Phương trình hàm Cauchy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH XUÂN HUY
CAO HỌC TOÁN K7C

PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

TIỂU LUẬN TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015


Mục lục

1


Mở đầu
Ở trường phổ thông, kiến thức về phương trình hàm được đề cập tới chủ
yếu cho các học sinh lớp chuyên toán, còn đối với học sinh đại trà thì đây
vẫn là một kiến thức khó mà tiếp cận. Hiện nay các tài liệu về phương trình
hàm còn ít và chưa có một tài liệu nào trình bày khá đầy đủ các khía cạnh
của phương trình hàm. Do đó, việc có thể giúp học sinh tiếp cận với phương
trình hàm dễ dàng hơn và giải quyết được một số bài toán về phương trình
hàm cơ bản là một yêu cầu cần thiết nhằm phục vụ cho các kì thi học sinh
giỏi nên tôi chọn đề tài “PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY”.
Tác giả

2

Chương 1
Một số kiến cơ sở
1.1

Giải phương trình hàm:

Giải phương trình hàm là xác định hàm số chưa biết trong phương trình.

1.2

Hàm số chẵn và hàm số lẻ:

Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R và tập giá trị R(f ) ⊂ R.

1.2.1

Hàm số chẵn

Hàm số f (x) được gọi là hàm số chẵn (gọi tắt là hàm chẵn) trên M, M ⊂
D(f ) nếu:∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f (−x) = f (x), ∀x ∈ M.

1.2.2

Hàm số lẻ:

Hàm số f (x) được gọi là hàm số lẻ (gọi tắt là hàm lẻ) trên M, M ⊂ D(f )
nếu:
∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M.

1.3

Đặc trưng của một số hàm số cơ bản:

Trong phần này ta nêu những đặc trưng của một sồ hàm số sơ cấp thường
gặp trong chương trình phổ thông. Nhờ các đặc trưng hàm này mà ta có thể
dự đoán kết quả của các phương trình hàm tương ứng cũng như có thể đề
xuất những dạng bài tập tương ứng với các đặc trưng hàm đó:
+)
f (t) = at; (a = 0)
3


Đặc trưng hàm:

f (x + y) = f (x) + f (y);

∀x, y

+)
f (t) = at + b; (a, b = 0)
Đặc trưng hàm:

f

x+y
2

=

f (x) + f (y)
;
2

∀x, y

+)
f (t) = tα ; t ∈ R+
Đặc trưng hàm:

f (x.y) = f (x).f (y);

∀x, y > 0

+)
f (t) = at ; (a > 0, a = 1)
Đặc trưng hàm:

f (x + y) = f (x).f (y);

∀x, y

+)
f (t) = loga t; (a > 0, a = 1, t > 0)
Đặc trưng hàm:

f (x.y) = f (x) + f (y);

+)
f (t) = cos t.

4

∀x, y ∈ R∗


Đặc trưng hàm:

f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y) ∀x, y
+)
f (x) = tgx.
Đặc trưng hàm:

f (x + y) =

1.4

f (x) + f (y)
;
1 − f (x)f (y)

∀x, y ∈ R, x + y =

π
+ kπ(k ∈ Z)
2

Hàm số liên tục:

Giả sử hàm số y = f (x) xác định tại điểm x = x0 . Ta nói rằng hàm số

f (x) liên tục tại điểm x = x0 nếu lim f (x) = f (x0 ).
x→x0

Nếu đẳng thức trên không xảy ra thì ta nói rằng hàm số bị gián đoạn tại
điểm x = x0 .
Nếu hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc đoạn [a; b]thì ta nói hàm só f (x)
liên tục trên đoạn đó.

5


Chương 2
Phương trình hàm Cauchy
2.1

Phương trình hàm Cauchy:

Bài toán: Xác định hàm f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:

f (x + y) = f (x) + f (y),∀x, y ∈ R (1)
Lời giải.
Từ (1) ta có f (0) = 0 và f (−x) = −f (x) suy ra f (x) là hàm lẻ và với y = x
thì f (2x) = 2f (x). (2)
Giả sử với k ∈ N thì f (kx) = kf (x), . Khi đó:
f ((k +1)x) = f (kx+x) = f (kx)+f (x) = kf (x)+f (x) = (k +1)f (x), ∀x ∈
R, k ∈ N
Theo nguyên lý qui nạp ta có: f (nx) = nf (x),∀x ∈ R (∗)
Vì f (x) là hàm lẻ nên ta có: f (mx) = mf (x),∀x ∈ R, m ∈ Z . (3)
Từ (2) ta có: f (x) = f 2 x2 = 2f x2 = 22 f 2x2 = ... = 2n f 2xn
Từ đó suy ra: f 2xn = 21n f (x), ∀x ∈ R, n ∈ N .(4)

Kết hợp (3) và (4) ta có: f 2mn = 2mn f (1), ∀m ∈ Z, n ∈ N ∗
Suy ra: f (x) = xf (1), ∀x ∈ Q. Hơn nữa: ∀x ∈ R,luôn luôn tồn tại {x0 } ⊂ Q
sao cho lim xn = x
n→+∞

⇒ lim f (xn ) = f (x)⇒ lim xn f (1) = f (x)
n→+∞

n→+∞

vậy f (x) = ax (với a = f (1)).
Thử lại ta thấy hàm f (x) = ax,∀a ∈ R, tùy ý thỏa điều kiện bài toán.
Nhận xét: trong các bài toán, chúng ta ít gặp dạng phương trình hàm
Cauchy đơn giản như trên, mà thường gặp dạng biến thể tổng quát hơn.
Chẳng hạn bài toán vấn đề sau:
6


Bài toán vấn đề: Cho hàm số f (x) xác định trên R và liên tục trên đoạn
[0; 1] sao cho:
(i) f (0) = f (1) = 0.
(ii) 2f (x) + f (y) = 3f 2x+y
, ∀x, y ∈ [0; 1]
3
Chứng minh rằng f (x) = 0,∀x ∈ R.
Phân tích bài toán:
Từ điều kiện (ii) ta suy ra:f 2x+y
= 23 f (x) + 13 f (y), ∀x, y ∈ R
3
y

Nếu ta coi 2x
3 là x và 3 là y, thử gắn với phương trình hàm Cauchy ta có:
y
f 2x+y
= f 2x
3
3 + f 3 , ∀x, y ∈ R
2
f 2x
3 = 3 f (x)
Như vậy ta có thể giả thiết:
f y3 = 13 f (y)
Quay lại bài giải của phương trình hàm Cauchy ta phát hiện thấy điều giả
thiết là đúng. Thật vậy, từ (∗) ta có: f (nx) = nf (x),∀x ∈ R, n ∈ N
Thay x = nx ta được: f nx = n1 f (x), ∀n ∈ N, x ∈ R(1 )
Từ (3) ta có: f (mx) = mf (x),∀m ∈ Z, x ∈ R.
Kết hợp (1 ) và (3) ta được: f (rx) = rf (x), ∀r ∈ Q, x ∈ R.
Nếu ta thay f (x) = ax vào thì điều kiện bài toán được thỏa mãn. Như vậy,
giữa bài toán này và bài toán phương trình hàm Cauchy có mối liên hệ với
nhau.
Bây giờ ta sẽ tổng quát bài toán trên:
Bài toán: (phương trình hàm Cauchy mở rộng)
Cho bộ số(a1 , a2 , ..., an ) ∈ (R\{0})n . Tìm các hàm f (x) xác định, liên tục
trên R và thỏa mãn điều kiện: f (a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn ) = a1 f (x1 ) +
a2 f (x2 ) + ... + an f (xn ) (1),∀x1 , x2 , ..., xn ∈ R; n ∈ N ∗
Lời giải.
Thay x1 = x2 = ... = xn = 0 vào (1) ta được: (a1 + a2 + ... + an − 1)f (0) = 0
Nếu a1 + a2 + ... + an = 1 thì f (0) = 0 và khi đó từ (1) ta có:
f (a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn ) = a1 f (x1 ) + a2 f (x2 ) + ... + an f (xn )
= f (a1 x1 ) + f (a2 x2 ) + ... + f (an xn )

Vậy ta có: f (x1 + x2 + ... + xn ) = f (x1 ) + f (x2 ) + ... + f (xn ) thay x3 = x4 =
... = xn = 0 ta được: f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ), theo bài toán phương trình
hàm Cauchy ta có f (x) = bx, ∀x ∈ R, b ∈ R tùy ý.
Nếu a1 + a2 + ... + an = 1 thì f (0) nhận giá trị tùy ý, khi đó đặt g (x) =
f (x) − f (0) thay vào (1) ta được:
g(a1 x1 + a2 x2 + +an xn ) = a1 g(x1 ) + a2 g(x2 ) + +an g(xn ), (∀xi ∈ R, i = 1, n).
7


Do g(0) = 0 nên theo kết quả trường hợp trên ta có g(x) = cx, c tùy ý , nên
f (x) = cx + d với c, d ∈ R tùy ý.
Kết luận:
−Nếua1 + a2 + ... + an = 1 thì f (x) = cx,c ∈ R tùy ý.
−Nếu a1 + a2 + ... + an = 1 thì f (x) = cx + d,c, d ∈ R tùy ý.
Nhận xét: Việc giải bài toán tổng quát cho ta một kết quả rất hay. Tuy
nhiên, giả thiết của bài toán tổng quát là liên tục trên R. Do đó, nếu miền
liên tục của bài toán bị thu hẹp lại thì kết quả của bài toán có còn đúng
không?
Từ điều kiện (1) ta chỉ cần giả thiết f (x) liên tục tại một điểmx0 ∈ R cho
trước.
Từ giả thiết ta có lim f (x) = f (x0 ).Với mỗi điểm xi ∈ R ta đều có:
x→x0

f (x) = f (x − xi + x0 ) + f (xi ) − f (x0 ), ∀x ∈ R
Từ đó ta có:
lim f (x) = lim [f (x − xi + x0 ) + f (xi ) − f (x0 )] = f (x0 ) + f (xi ) − f (x0 ) =
x→xi

x→xi

f (xi ) suy ra hàm số f (x) liên tục tại điểmxi ∈ R.Do đó hàm f (x) liên tục
trên R.
Vì thế, kết quả phương trình hàm Cauchy vẫn đúng khi hàm số liên tục trên
miền D nào đó. Nên kết quả phương trình hàm Cauchy tổng quát vẫn đúng
khi tính liên tục bị thu hẹp trên miền D.

2.2

Một số phương trình hàm đưa về phương trình
hàm Cauchy:

Bài toán 2.1. Xác định hàm số f liên tục trên R và thỏa mãn:
f (x + y) = f (x).f (y)
∀x, y ∈ R (1)
2

Cho x = 2t , y = 2t thì f (t) = f ( 2t ) ≥ 0 ∀t ∈ R.Khi đó có 2 khả năng
xảy ra:
+) T H1 : ∃t0 , f (t0 ) = 0.khi đó ∀t ∈ R ta có:
f (t) = f (t0 + (t − t0 )) = f (t0 ).f (t − t0 ) = 0 ∀t. Thỏa mãn đề bài vậy:
8


f (t) = 0
+) T H2 :f (t) > 0 ∀t ∈ R.Lấy logarit 2 vế (1) ta được:
g(x + y) = g(x) + g(y) 2 trong đó g(t) = ln f (t)là hàm liên tục trên R.
(2) là phương trình hàm Cauchy nên g(t) = at. Suy ra f (t) = eat = At (A >
0)
Kết luận:
0

f (t) = 1 khi A = 1
At khi A > 0, A = 1
Bài toán 2.2. Xác định hàm số f liên tục trên R+ và thỏa mãn:
f (x.y) = f (x) + f (y)
∀x, y ∈ R+ (1)
Lời giải.
Do x, y > 0 nên có thể đặt:
x = eu , y = ev u, v ∈ R ⇔ u = ln x, v = ln y
Thế vào (1) ta được:
g(u + v) = g(u) + g(v) ∀u, v ∈ R
(2)
Trong đó g(t) = f (et )là hàm liên tục trên R
Vậy (2) là phương trình Cauchy nên có nghiệm g(t) = at
Kết luận: f (t) = g(ln t) = a ln t t > 0, a ∈ R

Bài toán 2.3. Xác định hàm số f liên tục trên R và thỏa mãn:

f(

x+y
f (x) + f (y)
)=
2
2

∀x, y ∈ R

(1)
Lời giải.
Đặt f (0) = b, f (t) = b + g(t). Khi đó g(0) = 0.

Thế vào (1) ta được:
b+g(x)+b+g(y)
g(x)+g(y)
b+g( x+y
⇔ g( x+y
∀x, y ∈ R. Trong đó g(0) = 0
2 ) =
2
2 ) =
2
Thế y = 0 vào (2) ta được: g( x2 ) = g(x)
2 ∀x ∈ R nên ta có:
g(x)+g(y)
g( x+y
∀x, y ∈ R
2 ) =
2
Thế vào (2) ta được: g(x + y) = g(x) + g(y)
∀x, y ∈ R (3)
(3) là phương trình Cauchy nên có nghiệm:g(t) = at
9


Kết luận: f (t) = at + b

a, b ∈ R

Bài toán 2.4. Xác định hàm số f liên tục trên R và thỏa mãn:
f x+y
∀x, y ∈ R (1)

= f (x)f (y),
2
Lời giải.
Từ (1) ta suy ra: f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R. Nếu tồn tạix0 ∈ R để f (x0 ) = 0 thì
f x02+y = f (x0 )f (y) = 0, ∀y ∈ R.
Tức là f (x) = 0.
Xét trường hợp f (x) > 0, ∀x ∈ R. Khi đó:
Đặt g(x) = lnf (x), g(x) là hàm liên tục trên R. Thay vào (1) ta được:
(y)
g x+y
= lnf x+y
= ln f (x).f (y) = lnf (x)+lnf
= g(x)+g(y)
, ∀x, y ∈ R
2
2
2
2
g(x)+g(y)
=
, ∀x, y ∈ R. Theo kết quả bài toán phương trình hàm
Hay g x+y
2
2
Cauchy mở rộng ta có g(x) = ax + b, a tùy ý.
Suy ra:f (x) = eax+b ,với a, b ∈ R tùy ý. Thử lại ta thấy thỏa mãn yêu cầu
bài toán.
Kết luận:
f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R.
f (x) = eax+b ,a, b ∈ R tùy ý

Bài toán 2.5. Xác định hàm số f liên tục trên R và thỏa mãn:
(i)f (x + 2y + 3z) = [f (x)][f (y)]2 [f (z)]3 ; ∀x, y, z ∈ R
(ii)f (x) ≥ 0; ∀x ∈ R.
Lời giải.
Từ điều kiên (ii), nếu có x0 ∈ R : f (x0 ) = 0 thì:
f (x + 2y + 3z) = [f (x0 )][f (y)]2 [f (z)]3 = 0; ∀y, z ∈ R. Tức là f (x) ≡ 0, ∀x ∈
R
Xét trường hợp f (x) > 0, ∀x ∈ R. Khi đó, đặt g(u) = lnf (u), ∀u ∈ R. g(u)
liên tục trên R. Thay vào (i) ta được:
g(x + 2y + 3z) = lnf (x + 2y + 3z) = lnf (x) + 2lnf (y) + 3lnf (z)

= g(x) + 2g(y) + 3g(z); ∀x, y, z ∈ R
Hay g(x + 2y + 3z) = g(x) + 2g(y) + 3g(z); ∀x, y, z ∈ R, theo kết quả bài
10


toán phương trình hàm Cauchy tổng quát ta có g(x) = ax; a tùy ý. Do đó
f (x) = eax ; ∀x ∈ R ,a tùy ý.
Kết luận:
f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R
f (x) = eax ; ∀x ∈ R, a tùy ý.
Bài toán 2.6. Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn:
(i)f (a1 x1 +a2 x2 +...+an xn ) = [f (x1 )]a1 .[f (x2 )]a2 ...[f (xn )]an ; ∀ai , xi ∈ R, i =
1..n.
(ii)f (x) ≥ 0; ∀x ∈ R.
Lời giải.
Xét trường hợp nếu ∃xi : f (xi ) = 0; i = 1, 2, ..., n thì:
f (a1 x1 +a2 x2 +...+ai xi ...+an xn ) = [f (x1 )]a1 .[f (x2 )]a2 ...[f (xi )]ai ...[f (xn )]an =
0
Tức là f (x) ≡ 0.

Xét trường hợp f (x) > 0, đặt g(x) = lnf (x); ∀x ∈ R, g(x) là hàm liên tục
trên R, thay vào (i) ta có:
g(a1 x1 +a2 x2 +...+an xn ) = a1 g(x1 )+a2 g(x2 )+...+an g(xn ); ∀ai , xi ∈ R, i =
1..n, theo bài toán Cauchy tổng quát ta có:
Nếu a1 + a2 + ... + an = 1 thì g(x) = ax, với a ∈ R tùy ý, ∀x ∈ R.
Nếu a1 + a2 + ... + an = 1 thì g(x) = ax + b, với a ∈ R tùy ý, ∀x ∈ R.
Do đó:
f (x) = eax với a ∈ R tùy ý, ∀x ∈ Ra1 + a2 + ... + an = 1.
f (x) = eax+b với a ∈ R tùy ý ∀x ∈ R nếu a1 + a2 + ... + an = 1.
Kết luận:
f (x) ≡ 0
f (x) = eax với a ∈ R tùy ý, ∀x ∈ R nếu a1 + a2 + ... + an = 1.
f (x) = eax+b với a ∈ R tùy ý, ∀x ∈ R nếu a1 + a2 + ... + an = 1.

11


Kết luận
Phương trình hàm cauchy là phương trình hàm cơ bản, đa số
các phương trình hàm khi giải cuối cùng đều đưa về phương trình
hàm cauchy. Do đó việc nắm vững phương pháp giải phương trình
hàm cauchy là rất quan trọng. Nó là tiền đề, là công cụ cho ta giải
các bài toán, các dạng phương trình hàm khác.

12


Tài liệu tham khảo
[1] Bài giảng của GS-TSKH NGUYỄN VĂN MẬU
[2] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ.

[3] Tài liệu nguồn Internet.

13