Lớp 11 giới hạn 22 câu từ đề thi thử giáo viên văn phú quốc năm 2018 converted image marked

Câu

(Gv

1

Văn

Phú

Quốc

2018):

Cho

a1 = 0, an+1 = an + 4n + 3, n  1. Tính giới hạn: lim

A. 2017.

dãy

số

an 

định

an + a4 n + a42 n + ... + a42018 n
an + a2 n + a22 n + ... + a22018 n

Đáp án C
Ta có: ak = ak −1 + 4 ( k − 1) + 3 = ak −2 + 4 ( k − 2) + 4 ( k − 1) + 2.3

= ... = a1 = 4 (1 + 2 + ... + k − 1) + 3 ( k − 1) = ( 2k + 3)( k − 1)

Do đó: lim

( 2kn + 3)( kn − 1)

akn
= lim
n

Suy ra: lim

n

3 
1

= lim  2k +  k −  = k 2
n 
n


an + a4 n + a42 n + ... + a42018 n
an + a2 n + a22 n + ... + a22018 n

=

1 2 + 4 2 + 42 2 + ... + 42018 2
1 2 + 2 2 + 22 2 + ... + 22018 2

22019 + 1
=
.
3
Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính giới hạn của hàm số lim
x →1

A.

n
.
2

B.

n2
.
2

C.

x n − nx + n − 1

( x − 1)

n2 − n
.

2

Ta có:

lim
x →2

( x − 1)

2

(x
= lim

n

− 1) − n ( x − 1)

x →2

(x
= lim

n −1

x →1

2

+ x n −2 + ... + x + 1) − n

x −1

x →1

(x
= lim

( x − 1)

n −1

− 1) + ( x n −2 − 1) + ... + ( x − 1)
x −1

(

)

= lim ( x n −1 + x n − 2 + ... + 1) + ( x n −3 + x n − 4 + ... + 1) + ... + 1
x →1

= ( n − 1) + ( n − 2 ) + ... + 1 =

n ( n − 1) n2 − n
=
.
2
2

2

D.

Đáp án C

x n + nx + n − 1

.

22018 + 1
.
D.
3

22019 + 1
.
C.
3

B. 2018.

xác

n2 + n
.
2

bởi

Câu 3: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm m để hàm số sau liên tục trên

:

 x 2 + x + 1 khi x  1

f ( x) = 

m sin x khi x  1

2

C. m = 3.

B. m = 2.

A. m = 1.

D. m = 4.

Đáp án C
Hàm số xác định và liên tục trên các khoảng ( −;1) và (1; + ) .
Suy ra hàm số xác định và liên tục trên

 hàm số xác định và liên tục tại điểm x = 1.

Ta có lim− f ( x ) = lim− ( x 2 + x + 1) = 3 .
x →1

x →1



lim+ f ( x ) = lim+  m sin
x →1
x →1 
2



x  = m sin = m = f (1) .
2


Hàm số liên tục tại điểm x = 1  lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (1)  m = 3.
x →1

x →1

n

Câu 4: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính giới hạn lim 
x →

A. 0

k =1

(3

k +1

6k

− 2k +1 )( 3k − 2k )

C. −1

B. 1

D. 2

Đáp án D
 3k − 2k
3k −1 − 2k −1 
=6
−
Ta có: k +1 k +1 k
( 3 − 2 )( 3 − 2k )  3k +1 − 2k +1 3k − 2k 
6k

6k

n

 (3

k +1

k =1

− 2k +1 )( 3k − 2k )

=6

3n − 2n
3n +1 − 2n +1
n

n

Do đó: lim 
n →

k =1

(3

k +1

6k

− 2k +1 )( 3k − 2k )

3n − 2n
n → 3n +1 − 2 n +1

= 6 lim

2

1−  
3 = 2
= 6 lim
2
n →
2
1 − 2.  
3

Câu 5(Gv Văn Phú Quốc 2018): Cho hàm số f ( x ) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3) ... ( x − 2019) . Tính

f ' (1)
A. 0

B. 1

C. 2018!

Đáp án C
Ta có lim
x →1

f ( x ) − f (1)
( x − 1)( x − 2 )( x − 3) ... ( x − 2019 )
= lim
x →1
x −1
x −1

= lim ( x − 2)( x − 3) ... ( x − 2019) = ( −1) . ( −2 ) . ( −3) ... ( −2018) = 2018!

x →1

D. 2019!


Vậy f ' (1) = 2018!

Câu 6: (Gv Văn Phú Quốc 2018)Giả sử f :
Với mọi k  0 , tính giới hạn lim

x →

A. 1

→

là hàm đơn điệu sao cho lim

 x →

f ( 2x)
=1.
f ( x)

f ( kx )
x

B. 2

C.

1
2

D. +

Đáp án A

f ( 2n x )
f ( 2n x ) f ( 2n −1 x ) f ( 2 x )
f ( 2x)
= 1  lim
= lim
...
=1
Ta có lim
x → f ( x )
x →
x → f 2n −1 x f 2n − 2 x
f ( x)
( ) ( ) f ( x)
Giả sử f ( x ) tăng và k  1 . Ta thấy tồn tại n

sao cho 2n  k  2n +1

Theo tính đơn điệu của f, ta có f ( 2n x )  f ( kx )  f ( 2n +1 x )
Từ đây suy ra lim

x →

f ( kx )
= 1, k  1
f ( x)

Cũng suy luận như trên, trong trường hợp 0  k  1 ta có
lim

x →

f ( kx )
f (u )
= lim
=1
f ( x ) u →  u 
f 
k

Vậy ta thu được lim
x →

Câu

7:

f ( kx )
= 1, k  0
x

(Gv

(

Văn

)

Phú

Quốc

2018)

Tính

)

(

lim cos  n 3 n3 + 3n2 + n + 1 + sin  n 3 n3 + 3n 2 + n + 1 

n → 


A. −

1+ 3
2

B. 1

C.

3

Đáp án A
Đặt un = 3 n3 + 3n 2 + n + 1
Ta có cos ( nun ) = cos  − nun + ( n + 1) n  = cos  n ( n + 1 − un )
3




n + 1) − un3
(
2 u 2
= cos  n
=
cos



2
2
2
2
 ( n + 1) + ( n + 1) un + un 
 ( n + 1) + ( n + 1) un + un 

D. 0

giới

hạn






2


= cos
  1  2 un  1   un  2 
 1 +  + 1 +  +   
n  n  n  
 n 
2
1
=−
Suy ra lim cos ( nun ) = cos
n →
3
2
2
3
=−
3
2
1+ 3

n3 + 3n 2 + n + 1  = −

2

Biến đổi tương tự, ta cũng tìm được lim sin ( nun ) = − sin
n →

)

(

(

Vậy lim cos  n3 n3 + 3n 2 + n + 1 + sin  n3
n → 


)

Câu 8: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện
lim  4 x 2 + 4 x + 3 − ( ax + b )  = 0 . Tính
x → 


( a − 2b )

2018

(3a

2

+ 3 ab + b 5 a

A. 0

)
C. 22018

B. 1

D. −1

Đáp án A
Phân tích

4 x2 + 4 x + 4 − ( ax + b ) = 4 x 2 + 4 x + 1 − ( 2 x + 1) + ( 2 x + 1) − ( ax + b )

= 4 x2 + 4 x + 1 − ( 2 x + 1) + ( 2 − a ) x + 1 − b
2
=0
Ta có lim  4 x 2 + 4 x + 3 − ( 2 x + 1)  = lim
x →+ 
 x→+ 4 x 2 + 4 x + 3 − ( 2 x + 1)
Khi đó lim  4 x 2 + 4 x + 3 − ( ax + b )  = 0
x →+ 

2 − a = 0 a = 2
lim ( 2 − a ) x + 1 − b  = 0  


x →+
1 − b = 0
b = 1
Suy ra ( a − 2b )

2018

(3a

2

)

+ 3 ab + b 5 a = 0

Câu 9: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho số thực a  ln 2 . Tính giới hạn L = lim

x → ln 2

A. L = ln 6

C. L = 6

B. L = ln 2

Đáp án C
ln10

Đặt I =


a

ex
3

ex − 2

dx

Đặt t = 3 e x − 1  t 3 = e x − 1  3t 2dt = e x dx
Đổi cận: x = a  t = 3 ea − 1; x = ln10  t = 3
2

Khi đó I =

2

3t 2 dt
3
= 3  tdt = t 2

t
2
3 a
3 a
e −1
e −1

2

=
e −1

3 a

2

3
a
3
4
−
e
−
2
)
 (

2


ln10


a

D. L = 2

ex

3

ex − 2


3
Vậy lim I = .4 = 6
a → ln 2
2

1.1!+ 2.2!+ ... + n.n!
n →
( n + 1)!

Câu 10: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính giới hạn của dãy số lim
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án A
k , ta có k.k ! = ( k + 1)!− k !

Ta có un =

( 2!− 1!) + ( 3!− 2!) + ... ( ( n + 1)!− n!)
1

= 1−
( n + 1)!
( n + 1)!

Vậy lim un = 1
n →

3

Câu 11: (Gv Văn Phú Quốc 2018)Tính giới hạn của hàm số lim
x →0

A.

1
4

B.

1
3

1
2

C.

x +8 − x + 4
x

D. 0

Đáp án B
3
x+8 − x+ 4
x+8 −2
x+4 −2
= lim
− lim
x →0
x
→
0
x
→
0
x
x
x
1
1
1 1 1
= lim
+ lim
= + =
2
x →0 3
x
→
0

x + 4 + 2 12 4 3
( x + 8) + 2 3 x + 8 + 4
3

Ta có lim

Câu 12: (Gv Văn Phú Quốc 2018)Tính giới hạn lim
A.

1− a
1− b

B.

1− b
1− a

C.

1 + a + a 2 + ... + a n
(với a  1, b  1 )
1 + b + b 2 + ... + b n

1+ a
1+ b

Đáp án B

1 − a n +1
1− a

1 − b n +1
1 + b + b 2 + ... + b n =
1− b
2
n
1 + a + a + ... + a
1 − b 1 − a n +1
=
.
Khi đó
1 + b + b 2 + ... + b n 1 − a 1 − b n +1
Do a  1, b  1 nên lim a n+1 = 0,lim bn+1 = 0
Ta có 1 + a + a 2 + ... + a n =

1 + a + a 2 + ... + a n 1 − b
=
1 + b + b2 + ... + bn 1 − a
Câu 13: Xác định một hàm số f ( x ) thỏa mãn các điều kiện sau
Vậy

(i). f ( x ) có tập xác định là D =

\ 4

(ii). lim f ( x ) = +; lim f ( x ) = 3 và lim f ( x ) = 3
x →4

x →+

x →−

D.

1+ b
1+ a


A. f ( x ) =
f ( x) =

3x 2

( x − 4)

B. f ( x ) =

2

3x 2 + 1
x−4

C. f ( x ) =

3 − x2

( x − 4)

2

D.

x − 3x 2

( x − 4)

2

Đáp án A
Lần lượt kiểm tra từng hàm số ta thấy chỉ có hàm số f ( x ) =

3x 2

( x − 4)

2

thỏa mãn cả hai điều kiện

Câu 14: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho số thực a  ln 2 . Tính giới hạn
ln10
ex
L = lim 
dx
3 x
a → ln 2
e −2
a
A. L = ln 6
B. L = ln 2
C. L = 6

D. L = 2
Đáp án C
ln10

Đặt I a =



ex
3

a

ex − 2

dx

Đặt t = 3 e x − 2  t 3 = e x − 1  3t 2dt = e x dx
Đổi cận x = a  t = 3 ea − 1; x = ln10  t = 3
2

2

3t 2 dt
3
Khi đó I = 
= 3  tdt = t 2
t
2
3 a

3 a
e −1
e −1

2

=
e −1

3 a

2

3
a
3
4
−
e
−
2
(
)


2


3
Vậy lim I a = .4 = 6

x → ln 2
2

Câu 15(Gv Văn Phú Quốc 2018): Tính giới hạn lim

x →−

A. 0.

(

)

x 2 + 3000 − 3 x3 + 3000 .

D. − .

C. + .

B. 6.

Đáp án C
Ta có lim

x →−

(

)

x 2 + 3000 − 3 x3 + 3000 = + − ( − ) = + Câu 7: Trong các mệnh đề sau mệnh đề

nào sai?
A. lim

x →+

x15 + x + x3
= + .
x3 + 1

B. lim

x →

x4 + 3
= 0.
x3 + 5

x2 + x
x + x8 + 1
lim
= 0.
.
D.
=
0
x →+ x +
x →
x3 + 1

x

C. lim

 x2 + n

Câu 16(Gv Văn Phú Quốc 2018): Cho hàm số f ( x ) =  2mx − 3
m + 3


điểm x = 1 .

khi x  1
khi x  1 liên tục tại
khi x = 1


Tính ( m − n )

2018

 m +1
+

 n 

A. 0.

2019

:
B. 1.

C. −1 .

D. 2.

Đáp án A
Tại điểm x = − hàm số không xác định nên hàm số gián đoạn.
 2sin x 
Ta có lim− f ( x ) = lim− 
=2
x →0
x →0 
x 
lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 2 ) = 2 = f ( 0 ) .
x →0

x →0

Do lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 0 ) nên hàm số liên tục tại điểm x = 0 .
x →0

x →0

Vậy hàm số chỉ gián đoạn tại điểm x = − .
Câu 17(Gv Văn Phú Quốc 2018):

Cho

dãy

số

un 

u1 = 2

u = u1 + 2u2 + .... + ( n − 1) un −1 .
 n
n ( n 2 − 1)


Tìm lim ( n + 2018 ) un .
3

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án D
1
Ta có u2 = .
3
Với n  3 ta có
u1 + 2u2 + ... + ( n − 1) un −1  + nun = n ( n 2 − 1) un + nun = n3un

( n − 1) =  n − 1   n  1
u
 nu = nun + ( n − 1) un −1  n = 3

 
( )
un−1
n − n  n   n +1 
Từ (1) suy ra
2
2
2
un
un un −1 u3  n − 1   n − 2   2    n n − 1 3 
12
=
.
... = 
.
...  = 2
 .
 ...    . 
u2 un −1 un − 2 u2  n   n − 1   3    n + 1 n
4  n ( n + 1)
3

 un =

2

3

3
n

4
.
n ( n + 1)
2

Vậy lim ( n + 2018) un = 4 .
3

Câu 18(Gv Văn Phú Quốc 2018): Cho dãy số  xn  xác định bởi:
 x1  0
. Hãy tìm lim xn .

2
2
3 ( n + 2 ) xn +1 = 2 ( n + 1) xn + ( n + 4 ) , n  1

A. 0.

B. 1.

C. 2.




Câu 19: Tính giới hạn lim  3 x + 3 x + 3 x − 3 x  .
x →+



D. 3.

xác

định

bởi


A. + .

B. 0.

C.

1
.
2

D. 3.

Đáp án B
Ta có: 3 ( n + 2) xn2+1 = 2 ( n + 1) xn2 + ( n + 4) , n  1

 3 ( n + 2) xn2+1 = 2 ( n + 1) xn2 − 2 ( n + 1) + 3 ( n + 2 ) , n  1

 3 ( n + 2 ) ( xn2+1 − 1) = 2 ( n + 1) ( xn2 − 1) , n  1

2 n +1
yn .
Đặt yn = xn2 − 1 . Khi đó yn +1 = .
3 n+2
n +1
2 ( n + 1)
2n
2
1
2
Suy ra yn +1 =
.
... y1 =   .
y1 hay lim yn = 0 .
3 ( n + 2 ) 3 ( n + 1) 3
3 n+2

Vậy lim xn = 1 .

 x + 2a + b
Câu 20(Gv Văn Phú Quốc 2018): Cho hàm số f ( x ) =  2
ax + bx + 2
tại điểm x0 = 1 . Tính giá trị của biểu thức P = ( a + b )
A. 0.

2018

( a − b − 1)

2019

C. −1 .

B. 1.

khi x  1
khi x  1

có đạo hàm

+ 3a − 2b .

D. 5.

Đáp án D
Do f có đạo hàm tại điểm x0 = −1 nên f liên tục tại điểm x0 = −1 .
Khi đó
lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (1)  lim+ ( ax 2 + bx + c ) = lim− ( x + 2a + b ) = f
x →1

x →1

x →1

 a + b + 2 = 2a + b + 1  a = 1 .
x + 2 + b
Với a = 1 , hàm số f ( x ) trở thành f ( x ) =  2

 x + bx + 2
f ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 = 1 khi và chỉ khi
lim+

x →1

x →1

khi x  1
khi x  1

(1)

.

f ( x ) − f (1)
f ( x ) − f (1)
x 2 + bx + 2 − b − 3
x + 2+b−b−3
= lim−
 lim+
= lim−
.
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1
x −1
x −1

 lim+ ( x + b + 1) = lim1
 b + 2 = 1  b = −1
−
x →1

Suy ra a + b = 0 .
Vậy P = 5 .

x →1


2 
2  
2

Câu 21(Gv Văn Phú Quốc 2018): Tính giới hạn lim 1 −

1 −
 ... 1 −
 2.3  3.4   ( n + 1)( n + 2 ) 

A.

2
.
3

B. 0

Đáp án C


2 
2  
2

Đặt xn = 1 −

 1 −
 ... 1 −
 2.3   3.4   ( n + 1)( n + 2 ) 

C.

1
.
3

D. + .


Từ 1 −
xn =

2

( k + 1)( k + 2 )

=

k ( k + 3)

, k = 1,..., n ta có
( k + 1)( k + 2 )

n ( n + 3)
1.4 2.5 3.6
n+3
...
=
2.3 3.4 4.5 ( n + 1)( n + 2 ) 3 ( n + 1)

1
Vậy lim xn = .
3

(

Câu 22(Gv Văn Phú Quốc 2018): Tính giới hạn lim x x + x 2 + 1
x →−

A.

1
B. − .
2

1
.
2

)

C. −

Đáp án B

(

)



1 
1 
Ta có lim x x + x 2 + 1 = lim x  x + x 1 + 2  = lim x  x − x 1 + 2 
x →−
x →−
x  x→− 
x 

1 

1 − 1 + 2 

1 
1
x 
= lim x 2 1 − 1 + 2  = lim x 2 
=− .
x →−
x  x→−

2
1

1+ 1+ 2
x

D. +