ⇒ SH =

a
.
2

Ta có: ∆SAB cân ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) (vì ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ).
1
a3 3
.
⇒ VS . ABCD = SH .S ABCD =
3

12
Câu 15. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của S
lên mặt phẳng

( ABC ) là

trung điểm H của BC . Tính thể tích khối chóp

S . ABC biết AB = a , AC = a 3 , SB = a 2 .

A.

a3 6
×
6

B.

a3 3
×
2

C.

a3 3
×
6

D.

a3 6
×
2

Hướng dẫn giải:
∆ABC vuông tại A

S

⇒ BC = AC 2 + AB 2 = 2a .
S ∆ABC =

1
a2 3
.
AB. AC =
2
2

SH = SB 2 − BH 2 = a .
1
a3 3
.
⇒ VS . ABC = SH .S ∆ABC =
3
6

B

A

H
C

Trang
17/35


Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a . Hình chiếu của S lên
mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm H của AD . Tính thể tích khối chóp S . ABCD
biết SB =
A.

3a
.
2

a3
×
3

B. a 3 .

a3
×
2
Hướng dẫn giải:
C.

∆ABH vuông tại A

D.

3a 3
×
2

S

a 5
.
⇒ BH = AH 2 + AB 2 =
2
SH = SB 2 − BH 2 = a .

A

S ABCD = a .

B

2

⇒ VS . ABCD

H

1
a3
= SH .S ABCD = .
3

3

D

C

a 13 . Hình chiếu của S lên
Câu 17. Hình chóp S . ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SD =
2

( ABCD )
A.

là trung điểm H của AB . Thể tích khối chóp là

a3 2
×
3

B.

a3 2
×
3

C. a 3 12 .

D.

a3

×
3

Hướng dẫn giải:
S ABCD = a

S

2

HD 2 = AH 2 + AD 2 =

5a 2
4

⇒ SH = SD 2 − HD 2 =

13a 2 5a 2
−
=a 2
4
4

1
a3 2
.
⇒ VS . ABCD = SH .S ABCD =
3
3

A

D

H
B

C

·
bằng 1200 . Hình chiếu
Câu 18. Hình chóp S . ABCD đáy hình thoi, AB = 2a , góc BAD
vuông góc của S lên ( ABCD ) là I giao điểm của 2 đường chéo, biết SI =
Khi đó thể tích khối chóp S . ABCD là
A.

a3 2
×
9

B.

a3 3
a3 2
C.
×
×
9
3
Hướng dẫn giải:

D.

a3 3
×
3

S

a

 SI =
2

2
S
·
 ABCD = AB. AD.sin BAD = 2 3a
⇒ VS . ABCD

A

1
a3 3
= SI .S ABCD =
3
3

D
I

B

C
Trang
18/35

a
.
2


Câu 19. Cho hình chóp S . ABC , gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB . Tính tỉ số
VS . ABC
.
VS .MNC
A. 4 .

B.

1
×
2

C. 2 .

D.

1
×

4

Hướng dẫn giải:

S

M
VS . ABC
SA SB
=
.
=4
VS .MNC SM SN

N
A

C

B
Cho
khối
chop
.
Trên
ba
cạnh
lần
lượt
lấy ba điểm A’, B′, C ′

OA
,
OB
,
OC
O. ABC
Câu 20.
sao cho 2OA′ = OA, 4OB′ = OB, 3OC ′ = OC . Tính tỉ số
A.

1
.
12

B.

1
.
24

VO. A ' B 'C '
VO. ABC

1
.
16
Hướng dẫn giải:
C.

D.

1
.
32

O

B′

Ta có:
OA′ 1 OB′ 1 OC ′ 1
= ;
= ;
=
OA 2 OB 4 OC 3
V
OA′ OB′ OC ′ 1 1 1 1
⇒ O. A′B’C ’ =
×
×
= × × =
VO. ABC
OA OB OC 2 4 3 24

A′

C′

A

C

B

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC. Gọi ( α ) là mặt phẳng qua A và song song với BC . ( α )
cắt SB , SC lần lượt tại M , N . Tính tỉ số
phần có thể tích bằng nhau.
1
1
A. .
B.
.
2
2

SM
biết ( α ) chia khối chóp thành 2
SB

1
.
4
Hướng dẫn giải:
C.

D.

1
2 2

.

Trang
19/35


S
Ta có: MN //BC ⇒

SM SN
=
SB SC

M

2

VS . AMN SM SN  SM 
=
.
=
÷
VS . ABC
SB SC  SB 
VS . AMN 1
SM
1
= ⇒
=
Ta có:

VS . ABC 2
SB
2

Ta có:

N
A

C

B
Thể
tích
của
khối
lăng
trụ
tam
giác
đều
có
tất
cả
các
cạnh
đều bằng a là:
Câu 22.
A.

a3 3
×
4

B.

a3 3
a3 2
C.
×
×
3
3
Hướng dẫn giải:

D.

C'

A'
h = a


a2 3
S
=


4

a3 2
×
2

B'
⇒ V = h.S =

a3 3
4

A

C

B
Cho
lăng
trụ
có
là
hình
chữ
nhật,
ABCD
.
A
'
B
'
C

'
D
'
ABCD
A ' A = A ' B = A ' D . Tính
Câu 23.
thể tích khối lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' biết AB = a , AD = a 3 , AA ' = 2a .
A. 3a 3 .

B. a 3 .

C. a 3 3 .
Hướng dẫn giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD .
ABCD là hình chữ nhật
⇒ OA = OB = OD

D. 3a 3 3 .

Mà A′A = A′B = A′D nên A ' O ⊥ ( ABD )
(vì A ' O là trực tâm giác ABD )
∆ABD vuông tại A
⇒ BD = AB 2 + AD 2 = 2a
⇒ OA = OB = OD = a
∆AA ' O vuông tại O
⇒ A ' O = AA ' − AO = a 3
2

B

O

2

S ABCD = AB. AD = a 2 3

D

C

VABCDA ' B ' C ' D ' = A ' O.S ABCD = 3a 3 .
Câu 24. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của A '
lên ( ABC ) là trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' biết
AB = a , AC = a 3 , AA ' = 2a .
a3
A.
×
2

3a 3
B.
×
2

C. a 3 3 .

D. 3a 3 3 .

Hướng dẫn giải:
Trang

20/35


Gọi H là trung điểm của BC
⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) .
ABC là tam giác vuông tại A
⇒ BC = AB 2 + AC 2 = 2a
1
⇒ AH = BC = a
2
∆A ' AH vuông tại H
⇒ A ' H = AA '2 − AH 2 = a 3
S ∆ABC =

1
a2 3
AB. AC =
2
2

3a 3
.
VABCA ' B ' C ' = A ' H .S ABC =
2
Câu 25. Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của A ' lên

( ABCD )

là trọng tâm của tam giác ABD . Tính thể tích khối lăng trụ

ABCA ' B ' C ' biết AB = a , ·ABC = 1200 , AA ' = a .

a3 2
×
3
Hướng dẫn giải:
Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD
⇒ A ' H ⊥ ( ABCD ) .
A. a 3 2 .

B.

a3 2
×
6

C.

a3 2
×
2

A'

B'

C'

D'

·
·
Ta có: BAD
= 1800 − ABC
= 600 .
·
Tam giác ABD cân có BAD
= 600
nên tam giác ABD đều.
ABD là tam giác đều cạnh a
⇒ AH =

D.

A

B
H

a 3
3

C

D

∆A ' AH vuông tại H ⇒ A ' H = AA '2 − AH 2 =

a 6
3

a2 3 a2 3
a3 2
; VABCDA ' B ' C ' D ' = A ' H .S ABC =
=
4
2
2
VABB ' C '
.
Câu 26. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Tính tỉ số V
ABCA ' B 'C '
S ABCD = 2 S ABD = 2.

1
×
3
Hướng dẫn giải:
Ta có: BB ' C ' C là hình bình hành
A.

1
×
2

B.

1
×
6

1
1
S BB 'C 'C ⇒ VA. BB ' C ' = VA. BB ' C 'C
2
2
1
Ta có: VA. A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C '
3
2
⇒ VA.BB ' C 'C = VABCA ' B 'C ' − VA. A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C '
3

C.

D.
A'

2
.
3
C'

B'

⇒ S BB 'C ' =

A

C

B

Trang
21/35


V
1
1
⇒ VABB 'C ' = VABCA ' B 'C ' ⇒ ABB 'C ' =
3
VABCA ' B 'C ' 3
Câu 27. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a . Thể
tích khối tứ diện A’BB’C’ là
A.

a3 3
×
12

B.

a3 3
a3 3
C.
×
×
4
6
Hướng dẫn giải:

D.

A'

 h = BB′ = a


a2 3
S
=
 A′B′C ′

4

a3
×
12

C'

B'

1
a3 3
⇒ VA′BB′C ′ = BB′.S A′B′C ′ =
3
12

A

C

B

Câu 28. Lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên
và mặt đáy bằng 300. Hình chiếu A′ lên

( ABC ) là

trung điểm I của BC . Thể

tích khối lăng trụ là
A.

a3 3
×
6

B.

a3 3
a3 3
C.
×
×
2
12
Hướng dẫn giải:

D.

a3 3
×
8


a 3 3 a
0
× =
 A′I = AI .tan ( 30 ) =

2
3
2

2
a 3
S
=
AB
C

4
⇒ VABC . A’ B’C’ = A′I .S ABC =

a3 3
8

Câu 29. Lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a, AB = a .

Mặt bên ( BB’C’C ) là hình vuông. Khi đó thể tích lăng trụ là
A.

a3 3
.
3

B. a 3 2 .

C. 2a 3 3 .

D. a 3 3 .

Hướng dẫn giải:
 h = BB′ = 2a

2
2
 AC = BC − AB = a 3
1
a2 3
AB. AC =
2
2
⇒ VABC . A’ B’C ’ = BB′.S ABC = a 3 3
⇒ S ABC =

C'

A'

B'

A

C

B

Trang
22/35


Câu 30. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CC ' và BB ' .
Tính tỉ số
A.

1
.
3

VABCMN
.
VABC . A ' B 'C '
B.

1
.
6

1

.
2
Hướng dẫn giải:
C.

Ta có: BB ' C ' C là hình bình hành

D.

2
.
3

A'

B'

1
S BB 'C ' C
2
1
⇒ VA.BCMN = VA.BB 'C 'C
2
1
Ta có: VA. A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C '
3
⇒ S BCMN =

2
⇒ VA.BB ' C 'C = VABCA ' B 'C ' − VA. A ' B ' C ' = VABCA ' B 'C '

3
V
1
1
⇒ VA.BCMN = VABCA ' B 'C ' ⇒ A. BCMN = .
3
VABCA ' B 'C ' 3

C'

M

N

A

B

C

Câu 31. Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ . Tỉ số thể tích giữa khối chóp A′. ABC và khối lăng
trụ đó là
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .

4
2
3
6
Hướng dẫn giải:
C'
A'
1
1
AA′.S ABC = VABC . A′B′C ′
3
3
VA′ABC
1
⇒
=
VABC . A′B′C ′ 3

B'

VA′ABC =

A

C

B

Câu 32. Cho khối lập phương ABCD.A′B ′C ′D′ . Tỉ số thể tích giữa khối A′. ABD và khối lập
phương là:

1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
4
8
6
3
Hướng dẫn giải:
A'
1
D'
VA’. ABD = AA′.S ABD
3
C'
B'
1
1
1
= AA′. AB. AD = AA′.S ABCD
3
2
6
1
D
A

= VABCD. A’ B’C ’ D’
6
C
B
VA’. ABD
1
⇒
= .
VABCD. A’ B’C’ D’ 6
VẬN DỤNG THẤP

Trang
23/35


Câu 33. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có chiều cao bằng h , góc giữa hai mặt
phẳng ( SAB ) và ( ABCD) bằng α . Tính thể tích của khối chóp S . ABCD theo h
và α .
A.

3h3 .
4 tan 2 α

B.

3
4h 3 .
C. 8h .
3 tan 2 α
3 tan 2 α

Hướng dẫn giải:

D.

3h3 .
8 tan 2 α

S

Gọi O là tâm của mặt đáy thì
SO ⊥ mp ( ABCD ) . Từ đó, SO là
đường cao của hình chóp.Gọi M là
trung điểm đoạn CD.
Ta có:

h

CD ⊥ SM ⊂ ( SCD )

·
=α .
CD ⊥ OM ⊂ ( ABCD ) ⇒ SMO
CD = ( SCD ) ∩ ( ABCD )


A

α

O

D
M

B

C
1
2
V = .SABCD.SO; B = SABCD = AB ; Tìm AB: AB = 2OM
3
SO
h
h
⇒ OM =
Tam giác SOM vuông tại tại O, ta có: tan α =
=
.
OM
OM
tan α
2h
4h 2
⇒ AB =
. Suy ra: B = SABCD =
. SO = h.
tan α
tan 2 α
1 4h 2
4h 3

Vậy VS.ABCD = .
.h
=
.
3 tan 2 α
3 tan 2 α
Câu 34. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh SB vuông

góc với đáy và mặt phẳng ( SAD ) tạo với đáy một góc 60° . Tính thể tích khối
chóp S . ABCD .
A. V = 3a

3

3.

4
Hướng dẫn giải:

B. V = 3a

3

8

3.

C. V = 8a

3

3

3.

3
D. V = 4a 3 .
3

 AD ⊥ AB
⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒
Ta có: 
S
 AD ⊥ SB
AD ⊥ SA.
·
⇒ SAB
= 600 .
SABCD = 4a2.
A
D
Xét tam giác SAB tại vuông tại B,
ta có:
α
SB = AB tan 600 = 2a 3 .
2a
3
1
8a 3
B

C
Vậy V = .4a2. 2a 3 =
.
3
3
Cho
hình
lăng
trụ
đứng
ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,
Câu 35.
BC = a , mặt phẳng

( A ' BC )

tạo với đáy một góc 30° và tam giác A ' BC có

diện tích bằng a 2 3 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
Trang
24/35


a3 3
3a 3 3
.
B.
.
8
4

Hướng dẫn giải:
V= Bh = SABC.A’B’C’.AA’.
 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ A′B .
Do 
 BC ⊥ AA′
A.

 BC ⊥ AB ⊂ ( ABC )

Và  BC ⊥ A ' B ⊂ ( A′BC )
 BC = ( ABC ) ∩ ( A ' BC )


(

) (

C.

3a 3 3
.
8

D.

3a 3 3
.
2

A’

C’

B’

)

⇒ (·ABC ), ( A ' BC ) = ·AB, A ' B = ·ABA '
A

Ta có:

C

30o

a
1
A′B.BC
2
B
.
2.S∆A′BC 2.a 2 3
⇒ A′B =
=
= 2a 3
BC
a
·

′ = 2a 3.sin 30 0 = a 3
AB = A′B.cos ·ABA′ = 2a 3.cos 300 = 3a; AA′ = A′B.sin ABA
S ∆A′BC =

1
1
3a 3 3 .
VABC . A ' B ' C ' = B.h = S ABC . AA′ = . AB.BC. AA′ = .3a.a.a 3 =
2
2
2
Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình
chiếu vuông góc của A ' trên

( AA ' C ' C )

( ABC )

là trung điểm của AB . Mặt phẳng

tạo với đáy một góc bằng 45° . Tính thể tích V của khối lăng trụ

ABC. A ' B ' C ' .

A. V =

3a 3
.
16

B. V =

3a 3
3a 3
.
C. V =
.
8
4
Hướng dẫn giải:
A’

Gọi H, M, I lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng AB, AC, AM.
VABC . A ' B 'C ' = S ∆ABC . A ' H .
a2 3
.
4
Ta có IH là đường trung bình của tam
giác AMB , MB là trung tuyến của
tam giác đều ABC.
 IH // MB
⇒ IH ⊥ AC
Do đó: 
 MB ⊥ AC

D. V =

3a 3
.

2
B
’

C
’

S ∆ABC =

H

A
I

B
a

M
C

 AC ⊥ A ' H
⇒ AC ⊥ ( A ' HI ) ⇒ AC ⊥ A ' I

 AC ⊥ IH
 AC ⊥ IH ⊂ ( ABC )

Mà:  AC ⊥ A ' I ⊂ ( ACC ' A ') ⇒ ·A ' IH là góc gữa hai mặt phẳng ( AA ' C ' C )
( ABC ) ∩ ( ACC ' A ') = AC

Trang

25/35