Ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương_2

Header Page 1 of 128.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ THU HIỀN

MA TRẬN DƯƠNG
VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018
Footer Page 1 of 128.


Header Page 2 of 128.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ THU HIỀN

MA TRẬN DƯƠNG
VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. HOÀNG NGỌC TUẤN

Hà Nội - 2018
Footer Page 2 of 128.


Header Page 3 of 128.

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới
sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngọc Tuấn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới Thầy, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá
trình nghiên cứu để em có thể hoàn thành luận văn này.
Em cũng bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khóa
học. Nhân dịp này em cũng xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã
luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho em về mọi mặt trong suốt
quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn cũng không tránh khỏi những
thiếu sót. Em mong được những ý kiến đóng góp từ các Thầy, Cô giáo và
các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 30 tháng 06 năm 2018
Trần Thị Thu Hiền

1

Footer Page 3 of 128.

Header Page 4 of 128.

LỜI CAM ĐOAN
Tác giả cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giả
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Hoàng Ngọc Tuấn. Luận văn không
trùng lặp với các đề tài khác.
Trong quá trình nghiên cứu tác giả đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2018
Tác giả
Trần Thị Thu Hiền

2

Footer Page 4 of 128.


Header Page 5 of 128.

Mục lục
LỜI CẢM ƠN

1

LỜI CAM ĐOAN

2

LỜI MỞ ĐẦU

4

1 MA TRẬN DƯƠNG

6

1.1

Các đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Một số định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Ma trận khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4

Chuẩn của tích Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5

Tính lồi và tính đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG

26

2.1

Sự biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2

Ánh xạ tuyến tính dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3

Một số tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính dương . . . 30

2.4

Một số ứng dụng

2.5

Ánh xạ dương trên hệ toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . 38

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

KẾT LUẬN

43

Tài liệu tham khảo

44

3

Footer Page 5 of 128.


Header Page 6 of 128.

LỜI MỞ ĐẦU
Trong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực đại số tuyến tính và ứng dụng,
giải tích ma trận nghiên cứu về ma trận và những tính chất đại số của
chúng. Một số chủ đề nổi bật có thể được kể đến, như các phép toán trên
ma trận, hàm ma trận và các giá trị riêng của ma trận.
Giải tích ma trận được sử dụng trong hầu hết các lĩnh vực khoa học,
từ phương trình vi phân, xác suất thống kê, tối ưu, kinh tế lượng tới các
lĩnh vực ứng dụng hiện đại như khai thác dữ liệu và nhận dạng mẫu.
Trong giải tích ma trận, lý thuyết về ma trận dương và ánh xạ tuyến
tính dương có nội dung phong phú. Các định lý trong lý thuyết này không
quá phức tạp trong chứng minh song có ứng dụng mạnh trong lý thuyết
đa thức, lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu, . . . Việc nghiên cứu tìm
hiểu ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương có thể giúp ta giải quyết
được khá nhiều bài toán trong thực tế. Hiện nay, lĩnh vực này thu hút sự
quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ma trận dương và ánh xạ tuyến
tính dương, dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngọc Tuấn, tôi đã chọn đề
tài “Ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương ” để thực hiện luận
văn của mình.

Mục đích của luận văn là hệ thống hóa các tính chất, các kết quả đã
được nghiên cứu về ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương. Với nội
dung nghiên cứu này, ngoài phần lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham
khảo, luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1. Ma trận dương. Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu về các
ma trận dương. Cụ thể, trước tiên luận văn sẽ trình bày về các đặc trưng
4

Footer Page 6 of 128.


Header Page LỜI
7 of 128.
MỞ ĐẦU

của các ma trận dương. Tiếp đó, ta sẽ nghiên cứu một số định lý cơ bản và
|A| A∗
ma trận khối. Từ đây, với mọi ma trận A, ma trận
là dương.
A |A∗ |
Ngoài ra, luận văn cũng quan tâm đến Định lý Schur. Cuối chương, ta sẽ
đến với các định lý về tính lồi và tính đơn điệu của hàm f (A) = Ar .
Chương 2. Ánh xạ tuyến tính dương. Ta sẽ nghiên cứu các ánh xạ
tuyến tính trên các không gian ma trận. Trước tiên, luận văn sẽ trình bày
về các biểu diễn của Mn trong Mk và khái niệm về ánh xạ tuyến tính dương
và unita. Tiếp đó, ta sẽ nghiên cứu một số tính chất của các ánh xạ dương
và unita thông qua Định lý Choi, Định lý Russo-Dye. Từ đây, ta thu được

Φ = Φ(I) , đây được xem là kết quả chính của chương này. Sau cùng,
một số ứng dụng và một vài định lý về ánh xạ dương trên hệ toán tử cũng

được quan tâm.

5
Footer Page 7 of 128.


Header Page 8 of 128.

Chương 1
MA TRẬN DƯƠNG
Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu về các ma trận dương. Cụ thể, trước
tiên luận văn sẽ trình bày về các đặc trưng của các ma trận dương. Tiếp
đó, ta sẽ nghiên cứu một số định lý cơ bản và ma trận khối. Từ đây, với
|A| A∗
mọi ma trận A, ma trận
là dương. Ngoài ra, luận văn cũng
A |A∗ |
quan tâm đến Định lý Schur. Cuối chương, ta sẽ đến với các định lý về
tính lồi và tính đơn điệu của hàm f (A) = Ar . Tài liệu tham khảo chính
cho chương này là [1], [2], [7] và [8].

1.1

Các đặc trưng

Cho H là không gian Hilbert n chiều Cn . Tích trong giữa hai véc-tơ x
và y được viết là x, y (hay x∗ y ). Ta quy ước rằng tích trong là tuyến tính
liên hợp theo biến thứ nhất và tuyến tính theo biến thứ hai. Đồng thời ta
ký hiệu:

L(H) là không gian tất cả các toán tử tuyến tính trên H.
Mn (C) (hay viết gọn hơn Mn ) là không gian của các ma trận cỡ n × n với
các phần tử phức.
Mỗi phần tử A của L(H) có thể được đồng nhất với các ma trận của
nó đối với cơ sở chuẩn tắc {ej } của Cn . Ta sử dụng ký hiệu A cũng là cho
ma trận này.
Trước khi đi đến đặc trưng các ma trận dương, ta bắt đầu với định
nghĩa sau đây:
6

Footer Page 8 of 128.


Header Page Chương
9 of 128.1. MA TRẬN DƯƠNG

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử A là một ma trận. Khi đó,

A được gọi là nửa xác định dương (positive semi-definite) nếu

(1)

x, Ax ≥ 0, ∀x ∈ H;

(1.1)

A được gọi là xác định dương (positive definite) nếu

(2)

x, Ax > 0, ∀x = 0.

(1.2)

Nhận xét 1.1.2 Một ma trận nửa xác định dương là xác định dương
nếu và chỉ nếu nó là khả nghịch.
Sau đây, một ma trận xác định dương hoặc nửa xác định dương, để cho
gọn, ta có thể dùng thuật ngữ là ma trận dương (positive matrix ). Còn
nếu muốn nhấn mạnh rằng, ma trận đó là ma trận xác định dương, đôi
khi, ta nói nó là ma trận dương chặt (strictly positive matrix ).
Ta ký hiệu A ≥ O để chỉ A là ma trận dương và A > O để chỉ nó là
ma trận dương chặt.
Cho A là một toán tử trong không gian Hilbert H, toán tử liên hợp của

A là toán tử A∗ : H −→ H sao cho
x, Ay = A∗ x, y

với mọi x, y ∈ H.

Mệnh đề sau đây nói đến các đặc trưng của các ma trận dương và ma
trận dương chặt.
Mệnh đề 1.1.3 Cho A là một ma trận. Khi đó,

A là dương nếu và chỉ nếu nó là Hermitian (A = A∗ ) và tất cả các

(a)

giá trị riêng của nó không âm; A là dương chặt nếu và chỉ nếu tất cả
các giá trị riêng của nó là dương.

A là dương nếu và chỉ nếu nó là Hermitian và tất cả các định thức

(b)

con chính của nó không âm; A là dương chặt nếu và chỉ nếu tất cả
các định thức con chính của nó là dương.

A là dương nếu và chỉ nếu A = B ∗ B với ma trận B nào đó; A là

(c)

dương chặt nếu và chỉ nếu B là không suy biến (non-singular).
7
Footer Page 9 of 128.


Header Page Chương
10 of 128.
1. MA TRẬN DƯƠNG

(d)

A là dương nếu và chỉ nếu A = T ∗ T với ma trận tam giác trên T
nào đó. Hơn nữa, T có thể được chọn để có các phần tử đường chéo
không âm. Nếu A là ma trận dương chặt, thì T là duy nhất (Khai
triển Cholesky của A); A là dương chặt nếu và chỉ nếu B là không
suy biến.

(e)

A là dương nếu và chỉ nếu A = B 2 với ma trận dương B nào đó.
Như thế, B là duy nhất. Ta viết B = A1/2 và được gọi là căn bậc hai
(dương) của A; A là dương chặt nếu và chỉ nếu B cũng vậy.

(f)

A là dương nếu và chỉ nếu tồn tại x1 , . . . , xn trong H sao cho
aij = xi , xj ;

(1.3)

A là dương chặt nếu và chỉ nếu các véc-tơ xj (1 ≤ j ≤ n) là độc lập
tuyến tính.
Trong mệnh đề này ta chỉ chứng minh ý thứ nhất của đặc trưng (f).
Chứng minh (f). Trước hết, ta xem các phần tử của Cn như là các
véc-tơ cột. Giả sử x1 , . . . , xm là các véc-tơ như thế, ta viết [x1 , . . . , xm ] để
chỉ ma trận cỡ n × m mà các cột của nó là x1 , . . . , xm . Liên hợp của ma
trận này được viết như sau



x∗1
 . 
 ..  .
 
x∗m
Đó là một ma trận cỡ m × n mà các dòng của nó là các véc-tơ (dòng)

x∗1 , . . . , x∗m .. Ta ký hiệu [[aij ]] để chỉ ma trận với các chỉ số i, j có phần tử
là aij . Tiếp theo, giả sử x1 , . . . , xn là các phần tử trong Cn . Khi đó, ta có

 
x∗1
.
.
[[x∗i xj ]] = 
 .  [x1 , . . . , xn ].
x∗n
Từ đây, do nó có dạng B ∗ B nên ma trận này là dương. Điều này chứng tỏ
rằng, (1.3) là điều kiện đủ để cho A là ma trận dương.
8
Footer Page 10 of 128.


Header Page Chương
11 of 128.
1. MA TRẬN DƯƠNG

Ngược lại, nếu A là ma trận dương, thì ta có

aij = ei , Aej = A1/2 ei , A1/2 ej .
Đến đây, ta chọn xj = A1/2 ej thì có ngay (1.3).
Nhận xét 1.1.4 Giả sử λ1 , . . . , λm là các số dương. Ma trận A cỡ m×m
với các �t ánh xạ dương. Vì thế

SA = SA (I) = A ◦ I = max aii .

(2.10)

Sự kiện này cũng có thể được chứng minh bằng nhiều cách. Trong Định lý
1.4.3 trước đó, ta đã thấy điều này.

Trong Nhận xét 1.2.9 (3) và Ví dụ 2.2.3 (9) ta đã thảo luận về phương
trình Lyapunov

A∗ X + XA = W,

(2.11)

trong đó A là một toán tử mà phổ của nó được chứa trong nửa mặt phẳng
phải mở. Việc giải phương trình này đồng nghĩa với việc tìm nghịch ảnh
của toán tử Lyapunov LA được định nghĩa bởi

LA (X) = A∗ X + XA.
Ta đã biết rằng L−1
A là một ánh xạ tuyến tính dương. Trong một vài trường
hợp W chưa được biết rõ, ta có phương trình nhiễu (perturbed equation)

A∗ X + XA = W +
35
Footer Page 37 of 128.

W.

(2.12)


Header Page Chương
38 of 128.
2. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG

Nếu X và X +

X lần lượt là các nghiệm của (2.11) và (2.12), ta mong

muốn tìm các cận của

X . Đây là một bài toán rất điển hình trong

giải tích số. Rõ ràng rằng

X ≤ L−1
A

W .

Từ L−1
A là dương, ta có
−1
L−1
= LA
(I) .
A

Điều này làm đơn giản hóa bài toán đặt ra và nó cũng được áp dụng cho
phương trình Stein (xem Nhận xét 1.2.9 (5)).
Giả sử ⊗k H là tích ten xơ cấp k (k -fold tensor product) H ⊗ · · · ⊗ H
và cho ⊗k A là tích cấp k (k -fold product) A ⊗ · · · ⊗ A của một toán tử

A trong H. Với 1 ≤ k ≤ n, cho ∧k H là không gian con của ⊗k H được
sinh bởi các ten xơ phản đối xứng. Và nó được gọi là tích ten xơ phản
đối xứng (antisymmetric tensor product), tích ngoài (exterior product),

hay tích Grassmann. Toán tử ⊗k A bỏ đi không gian bất biến và thu hẹp

⊗k A, được ký hiệu là ∧k A . Nó được gọi là lũy thừa Grassmann thứ k (k th
Grassmann power ), hoặc lũy thừa ngoài (exterior power ) của A.
Xét ánh xạ A −→ ⊗k A. Đạo hàm của ánh xạ này tại A, được viết là

D ⊗k (A), là một ánh xạ tuyến tính từ L(H) vào L(⊗k H) và nó được xác
định bởi

D ⊗k (A)(B) =

d
|t=0 ⊗k (A + tB).
dt

Do đó, ta có

D ⊗k (A)(B) = B ⊗ A ⊗ · · · ⊗ A + A ⊗ B ⊗ · · · ⊗ A + · · ·
· · · + A ⊗ · · · ⊗ A ⊗ B.

(2.13)

Điều này kéo theo

D ⊗k (A) = k A

k−1

.

(2.14)

Bây giờ, ta sẽ tìm một biểu thức cho D ∧k (A) . Nhắc lại rằng ∧k là
nhân, ∗ - bảo toàn và unita (nhưng không tuyến tính). Giả sử rằng

A = U SV
36
Footer Page 38 of 128.


Header Page Chương
39 of 128.
2. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG

là phân tích giá trị suy biến (singular value decomposition) của A. Khi đó,
ta có

d
|t=0 ∧k (A + tB)
dt
d
= |t=0 ∧k (U SV + tB)
dt
d
= |t=0 ∧k U. ∧k (S + tU ∗ BV ∗ ). ∧k V
dt
d
= ∧k U
|t=0 ∧k (S + tU ∗ BV ∗ ) ∧k V.
dt

D ∧k (A)(B) =

Suy ra

D ∧k (A)(B) = D ∧k (S)(U ∗ BV ∗ ) ,
và do đó

D ∧k (A) = D ∧k (S) .
Thành thử, để tính D ∧k (A) , ta giả thiết A là ma trận chéo và dương.
Tiếp theo, để ý rằng nếu A là dương, thì với mọi B dương, biểu thức (2.13)
là dương. Vì thế, D ⊗k (A) là một ánh xạ tuyến tính dương từ L(H) vào

L(⊗k H). Toán tử D ∧k (A)(B) là thu hẹp của (2.13) thành không gian
con bất biến ∧k H. Do đó ∧k (A) cũng là một ánh xạ tuyến tính dương. Từ
đó, ta có

D ∧k (A) = D ∧k (A)(I) .
Cho A = diag(s1 , . . . , sn ) với

s1 ≥ s2 ≥ · · · ≥ sn ≥ 0.
Khi đó ∧k A là một ma trận chéo cỡ

n
k

mà các phần tử chéo của nó là

si1 si2 · · · sik , 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n. Sử dụng điều này, cho ta đa thức
đối xứng cơ bản có bậc k − 1

D ∧k (A) = pk−1 (s1 , . . . , sk ),

(2.15)

với các đối số s1 , . . . , sk .
Hiệu quả của việc thay D ∧k (A)(B) bởi D ∧k (A)(I) là để từ một bài
toán không giao hoán cấp cao, ta có thể quy về một bài toán giao hoán
đơn giản hơn.
37
Footer Page 39 of 128.


Header Page Chương
40 of 128.
2. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG

2.5

Ánh xạ dương trên hệ toán tử

Định nghĩa 2.5.1 Một không gian con tuyến tính S của Mn được gọi
là một hệ toán tử (operator system) nếu nó là ∗ đóng (tức là, nếu A ∈ S ,
thì A∗ ∈ S ) và chứa I .
Cho S là một hệ toán tử trong Mn , Ss.a là tập các phần tử tự liên hợp
của S và S+ là tập các phần tử dương trong nó. Ta thấy rằng, nếu T ∈ S ,
thì

1
ReT = (T + T ∗ )

2

và

1
(T − T ∗ )
2i
đều nằm trong S . Tuy nhiên, nếu A ∈ Ss.a , thì các phần dương và âm A±
ImT =

trong phân tích Jordan của A không nhất thiết nằm trong S+ . Chẳng hạn,
ta có ví dụ sau:
Ví dụ 2.5.2 Ta xét tập

S = {A ∈ M3 : a11 = a22 = a33 }.
Đây là một hệ toán tử. Ma trận



0 0 1



A=
0
0
0


1 0 0

nằm trong S . Các thành

1
1
A+ = 
0
2
1

phần Jordan của nó là



0 1
1 0 −1


1
0 0 0
và
A
=
0 0
−


2
0 1
−1 0 1

đều không thuộc S .
Tuy vậy, với mọi phần tử Hermitian A của S , ta có thể viết

A = P+ − P− trong đó P± ∈ S+ .
38
Footer Page 40 of 128.

(2.16)


Header Page Chương
41 of 128.
2. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG

Ta chọn

P± =

A I ±A
.
2

(2.17)

Do đó, với mọi T ∈ S ta có thể viết

T = A + iB

(A, B ∈ Ss.a )

= (P+ − P− ) + i(Q+ − Q− ) (P± , Q± ∈ S+ ).
Sử dụng phân tích này ta có thể chứng minh bổ đề dưới đây.
Bổ đề 2.5.3 Nếu Φ là một ánh xạ tuyến tính dương từ một hệ toán tử

S vào Mk , thì
Φ(T ∗ ) = Φ(T )∗ với mọi T ∈ S.
Nhận xét 2.5.4 Nếu ta đặt A = P1 − P2 trong đó P1 , P2 là dương, thì

A ≤ max( P1 , P2 ).
Định lý 2.5.5 Giả sử Φ là một ánh xạ tuyến tính dương từ một hệ toán
tử S vào Mk . Khi đó
(1)

Φ(A) ≤ Φ(I) A với mọi A ∈ Ss.a ;

(2)

Φ(T ) ≤ 2 Φ(I) T với mọi T ∈ S .

(Từ đây, nếu Φ cũng là unita, thì Φ = 1 trên không gian Ss.a và

Φ ≤ 2 trên S .)
Chứng minh. Nếu P là một phần tử dương của S , thì

O ≤ P ≤ P I.
Do đó, ta có

O ≤ Φ(P ) ≤ P Φ(I).

39

Footer Page 41 of 128.


Header Page Chương
42 of 128.
2. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG

Nếu A là một phần tử Hermitian của S , áp dụng phân tích (2.16) và Nhận
xét 2.5.4, ta có

Φ(A)

=

Φ(P+ ) − Φ(P− )

≤ max( Φ(P+ ) , Φ(P− ) )
≤ max( (P+ ) , (P− ) ) Φ(I)
≤

A Φ(I) .

Từ đó, khẳng định (1) được chứng minh hoàn toàn. Khẳng định (2) được
suy ra từ phân tích Cartesian của T .
Định lý 2.5.6 Nếu ϕ là một hàm tuyến tính dương trên một hệ toán tử

S , thì
ϕ = ϕ(I).
Chứng minh. Giả sử T ∈ S và T ≤ 1. Ta sẽ chỉ ra |ϕ(T )| ≤ ϕ(I).
Nếu ϕ(T ) là số phức reiθ , ta có thể nhân T bởi e−iθ và suy ra ϕ(T ) là số

thực và dương. Vì thế, nếu

T = A + iB
trong phân tích Cartesian, thì ϕ(T ) = ϕ(A). Do đó, theo khẳng định (1)
của Định lý 2.5.5, ta có

ϕ(T ) ≤ ϕ(I) A ≤ ϕ(I) T .
Từ đó, ta có ϕ = ϕ(I).
Định lý tiếp theo cho ta biết rằng điều khẳng định ngược lại vẫn đúng.
Định lý 2.5.7 Giả sử rằng ϕ là một hàm tuyến tính trên S sao cho

ϕ = ϕ(I). Khi đó ϕ là dương.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử ϕ(I) = 1.
Cho A là một phần tử dương của S và giả sử σ(A) là phổ của nó. Ta đặt

a = min σ(A) và b = max σ(A).

40
Footer Page 42 of 128.


Header Page Chương
43 of 128.
2. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG

Ta sẽ chỉ ra rằng ϕ(A) nằm trong đoạn [a, b]. Thật vậy, nếu điều này không
xảy ra, khi đó tồn tại một hình tròn

D = {z : |z − z0 | ≤ r}
sao cho ϕ(A) nằm ngoài D nhưng D chứa [a, b], và do đó σ(A) cũng vậy.

Từ điều kiện sau cùng, suy ra rằng σ(A − z0 I) được chứa trong hình tròn

{z : |z| ≤ r} và do đó
A − z0 I ≤ r.
Bằng cách sử dụng điều kiện

ϕ = ϕ(I) = 1,
ta có đánh giá

|ϕ(A) − z0 | = |ϕ(A − z0 I)| ≤ ϕ

A − z0 I ≤ r.

Nhưng khi đó ϕ(A) không thể nằm ngoài D. Điều này chứng tỏ rằng ϕ(A)
là một số không âm, đúng như khẳng định trong định lý.
Theo Định lý Hahn-Banach, mọi hàm tuyến tính ϕ trên (một không
gian con tuyến tính) S có thể được thác triển thành một hàm tuyến tính

ϕ trên Mn với ϕ = ϕ . Bây giờ, ta sẽ quan tâm đến tính dương hơn là
các chuẩn. Vì thế, một câu hỏi được đặt ra, có hay không một hàm tuyến
tính dương ϕ trên một hệ toán tử S trong Mn có thể được thác triển thành
một hàm tuyến tính dương ϕ trên Mn . Câu trả lời là có. Đây được gọi là
Định lý thác triển Krein mà luận văn sẽ trình bày ngay sau đây. Khi này,
từ ϕ = ϕ(I), ta có ϕ = ϕ(I).
Định lý 2.5.8 (Định lý thác triển Krein) Giả sử S là một hệ toán tử
trong Mn . Khi đó, mọi hàm tuyến tính dương trên S có thể được thác triển
thành một hàm tuyến tính dương trên Mn .
Chứng minh. Giả sử ϕ là một hàm tuyến tính dương trên S . Áp dụng
Định lý 2.5.6 ta có

ϕ = ϕ(I).
41
Footer Page 43 of 128.


Header Page Chương
44 of 128.
2. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG

Từ Định lý Hahn-Banach, ϕ có thể thác triển thành một hàm tuyến tính

ϕ trên Mn thỏa mãn
ϕ = ϕ = ϕ(I).
Khi đó, sử dụng Định lý 2.5.7 ta có ϕ là dương. Như vậy, mọi hàm tuyến
tính dương trên S có thể được thác triển thành một hàm tuyến tính dương
trên Mn .
Thay cho lời kết của Chương 2, ta đến với định lý sau đây, nó cho ta
biết điều kiện nào của một ánh xạ tuyến tính xác định trên một hệ toán
tử là dương.
Định lý 2.5.9 Nếu S là một hệ toán tử và Φ : S −→ Mk là một ánh xạ
tuyến tính unita thỏa mãn Φ = 1, thì Φ là dương.
Chứng minh. Với mỗi véc-tơ đơn vị x trong Ck , ta đặt

ϕx (A) = x, Φ(A)x , A ∈ S.
Đó là một hàm tuyến tính unita trên S . Từ đánh giá

|ϕx (A)| ≤ Φ(A) ≤ A ,
ta có

ϕx = 1.

Do đó, áp dụng Định lý 2.5.7 ta có ϕx là dương. Nói khác đi, nếu A là
dương, thì

ϕx (A) = x, Φ(A)x ≥ 0,
với mọi véc-tơ đơn vị x. Từ đây, ta có ngay Φ là dương.

42
Footer Page 44 of 128.


Header Page 45 of 128.

KẾT LUẬN

Luận văn “Ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương ” đã trình
bày được một số vấn đề sau:
1. Hệ thống lại những kiến thức cơ bản về ma trận dương. Trong đó bao
gồm các đặc trưng của ma trận dương, một số định lý cơ bản của ma
trận dương và ma trận khối.
2. Trình bày Định lý Schur và các định lý về tính lồi và tính đơn điệu
của hàm f (A) = Ar .
3. Trình bày về các biểu diễn của Mn trong Mk và khái niệm về ánh xạ
tuyến tính dương và unita. Trình bày một số tính chất của các ánh
xạ dương và unita thông qua Định lý Choi, Định lý Russo-Dye. Từ
đây, ta thu được Φ = Φ(I) , đây được xem là một trong những
kết quả chính của luận văn. Bên cạnh đó, luận văn còn trình bày về
một số ứng dụng và một vài định lý về ánh xạ dương trên hệ toán tử.

43

Footer Page 45 of 128.


Header Page 46 of 128.

Tài liệu tham khảo
[1] Bhatia R. (1997), Matrix analysis, Springer.
[2] Bhatia R. (2007), Positive definite matrices, Princeton University
Press.
[3] Bhatia R., Davis C. (2000), A better bound on the variance, Am.
Math. Monthly, 107, pp. 602–608.
[4] Bhatia R., Friedland S. (1981), Variation of Grassman powers and
spectra, Linear algebra Appl., 40, pp. 1–18.
[5] Bhatia R., Kittaneh F. (1998), Norm inequalities for positive operators, Lett. Math. Phys., 43, pp. 225–231.
[6] Davis C. (1957), A Schwarz inequality for convex operator functions,
Proc. Am. Math. Soc., 8, pp. 42–44.
[7] Lax P. (1997), Linear algebra, John Wiley.
[8] Zhang F. (1999), Matrix theory: Basic results and techniques, Springer.

44

Footer Page 46 of 128.