bài giảng điều khiển tự động

KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Giảng viên: TS. Nguyễn Viễn Quốc
Email:

Nội dung
Chương 1: Giới thiệu
Chương 2: Mô hình toán học
Chương 3: Đặc tính động học
Chương 4: Tính ổn định của hệ thống
Chương 5: Chất lượng hệ thống điều khiển
Chương 6: Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục

Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn thị Phương Hà, Lý thuyết Điều khiển tự động, NXB
ĐHQG, 2010.
2. Lương Văn Lăng, Cơ sở tự động, NXB ĐHQG Tp. HCM, 2009
3. Lương Văn Lăng, Bài tập Cơ sở tự động, NXB ĐHQG Tp. HCM,
2008.
4. Benjamin C. Kuo, Automatic Control Systems (8th ed.), John
Wiley & Son, 2003.
5. Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering (4th ed.),
Prentice Hall, 2002.
6.

1


Chương 2: Mô hình toán học
Mô hình toán học:
- Hàm truyền đạt.
- Phương trình trạng thái.

Hệ thống vật lý
Các định luật vật lý:
Newton,
Kirchhoff,
Bảo toàn năng lượng, …

Phương trình vi phân
Biến đổi Laplace

Hàm truyền đạt

Đặt biến trạng thái

Phương trình trạng thái

2.1) Biến đổi Laplace
a) Định nghĩa:
- Biến đổi Laplace của hàm f(t) xác định trong miền t ≥ 0 được định
nghĩa như sau:
trong đó:
f(t): hàm gốc,
F(s): ảnh Laplace của f(t), biến đổi Laplace của f(t)
s: toán tử Laplace (biến phức).
VD: Tìm biến đổi Laplace của hàm bậc thang đơn vị (unit step)
2


Giải: …
VD: Tìm biến đổi Laplace của hàm dốc đơn vị (ramp).
Giải: …

VD: Biến đổi Laplace của hàm e mũ.
Giải: …
Bảng tra biến đổi Laplace: sách CSTĐ – LVL tr. 45
b) Một số tính chất của biến đổi Laplace:
Giả sử: , , ta có các tính chất của phép biến đổi Laplace như sau:
- Nhân với hằng số:
- Tổng:
- Đạo hàm:

trong đó:
- Tích phân:
- Dịch trong miền thời gian:
3


- Dịch trong miền Laplace:
- Định lý giá trị đầu:
(Nếu tồn tại.)
- Định lý giá trị cuối:
(Nếu không có cực ở nửa phải mặt phẳng phức.)
VD: Tìm biến đổi Laplace của hàm sau đây:
Giải:
Tra bảng:
Do đó:
VD: Tìm biến đổi Laplace của hàm sau đây:
là hằng số.)
Giải: Ta có:
Tra bảng:

4

Do đó:
VD: Tìm biến đổi Laplace của hàm sau đây:

Giải: …
VD: Tìm biến đổi Laplace của hàm sau đây:

Giải: …
5


2.2) Hàm truyền đạt
- Hàm truyền đạt của hệ thống tuyến tính bất biến liên tục là tỉ số
giữa biến đổi Laplace tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu
vào khi điều kiện ban đầu bằng không.
u(t)

Hệ thống
tuyến tính bất biến liên tục

y(t)

Y(s)

U(s))

trong đó n là bậc của hệ thống.
- Giả sử hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân bậc 3 (n =
3):

Với điều kiện đầu bằng 0, thực hiện biến đổi Laplace 2 vế ta có:
Hàm truyền đạt:
Phân tích đa thức tử và đa thức mẫu thành thừa số, hàm truyền
đạt G(s) viết lại dưới dạng cực-zero như sau:
trong đó: zi gọi là điểm zéro, ,
6


pi: gọi là điểm cực, .
VD: Xác định hàm truyền của hệ thống:

VD: Xác định hàm truyền , của mạch điện (trong đó: là điện tích
trên tụ C, ).

7


VD: Xác định hàm truyền , của mạch điện. (trong đó: là từ thông
móc vòng, )

8


2.3) Phương trình trạng thái
2.3.1) Định nghĩa
- Trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là
biến trạng thái) mà nếu biết giá trị của các biến này và ở thời
điểm t0 và biết các tín hiệu vào ở thời điểm t > t0, ta có thể xác
định được ngõ ra của hệ thống tại mọi thời điểm t  0.
- Bằng cách đặt biến trạng thái, ta có thể chuyển phương trình vi

phân bậc n mô tả hệ thống thành hệ gồm n phương trình vi phân
bậc nhất.
- Trong trường hợp hệ tuyến tính bất biến liên tục, phương trình
trạng thái của hệ thống có dạng như sau:

trong đó:
: vectơ trạng thái
: trạng thái
9


A: ma trận trạng thái (n x n).
B: ma trận vào (n x 1).
C: ma trận ra (1 x n).
- Số biến trạng thái (tập hợp nhỏ nhất) = bậc pt vi phân = n.
u(t)

Hệ thống
tuyến tính bất biến liên tục

u(t)

y(t)

y(t)

VD: Xác định phương trình trạng thái của hệ thống mô tả bởi phương
trình vi phân:

Đặt: ,


Viết lại dưới dạng ma trận:

2.3.2) Cách chuyển PTVP  PTTT:
a) Trường hợp 1: PTVP không chứa đạo hàm ngõ vào.
- Xét hệ bậc 4 (có thể mở rộng cho hệ bậc n)
10


(Lưu ý: . Nếu thì chia 2 vế cho .)
Đặt:

Viết lại dưới dạng ma trận:

b) Trường hợp 2: PTVP có chứa đạo hàm ngõ vào.
- Xét hệ bậc 4:
Lưu ý:
o . Nếu thì chia 2 vế cho .
o Đạo hàm vế phải nhỏ hơn vế trái 1 bậc. Nếu nhỏ hơn 2 bậc
trở lên, thì thêm vào những số hạng có bậc còn thiếu với hệ
số bằng 0 (để xác định cho đúng).
Đặt:

Nếu chọn:
11


và đặt:
thì các phương trình trên có thể được viết lại dưới dạng ma trận
như sau:

VD: Thành lập phương trình trạng thái mô tả hệ thống sau:

…

12


Trường hợp: m = 1kg, b = 1 Ns/m, k = 2 N/m.
…

2.3.3) Xác định cực và zero của hệ thống từ PTTT:
- Cực: nghiệm của phương trình
Phương trình trên được gọi là phương trình đặc trưng của hệ
thống. Nghiệm của phương trình này là cực của hệ thống = trị
riêng (eigenvalues) của ma trận A.
- Zero: nghiệm của phương trình

VD: Xác định cực và zero của hệ thống:

,,

2.3.4) Tính không duy nhất của PTTT:
- Xét hệ thống:

Ta cũng có thể biểu diễn hệ thống trên theo vectơ trạng thái z qua
phép đổi biến:
trong đó, là ma trận n x n không suy biến.

13

hay
- Nói cách khác, nếu bộ 3 các ma trận (A, B, C) là biểu diễn trạng
thái của một hệ thống thì (, , ) cũng là biểu diễn trạng thái của hệ
thống đó.
- Như vậy, tùy vào cách đặt biến trạng thái mà một hệ thống có
thể được biểu diễn bởi nhiều phương trình trạng thái khác
nhau.
VD: Cho hệ thống:

,,
Đổi biến trạng thái với:

Phương trình trạng thái theo biến trạng thái z:

2.3.5) Chuyển đổi giữa hàm truyền và PTTT
a) Hàm truyền  Phương trình trạng thái
(Lưu ý: )
Lưu ý:
o . Nếu thì chia 2 vế cho .
o Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu 1 bậc. Nếu nhỏ hơn 2 bậc trở lên
thì thêm vào những bậc còn thiếu với hệ số bằng 0 (để xác
định cho đúng).
14


- Xét hệ thống có hàm truyền:
- Từ hàm truyền, có thể chuyển về 2 dạng phương trình trạng thái
sau đây:

o Dạng chính tắc điều khiển được:
o Dạng chính tắc quan sát được:

VD: Viết phương trình trạng thái của hệ thống có hàm truyền đạt:
b) Phương trình trạng thái  Hàm truyền

Giả thiết điều kiện đầu bằng 0:

Suy ra:
VD:

2.4) Biến đổi sơ đồ khối
15


- Khối chức năng: tín hiệu ra bằng hàm truyền nhân tín hiệu vào.
- Bộ tổng: tín hiệu ra bằng tổng đại số các tín hiệu vào.
- Điểm rẽ nhánh: tất cả các tín hiệu nối tới điểm rẽ nhánh đều bằng
nhau.
a) Các khối nối tiếp:

b) Các khối song song:

16


c) Vòng hồi tiếp

d) Chuyển điểm rẽ nhánh từ sau về trước một khối:

e) Chuyển điểm rẽ nhánh từ trước ra sau một khối:

f) Chuyển bộ tổng từ sau về trước một khối:

17


g) Chuyển bộ tổng từ trước ra sau một khối:

h) Hoán vị 2 bộ tổng:

VD: Tìm hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ sau:

18


VD: Tìm hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ sau:

19


20