ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀO GIẢI BÀI TOÁN TÔ MÀU HÌNH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC
------------------------------

NGUYỄN THỊ NGỌC

ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET
VÀO GIẢI BÀI TOÁN TÔ MÀU HÌNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán tiểu học

Người hướng dẫn khoa học
ThS. PHẠM THANH TÂM

HÀ NỘI, 2017


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung của đề tài, tôi xin gửi lời cảm ơn và sự tri
ân sâu sắc đến thầy giáo Th.S. Phạm Thanh Tâm – người đã chỉ bảo và hướng
dẫn tận tình cho tôi, giúp tôi hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp..
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo của

trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tôi cũng đặc biệt cảm ơn các thầy cô giáo
khoa Giáo dục Tiểu học đã tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tập tại
trường.
Lời cảm ơn chân thành và sâu sắc, tôi xin gửi tới gia đình, bạn bè –
những người đã luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại
trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Ngọc


LỜI CAM ĐOAN
Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân cùng
sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo Th.S. Phạm Thanh Tâm tôi đã
hoàn thành bài khóa luận của mình.
Tôi xin cam đoan bài khóa luận là do bản thân hoàn thành cùng với sự
hướng dẫn của thầy giáo Th.S. Phạm Thanh Tâm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Ngọc


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien

mien phi
phi

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu đề tài .................................................. 3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 3
5. Phương pháp nguyên cứu ......................................................................... 3
6. Giả thuyết khoa học ................................................................................... 3
7. Cấu trúc đề tài ............................................................................................ 3
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN ............................................................. 5
1.1

Các kiến thức cơ bản về bài toán tô màu ............................................. 5

1.1.1

Các kiến thức cơ bản về hình .......................................................... 5

1.1.2

Các kiến thức cơ bản về bài toán tô màu ..................................... 11

1.2

Nguyên lí Dirichlet ................................................................................ 12

1.2.1

Nguyên lí Dirichlet cơ bản ............................................................. 13

1.2.2

Nguyên lí Dirichlet mở rộng .......................................................... 13

1.2.3

Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp.................................................. 14

1.2.4

Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng .................................. 14

1.2.5

Nguyên lí Dirichlet vô hạn ............................................................. 15

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀO GIẢI BÀI
TOÁN TÔ MÀU HÌNH .................................................................................. 16
2.1 Bài toán tô màu trên tam giác................................................................. 16
2.2

Bài toán tô màu trên tứ giác ................................................................ 32

2.3 Bài toán tô màu trên đa giác ................................................................... 40
2.4 Một số bài toán đề nghị ........................................................................... 50
KẾT LUẬN ...................................................................................................... 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 52

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong hệ thống giáo dục của mỗi quốc gia thì hệ thống Giáo dục Tiểu
học giữ một vị trí quan trọng. Việc đào tạo, bồi dưỡng nhân tài phải bắt đầu
được quan tâm ngay từ bậc Tiểu học, vì đây là "cái nôi" tri thức đầu tiên và là
bậc học đặt nền móng quan trọng cho sự hình thành nhân cách của mỗi học
sinh. Trong quá khứ lãnh đạo của Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chỉ rõ: "Tiểu
học là nền tảng, đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành và phát triển toàn diện
nhân cách của con người, đặt nền tảng vững chắc cho giáo dục phổ thông và
cho toàn bộ hệ thống giáo dục Quốc dân".
Trong các môn học ở trường Tiểu học thì môn toán có vị trí đặc biệt
quan trọng. Với tư cách là một môn học trong nhà trường thì môn toán giúp
trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức, phương pháp riêng để nhận thức
thế giới, làm công cụ cần thiết để học tập các môn học khác và phục vụ cho
cấp học trên. Các kiến thức toán học được đưa vào dạy cho học sinh Tiểu học
gồm 4 tuyến chính là số học, đại lượng và phép đo đại lượng, các yếu tố hình
học và giải toán có lời văn. Các tuyến kiến thức này có mối liên hệ mật thiết,
hỗ trợ và bổ sung cho nhau ghóp phần phát triển toàn diện năng lực toán học
của học sinh Tiểu học. Trong đó, các bài toán hình học tổ hợp nói chung, bài
toán tô màu hình nói riêng chiếm một số lượng tương đối lớn trong mảng toán
hình học. Các bài toán này không những được trình bày trong sách giáo khoa
mà còn được trình bày trong nhiều tài liệu tham khảo khác và có trong các kì
thi học sinh giỏi bậc Tiểu học. Sử dụng nguyên lý Dirichlet để giải các bài
toán này là phương pháp phổ biến, giúp học sinh dễ nắm bắt kiến thức. Nhờ
có ứng dụng của nguyên lí này mà nhiều bài toán khó trong lĩnh vực hình học
tổ hợp đặc biệt là các bài toán tô màu hình trong sách giáo khoa và các bài

1

Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

trong kì thi học sinh khá giỏi bậc Tiểu học được giải quyết một cách dễ dàng,
thuận tiện và trọn vẹn.
Nguyên lí Dirichlet do nhà toán học Peter Guster Lijeune Dirichlet
(1805- 1859) người Đức đưa ra lần đầu tiên vào năm 1834. Nguyên lí này là
một công cụ hiệu quả và sắc bén để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của
toán học. Ở mỗi cấp học nguyên lí Dirichlet lại được phát biểu bằng một ngôn
ngữ khác nhau sao cho phù hợp với tư duy và lứa tuổi của các em mà vẫn giữ
nguyên được bản chất của kiến thức trong nguyên lí. Nó có nhiều ứng dụng
trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như hình học, đại số, tổ hợp,...
Nguyên lí Dirichlet có nội dung khá đơn giản song nó lại là một công cụ vô
cùng hiệu quả trong việc chứng minh nhiều bài toán từ cụ thể đến trừu tượng
mà khó có thể có một công cụ nào thay thế. Trong rất nhiều trường hợp nó
giúp học sinh thấy được một sự vật, một sự việc chắc chắn tồn tại song không
thể chỉ ra được một cách tường minh. Chính điều đó đã kích thích tư duy, óc
tưởng tượng phong phú của học sinh, làm cho học sinh thấy yêu thích hơn với
bộ môn toán. Vì vậy mà các kì thi học sinh giỏi các cấp thường xuyên có mặt
các bài toán sử dụng nguyên lí này. Dùng nguyên lí Dirichlet trong nhiều
trường hợp người ta dễ chứng minh được sự tồn tại của một đối tượng với
tính chất xác định. Sử dụng nguyên lí Dirichlet không đòi hỏi nhiều kiến thức
về hình học và tổ hợp cùng với khả năng tính toán mà chủ yếu đòi hỏi sự sáng

tạo trong việc đưa ra một số mô hình cụ thể và linh hoạt trong cách tư duy. Đó
là điểm mạnh cũng như cái khó của việc ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào
giải các bài toán tô màu.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các cơ sở lý luận và dựa vào thực tiễn trong quá trình học
tập, giảng dạy kiến thức hình học để tổng hợp và đưa ra các ứng dụng của
nguyên lí Dirichlet vào giải các bài toán tô màu.

2


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu đề tài
 Đối tượng: nguyên lí Dirichlet và những bài toán tô màu có ứng
dụng nguyên lí Dirichlet để giải.
 Phạm vi nghiên cứu: một số bài toán tô màu giải được bằng nguyên
lí Dirichlet.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Nêu nội dung cơ bản của nguyên lí Dirichlet.
 Nêu ứng dụng của nguyên lí Dirichlet vào việc giải các bài toán tô
màu.
 Hệ thống lại một số dạng bài tập tô màu có ứng dụng nguyên lí
Dirichlet để giải.
5. Phương pháp nguyên cứu
 Phương pháp nghiên cứu lí luận.
 Phương pháp phân tích tổng hợp và hệ thống.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu xác định được ứng dụng của nguyên lí Dirichlet và hệ thống lại
được các dạng bài tập thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán,
đặc biệt là các kiến thức Hình học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
7. Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2
chương:
Chương 1: Kiến thức cơ bản về bài toán tô màu hình và nguyên lí
Dirichlet. Chương này nhằm mục đích chuẩn bị các kiến thức cần thiết làm
nền tảng cho chương tiếp theo.
Chương 2: Trong chương này, tôi đưa ra các ứng dụng nguyên lí
Dirichlet vào giải bài toán tô màu hình:
- Trên tam giác

3


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

- Trên tứ giác
- Trên đa giác
- Một số bài tập đề nghị

4


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 Các kiến thức cơ bản về bài toán tô màu

1.1.1 Các kiến thức cơ bản về hình
Dưới đây là mô tả cho một vài khái niệm nhằm mục đích sử dụng cho
khóa luận.
1.1.1.1 Các định nghĩa
Điểm trong mặt phẳng: Điểm là một khái niệm cơ bản trong toán học,
được hình dung như là cái gì đó rất nhỏ bé, không có kích thước hay kích
thước bằng không.
Đoạn thẳng trong mặt phẳng: là một phần của đường thẳng mà bị
giới hạn bởi hai đầu mút, và là quỹ tích của tất cả những điểm nằm giữa hai
đầu mút này trong quan hệ thẳng hàng.
Các ví dụ về đoạn thẳng là: các cạnh của một tam giác hay một hình
vuông. Tổng quát hơn, nếu cả hai đầu mút là hai đỉnh kề nhau của một đa
giác, đoạn thẳng đó là một cạnh (của đa giác đang xét), nếu hai đầu mút
không phải là hai đỉnh kề nhau thì đoạn thẳng đó là đường chéo của đa giác.
Khi các đầu mút nằm trên cùng một đường như là đường tròn, thì đoạn thẳng
đó được gọi là một dây cung (của đường đang xét).
Đỉnh trong một hình: là điểm chung của hai hay nhiều cạnh.
1.1.1.2 Các hình cơ bản và hình đặc biệt ở Tiểu học
 Các hình cơ bản:
 Hình tam giác (hình tam giác cân, hình tam giác đều).
Định nghĩa: Hình tam giác là hình có ba cạnh, ba đỉnh và ba góc. Nếu
một tam giác không có cạnh nào bằng nhau thì đó là tam giác thường. Nếu
một tam giác có ít nhất hai cạnh có chiều dài bằng nhau thì đó là tam giác
cân. Tam giác có ba cạnh với chiều dài bằng nhau thì đó là tam giác đều.

5


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho

kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

Tính chất:
- Tổng các góc trong của một tam giác bằng 1800
- Độ dài mỗi cạnh lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh kia và nhỏ hơn tổng độ
dài của chúng.
- Ba đường cao của tam giác cắt nhau tại mỗi điểm được gọi là trực tâm
của tam giác.
- Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm được gọi là
trọng tâm của tam giác. Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành
hai phần có diện tích bằng nhau.
- Ba đường trung trực của tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường
tròn ngoại tiếp của tam giác.
- Ba đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm
đường tròn nội tiếp của tam giác.
- Trong hai cạnh của cùng một tam giác cạnh đối diện với góc lớn hơn
có chiều dài lớn hơn. Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn
- Định lí hàm cosin: Trong một tam giác, bình phương độ dài một cạnh
bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của độ dài
hai cạnh ấy với cosin của góc xen giữa hai cạnh đó.
- Định lí hàm số sin: Trong một tam giác tỉ lệ giữa độ dài của mỗi cạnh
với sin của góc đối diện là như nhau cho cả ba cạnh.
 Hình chữ nhật
Định nghĩa: Hình chữ nhật là hình có bốn cạnh, bốn đỉnh và bốn góc
vuông.
Tính chất:

- Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường.
- Có tất cả các tính chất của hình thang cân và hình bình hành.

6


- Các đường chéo cắt nhau tạo thành bốn tam giác cân.
Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
 Hình vuông
Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng
nhau.
Tính chất:
- Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc và giao nhau tại trung điểm
của mỗi đường.
- Có một đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp đồng thời tâm của cả hai
đường tròn trùng nhau và là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông.
- Một đường chéo sẽ chia hình vuông thành hai phần có diện tích bằng
nhau.
- Giao điểm của các đường phân giác, trung tuyến, trung trực đều
trùng tại một điểm.
- Có tất cả tính chất của hình chữ nhật và hình bình hành.
Dấu hiệu nhận biết:
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là

hình vuông.
- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

7


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

 Hình tứ giác
Định nghĩa: Tứ giác là đa giác có bốn cạnh và bốn đỉnh.
Tính chất: Tổng các góc của tứ giác đơn bằng

.

 Hình tròn
Định nghĩa: Hình tròn là tập hợp tất cả các điểm nằm trong và nằm
trên đường tròn hay tập hợp các điểm cách tâm một khoảng nhỏ hơn hoặc
bằng bán kính. Đường tròn là quỹ tích của tất cả những điểm trên một mặt
phẳng, cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách cho trước. Điểm
cho trước gọi là tâm của đường tròn, còn khoảng cho trước gọi là bán kính
của đường tròn.
Tính chất:
- Tập hợp các điểm cách đều điểm O cho trước một khoảng không đổi

R gọi là đường tròn tâm O bán kính R, kí hiệu là (O,R).
- Một đường tròn hoàn toàn xác định bởi một điều kiện của nó. Nếu
AB là đoạn cho trước thì đường tròn đường kính AB là tập hợp những điểm
M sao cho góc AMB bằng

. Khi đó tâm O sẽ là trung điểm của AB còn

bán kính thì bằng R = AB/2.
- Qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, luôn vẽ được một đường tròn
và chỉ một mà thôi. Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua
trung điểm dây đó. Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một dây
không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.
- Trong đường tròn, hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách
đều tâm.
- Trong một đường tròn, hai dây cung không bằng nhau, dây lớn hơn
khi và chỉ khi dây đó gần tâm hơn.

8


 Hình lập phương
Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Tính chất: Hình hộp đứng có hai đáy là hình bình hành, bốn mặt xung
quanh là bốn hình chữ nhật.
Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Tính chất: Hình hộp chữ nhật có sáu mặt là sáu hình chữ nhật.
Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có hai đáy và bốn mặt bên đều
là hình vuông.

Tính chất: Hình lập phương có sáu mặt đều là hình vuông.
 Các hình đặc biệt:
 Hình đa giác đều có n cạnh
Trong hình học phẳng, đa giác là một đường gấp khúc phẳng khép kín,
nghĩa là gồm những đoạn thẳng nối tiếp nhau (mỗi điểm nối là đầu mút của
vừa đúng hai đoạn thẳng) cùng nằm trên một mặt phẳng và khép kín (điểm
nối đầu trùng với điểm nối cuối). Phần mặt phẳng giới hạn bởi đường đa giác
được gọi là hình đa giác.
Những đoạn thẳng trên đường gấp khúc này được gọi là cạnh của đa
giác, còn điểm nối tiếp giữa hai cạnh được gọi là đỉnh của đa giác. Hai cạnh
có chung đỉnh cũng được gọi là hai cạnh kề nhau. Nếu đa giác là đa giác đơn
thì các cạnh và các đỉnh tạo thành ranh giới của miền đa giác. Đôi khi cũng
xét tới các đường gấp khúc, khép kín, không cùng nằm trong một mặt phẳng,
đó được gọi là đa giác ghềnh. Tuy nhiên thuật ngữ đa giác thường dùng cho
các đa giác phẳng.
Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc ở đỉnh
bằng nhau. Đa giác đều được chia làm hai loại là đa giác lồi đều (đa giác đều
một đỉnh, nhị giác đều, tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều,
thất giác đều, bát giác đều, cửu giác đều, thập giác đều, …) và đa giác sao đều

9


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

(sao 5 cánh đều, sao 7 cánh đều, sao 8 cánh đều, sao 9 cánh đều, sao 10 cánh
đều, sao 11 cánh đều, …)
 Hình chóp đáy là đa giác n cạnh
Trong hình học, hình chóp là khối đa diện có một đỉnh và một đáy là đa
giác lồi, các mặt bên là các hình tam giác. Chiều cao của hình chóp là khoảng
cách từ đỉnh đến mặt đáy của hình chóp. Các loại hình chóp thường gặp:
 Hình chóp đa giác đều: là hình chóp có đáy là đa giác đều và hình
chiếu của đỉnh xuống đáy trùng với tâm của đáy. Cần phân biệt nó với hình
chóp có đáy là đa giác đều, vốn chỉ có đáy là đa giác đều chứ hình chiếu của
đỉnh xuống đáy chưa chắc trùng với tâm của đáy.
 Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều. Các cạnh bên
của nó bằng nhau.
Hình chóp có mặt đáy là tứ giác
Hình chóp có mặt đáy là hình thang
Hình chóp có mặt đáy là hình bình hành
 Hình lăng trụ có hai đáy là các đa giác đều
Hình lăng trụ là một đa diện có hai mặt đáy là các đa giác tương
đẳng và những mặt còn lại là các hình bình hành. Mọi tiết diện song song với
hai đáy đều là các đa giác tương đẳng với hai đáy.
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Trong hình lăng trụ đứng thì tất cả các mặt bên đều là hình chữ nhật.
Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Ta hay
gặp hình lăng trụ đều có đáy là tam giác hoặc hình vuông trong giải toán.
Người ta thường gọi tắt các trường hợp đó với các thuật ngữ là hình lăng trụ
tam giác đều, hình lăng trụ tứ giác đều. Hình lăng trụ tứ giác đều là một hình
hộp đứng đặc biệt có đáy là hình vuông còn hình hộp đứng thì chỉ cần đáy là
hình bình hành.

10

1.1.2 Các kiến thức cơ bản về bài toán tô màu
1.1.2.1 Các công đoạn trong tô màu hình
 Xác định vị trí các điểm, đoạn thẳng, đỉnh, cạnh cần tô màu
 Quyết định màu để tô vào các vị trí trên. Công đoạn này sẽ trở nên
phức tạp khi ta cần tô theo một mẫu tô nào đó chứ không phải tô thuần
một màu.
1.1.2.2

Các cách tiếp cận chính để tô màu

Có 3 cách tiếp cận chính để tô màu:
 Tô màu theo từng điểm (tô đơn giản)
Thuật toán này bắt đầu từ việc xác định một điểm có thuộc vùng cần tô
hay không. Nếu đúng là điểm thuộc vùng cần tô thì sẽ tô với màu muốn tô.
Thường sử dụng trong tô đường tròn, tô đa giác,…
Nhận xét: Thuật toán tô đơn giản có ưu điểm là tô rất mịn và có thể sử
dụng được cho đa giác lồi hay đa giác lõm, hoặc đa giác tự cắt, đường tròn,
elip…
Tuy nhiên, giải thuật này sẽ trở nên chậm khi ta phải gọi hàm
PointInpoly nhiều lần. Để khắc phục nhược điểm này người ta đưa ra thuật
toán tô màu theo dòng quét.
 Tô màu theo dòng quét
Tô màu theo dòng quét (scan - line)
Phương pháp này sẽ xác định phần giao của các dòng quét kế tiếp nhau
với đường biên của vùng tô. Sau đó, sẽ tiến hành tô màu các điểm thuộc phần
giao này. Phương pháp này thường được dùng để tô màu đa giác lồi , lõm hay
đa giác tự cắt, đường tròn, ellipse, và một số đường cong đơn giản khác.
Các vấn đề cần lưu ý:

- Hạn chế được số cạnh cần tìm giao điểm ứng với mỗi dòng quét vì
ứng với mỗi dòng quét không phải lúc nào cũng giao điểm với các cạnh của
đa giác.

11


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

- Xác định nhanh hoành độ giao điểm vì nếu lặp lại thao tác tìm giao
điểm của cạnh đa giác với mỗi dòng quét sẽ tốn rất nhiều thời gian.
- Giải quyết trường hợp số giao điểm đi qua đỉnh đơn điệu thì tính số
giao điểm là 1 hay đi qua đỉnh cực trị thì tính số giao điểm là 0 (hoặc 2).
 Tô màu dựa theo đường biên
Bài toán đặt ra : Cần tô màu một vùng nếu biết được màu của đường
biên vùng tô và một điểm nằm bên trong vùng tô.
Ý tưởng : Bắt đầu từ một điểm nằm bên trong vùng tô, kiểm tra các
điểm lân cận của nó đã được tô với màu muốn tô, hay điểm lân cận có màu
trùng với màu biên không ? Nếu cả hai trường hợp đều không phải thì ta sẽ tô
điểm đó với màu muốn tô. Quá trình này được lặp lại cho đến khi không còn
tô được nữa thì dừng.
Nhận xét :
- Thuật toán có thể không chính xác khi có một số điểm nằm trong
vùng tô có màu là màu cần tô của vùng.

- Việc thực hiện gọi đệ qui làm thuật toán không thể sử dụng cho vùng
tô lớn (tràn stack).
- Có thể khắc phục việc tràn stack bằng cách giảm số lần gọi đệ qui.
Khởi đầu điểm (x,y) là điểm có vị trí đặc biệt trong vùng tô, sau đó, gọi đệ qui
các điểm lân cận của (x,y).
1.2 Nguyên lí Dirichlet
Nguyên lí Dirichlet còn gọi là “Nguyên tắc nhốt thỏ vào lồng” hoặc
“nguyên tắc xếp đồ vật vào ngăn kéo” hoặc “nguyên tắc lồng chim bồ câu” đã
được biết đến từ rất lâu. Nguyên lí Dirichlet này được nhà toán học người
Đức Peter Guster Lijeune Dirichlet (1805-1859) phát biểu lần đầu tiên vào
năm 1834.

12


1.2.1 Nguyên lí Dirichlet cơ bản
Nếu nhốt n+1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng
chứa ít nhất hai con thỏ. Ta có thể phát biểu nguyên lí Dirichlet tổng quát như
sau: Mệnh đề 1.2.1.1 Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k hộp thì sẽ tồn tại

[ ] đồ vật. (Ở đây, ⌊x⌋ là số nguyên nhỏ nhất có giá trị

N
một hộp chứa ít nhất k
lớn hơn hoặc bằng x).

Chứng minh. Giả sử mọi hộp đều chứa ít hơn

[Nk ] đồ vật. Khi đó tổng số

đồ vật là:

[ ] - 1) < k[Nk ] = N.

N
k( k

Điều này mâu thuẫn với giả thiết là có N đồ vật cần xếp.
1.2.2 Nguyên lí Dirichlet mở rộng
Mệnh đề 1.2.2.1 Nếu nhốt n con thỏ vào m ≥ 2 cái chuồng thì tồn tại một
chuồng có ít nhất

[n + mm - 1 ] con thỏ, ở đây kí hiệu [α] để chỉ phần nguyên

của số α.
Chứng minh. Giả sử trái lại, mọi chuồng thỏ không có đến

[n + mm - 1 ] = [nm- 1 + 1] = [nm- 1 ] + 1

13


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

con, thì số thỏ mỗi chuồng đều nhỏ hơn hoặc bằng

tổng số con thỏ không vượt quá m.

chứng tỏ có ít nhất một chuồng có

[nm- 1 ] con. Từ đó suy ra

[nm- 1 ] ≤ n – 1 con (vô lí). Điều vô lí này

[n + mm - 1 ] con thỏ.

1.2.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp
Mệnh đề 1.2.3.1. Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng. Kí hiệu S(A),
S(B) lần lượt là số lượng phần tử của A và B, với S(B) < S(A) < +∞. Khi đó,
xét ánh xạ f, với:
f:A

B
f(a) = b ∈ B

a

thì tồn tại aʹ ∈ A, aʹ ≠ a sao cho: f(aʹ ) = f(a) = b.
1.2.4 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng
Giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn và S(A), S(B) tương ứng kí hiệu là
các số lượng phần tử của A và B.

a1

b1

a2

b2

a3

b3

a4
H 1.1
Mệnh đề 1.2.4.1. Giả sử có một số tự nhiên k nào đó mà S(A) > k.S(B) và ta
có quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử của A với một phần tử của B. Khi

14


đó tồn tại ít nhất k + 1 phần tử của A mà chúng tương ứng với cùng một phần
tử của B.
Chứng minh. Với mọi tập hợp con C gồm một phần tử của B (C ⊂ B) thì
S(C) = 1.
Ta có: S(C) = 1 ≤ S(B) suy ra S(A) > k.S(C) = k. Hay S(A) ≥ k +1.
Suy ra tồn tại ít nhất k + 1 phần tử của A tương ứng với một phần tử của
B. Vì C là tập bất kì nên nguyên lí được chứng minh.
Chú ý: khi k = 1, ta có ngay lại nguyên lí Dirichlet.
1.2.5 Nguyên lí Dirichlet vô hạn
Mệnh đề 1.2.5.1. Nếu chia một tập hợp vô hạn các quả táo vào hữu hạn ngăn
kéo, thì phải có ít nhất một ngăn kéo chứa vô hạn các quả táo.
Chứng minh. Nguyên lí Dirichlet mở rộng cho trường hợp vô hạn này cũng

đóng vai trò hết sức quan trọng trong lí thuyết số nói riêng và toán học rời rạc
nói chung.

15


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET
VÀO GIẢI BÀI TOÁN TÔ MÀU HÌNH

2.1 Bài toán tô màu trên tam giác
Bài toán 2.11 Trong mặt phẳng cho 6 điểm sao cho không có ba điểm
nào thẳng hàng. Mỗi đoạn thẳng nối từng cặp điểm được bôi màu đỏ hoặc
xanh. Chứng minh rằng tồn tại ba điểm trong số sáu điểm đã cho, sao cho
chúng là các đỉnh của một tam giác mà các cạnh của nó được bôi cùng một
màu.
Chứng minh. Xét A là một trong số sáu điểm đã cho. Khi đó xét năm
đoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng nối điểm A với năm điểm còn lại).
Vì mỗi đoạn thẳng được bôi chỉ màu đỏ hoặc màu xanh, nên theo
nguyên lí Dirichlet có ít nhất ba trong năm đoạn nói trên cùng màu. Giả sử đó
là các đoạn AB, ABʹ và ABʹʹ và có thể cho rằng chúng cùng màu xanh.
Chỉ có hai khả năng xảy ra:
Bʹ

B

Bʹʹ
A
H. 2.11

16


1) Nếu ít nhất một trong ba đoạn BBʹ, BʹBʹʹ, BʹʹB màu xanh, thì tồn tại
một tam giác với ba cạnh xanh và kết luận của bài toán đúng trong trường hợp
này.
2) Nếu không phải như vậy, tức là BBʹ, BʹBʹʹ, BʹʹB màu đỏ, thì ba điểm
phải tìm là B, Bʹ, Bʹʹ vì B BʹBʹʹ là tam giác có ba cạnh màu đỏ.
Từ đây bài toán được chứng minh.
Bài toán 2.12 Cho sáu điểm trên mặt phẳng, sao cho không có ba điểm
nào thẳng hàng. Các đoạn thẳng nối từng cặp điểm được tô màu đỏ hoặc màu
xanh. Chứng minh rằng tồn tại hai tam giác (mà các đỉnh của chúng thuộc tập
hợp sáu điểm đã cho) mà các cạnh của chúng cùng màu.
Chứng minh. Giả sử P là điểm bất kì trong sáu điểm đã cho. Từ P ta
kẻ năm đoạn thẳng. Vì mỗi đoạn thẳng chỉ được tô bởi một trong hai màu nên
theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất ba trong năm đoạn thẳng nói trên được tô
cùng màu. Không giảm tổng quát, ta cho đó là những đoạn PQ, PR, PS cùng
được tô màu đỏ.
Nếu ba đoạn QR, RS và SQ được tô màu xanh thì chúng tạo thành tam
giác màu xanh (H. 2.12)
Nếu một đoạn nào đó được tô màu đỏ, ví dụ QR thì ta nhận được tam
giác PQR màu đỏ (H. 2.13)
Theo như lập luận trên thì ta có ít nhất một tam giác đồng màu. Ta cho
tam giác đó là tam giác PQR màu đỏ.

17


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

P

Q

S

R
H. 2.12
P

Q
S

R
H. 2.13

18

Bây giờ ta thử xây dựng tam giác đồng màu mới theo phương pháp
trên. Ta bắt đầu từ điểm S, khác với P, Q, R. Kí hiệu hai điểm còn lại là T và
U. Ta lại xét những đoạn thẳng SP, SQ, SR, ST và SU. Nếu ít nhất ba trong
chúng là màu đỏ thì theo lí luận như với tam giác PQR, ta sẽ có tam giác đỏ
với đỉnh S, hoặc tam giác xanh và trong cả hai trường hợp, tam giác này đều
khác tam giác PQR. Theo phương pháp như vậy, ta có thể nhận được ít nhất
ba trong những đoạn này màu xanh. Nếu ngược lại, một trong những đoạn ST,
SU là xanh thì ta sẽ có tam giác xanh với đỉnh S hoặc tam giác đỏ với đỉnh T
và cả hai trường hợp tam giác này đều khác tam giác PQR.
Suy ra, ta có thể cho rằng SP, SQ, SR là xanh, còn ST và SU màu đỏ.
Nếu ta lí luận tương tự cho đỉnh T thì cũng chỉ ra rằng tồn tại hai tam giác
đồng màu khác tam giác PQR bằng việc loại trừ khi TP, TQ, TR xanh, còn TS
và TU là đỏ. Trong trường hợp đó, tam giác STU là đỏ.
Từ đó, bài toán đã được chứng minh.
Bài toán 2.13. Cho mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bằng một trong
hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và
trọng tâm cùng màu.
Chứng minh. Lấy năm điểm tùy ý sao cho không có ba điểm nào thẳng
hàng trên mặt phẳng. Khi đó vì chỉ dùng có hai màu để tô các đỉnh, mà theo
nguyên lí Dirichlet phải tồn tại ba điểm trong số đó cùng màu. Giả sử đó là ba
điểm A, B, C có màu đỏ. Như vậy, ta có tam giác ABC với ba đỉnh màu đỏ.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chỉ có hai khả năng xảy ra :
1) Nếu G có màu đỏ. Khi đó A, B, C, G cùng đỏ và bài toán đã được
chứng minh.
2) Nếu G có màu xanh. Kéo dài GA, GB, GC sao cho :

19

Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

Bʹ

B
P

M

C
Cʹ

A

N
A

Aʹ
H. 2.14
Khi đó, nếu gọi M, N, P tương ứng là các trung điểm của BC, CA, AB
thì A là trọng tâm của tam giác AʹBC.
Tương tự ta cũng có:
B là trọng tâm của tam giác BʹAC.
C là trọng tâm của tam giác CʹAB.

Vậy các tam giác AʹBC, BʹAC, CʹAB tương ứng nhận A, B, C là trọng
tâm. Mặt khác, ta cũng có các tam giác ABC và AʹBCʹ có cùng trọng tâm G.
Có hai trường hợp sau có thể xảy ra:
a) Nếu Aʹ, Bʹ, Cʹ cùng xanh. Khi đó tam giác AʹBʹCʹ và trọng tâm G có
cùng màu xanh.
b) Nếu ít nhất một trong các điểm Aʹ, Bʹ, Cʹ có màu đỏ. Không mất tính
tổng quát giả sử Aʹ đỏ. Khi đó tam giác AʹBC và trọng tâm A màu đỏ.

20


Vậy trong mọi khả năng luôn tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng
tâm cùng màu.
Bài toán 2.14 Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bằng một trong hai
màu đen hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác đều mà các đỉnh của
nó chỉ được tô bằng một màu.
Chứng minh. Vẽ tam giác đều ABC, nếu có ba đỉnh A, B, C đều được
tô cùng một màu thì ta có ngay điều phải chứng minh.
Nếu A, B, C được tô bởi hai màu khác nhau thì theo nguyên lí Dirichlet
phải có hai đỉnh được tô cùng một màu.
Giả sử các đỉnh A, B được tô cùng màu đen, khi đó C được tô bằng màu đỏ.
Ta dựng lục giác đều ADGEFC có tâm B.
Ta có tam giác ABD đều. Nếu D được tô màu đen thì ta có ngay điều
phải chứng minh. Nếu D được tô màu đỏ thì ta xét tam giác CED đều. Nếu E
được tô màu đỏ thì tam giác CDE có ba đỉnh được tô màu đỏ, thỏa mãn.
Ngược lại, Nếu E được tô màu đen, ta xét tam giác BEF đều. Nếu F được tô
màu đen thì ta có tam giác BEF có ba đỉnh được tô bằng màu đen, thỏa mãn.
Giả sử ngược lại F được tô màu đỏ ta lại xét tam giác CFH đều. Nếu H
được tô màu đỏ thì tam giác CFH có ba đỉnh được tô màu đỏ, thỏa mãn.
Ngược lại, H được tô màu đen thì lại vẽ tam giác đều BHI. Nếu I được tô màu

đen thì tam giác BHI có ba đỉnh được tô màu đen, thỏa mãn.
Ta lại giả sử I được tô bằng màu đỏ thì xét tam giác IDF. Dễ thấy tam giác
IDF đều, theo trên ta có I, D, F được tô bởi cùng màu đỏ, thỏa mãn.
Như vậy, ta chứng tỏ được rằng tồn tại một tam giác đều mà ba đỉnh
được tô bởi cùng một màu.
Bài toán 2.15 Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bằng một trong hai
màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng ắt tìm được ít nhất là ba điểm được tô
bởi cùng một màu tạo thành một tam giác đều có cạnh là 1 hoặc

21

.