TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ 4 PHÉP CHIA ĐA THỨC

Chuyên đề 4
PHÉP CHIA ĐA THỨC

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Chia đơn thức A cho đơn thức B :
- Chia hệ số của A cho hệ số của B ;
- Chia luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của cùng biến đó trong B ;
- Nhân các kết quả với nhau.
2. Chia đa thức cho đơn thức : (A + B) : C = A : C + B : C
3. Chia đa thức A cho đa thức B.
Cho A và B là hai đa thức tuỳ ý của cùng một biến (B  0), khi đó tồn tại duy nhất
một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R, trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ
hơn bậc của B.
Q gọi là đa thức thương và R gọi là dư trong phép chia A cho B.
Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết.
KIẾN THỨC BỔ SUNG
1. Có thể dùng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia :
Ví dụ :




A

3

+ B3  :  A + B  = A 2 - AB + B2



A

3

- B3  :  A - B  = A 2 + AB + B2



A

2

- B2  :  A + B  = A - B .

2. Định lí Bê - du* :
Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho (x - a) đúng bằng f(a).
Ví dụ : Nếu f  x  = 3x 4 - 5x 3 + 2 thì;
- Số dư trong phép chia f(x) cho (x - 2) là f(2) = 1.0.
- Số dư trong phép chia f(x) cho (x - 1) là f(1) = 0, nghĩa là f(x) chia hết cho
(x - 1).,
3. Hệ quả của định lí Bê-đu :
Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chia hết cho (x - a).
Người ta cũng chứng minh được rằng :
Nếu đa thức f(x) nhận n số nguyên khác nhau a1 , a 2 , ... , a n làm nghiệm thì f(x)
chia hết cho (x - a1 )(x - a 2 ) ... (x - a n ).
4. Áp dụng hệ quả của định lí Bê-du vào việc phân tích đa thức thành nhân tử. Nếu
đa thức f(x) có nghiệm x = a thì khi phân tích f(x) thành nhân tử, tích sẽ chứa nhân
tử (x - a), nghĩa là f(x) = (x - a).q(x).


Mở rộng : Nếu f(x) nhận n số nguyên khác nhau a1 , a 2 , ... , a n làm nghiệm thì khi

phân tích f(x) thành nhân tử, tích sẽ chứa các nhân (x - a1 )(x - a 2 ) ... (x - a n ) nghĩa
là f(x) = (x - a1 )(x - a 2 ) ... (x - a n ).q(x).
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
5 n
n+1 4
n-1 3
Ví dụ 22. Cho A = 8x y - 12x y ; B= 24x y Xác định giá trị của n  N* để

A  B.
Giải.
5  n  1
n  6

A  B  n  1  n  1  
 n  {3, 4, 5, 6}
n

3

n  3


Ví dụ 23. Xác định giá trị của a để đa thức
2

A = 2x 3 - 54x + a chia hết cho đa thức B =  x + 3 .
Giải
 Cách 1: Thực hiện phép chia rồi buộc đa thức dư bằng đa thức 0

 Cách 2: Phương pháp đồng nhất hệ số :
3
2
Vì 2x : x = 2x nên thương là đa thức bậc nhất có dạng 2x + b.





3
2
Ta có 2x - 54x + a = x + 6x + 9  2x + b  với mọi x

2x 3 - 54x + a = 2x 3 + bx 2 + 12x 2 + 18x + 6bx + 9b với mọi x
2x 3 - 54x + a = 2x 3 +  b + 12  x 2 +  6b + 18  x + 9b với mọi x.
 b + 12 = 0
b = -12

Suy ra: 6b + 18 = -54 <=> a = -108 .

a = 9b


 Cách 3 : Phương pháp xét giá trị riêng của biến
3
vì 2x - 54x + a chia hết cho  x + 3 

2

2

nên 2x 3 - 54x + a =  x + 3  .Q với mọi x.
Vì đẳng thức đúng với mọi x nên ta cho x = -3, được -54 + 162 + a = 0
Vì đẳng thức đúng với mọi x nên ta cho x = -3, được -54 + 162 + a = 0
<=> a = 54 - 162 = -108.
2

Khi đó 2x 3 - 54x - 108 =  x + 3   2x - 12  nên A  B.
Vậy với a = -108 thì A  B .


Nhận xét. Trong cách giải thứ ba tại sao ta cho x = -3 mà không cho x lấy các giá
trị khác ? Đó là vì khi x= -3 thì vế phải bằng 0, vế trái tính được dễ dàng, từ đó tìm
được a.
Vì thế phương pháp này gọi là phương pháp xét giá trị riêng của biến.
Ví dụ 24. Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của đa thúc
A = 12 x 3 - 7 x 2 - 14 x + 14 chia hết cho giá trị của đa thức B = 4x - 5.

Giải

Vậy đa thức A không chia hết cho đa thức B. Muốn cho giá trị của đa thức A
chia hết cho giá trị của đa thức B thì 9 phải chia hết cho giá trị của 4x - 5. Suy ra
4x - 5  Ư(9)
Suy ra 4x - 5  {1 ; -1 ; 3 ; -3 ; 9 ; -9}

4x - 5

1

-1

3

-3

9

-9

4x

6

4

8

2

14

-4

x

1,5

1

2

0,5

3,5

-1


Các giá trị 1,5 ; 0,5 ; 3,5 bị loại vì không phải là số nguyên. Do đó x  {1 ; 2 ; -1}.
Ví dụ 25. Xác định các hệ số a và b để đa thức
A = x 3 + 5x 2 + ax + ba chia cho x - 2 dư 3 ; chia cho x + 2 dư -5.
Giải
Vì A chia cho x - 2 dư 3 nên x 3 + 5x 2 + ax + b =  x - 2  .Q1 + 3

(1)

Vì A chia cho x + 2 dư -5 nên x 3 + 5x 2 + ax + b =  x + 2  .Q2 - 5

(2)

Thay x = 2 vào (1) rồi thay x = -2 vào (2), ta được :
8 + 20 + 2a + b = 3
b + 2a = -25
a = -2
<=> 
<=> 

-8 + 20 - 2a + b = -5
b - 2a = -17
a = -21.

Ví dụ 26. Tìm đa thức dư trong phép chia sau :

x

105

+ x 90 + x 75 + ... + x15 + 1 :  x 2 - 1 .

Giải. Đa thức chia có bậc hai nên đa thức dư có bậc không quá 1. Vậy đa thức dư
có bậc nhất dạng ax + b.
105
90
75
15
2
Ta có  x + x + x + ... + x + 1 =  x - 1 .Q + ax + b

8 = a + b
<=> a = b = 4.
Cho x = 1 rồi x = -1 ta được : 
0 = -a + b

Vậy dư trong phép chia nói trên là 4x + 4.


Ví dụ 27. Phân tích đa thức thành nhân tử 
f  x   = x 4  - 5x 3  + 10x 2  - 20x + 24.  

Giải. Ta có f(2) = 16 - 40 + 40 - 40 + 24 = 0. 

                   f(3) = 81 - 135 + 90 - 60 + 24 = 0. 
Vậy x = 2, x = 3 là nghiệm của f(x). 





2
Do đó f(x) = (x - 2)(x - 3).q(x), suy ra  q  x   = f  x   :  x  - 5x + 6 .  

Làm tính chia ta được  
                 x 4  - 5x 3  + 10x 2  - 20x + 24   :   x 2  - 5x + 6   = x 2  + 4.  
Do đó   5x 3  + 10x 2  - 20x + 24 =   x - 2  x - 3  x 2  + 4  .  
C. BÀI TẬP
1. Làm tính chia :    



 



4 3
3 3
m 3
m
2
m 2
a)  -x y  : -x y ;                    b)  21x y  - 14x +2y  :  -7x y , với m    N 

c)   20  x - y 

n+2

 + 15  x - y 

n+1

 - 10  x - y   , với m    N*. 


2. Tìm n    N* để : 
1
2

a) Đơn thức  C =  x 2n y5  chia hết cho đơn thức  D = -3x n+2 y n+1 . 
b) Đa thức  M = 9x 8 y n+3  - 15x n+1 y n  chia hết cho đơn thức  N = 6x n y6 . 


Cho biểu thức  P =   3x 3 y 2  - 6x 2 y3   : 3xy 2  + 10x 2 y5  : 5x 2 y3 . Chứng minh rằng P luôn 
luôn có giá trị dương với mọi giá tri x    0, y    0. 
3. Không làm tính chia, hãy tìm dư trong phép chia đa thức 
 f  x   = x 4  - 6x 3  + 2x + 28  

cho các đa thức sau : 
a) g1  x   = x - 1 ;         b) g 2  x   = x + 1 ;         c) g3  x   = x - 2.  

4. Làm tính chia bằng cách dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ : 
a)   x 3  - 12x 2  + 48x - 64   :   x 2  - 8x + 16  ;       
b)   x 3  - 27  :   x 2  + 3x + 9  ;

 

5. Tìm các giá trị của a để : 
a) Đa thức  6x 2  + 5ax - 4  chia cho đa thức (x - 2) còn dư 10. 
b) Đa thức  f  x   = x 4  + 5x 3  - 2x 2  + ax + 40  chia hết cho đa thức  x 2  - 3x + 2 . Khi 
đó giá trị nhỏ nhất của thương là bao nhiêu ? 
6. Tìm các giá trị của a và b để đa thức  A = 4x 3  + ax 2  + bx + 5 chia hết cho đa thức  
B = x 2  - x + 1.  

7. Xác định các hệ số a, b để : 
a) Đa thức  x 4  + 3x 3  - 17x 2  + ax + b chia hết cho đa thức  x 2  + 5x - 3 . 
b) Đa thức  x 5  + 7x 4  + ax 2  + bx + 72 chia hết cho đa thức  x 3  - 2x 2  + 4 . 


8. Xác định các hệ số a và b để : 
a) Đa thức  4x 3  + ax + b  chia cho đa thức  x 2  - 1 dư 2x - 3. 
b) Đa thức  5x 3  + 2x 2  + ax + b chia cho đa thức  x 2  + 5 dư 1. 
2

9. Tìm a và b để đa thức  f  x   = ax n  + bx n-1  + 1  chia hết cho đa thức   x - l   với n e 
N*. 
10. Tìm các giá trị nguyên của x để :
a) Giá trị của đa thức  A = 10x 3  - 23x 2  + 14x - 5 chia hết cho giá trị của đa thức  
B = 2x - 3. 
b) Giá trị của đa thức  A = 3x 4  + 17x 3  + 4x 2  - 4x + 7 chia hết cho giá trị của đa thức 
 B = 3x + 2.