Dao động uốn của dầm ứng suất trước dưới tác dụng của vật thể di động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Nguyễn Thị Vân Hương

DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM ỨNG SUẤT TRƯỚC
DƯỚI TÁC DỤNG CỦA VẬT THỂ DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Nguyễn Thị Vân Hương

DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM ỨNG SUẤT TRƯỚC
DƯỚI TÁC DỤNG CỦA VẬT THỂ DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62520101

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. NGUYỄN PHONG ĐIỀN

Hà Nội - 2016

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Phong
Điền đã tận tâm hướng dẫn khoa học, động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận án này.
Tác giả xin gửi lời cám ơn tới các Thầy, Cô trong Bộ môn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ Khí
đã có nhiều ý kiến đóng góp cho luận án.
Tác giả cũng xin bày tỏ sự biết ơn tới sự quan tâm của Viện Đào tạo Sau đại học,và sự
ủng hộ của bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá
trình làm luận án.
Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình đã động viên ủng hộ tác giả trong
suốt thời gian làm luận án.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu
được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công
trình nào khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận án đã được cám ơn, các
thông tin trích dẫn trong luận án này đều được chỉ rõ nguồn gốc.
Giáo viên hướng dẫn

PGS. TS. Nguyễn Phong Điền
 

Hà Nội, ngày 28 tháng 9 năm 2016
Tác giả luận án

Nguyễn Thị Vân Hương


MỤC LỤC

Trang
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
DANH MỤC CÁC BẢNG
DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH, ĐỒ THỊ
MỞ ĐẦU
CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM
ỨNG SUẤT TRƯỚC

1.1 Các dầm bê tông cốt thép dự ứng lực
1.1.1 Kéo căng cốt thép trước khi đổ bê tông (kéo căng trên bệ)
1.1.2 Kéo căng cốt thép sau khi đổ bê tông (kéo căng trên bê tông)
1.1.3 Sơ lược về bê tông cốt thép dự ứng lực ngoài
1.2 Tổng quan về các kết quả nghiên cứu dao động của dầm ứng suất trước
1.3 Tổng quan về các kết quả nghiên cứu dao động của dầm ứng suất trước
có vết nứt
1.4 Xác định vấn đề nghiên cứu
CHƯƠNG 2 TẦN SỐ RIÊNG VÀ DẠNG DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA DẦM
ỨNG SUẤT TRƯỚC
2.1 Mô hình cơ học và phương trình dao động
2.2 Xác định tần số riêng và dạng dao động riêng của dầm ứng suất trước
2.2.1 Thiết lập các phương trình xác định tần số dao động riêng
2.2.2 Phương trình đặc trưng và tần số riêng của dầm hai đầu bản lề
2.2.3 Phương trình đặc trưng và tần số riêng của dầm hai đầu ngàm
2.2.4 Dạng dao động riêng của dầm hai đầu ngàm
2.3 Xác định lực căng dây cáp trên cơ sở đo tần số dao động riêng
2.3.1 Các công thức gần đúng xác định lực căng dây cáp
2.3.2 Tính toán so sánh lực căng dây cáp cho cầu Bãi Cháy và cầu Bính
2.4 Kết luận chương 2
CHƯƠNG 3 DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM GIẢN ĐƠN ỨNG SUẤT TRƯỚC
DƯỚI TÁC DỤNG CỦA VẬT THỂ DI ĐỘNG
3.1 Phương trình dao động uốn của dầm có ứng suất trước chịu tác dụng
của vật thể di động
3.1.1 Thiết lập phương trình dao động
3.1.2 Biến đổi hệ phương trình đạo hàm riêng - vi phân hỗn hợp
về hệ phương trình vi phân thường
3.2 Tính toán dao động uốn của hai cầu bê tông cốt thép xây dựng ở Việt Nam
3.2.1 Tính toán dao động uốn của cầu Đông Hà
3.2.2 Tính toán dao động uốn của cầu Bùng

3.2.3 Một vài nhận xét
3.3 Xác định vận tốc tới hạn của ô tô khi qua cầu
3.3.1 Công thức tính vận tốc tới hạn cổ điển của ô tô khi qua cầu
3.3.2 Xác định vận tốc tới hạn của ô tô khi qua cầu bằng phương pháp số
3.4 Kết luận chương 3

1
4
4
4
5
5
6
8
9
10
10
14
14
15
17
19
21
21
22
29
30
30
30
33

37
37
41
43
43
43
44
48


CHƯƠNG 4 DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM LIÊN TỤC CÓ ỨNG SUẤT TRƯỚC
DƯỚI TÁC DỤNG CỦA NHIỀU VẬT THỂ DI ĐỘNG
4.1 Mô hình cơ học và việc thiết lập phương trình dao động
4.1.1 Thiết lập phương trình vi phân dao động của vật thể di động
4.1.2 Thiết lập phương trình dao động uốn của dầm
4.1.3 Biến đổi hệ phương trình hỗn hợp về hệ phương trình vi phân - đại số
4.2 Tính toán dao động uốn của dầm liên tục
4.2.1 Biểu thức xác định phản lực liên kết tại các gối cứng
4.2.2 Phương trình vi phân dao động dạng tối giản
4.3 Tính toán dao động uốn của một số cầu bê tông cốt thép của Việt Nam
4.3.1 Tính toán dao động uốn của dầm cầu Phả Lại
4.3.2 Tính toán dao động uốn của dầm cầu Hiền Lương
4.4 Kết luận chương 4
CHƯƠNG 5 DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM ỨNG SUẤT TRƯỚC CÓ VẾT NỨT
5.1 Mô hình dao động của dầm ứng suất trước có vết nứt
5.2 Tần số riêng và dạng dao động riêng
5.2.1 Thiết lập phương trình xác định tần số riêng và dạng dao động riêng
5.2.2 Thiết lập phương trình tần số của dầm hai đầu bản lề
5.2.3 Thiết lập phương trình tần số của dầm hai đầu ngàm
5.2.4 Các bước tính toán tần số riêng và dạng dao động riêng

5.2.5 Một số kết quả tính toán mô phỏng số
5.2.5.1 Tần số riêng của dầm ứng suất trước hai đầu bản lề
5.2.5.2 Tần số riêng của dầm ứng suất trước hai đầu ngàm
5.3 Dao động uốn của dầm ứng suất trước có vết nứt dưới tác dụng
của vật thể di động
5.3.1 Thiết lập phương trình vi phân dao động
5.3.2 Một số kết quả tính toán mô phỏng số dao động uốn của dầm
dưới tác dụng của vật thể đi động
5.4 Kết luận chương 5
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
TÀI LIỆU THAM KHẢO
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN

49
49
50
51
54
56
56
58
59
59
62
69
70
70
71
71
74

76
78
78
78
83
87
87
90
96
97
99
105


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Danh mục ký hiệu biến

G
N
Q
My

Diện tích mặt cắt ngang của dầm
Mô men quán tính thiết diện của dầm
Chiều rộng mặt cắt ngang của dầm
Chiều cao mặt cắt ngang của dầm
Độ dài của dầm
Độ dài của dầm
Độ cứng chống uốn

Môđun đàn hồi
Mật độ khối
Khối lượng trên một đơn vị dài
Trọng lượng riêng
Hệ số cản trong
Hệ số cản ngoài
Khối lượng vật thể di động
Hệ số cứng
Hệ số cản
Vận tốc vật thể
Vận tốc tới hạn
Vận tốc góc
Biên độ lực ly tâm
Lực dọc
Lực cắt
Mô men uốn

Fc

Lực cản

Fqt

Lực quán tính

F dh

Lực đàn hồi
Hệ số biến dạng tỷ đối ban đầu
Biến dạng dài tỷ đối do dầm bị uốn

Ứng suất pháp
Tải trọng phân bố
Tọa độ suy rộng
Tọa độ
Độ võng
Tần số vòng
Tần số riêng
Gia tốc trọng trường

A
I
b
h
L
l
EI
E




w
bi
be
m
k
d
v
vth



0

 xx
 xx
p(x,t)
q
x, z, y

w( x, t )

f
g


L(t )
ai



Hàm tín hiệu logic
Chiều sâu vết nứt
Độ lớn vết nứt

Danh mục chữ viết tắt
BTCT

Bê tông cốt thép

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Kết quả tính toán lực căng của các dây cáp cầu Bính trong mặt phẳng A
Bảng 2.2 Kết quả tính toán lực căng của các dây cáp cầu Bính trong mặt phẳng B
Bảng 2.3 Kết quả tính toán lực căng của các dây cáp cầu Bãi Cháy
Bảng 3.1 Tần số riêng và vận tốc tới hạn cổ điển của cầu Đông Hà
Bảng 3.2 Tần số riêng và vận tốc tới hạn cổ điển của cầu Bùng
*
Bảng 3.3 Vận tốc tới hạn vth và vận tốc tới hạn cổ điển vth của ô tô qua
cầu Đông Hà với  0  0
Bảng 3.4 Vận tốc tới hạn vth* và vận tốc tới hạn cổ điển vth của ô tô qua
cầu Bùng với  0  0
Bảng 5.1 Các số liệu tính toán của dầm
Bảng 5.2 Các số liệu tính toán dao động cưỡng bức của dầm

Trang
26
27
28
38
41
45
45
79
91


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Mô hình dầm dưới tác dụng của vật thể di động
Hình 1.2 Mô hình hóa vết nứt
Hình 2.1 Mô hình dầm
Hình 2.2 Phân tố dầm chịu lực
Hình 2.3 Mô hình đoạn dầm bị uốn
Hình 2.4 Mô hình dầm hai đầu bản lề
Hình 2.5 Mô hình dầm hai đầu ngàm
Hình 2.6 Dạng dao động riêng ứng với tần số riêng thứ nhất 1 = 73,7 (rad/s)

Trang
7
8
11
11
12
16
18
20

Hình 2.7 Dạng dao động riêng ứng với tần số riêng thứ hai 2 = 201,6 (rad/s)

20

Hình 2.8 Dạng dao động riêng ứng với tần số riêng thứ ba 3 = 394,1 (rad/s)

20

Hình 2.9 Dạng dao động riêng ứng với tần số riêng thứ tư 4 = 650,5 (rad/s)
Hình 2.10 Cầu Bính (trái) và mô hình lắp đầu đo trên dây (phải)
Hình 2.11 Kết cấu chung của cầu Bính

Hình 2.12 Kết cấu tháp và sơ đồ bố trí dây cáp của cầu Bính
Hình 2.13 Cầu Bãi Cháy (trái) và thiết bị đo tần số riêng của dây (phải)
Hình 2.14 Phổ tần số dao động của dây cáp cầu Bính
Hình 3.1 Mô hình dầm dưới tác dụng của vật thể di động
Hình 3.2 Cấu trúc con vật thể di động
Hình 3.3 Cấu trúc con dầm
Hình 3.4 Phân tố dầm chịu tác dụng của lực
Hình 3.5 Biên độ dao động lớn nhất tại giữa cầu Đông Hà theo vận tốc với n=1
Hình 3.6 Biên độ dao động lớn nhất tại giữa cầu Đông Hà theo vận tốc với n=1
và  0  0
Hình 3.7 Dao động tại mặt cắt giữa cầu Đông Hà với vận tốc v = 20 km/h
và  0  0, 0002
Hình 3.8 Dao động tại mặt cắt giữa cầu Đông Hà với vận tốc v = 20 km/h
và  0  0, 0004
Hình 3.9 Dao động tại mặt cắt giữa cầu Đông Hà với vận tốc v = 20 km/h
và  0  0, 001
Hình 3.10 Dao động tự do tại mặt cắt giữa cầu khi xe vừa đi qua cầu
với vận tốc v = 20 km/h
Hình 3.11 Biên độ dao động lớn nhất tại giữa cầu Bùng theo vận tốc xe, ứng với n=1
Hình 3.12 Biên độ dao động lớn nhất tại giữa cầu Bùng theo vận tốc xe, với n=1
và  0  0
Hình 3.13 Dao động tại mặt cắt giữa cầu Bùng với vận tốc v= 20 km/h và  0  0, 001
Hình 3.14 Dao động tự do tại mặt cắt giữa dầm khi xe vừa qua cầu với
hai vận tốc xe khác nhau
Hình 3.15 Mô hình dao động của dầm dưới tác dụng của lực di động

21
23
23
24

24
25
30
31
32
32
38
38
39
39
40
40
41
42
42
43
43


Hình 3.16 Độ võng tại mặt cắt giữa cầu Đông Hà khi ô tô đi qua
Hình 3.17 Độ võng tại mặt cắt giữa cầu Bùng khi ô tô đi qua
Hình 4.1 Mô hình dao động uốn của dầm liên tục chịu tác dụng của nhiều vật thể
di động
Hình 4.2 Các cấu trúc con a) vật thể di động, b) dầm liên tục
Hình 4.3 Mô hình dầm liên tục
Hình 4.4 Phân tích lực trên mô hình
Hình 4.5 Phân tích lực của một phân tố dầm
Hình 4.6 Cầu Phả Lại trong quá trình xây dựng
Hình 4.7 Độ võng động lực ở giữa dầm cầu Phả Lại (một ô tô di chuyển với vận tốc
20 km/h) (a) kết quả đo đạc thực nghiệm (trong khoảng thời gian 30 s)

và (b)kết quả tính toán số
Hình 4.8 Kết quả tính toán độ võng động lực ở giữa dầm cầu Phả Lại (một ô tô chuyển
động trên cầu với vận tốc 30 km/h)
Hình 4.9 Kết quả tính toán độ võng động lực ở giữa dầm cầu Phả Lại (hai ô tô chuyển
động trên cầu với vận tốc 20 km/h và xuất phát cách nhau 10 giây)
Hình 4.10 Kết quả tính toán độ võng động lực ở giữa dầm cầu Phả Lại (hai ô tô chuyển
động trên cầu với vận tốc 30 km/h và xuất phát cách nhau 10 giây)
Hình 4.11 Kết quả tính toán độ võng động lực ở giữa dầm cầu Phả Lại (ba ô tô chuyển
động trên cầu với vận tốc 20 km/h, thời điểm xuất phát: 0, 10, 20 giây)
Hình 4.12 Kết quả tính toán độ võng động lực ở giữa dầm cầu Phả Lại (ba ô tô chuyển
động trên cầu với vận tốc 30 km/h, thời điểm xuất phát: 0, 10, 20 giây)
Hình 4.13 Cầu Hiền Lương
Hình 4.14 Độ võng động lực ở giữa dầm liên tục cầu Hiền Lương khi một ô tô
chuyển động trên cầu với vận tốc 20 km/h và  0  0, 001
Hình 4.15 Độ võng động lực ở giữa dầm liên tục của cầu Hiền Lương một ô tô
chuyển động trên cầu với vận tốc 30 km/h và  0  0, 001
Hình 4.16 Độ võng động lực ở giữa dầm liên tục cầu Hiền Lương khi hai ô tô
chuyển động trên cầu với vận tốc 20 km/h và  0  0, 001
Hình 4.17 Độ võng động lực ở giữa dầm liên tục của cầu Hiền Lương khi ba ô tô
chuyển động trên cầu với vận tốc 20 km/h và  0  0, 001
Hình 4.18 Độ võng động lực ở giữa dầm liên tục cầu Hiền Lương khi một ô tô
chuyển động trên cầu với vận tốc 20 km/h và  0  0, 0005
Hình 4.19 Độ võng động lực ở giữa dầm liên tục cầu Hiền Lương khi một ô tô
chuyển động trên cầu với vận tốc 30 km/h và  0  0, 0005
Hình 4.20 Độ võng động lực ở giữa dầm liên tục cầu Hiền Lương khi hai ô tô
chuyển động trên cầu với vận tốc 20 km/h và  0  0, 0005
Hình 4.21 Độ võng động lực ở giữa dầm liên tục cầu Hiền Lương khi hai ô tô
chuyển động trên cầu với cùng vận tốc 30 km/h và  0  0, 0005
Hình 4.22 Độ võng động lực ở giữa dầm liên tục cầu Hiền Lương khi ba ô tô
chuyển động trên cầu với cùng vận tốc 20 km/h và  0  0, 0005

Hình 4.23 Độ võng động lực ở giữa dầm liên tục cầu Hiền Lương khi ba ô tô
chuyển động trên cầu với cùng vận tốc 30 km/h và  0  0, 0005
Hình 5.1 Mô hình lý thuyết dầm có n-1 vết nứt
Hình 5.2 Mô hình dầm hai đầu bản lề có nhiều vết nứt
Hình 5.3 Mô hình dầm hai đầu ngàm có nhiều vết nứt
Hình 5.4 Mô hình dầm ứng suất trước hai đầu bản lề có một vết nứt

46
47
50
50
51
51
52
59
60
60
61
61
62
62
63
64
64
65
65
66
66
67
67

68
68
70
75
76
79


Hình 5.5 Biến thiên của ba tần số riêng đầu tiên (thứ tự a, b, c) của dầm ứng suất trước
hai đầu bản lề có một vết nứt theo vị trí vết nứt
Hình 5.6 Biến thiên của tần số riêng thứ nhất của dầm hai đầu bản lề theo số vết nứt
phân bố đều theo chiều dài dầm, biến dạng tỷ đối ban đầu  0  0.002
Hình 5.7 Biến thiên của ba tần số riêng của dầm hai đầu bản lề theo số lượng vết nứt
và độ lớn vết nứt, các vết nứt tiến triển dần theo trục dầm, biến dạng tỷ đối
ban đầu  0  0.002
Hình 5.8 Các dạng dao động riêng của dầm hai đầu bản lề với N vết nứt, biến dạng
tỷ đối ban đầu  0  0.001
Hình 5.9 Biến thiên của hai tần số riêng đầu tiên của dầm hai đầu bản lề có ba vết nứt
theo độ lớn của vết nứt và biến dạng tỷ đối ban đầu
Hình 5.10 Mô hình dầm ứng suất trước hai đầu ngàm có một vết nứt
Hình 5.11 Biến thiên của tần số riêng thứ nhất của dầm hai đầu ngàm theo số vết nứt
phân bố đều theo chiều dài dầm, biến dạng tỷ đối ban đầu  0  0.001
Hình 5.12 Biến thiên của ba tần số riêng đầu tiên (thứ tự a, b, c) của dầm ứng suất trước
hai đầu ngàm có một vết nứt theo vị trí vết nứt
Hình 5.13 Biến thiên của ba tần số riêng của dầm hai đầu ngàm theo số lượng vết nứt
và độ lớn vết nứt, các vết nứt tiến triển dần theo trục dầm, biến dạng tỷ đối
ban đầu  0  0.002
Hình 5.14 Biến thiên của hai tần số riêng của dầm hai đầu ngàm theo số lượng vết nứt
và độ lớn vết nứt tăng dần theo trục dầm, biến dạng tỷ đối
ban đầu  0  0.001

Hình 5.15 Biến thiên của hai tần số riêng của dầm hai đầu ngàm có ba vết nứt theo
độ lớn của vết nứt và biến dạng tỷ đối ban đầu
Hình 5.16 Mô hình dao động cưỡng bức của dầm ứng suất trước có vết nứt, hai đầu
bản lề, chịu tác dụng của một vật thể di động
Hình 5.17 Độ võng tại mặt cắt giữa dầm tại v=5 m/s, dầm có một vết nứt giữa dầm
Hình 5.18 Độ võng tại mặt cắt giữa dầm tại v=5 m/s, dầm có ba vết nứt phân bố đều
Hình 5.19 Độ võng tại mặt cắt giữa dầm tại v=10 m/s, dầm có một vết nứt giữa dầm
Hình 5.20 Độ võng tại mặt cắt giữa dầm tại v=10 m/s, dầm có ba vết nứt phân bố đều
Hình 5.21 Độ võng tại mặt cắt giữa dầm tại v=15 m/s, dầm có ba vết nứt phân bố đều
Hình 5.22 So sánh độ võng động của dầm có một vết nứt giữa dầm và dầm có ba
vết nứt phân bố đều tại hai vận tốc xe khác nhau
Hình 5.23 So sánh độ võng động của dầm có một vết nứt   30% giữa dầm
tại vận tốc xe 5 m/s ứng với các trị số  0 khác nhau
Hình 5.24 So sánh độ võng động của dầm có một vết nứt   30% giữa dầm
tại vận tốc xe 10 m/s ứng với các trị số  0 khác nhau

80
80

81
82
82
83
83
84
85

86
86
87

91
92
92
93
93
94
95
95


MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài
Dao động uốn của dầm dưới tác động của các vật thể di động là một trong những bài
toán quan trọng của động lực học công trình. Các dầm được phân loại thành dầm giản đơn
và dầm liên tục. Dầm giản đơn là dầm chỉ có hai gối tựa ở hai đầu, dầm liên tục là dầm có
các gối đỡ trung gian. Dao động uốn của dầm được trình bày chi tiết trong nhiều tài liệu
chuyên khảo như [23, 45, 73, 80] hoặc trong các giáo trình [10, 12]. Hiện nay lĩnh vực xây
dựng các công trình cầu đường và nhà cao tầng có một vị trí quan trọng trong công cuộc
xây dựng đất nước ta. Chính vì vậy bài toán dao động uốn của dầm giản đơn và dầm liên
tục được quan tâm nghiên cứu sâu ở Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, Trường Đại học
Giao thông vận tải, Viện Cơ học Hà Nội, Trường Đại học Bách Khoa Đà Nẵng, Trường
Đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh và Học viện Kỹ thuật quân sự, vv.
Lịch sử nghiên cứu về tải trọng di động đã hơn 150 năm. Trong các cuốn sách chuyên
khảo của Fryba [32, 33], Yang và cộng sự [85] đã liệt kê khá đầy đủ các tài liệu nghiên cứu
về dao động của cầu dầm dưới tác dụng của các phương tiện giao thông (còn gọi là hoạt tải
khai thác). Ở nước ta, trong số các kết quả nghiên cứu của nhóm nghiên cứu ở Trường Đại
học Bách Khoa Hà Nội và Đại học Giao thông vận tải, công trình đầu tiên nghiên cứu về
lĩnh vực này là luận án tiến sĩ của Đỗ Xuân Thọ [2], tiếp theo là các luận án tiến sĩ của
Hoàng Hà [3] và Nguyễn Minh Phương [6], nhiều luận văn thạc sĩ [1, 5, 8], và các bài báo

khoa học như [11, 13], [63-68]. Các nghiên cứu này hướng về mô hình hóa cầu dưới tác
dụng của vật thể di động. Các vấn đề nghiên cứu được thực hiện ở Viện Cơ học Hà Nội
hướng về bài toán chẩn đoán kỹ thuật, tìm cách xác định vết nứt của dầm. Về vấn đề này
nhóm nghiên cứu của Nguyễn Tiến Khiêm, Nguyễn Việt Khoa đã đạt dược nhiều kết quả
mới [9, 17, 19, 62, 69]. Một số tác giả ở Học viện kỹ thuật quân sự [18], Đại học Đà nẵng
[16] cũng quan tâm nghiên cứu vấn đề này. Mô hình dầm mà các tác giả nghiên cứu là mô
hình dầm Euler-Bernoulli không có hoặc có vết nứt. Cho đến này đã có hàng nghìn bài báo
khoa học về dao động của dầm không có ứng suất trước được công bố trong các tạp chí
khoa học trong và ngoài nước, tuy nhiên đây không phải là chủ đề nghiên cứu của luận án
nên không được liệt kê tỷ mỉ trong danh mục các tài liệu tham khảo của luận án.
Ngày nay trong các ngành giao thông vận tải, xây dựng, chế tạo cơ khí người ta hay sử
dụng các loại dầm bê tông cốt thép (BTCT) dự ứng lực (có ứng suất trước) hoặc dầm thép
có ứng suất trước. Việc tính toán các loại dầm này trước đây ở nước ta mới chỉ ở mức độ
tính toán tĩnh [14, 15]. Các nghiên cứu về dao động của dầm có ứng suất trước tuy rất cần
thiết nhưng chưa có nhiều kết quả nghiên cứu được công bố ở trong nước. Do đó, luận án
này tập trung vào việc nghiên cứu tính toán dao động uốn của dầm có ứng suất trước dưới
tác dụng của hoạt tải khai thác.

Mục tiêu nghiên cứu
- Mục tiêu thứ nhất của luận án nhằm đề xuất và áp dụng phương pháp thiết lập mô
hình lý thuyết mô tả dao động uốn của dầm giản đơn có ứng suất trước dưới tác dụng của

1


một vật thể di động; phát triển thuật toán và chương trình tính toán các đặc trưng dao động
của dầm như tần số riêng, dạng dao động riêng và độ võng động.
- Mục tiêu thứ hai là xác định sự ảnh hưởng của ứng suất trước đến độ võng động và
ứng suất động tại các mặt cắt ngang của dầm liên tục có ứng suất trước dưới tác dụng của
vật thể di động bằng mô hình lý thuyết và các kết quả tính toán số dao động.

- Mục tiêu thứ ba nhằm đề xuất phương pháp xây dựng mô hình lý thuyết và phương
pháp tính toán xác định các đặc trưng dao động tự do và dao động cưỡng bức của dầm có
ứng suất trước với nhiều vết nứt; xác định sự ảnh hưởng của ứng suất trước, số lượng và độ
lớn của các vết nứt đến tần số riêng và đáp ứng động lực của dầm dưới tác dụng của vật thể
di động.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là dao động của dầm giản đơn có ứng suất trước với
các điều kiện biên khác nhau và dầm liên tục có ứng suất trước, đặt trên nhiều gối đỡ trung
gian. Trong đó mô hình dao động được giới hạn trong những giả thiết sau:
- Mô hình hóa dầm có ứng suất trước dựa trên lý thuyết dầm Euler-Bernoulli,
- Biến dạng tỷ đối ban đầu tạo ra ứng suất trước được coi là hằng số theo chiều dài
dầm,
- Vật thể di chuyển trên dầm được mô tả bằng hệ dao động một bậc tự do,
- Mô hình hóa vết nứt dựa trên giả thiết về điều kiện tương thích tại vị trí vết nứt đối
với chuyển vị, mômen uốn và lực cắt theo các công trình nghiên cứu [28, 31].

Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng kết hợp giữa các phương pháp giải tích và các phương pháp số để
thực hiện mục tiêu nghiên cứu.
- Các phương pháp cơ bản của cơ học kỹ thuật như nguyên lý d'Alembert, phương
pháp tách cấu trúc đã được áp dụng để thiết lập các phương trình vi phân dao động của hệ
dầm - vật thể di động, phương pháp Ritz-Galerkin được áp dụng để biến đổi hệ phương
trình có dạng hỗn hợp về hệ các phương trình vi phân thường.
- Phương pháp số với các thuật toán như Runge-Kutta-Nyström đã được sử dụng để
giải gần đúng hệ các phương trình vi phân thường bằng số. Các chương trình tính toán
được xây dựng trên phần mềm tính toán đa năng MATLAB. Một số kết quả tính toán số đã
được so sánh với kết quả thực nghiệm để kiểm chứng độ chính xác. Các dữ liệu thiết kế và
thông số kỹ thuật của dầm cầu được sử dụng cho các thí dụ áp dụng được lấy từ các nguồn
đáng tin cậy.

Bố cục của luận án
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án gồm có năm chương nội dung. Chương một
giới thiệu một cách tổng quan về dầm BTCT dự ứng lực và tình hình nghiên cứu tính toán
dao động của dầm có ứng suất trước. Chương hai trình bày việc thiết lập phương trình vi
phân dao động uốn của dầm Euler-Bernoulli có ứng suất trước và nghiên cứu bài toán xác
định trị riêng và dạng dao động riêng của dầm giản đơn có ứng suất trước. Nội dung của
2


chương ba là các kết quả nghiên cứu dao động uốn của dầm Euler-Bernoulli giản đơn có
ứng suất trước dưới tác dụng của vật thể di động. Chương bốn trình bày việc tính toán dao
động uốn của dầm liên tục có ứng suất trước dưới tác dụng của nhiều vật thể di động.
Chương năm trình bày phương pháp tính toán và các kết quả mô phỏng số dao động uốn tự
do của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt và dao động cưỡng bức của dầm loại này dưới
tác dụng của vật thể di động.

Đóng góp của luận án
Về lý thuyết:
- Tổng kết cơ sở lý thuyết và đề xuất phương pháp thiết lập phương trình dao động tự
do của dầm giản đơn có ứng suất trước, thiết lập phương trình dao động uốn cưỡng bức
của dầm giản đơn và dầm liên tục ứng suất trước dưới tác dụng của nhiều vật thể di động,
thiết lập phương trình dao động uốn của dầm giản đơn có ứng suất trước với nhiều vết nứt
dưới tác dụng của vật thể di động.
- Đề xuất các thuật toán để tính toán số các đặc trưng dao động của dầm có ứng suất
trước (tần số riêng, dạng dao động riêng) và đáp ứng động lực của dầm có ứng suất trước
(không có vết nứt và có các vết nứt) dưới tác dụng của vật thể di động, xây dựng các
chương trình tính toán dựa trên các thuật toán đã đề xuất.
- Đưa ra nhiều kết quả tính toán số dao động dựa trên số liệu của một số công trình cầu
tại Việt Nam. Một số kết quả tính toán lý thuyết đã được so sánh với kết quả đo đạc thực

nghiệm và cho thấy sự phù hợp. Các kết quả tính toán số đã chỉ ra sự ảnh hưởng của ứng
suất trước đến tần số riêng và đáp ứng động lực của dầm.
Về thực tiễn:
- Trình bày một số công thức thực nghiệm và công thức lý thuyết gần đúng tính toán
lực căng dây cáp trên cơ sở đo tần số dao động riêng của dây cáp. Các công thức này đã
được áp dụng để tính toán lực căng dây cáp của cầu Bãi Cháy và cầu Bính, cho kết quả khá
phù hợp với kết quả đo thực nghiệm.
- Đề xuất một phương pháp tính toán vận tốc tới hạn của ô tô khi qua cầu, trong đó có
tính đến hiện tượng cộng hưởng tham số của dao động uốn.
- Các chương trình tính toán của luận án có thể sử dụng để tính toán dự báo dao động
của các công trình như cầu dầm dưới tác dụng của hoạt tải khai thác, hỗ trợ cho công tác
thiết kế và kiểm định.

3


CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM ỨNG SUẤT
TRƯỚC

Trong kỹ thuật xây dựng người ta thường hay sử dụng các dầm bê tông cốt thép
(BTCT) có ứng suất trước bị nén để xây dựng các công trình cầu và nhà cao tầng. Trong kỹ
thuật cơ khí người ta sử dụng dầm thép ứng suất trước trong chế tạo các cánh tuốc-bin.
Chương này trước hết giới thiệu một cách sơ lược về các tính chất cơ học của dầm bê tông
cốt thép dự ứng lực, sau đó trình bày tổng quan về tình hình nghiên cứu dao động uốn của
dầm ứng suất trước và dao động uốn của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt.

1.1 Các dầm bê tông cốt thép dự ứng lực
Kết cấu ứng suất trước, điển hình là dầm BTCT ứng suất trước (dầm bê tông dự ứng

lực) được ứng dụng rộng rãi tại hầu hết các nước tiến tiến trên thế giới từ hơn 50 năm nay
do có khả năng chịu tải trọng lớn hơn kết cấu bê tông thông thường [14, 15, 41, 42, 43, 44,
54, 55, 74, 75]. Ý tưởng của phương pháp ứng suất trước là tạo ra ứng suất dư ngược dấu
với ứng suất do tải trọng gây ra trong kết cấu để nhằm giảm thiểu hiện tượng nứt và tăng
khả năng chịu lực của kết cấu.
Ở Việt Nam, việc ứng dụng công nghệ tạo ứng suất trước cho kết cấu xây dựng đã
được thực hiện từ những năm 70, 80 của thế kỷ trước. Tuy nhiên, việc chế tạo kết cấu
BTCT ứng suất trước với qui mô công nghiệp mới được áp dụng cách đây hơn chục năm
và đang phát triển mạnh. Từ năm 1998, nhà máy bê tông Xuân Mai đã triển khai công nghệ
bê tông dự ứng lực (căng trước) để sản xuất các cấu kiện vượt khẩu độ lớn cho xây dựng
nhà cao tầng; tháp và dầm cầu cho đường sắt trên cao và các cầu cạn. Một số sản phẩm
khác có thể kể đến như dầm cầu dự ứng lực của Bê tông Châu Thới; cột điện bê tông Thịnh
Liệt; cọc dự ứng lực của Công ty Phan Vũ; ống cấp nước của Bê tông Tân Bình.
Nguyên tắc chung của các biện pháp tạo dự ứng lực (ứng suất trước) là tìm cách nào
đó tạo ra ứng suất kéo trong các cốt thép cường độ cao rồi sau đó lợi dụng tính dính bám
của các cốt thép đó với bê tông hoặc dùng các mấu neo để truyền ứng lực kéo trong cốt
thép vào bê tông, tạo thành dự ứng lực nén trước cho bê tông. Hai biện pháp tạo dự ứng lực
phổ biến đều đòi hỏi hệ thống thiết bị đồng bộ: Bệ căng, mấu neo, kích, cốt thép cường độ
cao, thiết bị phụ trợ và các bước công nghệ đồng bộ.
1.1.1 Kéo căng cốt thép trước khi đổ bê tông (kéo căng trên bệ)
Các cốt thép cường độ cao có thể được kéo căng trước bằng biện pháp cơ khí hay bằng
phương pháp nhiệt. Sau khi được kéo căng các đầu cốt thép cường độ cao được liên kết
4


chặt chẽ vào các bệ cố định nhờ các neo ngoài tạm thời. Tiếp đến người ta lắp đặt các cốt
thép thường, làm ván khuôn và đúc bê tông dầm. Khi bê tông dầm đã được bảo dưỡng đủ
cuờng độ thì tháo bỏ các neo ngoài tạm thời. Khi đó các cốt thép cường độ cao không còn
bị neo giữ chặt vào các bệ cố định và có xu hướng co ngắn lại như cũ. Do có các neo ngầm
đã bố trí trước nằm trong lòng khối bê tông và do có lực dính bám giữa các cốt thép và bê

tông nên sự co ngắn này bị cản trở. Đồng thời trong bê tông xuất hiện dự ứng lực nén tồn
tại lâu dài. Các đoạn cốt thép thừa nhô ra khỏi đầu dầm được cắt bỏ, các neo ngoài tạm
thời được sử dụng lại để chế tạo dầm khác.
Bệ cố định có thể bằng thép hoặc BTCT xây trên mặt đất. Cũng có thể bệ căng được
đặt toàn bộ trên toa xe di động theo đường ray đi qua các phân xưởng của nhà máy sản
xuất BTCT, phù hợp với dây chuyền công nghệ.
Phương pháp này thích hợp với điều kiện sản xuất BTCT dự ứng lực trong nhà máy,
có thể đảm bảo chất lượng cao của dầm. Do điều kiện vận chuyển từ nhà máy đến công
trường theo đường sắt, đường ô tô, hay đường thuỷ phức tạp nên các cầu kiện BTCT dự
ứng lực chế tạo theo phương pháp này phải hạn chế về kích thước và trọng lượng. Chiều
dài lớn nhất của cấu kiện chỉ xấp xỉ 33 m. Như vậy phương pháp này chỉ phù hợp cho kết
cấu dầm giản đơn.
Nhược điểm của phương pháp căng trên bệ là đòi hỏi nhiều thiết bị và chỉ kéo căng cốt
thép được theo sơ đồ thẳng hay sơ đồ gấp khúc.
1.1.2 Kéo căng cốt thép sau khi đổ bê tông (căng trên bê tông)
Trong quá trình đổ bê tông dầm, người ta tạo ra các đường ống rỗng trong lòng khối
bê tông theo các dạng đường cong hay đường thẳng đã dự kiến. Sau khi bê tông đã đủ
cường độ cần thiết, người ta luồn các cốt thép cường độ cao vào các ống rỗng này rồi dùng
kích thuỷ lực để kéo căng các cốt thép. Chân kích tỳ trực tiếp lên bề mặt bê tông đầu dầm,
còn mớ cặp của kích kẹp chặt lấy neo hoặc các đầu cốt thép mà kéo căng ra. Khi đã đạt đủ
dự ứng suất kéo cần có trong cốt thép theo tính toán thiết kế thì tiến hành cố định các neo
ngoài vĩnh cửu để giữ đầu cốt thép vào bề mặt bê tông đầu dầm, rồi tháo kích. Đoạn cốt
thép cường độ cao thừa được cắt bỏ. Tiếp theo, người ta bơm vữa bê tông vào ống chứa
cáp để lấp kín phần rỗng còn lại giữa cốt thép và các đường ống. Các neo ngoài cũng được
đổ bê tông bịt kín để chống rỉ.
Ưu điểm của phương pháp này là không cần bệ căng cố định và các neo tạm thời. Các
cốt thép cường độ cao có thể đặt thẳng hay theo bất kỳ đường cong nào tùy theo dự kiến
của người thiết kế nhằm mục đích triệt tiêu ứng suất kéo trong bê tông. Kích thước và
trọng lượng khối lắp ghép không bị hạn chế do chuyên chở.
Phương pháp này đặc biệt có ý nghĩa khi xây dựng các cầu BTCT dự ứng lực nhịp lớn

theo công nghệ lắp (đúc) hẫng hay công nghệ lắp (đúc) đẩy. Các cốt thép dự ứng lực có thể
để lại sau khi kéo căng, cũng có thể tháo ra nếu chỉ là cốt phục vụ công tác thi công.
Phương pháp này cũng được áp dụng ở một số cầu được tạo dự ứng lực theo phương ngang
cầu.
1.1.3 Sơ lược về bê tông cốt thép dự ứng lực ngoài
Trong kết cấu dự ứng lực ngoài sẽ bố trí các bó cốt thép dự ứng lực ở bên ngoài tiết
diện bê tông. Các bó thép dự ứng lực tác động vào khối bê tông thông qua các ụ truyền lực
được đúc liền hoặc áp chặt vào khối bê tông bằng bu lông cường độ cao và keo dán. Để có

5


thể bố trí các bó thép theo các đường gẫy khúc cần phải tạo thêm các ụ chuyển hướng của
bó thép.
Dự ứng lực ngoài được áp dụng trong các truờng hợp sau:
- Nếu việc đặt cốt thép dự ứng lực trong bê tông quá dày đặc gây khó khăn đổ bê tông
kết cấu thì một số bó thép được đưa ra ngoài.
- Khi cần bố trí cốt thép dự ứng lực tạm thời chỉ để phục vụ thi công. Sau đó có thể dễ
dàng tháo bỏ.
- Khi sửa chữa các cầu cũ có thể dùng bó thép dự ứng lực đặt ngoài để khắc phục hư
hỏng. Cũng dùng dự ứng lực ngoài trong trường hợp cần tăng cường khả năng chịu tải của
các cầu đang khai thác (ví dụ cầu chữ Y, cầu Niệm).
Các bó thép dự ứng lực ngoài được bảo vệ bằng cách luồn vào trong các ống thép hoặc
nhựa, các ống này được bơm đầy vữa xi măng hoặc mỡ công nghiệp để bảo vệ chống rỉ
cho các bó thép dự ứng lực.

1.2 Tổng quan về các kết quả nghiên cứu dao động của dầm ứng
suất trước
Các phương pháp tính toán thiết kế dầm ứng suất trước dưới tác dụng của tải trọng
tĩnh đã được đưa vào các tiêu chuẩn và được áp dụng khá phổ biến trên thế giới cũng như

tại Việt Nam. Trong cuốn giáo trình gồm hai tập “Cầu bê tông cốt thép” [14, 15], các tác
giả Nguyễn Viết Trung và Hoàng Hà đã trình bày các vấn đề cơ bản về cầu BTCT dự ứng
lực với nội dung chủ yếu về kết cấu cầu và tính toán độ bền tĩnh của dầm BTCT theo mô
hình dầm ứng suất trước, vấn đề tính toán động chỉ được giới thiệu một cách sơ lược. Ở
CHLB Đức, trong cuốn sách “Spannbetonbau” (Chế tạo bê tông dự ứng lực) [76], tác giả
G. Rombach đã trình bày khá kỹ các vấn đề: vật liệu dầm dự ứng lực, phương pháp tạo ứng
suất trước, tìm nội lực dầm ứng suất trước siêu tĩnh, các vấn đề về dão, hồi phục của vật
liệu. Các vấn đề về vật liệu và tính toán tĩnh dầm ứng suất trước cũng được trình bày trong
các tài liệu [20, 41, 50] ở Nhật và Hoa Kỳ.
Các phương pháp tính toán thiết kế dầm ứng suất trước dưới tác dụng của tải trọng
tĩnh đã được đưa vào các tiêu chuẩn và được áp dụng khá phổ biến trên thế giới cũng như ở
Việt Nam. Tuy nhiên, các vấn đề lý thuyết về động lực học và dao động của dầm ứng suất
trước ở các nước cũng như ở Việt Nam được nghiên cứu chưa nhiều.
Trên thế giới, các công trình nghiên cứu về dao động của dầm ứng suất trước được bắt
đầu nghiên cứu vào những năm 60 của thế kỷ 20. Đầu tiên là các công trình nghiên cứu
thực nghiệm hoặc tính toán bằng đồ thị. Trong các lần tái bản các năm 1976, 1986 của
cuốn sổ tay về thiết kế công trình ứng suất trước [20] các tác giả đã viết một chương về
dao động của dầm ứng suất trước. Tuy nhiên các công trình nghiên cứu tính toán đầu tiên
về tần số riêng và dạng dao động riêng của dầm ứng suất trước có thể là các công trình của
A. D. Keer ở Đại học Princeton, Hoa Kỳ, công bố vào các năm 1973 [42] và 1976 [43].
Qua các kết quả tính toán ta thấy ảnh hưởng của ứng suất trước đối với các tần số thấp rất
rõ, tuy nhiên ứng suất trước ít ảnh hưởng đến các tần số riêng bậc cao. Ở CHLB Đức, GS.
O. Mahrenholz [52] và học trò của ông R. Hinrichs [39] đã nghiên cứu dao động có cản
của dầm ứng suất trước vào các năm 1987-1990. Trong [39] tác giả đã sử dụng nguyên lý
Hamilton thiết lập phương trình vi phân dao động uốn tự do của dầm ứng suất trước, chứng
minh tính chất trực giao của các dạng dao động riêng. Sau đó đã đưa ra công thức xác định
các hệ số cản của dầm ứng suất trước bằng tính toán và bằng thực nghiệm.
Các công trình [43], [44] đã khảo sát ảnh hưởng của lực dọc đến tần số riêng và dao
động tự do của một dầm mảnh có ứng suất trước theo một mô hình dầm giản đơn trên hai
6

gối tựa. Dao động của một khung bê tông cốt thép có ứng suất trước dưới tác động của
động đất đã được khảo sát và tính toán mô phỏng số trong tài liệu [55]. Hiệu ứng "làm
mềm dầm bằng nén trước" biểu thị sự suy giảm tần số riêng uốn của dầm do nén trước đã
được phát hiện và minh chứng bằng con đường thực nghiệm [77]. Cơ sở lý thuyết về dao
động uốn tự do của dầm ứng suất trước cũng được trình bày khá chi tiết trong các công
trình [25, 46, 78]. Phương pháp phần tử hữu hạn cũng đã được sử dụng để tính tần số dao
động riêng của dầm bê tông cốt thép có ứng suất trước [47].
Ngoài các công trình đáng chú ý nêu trên, một số tác giả đã nghiên cứu dao động của
dầm ứng suất trước trên các mô hình lý thuyết [25, 26, 29, 30, 37, 47, 54, 74, 77, 81], trong
đó các tác giả tập trung vào bài toán dao động tự do. Một số công trình đã phân tích khá kỹ
ảnh hưởng của ứng suất trước đến tần số riêng và dạng dao động riêng của dầm. Việc phân
tích ảnh hưởng của cản đến tính chất dao động tự do của dầm dầm ứng suất trước cũng có
được đề cập nhưng còn ít [39, 52]. Các bài báo đề cập mô hình dao động uốn của dầm ứng
suất trước dưới tác dụng của tải trọng di động còn chưa được nghiên cứu nhiều.
Ở nước ta, các công trình nghiên cứu về dao động của dầm ứng suất trước được bắt
đầu khá muộn. Nguyễn Đình Kiên ở Viện Cơ học và đồng nghiệp sử dụng phương pháp
Phần tử hữu hạn nghiên cứu dao động của dầm Euler-Bernoulli ứng suất trước trên nền đàn
hồi hai tham số dưới tác dụng của tải trọng di động [57, 60, 61]. Trong đó tải trọng di động
được mô hình hóa là một lực di động. Nhóm nghiên cứu này cũng đã sử dụng phương pháp
Phần tử hữu hạn để tính toán dao động uốn của dầm Timoscenko trên nền hai tham số dưới
tác dụng của lực di động [58, 59]. Trong các công trình trên các tác giả xem lực tác dụng ở
hai đầu dầm gây nên ứng suất trước trong dầm.
Nhóm nghiên cứu về dao động của cầu ở trường Đại học Bách khoa Hà Nội nghiên
cứu dao động uốn của dầm ứng suất trước theo hướng khác [7, 8, 67, 68]. Các ứng suất
trước được tạo thành trong quá trình chế tạo các cấu kiện bê tông cốt thép. Các tác giả
trong nhóm đã sử dụng Nguyên lý d’Alembert thiết lập phương trình dao động uốn tự do
và cưỡng bức của dầm giản đơn. Các tác giả này cũng đã sử dụng phương pháp tách cấu
trúc thiết lập phương trình dao động của dầm giản đơn và dầm liên tục ứng suất trước dưới

tác dụng của một và nhiều vật thể di động trên dầm. Các vật thể di động được mô hình hóa
bởi một hệ dao động (hình 1.1)
z

v

m

k

d
x

l

w

Hình 1.1 Mô hình dầm dưới tác dụng của vật thể di động

Cách mô hình hóa này theo GS. Panovko tốt hơn cách mô hình hóa thay thế vật thể di
động bằng một lực di chuyển trên dầm [72]. Các vấn đề về ảnh hưởng của ứng suất trước
và vết nứt đến tần số dao động riêng và dạng dao động riêng đã được quan tâm nghiên cứu.
Nhóm cũng quan tâm đến các bài toán ứng dụng như dao động uốn của cầu dầm giản đơn
và cầu dầm liên tục dưới tác dụng của các hoạt tải khai thác.

7


1.3 Tổng quan về các kết quả nghiên cứu dao động của dầm ứng
suất trước có vết nứt

Việc nghiên cứu dao động của dầm chịu uốn khi xuất hiện các vết nứt dựa trên các mô
hình cơ học luôn là vấn đề thời sự của động lực học công trình. Nhóm nghiên cứu của GS.
Nguyễn Tiến Khiêm ở Viện Cơ học là những người đầu tiên nghiên cứu về dao động của
dầm không ứng suất trước có vết nứt ở Việt Nam. Một dầm có vết nứt đồng nghĩa với việc
thay đổi độ cứng chống uốn tại vị trí vết nứt, do đó, các phương pháp mô hình hóa đều
thay thế vết nứt bằng một phần tử đàn hồi (lò xo xoắn) có hệ số mềm là d t phụ thuộc vào
kích thước vết nứt như mô tả trên hình 1.2 [28, 31, 53].

Hình 1.2 Mô hình hóa vết nứt

Các kết quả nghiên cứu ở Viện Cơ học hướng về bài toán chẩn đoán kỹ thuật, thí dụ
như phát hiện vết nứt trên dầm từ các đồ thị đáp ứng động lực theo thời gian. Nhóm nghiên
cứu của Nguyễn Tiến Khiêm, Nguyễn Việt Khoa đã đạt dược nhiều kết quả mới [9, 17, 19,
62, 69] khi nghiên cứu vấn đề này. Các phương pháp được sử dụng để tính toán đáp ứng
động lực trên mô hình lý thuyết là phương pháp phổ tần số, phương pháp ma trận truyền và
phương pháp phần tử hữu hạn. Cùng với chủ đề nhận dạng vết nứt, công trình [82] đề xuất
một phương pháp phát hiện vết nứt của dầm bê tông cốt thép ứng suất trước bằng thực
nghiệm.
Tuy nhiên vấn đề dao động uốn của dầm ứng suất trước có vết nứt chưa được nghiên
cứu ở Viện Cơ học. Trên thế giới, các kết quả nghiên cứu về dao động uốn của dầm ứng
suất trước có vết nứt còn ít được công bố. Ta có thể kể ra đây một vài công trình của Aydin
[22], Binici [24], Gomes và công sự [35], Hamed và Frostig [36], Huszar [40], Masoul và
cộng sự [53], Yang và cộng sự [84]. Trong các công trình đó, các tác giả đã đề xuất các mô
hình dao động uốn của dầm ứng suất trước có vết nứt nhằm nghiên cứu sự thay đổi về tần
số riêng và dao động riêng của loại dầm này dưới tác động của các vết nứt. Việc xác định
tần số riêng của dầm ứng suất trước có vết nứt hai dầu bản lề, hai đầu ngàm, một đầu ngàm
một đầu tự do đã được khảo sát tương đối chi tiết. Nhiều tác giả sử dụng phương pháp ma
trận truyền để thiết lập phương trình tần số của dầm ứng suất trước có số lượng vết nứt tùy
ý [21, 24, 48, 49] do việc thực hiện tính toán số theo các bước khá đơn giản và thuận tiện.
Trong thời gian qua, một vài phương pháp giải tích và phương pháp số đã được đề

xuất để khảo sát động lực học của dầm có vết nứt. Trong tài liệu [31], Dimarogonas và
cộng sự đã tổng kết một số công trình nghiên cứu quan trọng trước đó về động lực học của
kết cấu có vết nứt. Nhóm tác giả này cũng đã đề xuất một lý thuyết tổng quát về dao động
uốn của dầm có vết nứt với các điều kiện biên khác nhau [28].
Ở nước ta, vấn đề dao động uốn của dầm ứng suất trước có số lượng vết nứt tùy ý đã
được nghiên cứu ở Trường Đại học Bách khoa Hà Nội trong những năm gần đây dựa trên
cơ sở phương pháp ma trận truyền mà Lin đã sử dụng trong các công trình [48, 49] cho
dầm không có ứng suất trước. Một số vấn đề nghiên cứu như: Thuật toán xác định các tần
số riêng của dầm có vết nứt và có ứng suất trước, khảo sát ảnh hưởng đồng thời của ứng
8


suất trước và vết nứt đến tần số riêng, bài toán dao động của dầm ứng suất trước có vết nứt
dưới tác dụng của vật thể di động đã đạt những kết quả nghiên cứu bước đầu.

1.4 Xác định vấn đề nghiên cứu
Việc phân tích các công bố khoa học có liên quan đến dao động uốn của dầm ứng suất
trước cho ta thấy còn một số vấn đề cần nghiên cứu sâu hơn về cơ sở lý thuyết, phương
pháp tính toán và khả năng áp dụng vào thực tế, góp phần làm phong phú thêm những kiến
thức và hiểu biết về tính toán dao động của dầm ứng suất trước.
- Vấn đề thứ nhất là xây dựng mô hình lý thuyết và đề xuất áp dụng một phương pháp
tin cậy để thiết lập phương trình dao động của dầm giản đơn có ứng suất trước, chịu tác
dụng của vật thể di động; đưa ra các kết quả khảo sát ảnh hưởng của ứng suất trước đến tần
số riêng và đáp ứng động lực của dầm.
- Vấn đề thứ hai là xây dựng mô hình lý thuyết, thiết lập phương trình dao động và đề
xuất phương pháp tính toán đáp ứng động lực của dầm liên tục với nhiều gối cứng trung
gian, có ứng suất trước, chịu tác dụng của nhiều vật thể di động. Đây là một bài toán khá
phức tạp và hiện tại hầu như chưa có kết quả nghiên cứu về vấn đề này được công bố.
- Vấn đề thứ ba là xây dựng mô hình lý thuyết, thiết lập phương trình dao động và đề
xuất phương pháp tính toán đáp ứng động lực của dầm giản đơn có ứng suất trước với

nhiều vết nứt hở dưới tác dụng của một vật thể di động; đưa ra các kết quả khảo sát ảnh
hưởng của vết nứt đến tần số riêng và đáp ứng động lực của dầm. Vấn đề này hiện chưa
được nghiên cứu rộng rãi và có rất ít công bố khoa học.
- Vấn đề thứ tư là việc xây dựng các chương trình tính toán trên cơ sở các kết quả
nghiên cứu lý thuyết và áp dụng chương trình này tính toán cho nhiều thí dụ từ số liệu của
một số công trình cầu tại Việt Nam nhằm tính toán dự báo dao động của các công trình như
cầu dầm dưới tác dụng của phương tiện vận tải, phục vụ cho công tác thiết kế và kiểm định
công trình.
Một vấn đề quan trọng cũng cần nêu ra ở đây là các dầm ứng suất trước có thể phân
thành: dầm thép ứng suất trước, dầm bê tông-cốt thép ứng suất trước, dầm bê tông ứng suất
trước.
Trong luận án này giới hạn nghiên cứu dầm ứng suất trước có quan hệ ứng suất – biến
dạng tuân theo tính chất đàn hồi của vật liệu. Các dầm thép ứng suất trước là loại dầm thỏa
mãn tính chất đàn hồi của vật liệu. Các dầm bê tông ứng suất trước không thỏa mãn tính
chất đàn hồi của vật liệu. Các dầm bê tông cốt thép với cốt thép chịu lực chủ yếu có thể
xem gần đúng là các dầm tuân theo quy luật đàn hồi của vật liệu. Vì vậy trong luận án này
không nghiên cứu dao động của dầm bê tông dự ứng lực.

9


CHƯƠNG 2

TẦN SỐ RIÊNG VÀ DẠNG DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA DẦM
ỨNG SUẤT TRƯỚC

Các dầm BTCT sử dụng trong xây dựng cầu BTCT dự ứng lực là các dầm có ứng suất
trước. Các ứng suất trước thể hiện qua biến dạng dài tỷ đối ban đầu  0 ( x ) . Nội dung của
chương này đề cập tới việc xây dựng mô hình cơ học và mô hình toán của dầm có ứng suất
trước. Nguyên lý d’Alembert được áp dụng để thiết lập phương trình dao động uốn của

dầm ứng suất trước. Bài toán xác định tần số riêng và dạng dao động riêng của dầm ứng
suất trước sẽ được trình bày chi tiết. Cuối chương trình bày các công thức thực nghiệm và
các công thức tính toán gần đúng đã biết để xác định lực căng dây cáp của cầu treo trên cơ
sở đo các tần số dao động riêng và một số kết quả tính lực căng dây cáp cho các cầu treo
dây văng ở Việt Nam là cầu Bính và cầu Bãi Cháy.

2.1 Mô hình cơ học và phương trình dao động
Các mô hình dầm sau đây đã và đang được nghiên cứu:
- Mô hình dầm Euler-Bernoulli
- Mô hình dầm Rayleigh
- Mô hình dầm Timoshenko
- Mô hình dầm Reddy-Bickford
Các mô hình dầm Euler-Bernoulli, Rayleigh, Timoshenko đều sử dụng giả thiết thiết
diện phẳng. Trong mô hình dầm Euler-Bernoulli bỏ qua ảnh hưởng của quán tính quay và
biến dạng trượt. Trong mô hình dầm Rayleigh có chú ý đến quán tính quay, bỏ qua ảnh
hưởng của biến dạng trượt. Trong mô hình dầm Timoshenko người ta quan tâm đến ảnh
hưởng của quán tính quay và biến dạng trượt [10, 51, 83]. Khác với ba loại mô hình trên,
mô hình dầm Reddy-Bickford không chấp nhận giả thiết về thiết diện phẳng. Đây là loại
mô hình dầm đang được nghiên cứu.
Trong luận án này, ta chỉ xét dao động uốn của dầm Euler-Bernoulli. Khi nghiên cứu
dao động uốn của dầm, ta giả thiết rằng mặt cắt của dầm đối xứng qua hai trục. Chẳng hạn
mặt cắt của dầm có dạng hình tròn, hình chữ nhật, hình vuông, hình chữ I... Khi mặt cắt
của dầm không đối xứng qua hai trục thì dầm sẽ thực hiện dao động uốn và xoắn đồng
thời. Bài toán dao động uốn-xoắn của dầm là bài toán khá phức tạp, ta không xét ở đây. Để
đơn giản, ta thừa nhận giả thiết của Bernoulli về mặt cắt phẳng như trong các giáo trình về
Sức bền vật liệu: Mặt cắt ngang của dầm ban đầu phẳng và thẳng góc với trục trung hòa
của dầm thì trong quá trình biến dạng cũng như sau biến dạng nó vẫn phẳng và vuông góc
với trục trung hòa của dầm.

10

Theo giả thiết của Bernoulli, mặt cắt ngang của dầm luôn phẳng và vuông góc với trục
võng của dầm. Trục hình học của dầm khi chưa biến dạng là một đoạn thẳng. Ta lấy đường
thẳng này làm trục x (hình 2.1). Bỏ qua dao động xoắn và dao động dọc trục, dầm chỉ thực
hiện dao động theo phương z.

Hình 2.1 Mô hình dầm

Tài liệu [39] đã trình bày việc thiết lập phương trình dao động uốn của dầm ứng suất
trước bằng phương pháp sử dụng nguyên lý Hamilton. Trong chương này ta sử dụng
nguyên lý d’Alembert để thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của dầm ứng suất
trước. Ta tưởng tượng tách một phân tố nhỏ của dầm có chiều dài dx như hình 2.2.

Hình 2.2 Phân tố dầm chịu lực

Ký hiệu w(x,t) là độ võng của dầm tại mặt cắt x. Bỏ qua quán tính quay và biến dạng
trượt. Từ điều kiện các lực cân bằng theo phương z ta có:
2w
Q
(2.1)
 Fkz  dm t 2  Q  Q  x dx  p( x, t )dx  0
Từ điều kiện cân bằng mômen các lực, ta nhận được phương trình:

M
dx
Q
dx
(2.2)
 mT Fk  M y  M y  x y dx  Q 2  (Q  x dx) 2  0

Từ phương trình (2.1) ta suy ra:
 2 w Q
 A( x) 2 
 p  x, t 
(2.3)
t
x
Trong đó dm   ( x ) dx   A( x ) dx ,  ( x ) là khối lượng trên một đơn vị dài của dầm, 
là khối lượng riêng của dầm, A( x) là diện tích thiết diện mặt cắt ngang của dầm.
Bỏ qua vô cùng bé bậc 2, từ phương trình (2.2) ta suy ra
M y
Q
(2.4)
x

 

11


Từ lý thuyết đàn hồi tuyến tính ta có các biểu thức tính mômen uốn và ứng suất pháp
M y   z xx dA
(2.5)
A

 xx  E xx
(2.6)
là ứng suất pháp,  xx là biến dạng dài tỷ đối theo phương x. Giả thiết rằng

trong đó  xx

dầm chịu ứng suất trước, ở mặt cắt A(x) ta có biến dạng dài tỷ đối ban đầu là
 0 ( x, z, 0)   0 ( x) . Khi đó trong phạm vi lý thuyết tuyến tính ta có:

 xx ( x, z , t )   0 ( x)   * xx ( x, z , t )

(2.7)

trong đó  * xx ( x, z , t ) là biến dạng dài tỷ đối do dầm bị uốn. Hình 2.3 là mô hình phóng đại
một đoạn dầm bị uốn. Biến dạng dài tỷ đối của một lớp z nào đó của dầm phụ thuộc vào
toạ độ z. Khi z = z 0 thì  ( z0 )  0 . Đối với dầm đồng chất đối xứng thì dễ dàng xác định vị
trí của lớp z 0 (thường trùng với trục của dầm). Tuy nhiên đối với dầm bất kỳ (chẳng hạn
dầm bê tông cốt thép) lớp trung hòa nói chung không trùng với trục đối xứng của dầm. Ký
hiệu  z là bán kính cong của lớp trung hòa (trục của dầm).

d

 z  z  z0
z

trục của dầm

z0

đường trung hòa

z
2

1

Hình 2.3 Mô hình đoạn dầm bị uốn

Từ hình 2.3 ta có khoảng cách giữa hai mặt cắt 1 và 2 theo đường trung hòa được xác
định bởi hệ thức
LO   z d
(2.8)
Khoảng cách giữa các mặt 1 và 2 của lớp có toạ độ z trước biến dạng cũng là
LO   z d , sau biến dạng là
L  (  z  z  z0 ) d
(2.9)
L  LO z  z0
Biến dạng tỷ đối của lớp này là  * ( z ) 
(2.10)

z
LO
Nếu chọn z 0 = 0, thì
L  LO z
 * ( z) 

z
LO
(2.11)
Trong toán học ta có công thức tính độ cong của đường cong
2w
1
x 2


z

  w 
 1  

  x 

2





3
2

12

(2.12)


Thế (2.12) vào (2.11) ta được
2w
x 2

 * xx  x, z, t   

3
2

z

(2.13)

  w  
1  
 
  x  
Thế (2.13) vào (2.7) ta được biểu thức tính biến dạng dài tỷ đối của dầm có ứng suất
trước
2w
2w
x 2


(2.14)
 xx  x, z, t    0  x  
z

x
z
0 
3
x 2
2 2
  w  
1  
 
  x  
Thế các biểu thức (2.14) và (2.6) vào biểu thức (2.5) ta được
2w

M y   0  x  E  zdA  E 2  z 2 dA
(2.15)
x A
A
Chú ý tới các hệ thức
2
(2.16)
 zdA  wA ,  z dA  I ( x)
2

A

A

biểu thức mômen uốn (2.15) có dạng
2w
(2.17)
x 2
Thế biểu thức (2.17) vào biểu thức (2.4) ta được biểu thức lực cắt

 
2w 
(2.18)
Q( x, t )   E 0  x  A  x  w   EI  x  2 
x
x 
x 
Thế biểu thức (2.18) vào phương trình (2.3) ta nhận được phương trình đạo hàm riêng
mô tả dao động uốn của dầm có ứng suất trước
2 

2w  2
2w




 p  x, t 
(2.19)
EI
x

x
EA
x
w

A
x








0




x 2 
x 2  x 2 
t 2
Đối với dầm đồng chất thiết diện không đổi và ứng suất trước đều tại mọi mặt cắt, từ
(2.19) ta suy ra phương trình dao động uốn cưỡng bức của dầm có ứng suất trước
4w
2w
2w
(2.20)
EI 4   0 EA 2   A 2  p  x, t 
x
x
t
trong đó nếu dầm bị nén trước thì  0  0 , dầm bị kéo trước thì  0  0 . Từ (2.20) ta suy ra
phương trình dao động tự do của dầm có ứng suất trước
4w
2w
2w
(2.21)
EI 4   0 EA 2   A 2  0
x
x
t
Khi  0  0 (dầm không có ứng suất trước), từ phương trình (2.19) ta lại nhận được
phương trình dao động uốn của dầm Euler-Bernoulli quen thuộc
2 
2w 
2w

 p  x, t 

(2.22)
EI
x

A
x




x 2 
x 2 
t 2
Chú ý các công thức (2.20) được thiết lập với giả thiết dầm đàn hồi tuyến tính có ứng
suất trước.
M y ( x, t )  E 0  x  A  x  w  EI  x 

13