Thuật toán Ford Fulkerson

1/46
CHƯƠNG 9
MẠNG VẬN TẢI
2/46
NỘI DUNG

Mạng vận tải

Luồng qua mạng

Bài toán luồng lớn nhất

Thuật toán Ford - Fulkerson

Một số ứng dụng của bài toán luồng lớn nhất
3/46
9.1. BÀI TOÁN LUỒNG LỚN NHẤT

Bài toán luồng lớn nhất là một trong những bài
toán tối ưu của Lý thuyết Đồ thị, được đề xuất vào đầu
những năm 1950 và trở nên nổi tiếng với thuật toán
Ford - Fulkerson.
4/46
MẠNG VẬN TẢI

Định nghĩa 9.1. Mạng vận tải là một đồ thị có hướng G
= (V, E) không có đỉnh nút, trong đó:
- Có duy nhất một đỉnh x
0
không có cạnh đi vào,
F

-1
(x
0
) = ∅ (đỉnh phát)
- Có duy nhất một đỉnh z không có cạnh đi ra,
F(z) = ∅ (đỉnh thu)
- Mỗi cạnh e được gán một số nguyên không âm c(e)
và gọi là khả năng thông qua của cạnh.
5/46
MẠNG VẬN TẢI (tiếp)
Ví dụ mạng vận tải:
x
0
x
1
x
5
z
x
4
x
7
x
2
x
6
x
0
7/8
3/4

6/6
6-7/9
4/4
6-7/8
5/5
3-2/4
2-3/4
2-3/4
11/12
5/5
3/4
2/4
4/4
6/46
LUỒNG QUA MẠNG
Với một mạng G = (V, E, c), ta ký hiệu:
W
-
(x) = { (a, x) ∈ E  a ∈ V } - tập các cạnh đi vào
đỉnh x.
W
+
(x) = { (x, b) ∈ E b ∈ V } - tập các cạnh đi ra
khỏi đỉnh x.
7/46
LUỒNG QUA MẠNG (tiếp)

Định nghĩa 9.2. Hàm t : E → N là một luồng đi qua
mạng (G, c) nếu:
a) ∀ e ∈ E : t(e) ≤ c(e) - luồng trên mỗi cạnh không

được vượt quá khả năng thông qua của cạnh đó.
b) ∀ x ≠ x
0
và z : t(W
-
(x)) = t(W
-
(x)) - luồng trên các
đỉnh phải cân bằng.
8/46
TÍNH CHẤT CỦA LUỒNG
Với tập B ⊆ V, ký hiệu:
W
-
(B) = { (a, b) ∈ E  a ∉ B, b ∈ B } - tập cạnh từ
ngoài B đi vào B.
W
+
(B) = { (a, b) ∈ E  a ∈ B, b ∉ B } - tập cạnh từ
B đi ra khỏi B.

9/46
TÍNH CHẤT CỦA LUỒNG (tiếp)
W
-
(B) W
+
(B)
B
B

Hình 9.1. Tập cạnh vào và ra của một tập đỉnh
10/46
TÍNH CHẤT CỦA LUỒNG (tiếp)
Khi đó nếu tập con các đỉnh B không chứa x
0
và z
thì: t(W
-
(B)) = t(W
+
(B)).
Theo tính chất b) của luồng:
∑ t (W
-
(x)) = ∑ t (W
+
(x)

)
Cạnh kề với đỉnh x nếu có đỉnh đầu và đỉnh cuối đều
nằm trong tập B thì nó sẽ có mặt ở cả hai vế của đẳng
thức đúng một lần, do đó có thể giản ước.
11/46
TÍNH CHẤT CỦA LUỒNG (tiếp)
Sau khi giản ước, tổng ở vế trái chỉ còn lại các cạnh
mà đỉnh đầu ở ngoài B đỉnh cuối trong B, tức là tập
W
-
(B). Tương tự, tổng ở vế phải chỉ còn lại các cạnh mà
đỉnh đầu ở trong B đỉnh cuối ngoài B, tức là tập W

+
(B).
B
Hình 9.2. Các cạnh kề với một tập đỉnh