một số nghiên cứu về đa thức và ứng dụng

§¹I HäC TH¸I NGUY£N
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HäC

§Ò TµI NGHI£N CøU KHOA Häc NGHµNH TO¸N
T£N §Ò TµI:

MéT Sè NGHI£N CøU VÒ §A THøC Vµ øng
dông

Sinh viªn thùc hiÖn:

Gi¸o viªn híng dÉn:

NguyÔn thÞ khuyªn

Ts. Vò m¹nh xu©n

Líp: CN to¸n K11

Th¸I nguyªn 2018


Nội Dung Chính:
Mở đầu.
Chơng 1. Đa thức và một vài tính chất
..
Chơng 2. Đa thức nội suy.
Kết luận ..
Tài liệu tham khảo.
Chơng trình Pascal chạy đa thức nội suy
largrange.

Đa thức xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực của toán học.
Nó đóng góp một vai
trò quan trọng đến sự hình thành và phát triển của đại
số, giải tích và toán học
ứng dụng. Nghiệm của đa thức là vấn đề trọng tâm
nghiên cứu đa thức trong
chơng trình phổ thông.
Nội suy hàm số là một trong những bài toán rất cơ bản
của giải tích số. Bài
toán này đợc dùng nhiều trong thực tế tính toán.
Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu một số
vấn đề về đa thức và
ứng dụng nh nghiệm của đa thức, bài toán nội suy, một số
công thức nội suy
cơ bản, một số ứng dụng của đa thức nội suy trong việc
tính đạo hàm, tích
phân.
Đề tài đợc chia làm 2 chơng.
Chơng 1- Nghiệm của đa thức.
Chơng 2- Đa thức nội suy và một số ứng dụng.


Chơng 1
Đa thức và một vài tính chất
1.1. Khái niệm và tính chất
1.2. Một số bài toán
Đầu tiên ta xét một bài toán có sử dụng lợc đồ Horner, đây
cũng là phơng

pháp tìm nghiệm của phơng trình đa thức bậc cao.
Bài toán 1. Tìm nghiệm của phơng trình
24x^5 + 10x^4 x^3 - 19x^2 - 5x + 6 = 0
Bây giờ ta xét một số bài toán liên quan đến quan hệ giữa
các nghiệm với
nhau trong công thức Viete .
Bài toán 2. Hãy tìm những giá trị của tham số b sao cho những
nghiệm a1, a2,
a3,a4 của đa thức
P(x) = x^4 + 3x^3 + 6x^2 + bx + 4
thoả mãn điều kiện
a1 = 1/a1 + 1/a2 + 1/a3
Bài toán 3. Hãy lập đa thức bậc ba mà những nghiệm của nó
a1,a2,a3 thoả
mãn những đẳng thức sau
1/a1 + 1/a2 + 1/a3 = -2


Bài toán 4. Hãy tìm những giá trị của b sao cho những
nghiệm a1, a2, a3 của đa thức
P(x) = x^3 + bx + c
thoả mãn điều kiện
|a1| = |a2| = |a3|
ở đây môđun của số phức (|a|)^2 =
Bài toán 5. Cho x1, x2, x3 là những nghiệm của phơng
trình
x^3 + px^2 + qx + r = 0
Hãy biểu diễn thông qua p, q, r những hàm của các biến x1,
x2, x3
A = x21 + x22+ x23,B = x31+ x32+ x33 ,C = x41 + x42 +

x43
D = x21x2 + x1x22+ x21 x3 + x2x23 + x22 x3 + x21x23
E = x21x22+ x22x23+ x23x21
F = x31x2 + x1x32+ x32 x3 + x2x33+ x31x3 + x1x33
G = (x1 + x2)(x2 + x3)(x3 + x1),H = 1/x1 + 1/x2 + 1/x3 với r


1.3. Đa thức hệ số đối xứng
1.3.1. Định nghĩa
Một đa thức p(x) = a0x^n + a1x^(n-1) + + an gọi là đa thức hệ
số đối xứng
nếu những hệ số trong dạng chuẩn tắc của nó cách hệ số đầu và hệ
số cuối bằng
nhau thì có giá trị bằng nhau, nghĩa là a0=an , a1 = a(n-1) , , ak
= a(n-k) ,
1.3.2. Tính chất
Định lý 1. Đa thức P(x) là đa thức hệ số đối xứng bậc n nếu và chỉ
nếu với x 0:
P(x) = x^nP(1/x)
Định lý 2. Đa thức P(x) là một đa thức hệ số đối xứng nếu và chỉ
nếu điều kiện
sau thoả mãn:
(*) Một số b là nghiệm của đa thức P(x) nếu và chỉ nếu số 1/b cũng
là nghiệm.
Định lý 3. Nếu P(x) là đa thức hệ số đối xứng bậc 2m, thì P(x) =
x^mQ(y), ở
đây y = x + 1/x với x 0, còn Q(y) là đa thức bậc m.
1.3.3. Các bài toán
Bài toán 1.

Chơng 2
Đa thức nội suy
2.1. Đặt vấn đề bài toán nội suy
Trên đoạn [a, b] cho tập các điểm nút a x0 < x1 < . . . <
xn b và tại các
điểm này cho giá trị f(xi) với i = 0, 1, . . . , n của hàm f(x).
Cần xây dựng
hàm g(x) dễ tính và trùng với hàm f(x) tại các điểm nút trên,
nghĩa là
g(xi) = f(xi) với i = 0, 1, . . . , n.
Chúng ta thờng gặp bài toán này trong những trờng hợp:
cần phục hồi
hàm số f(x) đối với mọi điểm x [a, b] trong khi chỉ biết giá
trị của nó tại
một số điểm x0, x1, . . . , xn [a, b]. Những giá trị này thờng
là các giá trị
quan sát đợc hoặc đo đạc đợc. Nhiều trờng hợp biểu thức giải
tích của
f(x) đã biết nhng quá cồng kềnh và cần tính giá trị f(x) tại mọi
x [a, b].


2.2. Một số phơng pháp nội suy cơ bản
2.2.1. Phơng pháp đại số
Bài toán
Tìm đa thức nội suy bậc hai đi qua các điểm x0=0, x1=1, x2=2,
y0=3, y1=1, y3=4.
2.2.2. Đa thức nội suy Lagrange
Một số bài toán

Bài toán 1.
Để nghiên cứu động thái mực nớc gần sông ngời ta đã thiết lập một
tuyến
các lỗ khoan quan trắc với sông. Khoảng cách từ các lỗ khoan đến sông
lần lợt
là x0=10 m, x1=20 m, x2=30 m, x4=40 m. Cao trình mực nớc tại các lỗ
khoan
vào một thời điểm nào đó nh sau: H0=17 m, H1=27,5 m, H2=76 m,
H3=210,5 m.
Hãy nội suy khuynh hớng dâng cao mực nớc bằng đa thức nội suy
Lagrange
và nội suy giá trị dâng cao tại x=25 m.
Bài toán 2.
Khoan thăm dò mạch nớc ngầm tại các vị trí xo=1, x1=6, x2=11,
x3=16,
x4=21, x5=26, x6=31, x7=36. Độ sâu sẽ có nớc tại các vị trí tơng ứng


Bài toán 3.
Dân số của một quốc gia điều tra đợc qua
các năm 1960, 1970, 1980, 1990, 2000 tơng ứng là 45, 50,5, 54,
60,5, 64. Hãy ớc lợng dân số của quốc gia này năm 1975 Bài toán 4.
Ngời ta tiến hành thí nghiệm đo chiều cao cây thu đợc kết
quả ở các ngày thứ nhất, ngày thứ hai, ngày thứ ba chiều cao tơng
ứng của cây là 0,5 m, 0,7 m, 1m. Hãy tính chiều cao của cây vào
ngày thứ t.
2.2.3. Đa thức nội suy Newton
2.2.3.1. Sai phân
Giả sử f : R R là một hàm số cho trớc và h là hằng số khác 0. Ta gọi
sai phân cấp một của f(x) là đại lợng f(x) = f(x + h) - f(x).

Một cách tổng quát
nf(x = [n1f(x)], (n 1),0f(x) = f(x)
2.2.3.2. Đa thức nội suy
a)Đa thức nội suy Newton tiến
b)Đa thức nội suy Newton lùi
Bài toán
Tính tổng
a) Sn = 1^2 + 2^2 + . . . + n^2
b) Sn = 1^2 + 4^2 + 7^2 + . . . (3n + 1)^2


2.3. Một số bài toán ứng dụng
2.3.1. Tính gần đúng đạo hàm
2.3.1.1. Sử
dụng đa thức nội suy Lagrange
2.3.1.2. Sử dụng đa thức nội suy Newton
Dùng đa thức nội suy Newton tiến
2.3.2. Tính gần
đúng tích phân
2.3.2.1. Công thức hình thang
2.3.2.2. Công thức parabol (Simpson)
2.3.3.3. Công
thức Newton-CotesMột số bài toán về sử dụng một số công
thức nội suy cơ bản ứng dụng để tính đạo hàm tích phân.


Kết luận
Trong đề tài này, chúng tôi đã trình bày một số vấn đề về đa thức. Cụ thể
chúng tôi đã thu đợc một số kết quả sau:
Trình bày một phơng pháp để tìm nghiệm hữu tỉ, nghiệm nguyên của đa

thức.
Trình bày một số vấn đề liên quan đến nghiệm của đa thức.
Trình bày một số ứng dụng của bài toán nội suy trong việc tính đạo hàm,
tích phân và một số ứng dụng thực tiễn khác.
Những kết quả trên có vai trò quan trọng trong đại số và toán học nói chung.
Để đề tài này đợc hoàn thiện hơn, chúng tôi rất mong nhận đợc sự đánh
giá, góp ý của thầy cô và các bạn.


Tµi liÖu tham kh¶o
[1] NguyÔn H÷u §iÓn, §a thøc vµ øng dông, NXB Gi¸o dôc, 2003.
[2] Ph¹m K× Anh, Gi¶i tÝch sè, NXB §¹i häc Quèc Gia HN, 2002.