Luận văn phân tích sự ổn định vi phân thông qua tập các nhân tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THÙY LINH

PHÂN TÍCH SỰ ỔN ĐỊNH VI PHÂN THÔNG QUA
TẬP CÁC NHÂN TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THÙY LINH

PHÂN TÍCH SỰ ỔN ĐỊNH VI PHÂN THÔNG QUA
TẬP CÁC NHÂN TỬ

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 84 60 102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN THỊ TOÀN

Hà Nội - 2018

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất
tới cô giáo hướng dẫn TS. Nguyễn Thị Toàn, người đã định hướng chọn
đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và
hoàn thiện luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại
học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, Trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập
tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè
luôn cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn
thiện luận văn này.
Hà Nội, ngày 20 tháng 07 năm 2018
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thùy Linh


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của cô giáo TS.
Nguyễn Thị Toàn, luận văn chuyên ngành toán giải tích với đề tài:
"Phân tích sự ổn định vi phân thông qua tập các nhân tử"
được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế
thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn
Hà Nội, ngày 20 tháng 07 năm 2018
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thùy Linh

Mục lục

MỞ ĐẦU

5

1 Kiến thức chuẩn bị

9

1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2. Nón pháp tuyến của một tập lồi . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3. Dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4. Cực trị của bài toán tối ưu lồi . . . . . . . . . . . . . . .

17

2 Tính ổn định vi phân thông qua tập các nhân tử

21

2.1. Điều kiện tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.1. Bài toán tối ưu lồi với ràng buộc bao hàm thức .

22

2.1.2. Bài toán tối ưu lồi với ràng buộc hình học và ràng
buộc hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2. Dưới vi phân của hàm giá trị thông qua tập các nhân tử

29

2.2.1. Dưới vi phân của hàm giá trị trong bài toán tối ưu
lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.2. Dưới vi phân suy biến của hàm giá trị trong bài
toán tối ưu lồi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

35


Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

40

4


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Tối ưu hóa là một trong những lĩnh vực kinh điển của toán học
có ảnh hưởng đến hầu hết các lĩnh vực khoa học - công nghệ và kinh tế
- xã hội. Trong thực tế, việc tìm giải pháp tối ưu cho một vấn đề nào
đó chiếm một vai trò hết sức quan trọng. Phương án tối ưu là phương
án hợp lý nhất, tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài nguyên, nguồn lực mà lại
cho hiệu quả cao. Bài toán tối ưu cơ bản trong lý thuyết tối ưu là bài
toán tìm cực tiểu của một hàm số, dưới một số ràng buộc. Bài toán tối
ưu có mối quan hệ mật thiết với một số bài toán liên quan đến tối ưu:
từ bất đẳng thức Ky Fan (còn được biết với tên gọi thông dụng hơn là
bài toán cân bằng ), bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa,
bài toán bù,... đến các bài toán rất thực tiễn là trò chơi không hợp tác
(cũng gọi là bài toán cân bằng Nash ), bài toán mạng giao thông và nền
kinh tế thuần túy trao đổi.

Theo B.V. Kolmanovskii (lời tựa bản tiếng Nga cho [6]), “Thông
thường, việc điều khiển tối ưu của các hệ thống thực tế được thực hiện
trong các điều kiện không xác định, với những nguyên nhân rất khác
nhau, ví dụ như: sự hiện diện của những ngoại cảnh cho trước một cách
không chính xác, sai số khi thực hiện chương trình điều khiển, các lỗi

5


trong kênh đo đạc, sự chậm trễ do cần một khoảng thời gian nào đó để
thu thập và xử lý các kết quả đo đạc. . . Hệ quả của việc đó là sự không
tương thích mô hình toán học với đối tượng thực. Do vậy, mô hình toán
học cần phải có độ ổn định nào đó đối với các nhân tố không xác định”
Cũng theo B.V. Kolmanvskii (tài liệu đã trích dẫn ở trên), “Các
vấn đề khác nhau liên quan đến việc phân tích độ nhạy và tính ổn định
đối với nhiễu là những vấn đề truyền thống trong lý thuyết tối ưu. Những
năm gần đây, đề tài này đã trở thành một trong những vấn đề thời sự,
thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Đặc biệt, mối liên hệ giữa
lý thuyết tối ưu với các ứng dụng thực tế và những khó khăn trong lý
thuyết đã đặt ra nhiều bài toán thú vị.”
Như vậy, bên cạnh sự tồn tại nghiệm, các thuật toán tìm nghiệm,
việc nghiên cứu điều kiện cực trị và độ nhạy nghiệm là những vấn đề cơ
bản của lý thuyết tối ưu và ứng dụng. Đã có nhiều kết quả nghiên cứu
về sự ổn định vi phân của bài toán tối ưu xem [3, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15]
và những tài liệu trích dẫn trong đó.
Với các lý do đã nêu trên, được sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị
Toàn, tôi xin chọn đề tài nghiên cứu: Phân tích sự ổn định vi phân
thông qua tập các nhân tử.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Danh mục các tài liệu tham khảo,
cấu trúc của luận văn gồm hai chương như sau:

Chương 1 “Kiến thức chuẩn bị” trình bày về một số khái niệm và
tính chất cơ bản của giải tích lồi như nón pháp tuyến của tập lồi, dưới
vi phân của hàm lồi và cực trị của bài toán tối ưu lồi.
Chương 2 “Tính ổn định vi phân thông qua tập các nhân tử” trình
bày các điều kiện cực trị cho bài toán tối ưu lồi với ràng buộc bao hàm

6


thức hoặc ràng buộc hình học lẫn ràng buộc hàm. Từ đó đưa ra các công
thức tính dưới vi phân và dưới vi phân suy biến của hàm giá trị trong
bài toán tối ưu lồi thông qua tập các nhân tử.

2. Mục đích nghiên cứu
Một mặt, đưa ra điều kiện cần và đủ cực trị cho bài toán tối ưu lồi.
Mặt khác, thiết lập công thức tính toán dưới vi phân và dưới vi phân
suy biến của hàm giá trị trong bài toán tối ưu lồi thông qua tập các
nhân tử phù hợp.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu dưới vi phân, dưới vi phân suy biến của hàm giá trị
thông qua tập các nhân tử phù hợp của bài toán tối ưu lồi.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu điều kiện cực trị của bài toán tối
ưu lồi và các dưới vi phân của hàm giá trị thông qua tập các nhân tử
trong bài toán tối ưu lồi.

5. Phương pháp nghiên cứu
• Dịch, đọc và nghiên cứu tài liệu.

• Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu.

7


6. Đóng góp mới
Góp phần làm phong phú thêm các kết quả về bài toán tối ưu,
các công thức tính toán dưới vi phân và dưới vi phân suy biến của hàm
giá trị thông qua tập các nhân tử phù hợp. Có thể sử dụng làm tài liệu
tham khảo cho sinh viên, học viên cao học có quan tâm đến lĩnh vực
toán giải tích, toán tối ưu.

8


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích lồi
như tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân của hàm lồi, nón pháp tuyến của tập
lồi, cực trị của hàm lồi, . . . . Nội dung của chương được tham khảo trong
các tài liệu [1], [2], [5], [6], [10], [11].

1.1.

Một số khái niệm cơ bản
Cho hai điểm x, y ∈ Rn . Đoạn thẳng nối x và y là tập các điểm có

dạng
z = λx + (1 − λ) y = y + λ (x − y) , 0 ≤ λ ≤ 1.
Đường thẳng đi qua x và y là tập các điểm có dạng

x = λx − (1 − λ) y, λ ∈ R.
Tập C ⊆ Rn được gọi là tập lồi nếu C chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm
bất kỳ thuộc nó, tức là
λx + (1 − λ) y ∈ C, ∀x, y ∈ C, 0 ≤ λ ≤ 1.
Tập lồi đóng kín với phép giao, phép cộng, phép nhân với một số và
phép lấy tổ hợp tuyến tính, tức nếu A và B là hai tập lồi trong Rn thì
9


các tập sau cũng là tập lồi

A ∩ B = {x : x ∈ A, x ∈ B} ;
αA + βB = {x : x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R} .
¯ (R
¯ = R ∪ {−∞, +∞}) ta định nghĩa
Với một hàm tùy ý f : Rn → R
miền hữu hiệu và trên đồ thị của hàm f tương ứng là
dom f = {x ∈ Rn : f (x) < ∞} ,
và
epi f = {(x, α) ∈ Rn × R : f (x) ≤ α} .
Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f = ∅ và f (x) > −∞, ∀x ∈ dom f .
Hàm f được gọi là lồi trên C ∈ Rn nếu ∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1]:
f λx1 + (1 − λ)x2 ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ),
mỗi khi vế phải có nghĩa.
Hàm f được gọi là lồi chặt trên C nếu ∀x1 , x2 ∈ C, x1 = x2 , ∀λ ∈ [0, 1]:
f λx1 + (1 − λ)x2 < λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ).
Hàm f được gọi là lõm (lõm chặt, aphin) nếu −f lồi (lồi chặt, f vừa lồi
vừa lõm).
Ví dụ 1.1.
1) Mọi hàm aphin là hàm lồi trên Rn . Nếu f (x) aphin thì

g (x) := f (x) − f (0) cũng aphin và g (0) = 0, cho nên g (x) tuyến tính,
tức là có dạng g (x) =

c, x vói một c ∈ Rn nào đó. Do đó, mọi hàm

aphin có dạng f (x) = c, x + α, với c ∈ Rn , α = f (0) ∈ R. Hơn nữa,

10


với bất kỳ x1 , x2 ∈ Rn và bất kỳ λ ∈ R ta có
f λx1 + (1 − λ)x2 = c, λx1 + (1 − λ)x2 + α
= λ c, x1 + (1 − λ) c, x2 + λα + (1 − λ)α
= λ c, x1 + α + (1 − λ) c, x2 + α
= λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ).
2) Hàm chỉ của một tập lồi C

 0 nếu x ∈ C
δ(x; C) =
 +∞ nếu trái lại
là hàm lồi.
Các định lý sau đây cho ta điều kiện cần và đủ để nhận biết hàm
lồi, lồi chặt.
Định lý 1.1. Cho f là khả vi trên tập lồi, mở C ⊂ Rn . Khi đó, f là
hàm lồi trên C khi và chỉ khi
f (y) − f (x) ≥ ∇f (x), y − x ,

∀x, y ∈ C.

Định lý 1.2. Cho f là hàm khả vi hai lần trên tập lồi, mở C ⊂ Rn . Khi

đó:
(i) Hàm f là hàm lồi trên C khi và chỉ khi ma trận Hessian ∇2 f (x) là
nửa xác định dương trên C, nghĩa là với mỗi x ∈ C, ta có
y T ∇2 f (x)y ≥ 0,

∀y ∈ Rn ;

(ii) Hàm f là hàm lồi chặt trên C khi và chỉ khi ma trận Hessian ∇2 f (x)
là xác định dương trên C, nghĩa là với mỗi x ∈ C, ta có
y T ∇2 f (x)y > 0,
11

∀y ∈ Rn \{0}.


1.2.

Nón pháp tuyến của một tập lồi

Định nghĩa 1.1. Cho Ω ⊂ Rn là một tập lồi với x¯ ∈ Ω. Nón pháp tuyến
của Ω tại x¯ là
N (¯
x, Ω) := {x∗ ∈ Rn : x∗ , x − x¯ ≤ 0, ∀x ∈ Ω} .
Khi x¯ ∈
/ Ω ta quy ước N (¯
x, Ω) = ∅.
Định nghĩa 1.2. Một tập Ω ⊂ Rn được gọi là nón nếu λx ∈ Ω với mọi
x ∈ Ω và λ ≥ 0. Nếu Ω là lồi thì Ω được gọi là nón lồi.
Định lý 1.3. Cho Ω ⊂ Rn là một tập lồi và x¯ ∈ Ω. Khi đó, N (¯
x, Ω) là

một nón lồi đóng.
Chứng minh. Đầu tiên ta sẽ chứng minh rằng N (¯
x, Ω) là một nón. Cố
định v ∈ N (¯
x, Ω) và λ ≥ 0. Từ định nghĩa nón pháp tuyến, ta có
v, x − x¯ ≤ 0, ∀x ∈ Ω. Khi đó, ta có
λ v, x − x¯ = λv, x − x¯ ≤ 0, ∀x ∈ Ω.
Do đó, λv ∈ N (¯
x, Ω) với mọi v ∈ N (¯
x, Ω) và λ ≥ 0.
Bây giờ ta chỉ ra rằng nón pháp tuyến là lồi. Giả sử v1 , v2 ∈ N (¯
x, Ω) và
0 ≤ λ ≤ 1. Khi đó, ta có
v1 , x − x¯ ≤ 0,

v2 , x − x¯ ≤ 0, ∀x ∈ Ω.

Do vậy,
λv1 + (1 − λ) v2 , x − x¯ = λ v1 , x − x¯ +(1 − λ) v2 , x − x¯ ≤ 0, ∀x ∈ Ω.
Điều này kéo theo
λv1 + (1 − λ) v2 ∈ N (¯
x, Ω) .
Hay N (¯
x, Ω) là một nón lồi. Dễ thấy rằng N (¯
x, Ω) là một tập đóng.
Vậy N (¯
x, Ω) là một nón lồi đóng.
12

Định lý 1.4. Cho Ω ⊂ Rn là tập lồi và x¯ ∈ int Ω. Khi đó,
N (¯
x, Ω) = {0} .
Chứng minh. Vì x¯ ∈ int Ω nên tồn tại δ > 0 sao cho B (¯
x, δ) ⊂ int Ω.
Giả sử v ∈ N (¯
x, Ω) . Khi đó, ta có v, x − x¯ ≤ 0, ∀x ∈ Ω. Lấy x ∈ Ω và
t > 0 đủ nhỏ sao cho x¯ + tx ∈ B (¯
x, δ) . Khi đó, theo định nghĩa của nón
pháp tuyến ta có
v, x¯ + tx − x¯ = t v, x ≤ 0, ∀x ∈ Ω.
Như vậy, v, v = v

2

≤ 0 hay v = 0.

Mệnh đề sau cho ta công thức tính nón pháp tuyến của tích Đềcác
hai tập hợp.
Mệnh đề 1.1. Cho Ω1 , Ω2 ⊂ Rn và x¯ = (¯
x1 , x¯2 ) ∈ Ω1 × Ω2 . Lúc đó,
N (¯
x; Ω1 × Ω2 ) = N (¯
x1 , Ω1 ) × N (¯
x2 , Ω2 ).

(1.1)

Chứng minh. Xác định chuẩn trên không gian tích Rn × Rn bởi công
thức sau

(x1 , x2 ) := |x1 | + |x2 |.
x; Ω1 × Ω2 ), ta có
Giả sử x∗ = (x∗1 , x∗2 ) ∈ N (¯
(x∗1 , x∗2 ), (x1 , x2 ) − (¯
x1 , x¯2 ) ≤ 0, ∀(x1 , x2 ) ∈ Ω1 × Ω2 .
Do đó,
x∗1 , x1 − x¯1 + x∗2 , x2 − x¯2 ≤ 0, ∀(x1 , x2 ) ∈ Ω1 × Ω2 .
Chọn x2 = x¯2 ∈ Ω2 , ta có
x∗1 , x1 − x¯1 ≤ 0, ∀x1 ∈ Ω1 .
13

(1.2)


Hay x∗1 ∈ N (¯
x1 , Ω1 ). Tương tự, chọn x1 = x¯1 ∈ Ω1 , từ (1.2), ta có
x∗2 , x2 − x¯2 ≤ 0, ∀x2 ∈ Ω2 .
Hay x∗2 ∈ N (¯
x2 , Ω2 ). Như vậy,
N (¯
x; Ω1 × Ω2 ) ⊂ N (¯
x1 , Ω1 ) × N (¯
x2 , Ω2 ).

(1.3)

x1 , Ω1 ) × N (¯
x2 , Ω2 ) và x = (x1 , x2 ) ∈
Ngược lại, giả sử (x∗1 , x∗2 ) ∈ N (¯
Ω1 × Ω2 , ta có x1 ∈ Ω1 , x2 ∈ Ω2 . Do đó,

x∗1 , x1 − x¯1 ≤ 0,

x∗2 , x2 − x¯2 ≤ 0.

Suy ra
x∗1 , x1 − x¯1 + x∗2 , x2 − x¯2 ≤ 0.
Hay
(x∗1 , x∗2 ), (x1 , x2 ) − (¯
x1 , x¯2 ) ≤ 0.
x; Ω1 ×Ω2 ).
Từ x = (x1 , x2 ) ∈ Ω1 ×Ω2 bất kỳ, ta suy ra x∗ = (x∗1 , x∗2 ) ∈ N (¯
Như vậy
N (¯
x1 , Ω1 ) × N (¯
x2 , Ω2 ) ⊂ N (¯
x; Ω1 × Ω2 ).

(1.4)

Kết hợp (1.3) và (1.4), ta thu được (1.1).
Mệnh đề sau cho ta công thức tính nón pháp tuyến của giao các
tập hợp.
Mệnh đề 1.2. (xem [10, trang 205]) Cho C1 , C2 , . . . , Cm ⊂ Rn và
C = C1 ∩ C2 ∩ . . . ∩ Cm . Giả sử rằng C1 ∩ int C2 ∩ . . . ∩ int Cm = ∅. Khi
đó,
N (x; C) = N (x; C1 ) + N (x; C2 ) + · · · + N (x; Cm ), ∀x ∈ Rn .

14

1.3.

Dưới vi phân của hàm lồi
Cho hàm lồi chính thường f trên Rn . Véctơ x∗ được gọi là dưới

gradient của f tại điểm x¯ ∈ dom f nếu
x∗ , x − x¯ ≤ f (x) − f (¯
x) , ∀x ∈ Rn .
Tập tất cả các dưới gradient của hàm f tại điểm x¯ được gọi là dưới
vi phân của hàm f tại điểm x¯ ký hiệu ∂f (¯
x) . Ta quy ước ∂f (¯
x) = ∅ nếu
x¯ ∈
/ dom f . Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x¯ nếu ∂f (¯
x) = ∅.
Tập ∂f (¯
x) thường chứa nhiều phần tử. Trong trường hợp hàm lồi
f khả vi tại x¯ thì ∂f (¯
x) chứa duy nhất một phần tử là {∇f (¯
x)}.
Định lý 1.5. (Xem [1, Định lý 2.10]) Mọi hàm lồi chính thường f trên
Rn có dưới vi phân không rỗng tại mọi điểm x¯ ∈ int (dom f ) .
Định lý 1.6. (Xem [1, Định lý 2.11]) Cho f là hàm lồi chính thường
trên Rn . Khi đó
i) x∗ ∈ ∂f (¯
x) ⇔ (x∗ , −1) ∈ N (¯
x, f (¯
x)); epi f ;
ii) ∂f (¯
x) là tập đóng;

iii) Nếu f (x) khả vi tại x¯ thì ∂f (¯
x) = {∇f (¯
x)} .
Mệnh đề 1.3. Cho f là hàm lồi chính thường trên Rn và λ > 0. Khi
đó,
∂ (λf ) (x) = λ∂f (x) , ∀x ∈ Rn .
Định lý 1.7. (Định lý Moreau – Rockafellar) (Xem [10, Định lý 0.3.3,
trang 47-50]) Cho f1 , f2 , ..., fm là các hàm lồi chính thường trên Rn . Khi
đó,
m

m

∂fi (x), ∀x ∈ Rn ;

fi (x) ⊇

a) ∂
i=1

i=1

15


m

b) Nếu tại một điểm x0 ∈

(dom fi ) có ít nhất m − 1 hàm fi

i=1

(i = 1, 2, . . . , m) liên thì
m

m

∂

∂fi (x), ∀x ∈ Rn .

fi (x) =
i=1

i=1

Sử dụng điều kiện chính quy dạng hình học, ta có một phiên bản
khác của định lý Moreau – Rockafellar sau.
Định lý 1.8. (xem [5, Định lý 2.168]) Cho f và g là các hàm lồi, đóng,
chính thường trên Rn và điều kiện chính quy sau thỏa mãn
0 ∈ int (dom f − dom g).

(1.5)

Khi đó với bất kỳ x ∈ dom f ∩ dom g, ta có
∂(f + g)(x) = ∂f (x) + ∂g(x).
Dưới vi phân suy biến của hàm f tại điểm x¯ ∈ dom f được ký hiệu
∂ ∞ f (¯
x) và xác định bởi
∂ ∞ f (¯

x) = {x∗ ∈ Rn : (x∗ , 0) ∈ N (¯
x, f (¯
x)); epi f }.
Ta quy ước ∂ ∞ f (¯
x) = ∅ nếu x¯ ∈
/ dom f .
Mệnh đề sau cho ta công thức về mối liên hệ giữa dưới vi phân và
dưới vi phân suy biến của hàm chỉ của một tập hợp lồi, với nón pháp
tuyến của tập hợp đó.
Mệnh đề 1.4. Cho Ω là một tập con lồi khác rỗng của Rn . Khi đó, với
bất kỳ x¯ ∈ Ω đều có
∂δ(¯
x; Ω) = ∂ ∞ δ(¯
x; Ω) = N (¯
x; Ω).

16

(1.6)


Chứng minh. Chú ý rằng epi δ(·; Ω) = Ω × [0, +∞). Theo Mệnh đề 1.1,
ta có
N (¯
x, f (¯
x)); epi f = N (¯
x, f (¯
x)); Ω × [0, +∞)
= N (¯
x; Ω) × N f (¯

x); [0, +∞) .
Từ Định lý 1.6 và định nghĩa dưới vi phân suy biến của hàm f ta có
(1.6).

1.4.

Cực trị của bài toán tối ưu lồi
Cho C là tập con khác rỗng của Rn và f : C → R. Xét bài toán

tối ưu có dạng:
min {f (x) : x ∈ C} ,

(1.7)

trong đó C là tập chấp nhận được (tập ràng buộc), f là hàm mục tiêu.
Mỗi véctơ x ∈ C gọi là một phương án chấp nhận được (gọi tắt là một
phương án).
Phương án x¯ ∈ C được gọi là nghiệm tối ưu toàn cục (nghiệm tối ưu)
nếu
f (¯
x) ≤ f (x) , ∀x ∈ C.
Phương án x¯ ∈ C được gọi là nghiệm tối ưu toàn cục chặt nếu
f (¯
x) < f (x) , ∀x ∈ C, x = x¯.
Phương án x¯ ∈ C được gọi là nghiệm tối ưu địa phương nếu tồn tại một
lân cận U của x¯ sao cho
f (¯
x) ≤ f (x) , ∀x ∈ C ∩ U.

17

Phương án x¯ ∈ C được gọi là nghiệm tối ưu địa phương chặt nếu tồn tại
một lân cận U của x¯ sao cho
f (¯
x) < f (x) , ∀x ∈ C ∩ U, x = x¯.
Nếu C = Rn , ta nói bài toán (1.7) là bài toán tối ưu không ràng buộc.
Chú ý 1.1. Nghiệm tối ưu toàn cục cũng là nghiệm tối ưu địa phương,
nhưng điều ngược lại không đúng và
max {f (x) : x ∈ C} = − min {−f (x) : x ∈ C} .
Nếu C là tập lồi khác rỗng và f : C → R là hàm lồi thì bài toán (1.7) là
bài toán quy hoạch lồi và được kí hiệu
min {f (x) : x ∈ C} .

(P )

Mệnh đề sau cho ta kết quả đặc trưng của bài toán quy hoạch lồi
(P ).
Mệnh đề 1.5. Xét bài toán qui hoạch lồi (P ). Khi đó, các phát biểu sau
là đúng:
(i) Mọi điểm cực tiểu địa phương của bài toán (P ) đều là cực tiểu toàn
cục;
(ii) Tập nghiệm của bài toán (P ) là tập lồi trong Rn ;
(iii) Nếu f lồi chặt thì điểm cực tiểu của bài toán (P ), nếu tồn tại là
duy nhất.
Định lý sau đây cho ta điều kiện cần và đủ về sự tồn tại nghiệm
tối ưu của bài toán qui hoạch lồi (P ).

18

¯ và một
Định lý 1.9. (Xem [1, Định lý 3.1]) Cho hàm lồi f : Rn → R
tập lồi khác rỗng C ⊂ int (dom f). Khi đó, x¯ là nghiệm tối ưu của bài
toán
min {f (x) : x ∈ C} khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f (¯
x) + N (¯
x; C).
Khi x¯ ∈ int C, ta có N (¯
x; C) = {0}. Do đó, ta có kết quả sau.
¯ và một tập lồi khác rỗng
Hệ quả 1.1. Cho hàm lồi f : Rn → R
C ⊂ int (dom f). Khi đó, x¯ ∈ int C là nghiệm tối ưu của bài toán
min {f (x) : x ∈ C} khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f (¯
x).
Nhận xét 1.1.
(i) Nếu f là hàm khả vi thì ∂f (¯
x) = {∇f (¯
x)}. Khi đó ta nhận được kết
quả sau: x¯ ∈ int C là nghiệm tối ưu của bài toán
min {f (x) : x ∈ C} khi và chỉ khi ∇f (¯
x) = 0.
Đặc biệt, x¯ là nghiệm tối ưu của bài toán
min {f (x) : x ∈ Rn } khi và chỉ khi ∇f (¯
x) = 0.
(ii) Điều kiện 0 ∈ ∂f (¯
x) + N (¯
x; C) có thể viết một trong hai dạng sau
x¯ ∈ C, −∂f (¯
x) ∩ N (¯

x; C) = ∅,
x¯ ∈ C, ∃x∗ ∈ ∂f (¯
x) sao cho x∗ , x − x¯ ≥ 0 ∀x ∈ C.

(1.8)

Hệ thức (1.8) được gọi là một bất đẳng thức biến phân, và x¯ gọi là một
lời giải hay nghiệm của bất đẳng thức biến phân.

19


Kết luận của Chương 1
Sau khi nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản của giải tích
lồi như tập lồi, hàm lồi, ... Phần còn lại của chương này trình bày:
- Khái niệm và các tính chất cơ bản về nón pháp tuyến của tập
lồi như tính lồi đóng của nón, nón pháp tuyến của tập lồi tại một điểm
trong của tập đó, nón pháp tuyến của giao các tập lồi. Đặc biệt, trong
phần này chúng tôi chứng minh chi tiết tính chất nón pháp tuyến của
tích Đềcác hai tập hợp lồi là Mệnh đề 1.1. Theo như hiểu biết của chúng
tôi, tính chất này không chứng minh chi tiết trong các tài liệu tham
khảo;
- Khái niệm và các tính chất về dưới vi phân và dưới vi phân suy
biến của hàm lồi như tính khác rỗng của dưới vi phân, dưới vi phân của
tổng các hàm lồi theo hai phiên bản khác nhau. Trong phần này, chúng
tôi cũng chứng minh Mệnh đề 1.4 nói lên mối quan hệ giữa dưới vi phân
và dưới vi phân suy biến của hàm chỉ của một tập lồi;
-Khái niệm và các tính chất về cực trị của bài toán tối ưu lồi.

20

Chương 2
Tính ổn định vi phân thông qua tập
các nhân tử
Chương này trình bày bài toán tối ưu lồi với ràng buộc bao hàm
thức hoặc ràng buộc hình học và ràng buộc hàm. Mục đích chính của
chương là trình bày công thức tính toán dưới vi phân và dưới vi phân
suy biến của hàm giá trị trong bài toán tối ưu lồi thông qua tập các
nhân tử. Để đạt được điều này, trước hết chúng ta trình bày các điều
kiện cực trị của bài toán tối ưu lồi.

2.1.

Điều kiện tối ưu
Cho X và Y là các không gian hữu hạn chiều, ϕ : X × Y → R là

một hàm lồi, chính thường. Mục này trình bày các điều kiện cực trị của
hai bài toán tối ưu lồi với ràng buộc bao hàm thức hoặc ràng buộc hình
học và ràng buộc hàm.

21


2.1.1.

Bài toán tối ưu lồi với ràng buộc bao hàm thức

Hàm đa trị G : X ⇒ Y được gọi là lồi (đóng) nếu đồ thị của nó
gph G là tập lồi (đóng), với

gph G = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ G(x)}.
Cho G : X ⇒ Y là hàm đa trị lồi, xét bài toán tối ưu lồi chứa tham số
với ràng buộc bao hàm thức
(Px )

min {ϕ (x, y) : y ∈ G (x)},

phụ thuộc vào tham số x. Hàm giá trị tối ưu µ : X → R của (Px ) là
µ (x) := inf {ϕ (x, y) : y ∈ G (x)} .

(2.1)

Ta quy ước inf ∅ = +∞. Do đó, µ (x) = +∞ với bất kỳ x ∈
/ dom G. Ánh
xạ nghiệm M : dom G ⇒ Y của bài toán được xác định bởi:
M (x) := {y ∈ G (x) : µ (x) = ϕ (x, y)} .

(2.2)

Với hàm ϕ xác định như trên, ta ký hiệu ∂x ϕ(¯
x, y¯) và ∂y ϕ(¯
x, y¯)
tương ứng là dưới vi phân riêng theo x và y tại (¯
x, y¯). Như vậy, ∂x ϕ(¯
x, y¯) =
∂ϕ(·, y¯)(¯
x) và ∂y ϕ(¯
x, y¯) = ∂ϕ(¯
x, ·)(¯
y ).

Mệnh đề sau cho ta mối quan hệ giữa dưới vi phân của hàm hai
biến và dưới vi phân theo từng biến của hàm đó.
Mệnh đề 2.1. Cho ϕ : X × Y → R là một hàm lồi, chính thường. Khi
đó,
∂ϕ(¯
x, y¯) ⊂ ∂x ϕ(¯
x, y¯) × ∂y ϕ(¯
x, y¯).
Chứng minh. Lấy bất kỳ (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂ϕ(¯
x, y¯). Theo định nghĩa dưới vi
phân của hàm lồi ta có
(x∗ , y ∗ ), (x − x¯, y − y¯) ≤ ϕ(x, y) − ϕ(¯
x, y¯), ∀(x, y) ∈ X × Y.
22


Điều này tương đương với
x∗ , x − x¯ + y ∗ , y − y¯ ≤ ϕ(x, y) − ϕ(¯
x, y¯), ∀(x, y) ∈ X × Y.
Chọn y = y¯, ta có
x∗ , x − x¯ ≤ ϕ(x, y¯) − ϕ(¯
x, y¯), ∀x ∈ X.
Hay x∗ ∈ ∂x ϕ(¯
x, y¯). Tương tự, chọn x = x¯, ta có
y ∗ , y − y¯ ≤ ϕ(¯
x, y) − ϕ(¯
x, y¯), ∀y ∈ Y.
Hay y ∗ ∈ ∂y ϕ(¯
x, y¯). Như vậy,
(x∗ , y ∗ ) ∈ ∂x ϕ(¯

x, y¯) × ∂y ϕ(¯
x, y¯).

Định lý tiếp theo mô tả điều kiện cực trị cần và đủ của (Px ) tại
tham số x¯ ∈ X.
Định lý 2.1. Cho x¯ ∈ X. Giả sử rằng một trong số các điều kiện chính
quy sau thỏa mãn:
(a) int G (¯
x) ∩ dom ϕ (¯
x, .) = ∅;
(b) ϕ (¯
x, .) liên tục tại một điểm thuộc G (¯
x).
Khi đó, y¯ ∈ M (¯
x) khi và chỉ khi
0 ∈ ∂y ϕ (¯
x, y¯) + N (¯
y ; G (¯
x)) .

(2.3)

Chứng minh. Xét hàm số L (y) = ϕ (¯
x, y) + δ (y, G (¯
x)) , với δ (., G (¯
x))
là hàm chỉ của tập lồi G (¯
x). Tức là δ (y, G (¯
x)) = 0 với y ∈ G (¯
x) và

δ (y, G (¯
x)) = +∞ với y ∈
/ G (¯
x). Rõ ràng rằng y¯ ∈ M (¯
x) khi và chỉ khi

23