HỆ TOẠ ĐỘ ĐỀ CÁC VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ CỦA VÉC TƠ VÀ CỦA ĐIỂM

Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng

Đ1 hệ toạ độ đề các vuông góc trong
không gian. toạ độ của véc tơ và của điểm
1. Hệ toạ độ Đề các vuông góc trong không gian
Trục:ox,oy,oz

r r r

Cho ba trục Ox Oy Oz Ox Gọi các véc tơ i , j,k là các véc tơ đơn vị tơng ứng trên các trục
đó. Hệ trục nh vậy gọi là hệ trục toạ độ đề các vuông góc trong không gian.
Trục Ox gọi là trục hoành
Trục Oy gọi là trục tung
Trục Oz gọi là trục cao
2. Toạ độ của véc tơ đối với hệ toạ độ
r r r
r
- Cho hệ toạ độ Oxyz và một véc tơ v tuỳ ý . vì ba véc tơ i , j,k không đồng phẳng nên ! (x ;
y ; z) sao cho :

r r r
r
v = xi + yj + zk
r

Bộ ba số (x ; y ; z) là toạ độ của véc tơ v và kí hiệu là :
Vậy :

r r r
r

r
v = xi + yj + zk v(x;y;z)

r
r
v = (x;y;z) hoặ
c v(x;y;z)

3. Định lí - các phép toán của toạ độ
r
r
Đối với hệ toạ độ Oxyz nếu v(x;y;z)vàv'(x';y';z') thì ta có :

r r
a)v + v' = (x + x';y + y';z + z')
r r
b)v v' = (x x';y y';z z')
r
c)kv = (kx;ky;kz), k R
x = x'
r uu
r

d)v = v' y = y'
z = z'


Chứng minh : ( Sgk)
4. Toạ độ của một điểm
uuuu

r
Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm M bất kỳ. Toạ độ của véc tơ OM là toạ độ điểm M
uuuu
r
Từ đó ta có : OM = (x;y;z) M(x;y;z)

M Ox M ( x;0;0 )
M Oy M ( 0; y;0 )
M Oz M ( 0;0; z )

M ( 0 xy ) M ( x; y;0 )
M ( 0 yz ) M ( 0; y; z )
M ( 0 xz ) M ( x;0; z )
5. Định lí
Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho hai điểm A(x ; y ; z) , B(x;y;z) khi đó :

uuur
AB = (x' x ; y' y ; z' z)

6. Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số cho trớc
uuur
uuur
Bài toán : Giả sử điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k 1) MA = kMB . Hãy tìm toạ độ điểm M
Giải
Phân tích bài toán theo toạ độ và các tính chất đã học ta có :


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng
xM =

xA kxB
y kyB
z kzB
; yM = A
; zM = A
1 k
1 k
1 k

Nếu M là trung điểm AB thì ta có toạ độ của M là trung bình cộng toạ độ hai điểm A và B:
Đ2 biểu thức toạ độ của tích vô hớng
tích có hớng của hai véc tơ và áp dụng
1. Định lí:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai véc tơ

r
r
a= (x;y;z) vàb= (x';y';z') (*) thì :

ur r
a.b = xx'+ yy'+ zz'

(1)

Công thức (1) gọi là biểu thức toạ độ tích vô hớng của hai véc tơ
Ta có :

r
a2 = x2 + y2 + z2

r
a = x2 + y2 + z2

2. Khoảng cách giữa hai điểm
Cho A( x ; y ; z) : B(x ; y ; z) ta có

AB = (x' x)2 + (y' y)2 + (z' z)2

(2)

3. Góc giữa hai véc tơ
Cho hai véc tơ (*) gọi là góc giữa hai véc tơ ta có

rr
a.b
xx'+ yy'+ zz'
cos = r r =
a. b
x2 + y2 + z2 . x'2 + y'2 + z'2

Hệ quả:góc của hai đờng thẳng
Hệ quả:góc của hai mặt phẳng

r r
rr
a b a.b = 0

4. Tích vô hớng của hai véc tơ và ứng dụng
a) Bài toán : Chứng minh rằng hai véc tơ (*) cùng phơng khi và chỉ khi cả ba định thức cấp 2 đều bằng không

y z z x x y
;
;

ữ(2)
y' z' z' x' x' y'

Chứng minh : sgk
b) Định nghĩa : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai véc tơ

r
r
a= (x;y;z) vàb= (x';y';z')

rr y z z x x y
[a.b] =
;
;
ữ
y' z' z' x' x' y'
c) Tính chất :
r r
rr r
i)a,bcù ngph ongkhi vàchỉkhi[a.b] = 0
r
r r r
r r
ii)[a,b] a và [a,b] b
rr
r r

iii) [a.b] = a . b .sin
uuur uuur
d)Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = [AB.AC]
e) Diện tích tam giác

SABC =
f) Điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ

g) Thể tích hình hộp

1 uuur uuur
[AB.AC]
2

rr r
[a.b].c = 0

uuur uuuur uuuur
VABCD.A 'B'C'D' = [AB.AD].AA '


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng
h)Thể tích hình chóp ABCD:

VABCD =

r uuur
1 uuur uuuu
[AB.AC].AD

6

Bài tập về
nhàr số 1r
r

ur

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho a ( 2; 1;3) ; b(4; 2;5); c ( 3;1; 2 ) ; d (5;3; 6)

ur

r

r

r

(
r

r

r

)(
r

r

r

a)Tính x = a + 2b 3c; y = a b a + b

)

ur
r
b) Tì
m x,y,z sao cho d = xa + yb + zc
uuur
uuur
r r
u
r
Bi 2: OA = ( 2;5;4) ;OB = 3i + j 2k;C ( 4;3;0)
a)CM:A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
b)Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là một hình bình hành.
c)Tìm toạ độ trong tâm của tam giác ABC.
d)Tính diện tích của hình bình hành ABCD ở trên.
Bi 3: Trong
uuurkhông
r rgian
u
r với hệ toạ độ
uuurOxyzr chor 4u
rđiểm A,B,C,D có toạ độ xác định bởi các hệ thức
A(2;4;-1), OB = i + 4 j k,C = ( 2;4;3) ,OD = 2i + 2 j k

a)CMR: AB AC ; AC AD; AD AB

b)Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A,B,C,D có toạ độ A(-4;4;0),B(2;0;4),C(1;2;1);D(7;-2;3)
a)CMR:A,B,C,D đồng phẳng.
b)Tính diện tích tứ giác ABDC.
Bài 5:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm A,B,C:A(2;-1;3);B(-10;5;3);C(2m-1;2;n+2)
a)Tìm m,n để A,B,C thẳng hàng
b)Tìm trên oy điểm N để tam giác NAB cân tại N.
c)Với m=3/2,n=7 CMR:tam giác ABC không vuông khi đó tính diện tích tam giác ABC và độ dài đờng phân giác trong và phân giác ngoài góc A.
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho 4 điểm A(6;-2;3),B(0;1;6),C(2;0;-1),D(4;1;0)
a)CM:A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b)Tính thể tích của tứ diện ABCD.
c)Tính đờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
d) Tính góc giữa hai đờng thẳng (AB) và (CD).
Bài 7:Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho ba điểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2)
a)CMR:Tam giác ABC đều và tính diện tích tam giác ABC.
b)Tìm điểm S trên trục ox sao cho hình chóp S.ABC đều.
Bài 8:Trong không gian với hệ trục oxyz cho A(1;3;1),B(-4;3;3)
đờng thẳng AB cắt mp(oyz) tại điểm M
a)Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số nào?
b)Tìm toạ độ điểm M .
c)Tìm điểm C thuộc mp(Oxy) sao cho A,B,C thẳng hàng.
Bài 9:Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho hình hộp ABCD.ABCD biết A(1;-1;2),
C(3;-1;1),B(3;5;-6),D(1;4;-6).
a)Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b)Tính thể tích của hình hộp.
Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho hình hộp ABCD.ABCD biết A(1;0;1),
B(2;1;2),C(4;5;-5),D(1;-1;1).
a)Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b)Tính thể tích của hình hộp.
Đáp án:

Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng

Đ3 phơng trình tổng quát của mặt phẳng
1. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
r r r
1.1.Định nghĩa: Véc tơ n(n 0) đợc gọi là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) nếu nó nằm
trên đờng thẳng ().
r
Kí hiệu : n ()

uuuuuu
r

r

Giả sử M0 () M () M 0M n
Vậy một nặt phẳng đợc xác định khi biết một điểm thuộc nó và một véc tơ pháp tuyến của nó

r

r

r

rr

1.2.Chú ý : Cho a(x;y;z) và b(x';y';z') không cùng phơng và cùng //() thế thì n = [a.b] là một véc tơ

pháp tuyến của mp()
- Hai véc tơ trên gọi là cặp véc tơ chỉ phơng của mp()
- Để các định véc tơ pháp tuyến của mp đi qua A, B, C ta xác định véc tơ pháp tuyến bằng cách

r uuur uuur
n = [AB.AC]

2. Phơng trình tổng quát của mặt phẳng
Trong hệ toạ độ Oxyz
2.1.Định lí: Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm có toạ độ thoả mãn phơng trình dạng
Ax + By + Cz + D = 0 (1)
với A2 + B2 + C2 0, và ngợc lại tất cả những điểm có toạ độ thoả mãn (1) là một mặt phẳng
Chắng minh : sgk
2.2. Định nghĩa. Phơng trình dạng
Ax + By + Cz + D = 0 (1) ( A2 + B2 + C2 0) đợc gọi là phơng trình tổng quát của mặt phẳng
2.3 Chú ý :
r
* Nếu M0(x ; y ; x) () và n(A;B;C) () thì phơng trình của () là :
A(x - x) + B(y - y) + C(z - z) = 0
r
*Nếu () có phơng trình (1) thì nó có véc tơ pháp tuyến là : n(A;B;C)
3. Các trờng hợp riêng của phơng trình tổng quát
3.1) D = 0 () đi qua gốc toạ độ
3.2) Một trong ba hệ số A, B, C bằng không thì mặt phẳng chứa hoặc song song với trục tơng
ứng
3.3) Nếu hai trong ba hệ số bằng không thì mặt phẳng vuông góc với trục còn lại
3.4 Phơng trình đoạn chắn

x y z
+ + =1

a b c

4. Các ví dụ :
Ví dụ 1:
Lập phơng trình mặt phẳng đi qua M(1; -2 ; 3) và // 2x - 3y + z + 5 = 0
Đáp số : 2x - 3y + z -11 = 0
Ví dụ 2: Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1 ; -2 ; 3), B(2 ; 0 ; 1), C(-1 ; 1 ; -2)


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng

Giải
Bớc 1. Ba điểm A, B, C không thẳng hàng
r uuur uuur
Bớc 2: Mặt phẳng (ABC) có véc tơ pháp tuyến là : n = [AB.AC] = (4;9;7)
Bớc 3: Phơng trình có dạng
:-4x + 9y + 7z + 1 = 0

Ví dụ 3: Cho A(1 ; 2 ; -5) ; B(3 ; 1 ; 1) tìm tập hợp những điểm M sao cho |MA 2 - MB2| = 4
Giải
Gọi M(x ; y ; z) ta có
MA2 = (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z + 5)2
MB2 = (x - 3)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2
4x - 2y + 12z + 19 = 0
Bài 2: Lập phơng trình mặt phẳng đi qua
M(x ; y ; z) và lần lợt song song với các mặt
Đáp số : //Oxy là z = z ; //Oyz là x = x và //Ozx là y = y
Ví dụ 4Bài 3: Lập phơng trình của mặt phẳng trong các trờng hợp sau :
a) Đđi qua A(1 ; 3 ; -2) và vuông góc với Oy

Véc tơ pháp tuyến là (0 ; 1 ; 0) nên phơng trình có dạng : y = 3
b) Đáp số : x - 6y + 4z + 25 = 0
c) Đáp số : 2x - y + 3z + 7 = 0
Bài 4: Mặt phẳng trng trục của M1M2:Đáp số x - 2y + 2z + 3 = 0
Đ4 vị trí tơng đối của hai mặt phẳng chùm mặt phẳng
1. Một số qui ớc, kí hiệu
Cho hai bộ số (A1,A2 An) và (A1,A2 An). Hai bộ số đợc gọi là tỉ lệ với nhau nếu :
A1 = tA1; A2 = tA2. . .An = tAn
và kí hiệu : A1:A2 :: An = A1: A2 ::An
Kí hiệu khác :

A1 A 2
A
= ' = ... = 'n
'
A1 A 2
An
2.Vị trí tơng đối của hai mặt phẳng
Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng
() : Ax + By + Cz + D = 0
() : Ax + By + Cz + D = 0
Khi đó
a) () cắt () A : B : C A : B : C
b) () // () A : B : C = A : B : C và
A : B : C : D A : B : C : D
c) () () A : B : C : D =A : B : C : D
VD:
Bài 1.(SGK TR 87) Xét vị trí tơng đối của các cặp mặt phẳng
Đáp số :
a) Cắt nhau

b) cắt nhau
c) Cắt nhau
d) Song song
e) Trùng nhau
Bài 2: <sgk tr87> Xác định các giá trị l và m để các cặp mặt phẳng song song


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng

a) để hai mặt phẳng song song với nhau điều kiện cần và đủ là :

b) Đáp số : l=1/2 ; m = 4

2 l
2 3 m = 4
= =

m 2 4 7 l = 1

3. Chùm mặt phẳng
Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng cắt nhau lần lợt có phơng trình
() : Ax + By + Cz + D = 0
(1)
() : Ax + By + Cz + D = 0
(1)
a) Định lí: Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của () và () đều có phơng trình dạng
m(Ax + By + Cz + D) + n(Ax + By + Cz + D)=0 (2)
(m2 + n2 0) và ngợc lại
b) Định nghĩa . Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng trên gọi là một chùm

mặt phẳng.
Phơng trình (2) gọi là phơng trình của chùm mặt phẳng
c) Ví dụ:
VD1: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng
2x - y + z + 1 = 0 và x + 3y - z + 2 = 0 và đi qua điểm M(1 ; 2 ;1)
Giải
Phơng trình chùm có dạng :
m(2x - y + z + 1) +n(x + 3y - z + 2) = 0
(2m+n)x +(3n-m)y + (m-n)z + m + 2n = 0
Điểm M(1 ; 2 ;1) chùm nên ta có
(2m+n).1 +(3n-m).2 + (m-n).1 + m + 2n = 0
m + 4n = 0 chọn m = 4, n = -1 thay lại ta có
7x - 7y + 5z + 2 = 0
VD2: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng
2x - y + z + 1 = 0 và x + 3y - z + 2 = 0 và
a)song song với trục ox
b)vuông góc với mặt phẳng :x+2y-z+3=0
VD3 Hai mặt phẳng cho bởi pt
2x - my + 3z - 6 + m = 0 ;(m + 3)x - 2y + (5m + 1) - 10 = 0
a) Hai mặt phẳng song song : Không m
b) Hai mặt phẳng trùng nhau m = 1
c) Hai mặt phẳng cắt nhau m 1


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng

Bài tập về nhà số 2
Bài 1 Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2,3,2) và
cặp VTCP là

a (2,1,2);

b(3,2,1)

Bài 2: Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1,1,1) và
1) Song song với các trục 0x và 0y.
2) Song song với các trục 0x,0z.
3) Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 3: Lập phơng trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1,-1,1) và B(2,1,1) và :
1) Cùng phơng với trục 0x.
2) Cùng phơng với trục 0y.
3) Cùng phơng với trục 0z.
Bài 4: Xác định toạ độ của véc tơ n vuông góc với hai véc tơ a (6,1,3); b(3,2,1) .
Bài 5: Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP là a (2,7,2); b(3,2,4)
Bài 6: Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :
1) (P) đi qua điểm A(-1,3,-2) và nhận n(2,3,4); làm VTPT.
2) (P) đi qua điểm M(-1,3,-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng
Bài7: Lập phơng trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2,6,-3) và song
song với các mặt phẳng toạ độ.
Bài 8: (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1,2,3) và hai mặt phẳng (P):
x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với
hai mặt phẳng (P),(Q).
Bài9: Xét vị trí tơng đối của các cặp mặt phẳng sau:
x = 3 + 2t1

1) (P1): y-z+4=0, và ( P2 ) : y = 1 t1 4t 2 , ( t1 , t 2 R )
z = 5 t 4t
1
2

x = 1 + 2t1 + 3t 2

2)(P1): 9x+10y-7z+9=0 ( P2 ) : y = 7 + t1 2t 2 , ( t1 , t 2 R )
z = 3 + 4t + t
1
2


Bài 10:Lập phơng trình mặt phẳng đi qua điểm M(2,1,-1) và qua hai giao tuyến
của hai mặt phẳng (P1) và (P2) có phơng trình :
(P1): x-y+z-4=0 và (P2) 3x-y+z-1=0
Bài 11: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P1): y+2z-4=0 và (P2) :
x+y-z-3=0 và song song với mặt phẳng (Q):x+y+z-2=0.
Bài 12: Lập phơng trình của mặt phẳng qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng
(P1): 3x-y+z-2=0 và (P2): x+4y-5=0 và vuông góc với mặt phẳng (Q):2x-z+7=0.
Đáp số:

Đ5 phơng trình của đờng thẳng
1.Véctơ pháp tuyến cuả đờng thẳng
2. Véctơ chỉ phơng cuả đờng thẳng
3. Phơng trình tổng quát của đờng thẳng
Trong Kg với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng : () () = d

Ax + By + Cz + D = 0
(1)

A 'x + B'y + C'z + D' = 0

Khi đo M (x ; y ; z) d toạ độ của nó thoả mãn :

trong đó : A : B : C A: B : C
- Hệ (1) goi là phơng trình tổng quát của đờng thẳng
Chú ý:

uu
r

uur uur

1) ud = n , n '
2)Cách chọn điểm M(x0;y0;z0) d
3)Đk để hệ (1) là pttq của mặt phẳng


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng

4. Phơng trình tham số của đờng thẳng
Đờng thẳng hoàn toán xác định khi biết một điểm thuộc nó và một véc tơ chỉ phơng của nó
r
Cho điểm M(x0 ; y0 ; z0) d và véc tơ chỉ phơng v(a;b;c) khi đó mọi điểm M(x ; y ; z) thoả mãn

x = x0 + at

2
2

2
y = y0 + bt (a + b + c 0) (2)
z = z + ct
0


Hệ phơng trình (2) gọi là phơng trình tham số của đờng thẳng
Chú ý:1.
2.
3.
Vd:
4. Phơng trình chính tắc của đờng thẳng

x x0 y y0 z z0
(3)
=
=
a
b
c

Phơng trình (3) gọi là phơng trình chính tắc của đờng thẳng
Vd:

Tìm véctơ chỉ phơng của các đờng thẳng sau
x 1 y + 2 z +1
=
=
3
4

3
x y + 4 z + 10 = 0
2) ( d ) :
2 x 4 y z + 6 = 0

1) (d ) :

5. Chuyển đổi các dạng phơng trình đờng thẳng

Đ6 vị trí tơng đối của đờng thẳng
và mặt phẳng
1. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Cho hai đờng thẳng d và d có phơng trình
d: x = x0 + at ; y = y0 + bt ; z = z0 + ct
d: x = x0 + at ; y = y0 + bt ; z = z0 + ct
Từ đó ta có :

r
v(a;b;c) ;M (x0;y0;z0 )
r
v'(a';b';c') ;M ' (x'0;y'0;z'0 )
uuuuuuur
M M ' (x'0 x0;y'0 y0;z'0 z0 )

Ta có các kết luận :


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng

r ur
r
v, v ' = 0


a) d // d r uuuuur
r
v, MM ' 0



r ur
r
v , v ' = 0


b) Hai đờng thẳng trung nhau r uuuuur
r
v, MM ' = 0


r ur
r
v, v ' 0


c) Hai đờng d và d cắt nhau r ur uuuuur r
v, v ' .MM ' = 0

r ur uuuuur r
d) Hai đờng thẳng chéo nhau v, v ' .MM ' 0
r ur uuuuur r
e) Hai đờng thẳng đồng phẳng v, v ' .MM ' = 0

Chú ý:sơ đồ sét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
Vd1:Xác định vị trí tơng đối của hai đờng thẳng d1 và d2 trong các trờng hợp sau.

x = 1 + t
x2 y5 z 7
a ) ( d1 ) : y = 2 + 3t , ( d 2 ) :
=
=
1
3
4
z = 3 + 4t
x 1 y 1 z 2
b) ( d1 ) : x + y 1 = 0 , ( d 2 ) :
=
=
4 y + z +1 = 0
1
1
4
x = 1 + t
x 1 y + 2 z 4
c) ( d1 ) : y = t
, ( d2 ) :
=

=

2
1
3
z
=

2
+
3
t

x = 1 + 2t
x = 2 + u
d ) ( d1 ) : y = 2 + t
, ( d 2 ) : y = 3 + 2u
z = 3 + 3t
z = 1 + 3u

{

Đs:a)trùng nhau
b)song song
c)cắt nhau
d)chéo nhau
2.Giao điểm của hai đờng thẳng
M ( x; y; z ) = d1 d 2 Khi tọa độ của M thỏa mãn hệ pt
Vd2:Tìm giao điểm của hai đờng thẳng d1 và d2 trong các trờng hợp sau.

{

{

a ) ( d1 ) : 2 x + y + 1 = 0 , ( d 2 ) : 3x + y z + 3 = 0
x y + z 1 = 0
2x y +1 = 0
x
=

1
+
t

x 1 y + 2 z 4
b) ( d1 ) : y = t
, ( d2 ) :
=
=

2
1
3
z
=

2
+
3
t

1 3
Đs:a) ;0; ữ
b)(1;-2;4)
2 2

3. Vị trí ttơng đối của đờng thẳng và mặt phẳng
Trong không gian cho đờng thẳng d và mp()
d: x = x0 + at ; y = y0 + bt ; z = z0 + ct
(): Ax + By + Cz + D = 0

uu
r uur
ud .n = 0
a )d //( )
( d ) M ( )
Muu
r uu
r
ud .n = 0
b)d ( )
Mu
ur( d ) M ( )
u
ru
c) d cat ( ) uuu
dr.n
uur 0 r

d )d ( ) ud , n = 0

Vd3:Xét vị trí tơng đối của (d)và mp()


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng

x y 6 z
=
= va ( p ) : 3 x + 2 y + z 12 = 0
1
3
3
2
x
+
y
+
1
=
0 va p : x + 2 y z 4 = 0
b) ( d ) :
x y + z 1 = 0 ( )
x = 1 + t
c) ( d ) : y = t
va ( p ) : x + 2 y z 3 = 0
z
=

2

+
3
t

a) ( d ) :

{

Vd4:Cho mp(P) và đờng thẳng (d) có phơng trình.

{ 3x + y + 2 z 4 = 0

(P):2x+my+z-5=0 và (d ) : x y + 2 z 7 = 0
a)Tìm m để (d)//(P)
b)tìm m để (d) cắt (P)
Đs:a)m=1
b)m khác 1

4.Tìm giao điểm giữa đờng thẳng và mặt phẳng
Vd5: Tìm giao điểm giữa đờng thẳng và mặt phẳng

{

a ) ( d ) : 2 x + y + 1 = 0 va ( p ) : x + 2 y z + 2 = 0
x + y + z 1 = 0
x = 1 + t
b) ( d ) : y = t
va ( p ) : x + 2 y z 5 = 0
z
=

2
+
3
t

Kq : a) ( ; ; ) b) ( 2;1; 5 )

Bài tập về nhà số 3

Bài 1:Lập phơng trình đờng thẳng (d) trong các trờng hợp sau :
1) (d) đi qua điểm M(1,0,1) và nhận a (3,2,3) làm VTCP
2) (d) đi qua 2 điểm A(1,0,-1) và B(2,-1,3)
Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phơng trình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng
(P) : x-3y+2z-6=0 và các mặt phẳng toạ độ
Bài 3: Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng đi qua điểm M(2,3,-5) và song song với đờng thẳng (d) có phơng trình


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng
3x y + 2 z 7 = 0
x + 3 y 2z + 3 = 0

( d ) :

Bài 4: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3,0,0), B(0,6,0), C(0,0,9). Viết phơng trình tham số
của đờng thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác
đó

x y + 4 z + 10 = 0

2 x 4 y z + 6 = 0

Bài 5:Cho đờng thẳng (d) có phơng trình : ( d ) :

Hãy viết phơng trình tham số của đờng thẳng đó

x y + 4 z + 10 = 0
2 x 4 y z + 6 = 0

Bài 6:Cho đờng thẳng (d) có phơng trình : ( d ) :

Hãy viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng đó

x = t

Bài 7:Cho đờng thẳng (d) có phơng trình : ( d ) : y = 2 + 2t , t R
z = 1 + 2t

Hãy viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng đó
Bài 8:Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm
A(2,1,3) và vuông góc với mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
(P): x+2y+3z-4=0
Bài 9:Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm
A(1,2,3) và song song với đờng thẳng (d1) cho bởi :

x = 2 + 2t
d
:
1) ( 1 ) y = 3t
z = 3 + t

{ x + y 1 = 0

2) ( d1 ) : 4 x + z + 1 = 0

tR.

Bài 10:Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm
A(1,2,3) và vuông góc với 2 đờng thẳng :

2x + y 2 = 0
x y + 4 z + 10 = 0
, ( d2 ) :
2 x + z 3 = 0
2 x 4 y z + 6 = 0

( d1 ) :

Bài 11: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:

x = 1 + t

1) ( d ) : y = 3 t , t R (P): x-y+z+3=0
z = 2 + t

3)

2 x + 3 y + 6 z 10 = 0
(P): y+4z+17=0
x + y + z + 5 = 0

( d ) :

x = 12 + 4t

2) ( d ) : y = 9 + t , t R (P): y+4z+17=0
z = 1 + t

x + y + z 3 = 0
(P): x+y-2=0
y 1 = 0

4) ( d ) :

Bài 12: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình
(P) :2x+y+z=0 và ( d ) :

x 1 y z + 2
= =
.Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .
2
1
3

Bài 13: (ĐH Khối A-2002): Trong không gian 0xyz ,cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (dm) có ph-

( 2m + 1) x + (1 m) y + m 1 = 0
xác định m để (dm)//(P)
mx + (2m + 1) z + 4m + 2 = 0

ơng trình : (P) :2x-y+2=0 , ( d m ) :

Bài 14: Xác định vị trí tơng đối của hai đờng thẳng (d1) và (d2) có phơng trình :

x = 3 + 2t

1) ( d1 ) : y = 2 + 3t
z = 6 + 4t


4 x + y 19 = 0
t R , ( d2 ) :
x z + 15 = 0

2 x + y + 1 = 0
3 x + y z + 3 = 0
, ( d2 ) :
x + y z + 1 = 0
2 x y + 1 = 0

3) ( d1 ) :

x = 1 + 2t

2) ( d1 ) : y = 2 + t
z = 3 + 3t


x = u + 2

t R , ( d 2 ) : y = 3 + 2u
z = 3u + 1



Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng

Bài 15: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :

x = 5 + 2t
( d1 ) : y = 1 t
z = 5 t


x = 3 + 2t1

, ( d 2 ) : y = 3 t1
z = 1 t
1


( t, t1 R )

Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) song song với nhau .
Bài 16: Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :

( d1 ) : x + 7 =
3

x
y + 4 z + 18
y 5 z 9
=
=
=
, ( d2 ) :
1
4
3
1
4

Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) song song với nhau .
Bài 17: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :

x = 3 + 2t
( d1 ) : y = 2 + t
z = 6 + 4t


4 x + y 19 = 0
t R , ( d2 ) :
x z + 15 = 0

Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm
Bài 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng (d1 ) :

.

x = 1 2t
x y z
(d 2 ) : y = t
= =
1 1 2
z = 1 + t

Xét vị trí tơng đối của 2 đờng thẳng trên
Tìm toạ độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với mặt phẳng (P) x-y+z=0
và MN = 2

Đs:


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng
Đ7

Góc và khoảng cách
1)khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng .

d ( M,(P) ) =

Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D
A 2 +B2 +C 2

Vd1:Tính khoảng cách từ điểm M(3,-2,5) đến mặt phẳng (P): 12x+4y-3z+3=0
2)Khoảng cách giữa đờng thẳng (d) và mp(P) biết (d)//(P).

x = 1 + t

Vd2; ( d ) : y = 3 t , t R (P): x-y-2z+3=0
z = 2 + t

3)Khoảng cách giữa hai mp // (P1) và (P2).
Vd3:Tính khoảng cách giữa hai mp (P1):3x+6y-2z+5=0 và (P2):3x+6y-2z+21=0
4)Khoảng cách từ một điểm tới một đờng thẳng.

uu
r uuuuur
u1 ,MM1


d ( M,d ) =
=
uu
r
u1

uu
r uuuuur
u1 ,M1M


=
uu
r
u1

uuuuur uu

r
MM1 ,u1


uu
r
u1

Vd4:Tính khoảng cách từ điểm A(2;-1;3) đến đờng thẳng (d) biết

x = 1 + t

a) ( d ) : y = 3 t , t R
z = 2 + t


b)

( d) :

{ 32xx + yy + 1z =+ 30 = 0

5) Khoảng cách giữa hai đờng thẳng song song
Vd5:Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng song song ( d1 ) :

( d2 ) :

x
y + 4 z + 18
=

=
3
1
4

x +7 y 5 z 9
=
=
,
3
1
4

6) Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau.

uu
r uur uuuuuur
uu
r uur uuuuuur
u1 ,u 2 .M1M 2 u1 ,u 2 .M 2 M1




d ( d1 ,d 2 ) =
=
uu
r uur
uu
r uur

u1 ,u 2
u1 ,u 2





x = 1 + 2t

x = 2 + u
, ( d 2 ) : y = 3 + 2u
z = 3 + 3t
z = 1 + 3u

Vd6: ( d1 ) : y = 2 + t

7)Góc giữa hai đờng thẳng
Vd7: Tính góc giữa hai đờng thẳng (d1 ) :

x = 1 2t
x y z
(d 2 ) : y = t
= =
1 1 2
z = 1 + t

8)Góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng.

r r
u d .n p

sin = r uur
u d . np

x = 1 + t

Vd8:Tính góc giữa đờng thẳng (d)và mặt phẳng(P) biết ( d ) : y = 3 t , t R (P): x-y+z+3=0

z = 2 t

9)Góc giữa hai mặt phẳng


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng
ur uu
r
n1.n2
cos = ur uu
r
u1 . n2

Vd9: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P1): x-y+z-4=0 và (P2) 3x-y+z-1=0


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng
Bài tập về nhà số 4

Bài 1:Tính khoảng cách từ điểm M(2,2,1) đến mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
1) (P): 2x+y-3z+3=0

2) (P):12x-4x+3y-15=0
Bài 2:Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(5;1;3) ,B(1;6;2)
,C(5;0;4) ,D(4;0;6)
1) Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng (ABC).
2) Tính chiều dài đờng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện, từ đó suy ra thể tích của tứ diện .
Bài 3: hãy tính số đo góc tạo bởi đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) cho bởi :

x = 1 + 2t

( d ) : y = 2 + t , t R (P): x-2y+2z+3=0.

z = 2 + 2t
Bài 4:Xác định số đo góc giữa 2 đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình :

x = 3 + 2t
4x + y - 19 = 0

1) ( d 1 ) : y = 2 + 3t & (d 2 ) :
x - z + 15 = 0
z = 6 + 4t

x = 2t + 1

2) ( d 1 ) : y = 2 + t
z = 3 + 3t

2 x + y + 1 = 0
x y + z 1 = 0

3) ( d1 ) :

x = u + 2

, ( d 2 ) : y = 3 + 2u
z = 1 + 3u

3x + y z + 3 = 0
2 x y + 1 = 0

( d 2 ) :

{ x y + 2z 3 = 0

Bài 5:Cho hai mặt phẳng ,(P1):2x-2y+z-5=0 và (P2):3x-4y-2=0.Đờng thẳng (d): 2 x y + 3 z 2 = 0
Tìm điểm M trên (d) sao cho d(M,(P 1))=2d(M,(P2)).
Bài 6:Cho đờng thẳng ( d ) :

x 1 y z + 2
= =
và: (P) :2x+2y+z-6=0
2
1
3

Tìm điểm M trên đờng thẳng (d) sao cho d(M,(P))=2.
Bài 7: Cho hai mặt phẳng ( P1 ) , ( P2 ) tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (P 1)và (P2) biết
a) (P1):x+y-2z+5=0 và (P2):2x-y+z+2=0
b) (P1):2x-y+2z-2=0 và (P2):x-y+2=0
Bài 8:Cho điểm A(2;-1;3) .Tính khoảng cách từ điểm A đến đờng thẳng (d) biết

x = 1 + 3t

a) ( d ) : y = 3 4t

z = 2 + 12t

, t R

b) ( d ) :

x 1 y + 3 z + 2
=
=
2
1
2

{ 3x + y z + 3 = 0

c) ( d ) : 2 x y + 1 = 0

Bài 9:Cho hai mặt phẳng, (P1):2x-2y+z-3=0 và (P2):2x-2y+z+5=0 .Lập phơng trình mặt phẳng
(Q) song song và cách đều hai mặt phẳng (P 1) và (P2).
Bài 10:Cho mặt phẳng (P):x+2y+mz+3m-2=0 , (d): ( d ) :
Tìm m sao cho d(A,d)=d(A,(P)).
Đs:

x 1 y +1 z + 2
=
=

và điểm A(2;1;-1)
2
1
2


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng
Đ8

1)Phơng trình mặt cầu

Mặt cầu

a.Đn mặt cầu:
b.Phơng trình chính tắc của mặt cầu
S(I;R) với tâm I(a;b;c), bán kính R có dạng: Ptct: ( x a ) + ( y b ) + ( z c ) = R 2 (S)
2

2

2

Chú ý:

Mặt cầu (S) qua 2 điểm A, B tâm I nằm trên mặt phẳng trung trực của AB.

(S):x2+y2+z2=R2 là mặt cầu có tâm trùng với gốc toạ độ
Vd1:Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S) trong các trờng hợp sau
1.( S ) : x2 + y2 + z 2 + 2x 4y + 2z 3 = 0
2.( S ) : x2 + y2 + z 2 4y + 6z 3 = 0
3.( S ) : x2 + y2 + z 2 + x y + z 1 = 0
Vd2:Lập phơng trình mặt cầu đờng kính AB biết A(1;2;3) ,B(3;4;-1)
c

b.Phơng trình dạng khai triển.

Vd3:Cho pt:x2+y2+z2+2mx+4my-2(m-1)z+2m+3=0 (*)
a)Tìm m để pt(*) là pt mặt cầu S(I;R).
b)Tìm m để mặt cầu S(I;R) có R= 2 2
Đs:
Vd4: Cho pt:x2+y2+z2-2mx+4(m2-1)y+2z-m2+3=0 (*)
a) Tìm m để pt(*) là pt mặt cầu S(I;R).
b)Tìm những điểm cố định của mặt cầu S(I:R).
2)Vị trí tơng đối của một điểm và mặt cầu
Vd5:
3)Vị trí tơng đối của mặt phẳng và mặt cầu

Vị trí tơng đối của mặt cầu với mặt phẳng
Cho mặt cầu ( x a ) + ( y b ) + ( z c ) = R 2 (S)
2

2

2

Mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 (P)

( S) ( P ) = d ( I, ( P ) ) > R
(P) tiếp xúc với (S) d ( I, ( P ) ) = R , khi đó (P) gọi là mặt phẳng tiếp diện của
mặt cầu (S) và

( P ) ( S) = M


thì M đợc gọi là tiếp điểm và IM(P)

( S ) ( P ) = C ( I ';r ) d ( I,( P ) ) < R , khi đó

Chú ý:+Cách tìm tiếp điểm M.

r 2 = R 2 II' 2 (II=d(I,(P)))


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng
+Cách tìm tâm và bán kính của đờng tròn C ( I ';r ) .

Vd6: cho mặt cầu: x 2 + y 2 + z 2 = 4 (S) và mặt phẳng x + z = 2 (P)
Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S).
phơng trình đờng tròn
Vd71: Cho mặt cầu (S):Gọi T là giao tuyến của mặt cầu

( x 3) 2 + ( y + 2) 2 + ( z 1) 2 = 100

với

mặt phẳng(P): 2x 2y z + 9 = 0.
a)CMR:mp(P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đờng tròn C(I;r).
b) Xác định toạ độ tâm và bán kính của đờng tròn C(I;r).T?
Vd2: cho mặt cầu: x 2 + y 2 + z 2 = 4 (S) và mặt phẳng x + z = 2 (P)

Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S). Xác định toạ độ tâm và
tính bán kính của đờng tròn (C) là giao tuyến gia (P) và (S).
Vd3:lập phơng trình mp tiếp diện của mc(s) biết nó // với (P)
Vd4: lập phơng trình mp tiếp diện của mc(s) biết nó vuông góc với (d)
Vd85:lập phơng trình mp tiếp diên tại điểm M(2;3;4) thuộc mc(S).
2
2
2
( x 2) + ( y 3) + ( z 1) = 9
Vd96:Cho mc (S):(x-1)2+(y+1)2+(z-1)2=9
Và mp(P):2x+2y+z-m2-3m=0.Tìm m để (P) tiếp xúc với (S) với m tìm đợc hãy xác định tọa độ
tiếp điểm.
4)Vị trí tơng đối của đờng thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu (S) và đờng thẳng (d)



( S ) ( d ) = d ( I ,d ) > R

(d) tiếp xúc với (S) d ( I,d ) = R , khi đó (d) gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S) và

( d) ( S ) = M


thì M gọi là tiếp điểm và IM (d)

( S ) ( d ) = { A,B}

d ( I, d ) < R

Chú ý:
+Cách tìm tiếp điểmM.
+Cách tìm toạ độ A,B(viết ptts(d)).

Vd10:Xét vị trí tơng đối giữacủa đờng thẳng (d) và mặt cầu (S):
x2 + y2 + z 2 2x 4y 6z 67 = 0 trong các trờng hợp sau và nếu (d). cắt mặt cầu (S) thì
tìm toạ độ giao điểm.
a)( d ) : 3x 2y + z 8 = 0
2x y + 3 = 0
x = 2 u
b)( d ) : y = 3 + 2u ( u R )
z = 1 u
x 2 y +1 z + 4
c) ( d ) :
=
=
3
1
3
5)vị trí tơng đối của hai mặt cầu.
Cho S1(I1;R1) và S2(I2;R2)
+(S1) và (S2) nằm ngoài nhau khi và chỉ khi I1I2>R1+R2
+(S1) và (S2) tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi I1I2=R1+R2

{

Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng
+(S1) cắt (S2) khi và chỉ khi R1-R2+(S1) và (S2) tiếp xúc trong khi và chỉ khi I1I2=R1-R2
+(S1) và (S2) lồng vào nhau khi và chỉ khi I1I2
Vd11:Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz, cho mặt cầu (S 1) và (S2) lần
lợt có phơng trình nh sau:

( S1 ) : x2 + y2 + z 2 2x + 2y 4z 3 = 0
( S2 ) : x2 + y2 + z 2 + 4x 2z 11 = 0
Xét vị trí tơng đối của hai mặt cầu trên.


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng
Bài tập về nhà số 5

Bài 1: Trong các phơng trình sau đây ,phơng trình nào là phơng trình của mặt cầu
,khi đó chỉ rõ toạ độ tâm và bán kính của nó ,biết:
1) ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x 4 y + 6 z + 2 = 0
2) ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x + 4 y 2 z + 9 = 0
3) ( S ) : 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 6 x + 3 y 9 z + 3 = 0
4) ( S ) : x 2 y 2 z 2 + 4 x + 2 y 5 z 7 = 0
5) ( S ) : 2 x 2 + y 2 + z 2 x + y 2 = 0
Bài 2: Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình :
( S m ) : x 2 + y 2 + z 2 4mx 2my 6 z + m 2 + 4m = 0
1) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu .

2) CMR tâm của (Sm) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định.
Bài 3: Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình :
( S m ) : x 2 + y 2 + z 2 4mx 2m 2 y + 8m 2 5 = 0
1) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu .
2) Tìm quĩ tích tâm của họ (Sm) khi m thay đổi.
3) Tìm điểm cố định M mà (Sm) luôn đi qua.
Bài 4: Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình :
( S m ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x sin m 2 y cos m 3 = 0
1) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu .
2) CMR tâm của (Sm) luôn chạy trên một đờng tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi
m thay đổi.
Bài 5: Cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 x 4 y z 3 = 0 .xét vị trí tơng đối của điểm A đối với
mặt cầu (S) trong các trờng hợp sau:
1) điểm A(1,3,2).
2)điểm A(3,1,-4).
3)điểm A(-3,5,1).
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ đô trực chuẩn 0xyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng
(P) có phơng trình :
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x 2 = 0 ,(P):x+z-1=0.
1) Tính bán kính và toạ độ tâm của mặt cầu (S).
2) Tính bán kính và toạ độ tâm của đờng tròn giao của (S) và (P).
Bài 7: Cho hai mặt cầu: ( S1 ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x 2 y 7 = 0 , ( S 2 ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x = 0
CMR hai mặt cầu (S1) và (S2) lồng vào nhaukhông cắt nhau.
Bài 8: Cho hai mặt cầu: ( S1 ) : x 2 + y 2 + z 2 = 9 , ( S 2 ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x 2 y 2 z 6 = 0
CMR hai mặt cầu (S1) và (S2) cắt nhau
2
2
2
Bài 9: Cho mặt cầu: ( S ) : x + y + z 4 x + 2 y 2 z 10 = 0 và (P) :2x+2y+z-6=0
Xét vị trí tơng đối của mp(P) và mặt cầu (S).

2
2
2
Bài 10: Cho mặt cầu: ( S ) : x + y + z 4 x + 2 y + 2 z 3 = 0 và ( d ) :

x 1 y + 3 z + 2
=
=
2
1
2

Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt cầu (S) v tìm các giao điểm của đờng thẳng
(d) và mặt cầu (S) nếu có.
Đs:


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng

Chuyên đề 1:Lập phơng trình mặt phẳng
Chú ý:
đi qua M ( x0;y0;z0 ) r
1.( P ) :
( P ) :A ( x-x0 ) +B ( y-y0 ) +C ( z-z0 ) =0
pháp tuyến n( A;B;C )
có véctơ
r
2.( P ) : có vtpt n( A;B;C ) ( P ) : Ax+By+Cz+m=0
A x + B1y + C1z + D1 = 0

3.( P ) : Chứa đ ờng thẳng (d): 1
P có dạ ng
A 2x + B2y + C2z + D2 = 0 ( )
m( A1x+B1y+C1z+D1 ) +n( A 2x+B2y+C 2z+D2 ) = 0 đk:m2 + n2 0
4.( P ) // ( Q ) : Ax+By+
r Cz+D=0 ( P ) : Ax+By+Cz+m=0( đk:m D)
5.(P )//(d) thìvtcp ur của đ ờng thẳng ( d) là một vtcp của mp(P).
6.(P) (Q) thìvtptr n của mp(Q) là một vtcp của mp(P).
7.(P)//(Q) thìvtpt n rcủa mp(Q) là một vtpt của mp(P).
8.(P ) (d) thìvtcp
uuur u rcủa đ
uuurờng thẳng ( d) là một vtpt của mp(P).
9.A,B ( P ) và AB 0r thìAB là một vtcp của mp(P).
10.( P ) ( d) thìvtcp u của đ ờng thẳng ( d) là một vtcp của mp(P ).
uu
r uu
r
uu
r uu
r
r
uu
r uu
r
11.(P) có hai vtcp u1,u2 và u1,u2 0 thìu1,u2 là một vtpt của (P).
12.( P ) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu S ( I;R ) d( I,( P ) ) = R

{

(

)

Vd1:Viết phơng trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;1;4) và B(-2;3;2)
Đs:Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB ta có :(P):2x+2y+z-+1=0
Vd2:Viết phơng trình mặt phẳng đi qua 3 điểm, A(1;3;5);B(2;0;-1);C(0;2;4).
Đs:(ABC):3x-7y+4z-2=0
Vd3: Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (3;2;-1) và vuông góc với
( ) : 2xx+3yy + zz ++ 12==00
Đs:(P):2x-3y-7z-7=0
Vd4:Viết phơng trình mặt phẳng đi qua điểm M(4;5;-2) và song song (P) :2x+3y+z2=0
Đs:2x+3y+z-21=0
Vd5:Viết phơng trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1;2;-1) và song song với hai đờng
thẳng (d1) và (d2) biết
x 1 y 3 z
x 1 y 5 z
=
=
;( d2 ) :
=
=
( d1 ) :
2
1
4
3
1
2
Đs:(Q):6x+8y-5z-27=0
Vd6:Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-2;3;1) và vuông góc với hai mặt

phẳng
(Q1):2x+y+2z-10=0 và (Q2):3x+2y+z+8=0
Đs:3x-4y-z+19=0

{


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng
Vd7:Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;-1;4) ,(P)//(d) và (P)(Q) biết
x 2 y +1 z 3
=
=
;( Q ) : 2x 3y z + 5 = 0
( d) :
1
1
2
Đs:(P):x+y-z+3=0
Vd8: Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và chứa đờng thẳng (d) biết
x 1 y 3 z 2
1. M ( 4;3;5) và ( d) :
=
=
2
1
3
x
+
y

+
z

1
=
0
2. M ( 1;2;5) và ( d) :
2x + 3y z + 5 = 0
Đs:1.(P):x+y-z-2=0
2. (P):6x+13y-15z+43=0
Vd9:Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,B và vuông góc với mp(Q) biết
A(1;0;1),B(2;1;2) và (Q):x+2y+3z+3=0
Đs:(P):x-2y+z-2=0
Vd10: Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,B và song song với đờng
xy+z 3= 0
thẳng (d) biết A(2;-1;3),B(1;2;4) và ( d ) : x + 2y z + 3 = 0
Đs:7x+2y+z-15=0
Vd11: Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và vuông góc với (d2) biết
x2
z +2
= y 1=
;( d2 ) : x + y z + 2 = 0
( d1 ) :
x 2y + 3z 1 = 0
1
1
Chú ý:nếu (d1) không vuông góc với (d2) thì không tồn tại mp(P)
Đs:x-4y-3z-4=0
Vd12: Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và song song với (Q) biết
( d1 ) : 2xx+22yyzz++51==00 ( Q ) : x 4y + 3 = 0

Chú ý:nếu (d1) không song song với (Q) thì không tồn tại mp(P).
Đs:x-4y-4=0

{

{

{

{

Vd13:Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d) và vuông góc với (Q) biết
x 1 y 2 z
=
= ;( Q ) : x + 2y + z 5 = 0
( d) :
2
1
3
Đs:(P):5x-y-3z-3=0
Chú ý:nếu (d) không vuông góc với (Q) thì không tồn tại mp(P)
Vd14: Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d) và / / với () biết
X 2 Y 3 Z
x 1 y z 2
1)( d ) :
=
=
;( ) :
= =
1

2
3
3
5
1
x 2 y +1 z 2
x
+
2
y

5
z
+
1
=
0
2) ( d ) :
;( ) :
=
=
x+ y+z 2= 0
3
5
1
Đs:1.(P)17x-8y-11z-10=0
2.(P):x+10y-53z+25=0
Vd15:Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa hai đờng thẳng cắt nhau (d1) và (d2) biết
x 1 y +1 z
x 3 y z +1

=
= ;
= =
( d1) :
( d2 ) :
2
1
1
1
2
1
Đs:(P):3x-y+5z-4=0
Vd16: Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa hai đờng thẳng song song (d1) và (d2) biết
x 1 y 2 z
=
=
;( d2 ) : x + y + 1 = 0
( d1 ) :
y + 2z + 1 = 0
4
4
2
Đs:(P):3x-y-8z-1=0

{

{


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải

Dơng
Vd17: Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa hai đờng thẳng (d1) và (d2) biết
x = u
( d1 ) : y = 8 4u ( u R ) ;( d2 ) : 2xx+yy+z2=z0= 0
z = 3 3u
Đs:(P):12x-3y+8z=0
Vd18:Viết phơng trình mặt phẳng () song song và cách đều hai mặt phẳng (P) và
(Q) biết
;( Q ) : x 2y + 3z + 7 = 0
( P ) : x 2y + 3z 1 = 0

{

Đs: ():x-2y+3z+3=0
Vd19: Viết phơng trình mặt phẳng () song song (P) và (Q) và d((),(P))=2d((),(Q))
biết
( P ) : 2x 3y + 6z 2 = 0 ;( Q ) : 2x 3y + 6z + 13 = 0
Đs: ():2x-3y+6z+8=0 v 2x-3y+6z+28=0
Vd20: Viết phơng trình các mặt phẳng (P),(P) // (Q) và d((P),(Q))=2 biết (Q):2x+3y6z+12=0
Đs:2x+3y-6z+26=0 v 2x+3y-6z-2=0
Vd21:Cho hai điểm A(2;1;-1),B(3;-1;5) và mặt phẳng (Q):x-2y+2z-7=0.Lập phơng trình
mặt phẳng (P) song song và cách đều hai điểm A,B.
s:2x-4y+4z-13=0
r
Vd22: Viết phơng trình các mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n = ( 3;4;12) và
d(A,(P))=2 biết A(2;2;1).
Đs:3x+4y-12z+24=0 v 3x+4y-12z-28=0
x 2 y +1 z 1
=
=

Vd23: Cho (Q):2x-3y-6z+12=0 và ( d ) :
.Viết phơng trình các mặt phẳng
2
2
1
(P) biết (P)//(d),(P)(Q) và d((P),d)=1.
Đs: 15x+14y-12z+5 17 14 = 0 và 15x+14y-12z-5 17 14 = 0
x 1 y +1 z
x 3 y z +1
=
= ;
= =
.Viết phơng trình
( d2 ) :
2
1
1
1
2
1
các mặt phẳng (P) song song với hai đờng thẳng (d1),(d2) và d((P),d1)=1.
Đs: 3x y + 5z 35 4 = 0 và 3x y + 5z + 35 4 = 0
Vd25: Cho hai mặt phẳng ,(P1):2x-y-z+1=0 và (P2):x+y+2z-1=0 và điểm A(2;1;-1) .Viết
phơng trình các mặt phẳng (Q) vuông góc với hai mặt phẳng trên và d(A,(Q))=1.
Đs: x + 5y 3z 35 10 = 0 và x + 5y 3z + 35 10 = 0
Vd26:Cho điểm M(4;1;-3) và hai mặt phẳng (P) và (Q) có phơng trình .
(P):2x-y+z-4=0 ; (Q):x+y-3z-1=0.Viết phơng trình các mặt phẳng () đi qua giao tuyến
của (P) và (Q) đồng thời khoảng cách từ M tới () bằng 13
Đs: ():3x-2z-5=0 hoặc ():x+4y-10z+1=0
x 1 y 2 z +1

=
=
Vd27:Viết phơng trình các mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d):
và có
2
1
1
khoảng cách đến điểm A(1;1;0) bằng 1.

Vd24:Cho hai đờng thẳng ( d1 ) :

(

) (

)

Đs: ( P1 ) : 2 + 2 x + 3 + 2 2 y z 9 5 2 = 0;

( P2 ) : ( 2

) (

)

2 x + 3 2 2 y z 9+ 5 2 = 0

Vd28:Cho hai đờng thẳng chéo nhau (d1) và (d2) có phơng trình
x = 1 + 2t
x = 2 + u

( d1 ) : y = 2 + t , ( d 2 ) : y = 3 + 2u
z = 3 + 3t
z = 1 + 3u


Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải
Dơng
Lập phơng trình mặt phẳng song song và cách đều hai đờng thẳng (d1) và (d2).
Đs:x+y-z-2=0
Vd29: Lập phơng trình mp(R) cách (Q) một khoảng bằng 1 và thuộc phần nửa không gian
giới hạn bởi (Q) và chứa điểm A biết (Q):2x-6y+3z-1=0 và A(2;3;2).
Vd30:Lập phơng trình các mặt phẳng phân gíac của các góc tạo bởi hai mặt phẳng
(P):x-2y+2z-3=0 và (Q):3x-4y+1=0
Đs:2x-y-5z+9=0 và 7x-11y+5z-6=0
Vd31:Viết phơng trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng (P1),(P2) và
góc đó chứa điểm M(1;2;1) biết (P1):2x-2y-z+1=0 và (P2):3x-4z+6=0
Đs:19x-10y-17z+23=0
x + y + z 3 = 0
Vd32:Cho điểm A(1;2;-1) và ( d) :
viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa
y + z 1= 0
(d) và d(A,(P)) là lớn nhất.
Đs:(P):x-2=0

{

x+ y2= 0
Vd332:Cho đờng thẳng (d): y + z 2 = 0 và (P):x+2y-2z+2=0.Lập phơng trình mặt
phẳng (Q) chứa (d) và tạo với (P) một góc sao cho sin =

5
.
6

Đs:(Q1):x+2y+z-4=0 và (Q2):x-y-2z+2=0
Vd343:Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d) và tạo với đờng thẳng ()
một góc bằng 600 biết
x = u
x2 y3 z +5
;( ) :
=
=
( d ) : y = 2 u (u R )
2
1
1
z = u
Đs:x-z=0 và x+y-2=0
x + 2 y 1 z + 3
=
=
Vd354:Cho hai điểm A(1;1;1) ,B(2;0;2).và đờng thẳng ( d ) :
.Lập phơng
2
1
1
trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,B và tạo với (d) một góc 600
Đs:x-z=0 và x+y-2=0
Vd365:Cho mặt cầu (S):x2+y2+z2-6x-2y+4z+5=0 lập phơng trình mặt phẳng tiếp diện
của mặt cầu (S) tại M(4;3;0)

Đs:x+2y+2z-10=0
Vd376: Cho mặt cầu (S):x2+y2+z2-2x-4y-6z-2=0 và mp(P):4x+3y-12z+1=0 .Lập phơng
trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) biết nó // với mp(P).
Đs: 4x+3y-12z-26=0 và 4x+3y-12z+78=0
x+ y+z 3= 0
Vd387: Cho mặt cầu (S):x2+y2+z2-6x-2y+4z+5=0 và đờng thẳng ( ) : y + z 1 = 0
.Lập
phơng trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) biết nó vuông góc với ().
Đs: y z 3 3 2 = 0 ; y z 3 + 3 2 = 0
Vd398:(ĐTN-2005) Cho mặt cầu (S):x2+y2+z2-2x+2y+4z-3=0 và hai đờng thẳng
x 1 y z
= =
.Viết phơng trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu
( 1 ) : xx + 22zy = 20 = 0 ;( 2 ) :
1
1 1
(S) biết nó // với hai đờng thẳng ( 1 ) ,( 2 ) .

{

{

Đs: ( P1 ) : y + z + 3 + 3 2 = 0

;( P2 ) : y + z + 3 3 2 = 0