Phương trình hàm

Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

Một số phương pháp giải phương trình hàm
Để bắt đầu, ta xét vài ví dụ quen thuộc.
Ví dụ 1. Tìm hàm số f: Â Â sao cho f(x+y) = f(x) + f(y)
và f(xy) = f(x).f(y), với mọi x, y .

(i)
(ii)

Để giải bài toán này sự thực chỉ cần đến kiến thức về tập hợp số nguyên
và hiểu biết đơn giản về định nghĩa hàm số. Tuy nhiên những kiến thức đó là
gì thì phải có sự phân tích và nhìn nhận một cách hợp lý. Cụ thể,
-Đặc biệt hoá điều kiện (i) bằng cách cho x = y = 0 và sử dụng tính chất
của phép cộng các số ta nhận được f(0) = 0.
-Đặc biệt hoá điều kiện (ii) bằng cách cho x = y = 1 và sử dụng tính
chất của phép nhân của các số ta có f(1) = 0 hoặc f(1) = 1.
-Xem 0 là tổng của 1 và -1, sử dụng (i) và (ii), với chú ý f(0) = 0, ta có
f(-1) = -1.
-Xét trường hợp f(1) = 0. Kết hợp với điều kiện (ii) và tính chất của số 1
và số 0 trong phép nhân các số nguyên ta có :
n  , f(n) = f(1.n) = f(1).f(n) = 0.f(n) = 0. Vậy trường hợp này ta có
f(n) = 0, n  .

(a)

-Xét trường hợp f(1) = 1. Xem mỗi số nguyên dương là một tổng của
các hạng tử bằng đơn vị 1, sử dụng điều kiện (i) ta có f(n) = n, n Ơ . (b)
Xem mỗi số nguyên âm là tích của -1 với một số nguyên dương và áp dụng
(ii), với chú ý f(-1) = -1, f(n) = n, n Ơ , ta có f(n) = n, f(n) = n, n
nguyên âm.

(c)

-Tổng hợp kết quả (b) và (c) ta có f(n) = n, n .

(d)

-Tổng hợp kết quả (a) và (d), sau khi thử lại, ta có hàm số cần tìm là
hàm hằng 0 hoặc hàm đồng nhất trên  .

Cuong12giaitich - 10/2005

1


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

-Tổng hợp các bước suy luận trên, phân tích kỹ giả thiết bài toán, kết hợp với
cách nhìn sự biểu diễn số hữu tỷ dương
-

m 1 1
1
= + + . . . + và số hữu tỷ âm
n n n
n

m
m
= (-1)

có thể đưa ra bài toán:
n
n

Ví dụ 2. Tìm hàm số f: Ô Ô sao cho f(x+y) = f(x) + f(y)

(1)

và f(xy) = f(x).f(y), với mọi x, yÔ .

(2)

Lời giải bài này nhận được bằng cách suy luận tương tự như ví dụ trên.
Bây giờ ta xét các phương pháp giải phương trình hàm cơ bản.
1.0. Định nghĩa Phương trình hàm là phương trình mà ẩn là các hàm số. Giải
phương trình hàm tức là tìm các hàm số chưa biết đó.
Sau đây là một số phương pháp giải các phương trình hàm thường gặp.
1.1. Phương pháp đặt ẩn phụ.

Xét phương trình hàm số dạng: f( (x)) = g(x), trong đó (x), g(x) là
những hàm số biến số thực đã biết.
Trong một số trường hợp nếu đặt (x) = t, ta có thể giải ra x = (t).
Khi đó thế vào phương trình đã cho ta có f(t) = g ( (t)), từ đó ta có hàm số
f(x) = g ( (x)).
Tuy nhiên nhiều khi vấn đề không hoàn toàn đơn giản. Trong trường
hợp đó cần sử dụng các phép biến đổi thích hợp, cố gắng đưa phương trình đã
cho về dạng: f( (x)) = h( (x)). Khi đó hàm số cần tìm sẽ có dạng: f (x) =
h(x).
Hàm f(x) sau khi tìm được cần ta phải tiến hành thử lại rồi đưa ra kết
luận nghiệm của phương trình.

Ví dụ 1. Tìm hàm số f (x) biết rằng: f(x+1) = x 2 +2x +3 , x Ă .
Giải. ở đây (x) = x + 1 , g (x) = x2 + 2x + 3 .
Cuong12giaitich - 10/2005

2


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

Đặt t = x + 1. Giải ra x = t - 1 rồi thế vào phương trình đã cho ta được:
f (t) = g (t - 1) = (t -1)2 + 2(t -1) + 3 = t2 + 2
Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm được thoả mãn yêu cầu bài toán.
x +1
= x + 3 , x 1 (1)
Ví dụ 2. Tìm hàm số f (x) biết: f
x 1
Giải. Đặt t =

x +1
t +1
x=
, t 1.
x 1
t 1

Từ (1) suy ra f(t) =

t +1
4t 2
4x 2

+3=
. Hay f(x) =
.
t 1
t 1
x 1

(x 1)

Thử lại ta thấy vừa tìm được thoả mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3. Tìm một hàm f(x) biết: f(cosx) = sin 2 x + 2. (1)
Giải. Nếu đặt t = cosx giải phương trình này với ẩn x sẽ cho ta nghiệm phức
tạp vì vậy ta biến đổi : sin2x = 1- cos2x.
Ta đưa (1) về dạng f (cosx) = 3 cos2x. Vậy f (x) = 3 - x2 , x [-1; 1].
Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm được thoả mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4. Tìm f(x) biết: f(x +

1
1
) = x3 + 3 , x 0.
x
x

Giải. Ta biến đổi giả thiết về dạng: f(x +

1
1
1
) = (x + )3 - 3 (x + ) (*)
x

x
x

Từ (*) suy ra f(x) = x3 - 3x, |x| 2. Thử lại ta thấy f(x) = x3 - 3x thoả
mãn đề ra.
Ví dụ 5. Tìm f(x) biết:
Giải. Đặt t =

f(

x 1
1
) + 2f ( ) = x , x 0,1.
x
x

(1)

1
1
, ta có x = . ( t 0 ,1)
x
t

1
Thì (1) f (t) + 2f (1 - t) = , t 0,1.
t

Cuong12giaitich - 10/2005

3


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

Dễ thấy bài toán này có dạng quen thuộc vận dụng quy trình giải trên ra
sẽ được tìm được nghiệm f(x) =

3x 1
.
3 x(1 x )

Ví dụ 6. Cho hàm số f(x) thoả mãn điều kiện : f(

x 3
3+ x
) + f(
) = x.
x +1
1 x

Với mọi x mà x 1 . Tìm tất cả các hàm f(x) như thế.
Giải. Đặt t =

x 3
3t
, ta có x=
. Khi đó phương trình đã cho có thể viết lại
1 t
x +1

t 3 3+ t
3+ t
=
. Tương tự, đặt t =
thành: f(x) + f
ta được:
1 t
t +1 1 t
3+ t
t 3
+ f (t ) =
. Cộng theo vế hai phương trình trên ta có:
f
t+1
1 t
3 +t
t 3
4t
1
8t
=
+ f
2 f(t) + f
. Suy ra f(t) =

.
2
2
1

t

t
+
1
1
t
2
1

t




Dễ dàng kiểm tra được hàm này thoả mãn điều kiện bài toán.
áp dụng phương pháp trên có thể giải được các phương trình sau:
3x 2
) = x + 2 , x 1.
x 1

1. Tìm hàm f(x) biết:

f(

2. Tìm hàm f(x) biết:

f(cosx) = cos3x,

3. Tìm hàm f(x) biết:

1
1
f ( x ) = x3 - 3 ,
x
x

x Ă .

x 0.

1.2. Phương pháp thế.

Xét phương tình hàm dạng
a(x) f(x) + b(x) f (g(x)) = c(x).

(*)

Trong đó a(x), b(x), c(x), g(x) là những hàm số đã biết. Giả sử miền xác định
của hàm số f(x) là Df , với mỗi xDf ta xét dãy xác định bởi
x1 = x, xn+1 = g(xn), n Ơ * .

Cuong12giaitich - 10/2005

4


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

Định nghĩa : Dãy {xn } được gọi là một dãy tuần hoàn nếu tồn tại một số
nguyên dương k sao cho xn + k = xn, n Ơ * .

(1)

Số nguyên dương k nhỏ nhất để dãy xn thoả mãn (1) được gọi là chu kỳ
cơ sở (còn gọi tắt là chu kỳ) của dãy.
Nếu dãy xn được xác định như trên tuần hoàn với chu kỳ k, ta sẽ đưa (*)
về hệ k phương trình với k ẩn hàm, giải hệ này ta tìm được f(x).
Ví dụ 1. Giả sử a 1 là một số thực, (x) là hàm số cho trước xác định với
mọi x1. Tìm hàm số f(x) xác định với mọi x 1 và thoả mãn điều kiện:
f(

x
) = a f(x) + (x).
x 1

Giải: Cho x = 0 ta có f(0) = a f(0) + (0). Từ đó f(0) =

(0)
.
1 a

(1)

Với x 0, x 1, Xét dãy được xác định bởi x1 = x, xn+1 = g(xn), n Ơ , trong
đó g(x) =

x
.

x 1

Ta có x1 = x, x2 =

x
, x3 = x, vậy dãy xn tuần hoàn với chu kỳ 2.
x 1

Bằng phép thay thế x lần lược bằng x1, x2 ta nhận được hệ
f ( x 2 ) = af ( x1 ) + ( x1 )

f ( x1 ) = af ( x 2 ) + ( x 2 )
Giải hệ phương trình này với ẩn f (x1) ta được:
f(x1) = a2 f(x1) + a (x1) + (x2)


hay

f(x1) =

a( x1 ) + (x 2 )
1 a2

x
a ( x ) + (
)
1 x
f(x) =
.
1 a 2

(*)

Từ (1) và (*) ta được:
Cuong12giaitich - 10/2005

5


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

x
a ( x ) + (
)
1 x
f(x) =
, x1
2
1 a
Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm được thoả mãn các điều kiện bài toán.
Ví dụ 2. Giải phương trình hàm:
xf(x) + 2f (

x 1
) = 1,
x +1

x -1

(1).

Giải. Mỗi x 1, xét dãy được xác định bởi x1 = x, xn+1 = g(xn), trong đó
g(x) =

x 1
1
x +1
x 1
.Ta có x1= x, x2=
, x5 = x. Suy ra dãy xn
, x3 = - , x4 =
x +1
x +1
x
1 x

tuần hoàn với chu kỳ 4.
Bằng phép thay thế x lần lượt bằng x1, x2, x3, x4 ta đưa (1) về hệ sau:
x1 f ( x1 ) + 2f ( x 2 ) =1
x f ( x ) + 2f ( x ) =1
2
2
3

x 3 f ( x 3 ) + 2f ( x 4 ) =1
x 4 f ( x 4 ) + 2f ( x1 ) =1
Giải hệ trên với ẩn f(x1) ta được:
4 x12 x1 + 1
f(x1) =
, (x1 -1, 0, 1)

5x1 ( x1 1)
Cho x = 0 từ (1) suy ra 2f(-1) = 1 f(-1) =

1
2

Cho x = 1 từ (1) ta được f(1) + 2f(0) = 1
4 x 2 x +1
nếu x 0,1, 1

5
x
(
x

1
)


f(x) = 1
nếu x = 1
2

a
nếu x = 0

nếu x =1
1 2a

( a=f(0) )

Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm được thoả mãn điều kiện bài toán.
Cuong12giaitich - 10/2005

6


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

Ví vụ 3. Giải phương trình hàm:
f(x) + f (
Giải. Đặt g(x) =

x 1
) = 1 + x, với mọi x 0, 1.
x

x 1
, mỗi x Ă \ {0, 1} xét dãy x1 = x, xn + 1 = g (xn), n Ơ * .
x

Ta có: x1 = x, x2 =

1
x 1
, x3 = , x4 = x
x
x 1

{xn} tuần hoàn với chu kỳ 3.

Thay thế x lần lượt bằng x1, x2, x3, ta được:
f ( x 1 ) + f ( x 2 ) =1 + x 1

f ( x 2 ) + f ( x 3 ) =1 + x 2
f ( x ) + f ( x ) =1 + x
1
3
3
Giải hệ phương trình trên với ẩn f(x1) ta được:
f(x1) =

1 + x1 x 2 + x 3
1
1
1
= ( x1 + +
), x1 0, 1.
2
2
x1 1 x 1

Do x1 Ă \ {0, 1} tuỳ ý nên nghiệm của bài toán là:
f(x) =

1
1
1
), x 0, 1.
(x + +
2

x 1 x

Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm được thoả mãn yêu cầu bài toán.
Trong một số trường hợp ta gặp phương trình hàm dạng
a(x).f(h(x)) + b(x).f(g(x)) = c(x).
Trong đó a(x), b(x), c(x), h(x), g(x) là những hàm số đã biết, ta đặt
t = h(x) ( t =g(x) ) nếu phương trình này cho biểu thức nghiệm đơn giản
chẳng hạn x = d(t) (Hoặc bằng kỷ thuật biến đổi nà đó) ta cố gắng đưa phương
trình trên về dạng quen thuộc
a1(t).f (t) +b1(t).f(g1(t)) = c1(t).
Bằng cách xét dãy như trên trong đó g1(t) đóng vai trò là g(x), nếu dãy nhận
được tuần hoàn, áp dụng phương pháp trình bày ở trên ta sẽ tìm được hàm f(x)

Cuong12giaitich - 10/2005

7


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

Ví dụ 4. Cho hàm số f(x) thoả mãn điều kiện : f(

x 3
3+ x
) + f(
) = x.
x +1
1 x

Với mọi x mà x 1 . Tìm tất cả các hàm f(x) như thế.

Giải. Đặt t =

x 3
3t
, ta có x=
. Khi đó phương trình đã cho có thể viết lại
1 t
x +1

t 3 3+ t
=
. Dễ thấy bài toán này có dạng quen thuộc vận
thành: f(x) + f
t +1 1 t
dụng quy trình giải trên ra sẽ được tìm được nghiệm f(t) =

4t
1 t 2



1
.
2

Dễ dàng kiểm tra được hàm này thoả mãn điều kiện bài toán.
Chú ý: Nếu dãy xn xây dựng như trên tuần hoàn với chu kỳ 2 thì phương trình
hàm có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ như trong 2.1.1.
Các phương trình hàm sau đây có thể giải bằng phương pháp đã nêu trên:
1. x f(x) + f(a - x) = c,

x.

4
4 x
) = 2x ,
2. f ( ) - 2f (
x
x
3. f (

x 1
) + x f(x) = x2 + 1 ,
x +1

x 0.
x 1.

1.3 Phương pháp chuyển qua giới hạn.

Đối với một số phương trình hàm có kèm theo giả thiết liên tục, trong
nhiều trường hợp, bằng cách xây dựng một dãy số và sử dụng phương pháp
chuyển qua giới hạn ta sẽ tìm được hàm f(x).
Sau đây ta xét một số ví dụ.
Ví dụ 1. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định, liên tục trên Ă và thoả mãn:
1 1
f(x) + f x = x , với mọi x Ă .
3 6

Cuong12giaitich - 10/2005

8


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

Giải. Cố định x Ă . Xét dãy x1 = x, xn + 1 = g (xn), n Ơ *, ở đây g(x) =
1

Bằng quy nạp ta được xn =
hạn với x1 = x, q =
được

n 1

3

1
x.
3

x . Từ đó ta có dãy {xn} là cấp số nhân lùi vô

1
, lim xn = 0. Thay thế x lần lượt bằng x1, x2 ,. . . ,xn-1 ta
3

f (x1) + f (x2) =

1

x1
6

f (x2) + f (x3) =

1
x2
6

................
f (xn-1) + f (xn) =
f (x1) +(- 1)n f (xn) =

=

(

1
n2
x1 x 2 + x 3 x 4 + ... + (1) x n 1
6

1 1 1 1
n 2
x1 1 + 2 3 + ...+ (1)
6 3 3 3

=

1

xn 1
6

)

1 n 1
1
1 1 3
= x1
=
1
3n 2 6


1+


3



n 1
1 1
x1 1
8 3

Lấy giới hạn của cả hai vế sử dụng tính liên tục của hàn số và f(0) = 0 ta
được f(x1) =

1

1
x1. Do x1 lấy tuỳ ý nên f(x) = x, x Ă .
8
8

Thử lại ta thấy f(x) =

1
x thoả mãn điều kiện bài toán.
8

Bài toán tổng quát:Tìm hàm số f(x) xác định, liên tục trên Ă và thoả mãn
điều kiện: af(x) +f(bx) = cx, ở đây a,b,c Ă , 0<|b|<1, |a| 1. Cách giải hoàn
toàn tương tự ta được f(x) =

cx
.
a+b

Cuong12giaitich - 10/2005

9


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

Ví dụ 2. Tìm hàm f: Ă Ă liên tục và thoả mãn 3f(3x) = f(x)+ x.
Giải. ở ví dụ này nếu xét dãy: {xn}n N*: x1 = x và xn + 1 = g(xn), ở đây g(x) =
3x) thì {xn} không hội tụ. Trong trường hợp này liệu có vận dụng được
phương pháp trên không? Cách giải sau đây đòi hỏi một sự cải tiến về mặt kỹ

thuật biến đổi:
Thay x bằng

1 x
x
x
từ giả thiết ta được: f(x) = f + .
3
3 3 9

Với mỗi x Ă , xét dãy x1 = x , xn + 1 = g (xn), trong đó g(x) =
Bằng quy nạp ta có: xn =
x1 = x, q =

x
3n 1

x
.
3

, suy ra {xn} là cấp số nhân lùi vô hạn,

1
và lim x n = 0 .
n
3

Ta thay x lần lượt bằng: x1, x2,. . ., xn - 1ta được:
f(x1) =

x
1
f(x2) + 21
3
3

f(x2) =

x
1
f(x3) + 22
3
3

................
f(xn - 1) =
f(x1) =

1
3

n 1

x
1
f(xn) + n21
3
3

.f ( x n ) +

x1 x 2
x
+ 3 + ... + nn1
2
3
3
3

1 n 1
1 +
1
x1 9
1
x1
1
1
= n 1 .f ( x n ) + 2 1 + 2 + ... + 2 n 4 = n 1 .f ( x n ) + 2
1
3
3
3 3
3
3
1



9

n 1
1 1
= n 1 .f ( x n ) + x1 1
8 9
3

1

Cuong12giaitich - 10/2005

10


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

Lấy giới hạn cả 2 về khi n và sử dụng tính liên tục của hàm số,
f(0) = 0 ta được f(x1) =

1
1
x1. Do x1 lấy tuỳ ý f(x) = x.
8
8

Thử lại ta thấy hàm số vừa được thoả mãn điều kiện bài toán.
Bài toán tổng quát: Tìm hàm f(x) xác định ,liên tục trên Ă và thoả mãn điều
kiện: f(x) + af(bx) = cx, với a,b,c Ă ; |a|,|b| >1.Cách giải hoàn toàn tương tự

ta được f(x) =

cx
.
1 + ab

Các bài tập sau đây có thể giải tương tự:
1. Tìm hàm số f(x) xác định, liên tục trên Ă và thoả mãn điều kiện:
2 f(2x) = f(x) + x, x Ă .
2.Tìm hàm f(x) xác định, liên tục trên Ă và thoả mãn điều kiện:
f(3x) + f(7x) = x, x Ă .
Xét phương trình hàm có dạng af(x) + bf(f(x)) = h(x), trong đó f(x) là
hàm số cần tìm, h(x) là hàm số đã biết và sử dụng thêm một số giả thiết của
hàm f(x). Với mỗi x Df (Df là miền xác định của hàm f(x)), xét dãy được xác
định bởi u0 = x, un+1 = f(un), n Ơ , ta đưa về việc xét một dãy cho bởi hệ thức
au + bu n +1 + cu n = 0
truy hồi n + 2
u1 = d, u 2 = e

n Ơ * .

Khi đó khẳng định sau đây cho phép đi đến lời giải bài toán.
Nếu {un} được xác định bởi hệ thức truy hồi
au n + 2 + bu n +1 + cu n = 0

u1 = d, u 2 = e

n Ơ *

thì dãy {vn} được xác định bởi vn = (x1)n + (x2)n, v1 = d, v2 = e, trong đó x1,

x2 là nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 và , là nghiệm của
hệ phương trình

Cuong12giaitich - 10/2005

11


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

x1 + x 2 = d
2
2
x1 + x 2 = e
thoả mãn dãy truy hồi được xác định như trên.
Thật vậy, ta có vn+1 = (x1)n+1 + (x2)n+1 , vn+2 = (x1)n+2 + (x2)n+2
Suy ra a vn+2 +b vn+1 + c vn = a ( (x1)n+2 + (x2)n+2) +b ( (x1)n+1 + (x2)n+1)
+c ((x1)n + (x2)n) = (a (x1)n+2 + b (x1)n+1 + c (x1)n) + ( a (x2)n+2 + b (x2)n+1 +
c (x2)n) =0, vì x1, x2 là nghiệm của phương trình ax2 +bx +c = 0.
Vậy a vn+2 +b vn+1 + c vn = 0, mặt khác theo cách xác định như trên thì v1 = d,
v2 = e. Điều này kết thúc chứng minh của chúng ta.
Phương trình ax2 +bx +c = 0 được gọi là phương trình đặc trưng của dãy
số được xác định như trên. Phương trình này cho phép tìm được công thức số
hạng tổng quát của dãy số cho bằng hệ thức truy hồi trên. Chúng ta sẽ vận
dụng vào xét một số ví dụ.
Ví dụ 3. Gọi Ă + là tập hợp các số thực dương Ă + = (0, + ). Tìm tất cả các
hàm số f : Ă + Ă + thỏa mãn phương trình
f(f(x)) + f(x) = 1999.2000x, x Ă +
Giải. Cố định x R+ : Xét dãy u0 = x, un + 1 = f(un), n Ơ , thì từ giả thiết ta có:
u n + 2 + u n +1 = 1999.2000 u n

u n > 0, n N
Phương trình đặc trưng là : y2 + y = 1999. 2000, phương trình có hai
nghiệm: y1 = 1999, y2 = - 2000
Suy ra un = C1. (1999)n + C2. (- 2000)n.
-Nếu C2 > 0 un < 0 với n lẻ đủ lớn, điều này mâu thuẫn với giả thiết
un > 0.
-Tương tự, nếu C2 < 0 cũng có un < 0 với n chẵn đủ lớn, mâu thuẫn.
Vậy C2 = 0. Từ đó un = C1.1999n, nên u0 = C1. 19990 C1 = x, vì u0 = x.
Cuong12giaitich - 10/2005

12


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

Suy ra f(x) = 1999x . Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm được thoả mãn yêu
cầu bài toán.
Ví dụ 4. Cho a, b là hai số thực dương. Chứng tỏ rằng tồn tại duy nhất một
hàm số xác định trên tập các số thực dương, nhận giá trị trên tập các số thực
dương và thoả mãn phương trình sau với mọi x:
f(f(x)) + af(x) = b(a + b)x.
Giải. Cố định x Ă + và xét dãy {un} được xác định bởi: u0 = x, un + 1 = f(un),
n Ơ . Khi đó từ giả thiết ta có: un + 2 + aun + 1 = b(a + b) un, un > 0, n Ơ .
Phương trình đặc trưng: y2 + ay - b(a + b) = 0 có 2 nghiệm: y1 = b, y2 = - (a +b).
Từ đó un = C1. bn + C2 [- (a + b)]n
Tương tự như trong ví dụ trên ta cũng có C2 = 0. Do đó un = C1. bn. Cho
n = 0 C1 = x. Vậy f(x) = bx.
Thử lại ta thấy hàm vừa tìm được thoả mãn yêu cầu bài toán.
Bài toán sau đây có thể giải bằng cách áp dụng phương pháp trình ở trên.

Tìm tất cả các hàm f: [0,1) [0,1) thoả mãn điều kiện:
f(f(x)) + f(x) = 12 x, x 0.
Nhận xét: +) Phương pháp chuyển qua giới hạn thì trong phương trình hàm
thường có thêm giả thiết f(x) liên tục.
+) Một cách tổng quát: Xét phương trình a(x)f(x) + b(x)f(g(x)) = c(x),
trong đó a(x), b(x), c(x), g(x) là những hàm số đã biết.
* Nếu {xn} tuần hoàn, ta nên sử dụng phương pháp 2.2.
* Nếu {xn} hội tụ, ta nên sử dụng phương pháp 2.3.
Trong đó dãy {xn} được xác định bởi: x1 = x, xn + 1 = g(xn)
+) Dấu hiệu sau đây cho biết dãy {xn} xây dựng như trên hội tụ:
Nếu g(x) khả vi liên tục trên đoạn [a, b] và |g'(x)| q < 1, x [a, b]
thì quá trình lặp trên sẽ hội tụ.
1.4. đoán nghiệm và chứng minh nghiệm tìm được là duy nhất.

Cuong12giaitich - 10/2005

13


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

Cũng giống như cách giải phương trình thông thường. Khi giải PTH ta
có thể đoán nhận các nghiệm của phương trình hàm và chứng minh rằng ngoài
các nghiệm đó ra PTH không có nghiệm nào khác. Thông thường ta hay thử
các hàm số đặc biệt hàm hằng, hàm đồng nhất, hàm tuyến tính,. . . để xem
chúng có phải là các nghiệm của PTH hay không?
Ví dụ 1. Tìm tất cả các hàm số f: [1, + ) [1, + ), sao cho: f(xf(y) = yf(x),
với mọi x, y thuộc [1, + ).
Giải. Ta nhận thấy f(x) = x là nghiệm của bài toán.
Ta sẽ chứng minh nghiệm đó là duy nhất:

Cho x = y = 1 thì f(f(1)) = f(1).
Cho y = f(1) thì f(xf(f(1))) = f(1) f(x) f(xf(1) = f(1) f(x).
Mặt khác: f(x f(1)) = f(x) (gt)
f(1) f(x) = f(x) f(1) = 1, (f(x) 1, x)
Cho x = 1 ta được: f(f(y)) = y (i).
Nếu f(y) = 1 f(f(y)) = f(1) = 1,từ (i) y = 1
Vậy: f(y) > 1, y > 1.

x
x
x
Nếu x > y 1 thì f(x) = f y = f f (f ( y) ) = f(y) f . (ii)

y
y
y
Do x > y

x
>1
y

x
f > 1
y

(ii) f(x) > f(y) suy ra f(x) đồng biến trên [1, + ).
Giả sử x0 ; f(x0) x0 ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: f(x0) > x0 f(f(x0)) > f(x0) x0 > f(x0) vô lý
Trường hợp 2: f(x0) < x0 f(f(x0)) < f(x0) x0 < f(x0) vô lý

Vậy f(x) = x, x Ă .

Cuong12giaitich - 10/2005

14


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

Ví dụ 2. Tìm hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện:
f (x + y) = f (x) + f (y), x, y Ă


1 f (x)
x 0, f = 2
x
x

f (1) = 1
Giải. Dễ thấy f(x) = x là một nghiệm của phương trình
Ta sẽ chứng minh f(x) = x là nghiệm duy nhất của phương trình
Thật vậy: Cho x = y = 0 ta được f(0) = 0.
Cho y = - x ta có f(-x) = - f(x) suy ra f(x) là hàm lẻ.
Từ giả thiết: f(x - y) = f(x + (- y)) = f(x) + f(- y) = f(x) - f(y)
1 f (x)
1 f (1 x ) f (1) f (x )
==
Xét f
=
, x 1

=
2
2
(1 x )
(1 x )2
1 x (1 x )

(1).





x
1
x
1


= 1 + f
Mặt khác f
=
= f 1 +
= f(1) + f
1 x
1 x
1 x
1 x

x
1
f
x2 1
x2

x
1

=1+
f 1 = 1 +
=1+
f f (1) =
2
2
2
(1 x ) x
(1 x ) x

1 x


x
=1+

x2

(1 x )

2

f (x )
x2
f (x )


1
=
1
+

2

x

(1 x )2 (1 x )2

Từ (1) và (2) có

1 f (x )

(1 x )

2

=1+

f (x )

(1 x )

2



x2

(1 x )

2

(2).

. Vậy f(x) = x, x 1, x 0.

Kết hợp với gỉa thiết f(1) = 1; f(0) = 0 ta có f(x) = x, x Ă .
Ví dụ 3. Tìm tất cả các hàm f xác định trên tập hợp tất cả các số thực nhận giá
trị thực, sao cho với mọi x, y ta có:
f(x2 + f(y)) = y + f2(x).
Cuong12giaitich - 10/2005

15


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

Giải. Dễ thấy f(x) = x là nghiệm của phương trình. Ta sẽ chứng minh f(x) = x
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Trước tiên ta chứng minh f(0) = 0.
Cho x = y = 0, đặt t = f(0), ta có f(t) = t2. Ta lại có f(x2 + t) = f2(x),

f(f(x)) = x + t2

(1).

Ta tính f(t2 + f2(1)) theo hai cách:
f(t2 + f2(1)) = f(f(t) + f2(1)) = t + f2(f(1)) = t + (1 + t2)2 = 1 + t + 2t2 + t4

(2)

Mặt khác, từ f(t) = t2, f(1 + t) = f2(1), ta có t2 + f(1 + t) = f(t) + f2(1) =
t2 + f2(1) nên f(t2 + f2(1)) = f(t2 + f(1 + t)) = 1 + t + f2(t) = 1 + t + t4

(3)

Từ (2) và (3) suy ra 1 + t + t4 = 1 + t + 2t2 + t4. Vậy 2t2 = 0 tức là t =0 hay
f(0) = 0.
Đến đây ta suy ra f(f(x)) = x và f(x2) = f2(x).
Gọi y là một số thực bất kỳ, ta đặt z = f(y), suy ra y = f(z) và
f(x2 + y) = z + f2(x) = f(y) + f2(x).
Cho x > 0 tuỳ ý, chọn z sao cho x = z2, khi đó:
f(x + y) = f(z2 + y) = f(y) + f2(z) = f(x) + f(y).
Đặt y = - x ta nhận được 0 = f(0) = f(x + (- x)) = f(x) + f(- x).
Suy ra: f(- x) = - f(x) điều này kéo theo, với mọi x, y
f(x - y) = f(x) - f(y).
Bây giờ, lấy x bất kỳ, đặt y = f(x).
Nếu y > x, đặt z = y - x thì:
f(z) = f(y - x) = f(y) - f(x) = x - y = - z.
Nếu y < x, đặt z = x - y thì:
f(z) = f(x - y)l = f(x) - f(y) = y - x =- z
Vậy cả hai trường hợp trên cho ta: Nếu z > 0 thì f(z) = - z < 0. Bây giờ

ta chọn w sao cho w2 = t thì :
f(z) = f(w2) = f2(w) < 0
điều này mâu thuẫn. Vậy ta phải có: f(x) = x
Có thể vận dụng phương pháp trên để giải các phương trình:
Cuong12giaitich - 10/2005

16


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

1. Xác định mọi hàm số f: Ă Ă thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) f(- x) = - f(x),

x Ă .

ii) f(x + 1) = f(x) + 1),

x Ă .

1 f ( x)
iii) f = 2 , x Ă \ {0} .
x x
2. Tìm hàm số f: Ă Ă thoả mãn ba tính chất sau;
a. f(1) = 1,
b. f(x + y) - f(x) - f(y) = 2xy, x, y Ă
1 f (x )
c. f = 4 ,
x x

x 0.

3. Tìm tất cả các hàm f(x) có tập xác định và tập giá trị là đoạn [0, 1] thoả mãn:
a) f(x1) f(x2)

x1 x2

b) 2x - f(x) [0, 1]

x [0, 1]

3) f(2x - f(x) = x
1.5. Phương pháp điểm bất động.

Định nghĩa. x0 được gọi là điểm bất động của f nếu f(x0) = x0
Ví dụ 1. f(x) = ax + b (a 1), có điểm bất động x0 =

b
.
1a

Ví dụ 2. f(x) = x. Mọi điểm đều là điểm bất động của f.
Một ý tưởng là bằng các kỷ thuật biến đổi nào đó ta đưa phương trình
hàm về dạng f(h(f(x))) = h(f(x)), trong đó f(x) là hàm số cần tìm, h(x) là hàm
số đã biết. Ta có thể đưa vào ẩn phụ u = h(f(x)) để chuyển phương trình hàm
về tìm u thoả mãn phương trình f(u) = u, tức là tìm điểm bất động của hàm
f(x). Khi xác định được u ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình hàm đã cho.
Ví dụ 3. Cho S = (-1, ). Tìm được tất cả các hàm số f: S S thoả mãn 2 điều kiện:
a) f(x + f(y) + xf(x)) = y + f(x) + yf(x) với mọi x, y S,

Cuong12giaitich - 10/2005

17


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

b)

f (x)
là hàm tăng với -1 < x < 0 và (0 < x < ).
x

Giải. Cho x = y từ (a) ta có:
f(x + f(x)) + xf(x) = x + f(x) + xf(x)
f(x) + (x + 1)f(x) = x + (x + 1)f(x)

(1)

Đặt: u = x + (x +1)f(x), khi đó từ (i) suy ra f(u) = u.

(2)

Từ (1) cho x=u ta được f(u 2 +2u) = u 2 +2u.
Từ (b) ta có nhận xét: f(x) = x có nhiều nhất là ba nghiệm, 1 nghiệm
(nếu có) nằm trong (- 1, 0), một nghiệm bằng 0, một nghiệm thuộc (0, ). Các
nghiệm này là các điểm bất động của hàm f.
Ta xét các trương hợp sau:
Trường hợp 1:- 1 trên (- 1,0) là duy nhất nên từ (1), (2) ta có:

u = 0
loại vì u (- 1, 0).
u2 + 2u = u
u
1
=


Trường hợp 2: u > 0. Khi đó u2 + 2u > 0. Theo nhận xét trên thì (0, +)
pt f(u) = u nếu có nghiệm thì nó là duy nhất nên (1) và (2) ta có:
u = 0
u2 + 2u = u
loại. Vậy u = 0.
u
=

1

Từ (1) f (x + (x+ 1)f (x)) = x + (x + 1) f (x) , x S
x (x + 1) f(x) là 1 điểm bất động của f. Do vậy x S thì

x + (x + 1) f (x) = 0
f (x) =

x
1+ x

Thử lại dễ thấy điều kiện thứ nhất thoả mãn: x 0 ,

f (x )

1
=
x
1+ x

1
f (x )
> 0 x S
= =

1
+
x
x



'

2

Cuong12giaitich - 10/2005

18


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

Vậy điều kiện thứ hai cũng thoả mãn.
Suy ra f (x) = -

x
là nghiệm cần tìm.
1+ x

Nhận xét: Tại sao cho x = u để có (1). Mục đích là để đưa về phương trình
f(u) = u,

(u = x + (x + 1)f (x) ).

Tuy nhiên khi quy về phương trình f(u) = u thì u = ? Phương trình f(u)
= u có ít nhất 3 nghiệm, 1 nghiệm để thấy bằng 0, 1 nghiệm (nếu có) (- 1,
0), 1 nghiệm (0, + ). Điều này gợi cho ta suy nghĩ, nếu ta tìm v sao cho
f(v) =v khi đó: Với u, v (-1, 0) thì u = v . Với u, v ( 0, + ) thì u = v.
Từ (1) cho x = u ta được f(u2 + 2u) = u2 + 2u, khi đó v =u 2 +2u. Đến
đây vấn đề đã được giải quyết.
Ví dụ 4. Tìm tất cả các hàm f : (0, ) (0, ) thoả mản đồng thời hai điều
kiện sau:

a) f (x f(y)) = y f(x), x, y (0, )
b) f(x) 0 khi x

Giải. Ta cho x = y = 1, từ (a) ta có f(f(1)) = f(1) .

(1)

Cho y = f(1), từ (a) ta có f (x f (f(1))) = f(1) f(x)
Kết hợp với (i) f (x f(1)) = f(1) f(x) .

(2)

Mặt khác f (x f(1)) = f(x) .

(3)

Từ (2) và(3) f(x) = f (x)f(1) f(1) = 1,do f(x) >0 , x (0, ).
Cho x = y từ (a) ta có f (x f(x)) = x f(x) ,suy ra x f(x) là điểm bất động
của f.
Bây giờ, nếu cả x và y là điểm bất động của f thì cũng từ (1) ta được
f(xy) = yx, do đó yx cũng là điểm bất động. Như vậy, tập các điểm bất động là
đóng với phép nhân. Hơn nữa nếu x là điểm bất động, ta có :
1

1
1 = f(1) = f . f (x ) = x f .
x

x

Cuong12giaitich - 10/2005

19


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

1 1
1
Nên f = , nghĩa là cũng là điểm bất động. Nói cách khác, tập
x

x x
các điểm bất động đóng với phép nghịch đảo.
Như vậy, ngoài điểm 1 ra, nếu có điểm bất động khác, thì hoặc điểm
này lớn hơn 1, hoặc nghịch đảo của nó lớn hơn 1, do đó luỹ thừa nhiều lần của
điểm lớn hơn 1 này (cũng là điểm bất động) sẽ lớn tuỳ ý, điều này trái với giả
thiết (2).
Vậy 1 là điểm bất động duy nhất của f, do x f(x) là điểm bất động với
mọi x > 0 nên từ tính duy nhất suy ra f (x) =

1
x

Vận dụng phương pháp trên ta sẽ giải được bài toán sau:
Tìm tất cả các hàm từ Ơ vào Ơ sao cho: f (m + f(n)) = f (f(m)) + f(n),

với mọi n, m thuộc Ơ .

1.6.Phương pháp đánh giá .

Cũng giống như việc giải phương trình thông thường.Khi giải phương trình
hàm ta cũng có thể áp dụng phương pháp đánh giá. Một ý tưởng của phương
pháp này là g(x) là 1 hàm số cố định đã biết, f (x) là hàm số cần tìm. Từ giả
thiết của bài toán bằng lập luận ta có:
(i) f(x) g(x), x Df;
(ii) f(x) g(x), x Df;
suy ra f(x) = g(x) x Df (Df là miền xác định của hàm số).
Ví dụ 1. Tìm hàm số f: Ă Ă thoả mãn các điều kiện:
a) f(x) x, x Ă ;
b) f(x + y) f(x) + f(y) , x, y Ă .
Giải. Từ (a) f(0) 0

(1)

Từ (b) f(0) f(0) + f(0) f(0) 0

(2)

(i), (ii) f(0) = 0
Cuong12giaitich - 10/2005

20


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

Vì f(x) < x ,x Ă f(- x) - x, x Ă

(3)

Từ (b) ta có 0 = f(0) f(x) + f(- x)
f(x) - f(- x) x, x Ă (áp dụng (3)). Kết hợp với điều kiện a) ở trên ta
có f(x) = x, x Ă .
Thử lại ta thấy f(x) = x là nghiệm cần tìm.
Ví dụ 2. Tìm hàm số f(x) xác định x, nếu như nó thoả mãn điều kiện:
f(x + y) f(x)f(y) 1997x + y, x, y Ă . (1)
Giải. Cho x = y = 0 (1) f(0) f2(0) 1 f(0) = 1
Cho y = - x, (1) f(x) f(- x) = 1.

(i)

Cho y = 0, (1) f(x) 1997 x, x Ă .

(ii)

Vì (ii) đúng với mọi x nên f(- x) 1997 -x, x Ă
(i)

1
1
, x R f(x) 1997 x .

x
f ( x ) 1997

(iii)

Từ (ii) và (iii) f(x) = 1997 x, x Ă
Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm được thoả mãn yêu cầu bài toán.
Một cách tổng quát: f(x+y) f(x)f(y) a x , x , y Ă (0 Ví dụ 3. Xác định tất cả các hàm số f: (1, + ) (1, + ) có tính chất:
f(x y )
m

n

1
1
4
m
4

f ( x ) .f ( y) n

(1)

với mọi số thực x, y > 1 và m, n > 0.
1

s
Giải. Cho x = y > 1 và m = n = , (s > 0) từ (1) ta được f(xs) f ( x ) s hay
2
1

f ( x s ) [f ( x )]s , x > 1, s > 0
1
Từ (i) thay s bằng ta có:
s

(i)
1
f x s [f(x)] s f(y) f y s



Cuong12giaitich - 10/2005

[ ( )] , (y =
s

1
xs)

21


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên
1
]s ,

f(y ) [ f ( y )] ,y > 1, s > 0 f(x ) [f (x )
s

1`
s

s

x > 1, s > 0 .

(ii)

1

Từ (i), (ii) f(xs) = [f ( x )]s , x > 1, s > 0.
1
ln t

Cho x = e, s = lnt, (t > 1) thì ta có: f(t) = [f (e)]

f(t) =

1
C ln t

. (Trong

đó C = f(e) > 1).

(

)

Thử lại ta có: f x m .y n = C
(áp dụng:

1
ln x m y n

=C

1
m ln x + n ln y

1
1
1

+
, A,B > 0)
A + B 4A 4B

f(x . y )
m

n

1
1
4
n
C 4 m ln x .C ln y

1

1
4m .

= (f ( x ) )

1
4n .

(f ( y) )

1

Hay f(xm. yn) (f ( x ) )4 m .(f ( y) )4 n
Vậy f(x) =

1
ln

C x

( C = f(e) ) là hàm cần tìm.

Ví dụ 5. Tìm tất cả các hàm f xác định trên tập các số thực và nhận giá trị thực
thoả mãn 5 điều kiện sau đây:
(1) f(1) = 1
(2) f(- 1) = - 1
(3) f(x) f(0) với 0 < x < 1
(4) f(x + y) f(x) + f(y) với mọi x, y
(5) f(x + y) f(x) + f(y) + 1 với mọi x, y
Giải. Theo (4) và (1) ta có: f(x + 1) f(x) + f(1) = f(x) + 1

(i)

Theo (4) và (2) ta có: f(x) f(x + 1) + f(- 1) = f(x + 1) - 1
f(x + 1) f(x) + 1

(ii)

Từ (i), (ii) ta có : f(x + 1) = f(x) + 1
Cho x = 0 1 = f(1) = f(0) + 1 f(0) = 0

Cuong12giaitich - 10/2005

22


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

Theo (3) ta có: f(x) 0 với 0 < x < 1
Mặt khác theo (5) ta có: 1 = f(1) = f(x + 1 - x) f(x) + f(1 - x) + 1
Nên f(x) + f(1 - x) 0. Nhưng nếu 0 < x < 1 thì 0 < 1 - x < 1
f(x) = f(1 - x) = 0, 0 < x < 1
Vậy ta đã chứng minh được rằng: +) f(x) = 0 khi 0 x < 1
+) f(x + 1) = f(x) + 1
Suy ra f(x) = [x] với mọi x.
Vận dụng quy trình trên ta sẽ giải được các bài toán sau.
1. Tìm tất cả các hàm số f: Ă Ă thoả mãn đồng thời các điều kiện:
a) f(x) 2004x, x Ă ,
b) f(x + y) f(x) . f(y), x, y Ă ,
2. Tìm tất cả các hàm số f: Ă Ă thoả mãn điều kiện:
a) f(x) x + 1, x Ă ,
b) f(x + y) f(x) . f(y), x, y Ă ,
1.7. Sử dụng tính chất của đạo hàm, nguyên hàm và tích phân vào
việc giải phương trình hàm.

Ví dụ 1. Tìm tất cả các hàm số: f: Ă Ă khả vi vô hạn và thoả mãn đồng
nhất thức: f(x + y) f(x) + f(y) + 2xy,

x, y Ă

Giải. Cách1: Cho x = y = 0 thì f(0) = 2f(0) f(0) = 0
Từ giả thiết:


f(x + y) - f(x) = f(y) + 2xy

f ( x + t ) f ( x ) f ( y)
=

+ 2x
y
y
f ( x + y) f ( x )
f ( y)
= lim
+ 2 x f'(x) = f' (0) + 2x
y 0
y 0 y
y

f' (x) = lim

x

Mặt khác f(x) = f(x) - f(0) = f ' ( x )dx =
0

x

(2x + f ' (0) )dx

= x2 + f'(0) x

0

Cuong12giaitich - 10/2005

23

Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

f(x) = x2 + ax (a = f'(0))
Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm được thoả mãn điều kiện biểu thức.
Cách 2: Lấy đạo hàm của cả 2 vế theo x và y ta được:
f' (x + y) = f' (x) + 2y

(1)

f' (x + y) = f' (y) + 2x

(2)

Từ (1) và (2) ta được: f'(x) + 2y = f'(y) + 2x
x, y Ă . Suy ra f' (x) - 2x = C

f'(x) - 2x = f' (y) - 2y,

(C = const)

f' (x) = 2x + C f(x) = (2x + C)dx = x2 + Cx + d.
Vì f(0) = 0 d = 0 f(x) = x2 + Cx.
Ví dụ 2. Tìm hàm f(x) 0 xác định và khả vi trên Ă + và thoả mãn điều kiện:
x n + yn
f

2

=



f 2 ( x ) + f 2 ( y)
; x, y Ă , n Ơ
2

Giải. Lấy đạo hàm cả hai vế lần lượt theo x và y ta được:
x n + yn

f '


2

4


x n + y n
f '
2

4



f ( x ).f ' ( x )
x n 1

=

f ( y).f ' ( y)
y n 1

nx n 1

=

x n + yn
2
ny n 1

=

x n + yn
2

x, y Ă +

f (x ).f ' (x )
f 2 ( x ) + f 2 ( y)
2
2
f ( y).f ' ( y)
f 2 ( x ) + f 2 ( y)
2
2

f ( x ).f ' ( x )

f(x) . f' (x) = axn - 1 (f2(x))' = a.xn - 1 =

x n 1

(

= a (a là hằng số dương)

)

2
2
ãa.x n ' ' f(x) =
ax n
n
n

(*)

Thử lại ta thấy f(x) xác định từ (*) thoả mãn điều kiện bài toán.

Cuong12giaitich - 10/2005

24


Kỷ niệm bài viết thứ 100 trên

Ví dụ 3. Tồn tại hay không tồn tại một hàm f: Ă Ă không đồng nhất bằng
hằng số thoả mãn bất đẳng thức:
|f(x) - f(y)| (x - y)2, x, y Ă , x y.
Giải. Cho x = t + h, y = t, ta có : |f(t + h) - f(t)| h2 .
Suy ra 0

f (t + h) f (t)
f (t + h) f (t)
h lim
=0
h 0
h
h

f '(t) = 0, t

f(x) = C, x . (C = const) Trái với giả thiết .

Vậy không tồn tại hàm số f: Ă Ă thoả mãn điều kiện bài toán.
Ví dụ 4. Tìm các hàm f(x) xác định và khả vi trên Ă + thoả mãn điều kiện:
f(xy) = f(x) + f(y), x, y Ă +
Giải. Lấy đạo hàm cả hai vế lần lượt theo x và y ta được:
f ' ( xy ) y = f ' ( x )
x, y Ă +

f ' (xy )x = f ' (y )
xf '(x) = yf ' (y), x, y Ă + xf '(x) = a, x, y Ă +, a = const
f ' (x) =

a

x

f(x) =

a

x dx = alnx + C, x > 0.

Thử lại ta có C = 0, vậy f(x) = alnx, x > 0 (a là hằng số tuỳ ý).
Vận dụng phương pháp trên ta sẽ giải được các bài toán sau:
1.Tìm các hàm f(x) xác định và khả vi trên Ă thoả mãn điều kiện:
f(x) f(y) = f(x + y),

x, y Ă .

2. Xác định các hàm số f(x) xác định và khả vi trên R và thoả mãn điều kiện:
f(x) f(y) - f(x + y) = sinx siny, x, y Ă .
1.8. Phương pháp chứng minh quy nạp.

Đối với phương pháp này ta chỉ xét những hàm xác định trên Ơ và lấy

giá trị trên Ơ , sau đó ta mở rộng cho trường hợp hàm cần tìm xác định trên  ,
Ô và lấy giá trị trên  , Ô . Tuy nhiên trong một vài trường hợp ta có thể sử
Cuong12giaitich - 10/2005

25