Lớp 12 nguyên hàm tích phân 40 câu từ đề thi thử các sở giáo dục năm 2018 converted image marked

Câu 1: ( Liên trường Sở Nghệ An 2018)

(

)

4
Cho hàm số F ( x ) =  x x 2 + 1dx. Biết F ( 0 ) = , khi đó F 2 2 bằng
3

A. 3

B.

85
4

C. 19

D. 10

Đáp án D
Có
2 2


0

1
x x + 1dx =
2

2 2



2

0

1
x + 1d ( x + 1) =
3
2

2

(x

2

+ 1)

3

2 2

=
0

(

)

(

)

26
= F 2 2 − F ( 0 )  F 2 2 = 10
3

Câu 2: ( Liên trường Sở Nghệ An 2018)
x
Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = cos .
2

A. F ( x ) = 2sin

1
x
B. F ( x ) = sin + C
2
2

x
+C
2

C. F ( x ) = −2sin

x
+C
2

1
x
D. F ( x ) = − sin + C
2
2

Đáp án A
x
x x
x
Ta có F ( x ) =  cos dx = 2  cos d   = 2sin + C
2
2 2
2

Câu 3 ( Liên trường Sở Nghệ An 2018): Tìm nguyên hàm của hàm số y = 1212x.
A.  122x dx = 1212−4x ln12 + C
C.  122x dx =

B.  122x dx = 1212x ln12 + C

1212x
+C
ln12

D.  122x dx =

1212x −1
+C
ln12

Đáp án D
Ta có  1212x dx =

1
1212x
1212x −1
12x
12x
12
d
12x
=
+
C
=
12
dx
=
+C
(
)

12 
12.ln12
ln12

Câu 4 ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 ) Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = x 2 4 + x3 là
A. 2 x3 + 4 + C
Đáp án B
Phương pháp:

B.

2
9

(4 + x )

3 3

+C

C. 2

(4 + x )

3 3

+C

D.

1

9

(4 + x )

3 3

+C


-Sử dụng phương pháp đưa vào trong vi phân
Cách làm:

x

2

4 + x3 dx =

1
1 (4 + x
4 + x 3 .d ( x 3 + 4 ) =

3
3
3
2

3
3 2

)

+C =

2
9

(4 + x )

3 3

+C

100

Câu 5 ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 )): Tích phân

 x.e

2x

dx bằng

0

A.

1
(199e200 + 1)
4

B.

1
(199e200 − 1)
4

C.

1
(199e200 + 1)
2

D.

1
(199e200 − 1)
2

Đáp án A
Phương pháp:
-Sử dụng tích phân từng phần
Cách làm:

dx = du
u = x

Ta đặt  2 x

1 2x

e dx = dv v = e

2
100

Khi đó


0

100
1
1
x.e dx = x. e2 x −
0
2
2
2x

100


0

1
e dx = x.e2 x
2

100

2x

0

1
− e2 x
4

100

0

1
1
1 1
= .100.e 200 − e 200 + = (199e200 + 1)
2
4
4 4

Câu 6 ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 ):): Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm
số f ( x ) = e x ( x3 − 4 x ) . Hàm số F ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
2

A. 2

B. 1

C. 3

Đáp án C
Phương pháp:
- Tìm nghiệm của F  ( x ) = 0 và xét dấu F  ( x ) .
Cách giải:
2
x = 0
Ta có: F  ( x ) = f ( x ) = e x ( x3 − 4 x ) = 0  x ( x 2 − 4 ) = 0  
 x = 2

D. 4


Ta thấy F  ( x ) đổi dấu qua ba nghiệm nên hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 7 ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 ): Cho hàm số y = f ( x ) là hàm lẻ và liên
tục trên  −4;4 biết

0



f ( − x ) dx = 2 và

−2

2

4

f ( −2 x ) dx = 4 . Tính I =  f ( x ) dx .



0

1

B. I = −6

A. I = 10

D. I = −10

C. I = 6

Đáp án B
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp đổi biến và áp dụng công thức

b

c

c

a

b

a

 f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx

Cách giải:
0

Xét tích phân:

 f ( − x ) dx

−2

 x = −2  t = 2
Đặt x = −t  dx = −dt . Đổi cận 
x = 0  t = 0


0

0

2

2

−2

2

0

0

 f ( − x ) dx = − f ( t ) dt =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx = 2
2

Xét tích phân:

 f ( −2 x ) dx = 4
1

x = 1  t = 2
Đặt 2x = t  2dx = dt . Đổi cận 
x = 2  t = 4
2

  f ( −2 x ) dx = 4 =
1
4


0

4

4

4

4

1
f ( −t ) dt = 4   f ( − x ) dx = 8  −  f ( x ) dx = 8   f ( x ) dx = −8
2 2
2
2
2

2

4

0

2

f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = 2 − 8 = −6

Câu 8: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)


Cho F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2x và F   = 1. Tính F  
4
6


 1
A. F   =
6 2

 5

C. F   =
6 4


B. F   = 0
6

 3
D. F   =
6 4

Đáp án D

4



4
1
1
1 3



sin
2xdx
=
cos2x
= = F  − F   F  = 1− =



2
4
4 4
4
6
6
6

6

5

Câu 9 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Tính tích phân I = 
1

dx
ta được kết quả
x 3x + 1

I = a ln3 + bln5. Giá trị S = a + ab + 3b là
2

A. 0

2

B. 4

C. 1

D. 5

Đáp án D

x = 1 → t = 2
Đặt t = 3x + 1  t 2 = 3x + 1  2tdt = 3dx, 
x = 5 → t = 4
Suy ra
4
a = 2
dt
1 
t −1
3
1
 1
I = 2 2
= 
−
= ln − ln = 2 ln 3 − ln 5  
S=5
dt = ln
t −1 2  t −1 t + 1 
t +1 2
5
3
b = −1
2
4

4

Câu 10: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)
Gọi S là diện tích hình phẳng giưới hạn bởi đồ thị của hàm số ( H ) : y =

x −1
và các trục tọa
x +1

độ. Khi đó giá trị của S bằng
A. 2ln 2 + 1( dvdt )

B. ln 2 + 1( dvdt )

C. ln 2 −1( dvdt )

Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm

x −1
= 0  x =1
x +1

Suy ra diện tích cần tính là
1

S=
0

1
x −1
2
dx =  2 −
dx = ( x − 2 ln ( x + 1) ) = 2 ln 2 − 1( dvdt )
0
x +1
x +1
0
1

D. 2ln 2 − 1( dvdt )


1

dx
1+ x2
0

Câu 11 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Một học sinh làm bài tích phân I = 
theo các bước sau
Bước 1: Đặt x = tan t, suy ra dx = (1 + tan 2 t ) dt
Bước 2: Đổi x = 1  t =

4


,x = 0  t = 0
4


4


1 + tan t


4 = 0−
dt
=
dt
=
t
=−
2

0
1 + tan t
4
4
0
0
2

Bước 3: I = 

Các bước làm trên, bước nào bị sai
A. Bước 3

B. Bước 2

C. Không bước nào sai cả

D. Bước 1

Đáp án A

4


4


1 + tan t


4 =
dt
=
dt
=
t
−0 =
2

0
1 + tan t
4
4
0

0

I=

2

Câu 12 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
f '( x )  x +

1
, x 
x

A. f ( 2 ) 

+

5
+ 2 ln 2
2

+

thỏa mãn

và f (1) = 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
B. f ( 2 ) 

5
+ ln 2

2

C. f ( 2)  5

D. f ( 2 )  4

Đáp án B
1
Ta có f ( x ) =  x + dx = x 2 − ln x + C
x

f (1) = 1  1 + C = 1  C = 0  f ( x ) = x 2 − ln x  f ( 2 ) = 4 − ln 2
Câu 13: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e2018x
1 2018x
e
+C
2018

A.  f ( x ) = e 2018x ln 2018 + C

B.  f ( x ) =

C.  f ( x ) = 2018e 2018x + C

D.  f ( x ) = e 2018x + C


Đáp án B
Ta có  f ( x ) =  e 2018x dx =

1 2018x
e
+C
2018

Câu 14: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)
Cho số thực a  0. Gỉa sử hàm số f ( x ) liên tục và luôn dương trên đoạn 0;a  thỏa mãn
a

1
dx
1+ f (x)
0

f ( x ) .f ( a − x ) = 1. Tính tích phân I = 
A. I =

a
3

B. I =

a
2

C. I = a

D. I =

2a
3

Đáp án B
f (a − x )
1
dx
dx = 
=
dx vì f ( x ) .f ( a − x ) = 1.
Ta có I = 
1
1+ f (x)
1+ f (a − x )
0
0 1+
0
f (a − x )
a

a

a

a
0
f (a − x )
f (t)
x = 0  t = a
dx = 

dt
, Khi đó 
Đặt t = a − x  dx = −dt và 
1+ f (a − x )
1+ f (t )
x = a  t = 0
0
a
a
a
0
a
f (t)
f (x)
dx
dx
a
+
dt = 
=  dx  I =
dx suy ra 2I = 
1+ f (x ) 0 1+ f (x ) 0
1+ f ( t)
1+ f ( x)
2
0
0
a

a

I=

1

Câu 15 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Cho

 f ( x ) dx = 3. Tính tích phân

−2
1

 2f ( x ) − 1 dx.

−2

B. −3

A. −9

C. 3

D. 5

C. 4

D.

Đáp án C
2

1

−2

−2

Ta có I = 2  f ( x ) dx −  dx = 2.3 − (1 + 2 ) = 3
Câu 16 : (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)
2

Tích phân

 ( x + 3)

2

dx bằng

1

A. 61
Đáp án B

B.

61
3

61

9


2

 ( x + 3)

Ta có:

2

( x + 3)
dx =

3 2

3

1

=
1

61
3

Câu 17 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2cos2x
là
A. −2sin 2x + C

B. −sin2x + C

D. sin2x + C

C. 2sin2x + C

Đáp án D

 2cos2xdx = sin 2x + C
Câu 18: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)
1

Cho

 3x +
1
3

A. −

x
9x 2 − 1

dx = a + b 2, với a, b là các số hữu tỉ. Khi đó giá trị của a là

26
27

B.

26
27

C. −

27
26

D. −

25
27

Đáp án B
1

 3x +

Ta có:

1
3

1

x
9x − 1
2

dx = 

1
3

(

x 3x − 9x 2 − 1
9x − 9x + 1
2

2

) dx =

1
1 2

=  3x dx −  9x 2 − 1d ( 9x 2 − 1) =  x 3 − .
18 1
18 3

1
1

1

2

3

Suy ra a =

 (3x

)

1

2

− x 9x 2 − 1 dx

1
3

1

26 16
−
2
(9x −1)  1 = 27
27
2

3

3

3

26

−16
;b =
27
27

Câu 19: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)
Cho hàm số f ( x ) xác định trên

\ −1;1 và thỏa mãn: f ' ( x ) =

1
; f ( −3) + f ( 3) = 0 và
x −1
2

 1 1
f  −  + f   = 2 . Tính giá trị của biểu thức P = f ( 0) + f ( 4 ) .
 2 2
3
A. P = ln + 2
5

B. P = 1 + ln

3
5

1 3
C. P = 1 + ln
2 5

Đáp án C
Ta có: f ( x ) =  f ' ( x ) dx = 
Với −1  x  1  f ( x ) =

dx
1  1
1 
1 x −1
= 
−
+C
 dx = ln
2
x −1 2  x −1 x +1 
2 x +1

1 1− x
ln
+ C1
2 x +1

D. P =

1 3
ln
2 5


x  1

1 x −1
 f ( x ) = ln
+ C2
Với 
2 x +1
 x  −1
1 1
1
ln 2 + C2 + ln + C2 = 0

C 2 = 0
1
1


  
2 2
Do f ( −3) + f ( 3) = 0 và f  −  + f   = 2   2

 2 2
C1 = 1
 1 ln 3 + C + 1 ln 1 + C = 2
1
1

2 3
2
1 3
Do đó P = f ( 0 ) + f ( 4 ) = 1 + ln
2 5

Câu 20: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)
Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f (1) = 0 và
2

1

1

x
 f ' ( x ) dx =  ( x + 1) e dx =
0

0

e2 − 1
. Tính tích phân I =  f ( x ) dx.
4
0
1

B. I = e − 2

A. I = 2 − e

e
2

C. I =

e −1
2

D. I =

Đáp án B


du = f ' ( x ) dx
u = f ( x )

Đặt 

, khi đó

x
x
dv
=
x
+
1
e
dx
v
=
xe
(
)





1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

= e.f (1) −  xe x .f ' ( x ) dx   xe x .f ' ( x ) dx = −  ( x + 1) e x .f ( x ) dx =
1

Xét tích phân

1 − e2
4

1

1

0

0

x
x
2
2 2x
 f ' ( x ) + k.xe  dx =  f ' ( x ) dx + 2k. xe .f ' ( x ) dx + k . x e dx = 0
2

0



1

1

x
x
x
 ( x + 1) e .f ( x ) dx = xe .f ( x ) −  xe .f ' ( x ) dx

2

0

e2 − 1
1 − e2
e2 − 1
+ 2k.
+ k2.
= 0  k 2 − 2k + 1 = 0  k = 1  f ' ( x ) = − x.e x
4
4
4

Do đó f ( x ) =  f ' ( x )dx = −  x.e x dx = (1 − x ) e x + C mà f (1) = 0  C = 0
1

1

0

0

Casio
→I = e − 2
Vậy I =  f ( x ) dx =  (1 − x ) e x dx ⎯⎯⎯

Câu 21: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  0; + ) và

x2

 f ( t ) dt = x sin x ( x ). Tính f ( 4 ) .
0

A. f ( 4 ) =
Đáp án B

 −1
4

B. f ( 4 ) =


2

C. f ( 4 ) =


4

D. f ( 4 ) =

1
2


x2

Lấy đạo hàm 2 vế biểu thức

 f ( t ) dt = x sin ( x ) , ta được
0

2x.f ( x 2 ) =  x.sin ( x ) ' → 2.2.f ( 4 ) =

d

x.sin ( x ) )  f ( 4 ) =
(
dx
2
x −2

Câu 22 ( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên a;b.
Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đường cong y = f ( x ) , trục hoành và các đường thẳng

x = a, x = b ( a  b ) được xác định bởi công thức nào sau đây
b

A. S =  f ( x ) dx

a

B. S =  f ( x ) dx
b

a

b

C. S =  f ( x ) dx
a

b

D. S =  f ( x ) dx
a

Đáp án C
a

Ta có S =  f ( x ) dx
b

Câu 23( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Họ nguyên hàm của hàm số
f ( x ) = x − sin 2x là

x2
+ cos2x + C
A.
2

x2 1
+ cos2x + C
B.
2 2

1

C. x 2 + cos2x + C
2

x2 1
− cos2x + C
D.
2 2

Đáp án B
Ta có

 ( x − sin 2x )dx =

x2 1
+ cos2x + C
2 2

Câu 24 ( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

2

16

mãn  cot x.f ( sin x ) dx = 
2


4

A. I = 3

1

f

( x ) dx = 1. Tính tích phân I =
x

f ( 4x )
dx
x
1

1


8

B. I =

3
2

Đáp án D

2


2


4

4

A =  cot x.f ( sin 2 x ) dx = 

cos x
.f ( sin 2 x ) dx
 sin x

C. I = 2

D. I =

5
2

và thỏa


1
f (t)
f (x)
dt = 1  
dx = 2
Đặt t = sin x  dt = 2sin x cos xdx, đổi cận suy ra A = 
x
1 2t
1

1

2

2

16

Mặt khác B = 

f

1

( x ) dx = 1 ⎯⎯⎯→ B =
u= x

x

2

4
f (u)
f (u)
2udu

B
=
1 u 2
1 u du = 1

4

f (x)
1
dx =
x
2
1
4



4
4
f ( 4x )
f ( v ) dv 4 f ( v )
f (x)
5
v = 4x
dx ⎯⎯⎯
→I = 
=
dv = 
dx = A + B =
Xét I = 
v 4 1 v
x
x
2
1

1
1
8
2
2
2
4
1

Câu 25( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Biết rằng

4

1

1

 sin 2x.ln ( tan x + 1) dx = a + b ln 2 + c với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính T = a + b − c
0

C. T = 6

B. T = 4

A. T = 2

D. T = −4

Đáp án B

u = ln ( tan x + 1)
dx
cos2x
 du =
Đặt 
và v = −
2
cos x ( tan x + 1)
2
dv = sin 2xdx




cos 2x.ln ( tan x + 1) 4 1 4
cos 2x
Khi đó I = −
+ 
dx
2
2
2
cos
x
tan
x
+
1
(
)

0
0
1
2
cos 2x
2 cos x − 1
1 − tan 2 x
cos
x
=
=
=
= 1 − tan x
Ta có
cos 2 x ( tan x + 1) cos 2 x ( tan x + 1)
tan x + 1
1 + tan x
2−

2


4



4
cos 2x
dx
=

Suy ra 
0 (1 − tan x )dx.
cos 2 x ( tan x + 1)
0

Vậy I = −


4


4

cos 2x.ln ( tan x + 1)
1
+   (1 − tan x ) dx
2
2 0
0



cos 2x.ln ( tan x + 1) 4 1
 1
1
1
=−
+  ( x + ln cos x ) 4 = − ln 2. Hay a = ; b = − ;c = 0
0
8

4
2
2
8 2
0


Câu 26( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Mệnh đề nào sau đây là sai
A. Nếu  f ( x ) dx = F ( x ) + C thì  f ( u ) du = F ( u ) + C
B.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx (k là hằng số và k  0)
C. Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) = G ( x )
D.

 f ( x ) + f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx
1

2

1

2

Đáp án C
Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) = G ( x ) + C
Câu 27(Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2)
Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e2 x là
A. e x + C .

B.

ex
+C.
2

C. e2 x + C .

e2 x
+C .
2

D.

Đáp án D
Câu 28 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn
3

 −1;3 và thỏa mãn f ( −1) = 4 ; f (3) = 7 . Giá trị của I =  5 f  ( t )dt bằng
−1

C. I = 10 .

B. I = 3 .

A. I = 20 .

D. I = 15 .

Đáp án D
Câu 29 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  a; b . Mệnh đề
nào dưới đây sai ?

A.

a

a

a

b

 f ( x )dx = − f ( x )dx .
b

C.

B.

c

b

a

a

c

 f ( x )dx =  f ( x )dx +  f ( x )dx, c  R .
a

b

 f ( x )dx =  f ( t )dt .
a

a

D.

 f ( x )dx = 0 .
a

a

Đáp án B
3

Câu 30 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Cho



f ( x )dx = 12 , giá trị của

1

A. 24 .

B. 10 .

6

 x

 f  2 dx bằng
2

C. 6 .

D. 14 .


Đáp án A
Câu 31 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Gọi ( H ) là hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = − x 2 + 4 x và trục hoành.
Hai đường thẳng y = m và y = n chia ( H ) thành 3 phần có
diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ). Giá trị biểu thức
T = ( 4 − m ) + ( 4 − n ) bằng
3

3

A. T =

320
.
9

B. T =

C. T =

512
.
15

D. T = 405 .

75
.
2

Đáp án A

Gọi S là diện tích hình phẳng tạo bởi đồ thị y = − x 2 + 4 x và Ox  y = m và y = n chia S
thành 3 phần bằng nhau theo thứ tự từ trên xuống là S1 ; S2 ; S3 .
2

2

1
1
+) S1 = 2  ( − x + 4 x − m ) dx = S = .2. ( − x 2 + 4 x ) dx
3
3 0
a
2

2

 x3


1 16
  − + 2 x 2 − mx  = .
 3
a 3 3
3
 16
 16
  a
(1)
  − − 2m  −  − + 2a 2 − ma  =
 3
  3
 9


Mà x = a là nghiệm của phương trình: − x 2 + 4 x = m
 − a 2 + 4a = m (2)

Thay (2) vào (1) ta có:

16
a3
16
− 2 ( −a 2 + 4a ) + − 2a 2 + ( −a 2 + 4a ) .a =
3
3
9
2a 3
32

−
+ 4a 2 − 8a +
=0
3
9

 a  0,613277...  m = −a 2 + 4a  2,077...
2
Tương tự: S1 + S 2 = .S
3
2

2

2
 2. ( − x 2 + 4 x − n ) dx = .2. ( − x 2 + 4 x ) dx
3 0
b
2
16
…  − b3 + 4b 2 − 8b + = 0
3
9
 b  0, 252839...

 n = −b2 + 4b  0,947428...
T = ( 4 − m) + ( 4 − n) =
3

3

320
.
9

Câu 32 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R và thoả mãn



f

(

x +1
x +1

A.

)dx = 2 (

x +1 + 3
x+5

x+3
+C.
2 ( x2 + 4)

B.

) + C . Nguyên hàm của hàm số

x+3
+C .
x2 + 4

Đáp án D
Phân tích giả thiết đề bài cho
Đặt

x +1 = t 

 VT = 

f

(

1
dx = dt 
2 x +1

)

x + 1 dx
x +1

dx
= 2dt
x +1

=  f ( t ).2dt =  2 f ( t ).dt

C.

f ( 2 x ) trên tập R + là

2x + 3
+C .
4 ( x 2 + 1)

D.

2x + 3
+C.
8 ( x 2 + 1)


 VP =

2

(

x +1 + 3
2

x +1 + 4

) = 2 ( t + 3) + C
t2 + 4

Mà VT = VP nên

 2 f ( t ).dt =

2 ( t + 3)
t2 + 4

  f ( t ).dt =

+C

t +3
+C
t2 + 4

1 2t + 3
  f ( 2t ).dt = . 2
+C .
2 4t + 4

(Áp dụng công thức



f ( ax + b )dx =

F ( ax + b )
+C )
a
a+ b

Câu 33 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Biết rằng


4

1
− x2 + 6x − 5

các số nguyên dương và 4  a + b  5 . Tổng a + b bằng
A. 5 . B. 7 . C. 4 . D. 6 .
Đáp án D
a+ b

I=

a+ b

1



−x + 6x − 9 + 4
2

4

dx =



4

1
4 − ( x − 3)

Đặt x − 3 = 2sin t  dx = 2cos tdt
Đổi cận: x = a + b  sin t =
x = 4  sin t =

I=

 a + b −3 
arcsin 

2






a + b −3
2

1
2

1
.2cos tdt
4 − 4sin 2 t

6

I=

 a + b −3 
arcsin 

2







6

 a + b −3 
arcsin 

2



1.dt = t 

6

2

dx

dx =


6

, ở đó a, b là


 a + b −3  
I = arcsin 
 − = (theo đề bài)
2

 6 6
 a + b −3 
 arcsin 
 =
2

 3


a + b −3

= sin
2
3



a + b −3
3
=
2
2

 a + b = 3+ 3
a = 3

 a + b = 6.
b = 3
Câu 34 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018): Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong
y = 3e− x + x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = ln 2 . Thể tích khối tròn xoay tạo thành
khi cho (H) quay quanh trục hoành được tính bằng công thức nào sau đây?
A.  2

ln 2



( 3e− x + x ) dx. B.
2

0

ln 2



3e − x + x dx.

0

C. 

ln 2



( 3e− x + x ) dx. D. 
2

0

ln 2



3e − x + x dx.

0

Đáp án C.
Chú ý rằng nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên  a; b , thể tích hình (H) tạo thành khi quay
phần giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , đường thẳng x = a và x = b quanh trục hoành là
b

V =   f 2 ( x ) dx.
a

Câu 35 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 2 x −

A.

1 2x 1
e − + C.
2
x

B.

1 2x 1
e + + C.
2
x

Đáp án B.

e2 x x −1
e2 x 1
 e dx −  x dx = 2 − −1 + C = 2 + x + C.
2x

−2

C. e2 x +

1
+ C.
x

1
là
x2

1
D. e2 x − + C.
x


2

Câu 36 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018)Tích phân I =  ( x + 2 ) dx bằng.
3

0

A. I = 56.

B. I = 60.

C. I = 240.

D. I = 120.

Đáp án B.

( x + 2)
I=

4 2

4

= 60.
0

1+ ln 2

Câu 37 : ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Cho



e

f ( x ) dx = 2018. Tính I = 

ln 2

A. I = 2018.

1

C. I =

B. I = 4036.

1009
.
2

1
f ( ln 2 x ) dx.
x

D. I = 1009.

Câu 38 : ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường
( P ) : y = 2x2 , parabol tiếp tuyến của (P) tại M (1;2) và trục Oy là
2
B. S = .
3

A. S = 1.

1
D. S = .
2

1
C. S = .
3

Đáp án B.
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M: y = 4 ( x −1) + 2 = 4 x − 2.
1

2
S =  ( 2 x 2 − 4 x + 2 ) dx = .
3
0

Câu 39 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018): Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên đoạn
 f ' ( x ) 
1
1
dx = 1 và f ( 4 ) = , f ( 8 ) = . Tính
4;8 và f ( x )  0x 4;8. Biết rằng  
4
4
2
4 
 f ( x ) 
8

2

f ( 6) .
A.

5
.
8

B.

2

.
3

C.

3
.
8

D.

1
.
3

Đáp án D.

 f ( x ) 
f '( x)
−2
Ta có: 
dx
=
f
x
d
f
x
=





(
)
(
)
2
4    
−1
4 
 f ( x ) 
8

8

Gọi k là 1 hằng số thực. Xét

−1 8

=−
4

1
1
+
= −2 + 4 = 2.
f (8) f ( 4 )

8
8
8
 f ' ( x )
 f '( x)

f '( x)
2
2
2
4  f 2 ( x ) + k  dx =4  f ( x ) 4 dx + 2k 4 f 2 ( x ) dx + k 4 dx = 1 + 2k.k + 4k = ( 2k + 1) .




2

2

8

−1
Chọn k = , ta có
2

 f '( x) 1 
 f '( x) 1 
4  f 2 ( x ) − 2  dx = 0, mà  f 2 ( x ) − 2   0 nên





2

8

2

 f '( x) 1 
f '( x) 1
−  = 0  2
=
 2
f ( x) 2
 f ( x) 2 
2



f '( x)
x
1
x
dx = + C  −
= + C. Với x = 4 , ta có
2
f ( x)
2
f ( x) 2

1
= 2 + C  −4 = 2 + C  C = −6.
f ( 4)

−

Do đó: f ( x ) =

−1
2
2
2 1
= = .
=
. Do đó f ( 6 ) =
x
12 − 6 6 3
− 6 12 − x
2


Câu 40: ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Cho tích phân

cos 2 x

dx = a + b với a, b  Q.

 1 − cos x
2

Tính P = 1 − a − b .
3

2

B. P = −29 .

A. P = 9.

C. P = −7 .

Đáp án C.






2

2

2

cos 2 x
2 cos 2 x − 2 + 1
 1

dx
=

 1 − cos x  1 − cos x dx = 1 − cos x − 2 (1 + cos x ) dx


=


2

dx
2sin 2



x
2

− 2 ( x + sin x ) 
2

x
d 

x
2

=
−  + 2 = − cot
− + 2 = 3−.
x
2

 sin 2
2
2
2


Do đó a = −1; b = 3  P = 1 − ( −1) − 32 = −7.
3

D. P = −27 .