Bulletin V18 de la Société des Sciences de Roumanie

ANUL

IANUARIE —EEVRUAftffi 1909

XVIII.

No. Ir-

(q

BULETINUL

SOCIETII DE TIINE
DIN

BUCURETI— ROMÂNIA
SPLAIUL GENERAL MAGHERU 2

BULLETIN DE LA SOCIETE DES SCIENCES
DE BUCAREST-ROUMANIE
SPLAIUL GENERAL MAGHERU 2

APARE SUB DIRECIUNEA SECRETARULUI GENERAL

§1

A COMITETULUI DE

REDACIE

PROGESELE-VERBALE ale edinelor societii i memoriile

PRESENTATE, CONFERINELE FCUTE ÎN SÎNUL SOCIETII, PRECUM I DRI DE SEAM
RELATIVE LA LUCRRILE NOI FCUTE ÎN STRINTATE VA CONINE DE ASEMENEA
BIOGRAFIA OAMENILOR ILUTRI I LUCRRILE FCUTE DE ROMÂNI ÎN STRINTATE
SAU PUBLICITATE ÎN STRINTATE DESPRE ROMÂNIA

EL CUPRINDE

:

;

PREUL ABONAMENTULUI ANUAL
Prix de l'abonnement annuel

:

:

25 LEI IN

25 Frs. pour

ARA l STRINTATE

le

pays et pour l'âtranger

BUCURETI
IMPRIMERIA STATULUI

I909

—

l

$


37-


BULETINUL

SOCIETII DE TIINE
BUCURETI
ANUL

XVIII-lea.

IANUARIE— APRILIE 1909

No.

1.

PROCES-VERBAL
edina

Prezideaz

d-1

seciunii de matematic dela i Decemvrie 1908

A. Ioachimescu, apoi

D-na Ver a Myller comunic
ecuaiunii parabolice

d-1

D. Emmanuel

rezultatele

ce a obinut asupra

:

2

z

1

9z

1

dz

c'x-

x

dx

x

c'y

<9

studiând soluiunea care

ia

mat de o caracteristic i

valon date pe un contur deschis, for-

dou

curbe

cari

o tai.

D-1 V. Vâlcovici generalizeaz noiunea, introdus de d-nii

Fouret
milie

i

Saint-Germain, de curbe

de sincrone date. D-sa

traiectorii

capt

i

sinodale la

nite curbe noui,

cari sunt

tocmai curbele ce se obin, când se caut toate traiectoriile
familie

dat de

o fa-

la

o

sincrone pentru un potenial anumit.

comunic asupra

Legii de atraciune molecular a lui Sutherland, comparat cu aceea ce se poate deduce din ecuaia caracteristic a unui fluid de Van der Waals.
D-1 E. Neculcea

:

Sutherland a ajuns, prin concepii de teorie cinetic a gazelor

i

prin consideraii de

exercitri du-se între

r una de

alta,

alt

dou

ordin, la o lege de atraciuni moleculare,

molecule a unui gaz, situate

care se poate

pune sub forma

la

o distan


BULETINUL SOCIETII DE

TIINE

unde c e o constant. Pe de alt parte ipoteza, pe care Van der
Waals o introduce în stabilirea formulei sale caracteristice a unui
fluid (ipoteza presiunii

interne),

conduce a admite pentru atrac-

iunei molecular legea

constant i v

P fiind o

D-l Neculcea

i

tibile

fiind

s'a întrebat

volumul ocupat de gaz.

dac

aceste

dou

prin ajutorul câtorva transformaiuni

legi sunt

compa-

i

a unei

analitice

formule din teoria cinetic a gazurilor ajunge a

stabili

perfecta lor

echivalen.
Preedinte, A. G. Ioachimescu.
Secretar, A. Myller.

PROCES-VERBAL
edina

dela

12

Ianuarie

190a

Prezideaz d-l A. Ioachimescu,
D-l G.

ieica

face o comunicare asupra curburii totale a su-

prafeelor riglate. Lucrarea va

D-l Ion Ionescu, profesor

la

fi

publicat

în Buletin.

coala de poduri i osele,

face

comunicare asupra momentelor statice absolute. D-sa arat
unele aplicaiuni practice conduc

prafee plane în raport eu o
faa,

fr

a ine

seam

la calculul

dreapt

o

c

momentelor unei su-

din acel plan care taie supra-

de eonveniunea obînuit de a se socoti

semne deosebite momentele suprafeelor elementare de o parte
i de alta a acelei drepte, ci de a face suma valorilor absolute a lor
cu

de unde

i numele de momente

Arat cum

îl

propune.

momente când axa momentelor
dac axa se mic paralel cu ea însi i

cum variaz ele
mai mic moment static

ce divide în

pe care

se pot calcula acele

este fix,

c cel

statice absolute

dou pri

absolut în aceste condiii

echivalente suprafaa

îl

d dreapta

considerat.

Axele

minimum înfoar o curb închis, care
admite cel mult o tangent paralel cu o direcie dat, oricare ar
aceast direcie, i care se compune din arce de iperbol când
de moment

fi

static absolut


BULETINUL SOCIETII DE

suprafaa este mrginit de

înfurata, se reduce
centru de simetrie
tice absolute,

zuri curioase,

i

la

TIINE

drepte, formând un poligon convex,

linii

un punct numai când suprafaa admite un

momentelor sta-

chiar atunci studiul variaiunii

când axa se rotete

în jurul

prezint ca-

centrului,

dând ca exemplu ceeace se petrece

un dreptunghiu.

la

Preedinte, A. G. Ioachimescu.
Secretar, A. Myller.

LA COORBURE TOTALE DES SURFAGES REGLEES
PAR

TZITZEICA

G.

Je

me propose

de demontrer par une voie elementaire certains

resultats concernant Ies surfaces reglees

et

que j'avais obtenus

anterieurement par une methode plus compliquee, mais plus generale.
i.

Theoreme d'Enneper. Enneper a demontre que pour

toute

M

surface a courbure negative la courbure totale en un point

est

egale, en valeur absolue, au carre de la torsion d'une des lignes

asymptotiques qui passent par M.

Ce theoreme peut etre demontre geometriquement en partant
de la definition donnee par Gauss pour la courbure totale.

C

Considerons un contour

sur la surface entourant le point

ou l'admettant sur sa peripherie,
de

la

et

dl

et soit y le

representation spherique. Alors,
Ies aires

de

la surface et

de

si

M

contour correspondant

nous designons par dS

sphere comprises a l'interieur

la

de ces contours, on a

K = courb.
lorsque

C

se reduira au point

Cela etant, considerons

deux lignes conjuguees
Ies lignes

i

MM

t

=

lim.

^^
dh

M.

parallelograme
e'c

MM

C

le

dS

2

parallelogramme

= ds!

.

ds 2

MMjM M
2

forme par

3

partant du point

conjuguees de celles-lâ partant de

prenons pour contour
(

le

totale

.

sin

0,

M et M
MM M M
l

1

2

2.

3,

M

et

Si

par

nous

on a


—
TIINE

BULETINUL SOCIETII DE

ou ds

= MMj, ds = MM
2

t

= M ,MM

et 8

2

niere dans le parallelogramme

u.

-p.[A

1

2

uL

de

3

On

2.

la

a de

meme ma-

la

representation sphd-

rique,

dl

(2)
Si

da\j

pour passer de

y, z

MâM

on

2,

MâM

comme on

a,

.

= Sz
q =
dx
-*-,

C'Z
-a—,
c/y'

comme

alors

a,

(3,

M,

da ox

et

on

-f- d(3

.

.

-\-

.

MM!

De

et

2

[Ji^

la resulte

2,

o,

-j-

dy
.

= dX (pox
dq oy) =

oz

.

X (dp ox

-j-

.

MM,

et

to

=m

de (1) et

—

2z)

o,

(xuj,

par consequent

et

l

dS

Ton suppose que
de courbure de
dl

ds

Ies lignes

on a

(2),

—

da.,

,.

t^

.

!

s.

ds

conjuguees

2

MM

t

et

MM

normales en

la sur face, alors Ies

2

sont Ies

M et en M

=R

1

.

dcr 1}

,

rayon principal de courbure correspondant a

ligne de courbure

i

etant l'angle de ces deux normales, on a

ds
le

qoy

-f-

sin

dS
r —
= lim do-,
K=hm

\

designant

representation

la

sont perpeniiculaires.

et a l'aide

(3)

se coupent, et

de

u.

aisement que Ton a

verifîe

oy

X,

Tegalite

en valeur absolue,

i

=

+T

sin

lig-nes

ceux pour passer

d'habitude. Or, posons

ce qui prouve que Ies directions
aussi

accroissements

Ies

et 8x, Sy, Iz

l5

y sont Ies coordonnees du point

spherique de

R

10.

= Xp, p=rXq, T = —
l/i-r-p

Si

sin

dq Sy

-f-

=

a

,

.

sait,

dp Sx
ou, r
p

da 2

.

nous appelons maintenant dx, dy, dz

de x,
de

=

MMj. On

meme

a de

ds 2

=R

2

.

do- 2 ,

et alors

R|R 2
qui est la deTinition habituelle de la courbure totale.

la


TIINE

BULETINUL SOCIETII DE

Supposons maintenant que

la ligne

MM!

se rapproche

niment d'une ligne asymptotique passant par

meme

en est de

ii

de

limite, la relation (3)

MM

l'autre ligne

2,

M

;

on

indefi-

sait qu'alors

conjuguee de MM.,.-

deviendra, abstraction

faite

A

la

du signe

K = lim (d7

(4)

ds etant

l'angle

MM'

l'arc

forme par

normales â

la

de

la

ligne asymptotique

normales a

Ies

la surface

en question

en

M

M'.

et

et

do

Or

ces

surface sont Ies binormales de la ligne asymptotique,

donc
do-

imi -7- ==T,

ds

T

designant

demontre
2.

le

la torsion

de cette ligne en M,

formule (4)

et alors la

theoreme d'Enneper.

Courbure

totale

d'une surface reglee. Considerons mainte-

g

nant une generatrice ordinaire

d'une surface reglee quelconque

non developpable. Designons par C le point central de g
est un point quelconque dcg, posons x == CM. Soit enfin

M

gle forme par le plan tangent en

On

M

avec

le

et, si

l'an-

plan tangent en C.

a alors, d'apres la formule bien connue de Chasles

^=£'

'(5)
.

k etaut

le

parametre de distribution de g.
g est une ligne asymptotique de

Remarqaons maintenant que
la surface et
la surface

en

M

est

que son plan osculateur en

et

eviiemment dx

et l'angle

plan tangent â

la

;

forme par deux plâns oscula-

donc, en mettant en

courbure totale, on a d'apres

en tenant compte de (5)
(6)

est le

en ce point. L'element d'arc de cette ligne asymptotique

teurs indniments voisins est d§

signe de

M

K=- COSk *°
2

(4)

eVidence

le


TIINE

BULETINUL SOCIETII DE

Prenons un point

3.

jections de

O

fixe

O

dans l'espace. Soient P

M

sur le plan tangent en

et

sur

la

enfin posons p — OP, d = O O. On a alors dans

p

= 00

P"QO

sin

etant l'angle forme par

plan tangent en C.

K
La

=

dsin

(6—

pro-

generatrice gle

triangle rec-

g

et

)

plan qui contient

le

= -l_

derniere formule

O

avec

le

(7) fait

cos

]*

6

sin(6—
voir que

o )J.

si O

=—

,

—

on a

,

—

long dela generatrice g. D'ailleurs, ii est aise de voir
sin (6
rapport cosO
est independant de O, seule)

constant
que.

Ies

en resulte

II

(7)

4.

Q

OPQ

tangle

8

et

le

le

—

:

ment pour

O

n

=—

Si Von prend

On

.

a donc

le resultat

suivant

2

O

dans

plan asymptote de la generatrice g, alors et senlement alors le rapport K: p 1 entre
la courbnre totale et la quatrieme puissance de la distance de
O au plan tangent, garde une meme valeur pour tont point
le

point

le

,

M de
5.

dont

g.

Considerons maintenant
la

le cas particulier

developpable asymptote se reduit a un cone

sommet de
4

:

et soit

O

le

ce cone. Alors. le plan asymptote de n'importe quelle

generatrice de la surface passe par

K

des surfaces reglees

p reste constant

le

O

et

par consequent

le

rapport

long de toute generatrice de cette snrface,

mais varie d'une generatrice a une autre.

Reciproquement,
oii

ii

existe

un point

ii

resulte de ce qui

O

tel

chaque generatrice, tous
par O, autrement
reduit a

dit la

K

le

cas

p soit constant pour
plâns asymptotes de la surface passent

que

Ies

precede que, dans

le

rapport

4

:

developpable asymptote de

la

surface se

un cone de sommet O.

Cette propriete est curieuse en ce qu^elle relie

entre elles deux

definitions tout-â-fait differentes des surfaces reglees particulieres

dont nous nous ocupons: d'un cote
la

la definition projective

developpable asymptote reduite â un cone, de l'autre

davoir

la defini-


TIINE

BULETINUL SOCIETII DE

tion metrique d'avoir

rapport

le

K

4

constant

reste

constant

:

p

de chaque g-eneratrice.

long-

le

O

pour un point

Dans

cas plus particulier ou

le

Ies points

pour tous

remplace

jective qui

de

la surface,

K

raport

le

lâ-desus je ne puis pas entrer

dans des

ici

p

4

y a encore une propriete pro-

ii

propriete metrique

la

:

Mais

dela defmition.

details.

(Voir Comptes-

rendus, 9 Dec. 1907).
6.

Revenons maintenant a

Considerons deux points

M

rapport

K

dans quel cas

points.

On

le

formule

la

M

et

{

p

:

4

(7) et

en posan x A

meme

a la

6

formule de

signe

—

Chasîe

(5)

X|

x

,

On

deux

et x

2

= CM M
,

points

M

et

i

M

2

O, et

et

designant

le

tenant compte

xa

sont differents, on doit prendre

et alors

points

c'est-â-dire Ies

M

ces

-T07)

x2

xl

port a

valeur en

2

du plan passant parg"

On voit que si Ies
le

+—

92

,

= CM^Xg = CM

point de contact
la

Q

dela generatrice et cherchons

2

cos
=
sin^-ej
-sin(9

de

—y

devra avoir
cos

ou,

supposons

M

i

+x

M

et

2

2

sont

symetriques par

rap-

.

voit encore

que lorsque

finiment, le rapport

K

:

p

M

4 croit

part de

M

de — coâo.

et s'en eloigne inde-


HULETINUL SOCIETII DE

10

SUR

U.\

TIINE

PROBLEME IIELATIF Â L'EIIEATM HYPERBOLIOUE DE LAI'LACE
PAR

POPOVICI

C.

s'agit des integrales

II

E(z)

(i)

= n—^p + a(x,y)^-x + b(x,y)^+ c(x,y)z = o
uy
-

i_.

qui

de l'equation

Xl-

^

y

prennent des valeurs donnees sur deux courbes donnees.

tuees dans

le

meme

si-

angle des caracteristiques qui passent par

leur point de rencontre.

Cette question a

dernierement de

fait

Tobjet de remarquables

M. A, Myller.

part de

la

qui

etudes,

surtout

reduit la question

a lintegration d'une equation fonctionelle et â la fois integrale de

la

forme

:

•![f(x)]

(2)

avec

'\>

comme

= V(x)Hx) + F x)

•

l

fonction inconnue

:

'[*K(x£yM)dt
J

o

apres avoir calcule prealable-

ment une integrale satisfaisant â deux conditions particulieres.
La methode donnee par M. Myller est bien interessante mais
je tiens â ajouter une autre, que j'ai obtenu depuis longtemps
;

dans mes

essais,

en reduisant

ples equations integrales et
Je

me

Roux, publies

ii

question a

suit

et le Journal

resolution

des beaux resultats de
Ies

a, soit u(x,y,a) et

(i)

cu

^+

a(x,y)u

I

=

f

J.

le

:

qui satisfait a l'equation

= o pour a = x

alors l'expression

(4)

M.

dependant d'un para-

~\

(3)

de sim-

comptes-rendus de l'Aca-

de Liouville, a savoir

une integrale de l'equation

metre arbitraire

la

fonctionelles.

y a dix ans dans

demie des sciences
Si l'on a

non

dans ce qui

servirai

la

f(«)u(x ? y,a)da


:

TIINE

BULETINUL SOCIETII DE

II

sera une integrale de requation (i) avec une fonction arbitraire

chose que Ton peut facilement

verifier, car

on

f,

a

X

E

(5)

(I)

=j
«/

f(a)E(u)da

+

f(x)

Mr. Le'Roux appelle une expression de

principale de l'equation

(1). II

+ au]

[
L 11
LV

q

forme

la

que

s'en suit

== O

-10b

si

integrale particuliere v (x,y,a) de l'equation

X

integrale

(4)

une

l'on a encore

â la

satisfaisant

(1)

condition

bv

-q— -j-

(6)

alors 1'exprossion

—o

pour

a

=y

:

1=

f(a)u(x,y,«)ia -f

J

qp()v(x,y,)da

I
-'

o

o

sera l'integrale generale de l'equation (1) avec deux fonctions ar-

Ces fonctions u

bitraires.

ments en
u et de y

par des

v s'obtiennent

developpe-

series convergentes suivant Ies puissances de

— a pour

Ouând

a

et

la

x

— a pour

v.

fonction u satisfait aux deux conditions (3) et (6), on

une integrale du genre de Rieman, Hadamard

(voir

I

II

de

Mr

Darboux.
Cela etant, designons par y
donnees.
II

s'agit

=p

(x) et

de determiner une integrale

sur la premiere courbe et


Je vais m'occuper pour le

I

qui

y

=q

(x) Ies

prenne

courbes

la valeur

F

(x)

deuxieme.

(x) sur la

moment uniquement de

la

determi-

nation formelle de cette integrale.
Si l'on designe

:

u(x,p(x),a) =5 x(x,a),

(7)

=

u(x,q(x),a)

Le probleme
integrales

(8)

-/^Xja.),

v(x,p(x),a)

= Y(x,«)

v(x,q(x).a)

=.

se reduit â resoudre

Y

(x ? a)

1;

deux equations simplement

:

F(x)

=f
•'

cl>(x)

=

f(a)-/(x,«)da

o

+ Jf

/l (x,a)da -f-T

o

? (a)Y(x,a,da

o

f(a)"

/

X>

J

o

TIINE

BULETINUL SOCIETII DE

12

on suppose que F(x)
particuliers

pour x

et *(x) s'annulent

=o

(II

y a des cas

ou cette hypothese n'est pas necessaire).

equations (8) on peut se servir des equations
i
se reduisent aux preceplus generales auxiliaires qui pourX

Pour resouire

Ies

=

dentes.
f(a)y(x,x)da

/

Cherchons

,

- *(x,x)]da +

et

=

? (a)

=

aura pour

*'(x)

en general


et

n

f

q.

P'WY(x,z)

•

.

q'(x)

Y(x,x)

.

o

+?

f

n (x)

^1,1

/

ou Ton a mis pour abreger

4*(

.

x

>

a)

.

q'(x)

r
—

"X(

x( x x )

p'W Y

Xi(x pO

q'(x )

>

est different

de zero, alors

trouve pour

f(a) et >(a)

ii

existe

Y

.

Y

(x,x)

^

(x)

determinant

(12)

Si le

1?

forme

+
+

=y U«)^ da + ^

x

Si le

fn (a)

Y

seront donnes pas Ies formules de reccurence.

n (x).p'(x)y(x,x)

r

n

la

l5

:

?0 (x)

f

nM ;Ci(x,x)

(ii)

X

= to)xM + ?oW
= (x)ii(xx) +

fn et

+

X»fn (a)

equations

Ies

cp

X

y,

(a)

(a)

-- Y(xx)]da


+ Xf,(a) +
+ X ?1 +

f («)

f

F'W

fn (x)x(x,x)

[**

Y, p, par
par des developpements de

et
f(«)

f(«)

,

o

analogue en remplagant F,

et l'equation

(I0)

/

o

ff(a)fe(x,a)

On

+ J "
X

=J

F(x)

x a)
?

—

^ (a)^

da

=

"X(

x x)j

etC-

?

M
i(

x x)
,

une solution unique,

et

l'on

approximations ne

rriar-

des series convergentes.

determinant (12) est

nul, alors Ies

methode classique deriver encore ies equations (8). Cette methode de M. Volterra a
ete precisee par M. Lalesco dans sa these (voir page 48) et Ton
trouve indiquee la marche a suivre.
chent pas

;

mais alors

ii

faudrait suivant la


TIINE

BULETINUL SOCIETII DE

Si le determinant (i 2) est infini, alors f et

13

ne sont plus don-


mais dans ce cas Ies equations (8)
Ies equations (10)
deviennent deux equations integrales du type d'Abel que Ton
peut aussi resoudre en generalisant la methode pour une seule

nees par

;

^quation.

SDR LES COURBES ET LES SDRFAEES SYNCHRONES
PAR

M. V.

VÂLCOVICI
I

Euler

1.

de

la

et

Saladini ont

lemniscate

fait

connaître la propriete

:

un plan

Elle est la seule courbe situee dans

maniere qu'un mobile abandonne sur
vitesse,

cette

arrive en un point quelconque

meme temps

le

O

cor de

suivante

que

s'il

vertical, de telle

courbe en O, sans

M de

cette courbe

dans
assujetti a glisser sur la

avait ete

M.

En remplacant

la

pesanteur par une

point situe sur l'un des axes

for ce centrale

Ox, Oy. M. Bonnet

*)

issue

d'un

a demontre"

que cette propriete subsiste encore.

Comme g-eneralisation, M. Fouref1

Un

i°

point materiei soumis dans

rivee d'un poteni el determine part

pose ces deux problemes

:

un plan a une for ce ded'une origine

O

avec une

Trouver un systeme de courbes (T), passant

vitesse donnee.

O

se

)

voir sur une quelconque de ces courbes, decrive

moupartir du

meme temps

qu'il mettrait

par

point

et

}

homothettques, telles qu'un mobile assujetti a se

un arc quelconque dans

le

a decrire la corde correspondante.

Etant donne dans un plan un systeme de courbes JT)
passant par un point O et homothetiques par rapport
ce
2

une for ce derivant d'une fonction de for ces,
sous Vaction de laquelle un mobile ayant une vitesse iniiale
donnee, parcourt
partir du point O, un arc quelconque d'une
point, trouver

Journal de rnafhematiques pures et appliquees,
2

)

Comptes rendus,

t,

CUI

p.

t.

IX, p. 116.

1.114 eti.174, Journal de l'Ecole Polytechnique, 56-e Cahier.


:

BULETINUL SOCIETII DE

14

TIINE

quelconque des courbes (TJ, dans le meme temps qu'il lui faudrait pour parcourir la cor de correspondante.

Le premier de
qu'autant que

ces

problemes,

M. Fouret,

clit

taines formes de la fonction des forces.

possible que

Le second

possible

pour cer-

n'est

egalement

vitesse iniiale est nulle.

si la

Plus generale encore

Saint-Germain

n'est.

nulle et seulement

la vitesse iniiale est

est la

question que se pose M. A.

de

1

)

Etant donnees dans un plan deux familles de lignes ( TJ et
(SJ, qui toutes passent par un point O, peut-on trouver une
jorce F, derivant d'un poteni el
U et telle que sous son ac-

—

un mobile partant du point O avec une vitesse determinee
suivant Vun quelconque des lignes ( TJ, arrive en un point

lion,
et

quelconque
suivi celle

M de

dans

cette ligne

le

meme temps que

des lignes (SJ qui passe en

M. de Saint-Germain

desiq-ne

Ies

s'il

avait

M?

lignes (T)

sous

le

nom

de

trajectoires et Ies lio-nes (S) sous celui de lignes synodales.

Une

autre question etroitement

â celle-ci

liee

est

la

suivante,

traitee par Euler et M. Legoux^) dans quelques cas particuliers

:

dans un plan une infinite de courbes ( Tj dont Vequation depend d'un parametre et qui passent par un point O
on lance sur toutes ces courbes^ partir de O au meme instant,
Soit

:

des points materiels identiques, avec une vitesse donnee v

meme pour

tous et on Ies soumet a

fonction de forces donnees

triques des positions de tous ces points

Ces courbes
parametre
2.

t;

(£)

on

Ies

CA,u)

-}

(S)
j
(

a,
t.

— a(X,u)

y =
V)
= c(X,a).
x

b(

z

Bulletin des Sciences mathematiques, 1S89.
la fac.

-

trace'es sur la surface
(

Annales de

geome-

au meme instant

Soit:

deux familles de courbes

)

lien

t.

appelle courbes synclirones aux premieres.

(S)

-)

(I),

forment une familie de courbes dependant du

(T)/(X,fiL).=

4

la

des forces derivant d'une

trouver la courbe

;

,

de Toulouse,

t.

VI.

.

:


:

BULETINUL SOCIETII DE

et soit t le

temps que mettrait un mobile

pour parcourir
courbes de

Si t est

M M sur

l'arc

.\,(k,p.)

)

independant de

alors je dirai

trajectoires (T).

S'il'

=
la

que

15

de masse

une courbe

seconde familie

la

(S

finale (I),

TIINE

:

t

et (£) ^X,[t)

courbe

Ies

=

(T), quelle

t.

que

existe encore

une autre

t pour parcourir l'arc correspondant sur

On

familie

(S^de

donc que d'apres

pas necessaire que

(S

On

meme temps

(SJ compris entre

cette definition des trajectoires

(^

)

et

inconnu

e"o-al

et

â t-t

.

necessairement au point O,
force derivant

une vitesse iniiale v en

En

instant la valeur

n'est

de Saint-Germain, l'une des synchrones,

cas, devait se reduire

et

ii

courbes (T) soientconcourant.es. Dans ies cas

peut evidemment determiner une

tentiel
soit

Ies

par MM. Fouret

pour notre

)

courbes,

courbes (S 1 ) seront Ies synodales des trajectoires (T).

voit

etudies

courbe

soit la

courbes (I) sont synchrones aux

tracees sur (S), pour lesquelles le mobile emploie le

(I), Ies

un,

eg-ale â

compris entre deux

(T),

effet la vitesse

M

du mobile

,

d'un po-

pour lesquelles

t

avoir â chaque

cloit

:

ou

A== 3f.3±_3f.3^
9\x
31 9[k
31

/cY\ 2

df,df

comme d'habitude, ies

E, F, G, etant,

dans l'evaluation de

1'

/cV\ 2

invariants qui interviennent

element d'arc appartenant a une courbe

si-

tue sur (S), et respectivement egaux a

[31)
car

+ \3l) + \3l) '913^319^9X^X^1 + \3*j + \9a

:

,

ds

-W W+ y+
.

2
E /dlX

2F

/d~l\

G -^


TIINE

BULETINUL SOCIETII DE

16

et

Or une

fois

connue

d'en deduire

facile

force, â l'aide

la

dX

d\f-

d[A

cty

et

du theoreme des forces

M

(X

,

au mobile une certaine vitesse iniiale v
en y remplacant X

et

par X

\k

vives.

nous sommes


et

u.

ut.,

ii

nous sera

par consequent

la vitesse iniiale et le potentiel,

pour chaque point

v,

de X

fonction

la vitesse,

Remarquons que

oblig-es

d'imprimer

deduite de la forme de

,

.

Cela pose, nous nous proposons de trouver la conrbe (S9 'J

3.

sur (S), passani par

M

)

et (X),

temps mis par

le

:

(T)

une fonction qui admette une derivee continue dans

Vintervalle

On

nous ayons

=?

T'

(2)

9 etant

etant

un, pour parcourir Varc de cette

un mobile de masse egale
courbe compris entre (E

1'

telle que,

1

(o, x), et

s'annulant avec

une generalisation des synoque cette courbe
M. de Saint-Germain. Nous allons voir tout de suite

voit

dales de

t.

(S,/) est

qu'elle joue
ralisation,

un role plus important, que

dans

la theorie

celui

d'une simple g-ene-

des courbes synchrones.

Si v' et ds" representent la vitesse

du mobile

et

Pelement d'arc

de cette nouvelle courbe, compris entre deux synchrones

ment

voisines, nous

ds

aurons

:

/EX' 2

7

.

-f 2FX' -f

tax'
Mais au point M,

v'

parceque

la force derive

infini-

G

/

v __dX\

x+
2>*

=v

d'un potentiel, d'ou l'equation des cour-

bes cherchees (S 9 ')
,

Xj[B ^(g-) -A.E]

(3)

+ .v( f .g,^.B-A.F)

+^(|)'B-A«G = oi).
')

Dans

cette. equation

ii

faut remplacer paroiit t par

ip

(A, fi)

—t

.


TIINE

BULETINUL SOCIETII DE

Pour une fonction donnee

4.

met

sur lesquelles le mobile

le

meme
pour

Nous

M

temps

t'

—

compris entre

l'arc

deduit de l'expression (1)

prenant toutes

donne

potentiel

et

ii

de

(I

)

et

la vitesse

fx )

,

et

de

(x

M

.

vitesse

la

n'y a que Ies trajec-

En

formes possibles.

Ies

v (X

fonction des coordonnees X

,


allons moritrer que pour ce potentiel

le

familles de courbes

donc des trajectoires et synodales aux synchrones

potentiel

le

toires (S,/), 9

—U

le

pour toutes, pour parcourir

(£). Elles seront

(I),

on a deux

9,

tf

effet, soit

iniiale au point

D'apres

le

theoreme

des forces vives, nous aurons immediatement la vitesse du mobile â

chaque point

(X,

[/.)

v*(X,(*)

:

=

- U(X

2[U(X,(i.)

une fonction bien connue de

,f, )]

X

X, a,

et

+ v *(Xo^);
.

|/.

Pour que

Ies

courbes

d'une familie (T), soient trajectoires aux courbes (2) synchrones,
ii faut et ii suffit que le temps t', qu'un mobile mettrait a parcourir

M

M, compris entre (I ) et (£ ), sur l'une quelconque des
courbes (T), ne d6pende pas de cette derniere. Or l'expression
de ce temps est
l'arc

ds
(M M)

une fonction de X
termediare de

meme
la

la

et

u.

elle doit

;

fonction

(X,

<\>

valeur de long- de (I)

mettrons sous

la

forme

En supposant que

f

doit conserver la

Pour une raison d'analog-ie ? nous

W( V)

—

*o]

fonction admet une

cette

Ies

parcequ'elle

fi.),

l'in-

:

9

pourrons differentier

*).

en dependre seulement par

deux membres de

= ? [+(V) "

nous

deriv^e,

l'identite

:

t ].

(M M)
')

11 est facile

que

de nous convaincre completement

En

stante sur {2), se rediiit â une fonction de

\p

qui, au fond, est fonction seulement de

parceque A

que

le

determinant fonctionnel de

F

et

fi,

ii,

(A,

fi).

la

effet,

et

fi

lonction

F

(A, fi),

en derivant

F

qui reste con-

(A, fi)

verifient l'quation de

par rapport â A et

fi,

totalement,

(2\ on aura

est nul,

2


TIINE

BULETINUL SOCIETII DE

18

Nous aurons

l'equation des trajectoires cherchees

:

^[E-^^(^J + :y(F- ^^g.g)
+ G - VV (|/ =
v

(4)

2

Evidemment qnelle

.

o.

:

coincide avec

l

equation

(3) si

Ion met, au

T>

lieu

de

Pexpression

v-,

-r^

;

donc

courbes

Ies

(S ?/)

l'equation (3), se confondent avec Ies trajectoires
(S),

pour

aux synchrones

potentiel qui resulte de la forme (1) de la vitesse.

le

trajectoires

donnees par

:

l(\u.)

(T)

=

a,

que nous appellerons premieres, seront obtenus, avec

En remplagant

partout dans l'equation
Vl

K

=

(S v') une

correspond a

-l

nous aurons

1

(4

).

i
Z

UL

^.

En

Je dis
effet,

que cette
ii

v i?

=~

v?

telle

(4), qui

familie est aussi so-

de determiner

suffit

gure dans cette deraiere equation, de

qui

(a,u),

de courbes verifiant l'equation

familie

la fonction

lution de l'equation

Ce

v par

'"-

+ G-v,V
Soit

1.

v.K(6),

etant une fonction arbitraire de

4)

(4),

syno-

les

dales correspondantes, de l'equation (3) en y faisant op-—
5.

Les

ap

qui

fi-

maniere que

i"

donne

W-J.WF3
Cela montre, en
toire, reste la

En

meme

particulier

si

meme

temps, que

la

synodale d'une trajec-

apres cette transformai o n de v.

==

i,

les

courbes

(S,'t)

seront les trajec-


SOCIETII DE TIINE

13ULET1NUL

toires premieres

Tequation

;

pour

(4')

%
Pour obtenir

miner

ce qui precede elles seront solution de

d'apres

=

?o(j)

la relation

entre

existent

qui

et 9

,

ii

faut eli-

t entre ces dernieres egalites.

Nous avons donc montre que toute courbe verifiant Vequation (4), verifie egalement (4' J et r eciproquement
resulte de la que si une familie (S

II
des trajectoires aux synchrones (I) pour la vitesse v(X,u), elles
le seront egalement pour la vitesse
6.

v 4 =v(X,
Enfin,

ii

est facile a

K

u).

demontrer que

(-1).

c'est la

forme

la plus

v, pour que la familie (S 9 ) conune familie de trajectoires aux synchrones (£).

nerale que pourrait prendre
tinue

En
(E),

etre

effet, soit (S,/)

une familie de trajectoires aux synchrones

pour deux formes differentes de

tisfaisant

meme temps

en

ge-

r

clifferents, ce qui

la vitesse

deux equations

Ies

:

v

et

v l5 donc sa-

(4) et (4'),

pour des

9

donne

ou
v,

K etant une

=

K

v.

fonction determinee de

(t)

'^,

d'ou la propriete annoncee.

Par exemple nous avons demontre que pour

v.

Ies

==

V/B

A

courbes
(T)

/(>,;.)=*

.

sont des trajectoires aux synchrones
sistera lorsque la vitesse aura la

(P)

v

=

Cette leur propriete sub

(I).

forme

V

x-

K&

'


K

TIINE

BULETINUL SOCIETII DE

20

^tant une fonction arbitraire de

generale de
Si

/

(X,

v,

[/.)

<];,

et c'est lâ

pour laquelle cette propriete

se reduit a

donc

(j.,

[x

C

la plus

subsiste.

courbes coordonnees

si Ies

==

forme

la

£e

sont Ies trajectoires donnees, alors l'expression de

la vitesse

de-

vient

V/E
91
M. A. de Saint-Germain, dans
forme de

1'

equation suivante

3

memoire

le

precite,

donne

la

:

3 IV E\

/VE\

,

l'E

5(0

dans

le

ou

co

91
que

la

forme

la plus

generale de v

face (S) se reduit au plan

xOy,

et

verifie,
ii

â voir que cette equation
la

forme de

le

systeme

v,

t|>.

Mais

ii

n'est pas difficile

effet,

ii

faut resoudre

:

d.

du

dl

ce qui

donne

'

v

i

V7 E

5(o

v

91

:

et
9^"\i

91

9^ \t
{

9l
\/F ^- 91.9a."
——
t^h
9~k

d.

la sur-

admet pour integrale generale, justement

donnee par nous plus haut. En

w

ou

resout cette equation seule-

des formes particulieres de

ment pour

cas

91

r

9<\i

9u.

=

•

dfx

=

o.


:

TIINE

BULETINUL SOCIETII DE

En remarquant que

9H

21

:

9H

9>b

9
9-h

,

9\

Wk]
on aura pour seconde integrale premiere

:

v. cty

d'ou la solution generale annoncee.

Par consequent, toutes

formes particulieres de

Ies

v,

etudiees

par M. de Saint-Germain, peuvent etre tirees de la notre par des
particularisations convenables.

II.

7.

Pour etudier quelques proprietes des courbes (S^), nous allons

mettre l'equation

pourtant a

deux

la

(4),

sous une forme plus simple, sans toucher

generalite du probleme.

familles de courbes

A=C

te

a=C

et

sont orthogonales, par consequent

9a

F ""

3v

Nous supposerons que

Ies

coordonnees

9a

:

9c 9c

9h 9b

+ 5x'
5jl

te

+ 9\'
cV

9^

^

°'

encore

et

'«

V) == * =

fc

>

c'est-â-dire que Ies courbes coordonnees

1 ==
forment
(5)

,

Ies

C

te

synchrones du systeme. L'equation

(4)

devient

X'*[E-vV(X-t )]+G:=o.

Nous nous proposons d'evaluer

l'angle ity,

que

fait

la

courbe


BULETINUL SOCIKTAII DE

22

(Sf'),

la

avec

tangente en M, a

et

ceux de

sont

(I),

9a,.

5b

5c

5u.

5u.

5x

V/G

v/G

G

V

M

tangente en

la

3 a.

//

5V

-4

j/EX'

:

V +5a
5V

5fx

+ G'

1/EV

S

5c

5c

5b
—
V+
5a

"

5{i.
2

â (S 9 ')

3b

3a.

_
m

cosinus directeurs de

M. Les

au point de rencontre

(S),

TIINE

+G

l/EX /2

ou A' est une des deux solutions de Tequation

En

+G

(5).

tenant compte de Tegalite

5a
5a

*

5a

5b

5b

5c

3
3l

cV

5a

5c
'

~

5a

nous aurons

G
EX /2 -f-.G

cos 2 ov
ou, en vertu de i'equation (5)

:

— vV —
2

cos 2 (*v

(6)

ce qui

pour

montre que uv

la

est

le

vV*

meme pour

la

trajectoire (S v ')

synodale correspondante au point M, parceque l'expres-

sion precedente de av, est independante de A'.

Les courbes synchrones sont
familles (S,/)
8.

Autrement

dit

courbes bissectrices des deux

les

de courbes trajectoires et synodales.

Cette remarque nous fournit

chrones

que

le

moyen de

et le potentiel sur la surface (S),

de

la

trouver les syn-

simple connaissance

d'une familie quelconque de trajectoires avec les synodales cor-

respondantes

:

les courbes bissectrices

de

celles-ci

repondrons au

probleme.
Si

Ton suppose que

les

deux

familles

donnees soient

coordonnees
1

=C

tc

et

[A

== C",

•

les

courbes


:

TIINE

BULETINUL SOCIETII DE

alors Ies synchrones seront l'une des

l/E. dÂ

(7)

± l/G.

la

=

fi.)

t et

^2

=o

dfx

4

)

:

=

(X, u)

t.

nous aurons un autre potentiel deduit de

Pour chacune

d'elles

forme

devient pour notre cas

(P), qui

23

deux familles

Cette equation nous donne deux familles
•^(A,

:

:

v=g.K«0

(P-)

9 (X

Dans
ayant

cas particulier

le

Oz pour

oii

(S) serait

axe, nous aurons

x=g(b).

si 8

T

et

:

sin

8.

cos

yzmg(O). sin

8.

sin

z=g(9). cos

6

sont Ies angles que font

projection sur

xOy

avec Ox,

et

Dans

ce cas

:

(8)

:

2

(8)+g

2

G=rg»(0j

(8),

synchrones cherchees deviennent

Ies

g"(8) sin
iui

4

)

donne
Cette

que pour

p' 1

8.

loxodromies

:

8

la vitesse

1

,

cette equation ait pour solutions l
/di//\ 2

— C te

et

/dw\*
djtt'

"

.

ou bien

sin*

equation clitferentielle etait facile â obtenir directement de l'equation (3)

=

et sa

meridienne, dans un plan meridien quelconque.

la

E=g
et Ies

T
T

rayon recteur avec Oz

le

r=g
l'equation de

une surface de revolution,

,_

—di/'

yG ^±
,

qui nous conduit au systeme simultan

\/ E.

^

-

o

:

dA

*- c " Juste l'equation trouve plus haut.

dtp

d,«.

71 - ±~f

•

/*

=C

tc

et

:

ii

par consequent

l'aut


BULETINUL SOCIETII DE

24

9.

TIINE

Cette forme de la vitesse nous permet d'en deduire une qui

que

fasse

deux familles de synchrones trouvees soient a

Ies

synchrones aux trajectoires

synodales donnees. Cette chose

et

En

pas possible en general.

n'est

d'apres

effet.

^

cher k i} k 2 fonctions respectivement de
,

C

la fois

et

(P'). ii
<\>

iy

faut

telles

cher-

que

CIA

U-

donc on peut ramener ce probleme â la question suivante determiner co 1 et w 2 fonctions respectivement de ^ et ^ 2 telles que
:

,

,

CIA
II

faut,

e\idemment, prendre

w i(+i)
co

avec

la

C

2 (-| 2 )

condition que X et

que sous

Ies

:

— a iW + ?Ck
=
jx

combinaisons

X

OCj(X)

,

P-)

+ p(X,

tx)

n'entrent dans Ies seconds membres.

'^(X^tx) et '^(X,

(x),

donc

:

C'Ij

a',+

^-^ — =
.

C

c'X

[X

-

(9

'•]>

5

ix

et
C'd'g

,

,

^P


$X

d~k

(9{x

c^
9tx

En

derivant par rapport â

jx,

on obtient

22 o

c>2 o

do

cA.o'fx

C^

OfA

:

et

L,

M, L 4 Mj
,

32

32

cA.cia

'c'ix

^

2

c'tx

etant des fonctions determin^es de X et

ix.


BULETINUL SOCIETII DE
Ci 3

L

011

O

et

En

R

entre ces deux equations nous donne

sont des fonctions de X et

integrant nous aurons

jx.

i

(X),($iii,

etant une fonction qui ne contient rien d'arbitraire

eC

(X).

2

C(A)

sinon

Pour repondre completement â Tenonce, cette fonction
deux equations precedentes, donc

doit veriiier l'une des

terminer

:

:

P=F[X,>,C

F

25

.

—7=^-

ehmination de

TIINE

C

l

et

C

2

faut de-

n'est pas possible

â cette condition, chose qui

en general. Consequences

ii

:

Etant donnees deux familles de courbes tracees sur une surface,
qu'on veut regarder
I.

trajectoires et synodales, alors

a deux familles de synchrones correspondantes

II y
II y

II.

comme

;

a une double infinite de poientiels qui repondent au

probleme, la vitesse iniiale pour chaque trajectoire etant bien
determinee, une fois fixe

En general

III.

ii

n'y a

le

potentiel

aucune valeur pour

conserve la propriete des trajectoires

pour

Ies

10.

et

deux familles de synchrones,

Comme

de

autre application

surface (S) reduite au plan x

O

la

le potentiel,

qui

des synodales donnees,
la fois.

formule

(7),

supposons

la

en prenant pour courbes tra-

y,

jectoires et synodales Ies courbes

:

wr'k
=

X

et

[/.

a

etant deux parametres arbitraires, r et

polaires habituelles.

prendre

ies

Pour pouvoir

coordonnees curvilignes X

nees polaires r et

=

Ies

tx,

au

lieu

6.

En remarquant que

E

et

9

:

«»({*)

e G •=

A2

[*V)

coordonnees

l'equation

utiliser

+

it'tyft

(7),

ii

faut

des coordon-