Đề tài tìm số trung bình cộng

Đề tài:
Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 4 giải bài toán về Tìm số trung
bình cộng.
======
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài.
1.1, Cơ sở lí luận:
Đặc điểm tâm lí tiêu biểu của trẻ tiểu học là chóng nhớ, chóng thuộc nhưng
nhanh quên; các em thường dễ dàng ghi nhớ những kiến thức ở dạng hình ảnh và
cụ thể. Những kiến thức trừu tượng phức tạp thường làm cho các em dễ nhầm lẫn
hay mắc rối; đặc biệt là những kiến thức về toán học có tư duy suy luận. Lớp 4 là
lớp học mở đầu cho giai đoạn phát triển khả năng tư duy và cũng là giai đoạn
chuyển biến mạnh mẽ quá trình nhận thức của học sinh. Sự thay đổi hoạt động chủ
đạo khiến các em có nhiều bở ngỡ nên việc tiếp thu kiến thức có phần chững lại.
Bên cạnh đó, chương trình lớp 4 được thiết kế nhiều kiến thức mới so với ở lớp 3,
mức độ khó cũng cao hơn nhằm mục đích kích thích khả năng tư duy cho học sinh;
vì vậy buộc các em phải có sự chuyển biến kịp thời để thích nghi với “môi trường”
kiến thức mới.
Một trong những mục tiêu cơ bản của dạy Toán ở Tiểu học là dạy phương pháp
tư duy và phát triển tư duy có logic cho học sinh. Các hoạt động tư duy, đặc biệt tư
duy bằng ngôn ngữ toán học là công cụ cơ bản để học sinh tiếp cận, rèn luyện và
phát triển khả năng suy luận hợp lí và diễn đạt đúng. Do đó, việc đưa học sinh vào
các hoạt động học tập trong giờ học Toán cần được giáo viên đặc biệt quan tâm,
chú ý. Ngôn ngữ Toán học có nhiều khía cạnh khó, một trong những nội dung khó
trong chương trình toán Tiểu học đó là các dạng bài toán có khái niệm đặc trưng về
tìm số, về biểu diễn số,... Trong đó, bài toán về tìm số trung bình cộng ở lớp 4 cũng
là một khái niệm tương đối trừu tượng đối với các em.
Trong chương trình Toán lớp 4, bài toán về tìm số trung bình cộng chỉ được
học trong 2 tiết ở tuần 5 và một bài tập ôn lại ở tuần 6; nhưng nó lại là kiến thức
xuyên suốt trong nhiều bài toán của chương trình học và phục vụ thiết thực cho
cuộc sống. Trong đó, các bài toán về tìm trung bình cộng được ứng dụng nhiều vào

thực tế như tính toán thống kê hay so sánh. Đây là những kiến thức về ứng dụng
được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp nhưng trong chương trình học chưa thực sự
được chú trọng. Mặc dù độ khó của những kiến thức này chưa yêu cầu phải huy
động quá trình phân tích tư duy nhưng rất cần sự nhạy bén so sánh và phân biệt.
Song, việc so sánh và phân biệt các dạng toán trong chương trình là vấn đề không
mấy dễ dàng đối với hầu hết học sinh lớp 4, vì đây là các mảng kiến thức có nhiều
điểm trừu tượng so với khả năng tư duy của đa số các em. Vậy mục tiêu dạy học
loại bài toán này là giúp học sinh nhận dạng được bài toán, xác định được dạng
riêng và tìm cách giải phù hợp để có kết quả đúng và hợp lí. Để phân biệt được
1

1


từng dạng riêng và tìm được cách giải cho mỗi dạng bài toán này học sinh cần có
căn cứ khoa học.
2.1, Cơ sở thực tiễn:
Giải toán là mảng kiến thức thiết thực đối với học sinh tiểu học. Thông qua giải
toán, học sinh có thể phát triển khả năng tư duy phân tích và rèn luyện kĩ năng tính
toán. Để hiểu được, giải được một bài toán, một dạng bài toán, học sinh cần có
một khả năng tưởng tượng liên hệ, đơn giản hóa những đối tượng trừu tượng,...;
điều này không phải tất cả học sinh đều làm được. Thực tế, dạy học toán ở chương
trình tiểu học chưa được coi trọng vấn đề này mà chỉ dừng lại ở mức độ cung cấp
kiến thức. Trong các lần kiểm tra định kì, bài toán về trung bình cộng chỉ được
kiểm tra trong một ý nhỏ; vì thế hầu hết các giáo viên và học sinh đều xem nhẹ
việc dạy và học dạng bài toán này. Dường như rất ít người nghĩ tới tầm quan trọng
của dạng bài toán này là phục vụ cho việc ứng dụng vào thực tế cuộc sống, phát
triển tư duy linh hoạt có logic, khả năng diễn đạt,... Nói chung, bài toán về tìm số
trung bình cộng như sợi chỉ xuyên suốt tất cả các mạch kiến thức trong bộ môn
Toán ở bậc Tiểu học.

Học sinh tiểu học có vốn sống còn ít, khả năng tự ý thức còn hạn chế. Khi tìm
hiểu về một vấn đề, học sinh tiểu học thường thể hiện một cách ngẫu hứng, có khi
các em không hề hiểu việc mình làm có nghĩa gì; vì thế thiếu chú trọng, thiếu tập
trung dẫn tới ít hướng đến mục tiêu công việc. Trong các bài giải toán của các em,
hầu như đa số học sinh chỉ biết làm theo thói quen, rất ít bài làm theo quá trình tư
duy sáng tạo nên có những lời giải hoặc tên đơn vị được dùng rất ngô nghê. Những
hạn chế về việc trình bày bài toán của học sinh phần lớn là hậu quả của quá trình
rèn luyện kĩ năng tư duy chưa được chú trọng và thiếu giải pháp hữu hiệu.
Môn Toán ở tiểu học được tích hợp từ nhiều mảng kiến thức toán. Trong đó,
phần giải bài toán về tìm số trung bình cộng là mảng kiến thức không nhiều. Vì
tích hợp nên các mảng kiến thức đều chỉ ở mức cơ bản, không chuyên sâu. Trong
chương trình môn Toán lớp 4, nội dung tìm số trung bình cộng được tập trung biên
soạn có hệ thống trong phần “Số tự nhiên” thuộc chương một. Khi tiếp cận với bài
Tìm số trung bình cộng theo khái niệm thì các em lĩnh hội tương đối dễ dàng. Song
đến bài Giải bài toán về tìm số trung bình cộng thì các em đã có sự mắc rối, lẫn
lộn. Việc lẫn lộn này không chỉ diễn ra ở học sinh yếu mà ngay cả học sinh khá,
giỏi cũng có lúc mắc phải. Trăn trở về vấn đề này, qua nhiều năm dạy lớp 4, chúng
tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nhỏ về cách hướng dẫn học sinh giải bài toán về
tìm số trung bình cộng. Vì thế, chúng tôi đã mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh
nghiệm: “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 4 giải bài toán về Tìm số
trung bình cộng.” Đây là một vấn đề đã được nhiều người quan tâm nghiên cứu,
song chỉ đề cập ở mức độ hàn lâm, chuyên sâu vào phương pháp mà không chú
trọng đến đối tượng học sinh. Vấn đề hết sức nhạy cảm, bức thiết, phù hợp với xu
thế hiện tại của giáo dục hiện nay là dạy học gắn với đối tượng học sinh. Nếu đề tài
này được nghiên cứu một cách nghiêm túc và ứng dụng kịp thời, thì có thể giải
quyết cơ bản tình trạng khó phân biệt dạng bài toán, đồng thời khả năng tư duy
2

2

phân tích có logic kém chuẩn xác của một bộ phận không nhỏ học sinh tiểu học
hiện nay.
2. Mục đích nghiên cứu.
Nhằm nâng cao chất lượng dạy học toán ở lớp 4, phát triển kĩ năng tư duy
trừu tượng phù hợp và linh hoạt hơn. Hình thành ý thức lập luận chính xác,
chặt chẽ trong giải toán và có trách nhiệm với việc diễn đạt lời nói của mình. Qua
đó, học sinh có ý thức vận dụng kiến thức học tập vào cuộc sống “học đi đôi với
hành”.
Cung cấp con đường, cách thức học tập giúp học sinh có công cụ tìm kiếm và
sử dụng kiến thức là mục tiêu cao nhất của quá trình dạy học. Có được các giải
pháp sẽ tạo sự thuận lợi cho người giáo viên truyền thụ kiến thức về tìm số trung
bình cộng; giải quyết phần nào những khó khăn mắc phải trong quá trình dạy học
mảng kiến thức này. Vì vậy, việc đưa ra hệ thống các giải pháp hướng dẫn học sinh
giải bài toán về tìm số trung bình cộng phù hợp với đối tượng học sinh là việc làm
tối ưu cần thiết, giúp người giáo viên nắm được bản chất vấn đề và giúp học sinh
cũng nắm được bản chất ấy, nâng cao được chất lượng học tập.
3. Phương pháp tiến hành nghiên cứu
Đề tài kết hợp nhiều phương pháp:
- Phương pháp phân tích tổng hợp
- Phương pháp so sánh, đối chiếu.
- Phương pháp phân loại thống kê.
- Phương pháp tìm hiểu ý kiến chuyên gia
- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm ...
***
B. NỘI DUNG
I. ĐÁNH GIÁ THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
1. Về giáo viên:
Trong quá trình dạy học toán, giáo viên ít quan tâm đến việc xác định đặc trưng

của dạng bài học, vì vậy việc thiết kế bài giảng chưa được đầu tư bài bản nên khi
trình bày nội dung bài học thường mang tính hàn lâm; nghĩa là quá trình dạy học
chỉ dừng lại ở dạng nghiên cứu, học sinh tiếp thu bài học mang tính lí thuyết mà
không nắm bắt được những vấn đề thực tiễn, cụ thể; điều này mâu thuẫn với đặc
điểm tâm lí của học sinh tiểu học. Việc tổ chức dạy học thường phụ thuộc vào giáo
án mẫu ít khi phân tích rõ đặc điểm học sinh lớp học và từng đối tượng cụ thể để
chọn ra giải pháp phù hợp cho từng đối tượng. Vì thế, người giáo viên không thể
truyền tải trọn vẹn kiến thức của bài học cần trình bày. Có khi thầy dạy để chỉ có
thầy hiểu mà thôi.
Thực tế trong quá trình đào tạo, giáo viên tiểu học không được trang bị kiến thức
chuyên sâu về từng mảng kiến thức toán học. Để nắm được bản chất đặc trưng của
từng loại bài toán, người giáo viên phải tự tìm tòi và nghiên cứu. Thông thường,
giáo viên chỉ tham khảo các tài liệu hướng dẫn dạy học mà ít khi tìm đến những tài
3

3


liệu về chuyên đề. Vì vậy, giáo viên chỉ nắm một cách phiến diện về vấn đề nên
không thể sử dụng kiến thức một cách linh hoạt trong quá trình dạy học.
Phần về tìm số trung bình cộng trong chương trình toán lớp 4 có thời lượng
không nhiều. Trong đó, mảng kiến thức về giải bài toán tìm số trung bình cộng chỉ
là một phần nhỏ. Vấn đề giải bài toán về tìm số trung bình cộng là một vấn đề khá
phức tạp, dễ nhầm lẫn thường ít gặp trong các đề kiểm tra nên giáo viên không
thực sự chú trọng. Bên cạnh đó, mảng kiến thức này ít có tài liệu chỉ rõ phương
pháp dạy học, điều đó khiến giáo viên thường phớt lờ, không chú trọng đến giải
pháp truyền dạy.
Trong quá trình dạy học các bài học này, mỗi giáo viên đều làm đúng vai trò
hướng dẫn, tổ chức cho học sinh. Tuy nhiên, do thời lượng 1 tiết học có hạn nên
giáo viên chưa lồng ghép, liên hệ, phân biệt từng dạng bài tập trong các bài học.

Do đó, sau các bài học đó học sinh chỉ nắm được kiến thức về nội dung học một
cách chung chung. Đôi khi giảng dạy nội dung này, giáo viên còn khó khăn khi lấy
thêm một số ví dụ cụ thể ngoài sách giáo khoa để minh hoạ phân biệt từng dạng
bài toán.
2. Về học sinh.
Học sinh tiểu học là đối tượng tiếp xúc với hoạt động học tập chưa lâu, kinh
nghiệm sống còn ít, điều này cho thấy vốn ngôn ngữ của các em chưa phong phú.
Mặt khác, học sinh tiểu học ở vùng nông thôn được tiếp xúc với các phương tiện
thông tin chưa hiện đại, các đối tượng giao tiếp thường có trình độ ở mức thấp
khiến cho môi trường học tập của các em thu hẹp trong phạm vi nhà trường. Thời
gian học tập ở trường không nhiều so với thời gian lao động và sinh hoạt ở nhà. Đó
là những lí do khiến cho vốn kiến thức toán học của các em càng nghèo nàn, không
đáp ứng kịp với yêu cầu chương trình sách giáo khoa đã xây dựng. Qua tiếp xúc
với các em chúng tôi nhận thấy hầu hết các em có thể hiểu vấn đề, nhưng khi yêu
cầu nêu ứng dụng cho vấn đề lại thường ấp úng hoặc không nói được theo ý muốn.
Khi đưa ra một bài toán mới, đặc biệt là dạng bài toán về tìm số trung bình cộng
thì các em không hiểu được từng thuật ngữ trong khái niệm, không phân biệt được
các dữ kiện của bài toán dẫn tới việc trình bày bài giải mơ hồ và mâu thuẫn.
Bên cạnh việc nghèo nàn về thuật ngữ, kiến thức toán học, học sinh tiểu học
vùng nông thôn rất thiếu khả năng khái quát dữ kiện bài toán. Việc sắp xếp các
nhóm dữ kiện có cùng bản chất là việc làm khó khăn đối với các em. Các bài tập
kiểu bài toán giải các em chỉ có thể làm được sau rất nhiều gợi ý, đặc biệt rất ít học
sinh tóm tắt được bài toán. Hầu hết học sinh lớp 4 khi học các tiết toán về tìm số
trung bình cộng đều gặp rất nhiều khó khăn. Cụ thể là:
- Khó khăn trong việc phân biệt thuật ngữ trong khái niệm: học sinh không phân
biệt được “số hạng” và “số các số hạng”, không hiểu “nhiều số” là bao nhiêu số.
- Phân biệt dạng toán thiếu căn cứ, không nhận dạng được bài toán: chỉ có thể tìm
trung bình cộng của các số cụ thể, không áp dụng được quy tắc để tìm số hạng khi
bài toán đã cho số trung bình cộng và các số hạng kia.
- Không biết xác định quy luật của dãy số đã cho để tìm số trung bình cộng.

- Đặt lời giải và phép tính mâu thuẫn, dùng sai đơn vị.
4
4


Trong thực tế, học sinh làm các bài tập về tìm trung bình cộng của các số đã
cho nhanh hơn và ít sai hơn khi học các bài tập về tìm số trung bình cộng của dãy
số và các dạng khác, cũng có thể do các dạng bài toán này trừu tượng hơn. Đặc biệt
khi cho học sinh giải bài toán tìm số hạng chưa biết khi biết trung bình cộng và các
số hạng kia thì đa số học sinh lúng túng và làm bài chưa đạt yêu cầu vì không biết
bắt đầu bài giải từ đâu. Ban đầu, khi học bài về tìm số trung bình cộng của các số
cụ thể với ít số hạng thì phần đa các em làm được bài, song khi làm các bài tập có
nhiều số hạng hoặc nhiều nhóm số hạng thì chất lượng bài làm yếu hơn. Trí nhớ trở
nên rối rắm, định nghĩa về tìm số trung bình cộng trở nên trừu tượng. Học sinh
không thể hiểu được: “số hạng” và “số các số hạng”, trung bình cộng của nhiều số
là số như thế nào.
3. Nguyên nhân của những khó khăn:
*Thứ nhất: Toán về tìm số trung bình cộng là dạng toán mới đối với đối tượng
học sinh lớp 4, thời lượng học ít, khối lượng kiến thức lớn, khả năng ứng dụng vào
thực tế rộng.
*Thứ hai: Trong chương trình Toán 4 chưa có dạng bài tập phân dạng để học sinh
rèn kĩ năng phân biệt.
*Thứ ba: Học sinh còn chưa biết phân biệt nghĩa của mỗi thuật ngữ toán học.
*Thứ tư: Vốn kiến thức toán học nghèo nàn, khả năng khái quát của học sinh
còn hạn chế, kỉ năng tưởng tượng kém dẫn tới khả năng tư duy trừu tượng chưa
cao, trí nhớ máy móc.
II. NHỮNG GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÌM
SỐ TRUNG BÌNH CỘNG.
1. Cơ sở để xây dựng giải pháp.
Căn cứ vào đặc điểm tâm lí của học sinh tiểu học về ngôn ngữ, chú ý, trí nhớ, ý

chí, tình cảm dẫn tới phát triển tư duy, nhận thức. Từ đó có thể vận dụng khả năng
tư duy logic, nhận thức và nhu cầu tư duy để phục vụ diễn đạt chính xác. Nhận
thức được vai trò của tư duy phân tích trong hoạt động học tập giao tiếp thường
ngày, giúp học sinh tích cực hơn trong việc rèn luyện kĩ năng diễn đạt.
Thực tiễn trong dạy học, chất lượng học tập phụ thuộc nhiều vào điều kiện xã hội
từng vùng. Trong các điều kiện xã hội, điều kiện kinh tế, văn hóa có vai trò chủ
yếu tạo nên nhu cầu kiến thức của người học. Học sinh tiểu học vùng nông thôn đa
số ít được tiếp xúc với điều kiện kinh tế, văn hóa thuận lợi. Điều kiện học tập của
các em gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, khi dạy học, người giáo viên phải hiểu được
hoàn cảnh của học sinh để chọn những phương pháp dạy học phù hợp nhất. Đưa ra
những giải pháp chung nhất, ứng dụng cho những tình huống phù hợp. Tuy nhiên,
mỗi con người có một đặc điểm cấu trúc tâm lí khác nhau, nên cùng một hiện
tượng có thể xuất phát từ nhiều nguyên nhân khác nhau. Song hệ thống các giải
pháp được đề cập là những phương pháp giải quyết những vấn đề chung nhất với
kết quả tối ưu nhất.
5
5


2. Các giải pháp:
1.2; Sử dụng phương pháp trực quan giúp giảm bớt mức độ trừu tượng của bài
toán.
1.2.1; Trực quan bằng vật thật.
Học tập bắt đầu bằng thực tiễn và phục vụ thực tiền – đó là nhận thức hoàn toàn
đúng đắn, phù hợp với tâm lí của học sinh tiểu học. Vận dụng quan điểm này, khi
dạy bài “Tìm số trung bình cộng” chúng tôi bắt đầu bằng một ví dụ có thể sử dụng
bằng vật thật để thao tác. Chẳng hạn, sử dụng các viên bi trong ví dụ sau:
Hùng có 5 viên bi, Hà có 6 viên bi, Việt có 7 viên bi. Nếu số bi đó chia đều cho
ba bạn thì mỗi bạn được mấy viên bi?
Khi đó giáo viên lần lượt lấy ra số bi của mỗi bạn, gộp lại rồi chia đều thành 3

phần, sau đó cho học sinh đếm từng phần và yêu cầu nhận xét từng bước đã thực
hiện. Kết quả, học sinh đã rút ra hai bước: bước 1 là gộp số bi lại, bước 2 là chia
đều thành 3 phần. Từ đó, giáo viên kết luận: Hùng có 5 viên bi, Hà có 6 viên bi,
Việt có 7 viên bi, trung bình mỗi bạn có 6 viên bi, số 6 gọi là số trung bình cộng
của ba số 5, 6 và 7.
1.2.2; Trực quan bằng mô hình.
Sau khi học sinh hiểu được bản chất của số trung bình cộng và cách tìm trung
bình cộng từ vật thật, chúng tôi nâng cao tư duy cho học sinh bằng cách đưa
mô hình trực quan. Chúng tôi lấy ngay ví dụ bài toán 1 trong sách giáo khoa,
nhưng làm mô hình như sau: cắt 10 băng giấy can màu hình chữ nhật có kích thước
3 4 (cm) xem như mỗi băng giấy là 1 lít dầu, giáo viên vẽ lên bảng mô hình 2 can
dầu, dán lên mô hình mỗi can dầu theo số lượng lít dầu như bài toán cho, sau đó
gộp lại và dán đều vào hai can rồi yêu cầu học sinh đếm số băng giấy để rút ra cách
tính. Kết quả, học sinh nêu được nhận xét như SGK và ghi được lời giải tương tự
(khi thao tác đã yêu cầu học sinh gấp SGK).
1.2.3; Trực quan bằng sơ đồ đoạn thẳng.
Tiếp tục nâng cao tư duy đến mức trừu tượng hóa, sau khi thao tác bằng mô hình,
chúng tôi cho học sinh khái quát bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng. Bài toán được
minh họa đầu tiên chính là bài toán 2 trong SGK. Giáo viên phân tích và minh họa
bằng sơ đồ đoạn thẳng, chỉ rõ sự tương quan giữa các đoạn thẳng được minh hoạ,
sau đó cho học sinh tự nêu lời giải và rút ra nhận xét. Từ nhận xét, tổng hợp thành
quy tắc tìm số trung bình cộng của nhiều số và học sinh làm các bài tập thực hành
cơ bản. Đến đây là kết thúc giai đoạn hình thành kiến thức cơ bản. Nhưng để phát
triển tư duy cho học sinh, giáo viên không thể chỉ dừng lại ở mức độ này mà cần
mở rộng và nâng cao hơn. Giáo viên dành thời gian trong tiết ôn luyện để làm việc
đó. Việc nâng cao tư duy trừu tượng cho học sinh qua bài toán tìm số trung bình
cộng được thông qua hệ thống các bài tập, chẳng hạn chúng tôi đã sử dụng hệ
thống bài tập sau:

6

6


Bài toán 1: Lan có 20 nhãn vở, Mai có số nhãn vở bằng Lan. Đào có số nhãn vở
ít hơn trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn là 6 nhãn vở. Hỏi Đào có bao nhiêu
nhãn vở?
* Phân tích: Sau khi đọc kỹ đề toán, phân tích mối quan hệ giữa các đại lượng
trong bài: Bài toán này cho biết sô nhãn vở của Lan, của Mai. Số nhãn vở của
Đào còn thiếu 6 nhãn nữa thì bằng trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn.
Hướng dẫn học sinh tóm tắt bài toán bằng sơ đồ:
+ Trước hết vẽ đoạn thẳng: Biểu thị tổng số nhãn vở của 3 bạn.
+ Dựa vào đó học sinh nêu cách chia đoạn thẳng thể hiện mức trung bình cộng số
nhãn vở của 3 bạn (Mỗi phần TBC là 1/3 tổng trên)
+ Từ đó biết được phần biểu thị số nhãn vở của Đào (ít hơn mức trung bình cộng
là 6 chiếc).
TBC TBC TBC
Lan + Mai

6

Đào

Sau khi hướng dẫn tìm hiểu đề và tóm tắt bằng sơ đồ, nhiều học sinh đã biết từng
bước tìm cách giải. Những em chưa làm được bài, sau khi nghe bạn trình bày cách
suy luận của sơ đồ các em đều nắm được và biết tự giải quyết các bài toán dạng
tương tự.
Bài giải:
Số nhãn vở của Lan và Mai là:
20 + 20 = 40 (nhãn vở)

Nhìn vào sơ đồ ta thấy, trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn là
(40 – 6) : 2 = 17 (nhãn vở)
Bạn Đào có số nhãn vở là:
17 – 6 = 11 (nhãn vở)
Đáp số: 11 nhãn vở
* Nhận xét: Trong các số, nếu có một số bé hơn mức trung bình cộng của các số
n đơn vị thì trung bình cộng của các số đó bằng tổng các số còn lại trừ đi n đơn vị
rồi chia cho số lượng các số hạng còn lại đó.
Bài toán 2: Lân có 20 hòn bi. Long có số bi bằng một nửa số bi của Lân. Quý
có số bi nhiều hơn trung bình cộng của 3 bạn là 6 hòn bi. Hỏi Quý có bao nhiêu
hòn bi?
Phân tích: Ta xem trung bình cộng số bi của 3 bạn là 1 đoạn thẳng thì tổng số bi
của 3 bạn là 3 đoạn như thế gộp lại.Mà số bi của Lân đã biết, số bi của Long ta sẽ
tính qua Lân. Từ đó ta tính được số bi của Quý.
Giải

TBC TBC

TBC

6

Sơ đồ:
7

7


Lân + Long Quý
Số bi của Long là:

20 : 2 = 10 (hòn)
Số bi của Long và Lân là:
10 + 20 = 30 (hòn)
Trung bình cộng số bi của 3 bạn là:
(30 + 6) : 2 = 18 (hòn)
Số bi của Quý là:
18 + 6 = 24 (hòn)
Đáp số: 24 hòn
Nhận xét: Trong các số, nếu có một số lớn hơn mức trung bình cộng của các số n
đơn vị thì trung bình cộng của các số đó bằng tổng các số còn lại cộng với n đơn
vị rồi chia cho số lượng các số hạng còn lại đó.
Hay: Nếu có hai số a, b và một số x chưa biết mà x lớn hơn trung bình cộng của 3
số a, b, x là n đơn vị thì trung bình cộng của 3 số là (a + b + n): 2 hay
(a + b + x): 3= (a + b +n) : 2
Bài toán 3: Khối lớp 4 của một trường Tiểu học có ba lớp. Biết rằng lớp 4A có 28
học sinh, lớp 4B có 26 học sinh. Trung bình số học sinh hai lớp 4A và 4C nhiều
hơn trung bình số học sinh của ba lớp là 2 học sinh. Tính số học sinh lớp 4C?
Phân tích: Đây là 1 bài toán khó đối với học sinh. Cần phân tích cho học sinh
thấy rõ: Nếu ta xem trung bình cộng số học sinh của 3 lớp là 1 đoạn thẳng thì
trung bình cộng của hai lớp 4A và 4C là 1 đoạn dài hơn đoạn trên 2 đơn vị. Như
vậy, tổng số HS của 2 lớp 4A và 4C sẽ nhiều hơn 2 lần trung bình cộng của ba lớp
là 2 2 = 4em. Đến đây dễ dàng cho HS thấy rõ được hướng đi cho bài toán
Giải
Ta có sơ đồ:
TB cộng số học sinh 3 lớp
:
2
TB cộng số học sinh 4A và 4C:
2
2

Tổng số học sinh 4A và 4C :
TBC

TBC

TBC

Tổng số HS của cả 3 lớp:
4B 4em
4A + 4C
Tổng số học sinh 2 lớp 4A và 4C nhiều hơn 2 lần trung bình cộng của 3 lớp là:
2 +2 = 4 (em)
Trung bình cộng số học sinh của 3 lớp là:
(26 + 4) : 1 = 30 (em)
Tổng số học sinh 2 lớp 4A và 4C là:
30 2 + 4 = 64 (em)
Số học sinh lớp 4C là:
64 – 28 = 36 (em)
Đáp số: 36em
8

8


* Nhận xét: Nếu có hai số a, b và một số x chưa biết, mà trung bình cộng số a và x
nhiều hơn trung bình cộng của ba số là n đơn vị thì trung bình cộng của ba số là:
(b+ n × 2): 1 hay (a + b + x): 3= (b+ n × 2): 1
Bài toán 4: Tuổi trung bình của 10 cầu thủ (không tính đội trưởng) của một đội
bóng là 21 tuổi. Biết rằng tuổi của đội trưởng nhiều hơn tuổi trung bình cả đội là
10 tuổi. Hỏi đội trưởng bao nhiêu tuổi?

Phân tích: Ta xem trung bình cộng của 11 cầu thủ là 1 đoạn thẳng thì tuổi của
đội trưởng là 1 đoạn như thế và thêm 10 tuổi nữa, và tổng số tuổi của 11 cầu thủ
là 11 đoạn như thế. Đồng thời qua sơ đồ ta cũng thấy được mối quan hệ giữa tổng
những cầu thủ còn lại với đội trưởng, từ đó ta tìm được đáp án.
Giải
Tổng số tuổi của 10 cầu thủ (không tính đội trưởng) là:
21 × 10 = 210 (tuổi)
Ta có sơ đồ:
TB cộng số tuổi cả đội :
Tổng số tuổi của cả đội:
Đội trưởng

10 lần trung bình cộng số tuổi của cả đội là:
210 + 10 = 220 (tuổi)
Trung bình cộng số tuổi của cả đội là:
220 : 10 = 22 (tuổi)
210 tuổi

Tuổi đội trưởng là:
22 + 10 = 32 (tuổi)
Đáp số: 32 tuổi

*Nhận xét: có 10 số a, b,c, d,.... và một số x chưa biết. Biết trung bình cộng của 10
số đó là A. Số x nhiều hơn trung bình cộng của 11 số a, b, c, d,..., x là n đơn vị thì
trung bình cộng của 11 số là:(A × 10 + n) : 10 hay (A × 10+ x):11=(A × 10+ n):10.
Bài toán 5: Một tổ công nhân đường sắt sửa đường, ngày thứ nhất sửa được 15m
đường, ngày thứ 2 sửa được nhiều hơn ngày thứ nhất 1m, ngày thứ 3 sửa được
nhiều hơn ngày thứ nhất 2m. Hỏi trung bình mỗi ngày sửa được bao nhiêu mét
đường?
Ta có sơ đồ:

15 m
Ngày thứ nhất:
1m
Ngày thứ hai:
Ngày thứ ba:
2m
Thông thường ta giải bài toán như sau:
Ngày thứ hai sửa được là:
9

9


15 + 1 = 16 (m)
Ngày thứ 3 sửa được
15 + 2 = 17 (m)
Trung bình mỗi ngày sửa được
(15 + 16 + 17) : 3 = 16 (m)
Đáp số: 16 (m)
Nhận xét: Quan sát kỹ sơ đồ ta thấy nếu chuyển một mét từ ngày thứ 3 sang ngày
thứ nhất thì số m đường sửa được trong các ngày đều bằng 16m.
15m
1m
Ngày thứ nhất:
1m
Ngày thứ hai:
1m 1m
Ngày thứ ba:
Ta thấy ngay trung bình mỗi ngày tổ đó sửa được 16m đường.
Bài toán 6: Tổng của ba số tự nhiên bằng 72. Số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba

có tỉ số bằng 3 và có trung bình cộng bằng số hạng thứ hai. Tìm ba số đó?
Phân tích: Ta xem trung bình cộng của cả ba số là một đoạn thẳng thì tổng ba số
sẽ là ba đoạn như thế, và một đoạn như thế chính là số thứ hai. Từ đó ta tìm được
số thứ hai, rồi tìm được các số còn lại.
Giải
Ta có sơ đồ:
TB cộng ba số:
Tổng của ba số:
Số thứ haiSốlà:
thứ nhất và số thứ ba
72 : 3 = 24
Tổng của số thứ nhất và thứ ba là:
72 – 24 = 48
Số thứ nhất là:
48: (1 + 3) 3 = 36

Số thứ hai

Số thứ ba là:
48 – 36 = 12
Đáp số: STN: 36; STH: 24; STB: 12
Bài toán 7: Tìm hai số, biết số thứ nhất nhiều hơn trung bình cộng của hai số là
1986 và số thứ hai ít hơn hiệu của hai số là 1985.
Giải
Ta có sơ đồ:
Số thứ nhất
1986
TB cộng của hai số
Số thứ nhất bằng tổng của trung bình cộng với nửa hiệu của hai số.
Hiệu hai số là:

10

10


1986

2 = 3972

Số thứ hai là:
3972 – 1985 = 1987
Số thứ nhất là:
1987 + 3972 = 5959
Đáp số: 1987 và 5959
Bài toán 8: Trung bình cộng của 2 số tròn chục liên tiếp là 2015. Tìm hai số đó.
Vì hai số tròn chục liên tiếp kém nhau 10 đơn vị nên ta có sơ đồ:
10
Số lớn:
Số bé:
TBC:
Bài giải:
2015
Số lớn là:
2015 + (10 : 2) = 2020
Số bé là:
2015 – (10 : 2) = 2010
Hoặc 2020 – 10 = 2010
Đáp số: Số lớn 2020; Số bé 2010
Tuy nhiên chúng ta cũng không nên lạm dụng việc áp dụng sơ đồ đoạn thẳng một
cách máy móc vì nó phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể. Có những bài không cần

vẽ sơ đồ mà cũng tìm ra được cách giải đơn giản hơn. Vì vậy, chúng tôi tiến hành
phân loại thành các dạng bài toán, giúp học sinh tìm hướng giải dễ dàng hơn.
2.2; Phân loại một số dạng bài toán Trung bình cộng và cách giải chúng.
Với khả năng nhận thức của học sinh tiểu học thì việc tự phân loại trong một
mảng lớn kiến thức là rất khó. Các em chưa đủ khả năng bao quát để xác định một
hướng đi cụ thể cho một bài toán nếu chưa biết nó thuộc dạng nào, cách giải dạng
bài toán đó bắt đầu từ đâu. Tuy nhiên, khi hướng dẫn học sinh giải toán, giáo viên
thường giúp học sinh phân tích đề bài theo hướng đi lên, việc đó giúp các em biết
được các bước giải của bài và chỗ bắt đầu của bài giải. Nhưng nếu học sinh nắm
được dạng toán và cách giải chúng thì quá trình phân tích bài toán sẽ thuận lợi hơn
rất nhiều. Toán về tìm số trung bình cộng tương đối đa dạng, với đối tượng học
sinh tiểu học chúng tôi đã phân nhỏ bài toán thành các dạng, tất nhiên cách phân
dạng này còn mang tính chủ quan, nhưng đã góp phần giúp các em lĩnh hội kiến
thức dễ dàng hơn.
2.2.1; Tìm trung bình cộng của các số cho trước.
Đây là dạng bài toán cho sẵn các số hạng, học sinh chỉ việc tìm số trung bình
cộng của các số đó theo quy tắc trong sách giáo khoa. Khi hướng dẫn học sinh làm
bài dạng này, giáo viên giúp học sinh nắm được đặc trưng của bài toán rồi nêu lại
quy tắc tìm số trung bình cộng, sau đó thay thế dữ kiện của bài toán vào quy tắc và
thực hiện tính.
11

11


Ví dụ: Tìm số trung bình cộng của các số sau:
a. 123, 645 và 978
b. 315, 213, 345, 465 và 567.
Nhận xét: Bài toán yêu cầu tính trung bình cộng của các số cho sẵn. Với yêu cầu
này, các em chỉ việc đếm xem có bao nhiêu số hạng, lập biểu thức theo quy tắc rồi

tính giá trị biểu thức lập được.
Giải:
a. Trung bình cộng của 123, 645 và 978 là: (123+645+978):3=582
b. Trung bình cộng của 315, 213, 345, 465 và 567 là:
(315+213+345+465+567):5 =381
Với dạng bài này, học sinh dễ dàng nhận ra qua hình thức đề bài, đó là bài toán
có yêu cầu trực tiếp.
2.2. 2; Tìm trung bình cộng của một dãy số cho trước.
Trong toán học , dãy số được xem là tập hợp các số được sắp xếp theo một thứ tự
nhất định. Vì vậy, việc áp dụng quy luật của dãy số để tìm số trung bình cộng sẽ
thuận lợi nhiều hơn. Khi hướng dẫn học sinh làm bài toán dạng này, giáo viên cần
giúp học sinh tìm ra quy luật của dãy số, xác định được số trung bình cộng của dãy
chính là số nằm giữa và cách đều hai đầu của dãy. Từ đó, rút ra cách tìm số trung
bình cộng của dãy số đã cho.
Ví dụ: Tìm số trung bình cộng của:
a. Các số tự nhiên liên tiếp từ 9 đến 19.
b. Các số lẻ có 2 chữ số.
c. Các số chẵn lớn hơn 1 và bé hơn 2013
Nhận xét: Bài toán yêu cầu tìm trung bình cộng của các dãy số cho sẵn. Dãy số
thứ nhất gồm các số tự nhiên từ 9 đến 19, số nẵm giữa và cách đều hai đầu dãy là
trung bình cộng của dãy. Dãy số thứ 2 gồm các số lẻ có 2 chữ số, bé nhất là 11 và
lớn nhất là 99. Dãy số thứ ba gồm các số chẵn lớn hơn 1 và bé hơn 2013, bé nhất
dãy 2 và lớn nhất dãy là 2012. Với những dãy số có quy luật, để tìm trung bình
cộng của dãy chúng ta hướng dẫn học sinh áp dụng quy tắc tính tổng của nhà toán
học Gau – xơ là: lấy số đầu dãy cộng với số cuối dãy rồi chia tổng đó cho 2.
Giải:
a. Trung bình cộng của các số tự nhiên liên tiếp từ 9 đến 19 là: (9+19):2= 14
b. Trung bình cộng của các số lẻ có 2 chữ số là: (11+99):2 = 55
c. Trung bình cộng của các số chẵn lớn hơn 1 và bé hơn 2013 là:
(2+2012):2 = 1007

Để nhận dạng bài toán, cần hướng dẫn học sinh xác định xem số các số hạng có
thể xác định được dễ dàng không, giữa các số hạng có mối liên hệ gì. Từ đó tìm ra
quy luật của dãy số đã cho.
2.2. 3; Tìm số hạng chưa biết khi biết trung bình cộng và số các số hạng.
Đây thực chất là bài toán được biến đổi từ quy tắc tìm số trung bình cộng.
12

12


Số trung bình = Tổng : số các số hạng
1. Tổng = số trung bình cộng số các số hạng
2. Số các số hạng = tổng : số trung bình cộng
Ví dụ:
a. Trung bình cộng của 2 số là 32. Biết một trong hai số là 37. Tìm số kia.
b. Trung bình cộng của 3 số là 27. Tổng hai số đầu là 70. Tìm số thứ ba.
Nhận xét:
a. Bài toán cho biết trung bình cộng là 32, số các số hạng là 2, số đã biết là 37.
Áp dụng quy tắc biến đổi ta dễ dàng tính được số còn lại qua hai bước tính: tìm
tổng hai số, lấy tổng trừ đi số đã biết ta được số chưa biết.
b. Bài toán cho biết trung bình cộng là 27, số các số hạng là 3, tổng các số hạng
đã biết là 70. Để tìm số chưa biết ta thực hiện lấy tổng của ba số trừ đi tổng hai số
đã biết.
Giải:
a. Số cần tìm là: 32 2-37=27
b. Số thứ ba là: 27 3- 70 =11
Đậy là dạng toán có yêu cầu trực tiếp, yếu tố cần tìm có quan hệ trực tiếp với dữ
kiện đã cho. Để giải được các bài toán dạng này, học sinh cần xác định xem yếu tố
cần tìm thuộc thành phần nào trong quy tắc, từ đó áp dụng quy luật biến đổi biểu
thức của quy tắc để tính toán và tìm ra đáp án.

2.2. 4; Bài toán giải liên quan đến tìm số trung bình cộng:
2.2.4.1; Biến đổi bài toán để rèn luyện tư duy linh hoạt.
Bài toán giải là loại bài toán có tính tổng hợp, ứng dụng kiến thức toán học vào
thực tiễn. Khi giải bài toán giải, yêu cầu học sinh phải huy động vốn kiến thức từ
nhiều mảng khác nhau. Tuy nhiên, mỗi bài toán mang một đặc trưng riêng biệt,
nhờ vào đặc trưng đó người giáo viên có thể giúp học sinh phân biệt dạng bài và
phương pháp giải phù hợp. Bài toán giải liên quan đến tìm số trung bình cộng được
bắt đầu bằng bài toán tìm số trung bình cộng đơn thuần, nhưng học sinh phải có lập
luận hoặc đặt một lời giải hợp lí cho mỗi phép tính. Vì vậy, nếu học sinh đã nắm
được cách giải các dạng bài toán về tìm số trung bình cộng thì sẽ làm được bài toán
giải một cách dễ dàng. Để học sinh có thể giải bài toán, giáo viên nên giúp các em
hiểu đề bài và có thể biến đổi bài toán thành các bài toán khác nhau.
Ví dụ: Bài toán: Số học sinh của ba lớp lần lượt là: 25 học sinh; 27 học sinh; 32
học sinh. Hỏi trung bình mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Từ bài toán trên ta khai thác thành bài toán mới bằng cách cho biết trung bình
số học sinh của 3 lớp và số học sinh của hai trong 3 lớp và yêu cầu tìm số học sinh
của lớp còn lại (bài toán 1).

13

13


Bài toán 1: Khối Bốn của một trường Tiểu học có 3 lớp, Lớp 4A có 25 học sinh,
lớp 4B có 27 học sinh và trung bình số học sinh của mỗi lớp là 28 học sinh. Tính
số học sinh của lớp 4C.
Từ bài toán 1 khi biết trung bình cộng ta tính được tổng số học sinh của 3 lớp.
Như vậy để phát triển bài toán trên bằng cách cho biết thêm mối quan hệ về hiệu
số giữa số học sinh của 3 lớp ta sẽ được một bài toán dạng “Tổng – Hiệu” như sau:
Bài toán 2: Khối Bốn của một trường Tiểu học có 3 lớp. Biết rằng trung bình

mỗi lớp có 28 h/s. Trong đó số học sinh lớp 4B ít hơn số học sinh của lớp 4C là 5
học sinh và nhiều hơn số học sinh lớp 4A là 2 học sinh. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu
học sinh?
Khi học sinh có thể biến đổi từ một bài toán thành nhiều bài toán khác nhau với
cùng các dữ kiện đã cho, điều đó chứng tỏ các em đã nắm được mấu chốt của vấn
đề và đã có khả năng tư duy lôgic. Nhờ đó hình thành cho các em tính tự giác và
ham học tập.
2.2.4.2; Dạng bài toán đặc biệt.
- Trong các số, nếu một số kém trung bình cộng của các số đó n đơn vị thì trung
bình cộng của các số đó bằng tổng các số còn lại trừ đi n đơn vị rồi chia cho số các
số hạng còn lại.
Ví dụ: An có 20 bi, Bình có 20 bi. Chi có số bi kém trung bình cộng của cả ba bạn
là 6 bi. Hỏi Chi có bao nhiêu bi?
Giải:
Nhận xét: Nếu An và Bình bù cho Chi 6 viên bi rồi chia đều thì số bi của cả ba
bạn sẽ bằng nhau và bằng trung bình cộng của cả ba bạn.
Vậy trung bình cộng số bi của ba bạn là: (20 + 20 - 6): 2 = 17(viên bi)
Số bi của Chi là: 17 - 6 = 11(viên bi)
Đ/S: 11 viên bi
- Bài toán có thêm một số hạng để mức trung bình cộng của tất cả tăng thêm n
đơn vị, ta làm như sau:
B1: Tính tổng ban đầu
B2: Tính trung bình cộng của các số đã cho.
B3: Tính tổng mới = (trung bình cộng của các số đã cho + n) × số lượng các số
hạng mới.
B4: Tìm số đó = tổng mới – tổng ban đầu
Ví dụ: Một ô tô trong ba giờ đầu, mỗi giờ đi được 40km, trong ba giờ sau, mỗi
giờ đi được 50 km. Nếu muốn tăng trung bình cộng mỗi giờ tăng thêm 1 km nữa
thì đến giờ thứ 7, ô tô đó cần đi bao nhiêu km nữa?
Giải:

Trong 6 giờ đầu, trung bình mỗi giờ ô tô đi được: (40 × 3 + 50 × 3) : 6 = 45 (km)
Quãng đường ô tô đi trong 7 giờ là: (45 + 1) × 7 = 322 (km)
Giờ thứ 7 ô tô cần đi là: 322 – (40 × 3 + 50 × 3) = 52 (km)
14

14


Đ/S: 52 km
Để giải được các dạng bài toán giải, học sinh không những cần có kiến thức toán
học vững chắc mà còn phải có một vốn kiến thức thực tiễn dồi dào. Để có được
những kiến thức thực tiễn, giáo viên phải dày công cập nhật thường xuyên trong
từng đơn vị kiến thức học tập của học sinh. Việc đó yêu cầu người thầy phải xây
dựng một kế hoạch dạy học mang tính tích hợp sâu sắc.
3. Khả năng ứng dụng của đề tài.
Đề tài có thể ứng dụng vào việc dạy các bài toán về tìm số trung bình cộng cho
học sinh lớp 4. Lớp 4 là lớp học mở đầu giai đoạn 2 ở bậc học tiểu học, ở lớp học
này các em bắt đầu hình thành ý thức cá nhân, khả năng khái quát hóa dần phát
triển, bắt đầu biết khái quát hóa lý luận. Vì vậy đề tài ứng dụng phù hợp cho việc
dạy cách giải toán có tính lí thuyết, đi từ hình ảnh cụ thể đến trừu tượng cho học
sinh lớp 4, góp phần phát triển kiến thức cho học sinh, làm tiền đề cho các em học
lên lớp trên.
Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho phụ huynh học sinh trong quá trình kèm
cặp con em học tập.
Rèn luyện kĩ năng tư duy và khái quát hóa kiến thức, làm phong phú thêm vốn
kiến thức toán học, góp phần giúp rèn luyện kĩ năng sống cho học sinh. Đây là
mục đích cao nhất của quá trình dạy học nói chung và dạy học Toán nói riêng;
trang bị kiến thức vững chắc góp phần xây dựng nhân cách cho học sinh. Từ học
tập, rèn luyện trong nhà trường để trang bị kiến thức và kĩ năng diễn đạt đúng
trong cuộc sống cho học sinh. Đây cũng là dụng ý mà đề tài muốn hướng tới.

***
C. KẾT LUẬN
1. Kết quả ứng dụng.
Sau khi nghiên cứu và đưa đề tài vào vận dụng để dạy học giải bài toán về tìm số
trung bình cộng, chúng tôi nhận thấy lớp học có nhiều biến chuyển, cụ thể là: học
sinh sử dụng cách giải toán tương đối chính xác, phù hợp cho mỗi dạng bài toán;
trình bày bài giải và lập luận chặt chẽ, trôi chảy hơn; các em có ý thức ghi nhớ lí
thuyết và biết lấy ví dụ minh họa ... điều đó chứng tỏ các em đã có vốn kiến thức
và biết cách sử dụng nó một cách linh hoạt.
Ứng dụng đề tài vào công tác giảng dạy, chúng tôi thấy có kết quả rõ rệt. Lớp học
trở nên sôi nổi và có chất lượng thể hiện sau ba lần kiểm tra thử nghiệm ở lớp 4E –
lớp thực nghiệm (dạy bằng giải pháp đã nghiên cứu) và lớp 4A - lớp đối chứng
(dạy theo nội dung chương trình sách giáo khoa) như sau:
- Lần thứ nhất kiểm tra sau khi học xong bài luyện tập về tìm số trung bình cộng
cuối tuần 5 (cho hai lớp làm chung một đề):
Lớ
Sĩ số
Điểm 9; 10
Điểm 8; 9
Điểm 5; 6
Điểm dưới 5
p
4E
27
4 15 %
9 33%
10 37%
4 15%
4A
28

3 11 %
7 25%
12 43%
6 21%
15

15


- Lần thứ hai kiểm tra sau khi học xong tiết ôn luyện về tìm số trung bình cộng
cuối tuần 7:
Lớ
Sĩ số
Điểm 9; 10
Điểm 8; 9
Điểm 5; 6
Điểm dưới 5
p
4E
27
6 22,3 %
10 37%
10 37%
1 3,7%
4A
28
4 14,2 %
7 25%
13 46,3%
4 14,2%

- Lần thứ ba kiểm tra sau khi học xong tiết ôn luyện về tìm số trung bình cộng cuối
tuần 9:
Lớ
Sĩ số
Điểm 9; 10
Điểm 8; 9
Điểm 5; 6
Điểm dưới 5
p
4E
27
7 26 %
12 44%
8 30%
0 = 0%
4A
28
4 14 %
9 32%
12 43%
3 11%
Kết quả tuy chưa thực sự cao, song so với chất lượng học sinh học cùng nội
dung giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng đã có sự khác biệt, cũng như ở năm
học trước đã có sự chuyển biến. Điều đó nói lên vai trò của việc thử nghiệm và
khẳng định rõ giá trị của để tài.
2. Bài học kinh nghiệm:
Qua thực tế dạy học giải toán Tìm số trung bình cộng chúng tôi rút ra được
những kinh nghiệm nhỏ như sau:
1. Đi từ trực quan giúp giảm bớt mức độ trừu tượng của bài toán:
- Trực quan bằng vật thật

- Trực quan bằng mô hình.
- Trực quan bằng sơ đồ đoạn thẳng
2. Phân loại một số dạng toán trung bình cộng và cách giải chúng:
- Tìm trung bình cộng các số cho trước.
- Tìm trung bình cộng của một dãy số cho trước.
- Tìm số hạng chưa biết khi biết trung bình cộng và số các số hạng.
- Bài toán giải liên quan đến tìm số trung bình cộng.
+ Biến đổi bài toán thành bài toán mới.
+ Dạng toán đặc biệt.
Sau mỗi dạng toán cần rút ra những nhận xét mang tính khái quát giúp HS ghi nhớ
và dễ dàng vận dụng trong làm bài tập khi gặp dạng tương tự.
Với cách làm này, chúng tôi đã áp dụng trong các tiết dạy giải toán và đặc biệt là
trong các tiết dạy phụ đạo về Tìm số trung bình cộng để giúp học sinh dễ dàng giải
được dạng toán này. Trao đổi với một số đồng nghiệp về cách dạy trên, chúng tôi
đã nhận được sự đồng tình ủng hộ.
3. Những kết luận.
Đề tài về việc dạy học nội dung tìm số trung bình cộng đáp ứng tính cấp thiết yêu
cầu của nghành giáo dục về việc nâng cao chất lượng dạy học, góp phần hưởng
ứng phong trào học sinh học tập tốt, học thật – thi thật.
Đề tài đã xác định được phạm vi và những giải pháp cơ bản để giúp học sinh lớp
4 có giải pháp để giải bài toán về tìm số trung bình cộng góp phần nâng cao chất
16

16


lượng dạy học. Đề tài không thiên về lí giải cách thức mà chỉ đề cập các giải pháp
cụ thể và phạm vi ứng dụng. Giáo viên có thể căn cứ vào các giải pháp để điều
chỉnh phương pháp dạy học của mình một cách phù hợp.
Nội dung của đề tài được trình bày khoa học, dễ hiểu; các luận điểm, luận cứ và

thông số có tính chính xác. Hệ thống lí thuyết đúng đắn, có sức thuyết phục.
Những kết quả được lấy từ thực tế, chính xác để chứng minh vấn đề, đáp ứng được
quan điểm dạy học – giáo dục tích cực đang đặc biệt chú trọng hiện nay.
Đề tài được áp dụng có hiệu quả trong quá trình dạy học của giáo viên và học
sinh. Nó đáp ứng một phần của việc đổi mới phương pháp dạy học trong nhà
trường phổ thông hiện nay. Đặc biệt đề tài chú trọng phát huy vai trò tích cực, chủ
động của người học, đề cập tính tự giác của người học trong dạy học – giáo dục.
Với quan điểm: học tập là quá trình lao động làm ra kiến thức. Tính tự giác của
người học không những là một yếu tố tạo ra hiệu quả của quá trình học tập và rèn
luyện mà còn là mục tiêu của dạy học – giáo dục. Giúp học sinh có khả năng phát
triển tư duy, rèn luyện kĩ năng sống để đáp ứng nhu cầu phát triển xã hội, hòa nhịp
cùng sự phát triển của thế giới hiện đại.
Dạy các nội dung về giải toán thực sự không đơn giản, nhất là bài toán liên quan
về tìm số trung bình cộng. Trong quá trình giảng dạy, tổ chức cho học sinh nắm
được kiến thức, bản thân chúng tôi cũng đã cố gắng nghiên cứu, tìm tòi, học hỏi và
và lựa chọn phương pháp sao cho học sinh nắm kiến thức mới và vận dụng trong
học tập cũng như trong cuộc sống một cách hiệu quả.
4. Những đề xuất.
Bên cạnh việc rèn luyên kĩ năng tư duy có logic và tăng thêm vốn kiến thức toán
học cho học sinh, chúng ta cần đổi mới phương pháp dạy học nhằm tạo điều kiện
cho các em bộc lộ năng lực của mình, qua đó có thể tìm ra những hạn chế của các
em và sửa đổi bổ sung kịp thời. Giáo viên không nên chỉ chú trọng vào việc truyền
thụ kiến thức mang tính áp đặt mà phải căn cứ vào nhu cầu của học sinh để kích
thích tinh thần tự học hỏi và sửa đổi của các em.
Muốn học sinh tiến bộ, một trong những việc hết sức cần thiết là giáo viên phải
chuyên cần trong dạy học - giáo dục, phải nhắc nhở ngay nếu các em vi phạm lỗi
diễn đạt cho dù là rất nhỏ. Người giáo viên không thể cẩu thả trong việc giảng dạy
học sinh. Song người thầy phải có tính độ lượng, sẵn sàng nhập cuộc với học sinh,
mở ra cơ hội thể hiện mình cho các em có năng lực học tập.
Trên đây là kết quả tìm tòi, suy nghĩ, học hỏi và quá trình thể hiện của chúng tôi

thực sự đã mang lại hiệu quả đáng kể trong giảng dạy học sinh mang tính cá nhân.
Mặc dù đề tài này mới chỉ được chúng tôi áp dụng vào việc dạy học thử nghiệm
học sinh lớp 4E và đối chứng với học sinh lớp 4A Trường Tiểu học Tân Thành năm
học 2012 - 2013, nhưng cũng đã gặt hái những thành công đáng kể. Trước khi tiến
hành làm đề tài này, chúng tôi đã trực tiếp trao đổi với một số đồng nghiệp và đã
nhận được những phản hồi tốt đẹp. Tuy nhiên, chúng ta thường quen với những
phương pháp dạy học có tính chủ quan nên mới tiếp cận ban đầu với đề tài còn có
nhiều chỗ chưa hẳn đã tìm được tiếng nói chung. Với tinh thần cầu thị, ý thức nghề
17

17


nghiệp, chúng tôi mong muốn các quý thầy cô giáo, đồng nghiệp và hội đồng khoa
học trường, nghành góp ý để đề tài tiếp tục được hoàn thiện và có tính ứng dụng
thiết thực hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Tân Thành, ngày 06 tháng 03 năm 2013
Tác giả:

Đậu Đức Minh

TT
1
2
3
4
5
18

MỤC LỤC:
Đề mục
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
1.1, Cơ sở lí luận:
1.1, Cơ sở thực tiễn:
2. Mục đích nghiên cứu

Trang
2
2
2
3
3
18


6
7
8
9
10
11

3. Phương pháp nghiên cứu
B. NỘI DUNG
I. ĐÁNH GIÁ THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
1. Về giáo viên
2. Về học sinh
3. Nguyên nhân của những khó khăn

4
4
4
4
5
6

12

II. NHỮNG GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN VỀ
TÌM SỐ TRUNG BÌNH CỘNG.

6

13
14

1. Cơ sở để xây dựng giải pháp
2. Các giải pháp
1.2; Sử dụng phương pháp trực quan giúp giảm bớt mức độ trừu
tượng của bài toán.
1.2.1; Trực quan bằng vật thật.
1.2.2; Trực quan bằng mô hình.
1.2.3; Trực quan bằng sơ đồ đoạn thẳng.
2.2; Phân loại một số dạng bài toán Trung bình cộng và cách giải chúng.
2.2.1; Tìm trung bình cộng của các số cho trước
2.2. 2; Tìm trung bình cộng của một dãy số cho trước.

6

6

15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

19

2.2. 3; Tìm số hạng chưa biết khi biết trung bình cộng và số các số hạng.

2.2. 4; Bài toán giải liên quan đến tìm số trung bình cộng:
2.2.4.1; Biến đổi bài toánđể rèn luyện tư duy linh hoạt.
2.2.4.2; Dạng bài toán đặc biệt.
3. Khả năng ứng dụng của đề tài.
C. KẾT LUẬN
1. Kết quả ứng dụng.

2.Bài học kinh nghiệm:
3. Những kết luận.
4. Những đề xuất.

6
6
7
7
12
12
12
13
13
14
14
15
16
16
16
17
17

19