Chuyên đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán : Phép dời hình có loài giải chi tiết

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
PHÉP BIẾN HÌNH
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
Phép biến hình là một quy tắc để mỗi điểm M của mặt phẳngxác định được mộtđiểm duy nhất M �
thuộc
mặt phẳng đó .

2. Kí hiệu và thuật ngữ:
Gọi P là tập hợp các điểm trong mặt phẳng và một phép biến hình F :
F :P �P
M �M�
FM
- Điểm M �gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F , hay M là điểm tạo ảnh của điểm M �.
- Nếu  là một hình nào đó thì H �( gồm các điểm M �là ảnh của M � ) được gọi là anh của  qua
phép biến hình F .
- Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
3. Tích của hai phép biến hình
Cho hai phép biến hình F và G . Gọi M là điểm bất kỳ trong mặt phẳng. M �là ảnh của M qua F ,
�là ảnh của M �
M�
qua G .
�
Ta nói, M �
là ảnh của M trong tích của hai phép biến hình F và G . Ký hiệu G.F
�
M�
 G F  M  

PHÉP TỊNH TIẾN
A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

r
uuuuu
r r
 v được
Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M �
sao cho MM �

r
v
gọi là phép tịnh tiến theo vectơ .
r
r
Tvr v
v
 Phép tịnh tiến theo vectơ kí hiệu là:
, được gọi là vectơ tịnh tiến.



uuuuur r
Tvr ( M )  M �
� MM �
v

Ta có:
Phép tịnh tiến theo vecto – không chính là phép đồng nhất.

ur

v
2. Tính chất:


ur
uuuuur uuuu
r
, N�
v
N  MN , từ đó suy ra
Tính
chất 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M , N thành hai điểm M �
thì M ��
r
M ��
N  uMN
.
v

ur
v

Tính chất 2:
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, đường tròn
thành đường tròn có cùng bán kính.
STUDY TIP
Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm
đó.
3. Biểu thức tọa độ:

r
v   a; b  , M  x; y 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ
�x '  x  a
r
�
r
v : Tv ( M )  M'  x '; y ' 
có biểu thức tọa độ: �y '  y  b

. Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TỊNH TIẾN
DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP
TỊNH TIẾN
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép tịnh tiến.
Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép tịnh tiến.
Tìm quĩ tích điểm thông qua phép tịnh tiến.
Ứng dụng phép tịnh tiến vào các bài toán hình học khác ...
Ví dụ 1: Kết luận nào sau đây là sai?
uuur r
Tuuur (A)  B
Tur ( A)  B � AB  u
A.
B. AB
uuu
r

uuuu
r
uur ( M )  N � AB  2 MN
T2 uAB
T0r ( B)  B
C.
C.
Lời giải:
Đáp án D
uuuu
r
uuur
uur ( M )  N � MN  2 AB
T2 uAB
Ta có
. Vậy D sai.
STUDY TIP


uuuuur r
Tvr  M   M �
� MM �
v

Định nghĩa phép tịnh tiến:
.
Tr ( M )  M '; Trv ( N )  N '
Ví dụ 2: Giả sử v
. Mệnh đề nào sau đây sai?
uuuuuur uuuu

r
uuuuur uuuur
M
'
N
'

MN
A.
.
B. MM '  NN '
C. MM '  NN ' .
D. MNM ' N ' là hình bình hành.
Lời giải:
Đáp án D

Theo tính chất của một phép tịnh tiến thì các đáp án A, B, C là đúng.
MNM ' N ' không theo thứ tự các đỉnh của hình bình hành nên D sai.
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng
A. Không.
Đáp án A

d1

và

d2

cắt nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến

B. Một.

C. Hai.

d1

thành

d2

D. Vô số.

Lời giải:
Do phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên
d
d
không có phép tịnh tiến nào biến 1 thành 2 .
Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD tâm I . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD, DC . Phép tịnh tiến theo
vectơ nào sau đây biến tam giác AMI thành INC

uur
B. IN .

uuuu
r
AM
A.
.

uuur

C. AC .
Lời giải:

uuuu
r
MN
D.
.

Đáp ánuuu
Du
r uur uur
uuur ( AMI )  INC
MN  AI  IC � TuMN
Ta có
Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD tâm I . Kết luận nào sau đây là sai?
A.

uur ( D )  C
TuAB

.

B.

uuur ( B )  A
TCD

.
C.

Lời giải:

TuAIur ( I )  C

.

D.

TuIDur ( I )  B

.

Đáp án D

uur uur
TuIDur ( I ) I�
'  II ' ID

I' D
Ta có
. Vậy D sai
Ví dụ 6: Trong các đối tượng: con cá (hình A), con bướm (hình B), con mèo (hình C), con ngựa (hình
D), hình nào có phép tịnh tiến?


A.

B.

C.

D.

Lời giải:
Đáp án D
Trong hình D đối tượng con ngựa này là ảnh của con ngựa kia qua một phép tịnh tiến theo một
hướng xác định.
 C  có tâm O và đường kính AB . Gọi  là tiếp tuyến của  C  tại điểm A
Ví dụ 7: Cho đường tròn
uuu
r
.Phép tịnh tiến theo vectơ AB biến  thành:

 C  song song với  .
A. Đường kính của đường tròn
 C  tại điểm B .
B. Tiếp tuyến của
 C  song song với AB .
C. Tiếp tuyến của
D. Đường thẳng song song với  và đi qua O
Lời giải:
Đáp án B.

Tuuur     �
� �
//, �
Theo tính chất 2 của phép tịnh tiến nên AB
là tiếp tuyến của đường tròn
 C  tại điểm B .
 O, R  và A thay đổi trên đường tròn đó, BD là

Ví dụ 8: Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn
đường kính. Khi đó quỹ tích trực tâm H của ABC là:
A.Đoạn thẳng nối từ A tới chân đường cao thuộc BC của ABC .
B. Cung tròn của đường tròn đường kính BC .
 O, R  qua TuHAuur .
C. Đường tròn tâm O�bán kính R là ảnh của
 O, R  qua TuDCuuur .
D. Đường tròn tâm O ' , bán kính R là ảnh của
Lời giải:
Đáp án D.


Kẻ đường kính BD � ADCH là hình bình hành(Vì AD //CH và AH //DC cùng vuông góc
với umột
uur đường
uuur thẳng)
uuu
r  A  H
� AH  DC � TuDC
.
 O, R  qua TuDCuuur .
Vậy H thuộc đường tròn tâm O ' , bán kính R là ảnh của
 C  . Khi
Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD , hai điểm A, B cố định, tâm I di động trên đường tròn
đó quỹ tích trung điểm M của cạnh DC :

 C�
 là ảnh của  C 
 C�
 là ảnh của  C 

B. là đường tròn
A. là đường tròn

qua

TuKIuur , K

là trung điểm của BC .

qua

TuKIuur , K

là trung điểm của AB .

C. là đường thẳng BD .
D. là đường tròn tâm I bán kính ID .
Lời giải:
Đáp án B.

Gọi K là trung điểm của AB � K cố định.
Tuuur  I   M � M � C �
  TuKIuur   C   .
Ta có KI
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Phương pháp
1. Xác định ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến
- Sử dụng biểu thức tọa độ.
r

2. Xác định ảnh �của đường thẳng  qua phép tịnh tiến theo véctơ v .
, B �tương ứng. Đường thẳng �cần tìm
Cách 1. Chọn hai điểm A, B phân biệt trên  , xác định ảnh A�
, B�
là đường thẳng qua hai ảnh A�
.

Cách 2. Án dụng tính chất phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng cùng phương với nó.
Cách 3. Sử dụng quỹ tích.
M  x; y  �, Tvr  M   M �
; y�
 x�
 thì M �
��
Với mọi
.
�
�
x

x

a
x

x

a
�
�

�
�
�
�
Từ biểu thức tọa độ �y  y  b ta được �y  y  b thế x, y và phương trình  ta được phương trình �
.
3. Xác định ảnh của một hình
(đường tròn, elip, parabol…)
M  x; y 
Tr  M   M �
; y�
 x�
 thì M �thuộc ảnh ’ của
- Sử dụng quỹ tích: Với mọi điểm
thuộc hình , v
hình .
- Với đường tròn: áp dụng tình chất phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
hoặc sử dụng quỹ tích.


A  3; 3
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm
. Tìm tọa độ diểm A�là ảnh của A qua phép
r
v   1;3
tịnh tiến theo véctơ
.
A.

A�

 2; 6 

.

B.

A�
 2;0 

.

C.

A�
 4;0 

.

D.

A�
 2;0 

.

Lời giải:
Đáp án B.
�x  x  x r
�x  2
uuur r � �A� A v � �A� � A�

 2;0 
Tvr  A  A�
x A�y A� � AA�
v
y A� 0
y A� y A  yvr

�
�
Ta có
.
STUDY TIP
 xa
�x�
�
�
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: �y  y  b

M�
 4; 2  , biết M �là ảnh của M qua phép tịnh tiến
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm
r
v   1; 5 
theo véctơ
. Tìm tọa độ điểm M .
A.

M  3;5 

.

B.

M  3;7 

.

C.

M  5;7 

.

D.

M  5; 3

.

Lời giải:
Đáp án C.
uuuuur r
Tvr  M   M �
xM �; yM � � MM �
v

Ta có:
�xvr  xM � xM
�xM  xM � xvr
�x  5

��
��
� �M
� M  5;7 
r  y
r
y

y
y

y

y
y

7
�
�
M
M
M
v
�M
�v
�M
.

M  5; 2 
M�

 3; 2  là ảnh cảu M qua phép
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm
và điểm
r
r
tịnh tiến theo véctơ v . Tìm tọa độ véctơ v .
r
r
r
r
v   2;0 
v   0; 2 
v   1;0 
v   2;0 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải:
Đáp án D.
�xr  xM � xM
�xvr  2
r
uuuuur r � �v
��
� v   2;0 

Tr  M   M �
 xM �; yM � � MM � v �yvr  yM � yM �yvr  0
Ta có: v
.
r
M  0; 2  , N  2;1
v   1; 2 
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm
và véctơ
. Ơ. Phép tịnh
r
�
�
M
,
N
M
,
N
N�
tiến theo véctơ v biến
thành hai điểm
tương ứng. Tính độ dài M �
.

N�
 5.
A. M �

N�

 7.
N�
 1.
B. M �
C. M �
Lời giải:

N�
3.
D. M �

Đáp án A.
Tvr  M   M �
�
2
2
�
� MN  M ��
N   2  0    1  2   5
�
Tr  N   N �
Ta có �v
.
STUDY TIP
Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
Oxy , cho ABC biết A  2; 4  , B  5;1 , C  1; 2  . Phép tịnh tiến theo
Ví dụ 5. Trong u
mặt
uur phẳng tọa độ
B C tương ứng các điểm. Tọa độ trọng tâm G�của A���

BC
véctơ BC biến ABC thành A���
là:


A.

G�
 4; 2 

.

B.

G�
 4; 2 

.

C.

G�
 4; 2 

.

D.

G�
 4; 4 

.

Lời giải:
Đáp án A.

uuur
G  2;1 BC   6; 3

ABC
Ta có tọa độ trọng tâm
là
;
.
u
u
u
r
�xG� xG  xBC
�xG � 4
uuuu
r uuur � �
��
� G�
 4; 2 
�
uur  G   G �
TuBC
 xG�; yG� � GG� BC �yG� yG  yuBCuur �yG� 2

.

STUDY TIP
BC
Phép tịnh tiến biến trọng tâm G của ABC thành trọng tâm G�của A���
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đườn thẳng �là ảnh của đường thẳng
r
 : x  2 y  1  0 qua phép tịnh tiến theo véctơ v   1; 1 .
: x  2y  0 .
A. �

: x  2 y  3  0 . C. �
: x  2y 1  0 .
B. �
Lời giải:

: x  2y  2  0.
D. �

Đáp án A.
Cách 1:
A  1;0  � � Tvr  A   A�
 2; 1 ��.
Chọn
B  1;1 � � Tvr  B   B�
 0;0  ��.
Chọn
� đường thẳng �chính là đường thẳng A��
B .
r

A�
2; 1
n   1; 2 

�

Đường thẳng
qua
và có một véctơ pháp tuyến
có phương trình là:
�
 :1 x  2   2  y  1  0 � x  2 y  0
.
STUDY TIP
Hai đường thẳng cùng phương thì có hai véctơ pháp tuyến cùng phương.
Cách 2.
Tvr     �
� �
,
là hai đường thẳng cùng phương nên �có dạng x  2 y  m  0 .
Chọn

A  1; 0  � � Tvr  A  A�
 2; 1 ��� m  0

.
�
Vậy phương trình  : x  2 y  0 .
Cách 3: Sử dụng quỹ tích
M  xM ; yM  � � xM  2 yM  1  0  1

Lấy
.
 x 1
1
�x�
�x  x�
Tvr  M   M �
; y�
 x�
 ��� � � M � �M �
�y  yM  1 �yM  y  1
Ta có
 1 ta được  x� 1  2  y� 1  1  0 � x� 2 y� 0 .
Thay vào

: x  2y  0 .
Vậy �
Nhận xét: Độc giả sử dụng cách 3 tỏ ra có tính tư duy cao hơn, nhanh hơn và áp dụng cho
nhiều loại hình khác nhau.
 C�
 là ảnh cảu đường tròn
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đường tròn
r
 C  : x 2  y 2  2x  4 y  1  0 qua Tvr với v   1; 2  .

 x  2
A.

2

 x  2
B.

 y2  6

.
2
2
C. x  y  2x  5  0 .

 y2  6

.
D. 2 x  2 y  8 x  4  0 .
2

Lời giải:
Đáp án B.

2

2


Cách 1: Theo tính chất của phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
 C  có tâm I  1; 2  , bán kính R  6 .
Ta có: đường tròn
Tr  I   I �
 2;0  .
Suy ra: v

 C�
 có tâm I �
 2;0  , bán kính R� R  6 có phương trình:
Vậy đường tròn

 x  2

2

 y2  6

.
Cách 2: Sử dụng quỹ tích:
M  x; y  � C  � Tvr  M   M �
; y�
 x�

Gọi
 x 1
1
�x�
�x  x�
��
��
 y2
2
�y�
�y  y�

 C  , ta có:

Thế x, y vào phương trình đường tròn
2
2
2
2
 2   2  x�
 1  4  y �
 2   1  0 �  x�
 x� 1   y �
   y�
  4 x� 2  0
 C�
 :  x  2
Vậy

2

 y2  6

Study Tip

.

I  a; b 
có tâm
bán kính R.
x 2  y 2  2ax  2by  c  0 có tâm I  a; b  bán kính R  a 2  b 2  c .
Phương trình
đường
tròn

r
r
y  f  x   x3  3 x  1
v   a; b 
v
Ví dụ 8. Cho vectơ
sao cho khi tịnh tiến đồ thị
theo vectơ ta nhận
3
2
y  g  x   x  3x  6 x  1
được đồ thị hàm số
. Tính P  a  b .
Phương trình đường tròn

 x  a

A. P  3 .

B. P  1 .

2

  y  b   R2
2

D. P  3 .

C. P  2 .
Lời giải:

Đáp án A.

g  x   f  x  a   b � x3  3x 2  6 x  1  �
b
 x  a   3  x  a   1�
�
�
Từ giả thiết ta có:
� x 3  3x 2  6 x  1  x 3  3ax 2  3  a 2  1 x  a 3  3a  1  b
3

�a  1
� P  ab 3
�
b

2
�
Đồng nhất thức ta được:
.
Study Tip
Đồng nhất thức của 2 đa thức � các hệ số của các đa thức tương ứng bằng nhau.
A  5; 2  C  1;0 
B  Tur  A  , C  Tvr  B 
Ví dụ 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm
,
. Biết
.
r r

r r
T
Tìm tọa độ của vectơ u  v để có thể thực hiện phép tịnh tiến u v biến điểm A thành điểm C.
A.

 6; 2  .

B.

 2; 4  .

C.
Lời giải:

Đáp án C.
uuu
r r
Tur  A   B � AB  u
Ta có:
uuur r
Tvr  B   C � BC  v
uuur uuu
r uuur r r
AC

AB
 BC  u  v
Mà
uuur r r
Tur vr  A   C � AC  u  v   4; 2 

Do đó:
.
Study Tip

 4; 2  .

D.

 4; 2  .


Ta có sơ đồ tổng quát:

A  2;1
Ví dụ 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành OABC với điểm
, điểm B thuộc
đường thẳng  : 2 x  y  5  0 . Tìm quỹ tích đỉnh C ?
A. Là đường thẳng có phương trình 2 x  y  10  0 .
B. Là đường thẳng có phương trình x  2 y  7  0 .

C. Là đường thẳng có phương trình 2 x  y  7  0 .
2
2
D. Là đường tròn có phương trình x  y  2 x  y  0 .
Đáp án A.
Lời giải:

Tuuur  B   C
Vì OABC hình bình hành nên AO
Vậy quỹ tích điểm C là đường thẳng  ' song song với  . Ta tìm được phương trình

 ' : 2 x  y  10  0 .

Ví dụ 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 3x  y  9  0 . Tìm phép tịnh tiến theo véc tơ
r
v có giá song song với Oy biến d thành d ' đi qua A  1;1
r
r
r
r
v   0;5 
v   1; 5
v   2; 3
v   0; 5 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Đáp án D.
Lời giải:
r
r
� v   0; k  , k �0
Véc tơ v có giá song song với Oy
�x '  x
M  x; y  �d � Tvr  M   M '  x '; y'  � �
�y '  y  k

Gọi

A  1;1
Thế vào phương trình d � d ' : 3x ' y´ k  9  0 mà d ' đi qua
nên k  5 .
Ví dụ 12. Ví dụ 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , chohai đường thẳng d : 2 x  3 y  3  0 và
r
d' : 2 x  3 y  5  0 . Tìm tọa độ v có phương vuông góc với d và Tvr biến đường thẳng d thành
d '.

r �6 4 �
v� ; �
�13 13 �.
A.

r �1 2 �
v� ; �
�13 13 �.
B.

r �16 24 �
v� ;
�
�13 13 �.
C.

Đáp án D.
Lời giải:
�x  x ' a
r

��
r
T  M   M '  x '; y' �d ' �y  y ' b
v   a; b 
Gọi
, ta có v
Thế vào phương trình đường thẳng d : 2 x ' 3 y ' 2a  3b  3  0
Từ giả thiết suy ra

2a  3b  3  5 � 2a  3b  8

 1

r �
16 24 �
v� ;
�
13 13 �.
�
D.


Véc tơ chỉ phương của d là

r
u   3; 2 

r r rr
u  v � u.v  0 � 3a  2b  0

 2

. Do
16
24
a  ;b 
1
2


13
13 .
Giải hệ
và
ta được

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP
TỊNH TIẾN
Câu 1: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng thành chính nó?
A. 0 .
Câu 2:

B. 1 .

D. Vô số.

Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường tròn thành chính nó?
A. 0 .

Câu 3:

C. 2 .

B. 1 .

C. 2 .

D. Vô số.

Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến hình vuông thành chính nó?
A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. Vô số.

Câu 4:

Phép tịnh tiến không bảo toàn yếu tố nào sau đây?

Câu 5:

A. Khoảng cách giữa hai điểm.
B. Thứ tự ba điểm thẳng hàng.
C. Tọa độ của điểm.
D. Diện tích.
r r

r
r
Tv  A   A�
, Tv  B   B� v �0
A
,
B
Với hai điểm
phân biệt và
với
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuuur r
B  v.
A. A��

Câu 6:

uuuur uuu
r r
B  AB  0 .
D. A��

d
d
Cho hai đường thẳng 1 và 2 song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến theo vectơ
r r
v �0 biến d1 thành d 2 ?
A. 0 .

Câu 7:

uuu
r r
C. AB  v .

uuuur uuu
r
B  AB .
B. A��

B. 1 .

C. 2 .

D. Vô số.

Tuuur uuur
Cho hình bình hành ABCD . Phép tịnh tiến AB  AD biến điểm A thành điểm nào?
A. A�đối xứng với A qua C .
C. O là giao điểm của AC qua BD .

Câu 8:

B. A�đối xứng với D qua C .
D. C .
Tuuur  G   M
Cho tam giác ABC có trọng tâm G , AG
. Mệnh đề nào là đúng?

Câu 9:

A. M là trung điểm BC .
B. M trùng với A .
C. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành BGCM .
D. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành BCGM .
uuu
r
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Tìm ảnh của AOF qua phép tịnh tiến theo vectơ AB .
A. AOB .

B. BOC .

C. CDO .

D. DEO .

Câu 10: Cho hình bình hành ABCD tâm I . Kết luận nào sau đây sai?
A.

uuu
r  A  B
TuDC

.

B.

uuur  B   A
TCD

.

C.

TuDIuur  I   B

.

D.

TuIAur  I   C

.

Câu 11: Cho hình vuông ABCD tâm I . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, DC . Phép tịnh tiến
theo vectơ nào sau đây biến AMI thành MDN ?


uur
B. NI .

uuuu
r
A. AM .

uuur
C. AC .

uuuu
r

D. MN .

Câu 12: Cho hình bình hành ABCD . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng AB thành đường
thẳng CD và biến đường thẳng AD thành đường thẳng BC ?
A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. Vô số.

 O  và hai điểm A, B . Một điểm M thay đổi trên đường tròn  O  . Tìm quỹ
Câu 13: Cho đường tròn
uuuuu
r uuur uuur
 MA  MB .
tích điểm M �
sao cho MM �
A.

 O�
  TuABuur   O   .

B.

uuur   O  
 O�
  TuAM
.

C.

 O�
  TuBAuur   O   .

D.

 O�
  TuBMuuur   O   .

�
�
Câu 14: Cho tứ giác lồi ABCD có AB  BC  CD  a , BAD  75�và ADC  45�.Tính độ dài AD .
A. a 2  5 .

B. a 3 .

C. a 2  3 .

D. a 5 .

�
�  150�
�  90�
, B
, D
Câu 15: Cho tứ giác ABCD có AB  6 3, CD  12 , A  60�
. Tính độ dài BC .
B. 5 .

A. 4 .

C. 6 .

D. 2 .

AC BD

Câu 16: Trên đoạn AD cố định dựng hình bình hành ABCD sao cho AD AB . Tìm quỹ tích đỉnh C .

A. Đường tròn tâm A , bán kính là AB 3 .
B. Đường tròn tâm A , bán kính là AC .
C. Đường tròn tâm A , bán kính là AD .
D. Đường tròn tâm A , bán kính là AD 2 .
Câu 17: Cho hai đường tròn có bán kính R cắt nhau tại M , N . Đường trung trực của MN cắt các
2
2
đường tròn tại A và B sao cho A, B nằm cùng một phía với MN . Tính P  MN  AB .
A. P  2 R .
2

2
B. P  3R .

2
C. P  4 R .

2
D. P  6 R .

Câu 18: Cho hai đường tròn có bán kính R tiếp xúc ngoài với nhau tại K . Trên đường tròn này lấy
�
điểm A , trên đường tròn kia lấy điểm B sao cho AKB  90�. Độ dài AB bằng bao nhiêu?
A. R .

B. R 2 .

C. R 3 .

D. 2R .

Câu 19: Từ đỉnh B của hình bình hành ABCD kẻ các đường cao BK và BH của nó biết
KH  3, BD  5 . Khoảng cách từ B đến trực tâm H1 của tam giác BKH có giá trị bằng bao
nhiêu?
A. 4 .

B. 5 .

C. 6 .

D. 4,5 .

DẠNG 2. XAC DỊNH ẢNH CỦA MỘT DIỂM HOẶC HINH QUA PHEP TỊNH TIẾN BẰNG
PHƯƠNG PHAP TỌA DỘ
M  1; 2 
Câu 1: Trong mặt phẳng
tọa độ Oxy ,tìm tọa độ điểm M �là ảnh của điểm
qua phép tịnh tiến
r

v   3;1 .
theo vectơ
M�
M�
M�
M�
 4; 2  .
 4; 2  .
 2;1 .
 4; 1 .
A.
B.
C.
D.
r
A  4;5 .
v   2;1
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho vectơ
và điểm
Hỏi A là ảnh của điểm nào
r
sau đây qua phép tịnh tiến theo vectơ v.


 2; 4  .
 4;7  .
 6; 6  .
B.
C.
D.

r
A  2; 2  B  4; 6 
Tr  A   B
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm
,
và v
. Tìm vectơ v.
 1; 2  .
 2; 4  .
 4; 2  .
 2; 4  .
A.
B.
C.
D.
M�
 3;0  là ảnh của điểm M  1; 2  qua Tur và điểm
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , biết điểm
�
M�
 2;3 là ảnh của M �qua Tvr . Tìm tọa độ vectơ ur  vr.
 1;5 .
 2; 2  .
 1; 1 .
 1;5 .
A.
B.
C.
D.
, B�lần lượt là ảnh của các điểm A  2;3 , B  1;1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , rcho các điểm A�
uuuur
v   3;1
B.
qua phép tịnh tiến theo vectơ
. Tính độ dài vectơ A��
A.

Câu 6:

Câu 7:

Câu 8:

 1;6  .

B. 3 .
C. 5 .
D. 2 .
A  3;0  , B  2; 4  , C  4;5  G
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có cácrđiểm
.
r
là trọng tâm tam giác ABC và phép tịnh tiến theo vectơ u �0 biến điểm A thành G . Tìm tọa
A. 2 .

Câu 9:

G�
 Tur  G  .

độ G�biết
G�
G�
 5;6  .
 5;6  .
A.
B.

G�
 1;3 .
r
v   4; 2 
Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : xr 5 y  1  0 và vectơ
. Khi đó
ảnh của đường thẳng  qua phép tịnh tiến theo vectơ v là
A. x  5 y  15  0 .
B. x  5 y r 15  0 .
C. x  5 y  6  0 .
D.  x  5 y  7  0 .
v   4; 2 
: 2 x  y  5  0 . Hỏi �là ảnh
Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho
và đường thẳng �
Tr .
của đường thẳng  nào sau đây qua v
A.  : 2 x  y  5  0 .
B.  : 2 x  y  9  0 . C.  : 2 x  y  15  0 . D.  : 2 x  y  11  0 .
Câu 12:

Câu 13:

Câu 14:

Câu 15:

C.

G�
 3;1

.

D.

�x  1  2t
:�
: x  2 y 1  0
�y  1  t và đường thẳng �
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng
r
Tr     �
.
. Tìm tọa độvectơ v biết v
r
r
r
r
v   0; 1
v   0; 2 
v   0;1

v   1;1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
 C�
 là ảnh của đường tròn
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đường
tròn
r
 C  : x 2  y 2  4 x  2 y  1  0 qua phép tịnh tiến theo v   1;3 .
2
2
2
2
C�
:  x  3   y  4   2
C�
:  x  3   y  4   4




A.
.
B.

.
2
2
2
2
 C�
 :  x  3   y  4   4 .
 C�
 :  x  3   y  4   4 .
C.
D.
r
2
C  :  x  4   y 2  16
v   3; 1

Oxy
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho
và đường tròn
. Ảnh của
r
 C  qua phép tịnh tiến Tv là
2
2
2
2
x  1   y  1  16
x  1   y  1  16



A.
.
B.
.
2
2
2
2
 x  7    y  1  16 .
 x  7    y  1  16 .
C.
D.
r
v   1; 2 
 C  : 2 x2  4 y 2  1 . Ảnh của  C 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho
và đường cong
Tr
qua phép tịn tiến v là


2
2
A. 2 x  4 y  4 x  16 y  17  0 .
2
2
C. 2 x  4 y  4 x  16 y  17  0 .

2

2
B. 2 x  4 y  4 x  16 y  17  0 .
2
2
D. 2 x  4 y  4 x  16 y  7  0 .

Câu 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip
Tr
phép tịn tiến v là:
2
2
x  2
y  1



1
 E :
16
9
A.
.

 E :

x2 y 2
r

1
v   2;1

 E  qua
16 9
và véc tơ
. Ảnh của

B.

 E

 x  2
:
16

2

 y  1

9

2

1

.

x  2 y 1

1
16
9

C.
D.
.
Oxy

,
a,
b
Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ
, với
là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi
�x '  x.cos   y.sin   a
�
M  x; y 
M '  x '; y ' 
điểm
thành điểm
trong đó: �y '  x.sin   y.cos   b . Cho hai điểm

 E :

2

2

x
y

1
4 9

.

 E :

2

2

M  x1 ; y1 

N  x2 ; y2 
,
, gọi M ', N ' lần lượt là ảnh của M , N qua phép biến hình F . Khi đó
khoảng cách d giữa M ' và N ' bằng:
A.
C.

d

 x2  x1 

d

 x2  x1 

Câu 18: Cho véc tơ

2

  y2  y1 

2

2

  y2  y1 

r
v   a; b 

.

B.

2

.

D.

d

 x2  x1 

2

  y2  y1 

2

d

 x2  x1 

2

  y2  y1 

2

y  f  x 

.
.

x  x 1
r
x  1 theo véc tơ v ta
2

sao cho khi phép tịnh tiến đồ thị
x2
y  g  x 
x  1 . Khi đó tích a.b bằng:
nhận đồ thị hàm số
A. 1 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 4 .
r

v   2;1
Câu 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy
và đường thẳng d : 2 x  3 y  3  0 ,
ur , cho
w   a; b 
d1 : 2 x  3 y  5  0
d
. Tìm tọa độ
có phương vuông góc với đường thẳng d để 1 là
Tur
ảnh của d qua phép tịnh tiến w . Khi đó a  b bằng:
6
16
8
5
A. 13 .
B. 13 .
C. 13 .
D. 13 .

M  x; y 
Câu 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép biến hình F xác định như sau: Với mỗi điểm
M ' FM
M '  x '; y ' 
ta có điểm
sao cho
thỏa mãn: x '  x  2; y '  y  3 . Mệnh đề nào sau
đây đúng:
r
r

v

2;3
v
  2;3


A. F là phép tịnh tiến theo r
.
B. F là phép tịnh tiến theo r
.
v   2; 3
v   2; 3
C. F là phép tịnh tiến theo
.
D. F là phép tịnh tiến theo
.
A  1; 6  ; B  1; 4 
Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy r, cho hai điểm
. Gọi C , D lần lượt là ảnh của
A, B qua phép tịnh tiến theo v   1;5  . Kết luận nào sau đây là đúng:
A. ABCD là hình vuông.
B. ABCD là hình bình hành.
C. ABDC là hình bình hành.
D. A, B, C , D thẳng hàng.


A  1;3 ;
Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng có phương trình d : y  2 , và hai điểm
B  3; 4 

. Lấy M trên d , N trên trục hoành sao cho MN vuông góc với d và
AM  MN  NB nhỏ nhất. Tìm tọa độ M , N ?
�6 � �6 �
�7 � �7 �
M � ; 2�
, N � ;0 �
M � ;2�
, N � ;0 �
�5 � �5 �.
A. �5 � �5 �.
B.
�8 � �8 �
M � ;2�
, N � ;0 �
5
�
�
�5 �.
C.

�9 � �9 �
M � ;2�
, N � ;0 �
5
�
�
�5 �.
D.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA
PHÉP TỊNH TIẾN
Câu 1: Đáp án D.
r
Tr
Khi véc tơ v của phép tịnh tiến v có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho thì sẽ có
vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng thành chính nó.
Câu 2: Đáp án B.
r r
 C  có tâm I thì Tvr biến đường tròn  C  thành chính nó.
Khi v  0 : Đường tròn
Câu 3: Đáp rán B.
r
Khi v  0 có một phép tịnh tiến biến hình vuông thành chính nó.
Câu 4: Đáp án C.
r r
v
Khi tọa độ của véc tơ tịnh tiến �0 .
Câu 5: Đáp án B.
uuuuu
r uuu
r
�
A
'
B
'

AB
ABB

'
A
'
Ta chỉ ra được
là hình bình hành
Câu 6: Đáp án D.
uur  d 
A �d1 B �d 2 � TuAB
d
1
Chẳng hạn lấy bất kỳ
,
thành 2 nên có vô số phép tịnh tiến thỏa mãn.
Câu 7. Đáp ánuuu
D.
r uuur uuur
uur  A  C
AB  AD  AC � TuAC
Ta có
.
Câu 8.

Đáp án C.

Ta có
Câu 9.

uuur uuuu
r
uur  G   M � AG  GM � BGCM

TuAG

Đáp án B.

là hình bình hành.


uur  A  B
�
TuAB
�
�uuur
uur  AOF   BCO
TAB  O  C � TuAB
�
�
Tuuur  F   O
Ta có �AB
.

Câu 10. Đáp án D.
Tuur  I   A
Ta có IA
nên đáp án D sai.
Câu 11. Đáp án A.

Từ hình vẽ ta có

uuu
r  AMI   MDN

TuAM

.

Câu 12. Đáp án B.

Từ hình vẽ ta có
uur  AB  CD
TuBC
uur  AB  CD
TuBC

với AB,CD là các đoạn thẳng.
, với AD, BC là đoạn thẳng nên có một phép tịnh tiến thỏa mãn.

Câu 13. Đáp án uA.
uuuu
r uuur uuur
uuuuu
r uuur uuur uuu
r
uur  M   M �
MM �
 MA  MB � MM �
 MB  MA  AB � TuAB
Ta có :
.

 O qua TuABuur .
Vậy tập hợp điểm M �là ảnh của đường tròn

Câu 14. Đáp án C.


Xét

uur  A  A�
TuBC
.

 BA  CD � CA�
D cân tại C .
Khi đó CA�

��
A�
CD  600 � CA�
D đều.
��
A�
DA  150 và AA�
 BC  CD  A�
Da
��
� AA
D  1500
2
A2  2A�
A2 cos AA�
D  2a2  3a2 (áp dụng định lí cosin).
Do đó AD  2A�

� AD  a 2  3 .

Câu 15. Đáp án C.

Xét

uur  A  M � ABCM
TuBC

là hình bình hành.

�  300 � BCD
�  600
�
0
� BCM
và MCD  30
2
2
2
0
Ta có MD  MC  DC  2MC.DC.cos30  36 � MD  6

1
MD  CD
2
và MC  MD 3 � MDC là nửa tam giác đều.

�  900 � MDA

�  300
� DMC
�
�
�
0
Vậy MDA  MAD  MAB  30 � AMD cân tại M � BC  MA  MD  6 .

Câu 16. Đáp án D.
Chọn hệ trục về chiều dương như hình vẽ.


y

B(x,y)

C(x+1,y)

I

x
A

Cố định

D  1;0

. Với

D

B  x; y � C  x  1; y

Từ giả thiết AC.AB  AD.BD

 x  1

�

2

 y2 . x2  y2 

 x  1

2

 y2




�  x  y  1  x  y  2x  x  y  2x  1 2x
� x2  y2 x2  y2  2x  1 2x
2

2



2



2

2



� x2  y2  1 x2  y2  2x  1  0

2

2
2
(do x  y  1 0).

� x2  y2  2x  1 0 �  x  1  y2  2 (1)
2

.

Suy ra quỹ tích B là đường tròn tâm I , bán kính
Ta có

2 ( I là điểm đối xứng của D qua A )

uur  B  C
TuBC

Vậy quỹ tích của C là đường tròn tâm A , bán kính AD 2 .
Câu 17. Đáp án C.

O 
O 
O
Giả sử trung trực MN cắt 1 tại A , cắt 2 tại B ( 1 ở giữa A, B )
(Bạn đọc tự vẽ hình)
uuuuu
r
 O2  biến thành đường tròn  O1 . vì
O
O
Thực hiện phép trịnh tiến theo vectơ 2 1 đường tròn

M
N
vậy B biến thành A , M biến trhành 1 , N biến thành 1 .
MNN1M1

là hình bình hành
MN  M1M 2  MN 2  AB2  4R2
.
2

Câu 18. Đáp án D.
(Bạn đọc tự vẽ hình).

nội

tiếp

nên

là

hình

chữ

nhật.

Vậy


uuuuu
r
O
O
Sử dụng phép tịnh tiến theo vectơ 1 2 thì K biến thành C , KA thành CB . Vì vậy AB  2R
.

Câu 19. Đáp án A.

P

B

H

H1
A

K

C

D

uuur
Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ KD ta có :

K biến thành D , H1 biến thành H , B biến thành P
Ta có PHK vuông tại H và KH  3, KP  BD  5 nên PH  25 9  4 � BH1  PH  4.

DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ.
Câu 1.

Đáp án B.
�x�
4
Tvr  M   M�
;y  � �
� M�
 x��
 4;2
�
y


2
�

Câu 3.

Đáp án B.
�x  x  xvr
�x  2
�
� �A
��
�y  4
�yA  y  yvr
Theo biểu thức tọa độ

Câu 6.

Đáp án B.
�
�
�xvr  xB  xA
�xr  2
� �v
�
yr  yB  yA
�yvr  4
Ta có �v

Câu 7.

Đáp án A.
r r uuuuur
r uuuuu
r r uuuuuur
�
�
u
 v  MM �
  1;5
�
��
�
Ta có u  MM , v  M M
.

Câu 8.

Đáp án C.
Tvr  A  A�
� A��
B  AB  5
Tvr  B  B�
Ta có
.

Câu 9.

Đáp án A.
Ta tìm được

r uuur
G  1;3 � u  AG   4;3


uuur uuuu
r
uur  G   G�
TuAG
� AG  GG�
� G�
 5;6

.

Câu 10. Đáp án A.

x  5y  c  0  �

Ảnh của  có dạng

Chọn

A 1;0 � : Tvr  A  A�
 x; y ��� A� 5;2

: 5 10  c  0 � c  15
thế vào �

� �

: x  5y  15  0 .

Câu 11. Đáp án D.
Điểm

M  x; y �

biến thành

�x�
 x 4
��
M  x��
; y  �� �y�
 y 2

, y vào
thay x��

�
:2x  y  11 0 .

Câu 12. Đáp án C.
A 1; 1 �
Chọn
Thử đáp án C
Câu 13. Đáp án B.
Đường tròn

� Tvr  A  A�

� A�
 1;0 ��(thỏa mãn)

 C

có tâm

I  2;1

, bán kính R  2

I�
 Tvr  I  � I �
 3;4 �  C� :  x  3   y  4  4
2

Ta có

Câu 14. Đáp án C.
Đường tròn
Ta có

 C

có tâm

I  4;0

2

.

, bán kính R  4

Tvr  I   I �
 7; 1

 C� :  x  7   y  1
Vậy đường tròn ảnh là
2

2

 16

Câu 15. Đáp án B.
M  x; y � C 
Sử dụng quỹ tích điểm
:
 C  ta được đáp án B.
Thay vào

�x�
 x  1 �x  x�
1
��
��
T  M   M�
; y  � C�
 x��

 �y� y 2 �y  y� 2
r
v

Câu 16. Đáp án A.
Sử dụng quỹ tích điểm :
Thay vào

 E

Tvr  M   M �
;y 
 x��

với mọi điểm

�x  x�
2
��
M  x; y � E 
2
�y  y�

ta được đáp án A.

Câu 17. Đáp án A.
�
�x1� x1.cos  y1.sin  a
�
�y � x1.sin  y1.cos  b

Ta có �1

�
�x2� x2.cos  y2.sin  a
�
�
�
�y2  x2.sin  y2.cos  b




� M ��
N 



 



2

2

x2�
 x1�  y2�
 y1�







 x  x   y y 





2





2



2



2

x2�
 x1� cos2   y2�
 y1� sin2   x2�

 x1� sin2   y2�
 y1� cos2 
2

2

1

2

2

1

�d

 x  x   y y 
2

2

1

2

1

2

.

Câu 18. Đáp án C.
g x  f  x  a  b
Ta có

 x  a   x  a  1 b
x2
�

x 1
x a1
2
2
x   2a  b 1 x  a2  ab a  b 1
x
�

x 1
x a1
2

�
a  2
��
� a.b  6
b  3
�

.

Câu 19. Đáp án C.
Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là
Twur  M   M �
 2m;1 3m

r
ur
n  2; 3 � w   2m; 3m

, với M �d

Twur  d  d�
� d�
có dạng 2x  3y    0

Vì d�qua M � 4m 3 9m   0 �   3 13m.
� d�
:2x  3y  3 13m 0

Để

d1 �d�
� 3 13m 5 � m

16 24 �
8
r �
8 �w
 � ;  �� a  b  
13 .

�13 13 �
13

Câu 20. Đáp án C.
Thật vậy theo biểu thức tọa độ của

r
�x�
 x a �
a 2
��
� v   2; 3
�
Tvr  M   M ��y�
 y b �
b  3

Câu 21. Đáp án D.
Tvr  A  C � C  2;11

Tvr  B  D � D  0;1

uuu
r
uuur
uuur
AB   2; 10 , CD   2; 10 , BC   3;15
uuur
uuur
uuur uuu

r uuur
AD   1; 5 � BC  3AD, AB  CD � A, B,C, D
Câu 22. Đáp án B.

thẳng hàng.

.


Cách 1 : Thử các tọa độ M , N ta được kết quả AM  MN  NB nhỏ nhất với M �d, N �Ox và
MN  d .
Cách 2 :
A

d1

H

A1

M

d2 K
N
B

Gọi H �d1, K �d2 sao cho HK  d1 .
uuur
T
Gọi là phép tịnh tiến theo vectơ HK

Gọi

uuu
r  A , A B �d  N , M �d
A1  TuHK
1
2
1

với MN  d1

AM  MN  NB nhỏ nhất � AM  NB nhỏ nhất ( MN không đổi)
AM  NB  A1N  NB �A1B

Dấu "  " xảy ra khi N  A1B �d2
Lấy
Gọi

A1  1;1

, điểm N cần tìm là giao điểm của A1B và trục hoành.
uuuu
r
uuur
N  x0;0 � A1N   x0  1; 1 , A1B   2; 5

x0  1 1
�7 �
�7 �
7

uuuur
uuur

� x0  � N � ;0� M � ;2�
5
5
�5 �và �5 �.
Vì A1N và A1B cùng phương nên 2


PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A. LÝ THUYẾT
I. Phép đối xứng trục
1. Định nghĩa
Phép đối xứng qua một đường thẳng a là phép biến hình biến điểm M thành điểm M �đối xứng với M
qua đường thẳng a .
Kí hiệu : �a ( a là trục đối xứng)
uuuuuur
uuuuur
�a  M   M �
� M0 M �
  M0M

với M0 là hình chiếu của M trên a .

M

�a  M   M � M �a

M0

�a  M   M �
� �a  M �
 M

a

M'

a là trung trực của đoạn MM �.
2. Tính chất
Tính chất 1 : Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Tính chất 2 : Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
A
d

B

O R
C
a
C'

B'

O'

d'

R'

A'

Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba
điểm đó.
3. Trục đối xứng của một hình
Đường thẳng a gọi là trục đối xứng của hình H nếu �a biến hình H thành chính nó. Khi đó H được gọi
là hình có trục đối xứng.
4. Biểu thức tọa độ
� : M  x; y � M �
;y 
 x��
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy : a
�x  x�
a �Ox � �
�y   y�
Nếu


�x   x�
a �Oy � �
�y  y�
Nếu
y

y

y

M
x

O
y'

x

y' y

M'

x'

M
x

M'

x

O

x'

II. Phép đối xứng tâm
1. Định nghĩa
Cho điểm I . Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M �sao cho I
là trung điểm MM �được gọi là phép đối xứng tâm I .
Kí hiệu: �I ( I là tâm đối xứng)

uuur
uuu
r
�I  M   M �
� IM �
  IM

M'
I
M
I
Nếu M �

M� I .

Nếu M �I � I là trung điểm của MM �
.
2. Tính chất
Tính chất 1 : Nếu

uuuuur
uuuu
r
�I  M   M � �I  N   N� M ��
N  MN .
và
thì N   MN , từ đó suy ra M ��

Tính chất 2 : Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến
đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nóm biến đường tròn thành

đường tròn có cùng bán kính.
Phép đối xứng tâm biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba
điểm đó.
Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.


A
B

A

B

C

I
A'

B'

O

C'

I

A
B'

I

A'

A'

O'

3. Tâm đối xứng của một hình.
Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó. Khi
đó H được gọi là hình có tâm đối xứng.
4. Biểu thức tọa độ
Trong

mặt

phẳng

tọa

độ

Oxy ,

cho

I 0  x0; y0 

,

M  x; y

gọi

và

M�
;y 
 x��

với

�
 2x0  x
�x�
�I  M   M �
��
 2y0  y
�y�

I
M(x;y)

M'(x';y')

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, ĐỐI XỨNG TÂM
DẠNG 1. KHAI THÁC DỊNH NGHĨA, TINH CHẤT VA ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
VÀ ĐỐI XỨNG TÂM.
Phương pháp :
- Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
- Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
- Tìm quỹ tích điểm thông qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm.

- Vận dụng đối xứng trục, đối xứng tâm để giải các bài toán hình học khác…
Ví dụ 10: Cho đường thẳng a . Qua phép đối xứng trục a , đường thẳng nào biến thành chính nó.
A. Các đường thẳng song song với a .
B. Các đường thẳng vuông góc với a .
0
C. Các đường thẳng hợp với a một góc 60 .
0
D. Các đường thẳng hợp với a một góc 30 .


Đáp án B.
Lời giải:

A

l
a

A'

Giả sử l là đường thẳng vuông góc với a .
D A �A�
� AA�
 a � A�
�l và ngược lại vẫn thỏa mãn � Da  l   l .
Lấy A �l và a  

Ví dụ 11: Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d �. có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng
này thành đường thẳng kia?
A. Không có.

B. Một.

C. Hai.

D.Vô số.

Lời giải:
Đáp án C.
Có 2 phép đối xứng trục với các trục là hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
cắt nhau d và d �.

Ví dụ 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình vuông có vô số trục đối xứng.
B. Hình chữ nhật có 4 trục đối xứng.
C. Tam giác đều có vô số trục đối xứng .
D.Tam giác cân nhưng không đều có 1 trục đối xứng.
Lời giải:
Đáp án D.
Tam giác cân nhưng không đều có một trục đối xứng là đường cao ứng với đỉnh của tam giác
cân đó.
Ví dụ 13: Hình nào dưới đây có một tâm đối xứng?