Luận văn về đường hyperbol tới hạn của một hệ elliptic hamilton với trọng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGỌC HÀ

VỀ ĐƯỜNG HYPERBOL TỚI HẠN CỦA
MỘT HỆ ELLIPTIC HAMILTON VỚI TRỌNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGỌC HÀ

VỀ ĐƯỜNG HYPERBOL TỚI HẠN CỦA
MỘT HỆ ELLIPTIC HAMILTON VỚI TRỌNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 8 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Như Thắng

HÀ NỘI, 2018

Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khoá học của mình. Qua
đây em xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể các thầy cô trong nhà trường đã
dạy dỗ, chỉ bảo tận tình trong quá trình em học tập tại trường.
Em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể các thầy cô trong Bộ môn Toán Giải tích,
Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi để em hoàn thành luận văn của mình. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo TS. Nguyễn Như Thắng, người đã trực
tiếp chỉ bảo và hướng dẫn tận tình em trong suốt quá trình thực hiện luận
văn.
Cuối cùng, xin được cảm ơn gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp, những
người đã luôn ở bên để giúp đỡ và chia sẻ những khó khăn với em trong suốt
thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình.
Hà Nội, tháng 8 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc Hà


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Như Thắng, luận
văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài "Về đường hyperbol
tới hạn của một hệ elliptic Hamilton với trọng" được hoàn thành bởi
nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 8 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc Hà


Mục lục

Mở đầu

1

1 Giới thiệu và một số công cụ bổ trợ

5

1.1

Giới thiệu vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Toán tử Dirichlet-Laplace và các không gian hàm . . . . . . .

8

1.2.1

Tính chất phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2

Các định lí nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.3

Tính giải được duy nhất nghiệm mạnh . . . . . . . . .

12

1.2.4

Nguyên lí cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Lí thuyết điểm tới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3

2 Chứng minh định lí tồn tại nghiệm không tầm thường

15

2.1

Thiết lập giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2

Chứng minh định lí tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.1

Một số bổ đề cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.2

Chứng minh Định lí 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Kết luận chung

28

Tài liệu tham khảo

29


Danh mục kí hiệu
Rn

Không gian vectơ Euclide n chiều.

H

Đường Hyperbol tương ứng với hệ Hamilton với trọng

C ∞ (Ω)

Không gian các hàm khả vi vô hạn trên Ω.

C0∞ (Ω)

Không gian các hàm khả vi liên tục vô hạn trên Ω.

W k,p (Ω)

Không gian Sobolev bậc k trên thang Lp .

H s (Ω)

Không gian Sobolev bậc s trên Ω.

(−∆)s

Lũy thừa cấp s của toán tử Dirichlet- Laplace âm.

Es

Miền xác định của toán tử Laplace cấp phân số

(−∆D )s .
(s, t)-nghiệm yếu

Nghiệm yếu trong không gian E t × E s .

φn

Hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λn của toán tử
dương −∆D .

En

Không gian tuyến tính span{φ1 , . . . , φn } sinh bởi các
hàm riêng {φ1 , . . . , φn }.


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Các hệ elliptic phi tuyến thường là các phương trình tới hạn trong nhiều
hiện tượng, chẳng hạn như biến đổi vật liệu, phương trình tiến hóa, phản
ứng-khuếch tán, thiên văn học...Có thể kể đến một vài phương trình rất nổi
tiếng đã được nghiên cứu và có nhiều ứng dụng như phương trình LotkaVolterra, Bose-Einstein, hệ Schr¨odinger, hệ Lane-Emden. Trong hầu hết các
tình huống, nghiệm của phương trình thường mô tả mật độ phân bố và do
đó, nghiệm dương của hệ có ý nghĩa vật lí và vai trò quan trọng. Đối với hệ

Lane-Emden đối với toán tử Laplace trên toàn không gian:


−∆u = v p trong RN

 −∆v = uq

(1)

N

trong R

đã được nghiên cứu sâu rộng. Giả thiết nổi tiếng về đường hyperbol Sobolev
tới hạn

1
1
2
+
=1−
(2)
1+p 1+q
N
phân chia miền tồn tại và không tồn tại nghiệm của hệ trên. Trong trường
p > 0, q > 0 :

hợp nghiệm đối xứng radial, giả thiết trên đã được Miditieri giải quyết một
phần năm 1996 (với hạn chế p > 1, q > 1) và Serrin và Zou chứng minh hoàn
thiện năm 1998 (với p > 0, q > 0). Giả thiết Lane-Emden tổng quát không

có hạn chế về tính đối xứng của nghiệm đến nay vẫn là bài toán mở.
Trong trường hợp miền Ω ⊂ RN bị chặn với biên trơn, kết quả tương tự
được chứng minh độc lập vào năm 1992 bởi Clément, Ph., de Figueiredo,
1


D.G., Mitidieri và Peletier, L.A., van der Vorst, R.C.A.M. Các tác giả chứng
minh được đối với hệ



−∆u = v p

trong Ω


 −∆v = uq

trong Ω

(3)

với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất u = v = 0 trên ∂Ω, phương trình (2)
mô tả đường hyperbol tới hạn của hệ (3).
Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu và diễn giải chi tiết các kết quả
về sự tồn tại vô hạn nghiệm không tầm thường và tồn tại nghiệm dương của
hệ:


vp



−∆u =
|x|α
uq


 −∆v =
|x|β

trong Ω
(4)
trong Ω

với điều kiện biên Dirichlet u = v = 0 trên ∂Ω và α, β < N.
Được sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Như Thắng, tôi chọn đề tài: “Về đường
hyperbol tới hạn của một hệ elliptic Hamilton với trọng”.

Nội dung luận văn gồm hai chương:

• Chương 1. Giới thiệu và một số công cụ bổ trợ. Trong chương này,
chúng tôi giới thiệu lịch sử vấn đề, các khái niệm, kết quả chính và trình
bày các kiến thức bổ trợ về toán tử Dirichlet-Laplace và định lí liên kết
để thiết lập giải tích phù hợp đối với hệ, cũng như trình bày chứng minh
sự tồn tại nghiệm ở chương sau.

• Chương 2. Chứng minh định lí tồn tại nghiệm không tầm thường. Dựa
trên các thiết lập giải tích hàm ở chương trước, chúng tôi sẽ trình bày
chi tiết chứng minh định lí tồn tại vô số nghiệm không tầm thường và
ít nhất một nghiệm dương của hệ (4).

2


2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu là tìm hiểu về đường Hyperbol tới hạn của một hệ
elliptic Hamilton với trọng và các yếu tố ảnh hưởng đến đường hyperbol này.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu trước hết là tìm hiểu về sự tồn tại của một đường
hyperbol tới hạn H trong mặt phẳng (p, q) (phụ thuộc vào α, β và N) và
chứng minh khi (p, q) nằm dưới đường hyperbol tới hạn tồn tại của nghiệm
không tầm thường.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Sự tồn tại của một đường hyperbol tới hạn trong
mặt phẳng (p, q) (phụ thuộc vào α, β và số chiều N ) sao cho khi (p, q)
nằm dưới đường hyperbol tới hạn tồn tại của nghiệm không tầm thường.

• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại nghiệm không tầm thường của hệ của
hệ elliptic Hamilton khi số mũ (p, q) nằm dưới đường hyperbol tới hạn.

5. Giả thuyết khoa học
Trình bày chi tiết kết quả về sự tồn tại nghiệm. Áp dụng được kết quả này
để chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường của hệ của hệ elliptic
Hamilton khi số mũ (p, q) nằm dưới đường hyperbol tới hạn.

3

6. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp biến phân trừu tượng thông qua một dạng
định lí liên kết và thiết lập giải tích hàm phù hợp cho hệ dựa trên kết quả
về toán tử Dirichlet-Laplace.
Các kết quả được trình bày trong luận văn được tham khảo chủ yếu từ
bài báo [6] “Djairo G. de Figueiredo · Ireneo Peral · Julio D. Rossi: The
critical hyperbola for a Hamiltonian elliptic system with weights. Annali di
Matematica (2008) 187:531–545” và cuốn sách chuyên khảo [14]: Gilbarg,
D., Trudinger, N.S. (1983): Elliptic Partial Differential Equations of Second
Order. Springer, New York. Bên cạnh đó, tác giả cũng đã tham khảo một số
tài liệu khác được liệt kê trong mục Tài liệu tham khảo. Tác giả rất mong
nhận được những đóng góp của các thầy, cô và bạn đọc cho luận văn, để
luận văn được hoàn thiện hơn, có thể trở thành một tài liệu tham khảo có ý
nghĩa.

4


Chương 1
Giới thiệu và một số công cụ bổ trợ
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lịch sử vấn đề, các khái niệm, kết quả
chính và trình bày các kiến thức bổ trợ để thiết lập giải tích phù hợp đối với
hệ, cũng như trình bày chứng minh kết quả ở chương sau.

1.1

Giới thiệu vấn đề

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm không tầm
thường của hệ elliptic (4) với điều kiện biên Dirichlet

u = v = 0 trên ∂Ω.
Ở đây, Ω là miền trơn bị chặn trong RN với 0 ∈ Ω và sp := sgn(s)|s|p .
Chúng tôi sẽ giả thiết rằng số p, q dương và α, β < N . Trong luận văn
này, chúng tôi tìm hiểu vai trò của hai trọng số α, β khi xem xét sự tồn tại
của các nghiệm. Với các giả thiết như trên, theo kết quả [6], sự tồn tại của
một hyperbol tới hạn H được cho bởi:

N −α N −β
+
= N − 2.
p+1
q+1

(1.1)

Khi (p, q) nằm dưới hyperbol này ta thu được sự tồn tại của các nghiệm
không tầm thường. Chú ý rằng khi không có sự xuất hiện của hai trọng số

α, β nghĩa là α = β = 0, ta sẽ phục hồi các hyperbol tới hạn của hệ elliptic
5


không trọng số đã thiết lập một cách độc lập trong [4] và [18] (xem thêm
[8] và [10]. Chú ý rằng hyperbol (1.1) đơn điệu theo α và β . Trọng số càng
mạnh thì hyperbol càng nhỏ.
Kết quả chính trong luận văn này là định lý sau đây:
Định lí 1. Giả thiết rằng p, q, α, β :

N −α N −β

+
>N −2
p+1
q+1
1
1
+
<1
p+1 q+1

(1.2)
(1.3)

và khi N ≥ 5, giả thiết thêm

q+1<

2(N − α)
2(N − β)
và p + 1 <
.
N −4
N −4

(1.4)

Khi đó tồn tại vô hạn các nghiệm mạnh và ít nhất một nghiệm mạnh dương
của (4).
Trong trường hợp α = β = 0, sự không tồn tại các nghiệm dương trên
miền hình sao khi (p, q) nằm trên hoặc phía trên đường hyperbol, có thể thu

được nhờ đồng nhất thức loại Pohozaev, ví dụ xem tài liệu [20]. Chú ý rằng
nếu α = β = 2 và p = q = 1, kết quả về sự tồn tại phụ thuộc vào tham số
thực λ. Chính xác hơn, xét bài toán tuyến tính:

v


−∆u = λ 2 trong Ω
|x|
u


 −∆v = λ 2 trong Ω
|x|

(1.5)

Bằng cách cộng hai phương trình, ta có: nếu λ > (N − 2)2 /4, hệ trên không
có nghiệm phân phối dương. Theo nghĩa này ta có thể giả thuyết rằng hyperbol H là tối ưu.
Hơn nữa ý tưởng này không có sự hạn chế trên α và β , nghĩa là có thể giải
quyết các hệ mà một phương trình (hay hai phương trình) thuộc loại Hénon.
6


Trong trường hợp tổng quát miền Ω, chúng tôi thu được hyperbol tương tự
như trên. Tuy nhiên trong trường hợp radial, chúng tôi có thể thêm các kết
quả sử dụng ý tưởng trong [17], xem Chú ý 3.1.
Chú ý rằng nếu lấy p = q, α = β < 0 Định lí 1 cho thấy kết quả về sự
tồn tại trong [17] về số mũ Sobolev mới với trọng số được cho bởi ước lượng
Caffarelli-Kohn-Nirenberg trong [3]. Với các phương trình vô hướng Hénon

cùng với các tính chất của nó, bạn đọc xem [17] và các tài liệu tham khảo
trong đó.
Chú ý rằng hệ (4) có cấu trúc biến phân. Thật vậy, nó có thể xem như
một hệ Hamilton, bởi vì nếu xét:

uq+1
v p+1
H(x, u, v) =
+
,
(p + 1)|x|α (q + 1)|x|β
thì ta có:

vp
uq
Hv (x, u, v) = α và Hu (x, u, v) = β .
|x|
|x|

Điểm chủ yếu của lập luận là để tìm thiết lập giải tích hàm phù hợp cho
(4), cho phép chúng tôi nghiên cứu bài toán biến phân. Chúng tôi thực hiện
điều này bằng cách xét lũy thừa phân số của toán tử tự liên hợp −∆ với
điều kiện biên Dirichlet. Ý tưởng chính có thể tìm thấy trong [8],[10][11] và
[15]. Chúng tôi cũng sử dụng định lý liên kết trong [11]. Xem thêm bài tổng
quan [9].
Quan sát phương pháp tương tự được sử dụng ở đây có thể được ứng dụng
cho hệ Hamilton tổng quát (với các giả thiết phù hợp trên H )


−∆u = Hv (x, u, v) trong Ω,


 −∆v = Hu (x, u, v)

7

trong Ω.


với điều kiện biên Dirichlet. Ví dụ ta có thể xét hai điểm x1 , x2 ∈ Ω,

vp


trong Ω
−∆u =
|x − x1 |α
uq


 −∆v =
trong Ω
|x − x2 |β
Để mô tả rõ ràng hơn, chúng tôi sẽ chứng minh kết quả (4) và để lại trường
hợp tổng quát cho bạn đọc.
Chúng tôi kết thúc phần giới thiệu một số thảo luận như trên. Với kết quả
này và các kết quả [5],[8], [10] và phần tổng quan [7]. Các kết quả về sự tồn
tại, không tồn tại và số bội của nghiệm của phương trình elliptic liên quan
trọng số có thể tìm được trong bài báo khác, ví dụ như [2],[12] và[13].

1.2

Toán tử Dirichlet-Laplace và các không gian hàm

Giả sử L2 (Ω) là không gian Hilbert các hàm đo được, bình phương khả tích
trên miền bị chặn, biên trơn Ω ⊂ RN .
Định nghĩa 1.1. Với 1 < p < ∞ và k ∈ N, ta kí hiệu W k,p (Ω) là không
gian Banach bao gồm các hàm khả tích bậc p có các đạo hàm riêng suy rộng
cấp đến cấp k khả tích bậc p trên Ω. Chuẩn trên W k,p (Ω) cho bởi công thức

1/p

u

W k,p (Ω)

Dxα u

=

p

Lp (Ω)

.

|α|≤k

Ta đặt W0k,p (Ω) là bao đóng của C0∞ (Ω) với chuẩn trong W k,p (Ω).
Đặc biệt, khi p = 2 ta có W k,2 (Ω) = H k (Ω), W0k,2 (Ω) = H0k (Ω) là các
không gian Hilbert.

Định nghĩa 1.2. Không gian Sobolev H 1 (Ω) bao gồm các hàm bình phương
khả tích có đạo hàm yếu cấp một bình phương khả tích. Chuẩn trên H 1 (Ω)

8


được cho bởi đẳng thức
1/2

n

u

2
H 1 (Ω)

|u(x)|2 dx +

=
Ω

|∂xi u(x)|2 dx

.

Ω i=1

Kí hiệu H01 (Ω) là bao đóng của C0∞ (Ω) trong H 1 (Ω).
Chú ý rằng H 1 (Ω), H01 (Ω) là các không gian Hilbert với tích vô hướng
sinh bởi chuẩn tương ứng.

Định nghĩa 1.3. Toán tử Dirichlet-Laplace ∆D là toán tử không bị chặn
sinh bởi toán tử vi phân ∆ với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất trên Ω.
Nói khác, ∆D : H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω) ⊂ L2 (Ω) → L2 (Ω) theo quy tắc tác động

∆D u = ∆u với mọi u ∈ H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω).
1.2.1

Tính chất phổ

Giả sử −∆D là toán tử Dirichlet-Laplace trên không gian Hilbert L2 (Ω):

−∆D : H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω) ⊂ L2 (Ω) → L2 (Ω).
Theo kết quả cổ điển (Hệ quả của Định lí [14, Theorem 8.37, tr. 214]),
tồn tại một dãy các giá trị riêng {λn } ⊂ R của −∆D với hàm riêng φn ∈

H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω) sao cho
0 < λ1 < λ2 ≤ .... ≤ λn ≤ ...

+∞.

Xét lũy thừa cấp phân số s của −∆D , với 0 < s < 1, xác định bằng

As = (−∆D )s , tức là
As : D(As ) ⊂ L2 (Ω) → L2 (Ω)
được cho bởi

∞
s

λsn an φn ,

Au=
n=1

9


khi u có dạng khai triển u =

an φn . Ta kí hiệu
∞

s

s

E = D(A ) =

2

2
λ2s
n an < ∞ .

u ∈ L (Ω) :
n=1

E s cũng là không gian Hilbert với tích vô hướng (., .)E s cho bởi công thức
(u, v)E s = As u, As v .
1.2.2

Các định lí nhúng

Không gian E s là không gian Sobolev cấp phân số, xem [16]. Thực tế, ta có

E s ⊂ H 2s (Ω), 0 < s ≤ 1.
Sử dụng định lý nhúng Sobolev (xem [14, Theorem 7.26, tr.271]) ta có

E s → Lr (Ω) nếu

1 1 2s
≥ −
r
2 N

và phép nhúng là compact nếu ta có bất đẳng thức ngặt. Ta sử dụng bất
đẳng thức H¨older để thu được

(q+1)/r 
(r−(q+1))/r

q+1
u
 |x|−βr/(r−(q+1))/r 
≤  ur 
≤C
β
|x|
Ω

Ω

Ω

(q+1)/r

ur 
Ω

nếu

βr
< N.
r − (q + 1)
Nghĩa là

N (q + 1) < (N − β)r.
Do đó, nếu

q+1<

2(N − β)
N − 4s

ta có thể chọn r sao cho

1 1 2s
> −
r
2 N

10

(1.6)


và (1.6) đúng. Do đó, ta thu được phép bao hàm sau đây

E s ⊂ H 2s (Ω) → Lr (Ω) ⊂ Lq+1 (Ω, |x|−β ).
Ở đó, Lq+1 (Ω, |x|−β ) là không gian các hàm xác định đo được trên Ω, khả
tích bậc (q + 1) với độ đo |x|−β dx.
Chính xác hơn, ta chứng minh mệnh đề sau,
Mệnh đề 2. Cho q > 1, β > 0 và s > 0 thỏa mãn

q+1<

2(N − β)
.
N − 4s

Khi đó ánh xạ i : E s → Lq+1 (Ω, |x|−β ) là một phép nhúng compact.
Cuối cùng, ta đưa ra nhận xét trường hợp đối xứng radial với α, β > 0.
Nhận xét 3.1 Từ giờ ta xét Ω = B(0, 1). Từ kết quả trong [17], sử dụng kết
quả nội suy giữa
2
Hrad
(B(0, 1)) → L2(N +α)(N −4) (B(0, 1), |x|−α ),

và

L2 (B(0, 1)) → L2 (B(0, 1), |x|−α ).

Ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 3. Giả sử α > 0. Nếu

p+1<

2(N + α)
,
N − 4s + α(1 − s)

thì

E s → Lq+1 (B(0, 1), |x|−α )
là compact.
Sử dụng mệnh đề này và ý tưởng tương tự các phần trước ta thu được kết
luận trong trường hợp đối xứng radial với α, β > 0 đường hyperbol tới hạn
được cho bởi
(N + |α|)(|β + 4|) (N + |β|)(|α| + 4)
|α| + |β| |αβ|
.
+
= 4(N − 2) + N
+
p+1
q+1
2
2
11


1.2.3

Tính giải được duy nhất nghiệm mạnh

Trong mục này ta giả sử Ω là miền trơn, bị chặn trên RN . Xét bài toán
Poisson với vế phải f ∈ Lp (Ω), p > 1:


−∆u(x) = f (x),

với x ∈ Ω
(1.7)
với x ∈ ∂Ω.


u(x) = ϕ(x),

Áp dụng [14, Theorem 9.15] cho trường hợp đặc biệt miền Ω trơn, bị chặn
và toán tử elliptic đều là toán tử Laplace, ta được
Định lí 4. Với mọi f ∈ Lp (Ω), ϕ ∈ W 2,p (Ω), 1 < p < ∞, tồn tại duy nhất
nghiệm mạnh u ∈ W 2,p (Ω) của bài toán Dirichlet −∆u = f trong Ω với điều
kiện biên u − ϕ ∈ W01,p (Ω).

1.2.4

Nguyên lí cực đại

Trong lí thuyết phương trình đạo hàm riêng, nguyên lí cực đại có vai trò
quan trọng. Nguyên lí cực đại có hai dạng, dạng mạnh và dạng yếu, áp dụng
cho nghiệm mạnh hay thậm chí nghiệm yếu. Trong luận văn, chúng tôi sử
dụng nguyên lí cực đại ([14, Theorem 2.2, tr. 15]).

Định lí 5 (Nguyên lí cực đại cổ điển). Giả sử ∆u ≥ 0 (tương ứng ∆u ≤ 0)
trên miền Ω và tồn tại y ∈ Ω thỏa mãn u(y) = supΩ u(inf Ω u). Khi đó, u là
hàm hằng. Hệ quả là hàm điều hòa khác hằng số không nhận giá trị cực đại
hay cực tiểu bên trong của miền.
Nguyên lí cực trị cổ điển đối với nghiệm đủ tốt chứng minh khá đơn giản,
trên cơ sở công thức giá trị trung bình trên hình cầu. Đối với nghiệm yếu,
kết quả sau là hệ quả trực tiếp của [14, Theorem 8.19] khi đặc biệt hóa cho
toán tử Laplace:

12


Mệnh đề 6. Giả sử u ∈ H 1 (Ω) thỏa mãn ∆u ≥ 0 trên Ω. Nếu đối với một
hình cầu B ⊂ Ω sao cho

sup u = sup u ≥ 0
B

Ω

thì u là hàm hằng.
Nguyên lí cực trị mạnh cũng được mở rộng cho nghiệm mạnh của toán tử
elliptic cấp hai
N

n
ij

Lu =

bi (x)Dxi u.

a (x)Dxi xj u +
i,j=1

i=1

Xem [14, Theorem 9.6, tr. 225]:
2,N
(Ω) thỏa
Định lí 7 (Nguyên lí cực trị cho nghiệm mạnh). Nếu u ∈ Wloc

mãn Lu ≥ 0 thì u không thể nhận giá trị cực đại ở bên trong miền Ω trừ khi
là hàm hằng.

1.3

Lí thuyết điểm tới hạn của hàm số

Trong phần này ta đưa ra một số kết quả cơ bản trong giải tích biến phân
mà ta sử dụng trong chứng minh kết quả chính ở chương sau. Các kết quả
mục này được trích từ lài liệu [11, 19].
Giả sử E là không gian Hilbert với tích vô hướng (., .)E .
Định nghĩa 1.4. Giả sử I ∈ C 1 (E, R). Ta nói z ∈ E là điểm tới hạn của
hàm I nếu I (z) = 0. Số c ∈ R là một giá trị tới hạn của I nếu tồn tại ít
nhất một điểm tới hạn z ∈ E sao cho c = I(z).
Giả thiết rằng E có một phân tích E = X ⊕ Y với X, Y là hai không gian
con vô hạn chiều. Giả sử tồn tại một dãy các không gian con hữu hạn chiều

Xn ⊂ X, Yn ⊂ Y, En = Xn ⊕ Yn sao cho ∪∞

n=1 En = E . Giả sử T : E → E
13


là toán tử tuyến tính khả nghịch bị chặn. Thay vì sử dụng điều kiện thông
thường Palais-Smale, ta sẽ yêu cầu hàm số I thỏa mãn điều kiện (P S)∗ tương
ứng với dãy {En }, nghĩa là,
với mỗi dãy zk ∈ Enk và nk → ∞, k → ∞, thỏa mãn I

Enk

(zk ) → 0 và

I(zk ) → c thì có một dãy con hội tụ trong E .
Sau đó, ta định nghĩa tập cơ sở mà khi đó, quá trình liên kết sẽ diễn ra.
Với ρ > 0, ta định nghĩa

S = Sp = {y ∈ Y | ||y||E = ρ}
và với mỗi y1 ∈ Y ; ||y1 ||E = 1, không gian con X1 và X2 , ta xét

X ⊕ span {y1 } = X1 ⊕ X2
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử y1 ∈ X2 . Tiếp theo với M, σ > 0

D = DM,σ = {x1 + x2 ∈ X1 ⊕ X2 | ||x1 ||E ≤ M, ||x2 ||E ≤ σ} .
Ta có thể phát biểu kết quả trừu tượng về điểm tới hạn.
Định lí 8. Cho I ∈ C 1 (E, R) là một hàm số chẵn thỏa mãn điều kiện (P S)∗
đối với dãy En . Giả sử T : En → En , với n lớn. Lấy ρ > 0 và σ > 0 thỏa
mãn σ||T y1 ||e > ρ. Giả thiết thêm rằng hằng số α ≤ β sao cho

inf I ≥ α,

S∩En

sup

I < α và

T (∂D∩En )

sup I ≤ β
T (D∩En )

với n lớn. Khi đó, I có một giá trị tới hạn c ∈ [α, β].
Chứng minh. Áp dụng [11, Theorem 1.2] với L1 = I, L2 = T ta được kết
luận của định lí.

14


Chương 2
Chứng minh định lí tồn tại nghiệm
không tầm thường
Dựa trên các thiết lập giải tích hàm ở chương trước, chúng tôi sẽ trình bày
chi tiết chứng minh định lí tồn tại (vô số) nghiệm không tầm thường và ít
nhất một nghiệm dương của hệ (4).

2.1

Thiết lập giải tích hàm

Trong chương này, chúng tôi mô tả thiết lập giải tích hàm cho phép xử lí các

f được hiểu là

biến phân trong (4). Để đơn giản kí hiệu, từ nay về sau,
Ω

tích phân của hàm f trên miền Ω với độ đo dx. Hàm tự nhiên liên kết với
(4) được cho bởi:

uq+1
v p+1
+
(p + 1)|x|α (q + 1)|x|β

∇u∇v −

J(u, v) =
Ω

(2.1)

Ω

trong không gian tự nhiên H01 (Ω) × H01 (Ω). Tuy nhiên để có hàm lớp C 1 thỏa
mãn các điều kiện trên p, q, α, β điều đó quá hạn chế. Do đó ta sử dụng ý
tưởng từ [8],[10]và [15] và sử dụng phù hợp các lũy thừa phân số của toán tử
trên không gian Sobolev bậc phân để xác định các hàm.

15

Cho tập E = E s × E t ở đó s + t = 1, với chuẩn

||(u, v)||2E = ||u||2E s + ||v||2E t .
Toán tử tuyến tính L : E → E được cho bởi

L(u, v) = (A−s At v, A−t As u)
Sau đó, ta xét bài toán giá trị riêng Lz = λz . Ta có thể viết lại là

A−s At v = λu,

A−t As u = λv,

ở đó z = (u, v). As vAt là các đẳng cấu (topo) kéo theo λ = 1 hoặc λ = −1.
Vectơ riêng liên kết là
với λ = 1, (A−t As u) ∀u ∈ E s ,
với λ = −1, (−A−t As u) ∀u ∈ E s .
Ta có thể định nghĩa các không gian riêng :

E + = (u, A−t As u)/u ∈ E s ,
E − = (u, −A−t As u)/u ∈ E s ,
được phân tích (phép cộng Tensor)

E = E + ⊕ E −.
Ta định nghĩa phiếm hàm H : E → R là

H(u, v) =

H(x, u, v).

Ω

Mệnh đề 9. Hàm số H xác định như trên thuộc lớp C 1 và có đạo hàm được
cho bởi

H (u, v)(φ, ψ) =

Hu (x, u, v)φ +
Ω

Hv (x, u, v)ψ.
Ω

Ở đây, φ ∈ E s , ψ ∈ E t .
Hơn nữa, H là compact.
16


Chứng minh. Ta có

|u|q
|x|β

∂H
(x, u, v)φ =
∂u
Ω

|φ|.

Ω

Từ bất đẳng thức H¨older và Mệnh đề (2) ta thu được

∂H
(x, u, v)φ ≤ C(||u||qE s )||φ||E s .
∂u
Ω

Tương tự ta thu được bất đẳng thức đối với Hv .
Vì H đã xác định và bị chặn trong E nên sử dụng các lập luận thông
thường dẫn đến H là khả vi Fréchet với H liên tục. Thực tế, sử dụng Mệnh
đề 2 (hoặc xem chi tiết [19]) ta thu được H là compact.
Xét hàm số

I:E→R
cho bởi
s

uq+1
v p+1
+
(p + 1)|x|α (q + 1)|x|β

t

A uA v −

I(u, v) =
Ω

Ω
s

t

A uA v −

=
Ω

(2.2)

H(x, u, v).
Ω

Với s, t > 0 thỏa mãn

s + t = 1,

q+1<

2(N − β)
2(N − α)
và p + 1 <
.
N − 4s
N − 4t

Chú ý 2.1. Ta chọn được như trên vì bộ (p, q) nằm dưới đường hyperbol tới

hạn (1.2). Hơn nữa, ∃s, t > 0 nhờ giả thiết (1.4) trong Định lí 1 về số mũ.
Ta xét định nghĩa nghiệm yếu của (4).
Định nghĩa 2.1. Giả sử rằng z = (u, v) ∈ E = E s × E t là một nghiệm yếu

(s, t) của (4) nếu z là điểm tới hạn của I . Nói cách khác, với mọi (φ, ψ) ∈ E
ta có
s

t

φ

A Av−

A uA ψ +
Ω

vp
ψ−
|x|α

t

Ω

Ω

17

uq

φ=0
|x|β
Ω

(2.3)


Bây giờ, ta chứng minh định lí đưa ra tính chính quy của (s, t)-nghiệm
yếu. Thực tế, mỗi (s, t)-nghiệm yếu có đạo hàm cấp 2 tương ứng trong Lr (Ω)
nào đó và do đó, cũng là nghiệm mạnh.
Định lí 10. Nếu (u, v) ∈ E s × E t là một (s, t)-nghiệm yếu của (4) thì

u ∈ W 2,a (Ω), v ∈ W 2,b (Ω) với mọi
1
2N
p(N − 4t) + 2α

và 1 < b <

2N
.
q(N − 4s) + 2β

Vì vậy (u, v) là nghiệm mạnh của (4).
Chứng minh. Trong (2.3) nếu ψ = 0, ta có
s

uq
φ = 0,

|x|β

t

A φA v −
Ω

(2.4)

Ω

với ∀φ ∈ E s . Nếu lấy φ ∈ H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω), ta có

As φAt v = −
Ω

∆φv.

(2.5)

Ω

Mặt khác, do u ∈ E s , sử dụng các tính toán trước ta có

uq
2N
b
∈
L
(Ω)

nếu
b
<
.
|x|β
q(N − 4s) + 2β
Khi đó, áp dụng Định lí 4 với điều kiện biên thuần nhất, tồn tại đúng một
hàm w ∈ W 2,b (Ω) sao cho

uq

−∆w =
|x|β


w=0

trong Ω,
trên ∂Ω.

Sử dụng tích phân từng phần kéo theo

0=−

uq
φ=−
|x|β

∆wφ −
Ω

Ω

w∆φ −
Ω

18

uq
φ.
|x|β
Ω

(2.6)


Kết hợp (2.4), (2.5), (2.6) ta thu được

(v − w)∆φ = 0,
Ω

với v = w = 0 trên ∂Ω. Từ đó v = w và do đó v ∈ W 2,b (Ω).
Ta lập luận tương tự với u.
Chú ý 2.2. Vì p, q thỏa mãn

q+1<

2(N − β)
N − 4s

và p + 1 <

2(N − α)
N − 4t

ta nhận được

2N
p(N − 4t) + 2α

1<

2.2

và 1 <

2N
.
q(N − 4s) + 2β

Chứng minh định lí tồn tại nghiệm

Trước hết, ta chứng minh sự tồn tại vô hạn các nghiệm của (4). Để kết thúc,
ta sử dụng định lý trừu tượng trong lý thuyết điểm tới hạn xem [1, 11]. Định
lý đó khẳng định sự tồn tại vô hạn điểm tới hạn của hàm số. Sau đó ta chứng
minh rằng kết quả trừu tượng này áp dụng được cho thiết lập giải tích được
đưa ra ở phần trước.

2.2.1

Một số bổ đề cơ bản

Tiếp theo, ta chỉ ra rằng Định lí 8 có thể áp dụng được cho thiết lập giải
tích hàm đã được giới thiệu ở phần trước. Giả sử φn là hàm riêng của −∆.
Kí hiệu:

En = span {φ1 , ...φn } × span {φ1 , ...φn } .
∗
Dễ thấy ∪∞
n=1 En = E . Sau đó ta sẽ chứng minh I thỏa mãn điều kiện (P S)

đối với dãy {En }.
19